Eksenel rəsm. Düzbucaqlı, almaz və kvadrat

ehtiyacınız olacaq

• - simmetrik nöqtələrin xassələrini;
• - simmetrik fiqurların xassələrini;
• - hökmdar;
• - kvadrat;
• - kompas;
• - qələm;
• - bir vərəq;
• - qrafik redaktoru olan kompüter.

Təlimatlar

Simmetriya oxu olacaq düz a xətti çəkin. Əgər onun koordinatları göstərilməyibsə, onu özbaşına çəkin. Bu xəttin bir tərəfinə ixtiyari bir A nöqtəsi qoyun.

Faydalı məsləhət

AutoCAD-də simmetriya xüsusiyyətləri daim istifadə olunur. Bunu etmək üçün Güzgü seçimini istifadə edin. İkitərəfli üçbucaq və ya ikitərəfli trapesiya qurmaq üçün alt bazanı və onunla yan arasındakı bucağı çəkmək kifayətdir. Göstərilən əmrdən istifadə edərək onları əks etdirin və tərəfləri lazımi ölçüyə qədər genişləndirin. Üçbucaq vəziyyətində, bu, onların kəsişmə nöqtəsi olacaq və trapesiya üçün bu, verilmiş bir dəyər olacaqdır.

Siz “şaquli/üfüqi çevir” seçimindən istifadə edərkən qrafik redaktorlarda daim simmetriya ilə qarşılaşırsınız. Bu zaman simmetriya oxu şəkil çərçivəsinin şaquli və ya üfüqi tərəflərindən birinə uyğun gələn düz xətt kimi qəbul edilir.

Mənbələr:

• mərkəzi simmetriyanı necə çəkmək olar

Konusun en kəsiyini qurmaq o qədər də çətin iş deyil. Əsas odur ki, ciddi hərəkətlər ardıcıllığına əməl edin. Onda bu vəzifə asanlıqla yerinə yetiriləcək və sizdən çox əmək tələb etməyəcək.

ehtiyacınız olacaq

• - kağız;
• - qələm;
• - dairə;
• - hökmdar.

Təlimatlar

Bu suala cavab verərkən əvvəlcə bölməni hansı parametrlərin müəyyən etdiyinə qərar verməlisiniz.
Bu, l müstəvisinin müstəvi ilə kəsişməsinin düz xətti və onun kəsişməsi olan O nöqtəsi olsun.

Tikinti Şəkil 1-də təsvir edilmişdir. Bölmənin qurulmasında ilk addım, bu xəttə perpendikulyar olaraq l-ə qədər uzanan diametrinin kəsişməsinin mərkəzindən keçir. Nəticə L nöqtəsidir. Sonra O nöqtəsindən LW düz xətti çəkin və O2M və O2C əsas hissəsində yerləşən iki istiqamətləndirici konus qurun. Bu bələdçilərin kəsişməsində Q nöqtəsi, eləcə də artıq göstərilən W nöqtəsi yerləşir. Bunlar istənilən bölmənin ilk iki nöqtəsidir.

İndi BB1 konusunun əsasında perpendikulyar MS çəkin və O2B və O2B1 perpendikulyar kəsiyinin generatrislərini qurun. Bu hissədə O nöqtəsi vasitəsilə BB1-ə paralel RG düz xətti çəkin. T.R və T.G istədiyiniz bölmənin daha iki nöqtəsidir. Topun kəsişməsi məlum olsaydı, bu mərhələdə artıq tikilə bilərdi. Bununla belə, bu ümumiyyətlə ellips deyil, QW seqmentinə nisbətən simmetriyaya malik elliptik bir şeydir. Buna görə, ən etibarlı eskizi əldə etmək üçün onları daha sonra hamar bir əyri ilə birləşdirmək üçün mümkün qədər çox bölmə nöqtəsi qurmalısınız.

İxtiyari bir kəsik nöqtəsi qurun. Bunun üçün konusun əsasında ixtiyari diametrli AN çəkin və müvafiq O2A və O2N bələdçilərini qurun. t.O vasitəsilə, P və E nöqtələrində yeni qurulmuş bələdçilərlə kəsişənə qədər PQ və WG-dən keçən düz bir xətt çəkin. Bunlar istənilən bölmənin daha iki nöqtəsidir. Eyni şəkildə davam edərək, istədiyiniz qədər nöqtə tapa bilərsiniz.

Düzdür, onları əldə etmək proseduru QW-yə münasibətdə simmetriyadan istifadə edərək bir qədər sadələşdirilə bilər. Bunu etmək üçün, istədiyiniz kəsik müstəvisində, konusun səthi ilə kəsişənə qədər RG-yə paralel SS düz xətləri çəkə bilərsiniz. Tikinti, qurulmuş polixəttin akkordlardan yuvarlaqlaşdırılması ilə tamamlanır. QW ilə bağlı artıq qeyd olunan simmetriyaya görə istədiyiniz hissənin yarısını qurmaq kifayətdir.

Mövzu ilə bağlı video

İpucu 3: Qrafiki necə etmək olar triqonometrik funksiya

Siz çəkmək lazımdır cədvəli triqonometrik funksiyaları? Sinusoidin qurulması nümunəsindən istifadə edərək hərəkətlərin alqoritmini mənimsəyin. Problemi həll etmək üçün tədqiqat metodundan istifadə edin.

ehtiyacınız olacaq

• - hökmdar;
• - qələm;
• - triqonometriyanın əsaslarını bilmək.

Təlimatlar

Mövzu ilə bağlı video

Qeyd edin

Əgər tək zolaqlı hiperboloidin iki yarımoxu bərabərdirsə, onda biri yuxarıda, digəri isə iki bərabər olandan fərqli olan yarımoxlu hiperbolanı onun ətrafında döndərməklə rəqəmi əldə etmək olar. xəyali ox.

Faydalı məsləhət

Bu rəqəmi Oxz və Oyz oxlarına nisbətən tədqiq etdikdə aydın olur ki, onun əsas bölmələri hiperbolalardır. Və bu məkan fırlanma fiquru Oksi müstəvisi ilə kəsildikdə onun bölməsi ellips olur. Tək zolaqlı hiperboloidin boyun ellipsi koordinatların başlanğıcından keçir, çünki z=0.

Boğaz ellipsi x²/a² +y²/b²=1 tənliyi ilə təsvir edilir, digər ellipslər isə x²/a² +y²/b²=1+h²/c² tənliyi ilə tərtib edilir.

Mənbələr:

• Ellipsoidlər, paraboloidlər, hiperboloidlər. Düzxətli generatorlar

Beşguşəli ulduzun forması qədim zamanlardan insanlar tərəfindən geniş istifadə edilmişdir. Biz onun formasını gözəl hesab edirik, çünki biz şüursuz şəkildə qızıl hissənin əlaqələrini tanıyırıq, yəni. beşguşəli ulduzun gözəlliyi riyazi cəhətdən əsaslandırılmışdır. Evklid özünün Elementlərində beşguşəli ulduzun qurulmasını ilk dəfə təsvir etmişdir. Gəlin onun təcrübəsinə qoşulaq.

ehtiyacınız olacaq

• hökmdar;
• qələm;
• kompas;
• iletki.

Təlimatlar

Ulduzun qurulması onun təpələrinin bir-birləri ilə ardıcıl olaraq bir-birinə bağlanması və sonradan qurulmasına gəlir. Düzgün olanı qurmaq üçün dairəni beşə bölmək lazımdır.
Kompasdan istifadə edərək ixtiyari bir dairə qurun. Onun mərkəzini O nöqtəsi ilə qeyd edin.

A nöqtəsini qeyd edin və OA xətti seqmentini çəkmək üçün hökmdardan istifadə edin. İndi OA seqmentini yarıya bölmək lazımdır ki, bunu etmək üçün A nöqtəsindən dairəni iki M və N nöqtəsində kəsənədək OA radiuslu qövs çəkin. MN seqmentini qurun. MN-nin OA ilə kəsişdiyi E nöqtəsi OA seqmentini ikiyə böləcəkdir.

OA radiusuna perpendikulyar OD-ni bərpa edin və D və E nöqtələrini birləşdirin. E nöqtəsindən ED radiusu ilə OA-da B çentikini düzəldin.

İndi DB xətti seqmentindən istifadə edərək dairəni beş bərabər hissəyə işarələyin. Düzgün beşbucaqlının təpələrini ardıcıl olaraq 1-dən 5-ə qədər rəqəmlərlə etiketləyin. Nöqtələri aşağıdakı ardıcıllıqla birləşdirin: 1 ilə 3, 2 ilə 4, 3 ilə 5, 4 ilə 1, 5 ilə 2. Budur düzgün olan beş guşəli ulduz, müntəzəm beşbucaqlıya. Mən onu məhz belə qurmuşam

Hərəkət anlayışı

Əvvəlcə hərəkət anlayışını araşdıraq.

Tərif 1

Xəritəçəkmə məsafələri qoruyursa, təyyarənin xəritələşdirilməsi təyyarənin hərəkəti adlanır.

Bu konsepsiya ilə bağlı bir neçə teorem var.

Teorem 2

Üçbucaq hərəkət edərkən bərabər üçbucağa çevrilir.

Teorem 3

Hər hansı bir fiqur hərəkət edərkən ona bərabər olan bir rəqəmə çevrilir.

Eksenel və mərkəzi simmetriya hərəkət nümunələridir. Gəlin onlara daha ətraflı baxaq.

Eksenel simmetriya

Tərif 2

Əgər bu xətt $(AA)_1$ seqmentinə perpendikulyardırsa və onun mərkəzindən keçirsə, $A$ və $A_1$ nöqtələri $a$ xəttinə nisbətən simmetrik adlanır (şək. 1).

Şəkil 1.

Nümunə məsələdən istifadə edərək eksenel simmetriyanı nəzərdən keçirək.

Misal 1

Üçün simmetrik üçbucaq qurun verilmiş üçbucaq onun hər hansı bir tərəfi ilə bağlı.

Həll.

Bizə $ABC$ üçbucağı verilsin. Onun simmetriyasını $BC$ tərəfinə görə quracağıq. Eksenel simmetriya ilə $BC$ tərəfi özünə çevriləcək (tərifdən sonra). $A$ nöqtəsi $A_1$ nöqtəsinə gedəcək aşağıdakı kimi: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. $ABC$ üçbucağı $A_1BC$ üçbucağına çevriləcək (Şəkil 2).

Şəkil 2.

Tərif 3

Fiqurun hər biri varsa, $a$ düz xəttinə nisbətən simmetrik olduğu deyilir simmetrik nöqtə bu rəqəm eyni şəkildə əks olunub (şək. 3).

Şəkil 3.

Şəkil $3$ düzbucaqlı göstərir. Onun diametrinin hər birinə, eləcə də verilmiş düzbucaqlının əks tərəflərinin mərkəzlərindən keçən iki düz xəttə münasibətdə ox simmetriyası var.

Mərkəzi simmetriya

Tərif 4

Əgər $O$ nöqtəsi $(XX)_1$ seqmentinin mərkəzidirsə, $X$ və $X_1$ nöqtələri $O$ nöqtəsinə nisbətən simmetrik adlanır (şək. 4).

Şəkil 4.

Nümunə məsələdən istifadə edərək mərkəzi simmetriyanı nəzərdən keçirək.

Misal 2

Verilmiş üçbucaq üçün onun hər hansı bir təpəsində simmetrik üçbucaq qurun.

Həll.

Bizə $ABC$ üçbucağı verilsin. $A$ təpəsinə nisbətən onun simmetriyasını quracağıq. Mərkəzi simmetriyaya malik $A$ təpəsi özünə çevriləcək (tərifdən belədir). $B$ nöqtəsi $B_1$ nöqtəsinə aşağıdakı kimi gedəcək: $(BA=AB)_1$, $C$ nöqtəsi isə $C_1$ nöqtəsinə aşağıdakı kimi gedəcək: $(CA=AC)_1$. $ABC$ üçbucağı $(AB)_1C_1$ üçbucağına çevriləcək (Şəkil 5).

Şəkil 5.

Tərif 5

Əgər bu fiqurun hər bir simmetrik nöqtəsi eyni fiqurda olarsa, fiqur $O$ nöqtəsinə nisbətən simmetrikdir (şək. 6).

Şəkil 6.

Şəkil $6$ paraleloqramı göstərir. Onun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi ilə əlaqədar mərkəzi simmetriya var.

Nümunə tapşırıq.

Misal 3

Bizə $AB$ seqmenti verilsin. Verilmiş seqmentlə kəsişməyən $l$ xəttinə və $l$ xəttində uzanan $C$ nöqtəsinə görə onun simmetriyasını qurun.

Həll.

Problemin vəziyyətini sxematik şəkildə təsvir edək.

Şəkil 7.

Əvvəlcə $l$ düz xəttinə görə eksenel simmetriyanı təsvir edək. Eksenel simmetriya bir hərəkət olduğundan, $1$ teoreminə görə, $AB$ seqmenti ona bərabər olan $A"B"$ seqmentinə uyğunlaşdırılacaq. Onu qurmaq üçün aşağıdakıları edəcəyik: $l$ düz xəttinə perpendikulyar $A\ və\B$ nöqtələri vasitəsilə $m\ və\n$ düz xətləri çəkin. $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$ olsun. Sonra $A"X=AX$ və $B"Y=BY$ seqmentlərini çəkirik.

Şəkil 8.

İndi $C$ nöqtəsinə münasibətdə mərkəzi simmetriyanı təsvir edək. Mərkəzi simmetriya hərəkət olduğundan, $1$ teoreminə görə, $AB$ seqmenti ona bərabər olan $A""B""$ seqmentinə çəkiləcək. Onu qurmaq üçün aşağıdakıları edəcəyik: $AC\ və\ BC$ xətlərini çəkin. Sonra $A^("")C=AC$ və $B^("")C=BC$ seqmentlərini çəkirik.

Şəkil 9.

İnsanların həyatı simmetriya ilə doludur. Rahatdır, gözəldir və yeni standartlar icad etməyə ehtiyac yoxdur. Bəs o, əslində nədir və təbiətdə hamının inanıldığı qədər gözəldirmi?

Simmetriya

Qədim dövrlərdən bəri insanlar ətrafdakı dünyanı təşkil etməyə çalışdılar. Ona görə də bəzi şeylər gözəl sayılır, bəziləri isə o qədər də çox deyil. Estetik nöqteyi-nəzərdən qızıl və gümüş nisbətləri, təbii ki, simmetriya kimi cəlbedici sayılır. Bu termin var Yunan mənşəli və hərfi mənada “mütənasiblik” deməkdir. Təbii ki, söhbət təkcə bu əsasda təsadüfdən deyil, bəzi başqalarından da gedir. Ümumi mənada, simmetriya, müəyyən formalaşmalar nəticəsində nəticə ilkin məlumatlara bərabər olduqda, obyektin bir xüsusiyyətidir. Bu həm yaşayışda, həm də həyatda olur cansız təbiət, eləcə də insan tərəfindən hazırlanmış əşyalarda.

Əvvəla, "simmetriya" termini həndəsədə istifadə olunur, lakin bir çox elmi sahələrdə tətbiq tapır və mənası ümumiyyətlə dəyişməz qalır. Bu fenomen olduqca tez-tez baş verir və maraqlı hesab olunur, çünki onun bir neçə növü, eləcə də elementləri fərqlənir. Simmetriyanın istifadəsi də maraqlıdır, çünki o, təkcə təbiətdə deyil, həm də parça üzərində naxışlarda, binaların haşiyələrində və bir çox başqalarında rast gəlinir. süni obyektlər. Bu fenomeni daha ətraflı nəzərdən keçirməyə dəyər, çünki bu, son dərəcə maraqlıdır.

Termin digər elmi sahələrdə istifadəsi

Aşağıda simmetriya həndəsə nöqteyi-nəzərindən nəzərdən keçiriləcək, lakin qeyd etmək lazımdır ki, bu söz təkcə burada deyil. Biologiya, virusologiya, kimya, fizika, kristalloqrafiya - bütün bunlar bu fenomenin öyrənildiyi sahələrin natamam siyahısıdır. müxtəlif tərəflər və içində müxtəlif şərtlər. Məsələn, təsnifat bu terminin hansı elmə aid olmasından asılıdır. Beləliklə, növlərə bölünmə çox dəyişir, baxmayaraq ki, bəzi əsaslar, bəlkə də, dəyişməz qalır.

Təsnifat

Simmetriyanın bir neçə əsas növü var, onlardan üçü ən çox yayılmışdır:

Bundan əlavə, həndəsədə aşağıdakı növlər də fərqlənir, onlar daha az yayılmışdır, lakin daha az maraqlı deyil:

• sürüşmə;
• fırlanma;
• nöqtə;
• mütərəqqi;
• vida;
• fraktal;
• və s.

Biologiyada bütün növlər bir qədər fərqli adlanır, baxmayaraq ki, mahiyyətcə eyni ola bilərlər. Müəyyən qruplara bölünmə simmetriyanın mərkəzləri, müstəviləri və oxları kimi müəyyən elementlərin mövcudluğu və ya olmaması, həmçinin kəmiyyəti əsasında baş verir. Onlar ayrıca və daha ətraflı nəzərdən keçirilməlidir.

Əsas elementlər

Fenomen müəyyən xüsusiyyətlərə malikdir, onlardan biri mütləq mövcuddur. Əsas elementlər deyilənlərə təyyarələr, mərkəzlər və simmetriya oxları daxildir. Onların varlığına, yoxluğuna və miqdarına uyğun olaraq növü müəyyən edilir.

Simmetriya mərkəzi bir fiqurun və ya kristalın içərisində bütün tərəfləri bir-birinə paralel olaraq cüt-cüt birləşdirən xətlərin birləşdiyi nöqtədir. Təbii ki, həmişə mövcud deyil. Paralel cüt olmayan tərəflər varsa, o zaman belə bir nöqtə tapıla bilməz, çünki o, mövcud deyil. Tərifə görə, aydındır ki, simmetriya mərkəzi fiqurun öz üzərində əks oluna bilməsidir. Məsələn, bir dairə və ortasında bir nöqtə ola bilər. Bu element adətən C kimi təyin olunur.

Simmetriya müstəvisi, əlbəttə ki, xəyalidir, lakin rəqəmi bir-birinə bərabər iki hissəyə bölən məhz budur. Bir və ya bir neçə tərəfdən keçə bilər, ona paralel ola bilər və ya onları ayıra bilər. Eyni rəqəm üçün bir neçə təyyarə eyni anda mövcud ola bilər. Bu elementlər adətən P kimi təyin olunur.

Ancaq bəlkə də ən çox yayılmışı "simmetriya oxu" adlanan şeydir. Bu, həm həndəsədə, həm də təbiətdə görünə bilən ümumi bir hadisədir. Və ayrıca nəzərdən keçirməyə layiqdir.

Oxlar

Çox vaxt fiqurun simmetrik adlandırıla biləcəyi elementdir

düz xətt və ya seqment görünür. Hər halda, söhbət nöqtədən və ya təyyarədən getmir. Sonra rəqəmlər nəzərə alınır. Onların bir çoxu ola bilər və onlar hər hansı bir şəkildə yerləşdirilə bilər: tərəfləri bölmək və ya onlara paralel olmaq, eləcə də küncləri kəsmək və ya etməmək. Simmetriya oxları adətən L kimi təyin olunur.

Nümunələr isosceles daxildir və Birinci halda olacaq şaquli ox simmetriya, hər iki tərəfində bərabər üzlər var və ikincidə xətlər hər bucağı kəsəcək və bütün bisektorlar, medianlar və yüksəkliklərlə üst-üstə düşəcək. Adi üçbucaqlarda bu yoxdur.

Yeri gəlmişkən, kristalloqrafiya və stereometriyada yuxarıda göstərilən bütün elementlərin cəminə simmetriya dərəcəsi deyilir. Bu göstərici baltaların, təyyarələrin və mərkəzlərin sayından asılıdır.

Həndəsə nümunələri

Şərti olaraq, biz riyaziyyatçıların öyrəndiyi bütün obyektlər toplusunu simmetriya oxuna malik olan və olmayan fiqurlara ayıra bilərik. Bütün dairələr, ovallar, eləcə də bəzi xüsusi hallar avtomatik olaraq birinci kateqoriyaya, qalanları isə ikinci qrupa düşür.

Üçbucağın simmetriya oxundan danışdığımız vəziyyətdə olduğu kimi, bu element həmişə dördbucaqlı üçün mövcud deyil. Kvadrat, düzbucaqlı, romb və ya paraleloqram üçün bu, qeyri-müntəzəm bir fiqur üçün isə belə deyil. Bir dairə üçün simmetriya oxları onun mərkəzindən keçən düz xətlər toplusudur.

Bundan əlavə, bu baxımdan üçölçülü fiqurları nəzərdən keçirmək maraqlıdır. Bütün müntəzəm çoxbucaqlılara və toplara əlavə olaraq, bəzi konuslar, həmçinin piramidalar, paraleloqramlar və bəzi başqaları, ən azı bir simmetriya oxuna sahib olacaqlar. Hər bir işə ayrıca baxılmalıdır.

Təbiətdəki nümunələr

Həyatda buna ikitərəfli deyilir, ən çox rast gəlinir
tez-tez. İstənilən insan və bir çox heyvan buna misaldır. Eksenel radial adlanır və daha az yaygındır, adətən flora. Və hələ də mövcuddurlar. Məsələn, bir ulduzun neçə simmetriya oxuna sahib olduğunu düşünməyə dəyər və ümumiyyətlə varmı? Təbii ki, söhbət gedir dəniz canlıları, və astronomların öyrənilməsi mövzusu haqqında deyil. Düzgün cavab belə olardı: ulduzun şüalarının sayından asılıdır, məsələn, beşguşəlidirsə.

Bundan əlavə, bir çox çiçəkdə radial simmetriya müşahidə olunur: çobanyastığı, qarğıdalı, günəbaxan və s. Çox sayda nümunə var, onlar sanki hər yerdədir.

Aritmiya

Bu termin, ilk növbədə, tibb və kardiologiyanın əksəriyyətini xatırladır, lakin əvvəlcə bir az fərqli məna daşıyır. Bu vəziyyətdə sinonim "asimmetriya", yəni bu və ya digər formada qanunauyğunluğun olmaması və ya pozulması olacaqdır. Bu, qəza kimi tapıla bilər və bəzən gözəl bir texnikaya çevrilə bilər, məsələn, geyimdə və ya memarlıqda. Axı simmetrik binalar çoxdur, lakin məşhur olanı bir az əyilmişdir və tək olmasa da, ən məşhur nümunədir. Bunun təsadüfən baş verdiyi məlumdur, lakin bunun öz cazibəsi var.

Bundan əlavə, insanların və heyvanların üz və bədənlərinin də tam simmetrik olmadığı göz qabağındadır. Hətta “düzgün” üzlərin cansız və ya sadəcə cəlbedici olmadığı kimi araşdırmalar aparılıb. Yenə də simmetriyanın qavranılması və bu fenomen özlüyündə heyrətamizdir və hələ tam öyrənilməmişdir və buna görə də son dərəcə maraqlıdır.

Bu dərsdə bəzi fiqurların başqa bir xüsusiyyətinə - eksenel və mərkəzi simmetriyaya baxacağıq. Hər gün güzgüyə baxdığımız zaman eksenel simmetriya ilə qarşılaşırıq. Mərkəzi simmetriya canlı təbiətdə çox yaygındır. Eyni zamanda, simmetriyaya malik olan fiqurlar bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir. Bundan əlavə, biz sonradan öyrənirik ki, eksenel və mərkəzi simmetriya bütün bir sinif problemlərin köməyi ilə həll olunan hərəkət növləridir.

Bu dərs eksenel və mərkəzi simmetriyaya həsr edilmişdir.

Tərif

İki nöqtə deyilir simmetrik nisbətən düz, əgər:

Şəkildə. 1 düz xəttə nisbətən simmetrik olan nöqtələrin nümunələrini göstərir və , və .

düyü. 1

Bir faktı da qeyd edək ki, xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir.

Fiqurlar düz xəttə nisbətən simmetrik də ola bilər.

Gəlin ciddi bir tərif tərtib edək.

Tərif

Fiqur deyilir düzə nisbətən simmetrikdir, əgər fiqurun hər bir nöqtəsi üçün bu düz xəttə nisbətən ona simmetrik olan nöqtə də fiqura aiddirsə. Bu vəziyyətdə xətt çağırılır simmetriya oxu. Fiqur var eksenel simmetriya.

Eksenel simmetriyaya malik olan fiqurların və onların simmetriya oxlarının bir neçə nümunəsinə baxaq.

Misal 1

Bucaq eksenel simmetriyaya malikdir. Bucağın simmetriya oxu bissektrisadır. Həqiqətən: bucağın hər hansı bir nöqtəsindən bissektrisa perpendikulyarını aşağı salaq və onu bucağın digər tərəfi ilə kəsişənə qədər uzataq (bax şək. 2).

düyü. 2

(çünki - ümumi tərəf, (bissektrisin xassəsi) və üçbucaqlar düzbucaqlıdır). O deməkdir ki, . Buna görə də nöqtələr bucağın bissektrisasına nisbətən simmetrikdir.

Buradan belə nəticə çıxır ki, ikitərəfli üçbucaq da bazaya çəkilmiş bissektrisa (yüksəklik, median) ilə bağlı ox simmetriyasına malikdir.

Misal 2

Bərabərtərəfli üçbucağın üç simmetriya oxu var (üç bucağın hər birinin bissektrisaları/medianları/yüksəklikləri (bax. Şəkil 3).

düyü. 3

Misal 3

Düzbucaqlıda iki simmetriya oxu var, onların hər biri onun iki əks tərəfinin orta nöqtələrindən keçir (bax şək. 4).

düyü. 4

Misal 4

Rombun da iki simmetriya oxu var: onun diaqonallarını ehtiva edən düz xətlər (bax. Şəkil 5).

düyü. 5

Misal 5

Həm romb, həm də düzbucaqlı olan kvadrat 4 simmetriya oxuna malikdir (bax şək. 6).

düyü. 6

Misal 6

Bir dairə üçün simmetriya oxu onun mərkəzindən keçən hər hansı bir düz xəttdir (yəni dairənin diametrini ehtiva edir). Buna görə də çevrə sonsuz sayda simmetriya oxlarına malikdir (bax şək. 7).

düyü. 7

İndi konsepsiyaya nəzər salaq mərkəzi simmetriya.

Tərif

Nöqtələr deyilir simmetrik nöqtəsinə nisbətən əgər: - seqmentin ortası .

Bir neçə nümunəyə baxaq: Şek. 8 nöqtəsinə görə simmetrik olan və , eləcə də və nöqtələrini və bu nöqtəyə görə simmetrik olmayan nöqtələri göstərir.

düyü. 8

Bəzi fiqurlar müəyyən bir nöqtəyə görə simmetrikdir. Gəlin ciddi bir tərif tərtib edək.

Tərif

Fiqur deyilir nöqtəyə görə simmetrikdir, əgər fiqurun hər hansı nöqtəsi üçün ona simmetrik olan nöqtə də bu fiqura aiddirsə. Nöqtə deyilir simmetriya mərkəzi, və rəqəm var mərkəzi simmetriya.

Mərkəzi simmetriyaya malik fiqurların nümunələrinə baxaq.

Misal 7

Bir dairə üçün simmetriyanın mərkəzi çevrənin mərkəzidir (bunu çevrənin diametri və radiusunun xassələrini xatırlamaqla sübut etmək asandır) (bax. Şəkil 9).

düyü. 9

Misal 8

Paraleloqram üçün simmetriyanın mərkəzi diaqonalların kəsişmə nöqtəsidir (bax. Şəkil 10).

düyü. 10

Eksenel və mərkəzi simmetriya ilə bağlı bir neçə məsələni həll edək.

Tapşırıq 1.

Seqmentin neçə simmetriya oxu var?

Seqmentin iki simmetriya oxu var. Bunlardan birincisi seqmenti ehtiva edən xəttdir (çünki xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir). İkincisi, seqmentə perpendikulyar bisektor, yəni seqmentə perpendikulyar olan və onun ortasından keçən düz xəttdir.

Cavab: 2 simmetriya oxu.

Tapşırıq 2.

Düz xəttin neçə simmetriya oxu var?

Düz xəttin sonsuz sayda simmetriya oxları var. Onlardan biri düz xəttin özüdür (çünki düz xəttin istənilən nöqtəsi bu düz xəttə nisbətən özünə simmetrikdir). Həm də simmetriya oxları verilmiş xəttə perpendikulyar olan istənilən xətlərdir.

Cavab: sonsuz sayda simmetriya oxları var.

Tapşırıq 3.

Şüanın neçə simmetriya oxu var?

Şüa bir simmetriya oxuna malikdir, o, şüanı ehtiva edən düz xəttlə üst-üstə düşür (çünki düz xəttin istənilən nöqtəsi bu düz xəttə nisbətən özünə simmetrikdir).

Cavab: bir simmetriya oxu.

Tapşırıq 4.

Rombun diaqonallarını ehtiva edən xətlərin onun simmetriya oxları olduğunu sübut edin.

Sübut:

Bir romb düşünün. Məsələn, düz xəttin onun simmetriya oxu olduğunu sübut edək. Aydındır ki, nöqtələr bu xətt üzərində yerləşdiyi üçün özlərinə simmetrikdirlər. Bundan əlavə, və nöqtələri bu xəttə nisbətən simmetrikdir, çünki . İndi ixtiyari bir nöqtə seçək və ona nisbətən simmetrik nöqtənin də romba aid olduğunu sübut edək (bax. şək. 11).

düyü. 11

Nöqtədən keçən xəttə perpendikulyar çəkin və ilə kəsişənə qədər uzatın. Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Bu üçbucaqlar düzbucaqlıdır (konstruksiyasına görə), əlavə olaraq, bunlar var: - ümumi ayaq və (çünki rombun diaqonalları onun bissektrisalarıdır). Beləliklə, bu üçbucaqlar bərabərdir: . Bu o deməkdir ki, onların bütün uyğun elementləri bərabərdir, buna görə də: . Bu seqmentlərin bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, və nöqtələri düz xəttə nisbətən simmetrikdir. Bu o deməkdir ki, o, rombun simmetriya oxudur. Bu faktı ikinci diaqonal üçün də eyni şəkildə sübut etmək olar.

Sübut edilmişdir.

Tapşırıq 5.

Sübut edin ki, paraleloqramın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi onun simmetriya mərkəzidir.

Sübut:

Paraleloqramı nəzərdən keçirək. Nöqtənin onun simmetriya mərkəzi olduğunu sübut edək. Aydındır ki, paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsi ilə yarıya bölündüyü üçün və , və nöqtələri nöqtəsinə görə qoşa simmetrikdir. İndi ixtiyari bir nöqtə seçək və ona nisbətən simmetrik nöqtənin də paraleloqrama aid olduğunu sübut edək (bax. şək. 12).