Metodi per scomporre un numero in fattori primi. Fattorizzazione

Che è successo fattorizzazione? Questo è un modo per trasformare un esempio scomodo e complesso in uno semplice e carino.) Una tecnica molto potente! Si trova ad ogni passo sia nella matematica elementare che in quella superiore.

Tali trasformazioni nel linguaggio matematico sono chiamate trasformazioni identiche di espressioni. Per chi non lo sapesse, date un'occhiata al link. C'è molto poco lì, di semplice e utile.) Il significato di ogni trasformazione dell'identità è la registrazione dell'espressione in un'altra forma pur mantenendo la sua essenza.

Senso fattorizzazione estremamente semplice e chiaro. Già dal nome stesso. Potresti dimenticare (o non sapere) cos'è un moltiplicatore, ma riesci a capire che questa parola deriva dalla parola "moltiplicare"?) Factoring significa: rappresentare un'espressione sotto forma di moltiplicazione di qualcosa per qualcosa. Che la matematica e la lingua russa mi perdonino...) Questo è tutto.

Ad esempio, devi espandere il numero 12. Puoi tranquillamente scrivere:

Quindi abbiamo presentato il numero 12 come una moltiplicazione di 3 per 4. Tieni presente che i numeri a destra (3 e 4) sono completamente diversi da quelli a sinistra (1 e 2). Ma capiamo perfettamente che 12 e 3 4 uno e lo stesso. L'essenza del numero 12 dalla trasformazione non è cambiato.

È possibile scomporre 12 in modo diverso? Facilmente!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Le opzioni di scomposizione sono infinite.

Fattorizzare i numeri è una cosa utile. Aiuta molto, ad esempio, quando si lavora con le radici. Ma fattorizzare le espressioni algebriche non è solo utile, lo è necessario! Solo per esempio:

Semplificare:

Coloro che non sanno fattorizzare un'espressione restano in disparte. Coloro che sanno come semplificare e ottenere:

L'effetto è sorprendente, vero?) A proposito, la soluzione è abbastanza semplice. Lo vedrai tu stesso qui sotto. Oppure, ad esempio, questo compito:

Risolvi l'equazione:

x5 - x4 = 0

A proposito, è deciso nella mente. Utilizzando la fattorizzazione. Risolveremo questo esempio di seguito. Risposta: x1 = 0; x2 = 1.

Oppure, la stessa cosa, ma per i più grandi):

Risolvi l'equazione:

In questi esempi ho mostrato scopo principale fattorizzazione: semplificazione di espressioni frazionarie e risoluzione di alcuni tipi di equazioni. Ti consiglio di ricordare regola pratica:

Se abbiamo davanti a noi un'espressione frazionaria spaventosa, possiamo provare a fattorizzare il numeratore e il denominatore. Molto spesso la frazione viene ridotta e semplificata.

Se abbiamo un'equazione davanti a noi, dove a destra c'è zero, e a sinistra - non capisco cosa, possiamo provare a fattorizzare il lato sinistro. A volte aiuta).

Metodi fondamentali di fattorizzazione.

Eccoli, i metodi più diffusi:

4. Espansione di un trinomio quadratico.

Questi metodi devono essere ricordati. Esattamente in quest'ordine. Vengono controllati gli esempi complessi per tutto modi possibili decomposizione. Ed è meglio controllare per ordine, per non confondersi... Allora cominciamo per ordine.)

1. Togliere il fattore comune tra parentesi.

Un modo semplice e affidabile. Da lui non viene niente di male! Succede o bene o non succede affatto.) Ecco perché viene prima. Scopriamolo.

Tutti conoscono (credo!) la regola:

a(b+c) = ab+ac

O, di più visione generale:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Tutte le uguaglianze funzionano sia da sinistra a destra che viceversa, da destra a sinistra. Puoi scrivere:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Questo è il punto centrale dell'estrazione moltiplicatore comune fuori parentesi.

Sul lato sinistro UN - moltiplicatore comune per tutti i termini. Moltiplicato per tutto ciò che esiste). A destra c'è il massimo UNè già localizzato fuori dalle parentesi.

Applicazione pratica Diamo un'occhiata al metodo utilizzando esempi. All'inizio l'opzione è semplice, persino primitiva.) Ma su questa opzione noterò ( verde) Molto punti importanti per qualsiasi fattorizzazione.

Fattorizzare:

ah+9x

Quale generale il moltiplicatore appare in entrambi i termini? X, ovviamente! Lo metteremo tra parentesi. Facciamolo. Scriviamo subito X fuori dalle parentesi:

ascia+9x=x(

E tra parentesi scriviamo il risultato della divisione ogni termine proprio su questo X. Al fine:

Questo è tutto. Naturalmente non è necessario descriverlo in modo così dettagliato, questo viene fatto nella mente. Ma è consigliabile capire cosa è cosa). Registriamo in memoria:

Scriviamo il fattore comune fuori dalle parentesi. Tra parentesi scriviamo il risultato della divisione di tutti i termini per questo fattore comune. Al fine.

Quindi abbiamo ampliato l'espressione ah+9x dai moltiplicatori. L'ho trasformato moltiplicando x per (a+9). Noto che nell'espressione originale c'era anche una moltiplicazione, anche due: a·x e 9·x. Ma quello non è stato fattorizzato! Perché oltre alla moltiplicazione questa espressione conteneva anche l’addizione, il segno “+”! E nell'espressione x(a+9) Non c'è altro che moltiplicazione!

Come mai!? - Sento la voce indignata del popolo - E tra parentesi!?)

Sì, c'è un'addizione tra parentesi. Ma il trucco è che mentre le parentesi non vengono aperte, le consideriamo come una lettera. E facciamo tutte le azioni interamente tra parentesi, come con una lettera. In questo senso, nell'espressione x(a+9) Non esiste altro che la moltiplicazione. Questo è il punto centrale della fattorizzazione.

A proposito, è possibile verificare in qualche modo se abbiamo fatto tutto correttamente? Facilmente! È sufficiente moltiplicare ciò che hai estratto (x) tra parentesi e vedere se ha funzionato originale espressione? Se funziona, tutto è fantastico!)

x(a+9)=ax+9x

Ha funzionato.)

Non ci sono problemi in questo esempio primitivo. Ma se ci sono più termini, e anche con segni diversi... Insomma, uno studente su tre sbaglia). Perciò:

Se necessario, controlla la fattorizzazione mediante moltiplicazione inversa.

Fattorizzare:

3assi+9x

Cerchiamo un fattore comune. Bene, con X è tutto chiaro, può essere eliminato. C'è di più? generale fattore? SÌ! Questo è un tre. Puoi scrivere l'espressione in questo modo:

3assi+3 3x

Qui è subito chiaro che il fattore comune sarà 3x. Qui lo tiriamo fuori:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Distribuisciti.

Cosa succede se lo tiri fuori? solo x? Niente di speciale:

3ax+9x=x(3a+9)

Anche questa sarà una fattorizzazione. Ma in questo affascinante processo è consuetudine mettere tutto al limite finché c'è un'opportunità. Qui tra parentesi c'è l'opportunità di mettere fuori un tre. Risulterà:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

La stessa cosa, solo con un'azione extra.) Ricorda:

Quando togliamo il fattore comune tra parentesi, proviamo a togliere massimo fattore comune.

Continuiamo il divertimento?)

Fattorizza l'espressione:

3akh+9х-8а-24

Cosa porteremo via? Tre, X? No... Non puoi. Ti ricordo che puoi solo da asporto generale moltiplicatore cioè in tutto termini dell'espressione. Ecco perché lui generale. Non esiste un moltiplicatore del genere qui... Cosa, non devi espanderlo!? Ebbene sì, eravamo così felici... Incontro:

2. Raggruppamento.

In realtà, è difficile dare un nome al gruppo in modo indipendente fattorizzazione. E' più un modo per uscire esempio complesso.) Dobbiamo raggruppare i termini in modo che tutto funzioni. Ciò può essere dimostrato solo con un esempio. Quindi, abbiamo l'espressione:

3akh+9х-8а-24

Si può vedere che ci sono alcune lettere e numeri comuni. Ma... Generale non esiste un moltiplicatore in tutti i termini. Non perdiamoci d'animo e spezzare l'espressione in pezzi. Raggruppamento. Affinché ogni pezzo abbia un fattore comune, c'è qualcosa da portare via. Come lo rompiamo? Sì, abbiamo semplicemente messo le parentesi.

Lascia che ti ricordi che le parentesi possono essere posizionate ovunque e come preferisci. Proprio l'essenza dell'esempio non è cambiato. Ad esempio, puoi fare questo:

3akh+9х-8а-24=(3х+9х)-(8а+24)

Si prega di prestare attenzione alle seconde parentesi! Sono preceduti dal segno meno e 8a E 24 diventato positivo! Se, per verificare, riapriamo le parentesi, i segni cambieranno e otteniamo originale espressione. Quelli. l'essenza dell'espressione tra parentesi non è cambiata.

Ma se hai semplicemente inserito le parentesi senza tenere conto del cambio di segno, ad esempio, in questo modo:

3akh+9х-8а-24=(3assi+9x) -(8a-24 )

sarebbe un errore. A destra - già altro espressione. Apri le parentesi e tutto diventerà visibile. Non devi decidere oltre, sì...)

Ma torniamo alla fattorizzazione. Consideriamo le prime parentesi (3assi+9x) e pensiamo, c'è qualcosa che possiamo togliere? Bene, abbiamo risolto questo esempio sopra, possiamo prenderlo 3x:

(3assi+9x)=3x(a+3)

Studiamo le seconde parentesi, lì possiamo aggiungere un otto:

(8a+24)=8(a+3)

La nostra intera espressione sarà:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Fattorato? NO. Il risultato della decomposizione dovrebbe essere solo moltiplicazione Ma da noi il segno meno rovina tutto. Ma... Entrambi i termini hanno un fattore comune! Questo (a+3). Non per niente ho detto che le parentesi intere sono, per così dire, una lettera. Ciò significa che queste parentesi possono essere tolte dalle parentesi. Sì, è esattamente quello che sembra.)

Facciamo come descritto sopra. Scriviamo il fattore comune (a+3), nelle seconde parentesi scriviamo il risultato della divisione dei termini per (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Tutto! A destra non c'è niente tranne la moltiplicazione! Ciò significa che la fattorizzazione è stata completata con successo!) Eccola:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Ripetiamo brevemente l'essenza del gruppo.

Se l'espressione non lo fa generale moltiplicatore per tutti termini, dividiamo l'espressione tra parentesi in modo che all'interno delle parentesi sia presente il fattore comune era. Lo tiriamo fuori e vediamo cosa succede. Se sei fortunato e tra parentesi sono rimaste espressioni assolutamente identiche, spostiamo queste parentesi fuori parentesi.

Aggiungerò che il raggruppamento è un processo creativo). Non sempre funziona la prima volta. Va bene. A volte devi scambiare i termini e considerare diverse opzioni gruppi fino a quando non ne viene trovato uno di successo. La cosa principale qui è non perdersi d'animo!)

Esempi.

Ora, dopo esserti arricchito con la conoscenza, puoi risolvere esempi complicati.) All'inizio della lezione ce n'erano tre...

Semplificare:

In sostanza, abbiamo già risolto questo esempio. All'insaputa di noi stessi.) Ti ricordo: se ci viene data una frazione terribile, proviamo a fattorizzare il numeratore e il denominatore. Altre opzioni di semplificazione semplicemente no.

Ebbene, qui non si espande il denominatore, ma il numeratore... Il numeratore lo abbiamo già espanso durante la lezione! In questo modo:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Scriviamo il risultato dell'espansione al numeratore della frazione:

Secondo la regola di riduzione delle frazioni (la proprietà principale di una frazione), possiamo dividere (allo stesso tempo!) il numeratore e il denominatore per lo stesso numero, o espressione. Frazione da questo non cambia. Quindi dividiamo numeratore e denominatore per l'espressione (3x-8). E qua e là ne troveremo qualcuno. Il risultato finale della semplificazione:

Vorrei sottolineare in particolare: ridurre una frazione è possibile se e solo se al numeratore e al denominatore, oltre a moltiplicare le espressioni non c'è nulla. Ecco perché la trasformazione della somma (differenza) in moltiplicazione così importante per la semplificazione. Naturalmente, se le espressioni diverso, allora nulla verrà ridotto. Accadrà. Ma fattorizzazione dà una possibilità. Questa possibilità senza decomposizione semplicemente non esiste.

Esempio con equazione:

Risolvi l'equazione:

x5 - x4 = 0

Eliminiamo il fattore comune x4 fuori parentesi. Otteniamo:

x4(x-1)=0

Ci rendiamo conto che il prodotto dei fattori è uguale a zero allora e solo allora, quando uno qualsiasi di essi è zero. Nel dubbio trovatemi un paio di numeri diversi da zero che, moltiplicati, diano zero.) Quindi scriviamo prima il primo fattore:

Con una tale uguaglianza, il secondo fattore non ci riguarda. Chiunque può esserlo, ma alla fine sarà comunque zero. Quale numero elevato alla quarta potenza dà lo zero? Solo zero! E nessun altro... Pertanto:

Abbiamo individuato il primo fattore e trovato una radice. Consideriamo il secondo fattore. Ora non ci interessa più il primo fattore.):

Qui abbiamo trovato una soluzione: x1 = 0; x2 = 1. Ognuna di queste radici si adatta alla nostra equazione.

Nota molto importante. Tieni presente che abbiamo risolto l'equazione pezzo per pezzo! Ogni fattore era uguale a zero, indipendentemente da altri fattori. A proposito, se in un'equazione del genere non ci sono due fattori, come il nostro, ma tre, cinque, quanti ne vuoi, risolveremo esattamente lo stesso. Pezzo per pezzo. Per esempio:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Chiunque apra le parentesi e moltiplichi tutto rimarrà bloccato su questa equazione per sempre.) Uno studente corretto vedrà immediatamente che non c'è nulla a sinistra tranne la moltiplicazione, e zero a destra. E inizierà (nella sua mente!) ad uguagliare tutte le parentesi fino a zero. E riceverà (in 10 secondi!) decisione giusta: x1 = 1; x2 = -5; x3 = 3; x4 = -2.

Fantastico, vero?) Una soluzione così elegante è possibile se si usa il lato sinistro dell'equazione fattorizzato. Hai capito?)

Bene, un ultimo esempio, per i più grandi):

Risolvi l'equazione:

È un po’ simile al precedente, non credi?) Naturalmente. È tempo di ricordare che nell'algebra della seconda media, i seni, i logaritmi e qualsiasi altra cosa può essere nascosta sotto le lettere! La fattorizzazione funziona in tutta la matematica.

Eliminiamo il fattore comune lg4x fuori parentesi. Otteniamo:

logaritmo4x=0

Questa è una radice. Consideriamo il secondo fattore.

Ecco la risposta finale: x1 = 1; x2 = 10.

Spero che tu abbia compreso il potere della fattorizzazione nel semplificare le frazioni e nel risolvere le equazioni.)

In questa lezione abbiamo imparato il factoring comune e il raggruppamento. Resta da occuparsi delle formule della moltiplicazione abbreviata e del trinomio quadratico.

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Fattorizzare gran numero- Non è un compito facile. La maggior parte delle persone ha difficoltà a capire i numeri a quattro o cinque cifre. Per semplificare il processo, scrivi il numero sopra le due colonne.

• Fattorizziamo il numero 6552.

Dividi il numero dato per il più piccolo divisore primo (diverso da 1) che divide il numero dato senza lasciare resto. Scrivi questo divisore nella colonna di sinistra e scrivi il risultato della divisione nella colonna di destra. Come notato sopra, numeri pari facile da fattorizzare, poiché il loro fattore primo più piccolo sarà sempre il numero 2 (i numeri dispari hanno fattori primi più piccoli diversi).

• Nel nostro esempio, 6552 è un numero pari, quindi 2 è il suo fattore primo più piccolo. 6552 ÷ 2 = 3276. Scrivi 2 nella colonna di sinistra e 3276 nella colonna di destra.

Successivamente, dividi il numero nella colonna di destra per il più piccolo fattore primo (diverso da 1) che divide il numero senza resto.

• Scrivi questo divisore nella colonna di sinistra e nella colonna di destra scrivi il risultato della divisione (continua questo processo finché non rimarrà più 1 nella colonna di destra).

Nel nostro esempio: 3276 ÷ 2 = 1638. Scrivi 2 nella colonna di sinistra e 1638 nella colonna di destra Successivamente: 1638 ÷ 2 = 819. Scrivi 2 nella colonna di sinistra e 819 nella colonna di destra. hai numero dispari; Per tali numeri, trovare il divisore primo più piccolo è più difficile.

• Se ottieni un numero dispari, prova a dividerlo per i numeri primi dispari più piccoli: 3, 5, 7, 11.
• Nel nostro esempio, hai ricevuto un numero dispari 819. Dividilo per 3: 819 ÷ 3 = 273. Scrivi 3 nella colonna di sinistra e 273 in quella di destra. Quando selezioni i divisori, prova tutti i numeri primi fino a dal massimo divisore che hai trovato. Se nessun divisore divide il numero per un intero, molto probabilmente hai un numero primo e puoi smettere di calcolare.

Continua il processo di divisione dei numeri in fattori primi finché non ti rimane un 1 nella colonna di destra (se ottieni un numero primo nella colonna di destra, dividilo per se stesso per ottenere 1).

• Continuiamo i calcoli nel nostro esempio:
  • Dividi per 3: 273 ÷ 3 = 91. Non c'è resto. Scrivi 3 nella colonna di sinistra e 91 nella colonna di destra.
  • Dividi per 3. 91 è divisibile per 3 con resto, quindi dividi per 5. 91 è divisibile per 5 con resto, quindi dividi per 7: 91 ÷ 7 = 13. Nessun resto. Scrivi 7 nella colonna di sinistra e 13 in quella di destra.
  • Dividi per 7. 13 è divisibile per 7 con resto, quindi dividi per 11. 13 è divisibile per 11 con resto, quindi dividi per 13: 13 ÷ 13 = 1. Non c'è resto. Scrivi 13 nella colonna di sinistra e 1 nella colonna di destra. I tuoi calcoli sono completi.

La colonna di sinistra mostra i fattori primi del numero originale. In altre parole, quando moltiplichi tutti i numeri nella colonna di sinistra, otterrai il numero scritto sopra le colonne. Se lo stesso fattore appare più di una volta nell'elenco dei fattori, utilizza gli esponenti per indicarlo. Nel nostro esempio, 2 appare 4 volte nell'elenco dei moltiplicatori; scrivi questi fattori come 2 4 anziché 2*2*2*2.

• Nel nostro esempio, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Hai scomposto 6552 in fattori primi (l'ordine dei fattori in questa notazione non ha importanza).

Qualsiasi numero composto può essere rappresentato come il prodotto dei suoi divisori primi:

28 = 2 2 7

Vengono chiamati i membri destri delle uguaglianze risultanti fattorizzazione prima numeri 15 e 28.

Fattorizzare un dato numero composto in fattori primi significa rappresentare questo numero come prodotto dei suoi fattori primi.

Viene eseguita la scomposizione di un dato numero in fattori primi come segue:

1. Per prima cosa devi selezionare il numero primo più piccolo dalla tabella dei numeri primi che divide il numero composto senza resto ed eseguire la divisione.
2. Successivamente, è necessario selezionare nuovamente il numero primo più piccolo per il quale verrà diviso il quoziente già ottenuto senza resto.
3. La seconda azione viene ripetuta finché non si ottiene uno nel quoziente.

Ad esempio, fattorizziamo il numero 940 in fattori primi. Trova il numero primo più piccolo che divide 940. Questo numero è 2:

Ora selezioniamo il numero primo più piccolo divisibile per 470. Questo numero è ancora 2:

Il più piccolo numero primo divisibile per 235 è 5:

Il numero 47 è primo, cioè il più piccolo numero primo, che divide 47, sarà questo numero stesso:

Pertanto, otteniamo il numero 940, scomposto in fattori primi:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Se la scomposizione di un numero in fattori primi dà come risultato più fattori identici, per brevità essi possono essere scritti sotto forma di potenza:

940 = 2 2 5 47

È più conveniente scrivere la scomposizione in fattori primi come segue: prima annotiamo questo numero composto e tracciamo una linea verticale alla sua destra:

A destra della riga scriviamo il più piccolo divisore primo per cui è diviso il numero composto dato:

Eseguiamo la divisione e scriviamo il quoziente risultante sotto il dividendo:

Agiamo con il quoziente allo stesso modo che con il numero composto dato, cioè selezioniamo il numero primo più piccolo per il quale è divisibile senza resto ed eseguiamo la divisione. E lo ripetiamo finché non otteniamo un'unità nel quoziente:

Tieni presente che a volte può essere piuttosto difficile scomporre un numero in fattori primi, poiché durante la fattorizzazione potremmo imbatterci un gran numero, di cui è difficile determinare immediatamente se sia semplice o composto. E se è composto, non è sempre facile trovare il suo divisore primo più piccolo.

Proviamo, ad esempio, a fattorizzare il numero 5106 in fattori primi:

Raggiunto il quoziente 851, è difficile determinarne immediatamente il divisore più piccolo. Passiamo alla tabella dei numeri primi. Se in esso c'è un numero che ci mette in difficoltà, allora è divisibile solo per se stesso e per uno. Il numero 851 non è nella tabella dei numeri primi, il che significa che è composto. Non resta che dividerlo in numeri primi mediante enumerazione sequenziale: 3, 7, 11, 13, ..., e così via finché non troviamo un divisore primo adatto. Con la forza bruta troviamo che 851 è divisibile per il numero 23.

Qualsiasi numero composto può essere scomposto in fattori primi. Possono esserci diversi metodi di decomposizione. Entrambi i metodi producono lo stesso risultato.

Come scomporre maggiormente un numero in fattori primi in modo conveniente? Diamo un'occhiata al modo migliore per farlo utilizzando esempi specifici.

Esempi.

1) Fattorizzare il numero 1400 in fattori primi.

Lo stesso numero può essere fattorizzato diversamente:

È conveniente dividere 1400 per 10. 10 non è un numero primo, quindi deve essere scomposto in fattori primi: 10=2∙5. Il risultato è 140. Lo dividiamo nuovamente per 10=2∙5. Otteniamo 14. Se 14 viene diviso per 14, allora dovrebbe anche essere scomposto in un prodotto di fattori primi: 14=2∙7.

Pertanto, siamo nuovamente arrivati ​​alla stessa decomposizione del primo caso, ma più velocemente.

Conclusione: quando si scompone un numero non è necessario dividerlo solo in fattori primi. Dividiamo per ciò che è più conveniente, ad esempio per 10. Basta ricordarsi di scomporre i divisori composti in fattori semplici.

2) Fattorizzare il numero 1620 in fattori primi.

Il modo più conveniente per dividere il numero 1620 è per 10. Poiché 10 non è un numero primo, lo rappresentiamo come prodotto di fattori primi: 10=2∙5. Abbiamo ottenuto 162. È conveniente dividerlo per 2. Il risultato è 81. Il numero 81 può essere diviso per 3, ma per 9 è più conveniente. Dato che 9 non è un numero primo, lo espandiamo come 9=3∙3. Otteniamo 9. Lo dividiamo anche per 9 e lo espandiamo nel prodotto di fattori primi.