Corso di lezioni di meccanica teorica. Meccanica teorica

Introduzione

La meccanica teorica è una delle discipline scientifiche generali fondamentali più importanti. Svolge un ruolo significativo nella formazione degli ingegneri di qualsiasi specializzazione. Le discipline ingegneristiche generali si basano sui risultati della meccanica teorica: resistenza dei materiali, parti di macchine, teoria dei meccanismi e delle macchine e altri.

Il compito principale della meccanica teorica è lo studio del movimento dei corpi materiali sotto l'influenza delle forze. Un compito particolare importante è lo studio dell'equilibrio dei corpi sotto l'influenza delle forze.

Corso di lezioni. Meccanica teorica

La struttura della meccanica teorica. Nozioni di base di statica

Condizioni di equilibrio per un sistema di forze arbitrario.

Equazioni di equilibrio per un corpo rigido.

Sistema piatto di forze.

Casi particolari di equilibrio di corpo rigido.

Problema di equilibrio di una trave.

Determinazione delle forze interne nelle strutture ad aste.

Fondamenti di cinematica puntuale.

Coordinate naturali.

La formula di Eulero.

Distribuzione delle accelerazioni dei punti di un corpo rigido.

Movimenti traslatori e rotatori.

Moto piano parallelo.

Movimento di punti complessi.

Nozioni di base sulla dinamica dei punti.

Equazioni differenziali del moto di un punto.

Tipi particolari di campi di forza.

Fondamenti della dinamica di un sistema di punti.

Teoremi generali sulla dinamica di un sistema di punti.

Dinamica del moto rotatorio di un corpo.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Corso di meccanica teorica. M., Scuola di specializzazione, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Corso di meccanica teorica, parti 1 e 2. M., Scuola superiore, 1971.

Petkevich V.V. Meccanica teorica. M., Nauka, 1981.

Raccolta di compiti per corsi nella meccanica teorica. Ed. A.A. Yablonsky. M., Scuola superiore, 1985.

Lezione 1. La struttura della meccanica teorica. Nozioni di base di statica

IN meccanica teorica viene studiato il movimento dei corpi rispetto ad altri corpi, che sono sistemi fisici di riferimento.

La meccanica consente non solo di descrivere, ma anche di prevedere il movimento dei corpi, stabilendo relazioni causali in una gamma molto ampia di fenomeni.

Modelli astratti di base di corpi reali:

punto materiale – ha massa, ma non dimensione;

corpo assolutamente rigido – un volume di dimensioni finite, completamente riempito con una sostanza, e le distanze tra due punti qualsiasi del mezzo che riempie il volume non cambiano durante il movimento;

mezzo continuo deformabile – riempie un volume finito o uno spazio illimitato; le distanze tra i punti in tale mezzo possono variare.

Di questi, i sistemi:

Sistema di punti materiali gratuiti;

Sistemi connessi;

Un corpo assolutamente solido con una cavità piena di liquido, ecc.

"Degenerati" modelli:

Canne infinitamente sottili;

Lastre infinitamente sottili;

Aste e fili senza peso che collegano punti materiali, ecc.

Per esperienza: i fenomeni meccanici si verificano in modo diverso nei diversi punti del sistema fisico di riferimento. Questa proprietà è l'eterogeneità dello spazio, determinata dal sistema fisico di riferimento. Qui, l'eterogeneità è intesa come la dipendenza della natura del verificarsi di un fenomeno dal luogo in cui osserviamo questo fenomeno.

Un'altra proprietà è l'anisotropia (non isotropia), il movimento di un corpo rispetto ad un sistema di riferimento fisico può essere diverso a seconda della direzione. Esempi: flusso del fiume lungo il meridiano (da nord a sud - Volga); volo del proiettile, pendolo di Foucault.

Le proprietà del sistema di riferimento (disomogeneità e anisotropia) rendono difficile l'osservazione del movimento di un corpo.

Praticamente libero da questo - geocentrico sistema: il centro del sistema è al centro della Terra e il sistema non ruota rispetto alle stelle “fisse”). Il sistema geocentrico è conveniente per calcolare i movimenti sulla Terra.

Per meccanica celeste(per i corpi del sistema solare): sistema di riferimento eliocentrico, che si muove con il centro di massa sistema solare e non ruota rispetto alle stelle “fisse”. Per questo sistema non ancora scoperto eterogeneità e anisotropia dello spazio

in relazione ai fenomeni meccanici.

Quindi, viene introdotto l'abstract inerziale sistema di riferimento per il quale lo spazio è omogeneo e isotropo in relazione ai fenomeni meccanici.

Sistema di riferimento inerziale- uno il cui movimento non può essere rilevato da nessun esperimento meccanico. Esperimento mentale: “un punto solo nel mondo intero” (isolato) è fermo o si muove in linea retta e uniformemente.

Tutti i sistemi di riferimento che si muovono rettilineamente e uniformemente rispetto a quello originale saranno inerziali. Ciò consente l'introduzione di un sistema di coordinate cartesiane unificato. Tale spazio si chiama euclideo.

Accordo convenzionale: prendi il giusto sistema di coordinate (Fig. 1).

IN tempo– nella meccanica classica (non relativistica). assolutamente, lo stesso per tutti i sistemi di riferimento, cioè il momento iniziale è arbitrario. A differenza della meccanica relativistica, dove viene applicato il principio di relatività.

Lo stato di movimento del sistema al tempo t è determinato dalle coordinate e dalle velocità dei punti in questo momento.

I corpi reali interagiscono e sorgono forze che modificano lo stato di movimento del sistema. Questa è l’essenza della meccanica teorica.

Come si studia la meccanica teorica?

La dottrina dell'equilibrio di un insieme di corpi di un certo sistema di riferimento - sezione statica.

Capitolo cinematica: parte della meccanica in cui si studiano le dipendenze tra quantità che caratterizzano lo stato di moto dei sistemi, ma non si considerano le ragioni che provocano un cambiamento dello stato di moto.

Successivamente, considereremo l'influenza delle forze [PARTE PRINCIPALE].

Capitolo dinamica: parte della meccanica che si occupa dell'influenza delle forze sullo stato di movimento di sistemi di oggetti materiali.

Principi per la costruzione del corso principale – dinamica:

1) basato su un sistema di assiomi (basato sull'esperienza, sulle osservazioni);

Costantemente: controllo spietato della pratica. Segno di scienza esatta – presenza di logica interna (senza di essa - una serie di ricette non correlate)!

Statico si chiama quella parte della meccanica in cui si studiano le condizioni che le forze agenti su un sistema di punti materiali devono soddisfare affinché il sistema sia in equilibrio, e le condizioni per l'equivalenza dei sistemi di forze.

I problemi di equilibrio di statica elementare verranno considerati utilizzando esclusivamente metodi geometrici basati sulle proprietà dei vettori. Questo approccio è utilizzato in statica geometrica(a differenza della statica analitica, che qui non viene considerata).

Le posizioni dei vari corpi materiali saranno legate al sistema di coordinate, che considereremo stazionario.

Modelli ideali di corpi materiali:

1) punto materiale – un punto geometrico con massa.

2) un corpo assolutamente rigido è un insieme di punti materiali, le cui distanze non possono essere modificate da alcuna azione.

Per forze chiameremo ragioni oggettive, che sono il risultato dell'interazione di oggetti materiali, capaci di provocare il movimento dei corpi da uno stato di riposo o di modificare il movimento esistente di questi ultimi.

Poiché la forza è determinata dal movimento che provoca, essa ha anche un carattere relativo, a seconda della scelta del sistema di riferimento.

Viene considerata la questione della natura delle forze nella fisica.

Un sistema di punti materiali è in equilibrio se, essendo a riposo, non riceve alcun movimento dalle forze che agiscono su di lui.

Dall'esperienza quotidiana: le forze hanno natura vettoriale, cioè grandezza, direzione, linea d'azione, punto di applicazione. La condizione per l'equilibrio delle forze agenti su un corpo rigido è ridotta alle proprietà dei sistemi vettoriali.

Riassumendo l'esperienza di studio delle leggi fisiche della natura, Galileo e Newton formularono le leggi fondamentali della meccanica, che possono essere considerate assiomi della meccanica, poiché hanno si basano su fatti sperimentali.

Assioma 1. L'azione di più forze su un punto di un corpo rigido equivale all'azione di una sola forza risultante costruito secondo la regola dell'addizione vettoriale (Fig. 2).

Conseguenza. Le forze applicate ad un punto di un corpo rigido si sommano secondo la regola del parallelogramma.

Assioma 2. Due forze applicate ad un corpo rigido reciprocamente equilibrati se e solo se sono di uguali dimensioni, diretti in direzioni opposte e giacciono sulla stessa retta.

Assioma 3. L'azione di un sistema di forze su un corpo rigido non cambierà se aggiungere a questo sistema o eliminarlo due forze di uguale intensità, dirette in direzioni opposte e giacenti sulla stessa retta.

Conseguenza. La forza che agisce su un punto di un corpo rigido può essere trasferita lungo la linea di azione della forza senza modificare l'equilibrio (cioè la forza è un vettore scorrevole, Fig. 3)

1) Attivo: crea o è in grado di creare il movimento di un corpo rigido. Ad esempio, la forza peso.

2) Passivo: non crea movimento, ma limita il movimento di un corpo solido, impedendone il movimento. Ad esempio, la forza di tensione di un filo inestensibile (Fig. 4).

Assioma 4. L'azione di un corpo su un secondo è uguale e contraria all'azione di questo secondo corpo sul primo ( l'azione equivale alla reazione).

Chiameremo le condizioni geometriche che limitano il movimento dei punti connessioni.

Termini di comunicazione: ad esempio,

- asta di lunghezza indiretta l.

- filo flessibile inestensibile di lunghezza l.

Vengono chiamate le forze causate dalle connessioni e che impediscono il movimento forze delle reazioni.

Assioma 5. Le connessioni imposte ad un sistema di punti materiali possono essere sostituite da forze di reazione, la cui azione è equivalente all'azione delle connessioni.

Quando le forze passive non riescono a bilanciare l'azione delle forze attive, inizia il movimento.

Due problemi particolari di statica

1. Sistema di forze convergenti agenti su un corpo rigido

Un sistema di forze convergentiè chiamato un tale sistema di forze, le cui linee di azione si intersecano in un punto, che può sempre essere preso come origine delle coordinate (Fig. 5).

Proiezioni del risultante:

;

;

.

Se , allora la forza provoca il movimento del corpo rigido.

Condizione di equilibrio per un sistema di forze convergenti:

2. Equilibrio di tre forze

Se su un corpo rigido agiscono tre forze, e le linee d’azione delle due forze si intersecano in un punto A, l’equilibrio è possibile se e solo se anche la linea d’azione della terza forza passa per il punto A, e la forza stessa è uguali in grandezza e opposti in direzione alla somma (Fig. 6).

Esempi:

Momento di forza rispetto al punto O definiamolo come un vettore, di dimensioni pari al doppio dell'area di un triangolo, la cui base è il vettore forza con vertice in un dato punto O; direzione– ortogonale al piano del triangolo in questione nella direzione da cui è visibile la rotazione prodotta dalla forza attorno al punto O antiorario.è il momento del vettore scorrevole ed è vettore libero(Fig.9).

COSÌ: O

,

Dove ;;.

Dove F è il modulo della forza, h è la spalla (la distanza dal punto alla direzione della forza).

Momento di forza attorno all'asseè il valore algebrico della proiezione su questo asse del vettore del momento della forza rispetto a un punto arbitrario O preso sull'asse (Fig. 10).

Questo è uno scalare indipendente dalla scelta del punto. Anzi, espandiamo :|| e nell'aereo.

A proposito dei momenti: sia O 1 il punto di intersezione con il piano. Poi:

a) da - momento => proiezione = 0.

b) da - momento in poi => è una proiezione.

COSÌ, momento attorno ad un asse è il momento della componente della forza in un piano perpendicolare all'asse rispetto al punto di intersezione del piano e dell'asse.

Teorema di Varignon per un sistema di forze convergenti:

Momento della forza risultante per un sistema di forze convergenti rispetto ad un punto arbitrario A pari alla somma momenti di tutte le componenti della forza rispetto allo stesso punto A (Fig. 11).

Prova nella teoria dei vettori convergenti.

Spiegazione: somma delle forze secondo la regola del parallelogramma => la forza risultante dà un momento totale.

Domande di sicurezza:

1. Nominare i principali modelli di corpi reali nella meccanica teorica.

2. Formulare gli assiomi della statica.

3. Cos'è il momento della forza rispetto ad un punto?

Lezione 2. Condizioni di equilibrio per un sistema di forze arbitrario

Dagli assiomi fondamentali della statica seguono le operazioni elementari sulle forze:

1) la forza può essere trasferita lungo la linea d'azione;

2) forze le cui linee d'azione si intersecano possono essere sommate secondo la regola del parallelogramma (secondo la regola della somma vettoriale);

3) al sistema di forze agenti su un corpo rigido si possono sempre aggiungere due forze, di uguale grandezza, giacenti sulla stessa retta e dirette in direzioni opposte.

Le operazioni elementari non modificano lo stato meccanico del sistema.

Chiamiamo due sistemi di forze equivalente, se l'uno dall'altro può essere ottenuto mediante operazioni elementari (come nella teoria dei vettori scorrevoli).

Viene chiamato un sistema di due forze parallele, uguali in grandezza e dirette in direzioni opposte un paio di forze(Fig. 12).

Momento di una coppia di forze- un vettore di dimensioni uguali all'area del parallelogramma costruito sui vettori della coppia, e diretto ortogonalmente al piano della coppia nella direzione da cui si vede avvenire in senso antiorario la rotazione impartita dai vettori della coppia .

, cioè il momento della forza relativo al punto B.

Una coppia di forze è completamente caratterizzata dal suo momento.

Una coppia di forze può essere trasferita mediante operazioni elementari a qualsiasi piano parallelo al piano della coppia; modificare l'entità delle forze della coppia in proporzione inversa alle spalle della coppia.

È possibile sommare coppie di forze e i momenti delle coppie di forze vengono sommati secondo la regola dell'addizione dei vettori (liberi).

Portare un sistema di forze agenti su un corpo rigido ad un punto arbitrario (centro di riduzione)- significa sostituire il sistema attuale con uno più semplice: un sistema di tre forze, una delle quali passa per un punto predeterminato, e le altre due rappresentano una coppia.

Può essere dimostrato utilizzando operazioni elementari (Fig. 13).

Un sistema di forze convergenti e un sistema di coppie di forze.

- forza risultante.

Coppia risultante.

Questo è ciò che doveva essere mostrato.

Due sistemi di forze Volere equivalente se e solo se entrambi i sistemi sono ridotti ad una forza risultante e ad una coppia risultante, cioè quando le condizioni sono soddisfatte:

Caso generale di equilibrio di un sistema di forze agenti su un corpo rigido

Riduciamo il sistema di forze a (Fig. 14):

Forza risultante attraverso l'origine;

La coppia risultante, inoltre, passa per il punto O.

Cioè, hanno portato a e - due forze, una delle quali passa attraverso un dato punto O.

Equilibrio, se i due sulla stessa retta sono uguali e opposti in direzione (assioma 2).

Poi passa per il punto O.

COSÌ, condizioni generali equilibrio di un corpo rigido:

Queste condizioni sono valide per un punto arbitrario nello spazio.

Domande di sicurezza:

1. Elencare le operazioni elementari sulle forze.

2. Quali sistemi di forze sono chiamati equivalenti?

3. Scrivere le condizioni generali per l'equilibrio di un corpo rigido.

Lezione 3. Equazioni di equilibrio per un corpo rigido

Sia O l'origine delle coordinate; – forza risultante; – momento della coppia risultante. Sia il punto O1 il nuovo centro di riduzione (Fig. 15).

Nuovo sistema di alimentazione:

Quando cambia il punto di riduzione, => cambia solo (in una direzione con un segno, nell'altra direzione con un altro). Questo è il punto: le linee coincidono

Analiticamente: (colinearità dei vettori)

; coordinate del punto O1.

Questa è l'equazione di una linea retta, per tutti i punti in cui la direzione del vettore risultante coincide con la direzione del momento della coppia risultante - la linea retta è chiamata dinamo.

Se il dinamismo => sull'asse, allora il sistema equivale a una forza risultante, che viene chiamata forza risultante del sistema. Allo stesso tempo, sempre, ovviamente.

Quattro casi di portare forze:

1.) ;- dinamismo.

2.) ;- risultante.

3.) ;- coppia.

4.) ;- equilibrio.

Due equazioni di equilibrio vettoriale: il vettore principale e il momento principale sono uguali a zero.

O sei equazioni scalari in proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:

Qui:

La complessità del tipo di equazioni dipende dalla scelta del punto di riduzione => dall'abilità del calcolatore.

Trovare le condizioni di equilibrio per un sistema di corpi solidi in interazione<=>il problema dell'equilibrio di ciascun corpo separatamente, e sul corpo agiscono forze esterne e forze interne (l'interazione dei corpi nei punti di contatto con forze uguali e dirette opposte - assioma IV, Fig. 17).

Scegliamo per tutti gli organi del sistema un centro di adduzione. Quindi per ciascun corpo con il numero della condizione di equilibrio:

, , (= 1, 2, …, k)

dove , è la forza risultante e il momento della coppia risultante di tutte le forze, eccetto le reazioni interne.

La forza risultante e il momento della coppia risultante di forze di reazioni interne.

Sommando formalmente e tenendo conto dell'assioma IV

otteniamo condizioni necessarie per l'equilibrio di un corpo solido:

,

Esempio.

Equilibrio: = ?

Domande di sicurezza:

1. Nomina tutti i casi in cui si porta un sistema di forze in un punto.

2. Cos'è il dinamismo?

3. Formulare le condizioni necessarie per l'equilibrio di un sistema di corpi solidi.

Lezione 4. Sistema di forza piatta

Un caso speciale della consegna generale del problema.

Lascia che tutte le forze agenti si trovino sullo stesso piano, ad esempio un foglio. Scegliamo il punto O come centro di riduzione - nello stesso piano. Otteniamo la forza risultante e il vapore risultante sullo stesso piano, cioè (Fig. 19)

Commento.

Il sistema può essere ridotto ad una forza risultante.

Condizioni di equilibrio:

o scalare:

Molto comune in applicazioni come la resistenza dei materiali.

Esempio.

Con l'attrito della palla sulla tavola e sull'aereo. Condizione di equilibrio: = ?

Il problema dell'equilibrio di un corpo rigido non libero.

Un corpo rigido il cui movimento è vincolato da vincoli è detto non libero. Ad esempio, altri corpi, chiusure a cerniera.

Nel determinare le condizioni di equilibrio: un corpo non libero può essere considerato libero, sostituendo i legami con forze di reazione sconosciute.

Esempio.

Domande di sicurezza:

1. Cos'è chiamato sistema piano di forze?

2. Scrivere le condizioni di equilibrio per un sistema piano di forze.

3. Quale corpo solido si dice non libero?

Lezione 5. Casi particolari di equilibrio di corpo rigido

Teorema. Tre forze equilibrano un corpo rigido solo se giacciono tutte sullo stesso piano.

Prova.

Scegliamo come punto di riduzione un punto sulla linea d'azione della terza forza. Quindi (Fig. 22)

Cioè, i piani S1 e S2 coincidono, e per qualsiasi punto sull'asse della forza, ecc. (Più semplice: in aereo lì solo per il bilanciamento).

Come parte di qualsiasi percorso formativo, lo studio della fisica inizia con la meccanica. Non da quello teorico, non da quello applicato o computazionale, ma dalla buona vecchia meccanica classica. Questa meccanica è detta anche meccanica newtoniana. Secondo la leggenda, uno scienziato mentre passeggiava in giardino, vide cadere una mela, e fu proprio questo fenomeno che lo spinse a scoprire la legge gravità universale. Naturalmente, la legge è sempre esistita e Newton le ha dato solo una forma comprensibile alle persone, ma il suo merito non ha prezzo. In questo articolo non descriveremo le leggi della meccanica newtoniana nel modo più dettagliato possibile, ma delineeremo i fondamenti, le conoscenze di base, le definizioni e le formule che possono sempre fare al caso tuo.

La meccanica è una branca della fisica, una scienza che studia il movimento dei corpi materiali e le interazioni tra loro.

La parola stessa lo ha Origine greca e si traduce come “l’arte di costruire macchine”. Ma prima di costruire macchine, siamo ancora come la Luna, quindi seguiamo le orme dei nostri antenati e studiamo il movimento delle pietre lanciate obliquamente rispetto all’orizzonte e delle mele che cadono sulle nostre teste da un’altezza h.

Perché lo studio della fisica inizia con la meccanica? Poiché questo è del tutto naturale, non dovremmo iniziare con l’equilibrio termodinamico?!

La meccanica è una delle scienze più antiche e storicamente lo studio della fisica è iniziato con i fondamenti della meccanica. Collocate nel quadro del tempo e dello spazio, le persone, infatti, non potevano iniziare con qualcos'altro, non importa quanto lo desiderassero. I corpi in movimento sono la prima cosa a cui prestiamo attenzione.

Cos'è il movimento?

Il movimento meccanico è un cambiamento nella posizione dei corpi nello spazio l'uno rispetto all'altro nel tempo.

È dopo questa definizione che arriviamo in modo del tutto naturale al concetto di quadro di riferimento. Cambiare la posizione dei corpi nello spazio l'uno rispetto all'altro. Parole chiave Qui: rispetto l'uno all'altro . Dopotutto, un passeggero in un'auto si muove rispetto alla persona in piedi sul lato della strada a una certa velocità, ed è fermo rispetto al suo vicino seduto accanto a lui, e si muove a una velocità diversa rispetto al passeggero nell'auto che li sta sorpassando.

Ecco perché, per misurare normalmente i parametri degli oggetti in movimento e non confonderci, ne abbiamo bisogno sistema di riferimento: corpo di riferimento, sistema di coordinate e orologio rigidamente interconnessi. Ad esempio, la Terra si muove attorno al Sole in un sistema di riferimento eliocentrico. Nella vita di tutti i giorni effettuiamo quasi tutte le nostre misurazioni in un sistema di riferimento geocentrico associato alla Terra. La terra è un corpo di riferimento rispetto al quale si muovono automobili, aerei, persone e animali.

La meccanica, come scienza, ha il suo compito. Il compito della meccanica è conoscere la posizione di un corpo nello spazio in ogni momento. In altre parole, la meccanica costruisce una descrizione matematica del movimento e trova connessioni tra quantità fisiche, che lo caratterizzano.

Per andare oltre, abbiamo bisogno del concetto “ punto materiale " Dicono che la fisica è una scienza esatta, ma i fisici sanno quante approssimazioni e ipotesi bisogna fare per concordare proprio su questa accuratezza. Nessuno ha mai visto un punto materiale o annusato un gas ideale, ma esistono! È semplicemente molto più facile convivere con loro.

Un punto materiale è un corpo la cui dimensione e forma possono essere trascurate nel contesto di questo problema.

Sezioni di meccanica classica

La meccanica è composta da diverse sezioni

• Cinematica
• Dinamica
• Statica

Cinematica dal punto di vista fisico studia esattamente come si muove un corpo. In altre parole, questa sezione tratta le caratteristiche quantitative del movimento. Trova velocità, percorso: problemi tipici della cinematica

Dinamica risolve la questione del perché si muove in quel modo. Cioè, considera le forze che agiscono sul corpo.

Statica studia l'equilibrio dei corpi sotto l'influenza delle forze, cioè risponde alla domanda: perché non cade affatto?

Limiti di applicabilità della meccanica classica.

La meccanica classica non pretende più di essere una scienza che spiega tutto (all'inizio del secolo scorso tutto era completamente diverso), e ha un chiaro quadro di applicabilità. In generale, le leggi della meccanica classica sono valide nel mondo a cui siamo abituati in termini di dimensioni (macromondo). Smettono di funzionare nel caso del mondo delle particelle, quando la meccanica quantistica sostituisce la meccanica classica. Inoltre, la meccanica classica non è applicabile ai casi in cui il movimento dei corpi avviene a una velocità prossima alla velocità della luce. In tali casi, gli effetti relativistici diventano pronunciati. In parole povere, nel quadro della meccanica quantistica e relativistica - meccanica classica, questo è un caso speciale quando le dimensioni del corpo sono grandi e la velocità è piccola. Puoi saperne di più dal nostro articolo.

In generale, gli effetti quantistici e relativistici non scompaiono mai; si verificano anche durante il moto ordinario dei corpi macroscopici a velocità molto inferiori a quella della luce. Un'altra cosa è che l'effetto di questi effetti è così piccolo che non va oltre le misurazioni più accurate. La meccanica classica non perderà quindi mai la sua fondamentale importanza.

Continueremo a studiare fondamenti fisici meccanica nei seguenti articoli. Per una migliore comprensione della meccanica si può sempre fare riferimento a individualmente farà luce macchia oscura il compito più difficile.

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Corso di lezioni sulla meccanica teorica Dinamica (Parte I) Bondarenko A.N. Mosca - 2007 Elettronica corso di formazione scritto sulla base di lezioni tenute dall'autore agli studenti che studiano nelle specialità di SZhD, PGS e SDM al NIIZhT e MIIT (1974-2006). Materiale didattico corrisponde ai piani di calendario per tre semestri. Per realizzare appieno gli effetti di animazione durante una presentazione, è necessario utilizzare un visualizzatore Presa della corrente non inferiore a quello integrato in Microsoft Office sistema operativo Windows XP Professional. Commenti e suggerimenti possono essere inviati via e-mail: [e-mail protetta]. Mosca università statale Ferrovie (MIIT) Dipartimento di Meccanica Teorica Centro Scientifico e Tecnico per le Tecnologie dei Trasporti

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Contenuti Lezione 1. Introduzione alla dinamica. Leggi e assiomi della dinamica di un punto materiale. Equazione fondamentale della dinamica. Equazioni differenziali e naturali del moto. Due principali problemi di dinamica. Esempi di risoluzione di un problema di dinamica diretta Lezione 2. Soluzione di un problema di dinamica inversa. Istruzioni generali per risolvere il problema inverso della dinamica. Esempi di risoluzione del problema inverso della dinamica. Movimento di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale, senza tener conto della resistenza dell'aria. Lezione 3. Oscillazioni rettilinee di un punto materiale. Condizione per il verificarsi di oscillazioni. Classificazione delle vibrazioni. Vibrazioni libere senza tener conto delle forze di resistenza. Oscillazioni smorzate. Decremento delle oscillazioni. Lezione 4. Oscillazioni forzate di un punto materiale. Risonanza. L'influenza della resistenza al movimento durante le vibrazioni forzate. Lezione 5. Moto relativo di un punto materiale. Forze d'inerzia. Casi particolari di moto per varie tipologie di moto portatile. L'influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio e sul movimento dei corpi. Lezione 6. Dinamica di un sistema meccanico. Sistema meccanico. Esterno e forze interne. Centro di massa del sistema. Teorema sul moto del centro di massa. Leggi di conservazione. Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando il teorema sul moto del centro di massa. Lezione 7. Impulso di forza. Quantità di movimento. Teorema sulla variazione della quantità di moto. Leggi di conservazione. Il teorema di Eulero. Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando il teorema sulla variazione della quantità di moto. Slancio. Teorema sulla variazione del momento angolare. Lezione 8. Leggi di conservazione. Elementi di teoria dei momenti d'inerzia. Momento cinetico di un corpo rigido. Equazione differenziale per la rotazione di un corpo rigido. Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando il teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema. Teoria elementare del giroscopio. Letture consigliate 1. Yablonsky A.A. Corso di meccanica teorica. Parte 2. M.: Scuola superiore. 1977 368 pag. 2. Meshchersky I.V. Raccolta di problemi di meccanica teorica. M.: Scienza. 1986 416 pag. 3. Raccolta incarichi per tesine / Ed. A.A. Yablonsky. M.: Scuola superiore. 1985 366 pag. 4. Bondarenko A.N. “Meccanica teorica in esempi e problemi. Dynamics” (manuale elettronico www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

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Lezione 1 Dinamica è una sezione di meccanica teorica che studia il movimento meccanico dal punto di vista più generale. Il movimento è considerato in relazione alle forze che agiscono su un oggetto. La sezione è composta da tre sezioni: Dinamica di un punto materiale Dinamica Dinamica di un sistema meccanico Meccanica analitica ■ Dinamica di un punto – studia il movimento di un punto materiale, tenendo conto delle forze che causano questo movimento. L'oggetto principale è un punto materiale: un corpo materiale dotato di massa, le cui dimensioni possono essere trascurate. Presupposti di base: – esiste uno spazio assoluto (ha proprietà puramente geometriche che non dipendono dalla materia e dal suo movimento. – esiste un tempo assoluto (indipendente dalla materia e dal suo movimento). Da ciò segue: – esiste un sistema di riferimento assolutamente immobile riferimento. – il tempo non dipende dal movimento del sistema di riferimento. – le masse dei punti in movimento non dipendono dal movimento del sistema di riferimento. Queste ipotesi sono utilizzate nella meccanica classica, creata da Galileo e Newton ampio ventaglio di applicazioni, poiché quelle considerate in. scienze applicate I sistemi meccanici non hanno masse e velocità di movimento così grandi da richiedere di tenere conto della loro influenza sulla geometria dello spazio, del tempo e del movimento, come avviene nella meccanica relativistica (la teoria della relatività). ■ Le leggi fondamentali della dinamica, scoperte per la prima volta da Galileo e formulate da Newton, costituiscono la base di tutti i metodi per descrivere e analizzare il movimento dei sistemi meccanici e la loro interazione dinamica sotto l'influenza di varie forze. ■ Legge d'inerzia (legge di Galileo-Newton) – Un punto materiale isolato, un corpo, mantiene il suo stato di quiete o di movimento lineare uniforme finché le forze applicate non lo costringono a cambiare questo stato. Ciò implica l'equivalenza dello stato di quiete e del moto per inerzia (legge della relatività di Galileo). Il sistema di riferimento rispetto al quale vale la legge d'inerzia è detto inerziale. La proprietà di un punto materiale di sforzarsi di mantenere costante la velocità del suo movimento (il suo stato cinematico) si chiama inerzia. ■ Legge di proporzionalità della forza e dell'accelerazione (Equazione base della dinamica - II legge di Newton) – L'accelerazione impressa a un punto materiale da una forza è direttamente proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa di questo punto: oppure Ecco m è la massa del punto (una misura di inerzia), misurata in kg, peso numericamente uguale diviso per l'accelerazione di caduta libera: F è la forza agente, misurata in N (1 N imprime un'accelerazione di 1 m/s2 a un punto che pesa 1 kg, 1 N = 1/9,81 kg-s). ■ Dinamica di un sistema meccanico - studia il movimento di un insieme di punti materiali e corpi solidi, uniti da leggi generali di interazione, tenendo conto delle forze che causano questo movimento. ■ Meccanica analitica: studia il movimento di sistemi meccanici vincolati utilizzando metodi analitici generali. 1

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Lezione 1 (continua – 1.2) Equazioni differenziali del moto di un punto materiale: - equazione differenziale del moto di un punto in forma vettoriale. - equazioni differenziali del moto di un punto in forma di coordinate. Questo risultato può essere ottenuto proiettando formalmente l'equazione differenziale vettoriale (1). Dopo il raggruppamento, la relazione vettoriale si scompone in tre equazioni scalari: In forma di coordinate: Usiamo la connessione tra il vettore del raggio con le coordinate e il vettore della forza con le proiezioni: oppure: Sostituiamo l'accelerazione di un punto con un movimento vettoriale specificato nella equazione base della dinamica: Le equazioni naturali del moto di un punto materiale si ottengono proiettando l'equazione differenziale vettoriale del moto sugli assi delle coordinate naturali (mobili): oppure: - equazioni naturali del moto di un punto. ■ Equazione base della dinamica: - corrisponde al metodo vettoriale per specificare il movimento di un punto. ■ Legge di indipendenza dell'azione delle forze - L'accelerazione di un punto materiale sotto l'azione di più forze è uguale alla somma geometrica delle accelerazioni del punto derivanti dall'azione di ciascuna delle forze separatamente: oppure La legge è valida per qualsiasi stato cinematico dei corpi. Le forze di interazione, essendo applicate a punti (corpi) diversi, non sono bilanciate. ■ Legge di uguaglianza di azione e reazione (III legge di Newton) – Ad ogni azione corrisponde una reazione di uguale grandezza e diretta in modo opposto: 2

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Due problemi principali della dinamica: 1. Problema diretto: il movimento è dato (equazioni del movimento, traiettoria). È necessario determinare le forze sotto l'influenza delle quali si verifica un determinato movimento. 2. Problema inverso: sono date le forze sotto l'influenza delle quali avviene il movimento. È necessario trovare i parametri del movimento (equazioni del movimento, traiettoria del movimento). Entrambi i problemi vengono risolti utilizzando l'equazione base della dinamica e la sua proiezione sugli assi coordinati. Se si considera il movimento di un punto non libero, allora, come nella statica, viene utilizzato il principio di liberazione dalle connessioni. Di conseguenza, le reazioni dei legami sono incluse nelle forze che agiscono sul punto materiale. La soluzione al primo problema è legata alle operazioni di differenziazione. Risolvere il problema inverso richiede l'integrazione delle corrispondenti equazioni differenziali e questo è molto più difficile della differenziazione. Il problema inverso è più difficile del problema diretto. Diamo un'occhiata alla soluzione del problema diretto della dinamica utilizzando degli esempi: Esempio 1. Una cabina di ascensore di peso G viene sollevata da un cavo con accelerazione a. Determinare la tensione del cavo. 1. Selezionare un oggetto (la cabina dell'ascensore si muove in traslazione e può essere considerata come un punto materiale). 2. Scartiamo la connessione (cavo) e la sostituiamo con la reazione R. 3. Componiamo l'equazione base della dinamica: Determina la reazione del cavo: Determina la tensione del cavo: Con moto uniforme della cabina, ay = 0 e la tensione del cavo è pari al peso: T = G. Se il cavo si rompe, T = 0 e l'accelerazione della cabina è pari all'accelerazione di gravità: ay = -g. 3 4. Proiettiamo l'equazione base della dinamica sull'asse y: y Esempio 2. Un punto di massa m si muove lungo una superficie orizzontale (piano Oxy) secondo le equazioni: x = a coskt, y = b coskt. Determinare la forza che agisce sul punto. 1. Selezionare un oggetto (punto materiale). 2. Scartiamo la connessione (piano) e la sostituiamo con la reazione N. 3. Aggiungiamo una forza sconosciuta F al sistema di forze 4. Componiamo l'equazione base della dinamica: 5. Proiettiamo su assi x,y: Determiniamo le proiezioni della forza: Modulo della forza: Direzione coseni: Pertanto, l'entità della forza è proporzionale alla distanza del punto dal centro delle coordinate ed è diretta verso il centro lungo la linea che collega il punto al centro . La traiettoria di un punto è un'ellisse con un centro nell'origine: O r Lezione 1 (continua – 1.3)

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Lezione 1 (continua 1.4) Esempio 3: Un carico di peso G è sospeso a un cavo di lunghezza l e si muove lungo una traiettoria circolare su un piano orizzontale con una certa velocità. L'angolo di deviazione del cavo dalla verticale è uguale. Determinare la tensione del cavo e la velocità del carico. 1. Selezionare un oggetto (carico). 2. Scartiamo la connessione (cavo) e la sostituiamo con la reazione R. 3. Componiamo l'equazione base della dinamica: Dalla terza equazione determiniamo la reazione del cavo: Determiniamo la tensione del cavo: Sostituiamo il valore della reazione del cavo, l'accelerazione normale nella seconda equazione e determiniamo la velocità del carico: 4. Proiettiamo l'equazione principale dinamica sull'asse,n,b: Esempio 4: Un'auto con peso G si muove su un piano convesso ponte (raggio di curvatura pari a R) con velocità V. Determinare la pressione della cabina sul ponte. 1. Seleziona un oggetto (auto, trascura le dimensioni e consideralo come un punto). 2. Scartiamo la connessione (superficie ruvida) e la sostituiamo con le reazioni N e la forza di attrito Ftr. 3. Componiamo l'equazione base della dinamica: 4. Proiettiamo l'equazione base della dinamica sull'asse n: Da qui determiniamo la reazione normale: Determiniamo la pressione dell'auto sul ponte: Da qui possiamo determinare la velocità corrispondente a pressione nulla sul ponte (Q = 0): 4

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Lezione 2 Dopo aver sostituito i valori trovati delle costanti, otteniamo: Pertanto, sotto l'influenza dello stesso sistema di forze, un punto materiale può eseguire un'intera classe di movimenti determinati dalle condizioni iniziali. Le coordinate iniziali tengono conto della posizione iniziale del punto. La velocità iniziale specificata dalle proiezioni tiene conto dell'influenza sul suo movimento lungo la sezione considerata della traiettoria delle forze agenti sul punto prima di arrivare a questa sezione, cioè stato cinematico iniziale. Soluzione del problema inverso della dinamica - Nel caso generale del moto di un punto, le forze agenti sul punto sono variabili dipendenti dal tempo, dalle coordinate e dalla velocità. Il moto di un punto è descritto da un sistema di tre equazioni differenziali del secondo ordine: Dopo aver integrato ciascuna di esse ci saranno sei costanti C1, C2,…., C6: I valori delle costanti C1, C2,…. , C6 si ricavano da sei condizioni iniziali a t = 0: Esempio 1 soluzione problema inverso: Un punto materiale libero di massa m si muove sotto l'azione di una forza F, costante in modulo e grandezza. . Nell'istante iniziale la velocità del punto era v0 e coincideva nella direzione con la forza. Determinare l'equazione del moto di un punto. 1. Componiamo l'equazione base della dinamica: 3. Abbassiamo l'ordine della derivata: 2. Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano, orientando l'asse x lungo la direzione della forza e proiettiamo l'equazione base della dinamica su questo asse : oppure x y z 4. Separiamo le variabili: 5. Calcoliamo gli integrali di entrambi i membri dell'equazione: 6. Immaginiamo la proiezione della velocità come derivata della coordinata rispetto al tempo: 8. Calcoliamo gli integrali di entrambi lati dell'equazione: 7. Separiamo le variabili: 9. Per determinare i valori delle costanti C1 e C2, utilizziamo le condizioni iniziali t = 0, vx = v0, x = x0: Di conseguenza, otteniamo l'equazione del moto uniformemente alternato (lungo l'asse x): 5

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Istruzioni generali per la risoluzione di problemi diretti e inversi. Procedura di soluzione: 1. Elaborazione di un'equazione differenziale del moto: 1.1. Scegli un sistema di coordinate: rettangolare (fisso) per una traiettoria sconosciuta, naturale (in movimento) per una traiettoria nota, ad esempio un cerchio o una linea retta. In quest'ultimo caso, è possibile utilizzare una coordinata rettilinea. Il punto di riferimento dovrebbe essere allineato con la posizione iniziale del punto (a t = 0) o con la posizione di equilibrio del punto, se esiste, ad esempio, quando il punto oscilla. 61.2. Disegna un punto in una posizione corrispondente a un momento arbitrario nel tempo (a t > 0) in modo che le coordinate siano positive (s > 0, x > 0). Allo stesso tempo, riteniamo che anche la proiezione della velocità in questa posizione sia positiva. Nel caso delle oscillazioni la proiezione della velocità cambia segno, ad esempio, quando si ritorna alla posizione di equilibrio. Qui si dovrebbe presumere che nel momento in esame il punto si allontani dalla posizione di equilibrio. Seguire questa raccomandazione sarà importante in futuro quando si lavorerà con forze di resistenza dipendenti dalla velocità. 1.3. Liberare un punto materiale dalle connessioni, sostituire la loro azione con reazioni, aggiungere forze attive. 1.4. Annotare la legge fondamentale della dinamica in forma vettoriale, proiettarla sugli assi selezionati, esprimere il dato o forze reattive attraverso variabili tempo, coordinate o velocità, se da esse dipendono. 2. Risoluzione di equazioni differenziali: 2.1. Abbassa la derivata se l'equazione non viene ridotta alla forma canonica (standard). ad esempio: o 2.2. Variabili separate, ad esempio: o 2.4. Non calcolare integrali definiti sui lati sinistro e destro dell'equazione, ad esempio: 2.3. Se nell'equazione sono presenti tre variabili, apportare un cambio di variabili, ad esempio: e quindi dividere le variabili. Commento. Invece di valutare gli integrali indefiniti, è possibile valutare gli integrali definiti con un limite superiore variabile. I limiti inferiori rappresentano i valori iniziali delle variabili (condizioni iniziali), quindi non è necessario trovare separatamente una costante, che viene automaticamente inclusa nella soluzione, ad esempio: Utilizzando le condizioni iniziali, ad esempio, t = 0. , vx = vx0, determinare la costante di integrazione: 2.5. Esprimere la velocità attraverso la derivata della coordinata rispetto al tempo, ad esempio, e ripetere i paragrafi 2.2 -2.4 Nota. Se l'equazione viene ridotta a una forma canonica che ha una soluzione standard, viene utilizzata questa soluzione già pronta. Le costanti di integrazione si trovano ancora dalle condizioni iniziali. Vedi, ad esempio, le oscillazioni (Lezione 4, p. 8). Lezione 2 (continua 2.2)

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Lezione 2 (continua 2.3) Esempio 2 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dal tempo. Un carico di peso P comincia a muoversi lungo una superficie orizzontale liscia sotto l'influenza di una forza F, la cui grandezza è proporzionale al tempo (F = kt). Determinare la distanza percorsa dal carico nel tempo t. 3. Componiamo l'equazione base della dinamica: 5. Abbassiamo l'ordine della derivata: 4. Proiettiamo l'equazione base della dinamica sull'asse x: oppure 7 6. Separiamo le variabili: 7. Calcoliamo gli integrali di entrambi i lati dell'equazione: 9. Immaginiamo la proiezione della velocità come derivata delle coordinate rispetto al tempo: 10. Calcoliamo gli integrali da entrambi i lati dell'equazione: 9. Separiamo le variabili: 8. Determiniamo il valore della costante C1 dalla condizione iniziale t = 0, vx = v0=0: Si ottiene così l'equazione del moto (lungo l'asse x), che dà il valore della distanza percorsa nel tempo t: 1 Scegliamo un sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Prendiamo l'oggetto del movimento come punto materiale (il corpo si muove traslatoriamente), lo liberiamo dalla connessione (il piano di riferimento) e lo sostituiamo. con una reazione (la reazione normale di una superficie liscia): 11. Determinare il valore della costante C2 dalla condizione iniziale t = 0, x = x0=0: Esempio 3 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dalla coordinata. Un punto materiale di massa m viene lanciato verso l'alto dalla superficie terrestre con velocità v0. La forza di gravità della Terra è inversamente proporzionale al quadrato della distanza da un punto al centro di gravità (il centro della Terra). Determina la dipendenza della velocità dalla distanza y dal centro della Terra. 1. Scegliamo un sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Componiamo l'equazione base della dinamica: 3. Proiettiamo l'equazione base della dinamica sull'asse y: oppure Il coefficiente di proporzionalità si trova utilizzando il peso di un punto sulla superficie terrestre: R Quindi il differenziale l'equazione ha la forma: oppure 4. Abbassiamo l'ordine della derivata: 5. Facciamo un cambio di variabile: 6. Separiamo le variabili : 7. Calcoliamo gli integrali di entrambi i lati dell'equazione: 8. Sostituiamo i limiti: Di ​​conseguenza, otteniamo un'espressione per la velocità in funzione della coordinata y: L'altezza massima del volo può essere trovata uguagliando la velocità a zero: Altezza massima volo quando il denominatore va a zero: Quindi, impostando il raggio della Terra e l'accelerazione di gravità, otteniamo la velocità di fuga II:

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Lezione 2 (continua 2.4) Esempio 2 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dalla velocità. Una nave di massa m aveva una velocità v0. La resistenza dell'acqua al movimento della nave è proporzionale alla velocità. Determinare il tempo durante il quale la velocità della nave diminuirà della metà dopo aver spento il motore, nonché la distanza percorsa dalla nave fino all'arresto completo. 8 1. Scegliamo un sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Prendiamo l'oggetto del movimento come punto materiale (la nave si muove traslatoria), lo liberiamo dai collegamenti (acqua) e lo sostituiamo con una reazione (forza di galleggiamento - la forza di Archimede), e anche la forza di resistenza al movimento. 3. Aggiungi forza attiva (gravità). 4. Componiamo l'equazione base della dinamica: 5. Proiettiamo l'equazione base della dinamica sull'asse x: oppure 6. Abbassiamo l'ordine della derivata: 7. Separiamo le variabili: 8. Calcoliamo gli integrali di entrambi i lati dell'equazione: 9. Sostituiamo i limiti: Si ottiene un'espressione che mette in relazione la velocità e il tempo t, da cui si può determinare il tempo del movimento: Tempo del movimento durante il quale la velocità diminuirà della metà: È interessante si noti che man mano che la velocità si avvicina allo zero, il tempo del movimento tende all'infinito, cioè la velocità finale non può essere zero. Perché non il “moto perpetuo”? Tuttavia, la distanza percorsa fino alla fermata è un valore finito. Per determinare la distanza percorsa, utilizziamo l'espressione ottenuta dopo aver abbassato l'ordine della derivata e apportato un cambio di variabile: Dopo l'integrazione e la sostituzione dei limiti, otteniamo: Distanza percorsa fino a fermarsi: ■ Il movimento di un punto lanciato in un punto angolo rispetto all'orizzonte in un campo di gravità uniforme senza tener conto della resistenza dell'aria Eliminando il tempo dalle equazioni del moto, otteniamo l'equazione della traiettoria: Il tempo di volo è determinato eguagliando la coordinata y a zero: L'autonomia di volo è determinata sostituendo il tempo di volo:

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Lezione 3 Oscillazioni rettilinee di un punto materiale - Il movimento oscillatorio di un punto materiale avviene alla condizione: esiste una forza di ripristino che tende a riportare il punto nella posizione di equilibrio per qualsiasi deviazione da questa posizione. 9 C'è una forza di ripristino, la posizione di equilibrio è stabile Non c'è forza di ripristino, la posizione di equilibrio è instabile Non c'è forza di ripristino, la posizione di equilibrio è indifferente C'è una forza di ripristino, la posizione di equilibrio è stabile L'analisi è necessaria L'elastico la forza di una molla è un esempio di forza di ripristino lineare. Diretto sempre verso la posizione di equilibrio, il valore è direttamente proporzionale all'allungamento lineare (accorciamento) della molla, pari allo scostamento del corpo dalla posizione di equilibrio: c è il coefficiente di rigidezza della molla, numericamente pari alla forza sottoposta alla la molla cambia la sua lunghezza di uno, misurata in N/m nel sistema SI. x y O Tipi di vibrazioni di un punto materiale: 1. Vibrazioni libere (senza tener conto della resistenza del mezzo). 2. Oscillazioni libere che tengono conto della resistenza del mezzo (oscillazioni smorzate). 3. Vibrazioni forzate. 4. Vibrazioni forzate tenendo conto della resistenza del mezzo. ■ Vibrazioni libere – si verificano solo sotto l'influenza della forza di ripristino. Scriviamo la legge fondamentale della dinamica: scegliamo un sistema di coordinate con il centro nella posizione di equilibrio (punto O) e proiettiamo l'equazione sull'asse x: portiamo l'equazione risultante nella forma standard (canonica): questa equazione è un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, il cui tipo di soluzione è determinato dalle radici dell'equazione caratteristica ottenuta mediante una sostituzione universale: Le radici dell'equazione caratteristica sono immaginarie e uguali: La soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma: Velocità del punto: Condizioni iniziali: Determinare le costanti: Quindi, l'equazione vibrazioni libere ha la forma: L'equazione può essere rappresentata da un'espressione a un termine: dove a è l'ampiezza, è la fase iniziale. Le nuove costanti a e - sono associate alle relazioni costanti C1 e C2: Definiamo a e: La causa delle oscillazioni libere è lo spostamento iniziale x0 e/o velocità iniziale v0.

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10 Lezione 3 (segue 3.2) Oscillazioni smorzate di un punto materiale – Il movimento oscillatorio di un punto materiale avviene in presenza di una forza di richiamo e di una forza di resistenza al movimento. La dipendenza della forza di resistenza al movimento dallo spostamento o dalla velocità è determinata dalla natura fisica del mezzo o della connessione che impedisce il movimento. La dipendenza più semplice è una dipendenza lineare dalla velocità (resistenza viscosa): - coefficiente di viscosità x y O Equazione base della dinamica: Proiezione dell'equazione della dinamica sull'asse: Portiamo l'equazione nella forma standard: dove L'equazione caratteristica ha radici : La soluzione generale di questa equazione differenziale ha forma diversa a seconda dei valori delle radici: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k – caso di elevata resistenza viscosa: - le radici sono vere, diverse. oppure - queste funzioni sono aperiodiche: 3. n = k: - le radici sono reali, multiple. anche queste funzioni sono aperiodiche:

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Lezione 3 (segue 3.3) Classificazione delle soluzioni di vibrazioni libere. Metodi per collegare le molle. Durezza equivalente. sì sì 11 Diff. Equazione dei caratteri. equazione Radici del carattere. equazioni Soluzione dell'equazione differenziale Grafico nk n=k

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Lezione 4 Oscillazioni forzate di un punto materiale - Insieme alla forza di richiamo agisce una forza che cambia periodicamente, chiamata forza perturbatrice. La forza perturbatrice può essere di diversa natura. Ad esempio, in un caso particolare, l'azione inerziale della massa sbilanciata m1 di un rotore rotante provoca proiezioni di forza armonicamente variabili: Equazione base della dinamica: Proiezione dell'equazione della dinamica sull'asse: Riduciamo l'equazione alla forma standard : 12 La soluzione di questa equazione differenziale disomogenea è composta da due parti x = x1 + x2: x1 è la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea e x2 è la soluzione particolare dell'equazione disomogenea: Selezioniamo una soluzione particolare nella forma della lato destro: l'uguaglianza risultante deve essere soddisfatta per qualsiasi t. Quindi: oppure Così, con l'azione simultanea di forze di ripristino e di disturbo, un punto materiale compie un movimento oscillatorio complesso, che è il risultato della somma (sovrapposizione) di oscillazioni libere (x1) e forzate (x2). Se pag< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием soluzione completa(!): Quindi, una soluzione particolare: Se p > k (oscillazioni forzate di alta frequenza), allora la fase delle oscillazioni è opposta alla fase della forza perturbatrice:

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Lezione 4 (continua 4.2) 13 Coefficiente dinamico - il rapporto tra l'ampiezza delle oscillazioni forzate e la deflessione statica di un punto sotto l'influenza di una forza costante H = cost: Ampiezza delle oscillazioni forzate: la deviazione statica può essere trovata dall'equazione di equilibrio : Qui: Da qui: Così, a p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (alta frequenza delle oscillazioni forzate) coefficiente dinamico: Risonanza - si verifica quando la frequenza delle oscillazioni forzate coincide con la frequenza delle oscillazioni naturali (p = k). Ciò si verifica più spesso quando si avvia e si arresta la rotazione di rotori scarsamente bilanciati montati su sospensioni elastiche. Equazione differenziale delle oscillazioni con frequenze uguali: una soluzione particolare nella forma del lato destro non può essere presa, perché si ottiene una soluzione linearmente dipendente (vedi soluzione generale). Soluzione generale: Sostituisci nell'equazione differenziale: Prendi una soluzione particolare nella forma e calcola le derivate: Così si ottiene la soluzione: oppure Le oscillazioni forzate durante la risonanza hanno un'ampiezza che aumenta indefinitamente in proporzione al tempo. L'influenza della resistenza al movimento durante le vibrazioni forzate. L'equazione differenziale in presenza di resistenza viscosa ha la forma: La soluzione generale è selezionata dalla tabella (Lezione 3, pagina 11) a seconda del rapporto tra n e k (vedi). Prendiamo la soluzione parziale nella forma e calcoliamo le derivate: Sostituisci nell'equazione differenziale: Uguagliando i coefficienti della stessa funzioni trigonometriche otteniamo un sistema di equazioni: Elevando alla potenza entrambe le equazioni e sommandole otteniamo l'ampiezza delle oscillazioni forzate: Dividendo la seconda equazione per la prima otteniamo lo sfasamento delle oscillazioni forzate: Pertanto, l'equazione del moto per le oscillazioni forzate oscillazioni tenendo conto della resistenza al movimento, ad esempio al n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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Lezione 5 Moto relativo di un punto materiale – Supponiamo che il sistema di coordinate mobili (non inerziali) Oxyz si muova secondo una certa legge rispetto al sistema di coordinate fisse (inerziali) O1x1y1z1. Il moto del punto materiale M (x, y, z) rispetto al sistema in movimento Oxyz è relativo, rispetto al sistema fisso O1x1y1z1 è assoluto. Il moto del sistema mobile Oxyz rispetto al sistema fisso O1x1y1z1 è moto portatile. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Equazione base della dinamica: Accelerazione assoluta di un punto: Sostituiamo l'accelerazione assoluta di un punto nell'equazione base della dinamica: Spostiamo i termini con accelerazione portatile e di Coriolis sul lato destro: I termini trasferiti hanno la dimensione delle forze e sono considerati come le corrispondenti forze inerziali, pari: Allora il moto relativo del punto può essere considerato assoluto, se alle forze agenti aggiungiamo le forze di trasferimento e di inerzia di Coriolis: Nelle proiezioni sul assi del sistema di coordinate mobili abbiamo: Casi particolari del movimento relativo del punto per vari tipi moto portatile: 1. Rotazione attorno ad un asse fisso: Se la rotazione è uniforme, allora εe = 0: 2. Movimento curvilineo traslatorio: Se il movimento è rettilineo, allora =: Se il movimento è rettilineo e uniforme, allora il sistema in movimento è il moto inerziale e quello relativo possono essere considerati assoluti: nessun fenomeno meccanico può rilevare il moto rettilineo uniforme (principio di relatività della meccanica classica). L'influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio dei corpi - Supponiamo che il corpo sia in equilibrio sulla superficie terrestre ad una latitudine arbitraria φ (parallela). La Terra ruota attorno al proprio asse da ovest a est ad una velocità angolare: il raggio della Terra è di circa 6370 km. S R – reazione totale di una superficie non liscia. G è la forza di attrazione della Terra verso il centro. F – forza d'inerzia centrifuga. Condizione di equilibrio relativo: La risultante delle forze di attrazione e inerzia è la forza di gravità (peso): L'entità della forza di gravità (peso) sulla superficie della Terra è P = mg. La forza d'inerzia centrifuga è una piccola frazione della forza di gravità: Anche la deviazione della forza di gravità dalla direzione della forza di attrazione è piccola: Pertanto, l'influenza della rotazione della Terra sull'equilibrio dei corpi è estremamente piccolo e non viene preso in considerazione nei calcoli pratici. L'entità massima della forza d'inerzia (a φ = 0 - all'equatore) è solo 0,00343 dell'entità della forza di gravità

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Lezione 5 (continua 5.2) 15 L'influenza della rotazione terrestre sul movimento dei corpi nel campo gravitazionale terrestre – Supponiamo che un corpo cada sulla Terra da una certa altezza H sopra la superficie terrestre alla latitudine φ. Scegliamo un sistema di riferimento in movimento rigidamente collegato alla Terra, dirigendo gli assi x, y tangenzialmente al parallelo e al meridiano: Equazione del moto relativo: Si tiene conto dell'esiguità della forza d'inerzia centrifuga rispetto alla forza di gravità conto qui. Pertanto, la forza di gravità si identifica con la forza di gravità. Inoltre, riteniamo che la forza di gravità sia diretta perpendicolarmente alla superficie terrestre a causa della piccola deviazione, come discusso sopra. L'accelerazione di Coriolis è uguale e diretta parallelamente all'asse y verso ovest. La forza d'inerzia di Coriolis è diretta nella direzione opposta. Proiettiamo sull'asse l'equazione del moto relativo: La soluzione della prima equazione dà: Condizioni iniziali: La soluzione della terza equazione dà: Condizioni iniziali: La terza equazione assume la forma: Condizioni iniziali: La sua soluzione dà: La soluzione risultante mostra che il corpo devia verso est quando cade. Calcoliamo l'entità di questa deviazione, ad esempio, in caso di caduta da un'altezza di 100 m. Troveremo il tempo di caduta dalla soluzione della seconda equazione: Pertanto, l'influenza della rotazione terrestre sul movimento dei corpi è estremamente. piccolo per altezze e velocità pratiche e non viene preso in considerazione nei calcoli tecnici. Dalla soluzione della seconda equazione segue anche l'esistenza della velocità lungo l'asse y, che dovrebbe causare e causa anche la corrispondente accelerazione e forza d'inerzia di Coriolis. L'influenza di questa velocità e della forza d'inerzia ad essa associata sul cambiamento di movimento sarà addirittura inferiore alla forza d'inerzia di Coriolis considerata associata alla velocità verticale.

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Lezione 6 Dinamica di un sistema meccanico. Sistema di punti materiali o sistema meccanico– Un insieme di punti materiali o materiali, uniti da leggi generali di interazione (la posizione o il movimento di ciascun punto o corpo dipende dalla posizione e dal movimento di tutti gli altri) Un sistema di punti liberi - il cui movimento non è limitato da eventuali connessioni (ad esempio, un sistema planetario in cui i pianeti sono considerati punti materiali). Un sistema di punti non liberi o un sistema meccanico non libero: il movimento di punti o corpi materiali è limitato da connessioni imposte al sistema (ad esempio, un meccanismo, una macchina, ecc.). 16 Forze agenti sul sistema. Oltre alla classificazione delle forze già esistente (forze attive e reattive), nuova classificazione forze: 1. Forze esterne (e) – che agiscono su punti e corpi del sistema da punti o corpi che non fanno parte di questo sistema. 2. Forze interne (i) – forze di interazione tra punti materiali o corpi inclusi questo sistema. La stessa forza può essere sia esterna che interna. Tutto dipende dal tipo di sistema meccanico considerato. Ad esempio: nel sistema Sole, Terra e Luna, tutte le forze gravitazionali tra loro sono interne. Considerando il sistema Terra-Luna, le forze gravitazionali applicate dal Sole sono esterne: C Z L In base alla legge di azione e reazione, ad ogni forza interna Fk corrisponde un'altra forza interna Fk’, uguale in grandezza e opposta in direzione. Da ciò derivano due notevoli proprietà delle forze interne: Il vettore principale di tutte le forze interne del sistema è uguale a zero: Il momento principale di tutte le forze interne del sistema rispetto a qualsiasi centro è uguale a zero: Oppure nelle proiezioni sulle coordinate assi: Nota. Sebbene queste equazioni siano simili alle equazioni di equilibrio, non lo sono, poiché le forze interne sono applicate a vari punti o corpi del sistema e possono far sì che questi punti (corpi) si muovano l'uno rispetto all'altro. Da queste equazioni segue che le forze interne non influenzano il movimento del sistema considerato nel suo insieme. Centro di massa di un sistema di punti materiali. Per descrivere il moto del sistema nel suo insieme si introduce un punto geometrico, detto centro di massa, il cui raggio vettore è determinato dall'espressione, dove M è la massa dell'intero sistema: Oppure in proiezioni sulla coordinata assi: le formule per il centro di massa sono simili alle formule per il centro di gravità. Tuttavia, il concetto di centro di massa è più generale perché non è correlato alle forze gravitazionali o alle forze gravitazionali.

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Lezione 6 (segue 6.2) 17 Teorema sul moto del centro di massa di un sistema – Consideriamo un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate su ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione base della dinamica: oppure Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Nella parte sinistra dell'equazione inserisci le masse sotto il segno della derivata e sostituisci la somma delle derivate con la derivata della somma: Dalla definizione del centro di massa: Sostituiamo nell'equazione risultante: Togliendo la massa del sistema dal segno della derivata otteniamo ovvero: Il prodotto della massa del sistema per l'accelerazione della sua massa centrale è uguale al vettore principale delle forze esterne. Nelle proiezioni sugli assi coordinati: il centro di massa del sistema si muove come un punto materiale con una massa pari alla massa dell'intero sistema, al quale vengono applicate tutte le forze esterne che agiscono sul sistema. Corollari dal teorema sul moto del centro di massa del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è zero, Re = 0, allora la velocità del centro di massa è costante, vC = const (il centro di massa si muove uniformemente in linea retta - legge di conservazione del movimento del centro di massa). 2. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è zero, Rxe = 0, allora la velocità del centro di massa lungo l'asse x è costante, vCx = const ( il centro di massa si muove uniformemente lungo l'asse). Affermazioni simili valgono per gli assi y e z. Esempio: due persone di massa m1 e m2 si trovano su una barca di massa m3. Nel momento iniziale, la barca con le persone era ferma. Determinare lo spostamento della barca se una persona di massa m2 si sposta verso la prua della barca ad una distanza a. 3. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è zero, Re = 0, e nell'istante iniziale la velocità del centro di massa è zero, vC = 0, allora il raggio vettore del centro di massa rimane costante, rC = const (il centro di massa è a riposo – legge di conservazione della posizione del centro di massa). 4. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è zero, Rxe = 0, e nel momento iniziale la velocità del centro di massa lungo questo asse è zero, vCx = 0, la coordinata del centro di massa lungo l'asse x rimane costante, xC = const (il centro di massa non si muove lungo questo asse). Affermazioni simili valgono per gli assi y e z. 1. Oggetto di movimento (barca con persone): 2. Elimina le connessioni (acqua): 3. Sostituisci la connessione con la reazione: 4. Aggiungi le forze attive: 5. Scrivi il teorema sul centro di massa: Proietta sull'asse x: O Determinare la distanza necessaria per raggiungere una persona di massa m1 affinché la barca rimanga ferma: La barca si sposterà di una distanza l nella direzione opposta.

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Lezione 7 L'impulso di forza è una misura dell'interazione meccanica che caratterizza la trasmissione del movimento meccanico dalle forze che agiscono su un punto per un dato periodo di tempo: 18 Nelle proiezioni sugli assi coordinati: Nel caso di una forza costante: Nelle proiezioni su gli assi coordinati: L'impulso risultante è uguale alla somma geometrica degli impulsi applicati al punto delle forze nello stesso periodo di tempo: Moltiplicare per dt: Integrare su un dato periodo di tempo: La quantità di moto di un punto è una misura di moto meccanico, determinato da un vettore pari al prodotto della massa di un punto per il vettore della sua velocità: Teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema - Consideriamo un sistema n punti materiali. Dividiamo le forze applicate su ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione base della dinamica: oppure La quantità di moto di un sistema di punti materiali è la somma geometrica delle quantità di moto dei punti materiali: Per definizione del centro di massa: Il vettore quantità di moto del sistema è uguale al prodotto della massa dell'intero sistema per il vettore velocità del centro di massa del sistema. Quindi: Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: La derivata temporale del vettore quantità di moto del sistema è uguale al vettore principale delle forze esterne del sistema. Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: A sinistra dell'equazione, inserisci le masse sotto il segno della derivata e sostituisci la somma delle derivate con la derivata della somma: Dalla definizione della quantità di moto del sistema: Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate:

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Teorema di Eulero - Applicazione del teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema al movimento di un mezzo continuo (acqua). 1. Selezioniamo come oggetto di movimento il volume d'acqua situato nel canale curvilineo della turbina: 2. Scartiamo le connessioni e sostituiamo la loro azione con reazioni (Rpov è la risultante delle forze superficiali) 3. Aggiungiamo le forze attive ( Rob è la risultante delle forze volumetriche): 4. Scriviamo il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema: Presentiamo la quantità di moto dell'acqua ai tempi t0 e t1 come somme: Variazione della quantità di moto dell'acqua nell'intervallo di tempo: Variazione nella quantità di moto dell'acqua in un intervallo di tempo infinitesimo dt: , dove F1 F2 Prendendo il prodotto di densità, area della sezione trasversale e velocità per la seconda massa otteniamo: Sostituendo nel teorema della variazione il differenziale della quantità di moto del sistema, otteniamo: Corollari dal teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è zero, Re = 0, allora il vettore della quantità di movimento è costante, Q = cost – la legge di conservazione della quantità di moto del sistema). 2. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è zero, Rxe = 0, allora la proiezione della quantità di moto del sistema sull'asse x è costante, Qx = const . Affermazioni simili valgono per gli assi y e z. Lezione 7 (continua da 7.2) Esempio: Una granata di massa M, volando a velocità v, è esplosa in due parti. La velocità di uno dei frammenti di massa m1 aumenta nella direzione del movimento fino al valore v1. Determina la velocità del secondo frammento. 1. Oggetto di movimento (granata): 2. L'oggetto è un sistema libero, non ci sono connessioni e le loro reazioni. 3. Somma le forze attive: 4. Scrivi il teorema sulla variazione della quantità di moto: Proietta sull'asse: β Separa le variabili e integra: L'integrale destro è praticamente uguale a zero, perché tempo di esplosione t

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Lezione 7 (continua 7.3) 20 Il momento angolare di un punto o il momento angolare di un punto rispetto a un centro è una misura del movimento meccanico determinato da un vettore uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore di un punto materiale e del vettore del suo momento: Il momento angolare di un sistema di punti materiali rispetto ad un centro è geometrico la somma del momento angolare di tutti i punti materiali rispetto allo stesso centro: In proiezioni sull'asse: In proiezioni sull'asse: Teorema sul cambiamento il momento angolare del sistema – Consideriamo un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate su ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione base della dinamica: oppure Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sostituiamo la somma delle derivate con la derivata della somma: L'espressione tra parentesi è il momento angolare del sistema. Quindi: Moltiplichiamo vettorialmente ciascuna delle uguaglianze per il raggio vettore di sinistra: Vediamo se è possibile spostare il segno della derivata fuori dal prodotto vettoriale: Otteniamo così: La derivata del vettore momento angolare del sistema rispetto ad un centro è uguale nel tempo al momento principale delle forze esterne del sistema rispetto allo stesso centro. Nelle proiezioni sugli assi coordinati: la derivata del momento della quantità di moto del sistema rispetto a un determinato asse nel tempo è uguale al momento principale delle forze esterne del sistema rispetto allo stesso asse.

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Lezione 8 21 ■ Corollari dal teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema (leggi di conservazione): 1. Se in un intervallo di tempo il vettore del momento principale delle forze esterne del sistema rispetto a un centro è zero, MOe = 0, quindi il vettore momento angolare del sistema relativo alla stessa costante centrale, KO = const – legge di conservazione del momento angolare del sistema). 2. Se nell'intervallo di tempo il momento principale delle forze esterne del sistema rispetto all'asse x è zero, Mxe = 0, allora il momento angolare del sistema rispetto all'asse x è costante, Kx = const. Affermazioni simili valgono per gli assi y e z. 2. Momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto all'asse: Il momento d'inerzia di un punto materiale rispetto all'asse è uguale al prodotto della massa del punto per il quadrato della distanza del punto dall'asse. Il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto all'asse è uguale alla somma dei prodotti della massa di ciascun punto e del quadrato della distanza di questo punto dall'asse. ■ Elementi di teoria dei momenti d'inerzia – Nel moto rotatorio di un corpo rigido, la misura dell'inerzia (resistenza alla variazione del moto) è il momento d'inerzia relativo all'asse di rotazione. Consideriamo i concetti di base della definizione e dei metodi di calcolo dei momenti di inerzia. 1. Momento d'inerzia di un punto materiale rispetto all'asse: Quando si passa da una massa discreta e piccola a una massa infinitesima di un punto, il limite di tale somma è determinato dall'integrale: momento d'inerzia assiale di un corpo rigido. Oltre al momento d'inerzia assiale di un corpo solido, esistono altri tipi di momenti d'inerzia: il momento d'inerzia centrifugo di un corpo solido. momento polare di inerzia di un corpo rigido. 3. Il teorema sui momenti di inerzia di un corpo rigido rispetto agli assi paralleli - la formula per la transizione agli assi paralleli: Momento di inerzia rispetto all'asse di riferimento Momenti di inerzia statici rispetto agli assi di riferimento Massa corporea Distanza tra gli assi z1 e z2 Quindi: Se l'asse z1 passa per il centro di massa, i momenti statici sono pari a zero:

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Lezione 8 (segue 8.2) 22 Momento d'inerzia di un'asta omogenea di sezione costante rispetto all'asse: x z L Selezionare il volume elementare dV = Adx alla distanza x: x dx Massa elementare: Per calcolare il momento d'inerzia relativo all'asse centrale (passante per il baricentro), è sufficiente modificare la posizione dell'asse e impostare i limiti di integrazione (-L/2, L/2). Qui dimostriamo la formula per la transizione agli assi paralleli: zC 5. Momento di inerzia di un cilindro solido omogeneo rispetto all'asse di simmetria: H dr r Selezioniamo il volume elementare dV = 2πrdrH (cilindro sottile di raggio r) : Massa elementare: qui viene utilizzata la formula per il volume del cilindro V = πR2H. Per calcolare il momento d'inerzia di un cilindro cavo (spesso) è sufficiente fissare i limiti di integrazione da R1 a R2 (R2> R1): 6. Momento d'inerzia di un cilindro sottile rispetto all'asse di simmetria (t

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Lezione 8 (continua 8.3) 23 ■ Equazione differenziale per la rotazione di un corpo rigido attorno a un asse: Scriviamo un teorema sulla variazione del momento cinetico di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso: Il momento cinetico di un corpo rigido rotante corpo è uguale a: Il momento delle forze esterne rispetto all'asse di rotazione è uguale alla coppia (reazione e forza i momenti di gravità non creano): Sostituiamo il momento cinetico e la coppia nel teorema Esempio: Due persone dello stesso peso G1 = G2 sono appesi ad una corda lanciata sopra un blocco solido di peso G3 = G1/4. Ad un certo punto, uno di loro cominciò a salire sulla corda con una velocità relativa u. Determinare il tasso di crescita di ogni persona. 1. Selezionare l'oggetto del movimento (blocco con persone): 2. Scartare le connessioni (dispositivo di supporto del blocco): 3. Sostituire la connessione con reazioni (cuscinetto): 4. Aggiungere le forze attive (forze di gravità): 5. Scrivere il teorema sulla variazione del momento cinetico del sistema rispetto all'asse di rotazione del blocco: R Poiché il momento delle forze esterne è zero, il momento cinetico deve rimanere costante: Nel momento iniziale t = 0 c'era equilibrio e Kz0 = 0. Dopo che è iniziato il movimento di una persona rispetto alla fune, l'intero sistema ha iniziato a muoversi, ma il momento cinetico del sistema deve rimanere uguale a zero: Kz = 0. Il momento cinetico del sistema è costituito dai momenti cinetici di entrambe le persone e del blocco: Qui v2 è la velocità della seconda persona, uguale alla velocità del cavo Esempio: Determinare il periodo di piccole oscillazioni libere di un'asta omogenea di massa M e lunghezza l, sospesa a un'estremità l'asse fisso di rotazione. Oppure: In caso di piccole oscillazioni sinφ φ: Periodo di oscillazione: Momento di inerzia dell'asta:

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Lezione 8 (continua da 8.4 - materiale aggiuntivo) 24 ■ Teoria elementare del giroscopio: Giroscopio - solido, ruotando attorno ad un asse di simmetria materiale, uno dei cui punti è immobile. Giroscopio libero - fissato in modo che il suo centro di massa rimanga stazionario e l'asse di rotazione passi attraverso il centro di massa e possa assumere qualsiasi posizione nello spazio, ad es. l’asse di rotazione cambia posizione come l’asse di rotazione del corpo durante il movimento sferico. Il presupposto principale della teoria approssimativa (elementare) del giroscopio è che il vettore momento angolare (momento cinetico) del rotore sia considerato diretto lungo il proprio asse di rotazione. Pertanto, nonostante nel caso generale il rotore partecipi a tre rotazioni, viene presa in considerazione solo la velocità angolare della propria rotazione ω = dφ/dt. La ragione di ciò è che in tecnologia moderna Il rotore del giroscopio ruota ad una velocità angolare dell'ordine di 5000-8000 rad/s (circa 50000-80000 giri/min), mentre le altre due velocità angolari legate alla precessione e alla nutazione del proprio asse di rotazione sono decine di migliaia di volte inferiori di questa velocità. La proprietà principale di un giroscopio libero è che l'asse del rotore mantiene una direzione costante nello spazio rispetto al sistema di riferimento inerziale (stellare) (dimostrato dal pendolo di Foucault, che mantiene invariato il piano di oscillazione rispetto alle stelle, 1852) . Ciò deriva dalla legge di conservazione del momento cinetico rispetto al centro di massa del rotore, a condizione che si trascuri l'attrito nei cuscinetti degli assi di sospensione del rotore, dei telai esterni ed interni: L'azione della forza sull'asse del giroscopio libero . Nel caso di una forza applicata all'asse del rotore, il momento delle forze esterne rispetto al centro di massa non è uguale a zero: ω ω C La derivata del momento cinetico rispetto al tempo è pari alla velocità dell'estremità di questo vettore (teorema di Resal): ciò significa che l'asse del rotore devierà in una direzione diversa dalla forza d'azione, e verso il vettore del momento di questa forza, cioè ruoterà non attorno all'asse x (sospensione interna), ma attorno all'asse y (sospensione esterna). Quando la forza cessa, l'asse del rotore rimarrà in una posizione invariata corrispondente all'ultimo momento in cui è stata applicata la forza, perché da questo momento il momento delle forze esterne torna ad essere pari a zero. In caso di forza a breve termine (impatto), l'asse del giroscopio praticamente non cambia la sua posizione. Pertanto, la rotazione rapida del rotore conferisce al giroscopio la capacità di contrastare le influenze casuali che tendono a modificare la posizione dell'asse di rotazione del rotore e, con una forza costante, mantiene la posizione del piano perpendicolare alla forza agente in cui agisce il rotore. l'asse giace. Queste proprietà sono utilizzate nel funzionamento dei sistemi di navigazione inerziale.