Menyu
Pulsuz
Qeydiyyat
Ev  /  Vitaminlər/ Arifmetik irəliləyiş düsturunun ilk n ədədi üçün düstur. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur

Arifmetik irəliləyiş düsturunun ilk n ədədi üçün düstur. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur

Giriş səviyyəsi

Arifmetik irəliləyiş. Nümunələrlə ətraflı nəzəriyyə (2019)

Nömrə ardıcıllığı

Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onların sayı istədiyiniz qədər ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar var). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu nömrə ardıcıllığına bir nümunədir:

Nömrə ardıcıllığı
Məsələn, ardıcıllığımız üçün:

Təyin edilmiş nömrə ardıcıllıqla yalnız bir nömrəyə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqda üç saniyəlik rəqəm yoxdur. İkinci nömrə (ci nömrə kimi) həmişə eynidir.
Nömrəsi olan ədədə ardıcıllığın üçüncü üzvü deyilir.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .

Bizim vəziyyətimizdə:

Tutaq ki, bizdə var nömrə ardıcıllığı, burada bitişik ədədlər arasındakı fərq eyni və bərabərdir.
Məsələn:

və s.
Bu ədəd ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir.
“Tərəqqi” termini hələ 6-cı əsrdə Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir və daha geniş mənada sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi başa düşülürdü. "Arifmetika" adı qədim yunanlar tərəfindən öyrənilən davamlı nisbətlər nəzəriyyəsindən köçürüldü.

Bu, hər bir üzvü eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki birinə bərabər olan bir sıra ardıcıllığıdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və təyin olunur.

Hansı ədəd ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu və hansının olmadığını müəyyən etməyə çalışın:

a)
b)
c)
d)

Anladım? Cavablarımızı müqayisə edək:
edir arifmetik irəliləyiş - b, c.
deyil arifmetik irəliləyiş - a, d.

Verilmiş irəliləyişə () qayıdaq və onun ci üzvünün qiymətini tapmağa çalışaq. Mövcuddur iki tapmaq yolu.

1. Metod

Biz irəliləyişin 3-cü müddətinə çatana qədər irəliləyiş nömrəsini əvvəlki dəyərə əlavə edə bilərik. Yaxşı ki, ümumiləşdirəcək çox şeyimiz yoxdur - yalnız üç dəyər:

Deməli, təsvir olunan arifmetik irəliləyişin ci həddi bərabərdir.

2. Metod

Əgər irəliləyişin ci həddinin qiymətini tapmaq lazım gəlsə nə etməli? Toplama bizə bir saatdan çox vaxt aparacaq və rəqəmlər əlavə edərkən səhv etməyəcəyimiz fakt deyil.
Təbii ki, riyaziyyatçılar elə bir üsul tapıblar ki, arifmetik irəliləyişin fərqini əvvəlki qiymətə əlavə etmək lazım deyil. Çəkilmiş şəklə daha yaxından baxın... Şübhəsiz ki, siz artıq müəyyən bir naxış görmüsünüz, yəni:

Məsələn, görək bu arifmetik irəliləyişin üçüncü həddi nədən ibarətdir:


Başqa sözlə:

Verilmiş arifmetik irəliləyişin üzvünün qiymətini özünüz tapmağa çalışın.

Siz hesabladınız? Qeydlərinizi cavabla müqayisə edin:

Nəzərə alın ki, arifmetik irəliləyişin şərtlərini ardıcıl olaraq əvvəlki dəyərə əlavə etdikdə əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni ədədi aldınız.
Gəlin "depersonalizasiyaya" çalışaq bu formula- onu gətirək ümumi görünüş və alırıq:

Arifmetik irəliləyiş tənliyi.

Arifmetik irəliləyişlər artan və ya azalan ola bilər.

Artan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən böyük olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:

Azalan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən az olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:

Alınmış düstur arifmetik irəliləyişin həm artan, həm də azalan şərtlərində terminlərin hesablanmasında istifadə olunur.
Bunu praktikada yoxlayaq.
Bizə aşağıdakı ədədlərdən ibarət arifmetik irəliləyiş verilir: Gəlin onu hesablamaq üçün düsturumuzdan istifadə etsək, bu arifmetik irəliləyişin ci nömrəsinin neçə olacağını yoxlayaq:


O vaxtdan bəri:

Beləliklə, biz əmin olduq ki, düstur həm azalan, həm də artan arifmetik irəliləyişdə işləyir.
Bu arifmetik irəliləyişin ci və ci şərtlərini özünüz tapmağa çalışın.

Nəticələri müqayisə edək:

Arifmetik irəliləyiş xassəsi

Məsələni mürəkkəbləşdirək - arifmetik irəliləmənin xassəsini çıxaracağıq.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı şərt verilib:
- arifmetik irəliləyiş, qiyməti tapın.
Asan, deyirsiniz və artıq bildiyiniz düsturla saymağa başlayırsınız:

Qoy, o zaman:

Tamamilə doğrudur. Belə çıxır ki, biz əvvəlcə tapırıq, sonra onu birinci nömrəyə əlavə edirik və axtardığımızı əldə edirik. Əgər irəliləyiş kiçik qiymətlərlə təmsil olunursa, onda bunda mürəkkəb bir şey yoxdur, bəs şərtdə bizə ədədlər verilsə, necə? Razılaşın, hesablamalarda səhv etmək ehtimalı var.
İndi düşünün, hər hansı bir düsturdan istifadə etməklə bu problemi bir addımda həll etmək mümkündürmü? Əlbəttə ki, bəli və indi ortaya çıxarmağa çalışacağımız budur.

Arifmetik irəliləyişin tələb olunan müddətini belə işarə edək ki, onu tapmaq üçün düstur bizə məlumdur - bu, əvvəldən əldə etdiyimiz düsturdur:
, Sonra:

  • irəliləyişin əvvəlki müddəti:
  • irəliləyişin növbəti müddəti:

Proqresiyanın əvvəlki və sonrakı şərtlərini ümumiləşdirək:

Belə çıxır ki, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı hədlərinin cəmi onların arasında yerləşən irəliləyiş termininin ikiqat qiymətidir. Başqa sözlə desək, əvvəlki və ardıcıl qiymətləri məlum olan irəliləyiş termininin qiymətini tapmaq üçün onları əlavə edib bölmək lazımdır.

Düzdü, eyni nömrəni aldıq. Materialı qoruyaq. Tərəqqinin dəyərini özünüz hesablayın, bu heç də çətin deyil.

Əla! Siz inkişaf haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirsiniz! Əfsanəyə görə, bütün dövrlərin ən böyük riyaziyyatçılarından biri, "riyaziyyatçıların kralı" Karl Qauss tərəfindən asanlıqla çıxarılan yalnız bir düstur tapmaq qalır...

Karl Qauss 9 yaşında olanda başqa siniflərdə şagirdlərin işini yoxlamaqla məşğul olan müəllim sinifdə aşağıdakı problemi soruşdu: “Bütün siniflərin cəmini hesablayın. natural ədədlər-dən (digər mənbələrə görə) daxil olmaqla.” Tələbələrindən biri (bu, Karl Qauss idi) bir dəqiqə sonra tapşırığa düzgün cavab verəndə, cəsarətli sinif yoldaşlarının çoxu uzun hesablamalardan sonra səhv nəticə alanda müəllimin təəccübünü təsəvvür edin...

Gənc Carl Gauss sizin də asanlıqla fərq edə biləcəyiniz müəyyən bir nümunə gördü.
Tutaq ki, --ci həddlərdən ibarət arifmetik irəliləyişimiz var: Arifmetik irəliləyişin bu üzvlərinin cəmini tapmaq lazımdır. Əlbəttə ki, biz bütün dəyərləri əl ilə cəmləyə bilərik, lakin əgər tapşırıq Qaussun axtardığı kimi onun şərtlərinin cəmini tapmağı tələb edirsə, onda necə?

Bizə verilən irəliləyişi təsvir edək. Vurğulanmış rəqəmlərə diqqətlə baxın və onlarla müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmağa çalışın.


Siz cəhd etmisiniz? Nə fərq etdiniz? Doğru! Onların məbləğləri bərabərdir


İndi mənə deyin, bizə verilən irəliləyişdə cəmi neçə belə cüt var? Əlbəttə ki, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni.
Arifmetik irəliləyişin iki üzvünün cəminin bərabər və oxşar cütlərin bərabər olmasına əsaslanaraq, ümumi cəmin bərabər olduğunu alırıq:
.
Beləliklə, hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün düstur belə olacaq:

Bəzi məsələlərdə biz ci termini bilmirik, lakin irəliləyişin fərqini bilirik. Cəm düsturunda ci həddin düsturunu əvəz etməyə çalışın.
Nə aldınız?

Əla! İndi isə qayıdaq Karl Qaussa verilən məsələyə: özünüz hesablayın ki, ci-dən başlayan ədədlərin cəmi nəyə bərabərdir və ci-dən başlayan rəqəmlərin cəmi nəyə bərabərdir.

Nə qədər aldınız?
Qauss tapdı ki, şərtlərin cəmi bərabərdir və şərtlərin cəmi. Siz belə qərar verdiniz?

Əslində, arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəminin düsturu hələ III əsrdə qədim yunan alimi Diofant tərəfindən sübut edilmiş və bu müddət ərzində hazırcavab insanlar arifmetik irəliləyişin xüsusiyyətlərindən tam istifadə etmişlər.
Məsələn, Qədim Misiri və o dövrün ən böyük tikinti layihəsini - piramidanın tikintisini təsəvvür edin... Şəkildə onun bir tərəfi göstərilir.

Burada irəliləyiş haradadır, deyirsiniz? Diqqətlə baxın və piramida divarının hər cərgəsindəki qum bloklarının sayında bir nümunə tapın.


Niyə arifmetik irəliləyiş olmasın? Blok kərpiclər bazaya qoyularsa, bir divar qurmaq üçün neçə blok lazım olduğunu hesablayın. Ümid edirəm ki, barmağınızı monitorda hərəkət etdirərkən saymazsınız, son düsturu və arifmetik irəliləyiş haqqında dediyimiz hər şeyi xatırlayırsınız?

Bu vəziyyətdə irəliləyiş belə görünür aşağıdakı kimi: .
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin sayı.
Məlumatlarımızı sonuncu düsturlara əvəz edək (blokların sayını 2 yolla hesablayın).

Metod 1.

Metod 2.

İndi monitorda hesablaya bilərsiniz: əldə edilmiş dəyərləri piramidamızda olan blokların sayı ilə müqayisə edin. Anladım? Əla, siz arifmetik irəliləyişin n-ci hədlərinin cəmini mənimsədiniz.
Əlbəttə ki, təməldəki bloklardan bir piramida qura bilməzsiniz, amma nədən? Bu şərtlə divar qurmaq üçün nə qədər qum kərpicinin lazım olduğunu hesablamağa çalışın.
idarə etdin?
Düzgün cavab bloklardır:

Təlim

Tapşırıqlar:

  1. Maşa yay üçün forma alır. Hər gün çömbəlmə sayını artırır. Maşa ilk məşqdə squats etsə, həftədə neçə dəfə çömbələcək?
  2. İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi nədir.
  3. Günlükləri saxlayarkən, loggerlər onları elə yığırlar ki, hər üst təbəqə əvvəlkindən bir log az olsun. Əgər hörgü təməli loglardırsa, bir hörgüdə neçə log var?

Cavablar:

  1. Arifmetik irəliləyişin parametrlərini təyin edək. Bu halda
    (həftələr = günlər).

    Cavab:İki həftə ərzində Maşa gündə bir dəfə squats etməlidir.

  2. İlk tək nömrə, son nömrə.
    Arifmetik irəliləyiş fərqi.
    Tək ədədlərin sayı yarıya bərabərdir, lakin arifmetik irəliləyişin ci həddini tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu faktı yoxlayaq:

    Rəqəmlər tək ədədləri ehtiva edir.
    Mövcud məlumatları düsturla əvəz edək:

    Cavab:İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi bərabərdir.

  3. Piramidalarla bağlı problemi xatırlayaq. Bizim vəziyyətimiz üçün a , hər üst təbəqə bir log ilə azaldığından, cəmi bir dəstə təbəqə var, yəni.
    Verilənləri düsturla əvəz edək:

    Cavab: Hörgüdə loglar var.

Gəlin ümumiləşdirək

  1. - qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədəd ardıcıllığı. Artan və ya azalan ola bilər.
  2. Düsturun tapılması Arifmetik proqresiyanın ci hədi - düsturu ilə yazılır, burada proqressiyadakı ədədlərin sayıdır.
  3. Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi- - irəliləyişdə olan ədədlərin sayı haradadır.
  4. Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi iki yolla tapıla bilər:

    , qiymətlərin sayı haradadır.

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ORTA SƏVİYYƏ

Nömrə ardıcıllığı

Gəlin oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:

İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər. Amma biz həmişə deyə bilərik ki, hansı birincidir, hansı ikincidir və s., yəni biz onları nömrələyə bilərik. Bu ədəd ardıcıllığına bir nümunədir.

Nömrə ardıcıllığı hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.

Başqa sözlə, hər bir nömrə müəyyən bir natural ədədlə və unikal bir nömrə ilə əlaqələndirilə bilər. Və biz bu nömrəni bu dəstdən heç bir başqa nömrəyə təyin etməyəcəyik.

Nömrəsi olan ədəd ardıcıllığın ci üzvü adlanır.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .

Ardıcıllığın üçüncü müddəti hansısa düsturla təyin oluna bilsə, çox rahatdır. Məsələn, formula

ardıcıllığı təyin edir:

Və formula aşağıdakı ardıcıllıqdır:

Məsələn, arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqdır (burada birinci həd bərabərdir, fərq isə belədir). Və ya (, fərq).

n-ci dövr düsturu

Düsturu təkrarlayan adlandırırıq ki, burada ikinci termini tapmaq üçün əvvəlki və ya bir neçə əvvəlkiləri bilmək lazımdır:

Məsələn, bu düsturdan istifadə edərək irəliləyişin ci dövrünü tapmaq üçün əvvəlki doqquzu hesablamalıyıq. Məsələn, qoy. Sonra:

Yaxşı, indi aydın oldumu ki, formula nədir?

Hər bir sətirdə hansısa ədədə vurularaq əlavə edirik. Hansı biri? Çox sadə: bu, cari üzvün sayı minusdur:

İndi daha rahatdır, elə deyilmi? Yoxlayırıq:

Özünüz üçün qərar verin:

Arifmetik irəliləyişdə n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi tapın.

Həlli:

Birinci termin bərabərdir. Fərq nədir? Budur:

(Buna görə də irəliləyişin ardıcıl hədlərinin fərqinə bərabər olduğu üçün fərq adlanır).

Beləliklə, formula:

Onda yüzüncü hədd bərabərdir:

Bütün natural ədədlərin cəmi neçəyə bərabərdir?

Rəvayətə görə, böyük riyaziyyatçı Karl Qauss 9 yaşlı uşaq ikən bu məbləği bir neçə dəqiqəyə hesablayıb. Diqqət etdi ki, birinci və sonuncu ədədlərin cəmi bərabərdir, ikinci və sondan əvvəlkilərin cəmi eynidir, sondan üçüncü və üçüncü rəqəmlərin cəmi eynidir və s. Cəmi neçə belə cüt var? Düzdür, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni. Belə ki,

Hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün ümumi düstur belə olacaq:

Misal:
Hamının cəmini tapın ikirəqəmli ədədlər, qatlar.

Həlli:

İlk belə rəqəm budur. Hər bir sonrakı nömrə əvvəlki nömrəyə əlavə edilməklə əldə edilir. Beləliklə, bizi maraqlandıran ədədlər birinci hədd və fərqlə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Bu irəliləyiş üçün 3-cü terminin düsturu:

Əgər onların hamısı ikirəqəmli olmalıdırsa, irəliləyişdə neçə termin var?

Çox asan: .

Proqresiyanın son müddəti bərabər olacaq. Sonra cəmi:

Cavab: .

İndi özünüz qərar verin:

  1. İdmançı hər gün əvvəlki gündən daha çox metr qaçır. Birinci gündə km m qaçsa, həftədə cəmi neçə kilometr qaçar?
  2. Velosipedçi hər gün əvvəlki günə nisbətən daha çox kilometr qət edir. İlk gün o, km qət etdi. Bir kilometri qət etmək üçün neçə gün getməlidir? Səyahətinin son günündə neçə kilometr yol qət edəcək?
  3. Mağazada soyuducunun qiyməti hər il eyni məbləğdə ucuzlaşır. Rublla satışa çıxarılan soyuducunun qiyməti altı il sonra rubla satılıbsa, onun qiymətinin hər il nə qədər azaldığını müəyyənləşdirin.

Cavablar:

  1. Burada ən vacibi arifmetik irəliləyişi tanımaq və onun parametrlərini təyin etməkdir. Bu halda, (həftələr = günlər). Bu irəliləyişin ilk şərtlərinin cəmini təyin etməlisiniz:
    .
    Cavab:
  2. Burada verilir: , tapılmalıdır.
    Aydındır ki, əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni cəmi düsturundan istifadə etməlisiniz:
    .
    Dəyərləri əvəz edin:

    Kök açıq şəkildə uyğun gəlmir, buna görə də cavab budur.
    Gəlin, son gün ərzində qət edilən yolu ci həddin düsturundan istifadə edərək hesablayaq:
    (km).
    Cavab:

  3. Verildi: . Tapın: .
    Daha sadə ola bilməzdi:
    (rub).
    Cavab:

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Bu, qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu bir sıra ardıcıllığıdır.

Arifmetik irəliləyiş artan () və azalan () ola bilər.

Məsələn:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddini tapmaq üçün düstur

düsturu ilə yazılır, burada irəliləyən ədədlərin sayıdır.

Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi

Qonşu şərtləri məlumdursa, bu, bir irəliləyişin müddətini asanlıqla tapmağa imkan verir - irəliləyişdəki nömrələrin sayı haradadır.

Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi

Məbləği tapmaq üçün iki yol var:

Dəyərlərin sayı haradadır.

Dəyərlərin sayı haradadır.

Arifmetik irəliləyişin cəmi.

Arifmetik irəliləyişin cəmi sadə bir şeydir. Həm mənada, həm də formulda. Ancaq bu mövzuda hər cür tapşırıq var. Əsasdan olduqca möhkəmə qədər.

Əvvəlcə məbləğin mənasını və formulunu anlayaq. Və sonra qərar verəcəyik. Öz zövqünüz üçün.) Məbləğin mənası bir moo kimi sadədir. Arifmetik irəliləyişin cəmini tapmaq üçün onun bütün şərtlərini diqqətlə əlavə etmək kifayətdir. Bu şərtlər azdırsa, heç bir düstur olmadan əlavə edə bilərsiniz. Amma çox olsa, ya çoxsa... əlavə etmək bezdiricidir.) Bu zaman düstur köməyə gəlir.

Məbləğin düsturu sadədir:

Düstura hansı hərflərin daxil olduğunu anlayaq. Bu, çox şeyi aydınlaşdıracaq.

S n - arifmetik irəliləyişin cəmi. Əlavə nəticə hamıüzvləri, ilə birinci By sonuncu. Bu vacibdir. Onlar dəqiq əlavə edirlər Hamısıüzvlər ard-arda, atlamadan və ya atlamadan. Və, daha doğrusu, başlayaraq birinci.Üçüncü və səkkizinci hədlərin cəmini və ya beşinci və iyirminci şərtlərin cəmini tapmaq kimi problemlərdə düsturun birbaşa tətbiqi məyus olacaq.)

a 1 - birinci irəliləyişin üzvü. Burada hər şey aydındır, sadədir birinci sıra nömrəsi.

a n- axırıncı irəliləyişin üzvü. Serialın son nömrəsi. Çox tanış bir ad deyil, amma məbləğə tətbiq edildikdə, çox uyğun gəlir. Sonra özünüz görəcəksiniz.

n - sonuncu üzvün sayı. Formulada bu rəqəmin olduğunu başa düşmək vacibdir əlavə edilmiş terminlərin sayı ilə üst-üstə düşür.

Konsepsiyanı müəyyən edək sonuncuüzv a n. Çətin sual: hansı üzv olacaq sonuncu verilirsə sonsuz arifmetik irəliləyiş?)

İnamla cavab vermək üçün arifmetik irəliləyişin elementar mənasını başa düşməli və... tapşırığı diqqətlə oxuyun!)

Arifmetik irəliləyişin cəmini tapmaq tapşırığında həmişə sonuncu termin görünür (birbaşa və ya dolayısı ilə), hansı ki, məhdudlaşdırılmalıdır.Əks halda, son, konkret məbləğ sadəcə mövcud deyil. Həll üçün irəliləyişin verilməsinin əhəmiyyəti yoxdur: sonlu və ya sonsuz. Necə verildiyinin əhəmiyyəti yoxdur: bir sıra nömrələr və ya n-ci hədd üçün düstur.

Ən əsası, düsturun irəliləyişin ilk terminindən nömrə ilə terminə qədər işlədiyini başa düşməkdir n.Əslində, formulun tam adı belə görünür: arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi. Bu ilk üzvlərin sayı, yəni. n, yalnız vəzifə ilə müəyyən edilir. Tapşırıqda bütün bu dəyərli məlumatlar tez-tez şifrələnir, bəli... Amma ağlınıza gəlmir ki, aşağıdakı nümunələrdə biz bu sirləri açırıq.)

Arifmetik proqresiyanın cəminə dair tapşırıqların nümunələri.

Hər şeydən əvvəl, faydalı məlumat:

Arifmetik irəliləyişin cəmini ehtiva edən tapşırıqlarda əsas çətinlik düsturun elementlərinin düzgün müəyyən edilməsindədir.

Tapşırıq müəllifləri məhz bu elementləri hədsiz təxəyyüllə şifrələyirlər.) Burada əsas odur ki, qorxma. Elementlərin mahiyyətini başa düşmək üçün onları sadəcə deşifrə etmək kifayətdir. Bir neçə nümunəyə ətraflı nəzər salaq. Həqiqi GİA-ya əsaslanan bir vəzifə ilə başlayaq.

1. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir: a n = 2n-3,5. Onun ilk 10 üzvünün cəmini tapın.

Yaxşı iş. Asan.) Düsturdan istifadə edərək məbləği müəyyən etmək üçün nəyi bilməliyik? İlk üzv a 1, son dövr a n, bəli, sonuncu üzvün nömrəsi n.

Son üzvün nömrəsini haradan əldə edə bilərəm? n? Bəli, orada, şərtlə! Orada deyilir: cəmini tapın ilk 10 üzv. Yaxşı, hansı nömrə ilə olacaq? sonuncu, onuncu üzv?) İnanmayacaqsınız, onun sayı onuncudur!) Buna görə də əvəzinə a n Formula əvəz edəcəyik a 10, və əvəzinə n- on. Yenə deyirəm, sonuncu üzvün sayı üzvlərin sayı ilə üst-üstə düşür.

Müəyyən etmək qalır a 1 Və a 10. Bu, problemin ifadəsində verilmiş n-ci hədd üçün düsturdan istifadə etməklə asanlıqla hesablanır. Bunu necə edəcəyinizi bilmirsiniz? Əvvəlki dərsdə iştirak edin, onsuz heç bir yol yoxdur.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Arifmetik irəliləyişin cəmi üçün düsturun bütün elementlərinin mənasını tapdıq. Onları əvəz etmək və saymaq qalır:

bu qədər. Cavab: 75.

GIA-ya əsaslanan başqa bir vəzifə. Bir az daha mürəkkəb:

2. Fərqi 3,7 olan arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir; a 1 =2.3. Onun ilk 15 üzvünün cəmini tapın.

Dərhal cəmi düsturunu yazırıq:

Bu düstur istənilən terminin qiymətini onun nömrəsinə görə tapmağa imkan verir. Sadə bir əvəz axtarırıq:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Bütün elementləri arifmetik irəliləyişin cəmi üçün düsturda əvəz etmək və cavabı hesablamaq qalır:

Cavab: 423.

Yeri gəlmişkən, əgər cəmi düsturun yerinə a n Biz sadəcə olaraq düsturu n-ci hədd üçün əvəz edirik və əldə edirik:

Oxşarlarını təqdim edək və arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi üçün yeni düstur alaq:

Gördüyünüz kimi, burada tələb olunmur n-ci dövr a n. Bəzi məsələlərdə bu düstur çox kömək edir, bəli... Bu düsturu xatırlaya bilərsiniz. Və ya sadəcə burada olduğu kimi lazımi vaxtda göstərə bilərsiniz. Axı, siz həmişə cəm üçün düstur və n-ci hədd üçün düstur yadda saxlamalısınız.)

İndi qısa şifrələmə şəklində tapşırıq):

3. Üçə çoxlu olan bütün müsbət ikirəqəmli ədədlərin cəmini tapın.

Vay! Nə ilk üzvünüz, nə sonuncunuz, nə də irəliləməniz... Necə yaşamaq olar!?

Başınızla düşünməli və şərtdən arifmetik irəliləyişin cəminin bütün elementlərini çıxarmalı olacaqsınız. İkirəqəmli ədədlərin nə olduğunu bilirik. Onlar iki ədəddən ibarətdir.) İkirəqəmli ədəd nə olacaq birinci? 10, ehtimal ki.) A sonuncu ikirəqəmli rəqəm? 99, əlbəttə! Üçrəqəmli olanlar onun ardınca gələcək...

Üçə çarpanlar... Hm... Bunlar üçə bölünən ədədlərdir, burada! On üçə bölünmür, 11 bölünmür... 12... bölünür! Beləliklə, bir şey ortaya çıxır. Artıq problemin şərtlərinə uyğun olaraq bir sıra yaza bilərsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu seriya arifmetik irəliləyiş olacaqmı? Əlbəttə! Hər bir termin əvvəlkindən ciddi şəkildə üç ilə fərqlənir. Əgər terminə 2 və ya 4 əlavə etsəniz, deyin ki, nəticə, yəni. yeni ədəd artıq 3-ə bölünmür. Arifmetik irəliləyişin fərqini dərhal müəyyən edə bilərsiniz: d = 3. Faydalı olacaq!)

Beləliklə, bəzi irəliləyiş parametrlərini təhlükəsiz şəkildə yaza bilərik:

Nömrə nə olacaq? n son üzv? 99 hesab edən hər kəs ölümcül yanılır... Rəqəmlər həmişə ard-arda gedir, amma üzvlərimiz üçü tullanır. Onlar uyğun gəlmir.

Burada iki həll yolu var. Bir yol super çalışqanlar üçündür. Siz irəliləməni, bütün nömrələr seriyasını yaza və barmağınızla üzvlərin sayını hesablaya bilərsiniz.) İkinci yol düşüncəli insanlar üçündür. n-ci hədd üçün düsturu yadda saxlamaq lazımdır. Düsturu problemimizə tətbiq etsək, görərik ki, 99 irəliləyişin otuzuncu həddidir. Bunlar. n = 30.

Arifmetik irəliləyişin cəminin düsturuna baxaq:

Baxırıq və sevinirik.) Məbləği hesablamaq üçün lazım olan hər şeyi problem bəyanatından çıxardıq:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Yalnız elementar arifmetika qalır. Rəqəmləri düsturla əvəz edirik və hesablayırıq:

Cavab: 1665

Məşhur tapmacanın başqa bir növü:

4. Arifmetik irəliləyiş verilmişdir:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

İyirmidən otuz dördə qədər olan şərtlərin cəmini tapın.

Məbləğin düsturuna baxırıq və... əsəbləşirik.) Düstur, yadınıza salım, məbləği hesablayır. birincidənüzv. Və problemdə məbləği hesablamaq lazımdır iyirminci ildən... Formula işləməyəcək.

Siz, əlbəttə ki, bütün gedişatı silsilədə yaza və 20-dən 34-ə qədər şərtlər əlavə edə bilərsiniz.

Daha zərif bir həll var. Serialımızı iki hissəyə bölək. Birinci hissə olacaq birinci dövrdən on doqquzuncu dövrə qədər.İkinci hissə - iyirmidən otuz dördə qədər. Aydındır ki, birinci hissənin şərtlərinin cəmini hesablasaq S 1-19, ikinci hissənin şərtlərinin cəmi ilə əlavə edək S 20-34, birinci hissədən otuz dördüncüyə qədər irəliləyişin cəmini alırıq S 1-34. Bu kimi:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Buradan görə bilərik ki, cəmi tapır S 20-34 sadə çıxma ilə edilə bilər

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Sağ tərəfdəki hər iki məbləğ nəzərə alınır birincidənüzvü, yəni. standart cəmi düsturu onlara kifayət qədər uyğundur. Başlayaq?

Problem ifadəsindən irəliləyiş parametrlərini çıxarırıq:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

İlk 19 və ilk 34 şərtin cəmini hesablamaq üçün bizə 19 və 34-cü hədlər lazımdır. Onları 2-ci məsələdə olduğu kimi n-ci müddətli düsturla hesablayırıq:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Heç nə qalmayıb. 34 şərtin cəmindən 19 şərtin cəmini çıxarın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cavab: 262.5

Bir vacib qeyd! Bu problemin həllində çox faydalı bir hiylə var. Birbaşa hesablama əvəzinə sizə nə lazımdır (S 20-34), saydıq lazımsız görünən bir şey - S 1-19. Və sonra qərar verdilər S 20-34, tam nəticədən lazımsızları atmaq. Bu cür “qulaqları ilə oynama” çox vaxt sizi pis problemlərdən xilas edir.)

Bu dərsdə arifmetik irəliləyişin cəminin mənasını başa düşmək üçün kifayət olan məsələlərə baxdıq. Yaxşı, bir neçə düstur bilməlisən.)

Praktik məsləhət:

Arifmetik irəliləyişin cəmi ilə bağlı hər hansı bir problemi həll edərkən, bu mövzudan iki əsas formulun dərhal yazılmasını məsləhət görürəm.

n-ci dövr üçün düstur:

Bu düsturlar dərhal sizə problemi həll etmək üçün nə axtarmaq və hansı istiqamətdə düşünmək lazım olduğunu söyləyəcək. Kömək edir.

İndi müstəqil həll üçün vəzifələr.

5. Üçə bölünməyən bütün ikirəqəmli ədədlərin cəmini tapın.

Cool?) İşarə 4-cü məsələnin qeydində gizlənib. Yaxşı, problem 3 kömək edəcək.

6. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Onun ilk 24 üzvünün cəmini tapın.

Qeyri-adi?) Bu təkrarlanan düsturdur. Bu barədə əvvəlki dərsdə oxuya bilərsiniz. Linkə laqeyd yanaşmayın, Dövlət Elmlər Akademiyasında belə problemlərə tez-tez rast gəlinir.

7. Vasya bayram üçün pul yığdı. 4550 rubla qədər! Və sevdiyim insana (özümə) bir neçə gün xoşbəxtlik bəxş etmək qərarına gəldim). Özünüzdən heç nəyi inkar etmədən gözəl yaşayın. İlk gündə 500 rubl xərcləyin və hər sonrakı gündə əvvəlkindən 50 rubl çox xərcləyin! Pul bitənə qədər. Vasyanın neçə gün xoşbəxtliyi var idi?

Çətin?) 2-ci məsələdən əlavə düstur kömək edəcək.

Cavablar (dağınıq halda): 7, 3240, 6.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Onlayn kalkulyator.
Arifmetik irəliləyişin həlli.
Verilmişdir: a n, d, n
Tapın: a 1

Bu riyazi proqram istifadəçi tərəfindən müəyyən edilmiş \(a_n, d\) və \(n\) ədədlərinə əsaslanan arifmetik irəliləyişin \(a_1\) tapır.
\(a_n\) və \(d\) ədədləri yalnız tam ədədlər kimi deyil, həm də kəsrlər kimi göstərilə bilər. Üstəlik, kəsr ədədi onluq kəsr şəklində (\(2.5\)) və formada daxil edilə bilər. adi fraksiya(\(-5\frac(2)(7)\)).

Proqram təkcə problemin cavabını vermir, həm də həll yolunun tapılması prosesini göstərir.

Bu onlayn kalkulyator orta məktəb tələbələri üçün hazırlaşarkən faydalı ola bilər testlər və imtahanlar, Vahid Dövlət İmtahanından əvvəl bilikləri sınayarkən, valideynlər üçün riyaziyyat və cəbrdə bir çox problemlərin həllinə nəzarət etmək. Yoxsa repetitor işə götürmək və ya yeni dərsliklər almaq sizin üçün çox bahadır? Yoxsa bunu mümkün qədər tez bitirmək istəyirsiniz? ev tapşırığı

riyaziyyatda yoxsa cəbrdə? Bu halda siz də ətraflı həlləri olan proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz. Bu yolla siz öz təliminizi və/yaxud öz təliminizi keçirə bilərsiniz. kiçik qardaşlar

ya da bacılar, həll olunan problemlər sahəsində təhsil səviyyəsi yüksələrkən.

Əgər nömrələrin daxil edilməsi qaydaları ilə tanış deyilsinizsə, onlarla tanış olmağı məsləhət görürük.

Nömrələrin daxil edilməsi qaydaları
\(a_n\) və \(d\) ədədləri yalnız tam ədədlər kimi deyil, həm də kəsrlər kimi göstərilə bilər.

\(n\) ədədi yalnız müsbət tam ədəd ola bilər.
Onluq kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Onluq kəsrlərdə tam və kəsr hissələri nöqtə və ya vergüllə ayrıla bilər.

Məsələn, siz 2.5 və ya 2.5 kimi onluq kəsrləri daxil edə bilərsiniz
Adi kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.

Yalnız tam ədəd kəsrin payı, məxrəci və tam hissəsi kimi çıxış edə bilər.

Məxrəc mənfi ola bilməz. Girərkənədədi fraksiya /
Paylayıcı məxrəcdən bölmə işarəsi ilə ayrılır:
Giriş:

Nəticə: \(-\frac(2)(3)\) Bütün hissə &
Paylayıcı məxrəcdən bölmə işarəsi ilə ayrılır:
kəsrdən ampersandla ayrılır:

Nəticə: \(-1\frac(2)(3)\)


a n, d, n rəqəmlərini daxil edin

1 tapın
Məlum olub ki, bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər.
Sizdə AdBlock aktiv ola bilər.

JavaScript brauzerinizdə deaktiv edilib.
Həllin görünməsi üçün JavaScript-i aktiv etməlisiniz.
Brauzerinizdə JavaScript-i necə aktivləşdirmək barədə təlimatlar buradadır.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, sorğunuz növbəyə alınıb.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Zəhmət olmasa gözləyin san...


Əgər sən həllində səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
unutma hansı tapşırığı göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.



Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

Nömrə ardıcıllığı

Gündəlik təcrübədə müxtəlif obyektlərin nömrələnməsi onların düzülmə ardıcıllığını göstərmək üçün tez-tez istifadə olunur. Məsələn, hər küçədəki evlər nömrələnir. Kitabxanada oxucu abunələri nömrələnir və sonra xüsusi kartotekalarda verilən nömrələr sırasına uyğun düzülür.

Əmanət bankında nömrə ilə şəxsi hesabƏmanətçi bu hesabı asanlıqla tapa və onun üzərində hansı əmanət olduğunu görə bilər. Qoy 1 nömrəli hesabda a1 rubl, 2 nömrəli hesabda a2 rubl əmanət və s. nömrə ardıcıllığı
a 1 , a 2 , a 3 , ..., bir N
burada N bütün hesabların sayıdır. Burada 1-dən N-ə qədər hər bir natural ədəd n a n ədədi ilə əlaqələndirilir.

Həm də riyaziyyat üzrə təhsil alıb sonsuz sayda ardıcıllıqlar:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
a 1 rəqəmi deyilir ardıcıllığın birinci müddəti, sayı 2 - ardıcıllığın ikinci müddəti, sayı 3 - ardıcıllığın üçüncü müddəti və s.
a n rəqəmi deyilir ardıcıllığın n-ci (n-ci) üzvü, və natural ədəd n onundur nömrə.

Məsələn, 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... və 1 = 1 natural ədədlərinin kvadratları ardıcıllığında ardıcıllığın birinci həddi; və n = n 2-dir n-ci dövr ardıcıllıqlar; a n+1 = (n + 1) 2 ardıcıllığın (n + 1)-ci (n üstəgəl birinci) üzvüdür. Çox vaxt ardıcıllıq onun n-ci üzvünün düsturu ilə təyin oluna bilər. Məsələn, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) düsturu \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \ \frac(1)(4) , \nöqtələr,\frac(1)(n) , \nöqtələr \)

Arifmetik irəliləyiş

İlin uzunluğu təxminən 365 gündür. Daha çox dəqiq dəyər\(365\frac(1)(4)\) günə bərabərdir, ona görə də hər dörd ildən bir bir günlük xəta toplanır.

Bu səhvi hesablamaq üçün hər dördüncü ildə bir gün əlavə edilir və uzadılan il sıçrayış ili adlanır.

Məsələn, üçüncü minillikdə sıçrayış illəri 2004, 2008, 2012, 2016, ... illərdir.

Bu ardıcıllıqda ikincidən başlayaraq hər bir üzv əvvəlki birinə bərabərdir, eyni 4 rəqəminə əlavə olunur. Belə ardıcıllıqlar adlanır. arifmetik irəliləyişlər.

Tərif.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... ədəd ardıcıllığı adlanır arifmetik irəliləyiş, əgər bütün təbii n bərabərlik üçün
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
burada d hansısa ədəddir.

Bu düsturdan belə çıxır ki, a n+1 - a n = d. d sayı fərq adlanır arifmetik irəliləyiş.

Arifmetik irəliləyişin tərifinə görə bizdə:
\(a_(n+1)=a_n+d, \dörd a_(n-1)=a_n-d, \)
harada
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), burada \(n>1 \)

Beləliklə, arifmetik proqresiyanın hər bir üzvü, ikincidən başlayaraq, onun iki bitişik həddinin arifmetik ortasına bərabərdir. Bu, "arifmetik" irəliləyiş adını izah edir.

Qeyd edək ki, a 1 və d verilmişdirsə, a n+1 = a n + d təkrarlanan düsturundan istifadə etməklə arifmetik irəliləyişin qalan üzvlərini hesablamaq olar. Bu şəkildə irəliləyişin ilk bir neçə şərtini hesablamaq çətin deyil, lakin məsələn, 100 artıq çoxlu hesablamalar tələb edəcəkdir. Tipik olaraq bunun üçün n-ci müddətli düstur istifadə olunur. Arifmetik irəliləmənin tərifinə görə
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
və s.
Ümumiyyətlə,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
arifmetik irəliləyişin n-ci həddi birinci hədddən (n-1) çarpan d ədədini toplamaqla alındığından.
Bu formula deyilir arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur.

Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəmi

1-dən 100-ə qədər bütün natural ədədlərin cəmini tapın.
Bu məbləği iki şəkildə yazaq:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Bu bərabərlikləri müddətli terminlərə əlavə edək:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu məbləğin 100 şərti var
Buna görə də, 2S = 101 * 100, deməli, S = 101 * 50 = 5050.

İndi ixtiyari arifmetik irəliləyişə baxaq
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
S n bu irəliləyişin ilk n həddinin cəmi olsun:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Sonra arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi bərabərdir
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\) olduğundan, bu düsturda n-i əvəz etdikdə tapmaq üçün başqa bir düstur alırıq. arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Kitablar (dərsliklər) Vahid Dövlət İmtahanı və Vahid Dövlət İmtahanı testlərinin xülasələri Onlayn Oyunlar, bulmacalar Funksiyaların qrafiklərinin tərtibi Rus dilinin orfoqrafiya lüğəti Rus dilinin gənclər jarqon lüğəti Rus məktəblərinin kataloqu Rusiyanın orta təhsil müəssisələrinin kataloqu Rusiya universitetlərinin kataloqu Siyahı tapşırıqların

Ədəd ardıcıllığı anlayışı hər bir natural ədədin hansısa real qiymətə uyğun olduğunu nəzərdə tutur. Belə bir sıra nömrələr ya ixtiyari ola bilər, ya da müəyyən xüsusiyyətlərə malik ola bilər - irəliləyiş. Sonuncu halda, ardıcıllığın hər bir sonrakı elementi (üzvü) əvvəlkindən istifadə etməklə hesablana bilər.

Arifmetik irəliləyiş - ardıcıllıq ədədi dəyərlər, bunda onun qonşu üzvləri bir-birindən fərqlənir eyni nömrə(2-cidən başlayaraq seriyanın bütün elementləri oxşar xüsusiyyətə malikdir). Bu ədəd - əvvəlki və sonrakı şərtlər arasındakı fərq - sabitdir və irəliləmə fərqi adlanır.

Tərəqqi fərqi: tərif

j qiymətlərindən ibarət ardıcıllığı nəzərdən keçirək A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j N natural ədədlər çoxluğuna aiddir. Arifmetik Proqressiya, tərifinə görə, a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – ardıcıllığıdır. a(j-1) = d. D dəyəri bu irəliləyişin istənilən fərqidir.

d = a(j) – a(j-1).

Vurğulayın:

  • Artan irəliləyiş, bu halda d > 0. Misal: 4, 8, 12, 16, 20, ...
  • İrəliləyişin azalması, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Fərqin irəliləməsi və onun ixtiyari elementləri

Proqresiyanın 2 ixtiyari şərti məlumdursa (i-ci, k-ci), onda verilmiş ardıcıllıq üçün fərq əlaqə əsasında müəyyən edilə bilər:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, d = (a(i) – a(k))/(i-k) deməkdir.

Proqresiyanın fərqi və onun birinci müddəti

Bu ifadə yalnız ardıcıllıq elementinin sayının məlum olduğu hallarda naməlum dəyəri təyin etməyə kömək edəcəkdir.

Tərəqqi fərqi və onun cəmi

Proqresiyanın cəmi onun şərtlərinin cəmidir. Onun ilk j elementlərinin ümumi dəyərini hesablamaq üçün müvafiq düsturdan istifadə edin:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lakin o vaxtdan a(j) = a(1) + d(j – 1), onda S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Giriş səviyyəsi

Arifmetik irəliləyiş. Nümunələrlə ətraflı nəzəriyyə (2019)

Nömrə ardıcıllığı

Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onların sayı istədiyiniz qədər ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar var). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu nömrə ardıcıllığına bir nümunədir:

Nömrə ardıcıllığı
Məsələn, ardıcıllığımız üçün:

Təyin edilmiş nömrə ardıcıllıqla yalnız bir nömrəyə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqda üç saniyəlik rəqəm yoxdur. İkinci nömrə (ci nömrə kimi) həmişə eynidir.
Nömrəsi olan ədədə ardıcıllığın üçüncü üzvü deyilir.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .

Bizim vəziyyətimizdə:

Tutaq ki, qonşu ədədlər arasındakı fərq eyni və bərabər olan bir sıra ardıcıllığımız var.
Məsələn:

və s.
Bu ədəd ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir.
“Tərəqqi” termini hələ 6-cı əsrdə Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir və daha geniş mənada sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi başa düşülürdü. "Arifmetika" adı qədim yunanlar tərəfindən öyrənilən davamlı nisbətlər nəzəriyyəsindən köçürüldü.

Bu, hər bir üzvü eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki birinə bərabər olan bir sıra ardıcıllığıdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və təyin olunur.

Hansı ədəd ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu və hansının olmadığını müəyyən etməyə çalışın:

a)
b)
c)
d)

Anladım? Cavablarımızı müqayisə edək:
edir arifmetik irəliləyiş - b, c.
deyil arifmetik irəliləyiş - a, d.

Verilmiş irəliləyişə () qayıdaq və onun ci üzvünün qiymətini tapmağa çalışaq. Mövcuddur iki tapmaq yolu.

1. Metod

Biz irəliləyişin 3-cü müddətinə çatana qədər irəliləyiş nömrəsini əvvəlki dəyərə əlavə edə bilərik. Yaxşı ki, ümumiləşdirəcək çox şeyimiz yoxdur - yalnız üç dəyər:

Deməli, təsvir olunan arifmetik irəliləyişin ci həddi bərabərdir.

2. Metod

Əgər irəliləyişin ci həddinin qiymətini tapmaq lazım gəlsə nə etməli? Toplama bizə bir saatdan çox vaxt aparacaq və rəqəmlər əlavə edərkən səhv etməyəcəyimiz fakt deyil.
Təbii ki, riyaziyyatçılar elə bir üsul tapıblar ki, arifmetik irəliləyişin fərqini əvvəlki qiymətə əlavə etmək lazım deyil. Çəkilmiş şəklə daha yaxından baxın... Şübhəsiz ki, siz artıq müəyyən bir naxış görmüsünüz, yəni:

Məsələn, görək bu arifmetik irəliləyişin üçüncü həddi nədən ibarətdir:


Başqa sözlə:

Verilmiş arifmetik irəliləyişin üzvünün qiymətini özünüz tapmağa çalışın.

Siz hesabladınız? Qeydlərinizi cavabla müqayisə edin:

Nəzərə alın ki, arifmetik irəliləyişin şərtlərini ardıcıl olaraq əvvəlki dəyərə əlavə etdikdə əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni ədədi aldınız.
Gəlin bu düsturu “şəxsiləşdirməyə” çalışaq - gəlin onu ümumi formada qoyaq və əldə edək:

Arifmetik irəliləyiş tənliyi.

Arifmetik irəliləyişlər artan və ya azalan ola bilər.

Artan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən böyük olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:

Azalan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən az olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:

Alınmış düstur arifmetik irəliləyişin həm artan, həm də azalan şərtlərində terminlərin hesablanmasında istifadə olunur.
Bunu praktikada yoxlayaq.
Bizə aşağıdakı ədədlərdən ibarət arifmetik irəliləyiş verilir: Gəlin onu hesablamaq üçün düsturumuzdan istifadə etsək, bu arifmetik irəliləyişin ci nömrəsinin neçə olacağını yoxlayaq:


O vaxtdan bəri:

Beləliklə, biz əmin olduq ki, düstur həm azalan, həm də artan arifmetik irəliləyişdə işləyir.
Bu arifmetik irəliləyişin ci və ci şərtlərini özünüz tapmağa çalışın.

Nəticələri müqayisə edək:

Arifmetik irəliləyiş xassəsi

Məsələni mürəkkəbləşdirək - arifmetik irəliləmənin xassəsini çıxaracağıq.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı şərt verilib:
- arifmetik irəliləyiş, qiyməti tapın.
Asan, deyirsiniz və artıq bildiyiniz düsturla saymağa başlayırsınız:

Qoy, o zaman:

Tamamilə doğrudur. Belə çıxır ki, biz əvvəlcə tapırıq, sonra onu birinci nömrəyə əlavə edirik və axtardığımızı əldə edirik. Əgər irəliləyiş kiçik qiymətlərlə təmsil olunursa, onda bunda mürəkkəb bir şey yoxdur, bəs şərtdə bizə ədədlər verilsə, necə? Razılaşın, hesablamalarda səhv etmək ehtimalı var.
İndi düşünün, hər hansı bir düsturdan istifadə etməklə bu problemi bir addımda həll etmək mümkündürmü? Əlbəttə ki, bəli və indi ortaya çıxarmağa çalışacağımız budur.

Arifmetik irəliləyişin tələb olunan müddətini belə işarə edək ki, onu tapmaq üçün düstur bizə məlumdur - bu, əvvəldən əldə etdiyimiz düsturdur:
, Sonra:

  • irəliləyişin əvvəlki müddəti:
  • irəliləyişin növbəti müddəti:

Proqresiyanın əvvəlki və sonrakı şərtlərini ümumiləşdirək:

Belə çıxır ki, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı hədlərinin cəmi onların arasında yerləşən irəliləyiş termininin ikiqat qiymətidir. Başqa sözlə desək, əvvəlki və ardıcıl qiymətləri məlum olan irəliləyiş termininin qiymətini tapmaq üçün onları əlavə edib bölmək lazımdır.

Düzdü, eyni nömrəni aldıq. Materialı qoruyaq. Tərəqqinin dəyərini özünüz hesablayın, bu heç də çətin deyil.

Əla! Siz inkişaf haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirsiniz! Əfsanəyə görə, bütün dövrlərin ən böyük riyaziyyatçılarından biri, "riyaziyyatçıların kralı" Karl Qauss tərəfindən asanlıqla çıxarılan yalnız bir düstur tapmaq qalır...

Carl Gauss 9 yaşında olanda, digər siniflərdə şagirdlərin işini yoxlamaqla məşğul olan müəllim sinifdə aşağıdakı tapşırığı verdi: "Bütün natural ədədlərin cəmini (digər mənbələrə görə) daxil olmaqla hesablayın." Tələbələrindən biri (bu, Karl Qauss idi) bir dəqiqə sonra tapşırığa düzgün cavab verəndə, cəsarətli sinif yoldaşlarının çoxu uzun hesablamalardan sonra səhv nəticə alanda müəllimin təəccübünü təsəvvür edin...

Gənc Carl Gauss sizin də asanlıqla fərq edə biləcəyiniz müəyyən bir nümunə gördü.
Tutaq ki, --ci həddlərdən ibarət arifmetik irəliləyişimiz var: Arifmetik irəliləyişin bu üzvlərinin cəmini tapmaq lazımdır. Əlbəttə ki, biz bütün dəyərləri əl ilə cəmləyə bilərik, lakin əgər tapşırıq Qaussun axtardığı kimi onun şərtlərinin cəmini tapmağı tələb edirsə, onda necə?

Bizə verilən irəliləyişi təsvir edək. Vurğulanmış rəqəmlərə diqqətlə baxın və onlarla müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmağa çalışın.


Siz cəhd etmisiniz? Nə fərq etdiniz? Doğru! Onların məbləğləri bərabərdir


İndi mənə deyin, bizə verilən irəliləyişdə cəmi neçə belə cüt var? Əlbəttə ki, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni.
Arifmetik irəliləyişin iki üzvünün cəminin bərabər və oxşar cütlərin bərabər olmasına əsaslanaraq, ümumi cəmin bərabər olduğunu alırıq:
.
Beləliklə, hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün düstur belə olacaq:

Bəzi məsələlərdə biz ci termini bilmirik, lakin irəliləyişin fərqini bilirik. Cəm düsturunda ci həddin düsturunu əvəz etməyə çalışın.
Nə aldınız?

Əla! İndi isə qayıdaq Karl Qaussa verilən məsələyə: özünüz hesablayın ki, ci-dən başlayan ədədlərin cəmi nəyə bərabərdir və ci-dən başlayan rəqəmlərin cəmi nəyə bərabərdir.

Nə qədər aldınız?
Qauss tapdı ki, şərtlərin cəmi bərabərdir və şərtlərin cəmi. Siz belə qərar verdiniz?

Əslində, arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəminin düsturu hələ III əsrdə qədim yunan alimi Diofant tərəfindən sübut edilmiş və bu müddət ərzində hazırcavab insanlar arifmetik irəliləyişin xüsusiyyətlərindən tam istifadə etmişlər.
Məsələn, Qədim Misiri və o dövrün ən böyük tikinti layihəsini - piramidanın tikintisini təsəvvür edin... Şəkildə onun bir tərəfi göstərilir.

Burada irəliləyiş haradadır, deyirsiniz? Diqqətlə baxın və piramida divarının hər cərgəsindəki qum bloklarının sayında bir nümunə tapın.


Niyə arifmetik irəliləyiş olmasın? Blok kərpiclər bazaya qoyularsa, bir divar qurmaq üçün neçə blok lazım olduğunu hesablayın. Ümid edirəm ki, barmağınızı monitorda hərəkət etdirərkən saymazsınız, son düsturu və arifmetik irəliləyiş haqqında dediyimiz hər şeyi xatırlayırsınız?

Bu halda irəliləyiş belə görünür: .
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin sayı.
Məlumatlarımızı sonuncu düsturlara əvəz edək (blokların sayını 2 yolla hesablayın).

Metod 1.

Metod 2.

İndi monitorda hesablaya bilərsiniz: əldə edilmiş dəyərləri piramidamızda olan blokların sayı ilə müqayisə edin. Anladım? Əla, siz arifmetik irəliləyişin n-ci hədlərinin cəmini mənimsədiniz.
Əlbəttə ki, təməldəki bloklardan bir piramida qura bilməzsiniz, amma nədən? Bu şərtlə divar qurmaq üçün nə qədər qum kərpicinin lazım olduğunu hesablamağa çalışın.
idarə etdin?
Düzgün cavab bloklardır:

Təlim

Tapşırıqlar:

  1. Maşa yay üçün forma alır. Hər gün çömbəlmə sayını artırır. Maşa ilk məşqdə squats etsə, həftədə neçə dəfə çömbələcək?
  2. İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi nədir.
  3. Günlükləri saxlayarkən, loggerlər onları elə yığırlar ki, hər üst təbəqə əvvəlkindən bir log az olsun. Əgər hörgü təməli loglardırsa, bir hörgüdə neçə log var?

Cavablar:

  1. Arifmetik irəliləyişin parametrlərini təyin edək. Bu halda
    (həftələr = günlər).

    Cavab:İki həftə ərzində Maşa gündə bir dəfə squats etməlidir.

  2. İlk tək nömrə, son nömrə.
    Arifmetik irəliləyiş fərqi.
    Tək ədədlərin sayı yarıya bərabərdir, lakin arifmetik irəliləyişin ci həddini tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu faktı yoxlayaq:

    Rəqəmlər tək ədədləri ehtiva edir.
    Mövcud məlumatları düsturla əvəz edək:

    Cavab:İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi bərabərdir.

  3. Piramidalarla bağlı problemi xatırlayaq. Bizim vəziyyətimiz üçün a , hər üst təbəqə bir log ilə azaldığından, cəmi bir dəstə təbəqə var, yəni.
    Verilənləri düsturla əvəz edək:

    Cavab: Hörgüdə loglar var.

Gəlin ümumiləşdirək

  1. - qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədəd ardıcıllığı. Artan və ya azalan ola bilər.
  2. Düsturun tapılması Arifmetik proqresiyanın ci hədi - düsturu ilə yazılır, burada proqressiyadakı ədədlərin sayıdır.
  3. Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi- - irəliləyişdə olan ədədlərin sayı haradadır.
  4. Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi iki yolla tapıla bilər:

    , qiymətlərin sayı haradadır.

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ORTA SƏVİYYƏ

Nömrə ardıcıllığı

Gəlin oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:

İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər. Amma biz həmişə deyə bilərik ki, hansı birincidir, hansı ikincidir və s., yəni biz onları nömrələyə bilərik. Bu ədəd ardıcıllığına bir nümunədir.

Nömrə ardıcıllığı hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.

Başqa sözlə, hər bir nömrə müəyyən bir natural ədədlə və unikal bir nömrə ilə əlaqələndirilə bilər. Və biz bu nömrəni bu dəstdən heç bir başqa nömrəyə təyin etməyəcəyik.

Nömrəsi olan ədəd ardıcıllığın ci üzvü adlanır.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .

Ardıcıllığın üçüncü müddəti hansısa düsturla təyin oluna bilsə, çox rahatdır. Məsələn, formula

ardıcıllığı təyin edir:

Və formula aşağıdakı ardıcıllıqdır:

Məsələn, arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqdır (burada birinci həd bərabərdir, fərq isə belədir). Və ya (, fərq).

n-ci dövr düsturu

Düsturu təkrarlayan adlandırırıq ki, burada ikinci termini tapmaq üçün əvvəlki və ya bir neçə əvvəlkiləri bilmək lazımdır:

Məsələn, bu düsturdan istifadə edərək irəliləyişin ci dövrünü tapmaq üçün əvvəlki doqquzu hesablamalıyıq. Məsələn, qoy. Sonra:

Yaxşı, indi aydın oldumu ki, formula nədir?

Hər bir sətirdə hansısa ədədə vurularaq əlavə edirik. Hansı biri? Çox sadə: bu, cari üzvün sayı minusdur:

İndi daha rahatdır, elə deyilmi? Yoxlayırıq:

Özünüz üçün qərar verin:

Arifmetik irəliləyişdə n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi tapın.

Həlli:

Birinci termin bərabərdir. Fərq nədir? Budur:

(Buna görə də irəliləyişin ardıcıl hədlərinin fərqinə bərabər olduğu üçün fərq adlanır).

Beləliklə, formula:

Onda yüzüncü hədd bərabərdir:

Bütün natural ədədlərin cəmi neçəyə bərabərdir?

Rəvayətə görə, böyük riyaziyyatçı Karl Qauss 9 yaşlı uşaq ikən bu məbləği bir neçə dəqiqəyə hesablayıb. Diqqət etdi ki, birinci və sonuncu ədədlərin cəmi bərabərdir, ikinci və sondan əvvəlkilərin cəmi eynidir, sondan üçüncü və üçüncü rəqəmlərin cəmi eynidir və s. Cəmi neçə belə cüt var? Düzdür, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni. Belə ki,

Hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün ümumi düstur belə olacaq:

Misal:
Bütün ikirəqəmli çarpanların cəmini tapın.

Həlli:

İlk belə rəqəm budur. Hər bir sonrakı nömrə əvvəlki nömrəyə əlavə edilməklə əldə edilir. Beləliklə, bizi maraqlandıran ədədlər birinci hədd və fərqlə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Bu irəliləyiş üçün 3-cü terminin düsturu:

Əgər onların hamısı ikirəqəmli olmalıdırsa, irəliləyişdə neçə termin var?

Çox asan: .

Proqresiyanın son müddəti bərabər olacaq. Sonra cəmi:

Cavab: .

İndi özünüz qərar verin:

  1. İdmançı hər gün əvvəlki gündən daha çox metr qaçır. Birinci gündə km m qaçsa, həftədə cəmi neçə kilometr qaçar?
  2. Velosipedçi hər gün əvvəlki günə nisbətən daha çox kilometr qət edir. İlk gün o, km qət etdi. Bir kilometri qət etmək üçün neçə gün getməlidir? Səyahətinin son günündə neçə kilometr yol qət edəcək?
  3. Mağazada soyuducunun qiyməti hər il eyni məbləğdə ucuzlaşır. Rublla satışa çıxarılan soyuducunun qiyməti altı il sonra rubla satılıbsa, onun qiymətinin hər il nə qədər azaldığını müəyyənləşdirin.

Cavablar:

  1. Burada ən vacibi arifmetik irəliləyişi tanımaq və onun parametrlərini təyin etməkdir. Bu halda, (həftələr = günlər). Bu irəliləyişin ilk şərtlərinin cəmini təyin etməlisiniz:
    .
    Cavab:
  2. Burada verilir: , tapılmalıdır.
    Aydındır ki, əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni cəmi düsturundan istifadə etməlisiniz:
    .
    Dəyərləri əvəz edin:

    Kök açıq şəkildə uyğun gəlmir, buna görə də cavab budur.
    Gəlin, son gün ərzində qət edilən yolu ci həddin düsturundan istifadə edərək hesablayaq:
    (km).
    Cavab:

  3. Verildi: . Tapın: .
    Daha sadə ola bilməzdi:
    (rub).
    Cavab:

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Bu, qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu bir sıra ardıcıllığıdır.

Arifmetik irəliləyiş artan () və azalan () ola bilər.

Məsələn:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddini tapmaq üçün düstur

düsturu ilə yazılır, burada irəliləyən ədədlərin sayıdır.

Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi

Qonşu şərtləri məlumdursa, bu, bir irəliləyişin müddətini asanlıqla tapmağa imkan verir - irəliləyişdəki nömrələrin sayı haradadır.

Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi

Məbləği tapmaq üçün iki yol var:

Dəyərlərin sayı haradadır.

Dəyərlərin sayı haradadır.