Pintu masukDerivatif exp x 2. Derivatif pesanan pertama dalam talian
Terbitan fungsi. The Ultimate Guide (2019)
Cuba kita bayangkan jalan lurus yang melalui kawasan berbukit. Iaitu, ia naik dan turun, tetapi tidak membelok ke kanan atau kiri. Jika paksi diarahkan secara mendatar di sepanjang jalan dan menegak, maka garisan jalan akan sangat serupa dengan graf beberapa fungsi berterusan:
Paksi ialah tahap tertentu ketinggian sifar, dalam kehidupan kita menggunakan aras laut sebagainya.
Semasa kita bergerak ke hadapan di sepanjang jalan sedemikian, kita juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga boleh mengatakan: apabila hujah berubah (pergerakan sepanjang paksi abscissa), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang paksi ordinat). Sekarang mari kita fikirkan bagaimana untuk menentukan "kecuraman" jalan kita? Apakah jenis nilai ini? Ia sangat mudah: berapa banyak ketinggian akan berubah apabila bergerak ke hadapan pada jarak tertentu. Sesungguhnya, pada bahagian jalan yang berbeza, bergerak ke hadapan (di sepanjang paksi-x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun dengan kuantiti yang berbeza meter berbanding paras laut (di sepanjang paksi ordinat).
Mari kita nyatakan kemajuan (baca "delta x").
Huruf Yunani (delta) biasanya digunakan dalam matematik sebagai awalan yang bermaksud "perubahan". Iaitu, ini adalah perubahan dalam kuantiti, - perubahan; kemudian apa itu? Betul, perubahan magnitud.
Penting: ungkapan ialah satu keseluruhan, satu pembolehubah. Jangan sekali-kali memisahkan "delta" daripada "x" atau mana-mana huruf lain!
Iaitu, sebagai contoh,.
Jadi, kami telah bergerak ke hadapan, secara mendatar, dengan. Jika kita membandingkan garis jalan dengan graf fungsi, maka bagaimana kita menyatakan kenaikan? Pastinya, . Iaitu, apabila kita bergerak ke hadapan, kita meningkat lebih tinggi.
Nilainya mudah dikira: jika pada mulanya kita berada pada ketinggian, dan selepas bergerak kita mendapati diri kita berada pada ketinggian, maka. Jika titik akhir lebih rendah daripada titik mula, ia akan menjadi negatif - ini bermakna kita tidak menaik, tetapi menurun.
Mari kita anggap bahawa pada beberapa bahagian jalan, apabila bergerak ke hadapan sejauh satu kilometer, jalan itu naik satu kilometer. Kemudian cerun di tempat ini adalah sama. Dan jika jalan raya, semasa bergerak ke hadapan dengan m, menurun dengan km? Kemudian cerun adalah sama.
Sekarang mari kita lihat di puncak bukit. Jika anda mengambil permulaan bahagian setengah kilometer sebelum puncak, dan penghujung setengah kilometer selepas itu, anda dapat melihat bahawa ketinggiannya hampir sama.
Iaitu, mengikut logik kita, ternyata cerun di sini hampir sama dengan sifar, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak kilometer banyak boleh berubah. Adalah perlu untuk mempertimbangkan kawasan yang lebih kecil untuk penilaian kecuraman yang lebih mencukupi dan tepat. Sebagai contoh, jika anda mengukur perubahan ketinggian semasa anda bergerak satu meter, hasilnya akan menjadi lebih tepat. Tetapi ketepatan ini mungkin tidak mencukupi untuk kita - lagipun, jika ada tiang di tengah jalan, kita boleh melepasinya. Apakah jarak yang harus kita pilih kemudian? Sentimeter? milimeter? Kurang lebih!
DALAM kehidupan sebenar Mengukur jarak ke milimeter terdekat adalah lebih daripada mencukupi. Tetapi ahli matematik sentiasa berusaha untuk kesempurnaan. Oleh itu, konsep itu dicipta sangat kecil, iaitu, nilai mutlak adalah kurang daripada sebarang nombor yang boleh kita namakan. Sebagai contoh, anda berkata: satu trilion! berapa kurang? Dan anda membahagikan nombor ini dengan - dan ia akan menjadi lebih sedikit. Dan seterusnya. Jika kita ingin menulis bahawa kuantiti adalah sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung kepada sifar"). Ia sangat penting untuk difahami bahawa nombor ini bukan sifar! Tetapi sangat dekat dengannya. Ini bermakna anda boleh membahagikannya.
Konsep yang bertentangan dengan infinitesimal ialah infinites large (). Anda mungkin telah menemuinya semasa anda mengusahakan ketidaksamaan: nombor ini adalah modulo lebih besar daripada sebarang nombor yang anda boleh fikirkan. Jika anda menghasilkan nombor terbesar yang mungkin, hanya darabkan dengan dua dan anda akan mendapat nombor yang lebih besar. Dan infiniti lebih hebat daripada apa yang berlaku. Sebenarnya, yang tidak terhingga besar dan yang tidak terhingga kecil adalah songsang antara satu sama lain, iaitu, di, dan sebaliknya: at.
Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Cerun yang dikira ideal ialah cerun yang dikira untuk segmen laluan yang sangat kecil, iaitu:
Saya perhatikan bahawa dengan anjakan sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tetapi izinkan saya mengingatkan anda bahawa sangat kecil tidak bermakna sama dengan sifar. Jika anda membahagi nombor terhingga dengan satu sama lain, anda boleh mendapatkan agak nombor biasa, Sebagai contoh, . Iaitu, satu nilai kecil boleh menjadi tepat kali lebih besar daripada yang lain.
Untuk apa semua ini? Jalan, kecuramannya... Kami tidak akan mengadakan perhimpunan kereta, tetapi kami mengajar matematik. Dan dalam matematik semuanya betul-betul sama, hanya dipanggil berbeza.
Konsep terbitan
Terbitan fungsi ialah nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah untuk kenaikan hujah yang sangat kecil.
secara berperingkat dalam matematik mereka panggil perubahan. Sejauh mana hujah () berubah semasa ia bergerak di sepanjang paksi dipanggil pertambahan hujah dan ditetapkan Berapa banyak fungsi (ketinggian) telah berubah apabila bergerak ke hadapan sepanjang paksi dengan jarak dipanggil kenaikan fungsi dan ditetapkan.
Jadi, terbitan fungsi ialah nisbah kepada bila. Kami menandakan terbitan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan perdana di bahagian atas sebelah kanan: atau ringkasnya. Jadi, mari kita tulis formula terbitan menggunakan tatatanda ini:
Seperti dalam analogi dengan jalan, di sini apabila fungsi meningkat, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia adalah negatif.
Bolehkah terbitan sama dengan sifar? Sudah tentu. Sebagai contoh, jika kita memandu di jalan mendatar yang rata, kecuramannya adalah sifar. Dan memang benar, ketinggian tidak berubah sama sekali. Begitu juga dengan derivatif: terbitan bagi fungsi malar (malar) adalah sama dengan sifar:
kerana kenaikan fungsi sedemikian adalah sama dengan sifar untuk sebarang.
Mari kita ingat contoh puncak bukit. Ternyata adalah mungkin untuk mengatur hujung segmen pada sisi bertentangan dengan bucu sedemikian rupa sehingga ketinggian di hujungnya ternyata sama, iaitu, segmen itu selari dengan paksi:
Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak tepat. Kami akan menaikkan segmen kami selari dengan dirinya sendiri, maka panjangnya akan berkurangan.
Akhirnya, apabila kita hampir tidak terhingga dengan bahagian atas, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada masa yang sama, ia kekal selari dengan paksi, iaitu, perbezaan ketinggian di hujungnya adalah sama dengan sifar (ia tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi terbitan
Ini boleh difahami dengan cara ini: apabila kita berdiri di bahagian paling atas, anjakan kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita secara diabaikan.
Terdapat juga penjelasan algebra semata-mata: di sebelah kiri bucu fungsi meningkat, dan ke kanan ia berkurangan. Seperti yang kita ketahui sebelum ini, apabila fungsi bertambah, terbitan adalah positif, dan apabila ia menurun, ia negatif. Tetapi ia berubah dengan lancar, tanpa lompatan (kerana jalan tidak mengubah cerunnya secara mendadak di mana-mana). Oleh itu, mesti ada antara nilai negatif dan positif. Ia akan menjadi tempat fungsi tidak bertambah atau berkurang - pada titik puncak.
Perkara yang sama berlaku untuk palung (kawasan di mana fungsi di sebelah kiri berkurangan dan di sebelah kanan meningkat):
Sedikit lagi tentang kenaikan.
Jadi kita tukar hujah kepada magnitud. Kita tukar dari nilai apa? Apa sudah jadi (hujah) sekarang? Kami boleh memilih mana-mana titik, dan sekarang kami akan menari daripadanya.
Pertimbangkan satu titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: kami meningkatkan koordinat dengan. Apa hujahnya sekarang? Sangat mudah: . Apakah nilai fungsi itu sekarang? Di mana hujah pergi, begitu juga fungsi: . Bagaimana pula dengan kenaikan fungsi? Tiada apa-apa yang baharu: ini masih merupakan jumlah yang mana fungsi telah berubah:
Berlatih mencari kenaikan:
- Cari kenaikan fungsi pada titik apabila kenaikan hujah adalah sama dengan.
- Begitu juga dengan fungsi pada satu titik.
Penyelesaian:
Pada titik yang berbeza dengan kenaikan hujah yang sama, kenaikan fungsi akan berbeza. Ini bermakna derivatif pada setiap titik adalah berbeza (kami membincangkan perkara ini pada awal-awal lagi - kecuraman jalan adalah berbeza pada titik yang berbeza). Oleh itu, apabila kita menulis derivatif, kita mesti menunjukkan pada titik mana:
Fungsi kuasa.
Fungsi kuasa ialah fungsi di mana hujahnya berada pada tahap tertentu (logik, bukan?).
Lebih-lebih lagi - setakat mana pun: .
Kes paling mudah ialah apabila eksponen ialah:
Mari cari terbitannya pada satu titik. Mari kita ingat definisi terbitan:
Jadi hujah berubah dari kepada. Apakah pertambahan fungsi itu?
Kenaikan adalah ini. Tetapi fungsi pada mana-mana titik adalah sama dengan hujahnya. Itulah sebabnya:
Derivatif adalah sama dengan:
Terbitan bagi adalah sama dengan:
b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadratik (): .
Sekarang mari kita ingat itu. Ini bermakna bahawa nilai kenaikan boleh diabaikan, kerana ia adalah sangat kecil, dan oleh itu tidak penting dengan latar belakang istilah lain:
Jadi, kami datang dengan peraturan lain:
c) Kami meneruskan siri logik: .
Ungkapan ini boleh dipermudahkan dengan cara yang berbeza: buka kurungan pertama menggunakan formula untuk pendaraban singkatan kubus hasil tambah, atau memfaktorkan keseluruhan ungkapan menggunakan formula perbezaan kubus. Cuba lakukan sendiri menggunakan mana-mana kaedah yang dicadangkan.
Jadi, saya mendapat perkara berikut:
Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Ini bermakna kita boleh mengabaikan semua istilah yang mengandungi:
Kami mendapat: .
d) Peraturan yang serupa boleh didapati untuk kuasa besar:
e) Ternyata peraturan ini boleh digeneralisasikan untuk fungsi kuasa dengan eksponen sewenang-wenangnya, malah bukan integer:
| (2) |
Peraturan itu boleh dirumuskan dalam perkataan: "darjah dibawa ke hadapan sebagai pekali, dan kemudian dikurangkan dengan ."
Kami akan membuktikan peraturan ini kemudian (hampir pada penghujungnya). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari terbitan bagi fungsi:
- (dalam dua cara: dengan formula dan menggunakan takrifan derivatif - dengan mengira kenaikan fungsi);
- . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kuasa. Jika anda mempunyai soalan seperti "Bagaimana ini? Mana ijazah?”, ingat topik “”!
Ya, ya, akarnya juga ijazah, hanya pecahan: .
Ini bermakna punca kuasa dua kita hanyalah kuasa dengan eksponen:
.
Kami mencari derivatif menggunakan formula yang baru dipelajari:Jika pada ketika ini ia menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik “”!!! (tentang ijazah dengan penunjuk negatif)
- . Sekarang eksponen:
Dan sekarang melalui definisi (adakah anda sudah lupa?):
;
.
Sekarang, seperti biasa, kami mengabaikan istilah yang mengandungi:
. - . Gabungan kes terdahulu: .
Fungsi trigonometri.
Di sini kita akan menggunakan satu fakta daripada matematik yang lebih tinggi:
Dengan ekspresi.
Anda akan mempelajari buktinya pada tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, anda perlu lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafik:
Kami melihat bahawa apabila fungsi itu tidak wujud - titik pada graf dipotong. Tetapi semakin dekat dengan nilai, semakin dekat fungsi itu.
Selain itu, anda boleh menyemak peraturan ini menggunakan kalkulator. Ya, ya, jangan segan, ambil kalkulator, kita belum berada di Peperiksaan Negeri Bersepadu lagi.
Jadi, jom cuba: ;
Jangan lupa tukar kalkulator anda kepada mod Radians!
dll. Kami melihat bahawa semakin kecil, semakin hampir nilai nisbah kepada.
a) Pertimbangkan fungsinya. Seperti biasa, mari cari kenaikannya:
Mari tukarkan perbezaan sinus kepada produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula (ingat topik ""): .
Sekarang derivatifnya:
Jom buat pengganti: . Kemudian untuk infinitesimal ia juga infinitesimal: . Ungkapan untuk mengambil bentuk:
Dan sekarang kita ingat itu dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika kuantiti yang tidak terhingga boleh diabaikan dalam jumlah (iaitu, pada).
Jadi kita dapat peraturan seterusnya:terbitan sinus adalah sama dengan kosinus:
Ini adalah terbitan asas (“jadual”). Inilah mereka dalam satu senarai:
Kemudian kami akan menambah beberapa lagi kepada mereka, tetapi ini adalah yang paling penting, kerana ia digunakan paling kerap.
Amalan:
- Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik;
- Cari terbitan bagi fungsi itu.
Penyelesaian:
- Mula-mula, mari kita cari derivatif dalam pandangan umum, dan kemudian gantikan nilainya:
;
. - Di sini kita mempunyai sesuatu yang serupa dengan fungsi kuasa. Mari cuba bawa dia ke
pandangan biasa:
.
Hebat, kini anda boleh menggunakan formula:
.
. - . Eeeeee….. Apa ni????
Okay, anda betul, kami belum tahu cara mencari derivatif sedemikian. Di sini kita mempunyai gabungan beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, anda perlu mempelajari beberapa peraturan lagi:
Logaritma eksponen dan asli.
Terdapat fungsi dalam matematik yang terbitan untuk sebarang nilai adalah sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada masa yang sama. Ia dipanggil "eksponen", dan merupakan fungsi eksponen
Asas bagi fungsi ini - pemalar - ialah pecahan perpuluhan tak terhingga, iaitu nombor tak rasional (seperti). Ia dipanggil "nombor Euler", itulah sebabnya ia dilambangkan dengan huruf.
Jadi, peraturannya:
Sangat mudah diingati.
Nah, mari kita tidak pergi jauh, mari kita segera pertimbangkan fungsi songsang. Fungsi yang manakah merupakan songsang bagi fungsi eksponen? Logaritma:
Dalam kes kami, asasnya ialah nombor:
Logaritma sedemikian (iaitu, logaritma dengan asas) dipanggil "semula jadi", dan kami menggunakan notasi khas untuknya: kami menulis sebaliknya.
Apakah persamaannya? Sudah tentu.
Terbitan logaritma asli juga sangat mudah:
Contoh:
- Cari terbitan bagi fungsi itu.
- Apakah terbitan bagi fungsi tersebut?
Jawapan: Pempamer dan logaritma semula jadi- fungsi unik mudah dari segi derivatif. Fungsi eksponen dan logaritma dengan mana-mana asas lain akan mempunyai derivatif yang berbeza, yang akan kita analisis kemudian, selepas kita melalui peraturan pembezaan.
Peraturan pembezaan
Peraturan apa? Lagi penggal baru, lagi?!...
Pembezaan ialah proses mencari terbitan.
Itu sahaja. Apa lagi yang boleh anda panggil proses ini dalam satu perkataan? Bukan derivatif... Ahli matematik memanggil pembezaan sebagai kenaikan yang sama bagi fungsi di. Istilah ini berasal dari differentia Latin - perbezaan. Di sini.
Apabila memperoleh semua peraturan ini, kami akan menggunakan dua fungsi, sebagai contoh, dan. Kami juga memerlukan formula untuk kenaikannya:
Terdapat 5 peraturan secara keseluruhan.
Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan.
Jika - beberapa nombor malar (malar), maka.
Jelas sekali, peraturan ini juga berfungsi untuk perbezaan: .
Jom buktikan. Biarlah, atau lebih mudah.
Contoh.
Cari terbitan bagi fungsi:
- pada satu titik;
- pada satu titik;
- pada satu titik;
- pada titik.
Penyelesaian:
- (derivatif adalah sama di semua titik, kerana ia adalah fungsi linear, ingat?);
Derivatif produk
Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baharu dan cari kenaikannya:
Derivatif:
Contoh:
- Cari terbitan bagi fungsi dan;
- Cari terbitan bagi fungsi pada satu titik.
Penyelesaian:
Terbitan bagi fungsi eksponen
Sekarang pengetahuan anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari derivatif mana-mana fungsi eksponen, dan bukan hanya eksponen (adakah anda sudah lupa apakah itu?).
Jadi, mana ada nombor.
Kami sudah mengetahui terbitan fungsi tersebut, jadi mari cuba bawa fungsi kami ke pangkalan baharu:
Untuk ini kami akan gunakan peraturan mudah: . Kemudian:
Nah, ia berjaya. Sekarang cuba cari derivatif, dan jangan lupa bahawa fungsi ini adalah kompleks.
Adakah ia berjaya?
Di sini, semak diri anda:
Formula itu ternyata sangat serupa dengan terbitan eksponen: seperti sediakala, ia tetap sama, hanya faktor yang muncul, iaitu hanya nombor, tetapi bukan pembolehubah.
Contoh:
Cari terbitan bagi fungsi:
Jawapan:
Ini hanyalah nombor yang tidak boleh dikira tanpa kalkulator, iaitu, ia tidak boleh ditulis dalam apa-apa lagi. dalam bentuk mudah. Oleh itu, kami meninggalkannya dalam borang ini dalam jawapan.
Terbitan bagi fungsi logaritma
Ia serupa di sini: anda sudah mengetahui terbitan logaritma asli:
Oleh itu, untuk mencari logaritma arbitrari dengan asas yang berbeza, sebagai contoh:
Kita perlu mengurangkan logaritma ini kepada asas. Bagaimanakah anda menukar asas logaritma? Saya harap anda ingat formula ini:
Hanya sekarang kami akan menulis sebaliknya:
Penyebutnya hanyalah pemalar (nombor tetap, tanpa pembolehubah). Derivatif diperoleh dengan sangat mudah:
Terbitan bagi fungsi eksponen dan logaritma hampir tidak pernah ditemui dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu, tetapi ia tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.
Terbitan fungsi kompleks.
Apakah "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan arctangent. Fungsi ini boleh menjadi sukar untuk difahami (walaupun jika anda mendapati logaritma sukar, baca topik "Logaritma" dan anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandangan matematik, perkataan "kompleks" tidak bermaksud "sukar".
Bayangkan tali pinggang penghantar kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Sebagai contoh, yang pertama membungkus bar coklat dalam pembungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan reben. Hasilnya ialah objek komposit: bar coklat dibalut dan diikat dengan reben. Untuk makan sebatang coklat, anda perlu melakukan langkah terbalik dalam susunan terbalik.
Mari kita cipta saluran paip matematik yang serupa: mula-mula kita akan mencari kosinus nombor, dan kemudian kuasa dua nombor yang terhasil. Jadi, kita diberi nombor (coklat), saya dapati kosinusnya (pembungkus), dan kemudian anda kuasai apa yang saya dapat (ikat dengan reben). Apa yang berlaku? Fungsi. Ini ialah contoh fungsi kompleks: apabila, untuk mencari nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan pembolehubah, dan kemudian tindakan kedua dengan apa yang terhasil daripada yang pertama.
Kita boleh melakukan langkah yang sama dengan mudah dalam susunan terbalik: mula-mula anda kuasa duakannya, dan kemudian saya mencari kosinus nombor yang terhasil: . Sangat mudah untuk meneka bahawa hasilnya hampir selalu berbeza. Ciri penting fungsi kompleks: apabila susunan tindakan berubah, fungsi berubah.
Dengan kata lain, fungsi kompleks ialah fungsi yang hujahnya adalah fungsi lain: .
Untuk contoh pertama, .
Contoh kedua: (perkara yang sama). .
Tindakan yang kita lakukan terakhir akan dipanggil fungsi "luar"., dan tindakan yang dilakukan terlebih dahulu - sewajarnya fungsi "dalaman".(ini adalah nama tidak rasmi, saya menggunakannya hanya untuk menerangkan bahan dalam bahasa mudah).
Cuba tentukan sendiri fungsi luaran dan dalaman yang mana:
Jawapan: Mengasingkan fungsi dalam dan luar sangat serupa dengan mengubah pembolehubah: contohnya, dalam fungsi
- Apakah tindakan yang akan kita lakukan terlebih dahulu? Mula-mula, mari kita hitung sinus, dan kemudian kiubkannya. Ini bermakna ia adalah fungsi dalaman, tetapi fungsi luaran.
Dan fungsi asal adalah komposisi mereka: . - Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: . - Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: . - Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: . - Dalaman: ; luaran: .
Peperiksaan: .
Kami menukar pembolehubah dan mendapatkan fungsi.
Nah, sekarang kami akan mengekstrak bar coklat kami dan mencari derivatifnya. Prosedur ini sentiasa diterbalikkan: mula-mula kita mencari derivatif fungsi luar, kemudian kita darabkan hasilnya dengan derivatif fungsi dalam. Berhubung dengan contoh asal, ia kelihatan seperti ini:
Contoh lain:
Jadi, mari kita rumuskan peraturan rasmi:
Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:
Nampak simple kan?
Mari kita semak dengan contoh:
Penyelesaian:
1) Dalaman: ;
Luaran: ;
2) Dalaman: ;
(jangan cuba potong sekarang! Tiada apa-apa yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)
3) Dalaman: ;
Luaran: ;
Ia dengan serta-merta jelas bahawa ini adalah fungsi kompleks tiga peringkat: lagipun, ini sudah menjadi fungsi yang kompleks dengan sendirinya, dan kami juga mengeluarkan akar daripadanya, iaitu, kami melakukan tindakan ketiga (kami meletakkan coklat dalam pembalut dan dengan reben di dalam beg bimbit). Tetapi tidak ada sebab untuk takut: kami masih akan "membongkar" fungsi ini dalam susunan yang sama seperti biasa: dari akhir.
Iaitu, mula-mula kita membezakan akar, kemudian kosinus, dan hanya kemudian ungkapan dalam kurungan. Dan kemudian kita melipatgandakan semuanya.
Dalam kes sedemikian, adalah mudah untuk menomborkan tindakan. Maksudnya, mari kita bayangkan apa yang kita tahu. Dalam susunan apakah kita akan melakukan tindakan untuk mengira nilai ungkapan ini? Mari lihat contoh:
Lebih lewat tindakan itu dilakukan, lebih banyak "luaran" fungsi yang sepadan. Urutan tindakan adalah sama seperti sebelumnya:
Di sini sarang biasanya 4 peringkat. Mari kita tentukan arah tindakan.
1. Ungkapan radikal. .
2. Akar. .
3. Sinus. .
4. Segi empat. .
5. Menyatukan semuanya:
TERBITAN. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Terbitan fungsi- nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah untuk kenaikan hujah yang tidak terhingga:
Derivatif asas:
Peraturan pembezaan:
Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan:
Terbitan jumlah:
Derivatif produk:
Terbitan hasil bagi:
Terbitan fungsi kompleks:
Algoritma untuk mencari terbitan fungsi kompleks:
- Kami mentakrifkan fungsi "dalaman" dan mencari terbitannya.
- Kami mentakrifkan fungsi "luaran" dan mencari terbitannya.
- Kami mendarabkan keputusan mata pertama dan kedua.
Tarikh: 05/10/2015
Bagaimana untuk mencari derivatif?
Peraturan pembezaan.
Untuk mencari terbitan mana-mana fungsi, anda hanya perlu menguasai tiga konsep:
2. Peraturan pembezaan.
3. Terbitan bagi fungsi kompleks.
Tepat dalam susunan itu. Ini adalah petunjuk.)
Sudah tentu, adalah baik untuk mempunyai idea tentang derivatif secara umum). Apa itu derivatif dan cara bekerja dengan jadual derivatif dijelaskan dengan jelas dalam pelajaran sebelumnya. Di sini kita akan berurusan dengan peraturan pembezaan.
Pembezaan ialah operasi mencari terbitan. Tiada apa yang lebih tersembunyi di sebalik istilah ini. Itu. ungkapan "cari terbitan bagi suatu fungsi" Dan "membezakan fungsi"- ia adalah perkara yang sama.
Ungkapan "peraturan pembezaan" merujuk kepada mencari terbitan daripada operasi aritmetik. Pemahaman ini banyak membantu mengelakkan kekeliruan dalam kepala anda.
Mari kita tumpukan perhatian dan ingat semua, semua, semua operasi aritmetik. Terdapat empat daripadanya). Penambahan (jumlah), penolakan (perbezaan), pendaraban (hasil), dan pembahagian (quotient). Inilah mereka, peraturan pembezaan:
Pinggan menunjukkan lima peraturan pada empat operasi aritmetik. Saya tidak tersilap.) Cuma peraturan 4 adalah akibat asas peraturan 3. Tetapi ia sangat popular sehingga masuk akal untuk menulis (dan ingat!) sebagai formula bebas.
Di bawah sebutan U Dan V beberapa (sama sekali!) fungsi tersirat U(x) Dan V(x).
Mari lihat beberapa contoh. Pertama - yang paling mudah.
Cari terbitan bagi fungsi y=sinx - x 2
Di sini kita ada perbezaan dua fungsi asas. Kami menggunakan peraturan 2. Kami akan menganggap bahawa sinx ialah fungsi U, dan x 2 ialah fungsi V. Kami mempunyai hak untuk menulis:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Itu lebih baik, bukan?) Yang tinggal hanyalah mencari terbitan sinus dan kuasa dua bagi x. Terdapat jadual derivatif untuk ini. Kami hanya mencari fungsi yang kami perlukan dalam jadual ( sinx Dan x 2), lihat derivatif yang mereka ada dan tulis jawapannya:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Itu sahaja. Peraturan 1 pembezaan jumlah berfungsi sama.
Bagaimana jika kita mempunyai beberapa istilah? Tiada masalah.) Kami memecahkan fungsi kepada istilah dan mencari terbitan bagi setiap istilah secara bebas daripada yang lain. Contohnya:
Cari terbitan bagi fungsi y=sinx - x 2 +cosx - x +3
Kami dengan berani menulis:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
Pada akhir pelajaran saya akan memberikan petua untuk menjadikan hidup lebih mudah apabila membezakan.)
1. Sebelum pembezaan, lihat jika mungkin untuk memudahkan fungsi asal.
2. Dalam contoh yang rumit, kami menerangkan penyelesaian secara terperinci, dengan semua tanda kurung dan sempang.
3. Apabila membezakan pecahan dengan nombor tetap dalam penyebutnya, kita menukarkan pembahagian kepada pendaraban dan menggunakan peraturan 4.
Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.
Hasil daripada menyelesaikan masalah mencari derivatif bagi fungsi termudah (dan tidak terlalu mudah) dengan mentakrifkan derivatif sebagai had nisbah kenaikan kepada kenaikan hujah, jadual terbitan dan peraturan pembezaan yang ditakrifkan dengan tepat muncul. . Yang pertama bekerja dalam bidang mencari derivatif ialah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Oleh itu, pada zaman kita, untuk mencari derivatif mana-mana fungsi, anda tidak perlu mengira had yang disebutkan di atas nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, tetapi anda hanya perlu menggunakan jadual derivatif dan peraturan pembezaan. Algoritma berikut sesuai untuk mencari derivatif.
Untuk mencari terbitan, anda memerlukan ungkapan di bawah tanda perdana memecahkan fungsi mudah kepada komponen dan tentukan apa tindakan (hasil, jumlah, hasil bagi) fungsi ini berkaitan. Seterusnya, kita dapati derivatif fungsi asas dalam jadual derivatif, dan formula untuk derivatif hasil darab, jumlah dan hasil - dalam peraturan pembezaan. Jadual terbitan dan peraturan pembezaan diberikan selepas dua contoh pertama.
Contoh 1. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Daripada peraturan pembezaan kita dapati bahawa terbitan bagi jumlah fungsi ialah hasil tambah derivatif fungsi, i.e.
Daripada jadual derivatif kita dapati bahawa terbitan "X" adalah sama dengan satu, dan terbitan sinus adalah sama dengan kosinus. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah derivatif dan mencari derivatif yang diperlukan oleh keadaan masalah:
Contoh 2. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami membezakan sebagai terbitan jumlah di mana sebutan kedua mempunyai faktor tetap; ia boleh diambil daripada tanda terbitan:
Jika soalan masih timbul tentang dari mana sesuatu datang, ia biasanya diselesaikan selepas membiasakan diri dengan jadual derivatif dan peraturan pembezaan yang paling mudah. Kami beralih kepada mereka sekarang.
Jadual terbitan bagi fungsi mudah
| 1. Terbitan pemalar (nombor). Mana-mana nombor (1, 2, 5, 200...) yang terdapat dalam ungkapan fungsi. Sentiasa sama dengan sifar. Ini sangat penting untuk diingat, kerana ia diperlukan dengan kerap | |
| 2. Terbitan pembolehubah bebas. Selalunya "X". Sentiasa sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingati untuk masa yang lama | |
| 3. Terbitan darjah. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu menukar punca bukan kuasa dua kepada kuasa. | |
| 4. Terbitan pembolehubah kepada kuasa -1 | |
| 5. Terbitan punca kuasa dua | |
| 6. Terbitan sinus | |
| 7. Terbitan kosinus |  |
| 8. Terbitan tangen |  |
| 9. Terbitan kotangen |  |
| 10. Terbitan arcsine |  |
| 11. Terbitan kosinus lengkok |  |
| 12. Terbitan arkatangen |  |
| 13. Terbitan arka cotangen |  |
| 14. Terbitan logaritma asli | |
| 15. Terbitan bagi fungsi logaritma |  |
| 16. Terbitan bagi eksponen | |
| 17. Terbitan bagi fungsi eksponen |
Peraturan pembezaan
| 1. Terbitan daripada jumlah atau perbezaan |  |
| 2. Terbitan produk |  |
| 2a. Terbitan bagi ungkapan didarab dengan faktor malar | |
| 3. Terbitan hasil bagi |  |
| 4. Terbitan bagi fungsi kompleks |  |
Peraturan 1.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu titik, maka fungsi boleh dibezakan pada titik yang sama
dan
mereka. terbitan bagi hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini.
Akibat. Jika dua fungsi boleh dibezakan berbeza dengan sebutan tetap, maka terbitan mereka adalah sama, iaitu
Peraturan 2.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu ketika, maka produk mereka boleh dibezakan pada titik yang sama
dan
mereka. Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah bagi setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi.
Akibat 1. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:
Akibat 2. Terbitan hasil darab beberapa fungsi boleh dibezakan adalah sama dengan hasil tambah hasil terbitan setiap faktor dan semua yang lain.
Sebagai contoh, untuk tiga pengganda:
Peraturan 3.Jika fungsi
boleh dibezakan pada satu ketika Dan , maka pada ketika ini hasil bagi mereka juga boleh dibezakanu/v , dan
mereka. terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebutnya ialah kuasa dua bekas pengangka.
Di mana untuk mencari perkara di halaman lain
Apabila mencari derivatif produk dan hasil bagi dalam masalah sebenar, ia sentiasa perlu untuk menggunakan beberapa peraturan pembezaan sekaligus, jadi terdapat lebih banyak contoh mengenai derivatif ini dalam artikel"Terbitan hasil dan hasil bagi fungsi".
Komen. Anda tidak seharusnya mengelirukan pemalar (iaitu, nombor) sebagai sebutan dalam jumlah dan sebagai faktor pemalar! Dalam kes istilah, terbitannya adalah sama dengan sifar, dan dalam kes faktor malar, ia dikeluarkan daripada tanda terbitan. ini kesilapan tipikal, yang berlaku pada peringkat awal mengkaji derivatif, tetapi apabila pelajar purata menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bahagian, dia tidak lagi membuat kesilapan ini.
Dan jika, apabila membezakan produk atau hasil bagi, anda mempunyai istilah u"v, di mana u- nombor, sebagai contoh, 2 atau 5, iaitu pemalar, maka terbitan nombor ini akan sama dengan sifar dan, oleh itu, keseluruhan istilah akan sama dengan sifar (kes ini dibincangkan dalam contoh 10).
Satu lagi kesilapan biasa ialah secara mekanikal menyelesaikan terbitan fungsi kompleks sebagai terbitan fungsi mudah. sebab tu terbitan bagi fungsi kompleks artikel berasingan dikhaskan. Tetapi pertama-tama kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi mudah.
Sepanjang perjalanan, anda tidak boleh melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, anda mungkin perlu membuka manual dalam tetingkap baharu. Tindakan dengan kuasa dan akar Dan Operasi dengan pecahan .
Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada terbitan pecahan dengan kuasa dan punca, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti 
, kemudian ikuti pelajaran "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca."
Jika anda mempunyai tugas seperti 
, maka anda akan mengambil pelajaran "Terbitan fungsi trigonometri mudah".
Contoh langkah demi langkah - cara mencari derivatif
Contoh 3. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami mentakrifkan bahagian ungkapan fungsi: keseluruhan ungkapan mewakili produk, dan faktornya ialah jumlah, di mana satu daripada istilah itu mengandungi faktor malar. Kami menggunakan peraturan pembezaan produk: terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dengan terbitan satu lagi:
Seterusnya, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil tambah: terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini. Dalam kes kami, dalam setiap jumlah, sebutan kedua mempunyai tanda tolak. Dalam setiap jumlah kita melihat kedua-dua pembolehubah bebas, terbitan yang sama dengan satu, dan pemalar (nombor), terbitan yang sama dengan sifar. Jadi, "X" bertukar menjadi satu, dan tolak 5 bertukar menjadi sifar. Dalam ungkapan kedua, "x" didarab dengan 2, jadi kita darab dua dengan unit yang sama dengan terbitan "x". Kami memperoleh nilai derivatif berikut:
Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam jumlah produk dan mendapatkan derivatif keseluruhan fungsi yang diperlukan oleh keadaan masalah:
Contoh 4. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Kami dikehendaki mencari terbitan hasil bagi. Kami menggunakan formula untuk membezakan hasil bagi: terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan bagi penyebut, dan penyebut adalah kuasa dua bekas pengangka. Kami mendapat:
Kami telah menemui terbitan faktor dalam pengangka dalam contoh 2. Janganlah kita juga lupa bahawa produk, yang merupakan faktor kedua dalam pengangka dalam contoh semasa, diambil dengan tanda tolak:
Jika anda mencari penyelesaian kepada masalah yang anda perlukan untuk mencari terbitan fungsi, di mana terdapat longgokan akar dan kuasa yang berterusan, seperti, sebagai contoh, 
, kemudian selamat datang ke kelas "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca" .
Jika anda perlu mengetahui lebih lanjut tentang terbitan sinus, kosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, iaitu, apabila fungsi kelihatan seperti , maka pengajaran untuk anda "Terbitan fungsi trigonometri mudah" .
Contoh 5. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat produk, salah satu faktornya ialah punca kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, terbitan yang kita kenali dalam jadual derivatif. Menggunakan peraturan untuk membezakan hasil darab dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kita memperoleh:
Contoh 6. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya ialah punca kuasa dua pembolehubah bebas. Dengan menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi, yang kami ulangi dan gunakan dalam contoh 4, dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kami memperoleh:
Untuk menyingkirkan pecahan dalam pengangka, darabkan pengangka dan penyebut dengan .
Menyelesaikan masalah fizikal atau contoh dalam matematik adalah mustahil sama sekali tanpa pengetahuan tentang terbitan dan kaedah untuk mengiranya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dalam analisis matematik. Kami memutuskan untuk menumpukan artikel hari ini kepada topik asas ini. Apakah terbitan, apakah maksud fizikal dan geometrinya, bagaimana untuk mengira terbitan fungsi? Semua soalan ini boleh digabungkan menjadi satu: bagaimana untuk memahami derivatif?
Makna geometri dan fizikal terbitan
Biar ada fungsi f(x) , dinyatakan dalam selang waktu tertentu (a, b) . Titik x dan x0 tergolong dalam selang ini. Apabila x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah hujah - perbezaan dalam nilainya x-x0 . Perbezaan ini ditulis sebagai delta x dan dipanggil penambahan hujah. Perubahan atau kenaikan fungsi ialah perbezaan antara nilai fungsi pada dua titik. Definisi derivatif:
Terbitan fungsi pada satu titik ialah had nisbah kenaikan fungsi pada titik tertentu kepada kenaikan hujah apabila yang terakhir cenderung kepada sifar.
Jika tidak, ia boleh ditulis seperti ini:
Apa guna mencari had sedemikian? Dan inilah perkaranya:
terbitan bagi suatu fungsi pada suatu titik adalah sama dengan tangen sudut antara paksi OX dan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu.
Makna fizikal terbitan: terbitan laluan berkenaan dengan masa adalah sama dengan kelajuan gerakan rectilinear.
Memang sejak zaman sekolah semua orang tahu bahawa kelajuan adalah laluan tertentu x=f(t) dan masa t . Kelajuan purata untuk tempoh masa tertentu:
Untuk mengetahui kelajuan pergerakan pada satu-satu masa t0 anda perlu mengira had:
Peraturan satu: tetapkan pemalar
Pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Lebih-lebih lagi, ini mesti dilakukan. Apabila menyelesaikan contoh dalam matematik, ambil sebagai peraturan - Jika anda boleh memudahkan ungkapan, pastikan anda memudahkannya .
Contoh. Mari kita hitung derivatif:
Peraturan dua: terbitan hasil tambah fungsi
Terbitan hasil tambah dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah derivatif fungsi ini. Perkara yang sama berlaku untuk terbitan perbezaan fungsi.
Kami tidak akan memberikan bukti teorem ini, tetapi mempertimbangkan contoh praktikal.
Cari terbitan bagi fungsi:
Peraturan tiga: terbitan hasil darab fungsi
Terbitan hasil darab dua fungsi boleh dibezakan dikira dengan formula:
Contoh: cari terbitan bagi suatu fungsi:
Penyelesaian: 
Adalah penting untuk bercakap tentang mengira derivatif fungsi kompleks di sini. Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi ini berkenaan dengan hujah perantaraan dan terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan pembolehubah bebas.
Dalam contoh di atas kita menjumpai ungkapan:
Dalam kes ini, hujah perantaraan ialah 8x kepada kuasa kelima. Untuk mengira derivatif ungkapan sedemikian, kita mula-mula mengira derivatif fungsi luaran berkenaan dengan hujah perantaraan, dan kemudian darab dengan terbitan hujah perantaraan itu sendiri berkenaan dengan pembolehubah bebas.
Peraturan empat: terbitan hasil bagi dua fungsi
Formula untuk menentukan terbitan hasil bagi dua fungsi:
Kami cuba bercakap tentang derivatif untuk boneka dari awal. Topik ini tidak semudah yang kelihatan, jadi amaran: selalunya terdapat perangkap dalam contoh, jadi berhati-hati semasa mengira derivatif.
Dengan sebarang soalan mengenai perkara ini dan topik lain, anda boleh menghubungi perkhidmatan pelajar. Dalam masa yang singkat, kami akan membantu anda menyelesaikan ujian yang paling sukar dan memahami tugasan, walaupun anda tidak pernah melakukan pengiraan terbitan sebelum ini.
Bukti dan terbitan formula untuk terbitan eksponen (e kepada kuasa x) dan fungsi eksponen (a kepada kuasa x). Contoh pengiraan terbitan bagi e^2x, e^3x dan e^nx. Formula untuk terbitan tertib lebih tinggi.
Terbitan bagi eksponen adalah sama dengan eksponen itu sendiri (terbitan e kepada kuasa x adalah sama dengan e kepada kuasa x):
(1)
(e x )′ = e x.
Terbitan bagi fungsi eksponen dengan asas a adalah sama dengan fungsi itu sendiri didarab dengan logaritma asli a:
(2)
.
Terbitan formula untuk terbitan eksponen, e kepada kuasa x
Eksponen ialah fungsi eksponen yang asasnya sama dengan nombor e, iaitu had berikut:
.
Di sini ia boleh sama ada nombor asli atau nombor nyata. Seterusnya, kami memperoleh formula (1) untuk terbitan eksponen.
Terbitan formula terbitan eksponen
Pertimbangkan eksponen, e kepada kuasa x:
y = e x .
Fungsi ini ditakrifkan untuk semua orang.
(3)
.
Mari kita cari terbitannya berkenaan dengan pembolehubah x.
Mengikut takrifan, derivatif ialah had berikut: Mari kita ubah ungkapan ini untuk mengurangkannya kepada sifat dan peraturan matematik yang diketahui. Untuk melakukan ini, kami memerlukan fakta berikut:
(4)
;
A) Sifat eksponen:
(5)
;
B) Sifat logaritma:
(6)
.
DALAM)
Kesinambungan logaritma dan sifat had untuk fungsi selanjar: Berikut adalah fungsi yang mempunyai had dan had ini adalah positif.
(7)
.
G)
;
.
Maksud had kedua yang luar biasa:
Mari kita gunakan fakta ini pada had kita (3). Kami menggunakan harta (4):
.
Mari buat penggantian.
.
Kemudian ; .
.
Oleh kerana kesinambungan eksponen,
Oleh itu, apabila , .
.
Hasilnya kami mendapat:
.
Mari buat penggantian. lepas tu . Pada , . Dan kami mempunyai: Mari gunakan sifat logaritma (5):
.
.
Kemudian
Mari kita memohon harta (6). Oleh kerana terdapat had positif dan logaritma adalah berterusan, maka:
(8)
Di sini kami juga menggunakan yang kedua
had yang luar biasa (7). Kemudian Oleh itu, kami memperoleh formula (1) untuk terbitan eksponen.
;
.
Terbitan formula untuk terbitan bagi fungsi eksponen
.
Sekarang kita memperoleh formula (2) untuk terbitan fungsi eksponen dengan asas darjah a.
Sekarang mari kita cari derivatif pesanan yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponen dahulu:
(14)
.
(1)
.
Kita melihat bahawa terbitan fungsi (14) adalah sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Membezakan (1), kita memperoleh derivatif bagi susunan kedua dan ketiga:
;
.
Ini menunjukkan bahawa derivatif tertib ke-n juga sama dengan fungsi asal:
.
Derivatif tertib tinggi bagi fungsi eksponen
Sekarang mari kita pertimbangkan fungsi eksponen dengan asas kuasa a:
.
Kami menemui terbitan tertib pertamanya:
(15)
.
Membezakan (15), kita memperoleh derivatif bagi susunan kedua dan ketiga:
;
.
Kami melihat bahawa setiap pembezaan membawa kepada pendaraban fungsi asal dengan .
.