GirişKöməkçi təyinedici - sənəd. Müəyyənedicilər
1.1. İkili sistemlər xətti tənliklər və ikinci dərəcəli determinantlar
İki naməlum olan iki xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək:
Oranlar 
naməlumlarla 
Və 
iki indeksə malikdir: birincisi tənliyin nömrəsini, ikincisi isə dəyişənlərin sayını göstərir.
Kramer qaydası: Sistemin həlli köməkçi determinantları sistemin əsas determinantına bölmək yolu ilə tapılır.
,
Qeyd 1. Sistemin determinantı olduqda Cramer qaydasından istifadə etmək mümkündür 
sıfıra bərabər deyil.
Qeyd 2. Kramer düsturları daha yüksək səviyyəli sistemlər üçün ümumiləşdirilmişdir.
Misal 1. Sistemi həll edin: 
.
Həll.
;
;
;
İmtahan:
Nəticə: Sistem düzgün həll olunur: 
.
1.2. Üç xətti tənliklər və üçüncü dərəcəli determinantlar sistemləri
Üç naməlum olan üç xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək:
Naməlumlar üçün əmsallardan ibarət müəyyənedici deyilir sistem determinantı və ya əsas determinantı:
.
Əgər 
onda sistem var yeganə həll yolu Kramer düsturları ilə müəyyən edilir:
təyinedicilər haradadır 
– köməkçi adlanır və təyinedicidən alınır 
onun birinci, ikinci və ya üçüncü sütununu sistemin sərbəst üzvlərinin sütunu ilə əvəz etməklə.
Misal 2. Sistemi həll edin 
.
Əsas və köməkçi determinantları formalaşdıraq:
Üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması qaydalarını nəzərdən keçirmək qalır. Bunlardan üçü var: sütunların əlavə edilməsi qaydası, Sarrus qaydası, parçalanma qaydası.
a) Əsas təyinediciyə ilk iki sütunun əlavə edilməsi qaydası:
Hesablama aparılır aşağıdakı kimi: əsas diaqonalın elementlərinin hasilləri və ona paralellər boyunca işarəsi ilə gedir, əks işarə ilə ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin məhsullarını və ona paralellər boyunca.
b) Sarrus qaydası:
İşarəsi ilə onlar əsas diaqonalın elementlərinin məhsullarını və ona paralellər boyunca götürürlər və çatışmayan üçüncü element qarşı küncdən götürülür. Əks işarə ilə ikincil diaqonalın elementlərinin məhsullarını götürün və ona paralellər boyunca üçüncü element qarşı küncdən götürülür.
c) sətir və ya sütunun elementləri üzrə parçalanma qaydası:
Əgər 
, Sonra.
Cəbri tamamlayıcı müvafiq sətir və sütunun üstündən xətt çəkmək və işarəni nəzərə almaqla alınan aşağı dərəcəli determinantdır 
, Harada 
- sətir nömrəsi, 
- sütun nömrəsi.
Məsələn,
,
,
və s.
Bu qaydadan istifadə edərək köməkçi determinantları hesablayırıq 
Və 
, onları birinci sıranın elementlərinə görə genişləndirmək.
Bütün determinantları hesabladıqdan sonra Cramer qaydasından istifadə edərək dəyişənləri tapırıq:
İmtahan:
Nəticə: sistem düzgün həll olunub: .
Determinantların əsas xassələri
Yadda saxlamaq lazımdır ki, müəyyənedicidir nömrə, bəzi qaydalara əsasən tapılır. Hər hansı bir nizamın təyinediciləri üçün etibarlı olan əsas xassələrdən istifadə etsək, onun hesablanması sadələşdirilə bilər.
Mülk 1. Determinantın bütün sətirləri ədədə uyğun sütunlarla və əksinə əvəz edilərsə, onun dəyəri dəyişməyəcək.
Sətirlərin sütunlarla əvəzlənməsi əməliyyatına transpozisiya deyilir. Bu xassədən belə nəticə çıxır ki, determinantın sətirləri üçün doğru olan hər hansı müddəa onun sütunları üçün də doğru olacaqdır.
Əmlak 2. Determinantda iki cərgə (sütun) dəyişdirilərsə, təyinedicinin işarəsi əksinə dəyişəcəkdir.
Əmlak 3. Əgər müəyyənedicinin hər hansı sətirinin bütün elementləri 0-a bərabərdirsə, onda determinant 0-a bərabərdir.
Əmlak 4.
Determinant sətirinin elementləri hansısa ədədə vurularsa (bölünsə). 
, onda determinantın qiyməti in artacaq (azalacaq). 
bir dəfə.
Hər hansı bir sıra elementləri varsa ümumi çarpan, onda onu təyinedici işarədən çıxarmaq olar.
Əmlak 5. Əgər müəyyənedicinin iki eyni və ya mütənasib cərgəsi varsa, onda belə müəyyənedici 0-a bərabərdir.
Əmlak 6. Əgər müəyyənedicinin hər hansı cərgəsinin elementləri iki həddinin cəmidirsə, onda determinant iki təyinedicinin cəminə bərabərdir.
Əmlak 7. Bir cərgənin elementlərinə başqa sətirin elementləri əlavə edilərsə, eyni ədədə vurularsa, determinantın qiyməti dəyişməyəcək.
Bu determinantda əvvəlcə üçüncü sətir ikinci sıraya əlavə edildi, 2-yə vuruldu, sonra ikinci sütun üçüncü sütundan çıxarıldı, bundan sonra ikinci sətir birinci və üçüncüyə əlavə edildi, nəticədə çox şey əldə etdik. sıfırlar və hesablamanı sadələşdirdi.
İbtidaiçevrilmələr determinant göstərilən xassələrdən istifadə etməklə onun sadələşdirilməsi adlanır.
Misal 1. Determinant hesablayın
Yuxarıda müzakirə edilən qaydalardan birinə əsasən birbaşa hesablama çətin hesablamalara gətirib çıxarır. Buna görə də, xüsusiyyətləri istifadə etmək məsləhətdir:
a) 1-ci sətirdən 2-yə vurulan ikincini çıxarın;
b) II sətirdən üçüncünü çıxarın, 3-ə vurun.
Nəticədə əldə edirik:
Gəlin bu determinantı yalnız bir sıfırdan fərqli elementi ehtiva edən birinci sütunun elementlərinə genişləndirək.
.
Daha yüksək səviyyəli sistemlər və determinantlar
sistemi 
ilə xətti tənliklər 
naməlumlar aşağıdakı kimi yazıla bilər:
Bu halda Kramer qaydasından istifadə etməklə əsas və köməkçi təyinediciləri tərtib etmək, naməlumları təyin etmək də mümkündür. Problem ondadır ki, daha yüksək dərəcəli determinantları yalnız sıranı aşağı salmaqla və üçüncü dərəcəli determinantlara endirməklə hesablamaq olar. Bu, birbaşa sətir və ya sütun elementlərinə parçalanma, həmçinin ilkin elementar çevrilmələrdən və sonrakı parçalanmadan istifadə etməklə edilə bilər.
Misal 4. Dördüncü dərəcəli determinantı hesablayın
Həll iki yolla tapa bilərik:
a) birinci sıranın elementlərinə birbaşa genişlənmə yolu ilə:
b) ilkin çevrilmələr və sonrakı parçalanma yolu ilə
|
|
a) I sətirdən III çıxılır |
|
|
b) IV-ə II sətir əlavə edilsin |
Misal 5. Dördüncü sütundan istifadə edərək üçüncü sıradakı sıfırları əldə edərək beşinci dərəcəli determinantı hesablayın
|
|
birinci sətirdən ikincini, üçüncüdən ikincini, dördüncüdən ikincini 2-yə vururuq. |
ikinci sütundan üçüncünü çıxarın: 
ikinci sətirdən üçüncünü çıxarın: 
Misal 6. Sistemi həll edin:
Həll. Sistemin determinantını tərtib edək və determinantların xassələrindən istifadə edərək onu hesablayaq:
(birinci cərgədən üçüncünü çıxarırıq, sonra üçüncü sütundan əldə edilən üçüncü dərəcəli determinantda birincini 2-yə vururuq). Müəyyənedici 
, buna görə də, Kramer düsturları tətbiq olunur.
Qalan determinantları hesablayaq:
Dördüncü sütun 2-yə vuruldu və qalanlardan çıxarıldı
Dördüncü sütun birincidən çıxarıldı, sonra isə 2-yə vurularaq ikinci və üçüncü sütunlardan çıxarıldı.
.
Burada olduğu kimi eyni transformasiyaları həyata keçirdik 
.
.
tapanda 
birinci sütun 2-yə vuruldu və qalanlardan çıxıldı.
Kramer qaydasına görə bizdə:
Tapılan dəyərləri tənliklərdə əvəz etdikdən sonra sistemin həllinin düzgün olduğuna əmin oluruq.
2. MATRİSALAR VƏ ONLARIN İSTİFADƏSİ
XƏTTİ TƏNLİKLƏRİN HƏLL SİSTEMLERİNDƏ
1. İkinci və üçüncü dərəcəli təyinedicilər və onların xassələri 1.1. Matris və ikinci dərəcəli determinant anlayışı
İxtiyari m ədədi olan düzbucaqlı ədədlər cədvəli
sətirlər və ixtiyari sayda sütunlar matris adlanır. Göstərmək
matrislər ya ikiqat şaquli çubuqlardan, ya da dəyirmi olanlardan istifadə edir
mötərizələr. Məsələn:
28 20 18 28 20 18
Əgər matrisin sətirlərinin sayı onun sütunlarının sayı ilə üst-üstə düşürsə, onda matris
kvadrat adlanır. Matrisi təşkil edən ədədlər adlanır
elementləri.
Dörd elementdən ibarət kvadrat matrisi nəzərdən keçirək:
(3.1) matrisə uyğun gələn ikinci dərəcəli determinant,
--ə bərabər olan və simvolu ilə işarələnən ədəddir
Beləliklə, tərifə görə
Verilmiş determinantın matrisini təşkil edən elementlər adətən olur
bu determinantın elementləri adlanır.
Aşağıdakı ifadə doğrudur: determinant üçün
ikinci sıra sıfıra bərabər idi, bu, zəruri və kafidir
onun sətirlərinin (və ya müvafiq olaraq sütunlarının) elementləri idi
mütənasib.
Bu ifadəni sübut etmək üçün hər birini qeyd etmək kifayətdir
nisbətlərindən / = / və / = / bərabərliyinə bərabərdir = və sonuncu bərabərlik
qüvvə (3.2) determinantın yox olmasına bərabərdir.
1.2. İki naməlumda iki xətti tənlik sistemi
İkinci dərəcəli determinantların necə istifadə olunduğunu göstərək
ilə iki xətti tənlik sisteminin tədqiqi və həlli yollarının tapılması
iki naməlum
(bu halda əmsallar və sərbəst şərtlər nəzərə alınır
verilmişdir). Xatırladaq ki, bir cüt ədəd (3.3) sisteminin həlli adlanır,
bu ədədlərin yerində və yerində əvəz edilməsi halında bu sistem hər ikisini çəkir
tənliyi (3.3) eyniliklərə çevirin.
Sistemin (3.3) birinci tənliyini - ilə, ikincisini isə - ilə vurmaq
nəticədə bərabərlikləri toplayıb əldə edirik
Eynilə, (3.3) tənliklərini - ilə və müvafiq olaraq vurmaqla
tanış edək aşağıdakı təyinatlar:
= , = , = . (3.6)
Bu qeydlərdən və ikincinin determinantının ifadəsindən istifadə etməklə
(3.4) və (3.5) tənlikləri aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:
Naməlumlar üçün əmsallardan ibarət determinant
sistemi (3.3) adətən çağırılır bu sistemin determinantıdır. Qeyd edək ki
determinantlar və sistemin determinantından dəyişdirilərək əldə edilir
onun birinci və ya ikinci sütunu, sərbəst şərtlərlə.
İki hal yarana bilər: 1) sistemin determinantı fərqlidir
sıfır; 2) bu təyinedici sıfıra bərabərdir.
Əvvəlcə 0 halını nəzərdən keçirək. (3.7) tənliklərindən dərhal alırıq
naməlumlar üçün düsturlar adlanır Kramer düsturları:
Alınan Cramer düsturları (3.8) sistemin (3.7) həllini verir və
buna görə də onlar orijinal sistemə həllin unikallığını sübut edirlər (3.3). Çox içində
əslində sistem (3.7) sistemin (3.3) nəticəsidir, ona görə də hər hansı
(3.3) sisteminin həlli (əgər varsa!) olmalıdır
həll və sistem (3.7). Beləliklə, bu günə qədər orijinal sistem olduğu sübut edilmişdir
(3.3) 0-da həll var, onda bu həll unikal olaraq təyin olunur
Kramer düsturları (3.8).
Həllin mövcudluğunu yoxlamaq asandır, yəni. 0 ikidə
nömrələr və Kramer düsturları (3.8) ilə müəyyən edilir. qoyulur
naməlumları (3.3) tənliklərində yerləşdirin, bu tənlikləri eyniliyə çevirin.
(Müəyyənedicilər üçün ifadələri yazmağı oxucunun öhdəsinə buraxırıq,
və bu şəxsiyyətlərin etibarlılığını yoxlayın.)
gəlirik aşağıdakı nəticəyə: sistemin determinantı olarsa (3.3)
sıfırdan fərqlidir, onda mövcuddur və üstəlik, bunun yeganə həlli
Kramer düsturları (3.8) ilə müəyyən edilmiş sistem.
İndi sistemin determinantının bərabər olduğu halı nəzərdən keçirək sıfır.
Özlərini təqdim edə bilərlər iki subcase: a) müəyyənedicilərdən ən azı biri və ya,
sıfırdan fərqli; b) hər iki təyinedici və sıfıra bərabərdir. (əgər determinant və
iki təyinedicidən biri sıfıra bərabərdir, onda bu ikisindən digəri
təyinedicilər sıfırdır. Əslində, məsələn, = 0 = 0, yəni. / = /
və / = /. Sonra bu nisbətlərdən əldə edirik ki, /= /, yəni = 0).
a) yarımhəcmində bərabərliklərdən ən azı biri qeyri-mümkün olur
(3.7), yəni sistemin (3.7) həlli yoxdur və buna görə də həlli yoxdur və
orijinal sistem (3.3) (nəticəsi sistem (3.7)).
b) yarımhərfində ilkin sistem (3.3) sonsuz çoxluğa malikdir
qərarlar. Əslində bərabərliklərdən === 0 və bölmənin sonundakı ifadədən. 1.1
belə nəticəyə gəlirik ki, (3.3) sisteminin ikinci tənliyi birincinin nəticəsidir
və onu atmaq olar. Ancaq iki naməlum olan bir tənlik
sonsuz sayda həll yolu var (əmsallardan ən azı biri və ya
sıfırdan fərqlidir və onunla əlaqəli naməlumdan müəyyən edilə bilər
tənliyi (3.9) başqa bir naməlumun ixtiyari verilmiş qiyməti vasitəsilə).
Beləliklə, (3.3) sisteminin determinantı sıfıra bərabərdirsə, onda
sistemin (3.3) heç bir həlli yoxdur (əgər ən azı biri
determinantlar və ya sıfırdan fərqli) və ya saysız çoxluğa malikdir
həllər (== 0 olduqda). Sonuncu halda, iki tənlik (3.3)
biri ilə əvəz edilə bilər və onu həll edərkən naməlum biri soruşula bilər
özbaşına.
Şərh. Sərbəst şərtlərin və sıfıra bərabər olduğu halda, xətti
sistemi (3.3) adlanır homojen. Qeyd edək ki, sistem homojendir
həmişə sözdə mənasız bir həll var: = 0, = 0 (bu iki ədəd
hər iki homojen tənliyi eyniliyə çevirin).
Əgər homojen sistemin determinantı sıfırdan fərqlidirsə, bu
sistemin yalnız cüzi bir həlli var. = 0 olarsa, homojendir
sistemin saysız-hesabsız həlləri var(çünki
homojen sistem, həllərin olmaması ehtimalı istisna edilir). Beləliklə
yol, homojen sistemin qeyri-trivial həlli yalnız və yalnız
onun təyinedicisi sıfıra bərabər olduqda.
1.3. Üçüncü dərəcəli determinantlar
Doqquz elementdən ibarət kvadrat matrisi nəzərdən keçirək
Üçüncü dərəcəli determinant, (3.10) matrisinə uyğun gələn ədəddir:
və simvolu ilə işarələnir
Beləliklə, tərifə görə
İkinci dərəcəli determinantda olduğu kimi, (3.10) matrisin elementləri olacaq.
zəng edin determinantın özünün elementləri. Bundan əlavə, razılaşaq
elementlərin yaratdığı diaqonalı adlandırın və, əsas, və diaqonal,
elementlərdən əmələ gəlir və - yan.
Üçün ifadəsinə daxil olan terminlərin konstruksiyasını xatırlamaq
determinant (3.11), göstəririk növbəti qayda, bu çox şey tələb etmir
diqqət və yaddaş stressi. Bunu etmək üçün onun tərtib olunduğu matrisə keçin
determinant, birinci və sonra ikinci sütunu yenidən sağa əlavə edin. IN
əldə edilən matris
bərk xətt paralel olaraq alınan üç üçlü terminləri birləşdirir
əsas diaqonalı hərəkət etdirərək və daxil olan üç terminə uyğun gəlir
üstəlik işarəsi olan ifadə (3.11); üçü nöqtəli xətt ilə birləşdirilir
tərəfin paralel köçürülməsi ilə alınan digər üçlü terminlər
diaqonallar və (3.11) ilə ifadəyə daxil edilmiş üç terminə uyğundur
mənfi işarəsi.
1.4. Determinantların xassələri
Mülk 1. Determinantın qiyməti və sətirləri dəyişməyəcək
bu determinantın sütunlarının rollarını dəyişdirin, yəni.
Bu xassəni sübut etmək üçün müəyyənediciləri yazmaq kifayətdir,
Bölmədə göstərildiyi kimi (3.13) sol və sağ tərəfində dayanır. 1.3 qayda və
nəticədə şərtlərin bərabər olduğundan əmin olun.
Mülkiyyət 1 dəst tam bərabərlik sətirlər və sütunlar. Buna görə
determinantın bütün sonrakı xassələri həm sətirlər, həm də sətirlər üçün tərtib edilə bilər
sütunlar üçün və sübut etmək üçün - ya yalnız satırlar üçün, ya da yalnız sütunlar üçün.
Əmlak 2. İki sıranın (və ya iki sütunun) yenidən təşkili
determinant onu -1 ədədinə vurmağa bərabərdir.
Sübut da əvvəlki qaydada qeyd olunan qaydadan gəlir
Xüsusiyyət 3. Əgər determinantın iki eyni sətri (və ya iki
eyni sütunlar), onda sıfıra bərabərdir.
Həqiqətən, iki eyni simli yenidən təşkil edərkən, birindən
bir tərəfdən determinant dəyişməyəcək, digər tərəfdən isə 2-ci xüsusiyyətə görə
işarəni əksinə dəyişəcək. Beləliklə, = -, yəni. 2 = 0 və ya = 0.
Xüsusiyyət 4. Bəzi sətirlərin bütün elementlərinin vurulması (və ya
müəyyənedicinin bəzi sütunu) ədədlə çarpmağa bərabərdir
bu rəqəm üçün müəyyənedicidir.
Başqa sözlə, müəyyən bir sətirin bütün elementlərinin ümumi faktoru
(yaxud hansısa sütunu) müəyyənedicinin işarəsi kimi götürülə bilər
təyinedici.
Məsələn,
Bu xassəni sübut etmək üçün bunu qeyd etmək kifayətdir
determinant hər həddi olan cəmi (3.12) kimi ifadə edilir
hər sətirdən bir və yalnız bir element və yalnız bir element ehtiva edir
hər sütundan bir element.
Xüsusiyyət 5. Əgər bəzi sətirlərin bütün elementləri (və ya bəzi
determinantın sütunu) sıfıra bərabərdir, onda determinantın özü sıfıra bərabərdir.
Bu xüsusiyyət əvvəlkindən (ile = 0).
Xüsusiyyət 6. Elementlər iki sıra (və ya iki sütun) olduqda
təyinedicilər mütənasibdir, onda determinant sıfıra bərabərdir.
Əslində 4-cü xüsusiyyətə görə mütənasiblik faktoru ola bilər
təyinedicinin işarəsindən kənara çıxarılır, bundan sonra müəyyənedici iki ilə qalır
xassə 3-ə görə sıfıra bərabər olan eyni xətlər.
Mülkiyyət 7. Əgər hər kəs n-ci element sıra (və ya n-ci sütun)
determinant iki şərtin cəmidir, sonra determinantdır
iki təyinedicinin cəmi kimi göstərilə bilər, birincisi
onun içində olan n-ci sətir(və ya n-ci sütunda) qeyd olunan birinci
terminlər və qalanlarında ilkin determinantla eyni elementlər
sətirlər (sütunlar), ikinci təyinedici isə n-ci sətirdə (n-də)
sütun) qeyd olunan terminlərin ikincisi və eyni elementlər
orijinal determinant, qalan sətirlərdə (sütunlarda).
Məsələn,
Bu xassəni sübut etmək üçün bir daha qeyd etmək kifayətdir
determinant hər biri şərtlərin cəmi kimi ifadə edilir
hər sətirdən bir və yalnız bir element və bir və yalnız bir element ehtiva edir
hər sütundan element.
Xüsusiyyət 8. Əgər bəzi sətir elementləri (və ya bəzi
sütun) determinant digərinin uyğun elementlərini əlavə edir
sətirlər (başqa sütunun) ixtiyari amillə vurulur, sonra
determinantın qiyməti dəyişməyəcək.
Həqiqətən, göstərilən əlavə nəticəsində əldə edilmişdir
təyinedici (7-ci xassə görə) ikinin cəminə bölünə bilər
determinantlar, birincisi orijinalla üst-üstə düşür, ikincisi isə bərabərdir
iki sətrin (və ya sütunun) elementlərinin mütənasibliyinə görə sıfır və
xassələri 6.
1.5. Cəbri tamamlamalar və kiçiklər
Tərkibində olan şərtləri determinant üçün (3.12) ifadəsində toplayaq
bu determinantın hər hansı bir elementini seçin və göstərilən elementi çıxarın
mötərizədə kənarda; mötərizədə qalan kəmiyyət deyilir
cəbri tamamlayıcı müəyyən edilmiş element.
Verilmiş elementin cəbri tamamlayıcısını işarə edəcəyik
kapital Latın hərfi element ilə eyni ad və
verilmiş elementlə eyni nömrəni təmin edin. Məsələn,
elementin cəbri tamamlayıcısı cəbri ilə işarələnəcək
element əlavə - vasitəsilə və s.
Birbaşa (3.12) təyinedici üçün ifadədən və faktdan
(3.12) bəndinin sağ tərəfindəki hər bir termin bir və yalnız bir elementdən ibarətdir
hər sətirdən (hər sütundan) aşağıdakı bərabərliklər əmələ gəlir:
Bu bərabərliklər determinantın aşağıdakı xassəsini ifadə edir:
təyinedici məbləğinə bərabərdir hər hansı bir simin elementlərinin məhsulları
(hər hansı bir sütunun) müvafiq cəbri əlavələrə
bu sıranın elementləri (bu sütun).
Bərabərliklər (3.14) adətən adlanır determinantın genişlənməsi By
müvafiq olaraq birinci, ikinci və ya üçüncü sıranın elementləri və bərabərliklər
(3.15) - determinantın genişlənməsi birincinin elementlərinə uyğun olaraq,
ikinci və ya üçüncü sütun.
İndi vacib konsepsiyanı təqdim edək azyaşlı determinantın bu elementinin
Kiçik n-ci dərəcəli determinantın verilmiş elementinin (bizim halda n = 3)
verilmişdən alınan (n-1)-ci dərəcəli determinantdır
kəsişmədə həmin cərgənin və sütunun üstündən xətt çəkməklə determinant
bu elementin dəyəri.
Determinantın hər hansı elementinin cəbri tamamlayıcısı bərabərdir
ədədlərin cəmi olduğu halda, belə bir “artı” ilə qəbul edilən bu elementin minoru
bu elementin dayandığı kəsişməsindəki sətir və sütundur
nömrə cütdür və mənfi işarə ilə - əks halda.
Beləliklə, müvafiq cəbri tamamlayıcı və minor
yalnız işarəsinə görə fərqlənə bilər.
Aşağıdakı cədvəldə hansı işarənin olması barədə aydın fikir verilir
müvafiq cəbri tamamlayıcı və kiçik əlaqəlidir:
Müəyyən edilmiş qayda (3.14) və (3.15) düsturlarında genişlənməyə imkan verir
cəbri olanlar əvəzinə hər yerdə sətir və sütun elementləri üzərində determinant
əlavələr müvafiq yetkinlik yaşına çatmayanları yazır (lazım olan işarə ilə).
Beləliklə, məsələn, düsturlardan birincisi (3.14), genişlənməni verir
birinci sıranın elementləri üzərində determinant şəklini alır
Sonda aşağıdakı əsas xüsusiyyəti təyin edək
təyinedici.
Xüsusiyyət 9. İstənilən sütunun elementlərinin hasillərinin cəmi
elementlərin müvafiq cəbri tamamlamalarına determinant
bu (digər) sütunun bu determinantın dəyərinə bərabərdir (sıfıra bərabərdir).
Təbii ki, oxşar xüsusiyyət sətirlərə tətbiq edildikdə də doğrudur
təyinedici. Cəbri əlavələr və elementlər olduqda vəziyyət
yuxarıda müzakirə olunan eyni sütuna uyğundur. Qalır sübut etmək
ki, hər hansı bir sütunun elementlərinin hasillərinin cəminə uyğun olaraq
digər sütunun elementlərinin cəbri tamamlayıcısı sıfırdır.
Məsələn, sübut edək ki, birinci və ya elementlərinin məhsullarının cəmi
üçüncü sütun sıfırdır.
Genişlənməni verən üçüncü düsturdan (3.15) başlayacağıq
üçüncü sütunun elementləri ilə müəyyənedici:
Cəbri əlavələr və üçüncü sütunun elementləri olmadığı üçün
elementlərin özündən asılıdır və bu sütun, sonra bərabərlikdə (3.17) ədədlər və
ixtiyari nömrələrlə əvəz edilə bilər və solda saxlanarkən
hissə (3.17) determinantın ilk iki sütunu, sağ tərəfdə isə kəmiyyətlər,
və cəbri əlavələr.
Beləliklə, hər hansı üçün, və bərabərlik doğrudur:
İndi bərabərlikdə (3.18) kimi götürək və ilk elementləri, və
birinci sütun, sonra elementlər, ikinci sütun və bunu nəzərə alaraq
xassə 3-ə görə üst-üstə düşən iki sütunlu determinant bərabərdir
sıfır olduqda, aşağıdakı bərabərliklərə çatırıq:
Bu sübut edir ki, birincinin elementlərinin hasillərinin cəmi və ya
elementlərin müvafiq cəbri tamamlayıcılarına ikinci sütun
üçüncü sütun sıfıra bərabərdir: Bərabərliklər oxşar şəkildə sübut olunur:
və sütunlara deyil, sətirlərə aid müvafiq bərabərliklər:
2. Üç naməlum xətti tənliklər sistemləri 2.1. Üç naməlumda üç xətti tənlik sistemləri
sıfırdan başqa determinant.
Yuxarıda göstərilən nəzəriyyənin tətbiqi olaraq sistemi nəzərdən keçirin
üç naməlum olan üç xətti tənlik:
(əmsallar, , və sərbəst şərtlər verilmiş hesab olunur).
Ədədlərin üçlüyü (3.19) sisteminin həlli adlanır, əgər bunlar əvəz olunursa
yerlərində olan ədədləri (3.19) sisteminə çevirir, hər üç tənliyi (3.19) çevrilir
şəxsiyyətlər.
Aşağıdakı dördü gələcəkdə əsas rol oynayacaq:
təyinedici:
Determinant adətən (3.19) sisteminin determinantı adlanır (it
naməlumlar üçün əmsallardan ibarətdir). Determinantlar və
sistemin determinantından sərbəst olanlarla əvəz edilərək alınır
müvafiq olaraq birinci, ikinci və üçüncü sütunların elementlərinin üzvləri.
Naməlumları (3.19) sistemindən çıxarmaq üçün tənlikləri çoxaldırıq
(3.19) birincinin elementlərinin cəbri tamamlamalarına uyğun olaraq
sistemin determinantının sütunu və sonra nəticəni əlavə edin
tənliklər Nəticədə əldə edirik:
Nəzərə alsaq ki, verilmiş sütunun elementlərinin hasillərinin cəmi
elementlərin müvafiq cəbri tamamlamalarına determinant
bu (digər) sütunun determinantına (sıfır) bərabərdir (xassəyə bax 9),
0, ++= 0.
Bundan əlavə, determinantı birinci sütunun elementlərinə parçalamaqla düstur alınır:
(3.21) və (3.22) düsturlarından istifadə edərək bərabərlik (3.20) aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq.
aşağıdakı (naməlum olmayan) formada:
Bərabərliklər = və
Beləliklə, müəyyən etdik ki, tənliklər sistemi =, =, =
ilkin sistemin nəticəsidir (3.19).
Gələcəkdə ayrıca nəzərdən keçirəcəyik iki hal:
1) sistemin determinantı olduqda sıfırdan fərqli,
2) bu təyinedici olduqda sıfıra bərabərdir.
Beləliklə, 0 olsun. Onda (3.23) sistemindən dərhal adlanan naməlumlar üçün düsturlar alırıq Kramer düsturları:
Əldə etdiyimiz Kramer düsturları (3.23) və sistemin həllini verir
buna görə də ilkin sistemə (3.19) həllin unikallığını sübut edirlər, çünki
sistem (3.23) sistemin (3.19) nəticəsidir və sistemin istənilən həllidir
(3.19) sistemin (3.23) həlli olmalıdır.
Beləliklə, biz sübut etdik ki, əgər orijinal sistem (3.19) üçün mövcuddur
0 həll, onda bu həll unikal şəkildə Kramer düsturları ilə müəyyən edilir
Həllin həqiqətən mövcud olduğunu sübut etmək üçün biz etməliyik
öz dəyərlərini x, y və z üçün orijinal sistemə (3.19) əvəz edin,
Cramer düsturları (3.24) ilə müəyyən edilir və hər üçünün olduğundan əmin olun
(3.19) tənlikləri eyniliyə çevrilir. Məsələn, buna əmin olaq
birinci tənlik (3.19) x dəyərlərini əvəz edərkən eyniliyə çevrilir,
y və z, Kramer düsturları (3.24) ilə müəyyən edilir. Bunu nəzərə alaraq
(2.19) tənliklərinin birincisinin sol tərəfində dəyərləri əvəz etməklə əldə edirik və,
Kramer düsturları ilə müəyyən edilir:
Buruq mötərizə daxilində A, A2 və A3 ilə əlaqəli terminləri qruplaşdırmaq,
alırıq ki:
Son bərabərlikdəki 9 xassəsinə görə hər iki kvadrat mötərizə bərabərdir
sıfır, mötərizə isə təyinediciyə bərabərdir. Beləliklə, ++ alırıq
Və sistemin (3.19) birinci tənliyinin eyniliyə çevrilməsi qurulur.
Eynilə ikinci və üçüncü şəxsiyyətə çevrilmə qurulur
tənliklər (3.19).
Aşağıdakı nəticəyə gəlirik: əgər sistemin determinantı (3.19)
sıfırdan fərqlidir, onda mövcuddur və üstəlik, bunun üçün unikal bir həll var
sistem, Kramer düsturları (3.24) ilə müəyyən edilir.
2.2. Üç naməlumda iki xətti tənliyin homojen sistemi
Bu və bölmədə determinantı sıfıra bərabər olan qeyri-homogen sistemi (3.19) nəzərdən keçirmək üçün lazım olan aparatı hazırlayacağıq. Əvvəlcə iki xətti tənliyin homojen sistemini nəzərdən keçirək üç naməlum:
Hər şey varsa ola biləcək üç ikinci dərəcəli determinant
matrisdən tərtib edin
sıfıra bərabərdir, sonra Bölmənin bəyanatına əsasən. Birincinin 1.1 əmsalları
(3.25) tənlikləri müvafiq əmsallara mütənasibdir
bu tənliklərdən ikincisi. Buna görə də, bu halda ikinci tənlik (3.25)
birincinin nəticəsidir və ləğv edilə bilər. Ancaq bir tənlik ilə
üç naməlum ++= 0, təbii ki, sonsuz ədədə malikdir
həllər (iki naməlum ixtiyari qiymətlər təyin edilə bilər və
tənlikdən üçüncü naməlumu təyin edin).
İndi isə (3.25) sistemini hansı hal üçün nəzərdən keçirək ən azı biri
matrisdən ibarət ikinci dərəcəli determinantlar(3.26), əla
sıfırdan.Ümumiliyi itirmədən onun sıfırdan fərqli olduğunu fərz edəcəyik
təyinedici
0 Sonra (3.25) sistemini formada yenidən yaza bilərik
və hər bir z üçün bunun özünəməxsus həlli olduğunu iddia edin
Cramer düsturları ilə müəyyən edilmiş sistem (bax: Bölmə 1.2, düsturlar (3.8)):
determinantın üçüncü sətri:
Təriqətin nəticələrinə görə. 1.5 cəbri əlavələr arasında əlaqə haqqında və
azyaşlılar yaza bilər
(3.29) əsasında düsturları (3.28) formada yenidən yaza bilərik
şəklində bir həll əldə etmək üçün, simmetrik
bütün naməlumlara nisbətən x, y və z, biz təyin etdik (qeyd edək ki, (3.27)
determinant sıfırdan fərqlidir). Çünki z hər hansı birini götürə bilər
dəyərlər, sonra yeni dəyişən t istənilən dəyəri götürə bilər.
Bu qənaətə gəlirik ki determinant (3.27) sıfırdan fərqli olduqda, homojen sistemin (3.25) düsturlarla müəyyən edilmiş sonsuz sayda həlli var.
burada t hər hansı qiymət alır və cəbri
əlavələr vədüsturlarla müəyyən edilir (3.29).
2.3. Üç naməlumda üç xətti tənliyin homojen sistemi
İndi üçü olan üç tənliyin homojen sistemini nəzərdən keçirək
naməlum:
Aydındır ki, bu sistem həmişə mənasız deyilənlərə malikdir
həlli: x = 0, y = 0, z = 0.
Sistemin determinantı olduğu halda, bu əhəmiyyətsiz bir həlldir
unikaldır (Bölmə 2.1-ə görə).
Gəlin bunu sübut edək determinant sıfıra bərabər olduqda, homojendir
sistemin (3.32) sonsuz sayda həlli var.
Əgər bütün ikinci dərəcəli determinantlardan ibarət ola bilər
sıfıra bərabərdir, sonra Bölmənin ifadəsinə əsasən. 1.1 müvafiq
hər üç tənliyin (3.32) əmsalları mütənasibdir. Amma sonra ikinci
üçüncü tənlik (3.32) birincinin nəticələridir və ola bilər
atılır və Bölmədə artıq qeyd edildiyi kimi bir tənlik ++= 0. 2.2, var
saysız-hesabsız həllər.
Qalır ki, nə vaxt olduğunu nəzərə almaq lazımdır ən azı bir azyaşlı matrislər (3.33)
sıfırdan fərqlidir. Tənliklərin və naməlumların ardıcıllığından bəri
bizim ixtiyarımızdadır, onda ümumiliyi itirmədən edə bilərik
bölmə 2.2, ilk iki tənlik sistemi (3.32) saysız-hesabsızdır
(3.31) düsturları ilə müəyyən edilmiş həllər toplusu (hər hansı t üçün).
(3.31) düsturları ilə təyin olunan x, y, z (ilə) sübut etmək qalır.
hər hansı t, üçüncü (3.32) tənliyi də eyniliyə çevrilir. Əvəz etmək
düsturlarla müəyyən edilmiş üçüncü tənliyin (3.32) sol tərəfi x, y və z
(3.31), alırıq
Mülkiyyətdən 9-cu turda ifadə edildiyindən faydalandıq
mötərizədə sistemin determinantına bərabərdir (3.32). Ancaq şərtə görə təyinedici
sıfıra bərabərdir və buna görə də istənilən t üçün ++= 0 alırıq.
Deməli, bu sübut olunub determinant A ilə homojen sistem (3.32).
sıfıra bərabər, sonsuz sayda həlli var. Sıfırdan fərqli olarsa
kiçik (3.27), onda bu həllər (3.31) üçün düsturlarla təyin olunur
özbaşına t.
Alınan nəticə də aşağıdakı kimi tərtib edilə bilər: homojen
sistemin (3.32) qeyri-trivial həlli yalnız və yalnız o halda olur
onun determinantı sıfır olduqda.
2.4. Üç ilə üç xətti tənliyin qeyri-homogen sistemi
determinantı sıfıra bərabər olan naməlumlar.
İndi qeyri-homogen hesab etmək üçün bir aparatımız var
determinantı sıfıra bərabər olan sistem (3.19). İki nəfər özlərini təqdim edə bilər
hal: a) müəyyənedicilərdən ən azı biri və ya - sıfırdan fərqlidir; b) hər üçü
determinantdır və sıfıra bərabərdir.
a) (3.23) bərabərliklərindən ən azı birinin qeyri-mümkün olduğu halda,
yəni (3.23) sistemin heç bir həlli yoxdur və buna görə də orijinaldır
sistem (3.19) (nəticəsi sistem (3.23)).
Bütün dörd determinant olduqda b) halını nəzərdən keçirək , ,
və sıfıra bərabərdir. Bu vəziyyətdə də bunu göstərən bir nümunə ilə başlayaq
sistemin vahid həlli olmaya bilər. Sistemi nəzərdən keçirin:
Aydındır ki, bu sistemin həlli yoxdur. Əslində, əgər
həll mövcud idi, onda ilk iki tənlikdən alacağıq və
buradan birinci bərabərliyi 2-yə vursaq, 2 = 3 olar.
aydındır ki, hər dörd determinant , , və sıfıra bərabərdir. Həqiqətən,
sistem təyinedicisi
üç eyni sütuna malikdir, determinantları və dəyişdirilməsi ilə əldə edilir
bu sütunlardan biri pulsuz şərtlər kimi və buna görə də iki var
eyni sütunlar. 3-cü xassə sayəsində bütün bu təyinedicilər sıfıra bərabərdir.
İndi gəlin bunu sübut edək əgər sistem (3.19) determinantına bərabərdir
sıfırın ən azı bir həlli var, onda sonsuz ədəd var
müxtəlif həllər.
Tutaq ki, göstərilən sistemin həlli var, . Sonra
şəxsiyyətlər etibarlıdır
(3.19) tənliklərindən identiklikləri (3.34) müddətli dövrlərə çıxararaq, əldə edirik.
tənliklər sistemi
ekvivalent sistem (3.19). Lakin sistem (3.35) homojendir
üç naməlum üçün üç xətti tənlik sistemi və ilə
determinant sıfıra bərabərdir. Bölməyə görə 2.3 ən son sistem (və o oldu
be, və sistemin (3.19)) sonsuz sayda həlli var. Məsələn, in
kiçik (3.27) sıfırdan fərqli olduqda, (3.31) düsturlarından istifadə edirik.
(3.19) sistemi üçün aşağıdakı sonsuz həllər toplusunu əldə edirik:
(t istənilən dəyər qəbul edə bilər).
Deyilən bəyanat sübuta yetirilib və biz bunu edə bilərik
aşağıdakı nəticə: Əgər= = = = 0, sonra qeyri-bərabər tənliklər sistemi
(3.19) ya ümumiyyətlə həlli yoxdur, ya da onların sonsuz sayda var.
3. İstənilən düzülüş və xətti təyinedicilər anlayışı
istənilən sayda bilinməyən sistemlər Üçüncünün determinantının genişlənməsinin təyin etdiyi xüsusiyyət
hər hansı (məsələn, birinci) sətirin elementlərinə qədər sıra ola bilər
müəyyənedicinin induksiyası ilə ardıcıl müqəddimə üçün əsas təşkil edir
dördüncü, beşinci və bütün sonrakı sifarişlər.
Tutaq ki, biz artıq sifariş determinantı anlayışını təqdim etmişik
(n-1) və ibarət olan ixtiyari kvadrat matrisi nəzərdən keçirin
elementləri
(3.36) matrisinin hər hansı elementinin minorunu artıq təqdim etdiyimiz element adlandıraq
(3.36) matrisinə uyğun olan (n-1) nizamın determinantı, ondan i-
Mən simli və j-ci sütun. Minor elementi simvolla qeyd etməyə razılaşaq.
Məsələn, matrisin birinci sırasının hər hansı elementinin minoru (3.36)
aşağıdakı sıra təyinedicisidir (n-1):
(3.36) matrisinə uyğun gələn n sıralı determinantı ədəd adlandıraq
məbləğinə bərabərdir
və simvolu ilə işarələnir
= Qeyd edək ki, n = 3 üçün genişlənmə (3.37) genişlənmə ilə üst-üstə düşür
(3.16) birinci sətirdə üçüncü dərəcəli təyinedicinin.
İndi n naməlum n tənlikdən ibarət qeyri-bərabər sistemini nəzərdən keçirək:
n sırasının təyinedicisi, at əmsallarından ibarətdir
(3.39) sisteminin naməlumları və bərabərlikdən müəyyənedici ilə üst-üstə düşür
(3.38), bu sistemin determinantı adlanır 1, 2, ...-ə bərabər olan istənilən j üçün,
n, təyinedicidən alınan n sırasının təyinedicisini simvolla işarə edirik
sistemini j-ci sütununu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə, ..., .
n = 3 halı ilə tam analogiyada belə çıxır ki
aşağıdakı nəticə: qeyri-homogen sistemin determinantı olarsa (3.39)
sıfırdan fərqlidir, onda bu sistemin unikal həlli var,
Kramer düsturları ilə müəyyən edilir:
determinantlardan ən azı biri, ..., sıfırdan fərqlidir, onda sistem (3.39) deyil.
həlləri var.
halda n > 2 və bütün təyinedicilər, ..., sıfıra bərabərdirsə, sistem
(3.39) da heç bir həll yolu olmaya bilər, lakin ən azı biri varsa
həll, o zaman onların saysız-hesabsız var.
4. Qauss üsulu ilə xətti sistemin həllinin tapılması İndi daxil olduğumuz qeyri-homogen sistemi (3.39) nəzərdən keçirək
Pulsuz şərtləri yenidən təyin etməklə qeydi qısaldacağıq, ..., onlar üçün istifadə edəcəyik
i = 1, 2 ..., n üçün qeyd. Ən sadə üsullardan birini təsvir edək
ardıcıl aradan qaldırılmasından ibarət olan bu sistemin həlli
naməlum olub zəng edib Qauss üsulu.
Naməlumlar üçün əmsallardan fərqli əmsal seçək
sıfırdan və gəlin onu aparıcı adlandıraq. Ümumiliyi itirmədən bunu fərz edəcəyik
belə bir əmsal nədir (əks halda sifarişi dəyişə bilərdik
aşağıdakı naməlumlar və tənliklər).
Birinci tənliyin (3.39) bütün üzvlərini bölünərək birinci verilmiş tənliyi alırıq
burada j = 1, 2, ..., (n+1) üçün.
Yada salaq ki, və xüsusilə, .
Naməlumu aradan qaldırmaq üçün sistemin i-ci tənliyindən (3.39) çıxırıq.
(i = 2, 3 ..., n)
verilmiş tənliyə vurulur (3.40).
Nəticədə hər hansı i = 2, 3, ..., n üçün tənliyi alırıq
hansında
j = 2, 3, ..., (n+1) üçün.
Beləliklə, ilk qısaldılmış sistemi alırıq:
əmsalları (3.41) düsturları ilə təyin olunan.
(3.42) sistemində sıfırdan fərqli aparıcı əmsal tapırıq.
Qoy olsun. Sonra birinci tənliyi (3.42) buna bölmək
əmsalı, verilmiş ikinci tənliyi alırıq və c aradan qaldırırıq
Yuxarıda təsvir edilən sxemə görə bu tənliyi istifadə edərək, bilinməyənə çatırıq
i ehtiva etməyən ikinci qısaldılmış sistem.
Bu sxemə görə mülahizələri davam etdirərək, adlanır düz irəli
Gauss üsulu, ya xəttinə çatmaqla onun həyata keçirilməsini tamamlayacağıq
yalnız bir naməlum olan tənliyi tamamlaya bilməyəcəyik
onun həyata keçirilməsi (orijinal sistemin (3.39) olmaması səbəbindən).
qərarlar). Orijinal sistemin (3.39) həlləri varsa, alırıq
verilmiş tənliklər zənciri
ondan, Qauss metodunun tərsinə istifadə edərək, ardıcıl olaraq tapırıq
naməlum
Vurğulayırıq ki, Qauss metodunun tərsi zamanı bütün əməliyyatlar (1.43)
bölünmədən icra olunur,
Nümunə olaraq üç tənliyin qeyri-homogen sistemini nəzərdən keçirək
üç naməlum ilə
Təbii ki, sistemin determinantının (3.44) olduğunu yoxlamaq olar.
sıfırdan fərqlidir və onu Cramer düsturlarından istifadə edərək tapın, lakin biz metodu tətbiq edəcəyik
Sistemin birinci tənliyini (3.44) 2-yə bölərək birincini alırıq
verilmiş tənlik:
(3.44) sisteminin ikinci tənliyindən verilmiş tənliyi çıxmaqla
(3.45), 3-ə vurulur və sistemin üçüncü tənliyindən çıxarılır (3.44)
verilmiş tənlik (3.45), 4-ə vurulduqda qısaldılmış alırıq
iki naməlumlu iki tənlik sistemi:
Birinci tənliyi (3.46)-a bölmək, verilən ikincini əldə edirik
tənlik:
İkinci tənlikdən (3.46) azaldılmış tənliyi (3.47) çıxmaqla,
8-ə vursaq, tənliyi əldə edirik:
ilə azaldılandan sonra = 3 verir.
Bu dəyəri ikinci tənliyə (3.47) əvəz edərək, əldə edirik
hansı = -2. Nəhayət, tapılan dəyərləri = -2 və = 3 ilə birinciyə əvəz etmək
(3.45) tənliyini verdikdə = 1 alırıq.
ƏDƏBİYYAT 1. İlyin V.A., Kurkina A.V. – “Ali riyaziyyat”, M.: TK Uelbi, Prospekt nəşriyyatı,
Cavab: Kramer metodu xətti tənliklər sistemlərinin həllində təyinedicilərdən istifadəyə əsaslanır. Bu həll prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirir.
Tərif. Naməlumlar üçün əmsallardan ibarət müəyyənedici sistemin müəyyənedicisi adlanır və (delta) işarələnir.
Müəyyənedicilər
uyğun naməlumların əmsallarını sərbəst şərtlərlə əvəz etməklə əldə edilir:
;
.
Naməlumları tapmaq üçün Kramer düsturları:
.
və dəyərlərini tapmaq yalnız o halda mümkündür
Bu nəticə aşağıdakı teoremdən irəli gəlir.
Kramer teoremi. Sistemin determinantı sıfırdan fərqlidirsə, xətti tənliklər sisteminin bir unikal həlli var və naməlum determinantların nisbətinə bərabərdir. Məxrəcdə sistemin determinantı, payda isə bu naməlumun əmsallarını sərbəst şərtlərlə əvəz etməklə sistemin müəyyənedicisindən alınan müəyyənedici var. Bu teorem istənilən düzülüşlü xətti tənliklər sistemi üçün keçərlidir.
Misal 1. Xətti tənliklər sistemini həll edin:
Kramer teoreminə görə bizdə:
Beləliklə, sistemin (2) həlli:
9. dəstlər üzərində əməliyyatlar. Vien diaqramları.
Eyler-Venn diaqramları çoxluqların həndəsi təsvirləridir. Diaqramın qurulması universal U çoxluğunu təmsil edən böyük düzbucaqlının, onun içərisində isə çoxluqları təmsil edən dairələrin (və ya bəzi digər qapalı fiqurların) çəkilməsindən ibarətdir. Formalar problemin tələb etdiyi ən ümumi şəkildə kəsişməli və müvafiq olaraq etiketlənməlidir. Diaqramın müxtəlif sahələrinin içərisində yerləşən nöqtələr müvafiq çoxluqların elementləri hesab edilə bilər. Qurulmuş diaqramla siz yeni yaranmış dəstləri göstərmək üçün müəyyən sahələri kölgə sala bilərsiniz.
Mövcud olanlardan yeni dəstlər əldə etmək üçün çoxluq əməliyyatları nəzərdə tutulur.
Tərif. A və B çoxluqlarının birliyi A, B çoxluqlarından ən azı birinə aid olan bütün elementlərdən ibarət çoxluqdur (Şəkil 1):
Tərif. A və B çoxluqlarının kəsişməsi həm A çoxluğuna, həm də B çoxluğuna eyni vaxtda aid olan bütün və yalnız elementlərdən ibarət çoxluqdur (Şəkil 2):
Tərif. A və B çoxluqları arasındakı fərq A-nın B-də olmayan bütün və yalnız elementlərinin çoxluğudur (Şəkil 3):
Tərif. A və B çoxluqlarının simmetrik fərqi bu çoxluqların ya yalnız A çoxluğuna, ya da yalnız B çoxluğuna aid olan elementlər çoxluğudur (şək. 4):
11. Xəritəçəkmə (funksiya), təyinetmə sahəsi, xəritəçəkmə zamanı çoxluqların təsvirləri, funksiyanın qiymətlər çoxluğu və onun qrafiki.
Cavab: E çoxluğundan F çoxluğuna və ya F-də qiymətləri ilə E-də müəyyən edilmiş funksiyaya xəritəçəkmə hər bir elementə xüsusi element təyin edən qayda və ya f qanunudur.
Elementə müstəqil element və ya f funksiyasının arqumenti, elementə f funksiyasının qiyməti və ya təsvir deyilir; bu halda element elementin preimajı adlanır.
Xəritəçəkmə (funksiya) adətən f hərfi və ya simvolu ilə işarələnir, bu da f E çoxluğunu F ilə əlaqələndirdiyini göstərir. X elementinin f(x) elementinə uyğun olduğunu göstərən qeyd də istifadə olunur. Bəzən uyğunluq qanununu ehtiva edən bərabərlik vasitəsilə funksiyanı təyin etmək rahatdır. Məsələn, deyə bilərik ki, "f funksiyası bərabərliklə müəyyən edilir". Əgər “y” F çoxluğunun elementlərinin ümumi adıdırsa, yəni F = (y), onda xəritəçəkmə y = f(x) bərabərliyi şəklində yazılır və bu xəritələşdirmənin açıq şəkildə göstərildiyini deyirik.
2. Verilmiş xəritələşdirmə altında çoxluğun təsviri və tərs təsviri
Xəritəçəkmə və çoxluq verilsin.
Hər biri f xəritələşdirilməsi altında D-dən ən azı bir elementin təsviri olan F-dən elementlər çoxluğuna D çoxluğunun təsviri deyilir və f(D) ilə işarələnir.
Aydındır ki, .
İndi dəst verilsin.
Elə elementlər çoxluğu , f xəritələşdirilməsi altında Y çoxluğunun tərs təsviri adlanır və f -1 (Y) ilə işarələnir.
Əgər, onda. Əgər hər biri üçün f -1 (y) çoxluğu ən çox bir elementdən ibarətdirsə, o zaman f E-dən F-ə bir-bir xəritələşdirmə adlanır. Bununla belə, f-nin bir-bir xəritələşdirilməsini təyin etmək mümkündür. E-ni F-ə yığın.
Ekran adlanır:
Əgər , və ya f(x) = y tənliyinin ən çoxu bir həlli varsa, inyeksiya (və ya inyeksiya və ya E çoxluğunun F ilə bir-bir xəritələşdirilməsi);
Əgər f(E) = F olarsa və f(x) = y tənliyinin ən azı bir həlli varsa, suryektiv (yaxud suryeksiya və ya E çoxluğunun F üzərində xəritələşdirilməsi);
Əgər o inyektiv və suryektivdirsə və ya f(x) = y tənliyinin bir və yalnız bir həlli varsa, bijective (yaxud bijeksiya və ya E çoxluğunun F üzərində tək-tək xəritələşdirilməsi).
3. Xəritəçəkmələrin superpozisiyası. Tərs, parametrik və gizli xəritələr
1) Qoy və. Çünki, xəritəçəkmə g hər bir elementə xüsusi element təyin edir.
Beləliklə, hər bir element bir qayda vasitəsilə təyin olunur
Bu, yeni xəritəçəkməni (yaxud yeni funksiyanı) müəyyən edir ki, biz onu xəritələrin tərkibi və ya xəritələrin superpozisiyası və ya mürəkkəb xəritələşdirmə adlandırırıq.
2) Bijektiv xəritələşdirmə və F = (y) olsun. f-in bijektivliyinə görə hər biri f -1 (y) ilə işarə etdiyimiz x vahid təsvirinə uyğun gəlir və f(x) = y olsun. Beləliklə, f-in əksi və ya f funksiyasının tərs funksiyası adlanan xəritələşdirmə müəyyən edilir.
Aydındır ki, f xəritələşdirilməsi f -1 xəritələşdirilməsinin tərsidir. Buna görə də f və f -1 xəritələri qarşılıqlı tərs adlanır. Münasibətlər onlar üçün keçərlidir
və bu xəritələrin ən azı biri, məsələn, ikitərəflidir. Sonra tərs xəritələmə var, yəni .
Bu şəkildə müəyyən edilmiş xəritələşdirmənin xəritələmələrdən istifadə edərək parametrik olaraq təyin edildiyi deyilir; -dən dəyişənə isə parametr deyilir.
4) Çoxluqda sıfır elementi olan çoxluqda xəritə müəyyən edilsin. Tutaq ki, elə çoxluqlar var ki, hər bir sabit tənliyin özünəməxsus həlli var. Sonra E çoxluğunda hər birinə verilmiş x üçün tənliyin həlli olan qiyməti təyin edən xəritələşdirməni müəyyən etmək olar.
Belə müəyyən edilmiş xəritələşdirmə ilə bağlı
tənliyi ilə dolayısı ilə verildiyi deyilir.
5) Xəritəçəkmə xəritələşdirmənin davamı adlanır və g əgər və varsa f xəritəçəkmənin məhdudlaşdırılmasıdır.
Çoxluq üçün xəritəçəkmənin məhdudlaşdırılması bəzən simvolla işarələnir.
6) Ekran qrafiki çoxluqdur
Aydındır ki.
12. monoton funksiyalar. Tərs funksiya, mövcudluq teoremi. y=arcsinx y=arcos x x funksiyaları və qrafikləri.
Cavab: Monoton funksiya, artımı işarəsi dəyişməyən, yəni ya həmişə mənfi, ya da həmişə müsbət olmayan funksiyadır. Bundan əlavə, artım sıfıra bərabər deyilsə, funksiya ciddi monoton adlanır.
İntervalda müəyyən edilmiş f(x) funksiyası olsun
sonra seqmentdə deyirlər
Bu təriflə seqmentin dolu olub-olmaması tərifi arasındakı fərqə diqqət yetirin
Adətən tərs funksiyadan danışarkən x-i y, y-ni x(x "y) ilə əvəz edir və y=f (-1) (x) yazır. Aydındır ki, orijinal f(x) funksiyası və tərs f (-1) (x) funksiyası əlaqəni təmin edir.
f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.
Orijinal və tərs funksiyaların qrafikləri bir-birindən birinci kvadrantın bissektrisasına nisbətən güzgü şəkli ilə alınır.
Teorem. F(x) funksiyası müəyyən edilsin, fasiləsiz və intervalda ciddi şəkildə monoton artan (azalma) olsun. Sonra seqmentdə tərs funksiya f (-1) (x) müəyyən edilir ki, o da davamlıdır və ciddi şəkildə monoton şəkildə artır (azalır).
Sübut.
f(x)-in ciddi monoton artdığı hal üçün teoremi sübut edək.
1. Tərs funksiyanın mövcudluğu.
Teorem şərtlərinə görə f(x) davamlı olduğundan, əvvəlki teoremə görə seqment tamamilə doldurulur. Bu o deməkdir ki.
Gəlin sübut edək ki, x unikaldır. Həqiqətən, əgər x’>x götürsək, onda f(x’)>f(x)=y və buna görə də f(x’)>y. x'' götürsək 2. Tərs funksiyanın monotonluğu. Adi x «y əvəzini edək və y= f (-1) (x) yazaq. Bu o deməkdir ki, x=f(y). Qoy x 1 >x 2 olsun. Sonra: y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1) y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2) y 1 və y 2 arasında hansı əlaqə var? Mümkün variantları yoxlayaq. a) y 1 b) y 1 =y 2? Lakin sonra f(y 1)=f(y 2) və x 1 =x 2 və bizdə x 1 >x 2 oldu. c) Yeganə seçim qalır y 1 >y 2, yəni. Lakin sonra f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2) və bu o deməkdir ki, f (-1) (...) ciddi şəkildə monoton artır. 3. Tərs funksiyanın davamlılığı. Çünki tərs funksiyanın dəyərləri bütün seqmenti doldurur, onda əvvəlki teoremə görə f (-1) (...) davamlıdır.< <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);"> <="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">
<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> 13.funksiyaların tərkibi. Elementar funksiyalar. y=arctg x, y = arcctg x funksiyaları, onların xassələri və qrafikləri. Cavab: Riyaziyyatda funksiyaların tərkibi (funksiyaların üstünlüyü) bir funksiyanın digərinin nəticəsinə tətbiqidir. G və F funksiyalarının tərkibi adətən G∘F ilə işarələnir ki, bu da G funksiyasının F funksiyasının nəticəsinə tətbiqini bildirir. F:X→Y və G:F(X)⊂Y→Z iki funksiya olsun. Onda onların tərkibi bərabərliklə təyin olunan G∘F:X→Z funksiyasıdır: (G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X. Elementar funksiyalar sonlu sayda arifmetik əməliyyatlardan və aşağıdakı əsas elementar funksiyalardan kompozisiyalardan istifadə etməklə əldə edilə bilən funksiyalardır: Hər bir elementar funksiya düsturla, yəni istifadə edilən əməliyyatlara uyğun gələn sonlu sayda simvollar toplusu ilə təyin oluna bilər. Bütün elementar funksiyalar öz təyinat sahəsində davamlıdır. Bəzən əsas elementar funksiyalara hiperbolik və tərs hiperbolik funksiyalar da daxildir, baxmayaraq ki, yuxarıda sadalanan əsas elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə oluna bilər. <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> İkinci dərəcəli determinant
və qaydaya uyğun olaraq hesablanır Nömrələr Üçüncü dərəcəli determinant anlayışı da oxşar şəkildə təqdim olunur. Üçüncü dərəcəli determinant
simvolu ilə ifadə olunan rəqəmdir və qaydaya uyğun olaraq hesablanır Elementlərin yaratdığı diaqonal Bərabərliyin sağ tərəfindəki hansı məhsulların (1) işarəsi ilə götürüldüyünü xatırlamaq üçün 4-cü, 5-ci və s. sıraların determinantı anlayışını təqdim edə bilərsiniz. Kiçik
Cəbri tamamlayıcı
Determinantların xassələri. Determinantın sətirləri və sütunları dəyişdirilərsə, dəyəri dəyişməyəcək. Sözügedən əməliyyat transpozisiya adlanır. Mülk 1 determinantın sətir və sütunlarının bərabərliyini müəyyən edir. Tapşırıq 1. Determinantları hesablayın: Tapşırıq 2. Determinantları birinci sütunun elementlərinə parçalayaraq hesablayın: 1)
Tapşırıq 3. Tapın 1)
mən) İki naməlumlu iki xətti qeyri-homogen tənliklər sistemi işarə edək a) Sistemin təyinedicisi olarsa b) Əgər sistemin müəyyənedicisi 1)
2) müəyyənedicilərdən ən azı biri olduqda II) Üç dəyişənli iki xətti homojen tənliklər sistemi Xətti tənlik deyilir homojen
, bu tənliyin sərbəst müddəti sıfıra bərabər olarsa. a) Əgər b) şərt olarsa III) Üç naməlum olan üç xətti qeyri-homogen tənliklər sistemi: Əsas determinantı tərtib edək və hesablayaq a) Əgər b) Əgər 1)
2) müəyyənedicilərdən ən azı biri IV) Üç naməlum olan üç xətti homojen tənliklər sistemi: Bu sistem həmişə ardıcıldır, çünki onun həlli sıfırdır. a) Sistemin təyinedicisi olarsa b) Əgər Tapşırıq 4. Tənliklər sistemini həll edin Həll. Sistemin determinantını hesablayaq Çünki Tapşırıq 5. Tənliklər sistemini həll edin Həll. Sistemin determinantını hesablayaq: Nəticədə, homojen tənliklər sisteminin sonsuz sayda sıfırdan fərqli həlli var. İlk iki tənliyin sistemini həll edirik (üçüncü tənlik onların nəticəsidir): Gəlin dəyişəni köçürək Buradan (1) düsturlarından istifadə edərək əldə edirik Müstəqil həll ediləcək problemlər Tapşırıq 6. Tənliklər sisteminin determinantlarından istifadə edərək həll edin: 1)
2)
3)
4) 5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
y = arcsin x y = arccos x
y = sin x, - / 2 x / 2 funksiyasının tərs funksiyası y = cos x, 0 x funksiyasının tərs funksiyası
y = arktan x y = arcctg x
y = tan x, - / 2 funksiyasının tərs funksiyası< x < / 2
y = cot x, 0 funksiyasının tərs funksiyası< x <
x R-də y > 0
EKSTREMA: yox yox
MONOTONYUN PERSPEKTİVLƏRİ: x R ilə artır x R kimi azalır
adlanırlar determinantın elementləri
(birinci indeks sətir nömrəsini, ikincisi isə sətir nömrəsini göstərir 
bu elementin kəsişməsində yerləşdiyi sütunun nömrəsi); elementlərin yaratdığı diaqonal 
,
, çağırdı əsas
, elementlər 
,
yan
.
,
,
, çağırdı əsas
, elementlər 
,
,
yan
.
"və bəziləri" işarəsi ilə 
", aşağıdakı "üçbucaqlar qaydasından" istifadə etmək faydalıdır:
müəyyənedicinin müəyyən elementinin bu elementin yerləşdiyi sətir və sütunu silməklə verilmiş elementdən əmələ gələn müəyyənedicidir.
müəyyənedicinin bəzi elementinin bu elementin minorunun vurulmasıdır 
, Harada 
sətir nömrəsi, 
bu elementin kəsişməsində yerləşdiyi sütunun nömrəsi:
.
1) 2)3)4).
2)
tənliklərdən:
2)
1.2. Determinantlardan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli. Kramer düsturları
sistemin əsas təyinedicisi;
,
köməkçi seçicilər.
, 
.
(1)
, onda aşağıdakı hallar mümkündür:
(tənliklər mütənasibdir), onda sistem yalnız bir tənliyi ehtiva edir, məsələn, 
və sonsuz sayda həlli var (qeyri-müəyyən sistem). Onu həll etmək üçün dəyəri ixtiyari olaraq seçilən bir dəyişəni digəri vasitəsilə ifadə etmək lazımdır;
sıfırdan fərqlidir, onda sistemin həlli yoxdur (uyğunsuz sistem).
(2)
, sonra sistem (2) bir tənliyə (məsələn, birinci) endirilir, onlardan bir naməlum digər ikisi ilə ifadə edilir, dəyərləri ixtiyari olaraq seçilir.
qane edilmir, onda (2) sistemini həll etmək üçün bir dəyişəni sağa aparırıq və Kramer düsturlarından (1) istifadə edərək iki xətti qeyri-bərabər tənliklər sistemini həll edirik.
və köməkçi seçicilər 
,
.
, onda sistem Cramer düsturlarından istifadə edərək tapılan unikal bir həllə malikdir:
, 
,
(3)
, onda aşağıdakı hallar mümkündür:
, onda sistemin sonsuz sayda həlli olacaq, o, ya bir və ya iki tənlikdən ibarət sistemə endiriləcək (biz bir naməlumu sağa aparırıq və iki naməlumlu iki tənlik sistemini həll edirik);
sıfırdan fərqlidir, sistemin həlli yoxdur.
, onda unikal sıfır həlli var.
, onda sistem ya iki tənliyə (üçüncü, onların nəticəsidir) və ya bir tənliyə (digər ikisi onun nəticəsidir) azaldır və sonsuz sayda həllə malikdir (II bölməyə baxın).
, onda sistemin unikal həlli var. Kramerin düsturlarından istifadə edək (3). Bunun üçün köməkçi determinantları hesablayırıq:
,
,
, 
,
bərabərliyin sağ tərəfinə:
,
.
