Kira had. Had Luar Biasa

Had fungsi pada infiniti:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Penentuan had Cauchy
Biarkan fungsi f (x) ditakrifkan dalam kejiranan tertentu titik pada infiniti, dengan |x| > Nombor a dipanggil had fungsi f (x) kerana x cenderung kepada infiniti (), jika ada, walau bagaimanapun kecil, nombor positif ε > 0 , terdapat nombor N ε >K, bergantung pada ε, yang untuk semua x, |x| > N ε, nilai fungsi kepunyaan ε-kejiranan titik a:
|f (x) - a|< ε .
Had fungsi pada infiniti dilambangkan seperti berikut:
.
Atau di .

Notasi berikut juga sering digunakan:
.

Mari kita tulis definisi ini menggunakan simbol logik kewujudan dan kesejagatan:
.
Ini mengandaikan bahawa nilai adalah milik domain fungsi.

Had berat sebelah

Had kiri fungsi pada infiniti:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Selalunya terdapat kes di mana fungsi ditakrifkan hanya untuk positif atau nilai negatif pembolehubah x (lebih tepat di sekitar titik atau ). Juga, had pada infiniti untuk nilai positif dan negatif x boleh ada makna yang berbeza. Kemudian had berat sebelah digunakan.

Had kiri pada infiniti atau had sebagai x cenderung kepada tolak infiniti () ditakrifkan seperti berikut:
.
Had kanan pada infiniti atau had kerana x cenderung kepada tambah infiniti ():
.
Had satu sisi pada infiniti selalunya dilambangkan seperti berikut:
; .

Had tak terhingga fungsi pada tak terhingga

Had tak terhingga fungsi pada tak terhingga:
|f(x)| > M untuk |x| >N

Definisi had tak terhingga mengikut Cauchy
Biarkan fungsi f (x) ditakrifkan dalam kejiranan tertentu titik pada infiniti, dengan |x| > K, di mana K - nombor positif. Had fungsi f (x) kerana x cenderung kepada infiniti (), adalah sama dengan infiniti, kalau untuk sesiapa pun, sewenang-wenangnya bilangan yang besar M > 0 , terdapat nombor seperti itu N M >K, bergantung pada M, yang untuk semua x, |x| > N M , nilai fungsi kepunyaan kejiranan titik pada infiniti:
|f (x) | >M.
Had tak terhingga kerana x cenderung kepada tak terhingga dilambangkan seperti berikut:
.
Atau di .

Dengan menggunakan simbol logik kewujudan dan kesejagatan, takrifan had tak terhingga fungsi boleh ditulis seperti berikut:
.

Begitu juga, takrifan had tak terhingga bagi tanda tertentu bersamaan dan diperkenalkan:
.
.

Takrifan had berat sebelah pada infiniti.
Had kiri.
.
.
.
Had yang betul.
.
.
.

Penentuan had fungsi mengikut Heine

Biarkan fungsi f (x) ditakrifkan pada beberapa kejiranan titik x pada infiniti 0 , di mana atau atau .
Nombor a (terhingga atau pada infiniti) dipanggil had fungsi f (x) pada titik x 0 :
,
jika untuk sebarang urutan (xn), menumpu kepada x 0 : ,
yang unsur-unsurnya tergolong dalam kejiranan, urutan (f(xn)) menumpu kepada:
.

Jika kita ambil sebagai kejiranan kejiranan titik tidak bertanda pada infiniti: , maka kita memperoleh takrifan had fungsi kerana x cenderung kepada infiniti, . 0 Jika kita mengambil kejiranan sebelah kiri atau sebelah kanan titik x pada infiniti

: atau , maka kita memperoleh takrifan had kerana x cenderung kepada tolak infiniti dan tambah infiniti, masing-masing.

Takrifan Heine dan Cauchy bagi had adalah setara.

Contoh

Contoh 1
.

Menggunakan definisi Cauchy untuk menunjukkannya
.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
.
Mari cari domain takrifan fungsi tersebut.
; .
Oleh kerana pengangka dan penyebut pecahan adalah polinomial, fungsi ditakrifkan untuk semua x kecuali titik di mana penyebutnya hilang. Mari cari titik-titik ini. Menyelesaikan persamaan kuadratik. ;
Punca-punca persamaan:

Sejak , kemudian dan .
.
Oleh itu fungsi ditakrifkan pada .
.
Kami akan menggunakan ini kemudian. -1 :
.

Mari kita tuliskan takrifan had terhingga fungsi pada infiniti mengikut Cauchy:
Mari ubah perbezaan:
;
;
;
.

Bahagikan pengangka dan penyebut dengan dan darab dengan
.
.
biarlah .
Kemudian

Jadi, kami mendapati bahawa apabila ,
Ia berikutan itu
pada , dan .

Oleh kerana anda sentiasa boleh meningkatkannya, mari ambil .

Mari kita tuliskan takrifan had terhingga fungsi pada infiniti mengikut Cauchy:
Kemudian bagi sesiapa sahaja,
1) ;
2) .

di .

Ini bermakna bahawa .
Contoh 2
.

Menggunakan definisi Cauchy bagi had, tunjukkan bahawa:
;
.

Bahagikan pengangka dan penyebut dengan dan darab dengan
.
1) Penyelesaian kerana x cenderung kepada tolak infiniti
.
Oleh kerana , fungsi ditakrifkan untuk semua x.
.

Mari kita tulis takrifan had fungsi yang sama dengan tolak infiniti:

biarlah .

Kemudian
.
Masukkan nombor positif dan:

.
Ia berikutan bahawa untuk sebarang nombor positif M, terdapat nombor, supaya untuk ,
.

Ini bermakna bahawa .
Oleh itu fungsi ditakrifkan pada .
.
2) Penyelesaian sebagai x cenderung kepada tambah infiniti
.

Mari kita ubah fungsi asal. Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan dan gunakan rumus selisih kuasa dua:
.
Mari ubah perbezaan:
;
.

Bahagikan pengangka dan penyebut dengan dan darab dengan
.
1) Penyelesaian kerana x cenderung kepada tolak infiniti
.
biarlah .
Kami ada:

Mari kita tulis takrifan had kanan fungsi di:
.

Mari kita perkenalkan notasi: .
Darabkan pengangka dan penyebut dengan:

pada dan .

Hadkan dalam talian di tapak untuk pelajar dan pelajar sekolah untuk menyatukan sepenuhnya bahan yang telah mereka bincangkan. Bagaimana untuk mencari had dalam talian menggunakan sumber kami? Ini sangat mudah dilakukan, anda hanya perlu menulis fungsi asal dengan betul dengan pembolehubah x, pilih infiniti yang dikehendaki daripada pemilih dan klik butang "Selesaikan". Dalam kes di mana had fungsi mesti dikira pada satu titik x, maka anda perlu menunjukkan nilai berangka titik ini. Anda akan menerima jawapan kepada penyelesaian had dalam beberapa saat, dengan kata lain - serta-merta. Walau bagaimanapun, jika anda memberikan data yang salah, perkhidmatan tersebut akan memberitahu anda secara automatik tentang ralat tersebut. Betulkan fungsi yang diperkenalkan sebelum ini dan dapatkan keputusan yang betul had. Untuk menyelesaikan had, semua teknik yang mungkin digunakan, kaedah L'Hopital sering digunakan, kerana ia adalah universal dan membawa kepada jawapan lebih cepat daripada kaedah lain untuk mengira had fungsi. Adalah menarik untuk melihat contoh di mana modul itu ada. Ngomong-ngomong, mengikut peraturan sumber kami, modul dilambangkan dengan bar menegak klasik dalam matematik "|" atau Abs(f(x)) daripada bahasa Latin mutlak. Selalunya menyelesaikan had diperlukan untuk mengira jumlah jujukan nombor. Seperti yang semua orang tahu, anda hanya perlu menyatakan dengan betul jumlah separa jujukan yang sedang dikaji, dan kemudian semuanya menjadi lebih mudah, terima kasih kepada perkhidmatan laman web percuma kami, kerana mengira had jumlah separa adalah jumlah akhir jujukan berangka. Secara umumnya, teori laluan kepada had adalah konsep asas semua analisis matematik. Segala-galanya berdasarkan tepat pada petikan kepada had, iaitu menyelesaikan had adalah asas kepada sains analisis matematik. Dalam penyepaduan, laluan ke had juga digunakan, apabila kamiran, mengikut teori, diwakili sebagai hasil tambah bilangan kawasan yang tidak terhad. Di mana terdapat bilangan sesuatu yang tidak terhad, iaitu, kecenderungan bilangan objek kepada infiniti, maka teori peralihan had sentiasa berkuat kuasa, dan dalam bentuk yang diterima umum ini adalah penyelesaian kepada had yang biasa kepada semua orang. Menyelesaikan had dalam talian di tapak adalah perkhidmatan unik untuk menerima jawapan yang tepat dan segera dalam masa nyata. Had fungsi (nilai mengehadkan fungsi) pada titik tertentu, titik had untuk domain definisi fungsi, ialah nilai yang nilai fungsi yang dipersoalkan cenderung kerana hujahnya cenderung kepada tertentu. titik. Ia bukan sesuatu yang luar biasa, dan kami juga sering mengatakan bahawa pelajar mempunyai persoalan menyelesaikan had dalam talian semasa mempelajari analisis matematik. Apabila tertanya-tanya tentang menyelesaikan had dalam talian dengan penyelesaian terperinci hanya dalam kes khas, menjadi jelas bahawa anda tidak dapat mengatasi masalah yang rumit tanpa menggunakan kalkulator had. Menyelesaikan had dengan perkhidmatan kami ialah jaminan ketepatan dan kesederhanaan Had fungsi ialah generalisasi konsep had jujukan: pada mulanya, had fungsi pada satu titik difahami sebagai had jujukan. unsur domain nilai fungsi, terdiri daripada imej titik urutan unsur domain definisi fungsi menumpu ke titik tertentu (had yang sedang dipertimbangkan); jika had sedemikian wujud, maka fungsi itu dikatakan menumpu kepada nilai yang ditentukan; jika had tersebut tidak wujud, maka fungsi tersebut dikatakan mencapah. Menyelesaikan had dalam talian menjadi jawapan yang mudah untuk pengguna dengan syarat mereka tahu cara menyelesaikan had dalam talian menggunakan tapak web. Ayuh kekal fokus dan jangan biarkan kesilapan menyusahkan kita dalam bentuk gred yang tidak memuaskan. Seperti mana-mana penyelesaian untuk mengehadkan dalam talian, masalah anda akan dibentangkan dalam bentuk yang mudah dan boleh difahami, dengan penyelesaian terperinci, dengan mematuhi semua peraturan dan peraturan untuk mendapatkan penyelesaian. Selalunya, takrifan had fungsi dirumuskan dalam bahasa kejiranan. Di sini, had fungsi dianggap hanya pada titik yang mengehadkan domain definisi fungsi, bermakna dalam setiap kejiranan titik tertentu terdapat titik dari domain definisi fungsi ini. Ini membolehkan kita bercakap tentang kecenderungan hujah fungsi ke titik tertentu. Tetapi titik had domain definisi tidak semestinya tergolong dalam domain definisi itu sendiri, dan ini dibuktikan dengan menyelesaikan had: sebagai contoh, seseorang boleh mempertimbangkan had fungsi pada hujung selang terbuka yang fungsi ditakrifkan. Dalam kes ini, sempadan selang itu sendiri tidak termasuk dalam domain definisi. Dalam pengertian ini, sistem kejiranan tertusuk pada titik tertentu ialah kes khas bagi pangkalan set sedemikian. Menyelesaikan had dalam talian dengan penyelesaian terperinci dilakukan dalam masa nyata dan menggunakan formula dalam bentuk yang dinyatakan dengan jelas Anda boleh menjimatkan masa, dan yang paling penting wang, kerana kami tidak meminta pampasan untuk ini. Jika pada satu ketika dalam domain definisi fungsi terdapat had dan penyelesaian kepada had ini adalah sama dengan nilai fungsi pada ketika ini, maka fungsi itu ternyata berterusan pada titik tersebut. Di laman web kami, penyelesaian kepada had tersedia dalam talian dua puluh empat jam sehari, setiap hari dan setiap minit Menggunakan kalkulator had adalah sangat penting dan perkara utama ialah menggunakannya setiap kali anda perlu menguji pengetahuan anda. Pelajar jelas mendapat manfaat daripada semua fungsi ini. Mengira had menggunakan dan menggunakan teori sahaja tidak selalunya begitu mudah, seperti yang dikatakan oleh pelajar berpengalaman dari jabatan matematik universiti di negara ini. Hakikat tetap fakta jika ada matlamat. Biasanya, penyelesaian yang ditemui untuk had tidak boleh digunakan secara tempatan untuk perumusan masalah. Seorang pelajar akan bergembira sebaik sahaja dia menemui kalkulator had dalam talian di Internet dan tersedia secara percuma, dan bukan sahaja untuk dirinya sendiri, tetapi untuk semua orang. Tujuannya harus dianggap sebagai matematik, dalam pemahaman umumnya. Jika anda bertanya di Internet bagaimana untuk mencari had dalam talian secara terperinci, maka jisim tapak yang muncul akibat permintaan itu tidak akan membantu seperti yang kami lakukan. Perbezaan antara pihak didarabkan dengan kesetaraan kejadian. Had sah asal sesuatu fungsi mesti ditentukan oleh perumusan masalah matematik itu sendiri. Hamilton betul, tetapi patut dipertimbangkan kenyataan rakan seangkatannya. Mengira had dalam talian bukanlah satu tugas yang sukar seperti yang mungkin dilihat oleh seseorang pada pandangan pertama... Supaya tidak memecahkan kebenaran teori yang tidak tergoyahkan. Berbalik kepada keadaan awal, adalah perlu untuk mengira had dengan cepat, cekap dan dalam bentuk yang diformat dengan kemas. Adakah mungkin untuk melakukan sebaliknya? Pendekatan ini jelas dan wajar. Kalkulator had dicipta untuk menambah pengetahuan, meningkatkan kualiti penulisan kerja rumah dan meningkatkan mood umum di kalangan pelajar, ini sesuai untuk mereka. Anda hanya perlu berfikir secepat mungkin dan fikiran akan berjaya. Secara eksplisit bercakap tentang had istilah interpolasi dalam talian ialah aktiviti yang sangat canggih untuk profesional dalam bidang mereka. Kami meramalkan nisbah sistem perbezaan yang tidak dirancang pada titik dalam ruang. Dan sekali lagi, masalah itu dikurangkan kepada ketidakpastian, berdasarkan fakta bahawa had fungsi wujud pada infiniti dan dalam kejiranan tertentu titik tempatan pada paksi-x tertentu selepas transformasi affine bagi ungkapan awal. Ia akan menjadi lebih mudah untuk menganalisis pendakian mata pada satah dan di bahagian atas ruang. DALAM keadaan umum perkara tidak dikatakan tentang terbitan formula matematik, baik dalam realiti dan teori, supaya kalkulator had dalam talian digunakan untuk tujuan yang dimaksudkan dalam pengertian ini. Tanpa mentakrifkan had dalam talian, saya mendapati sukar untuk menjalankan pengiraan lanjut dalam bidang mengkaji ruang lengkung. Ia tidak akan menjadi lebih mudah dari segi mencari jawapan yang betul. Adakah mustahil untuk mengira had jika titik tertentu dalam ruang tidak pasti terlebih dahulu? Marilah kita menyangkal kewujudan jawapan di luar bidang kajian. Penyelesaian had boleh dibincangkan dari sudut analisis matematik sebagai permulaan kajian urutan titik pada paksi. Fakta pengiraan mungkin tidak sesuai. Nombor-nombor itu boleh diwakili sebagai urutan tak terhingga dan dikenal pasti dengan notasi awal selepas kami menyelesaikan had dalam talian secara terperinci mengikut teori. Wajar memihak kepada nilai terbaik. Hasil daripada had fungsi, sebagai ralat yang jelas dalam masalah yang dirumuskan dengan salah, boleh memesongkan idea proses mekanikal sebenar sistem yang tidak stabil. Keupayaan untuk menyatakan maksud secara terus ke dalam kawasan tontonan. Dengan membandingkan had dalam talian dengan entri berat sebelah yang serupa nilai had, adalah lebih baik untuk mengelak daripada menyatakannya secara eksplisit menggunakan formula pengurangan. Selain memulakan perlaksanaan tugas yang berkadar. Kami akan mengembangkan polinomial selepas kami boleh mengira had sebelah dan menulisnya pada infiniti. Pemikiran mudah membawa kepada hasil yang benar dalam analisis matematik. Penyelesaian had yang mudah selalunya datang kepada tahap kesamaan yang berbeza bagi ilustrasi matematik bertentangan yang dilaksanakan. Garis dan nombor Fibonacci menguraikan kalkulator had dalam talian, bergantung pada ini, anda boleh memesan pengiraan tanpa had dan mungkin kerumitan akan berundur ke latar belakang. Proses membuka lipatan graf pada satah dalam kepingan ruang tiga dimensi sedang dijalankan. Ini menanamkan keperluan untuk pandangan yang berbeza tentang masalah matematik yang kompleks. Walau bagaimanapun, hasilnya tidak akan lama lagi. Walau bagaimanapun, proses berterusan untuk merealisasikan produk menaik memesongkan ruang garisan dan menulis had dalam talian untuk membiasakan diri dengan perumusan masalah. Sifat semula jadi proses pengumpulan masalah menentukan keperluan untuk pengetahuan semua bidang disiplin matematik. Kalkulator had yang sangat baik akan menjadi alat yang sangat diperlukan di tangan pelajar mahir, dan mereka akan menghargai semua kelebihannya berbanding analog kemajuan digital. Di sekolah, atas sebab tertentu, had dalam talian dipanggil secara berbeza daripada di institut. Nilai fungsi akan meningkat apabila argumen berubah. L'Hopital juga berkata bahawa mencari had fungsi hanyalah separuh daripada pertempuran anda perlu membawa masalah kepada kesimpulan logiknya dan mengemukakan jawapan dalam bentuk yang diperluaskan. Realiti adalah memadai dengan kehadiran fakta dalam kes itu. Dari segi sejarah dikaitkan dengan had dalam talian aspek penting disiplin matematik dan menjadi asas kepada kajian teori nombor. Pengekodan halaman masuk formula matematik tersedia dalam bahasa klien dalam penyemak imbas. Bagaimana untuk mengira had menggunakan kaedah undang-undang yang boleh diterima, tanpa memaksa fungsi berubah ke arah paksi-x. Secara amnya, realiti ruang bergantung bukan sahaja pada kecembungan fungsi atau lekuknya. Hapuskan semua yang tidak diketahui daripada masalah dan menyelesaikan had akan menghasilkan perbelanjaan paling sedikit sumber matematik anda yang ada. Menyelesaikan masalah yang dinyatakan akan membetulkan fungsi seratus peratus. Jangkaan matematik yang terhasil akan mendedahkan had dalam talian secara terperinci mengenai sisihan daripada nisbah khas bererti terkecil. Tiga hari berlalu selepas keputusan itu penyelesaian matematik memihak kepada sains. Ini adalah aktiviti yang sangat berguna. Tanpa sebab, ketiadaan had dalam talian akan bermakna perbezaan dalam pendekatan keseluruhan untuk menyelesaikan masalah situasi. Tajuk terbaik had berat sebelah dengan ketidakpastian 0/0 akan diperlukan pada masa hadapan. Sumber bukan sahaja cantik dan bagus, tetapi juga berguna apabila ia boleh mengira had untuk anda. Saintis yang hebat, sebagai seorang pelajar, meneliti fungsi untuk menulis kerja saintifik. Sepuluh tahun telah berlalu. Sebelum pelbagai nuansa, adalah wajar mengulas dengan jelas mengenai jangkaan matematik yang memihak kepada fakta bahawa had fungsi meminjam perbezaan prinsipal. Bagi yang ditempah kerja ujian menjawab. Dalam matematik, kedudukan yang luar biasa dalam pengajaran diduduki, cukup aneh, oleh kajian had dalam talian dengan hubungan pihak ketiga yang saling eksklusif. Seperti yang berlaku dalam kes biasa. Anda tidak perlu menghasilkan semula apa-apa. Setelah menganalisis pendekatan pelajar terhadap teori matematik, kami akan menyerahkan sepenuhnya penyelesaian had ke peringkat akhir. Ini adalah maksud yang berikut, periksa teks. Pembiasan secara unik menentukan ungkapan matematik sebagai intipati maklumat yang diterima. had dalam talian adalah intipati untuk menentukan kedudukan sebenar sistem matematik kerelatifan bagi vektor berbilang arah. Dalam pengertian ini, saya bermaksud untuk menyatakan pendapat saya sendiri. Seperti dalam tugasan sebelum ini. Had dalam talian yang tersendiri meluaskan pengaruhnya secara terperinci kepada pandangan matematik kajian berurutan analisis program dalam bidang pengajian. Dalam konteks teori, matematik adalah sesuatu yang lebih tinggi daripada sains semata-mata. Kesetiaan ditunjukkan melalui tindakan. Masih mustahil untuk sengaja mengganggu rantaian nombor berturut-turut yang memulakan pergerakan menaiknya jika had dikira secara salah. Permukaan dua belah dinyatakan dalam dalam bentuk barang dalam saiz penuh. Keupayaan untuk meneroka analisis matematik mengehadkan had fungsi kepada urutan siri berfungsi sebagai kejiranan epsilon pada titik tertentu. Berbeza dengan teori fungsi, ralat dalam pengiraan tidak dikecualikan, tetapi ini diperuntukkan oleh situasi. Masalah dalam talian pembahagian mengikut had boleh ditulis dengan fungsi perbezaan boleh ubah untuk hasil darab pantas sistem tak linear dalam ruang tiga dimensi. Kes remeh adalah asas operasi. Anda tidak perlu menjadi pelajar untuk menganalisis kes ini. Keseluruhan momen pengiraan yang berterusan, pada mulanya penyelesaian had ditentukan sebagai fungsi keseluruhan sistem integral kemajuan sepanjang paksi ordinat pada berbilang nilai nombor. Kami mengambil sebagai nilai asas nilai matematik terkecil yang mungkin. Kesimpulannya jelas. Jarak antara pesawat akan membantu mengembangkan teori had dalam talian, memandangkan penggunaan kaedah pengiraan mencapah aspek kepentingan subpolar tidak membawa sebarang makna yang wujud. Pilihan yang sangat baik, jika kalkulator had terletak pada pelayan, ini boleh diambil seperti sedia ada tanpa memutarbelitkan kepentingan perubahan permukaan di kawasan, jika tidak, masalah lineariti akan menjadi lebih tinggi. Analisis matematik yang lengkap mendedahkan ketidakstabilan sistem bersama-sama dengan penerangannya di kawasan kejiranan terkecil titik itu. Seperti mana-mana had fungsi di sepanjang paksi persilangan ordinat dan absis, seseorang boleh membuat kesimpulan nilai angka objek ke kawasan kejiranan minimum tertentu mengikut taburan kefungsian proses penyelidikan. Mari kita catatkan tugasan titik demi titik. Terdapat pembahagian kepada peringkat-peringkat penulisan. Kenyataan akademik bahawa pengiraan had adalah benar-benar sukar atau tidak sama sekali mudah disokong oleh analisis pandangan matematik semua pelajar sarjana dan siswazah tanpa pengecualian. Keputusan pertengahan yang mungkin tidak lama lagi akan datang untuk masa yang lama . Had di atas dikaji secara dalam talian secara terperinci pada minimum mutlak perbezaan sistem objek yang melebihi lineariti ruang matematik diherotkan. Pembahagian kawasan yang lebih besar tidak digunakan oleh pelajar untuk mengira pelbagai perselisihan selepas menulis kalkulator had dalam talian untuk penolakan. Selepas permulaan, kami akan melarang pelajar menyemak semula masalah untuk mengkaji persekitaran spatial dalam matematik. Oleh kerana kita telah menemui had fungsi, mari kita bina graf kajiannya pada satah. Mari kita serlahkan paksi ordinat dengan warna khas dan tunjukkan arah garisan. Terdapat kestabilan. Ketidakpastian hadir untuk masa yang lama semasa penulisan jawapan. Kira had fungsi pada satu titik hanya dengan menganalisis perbezaan antara had pada infiniti di bawah keadaan awal. Kaedah ini tidak diketahui oleh setiap pengguna. Kami memerlukan analisis matematik. Menyelesaikan had mengumpul pengalaman dalam minda generasi untuk beberapa tahun akan datang. Tidak mustahil untuk tidak merumitkan proses. Pelajar dari semua generasi bertanggungjawab untuk kesimpulannya. Semua perkara di atas mungkin mula berubah sekiranya tiada hujah penetapan untuk kedudukan fungsi di sekeliling titik tertentu yang ketinggalan di belakang kalkulator had dari segi perbezaan kuasa pengiraan. Mari kita periksa fungsi untuk mendapatkan jawapan yang terhasil. Kesimpulannya tidak jelas. Setelah mengecualikan fungsi tersirat daripada jumlah nombor selepas mengubah ungkapan matematik, langkah terakhir kekal untuk mencari had dalam talian dengan betul dan dengan ketepatan yang tinggi. Kebolehterimaan keputusan yang dikeluarkan adalah tertakluk kepada pengesahan. Proses diteruskan. Mengesan urutan dalam pengasingan daripada fungsi dan, menggunakan pengalaman besar mereka, ahli matematik mesti mengira had untuk mewajarkan arah yang betul dalam kajian. Keputusan sedemikian tidak memerlukan rangsangan teori. Tukar perkadaran nombor dalam kejiranan tertentu bukan titik sifar pada paksi-x ke arah kalkulator had dalam talian sudut spatial kecenderungan di bawah masalah bertulis dalam matematik. Mari kita sambungkan dua wilayah di angkasa. Perselisihan pendapat di kalangan penyelesai tentang bagaimana had fungsi memperoleh sifat-sifat nilai berat sebelah dalam ruang tidak boleh disedari oleh prestasi diselia yang dipergiatkan oleh pelajar. Arah dalam matematik dalam talian had telah mengambil salah satu jawatan yang paling tidak dipertikaikan mengenai ketidakpastian dalam pengiraan had ini. Kalkulator had dalam talian untuk ketinggian segi tiga sama kaki dan kiub dengan sisi tiga jejari bulatan akan membantu seorang pelajar belajar mengikut hati pada peringkat awal sains. Marilah kita menyerahkan kepada pelajar untuk menentukan had dalam kajian sistem lemah matematik yang berfungsi dari sisi satah penyelidikan. Pandangan pelajar terhadap teori nombor adalah samar-samar. Setiap orang ada pendapat masing-masing. Arah yang betul dalam pengajian matematik akan membantu mengira had dalam erti kata sebenar, seperti yang berlaku di universiti di negara maju. Cotangent dalam matematik dikira sebagai kalkulator had dan merupakan nisbah dua asas lain fungsi trigonometri, iaitu kosinus dan sinus hujah. Ini adalah penyelesaian untuk mengurangkan separuh segmen. Pendekatan yang berbeza tidak mungkin menyelesaikan situasi yang memihak kepada detik lalu. Kita boleh bercakap untuk masa yang lama tentang betapa sukar dan tidak berguna untuk menyelesaikan had dalam talian secara terperinci tanpa pemahaman, tetapi pendekatan ini cenderung untuk meningkatkan disiplin dalaman pelajar ke arah yang lebih baik.

Artikel ini: "Had Luar Biasa Kedua" ditumpukan kepada pendedahan dalam had ketidakpastian bentuk:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ dan $ ^\infty $.

Juga, ketidakpastian sedemikian boleh didedahkan menggunakan logaritma fungsi eksponen, tetapi ini adalah kaedah penyelesaian lain, yang akan dibincangkan dalam artikel lain.

Formula dan akibatnya

Formula had kedua yang luar biasa ditulis seperti berikut: $$ \lim_(x \hingga \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( di mana ) e \approx 2.718 $$

Ia mengikuti daripada formula akibat, yang sangat mudah digunakan untuk menyelesaikan contoh dengan had: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( di mana ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \hingga 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Perlu diingat bahawa had luar biasa kedua tidak selalu boleh digunakan untuk fungsi eksponen, tetapi hanya dalam kes di mana asasnya cenderung kepada perpaduan. Untuk melakukan ini, mula-mula mengira secara mental had asas, dan kemudian buat kesimpulan. Semua ini akan dibincangkan dalam contoh penyelesaian.

Contoh penyelesaian

Mari kita lihat contoh penyelesaian menggunakan formula langsung dan akibatnya. Kami juga akan menganalisis kes di mana formula tidak diperlukan. Cukuplah dengan menulis jawapan sedia sahaja.

Contoh 1

Cari had $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Penyelesaian

Mari kita gantikan infiniti ke dalam had dan lihat ketidakpastian: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Mari cari had tapak: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Ada sebab sama dengan satu, yang bermaksud ia sudah boleh menggunakan had kedua yang luar biasa. Untuk melakukan ini, mari laraskan asas fungsi kepada formula dengan menolak dan menambah satu: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Mari kita lihat akibat kedua dan tuliskan jawapannya: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Jika anda tidak dapat menyelesaikan masalah anda, hantarkan kepada kami. Kami akan memberikan penyelesaian terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan pengiraan dan mendapatkan maklumat. Ini akan membantu anda mendapatkan gred anda daripada guru anda tepat pada masanya!

Jawab

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Contoh 4

Selesaikan had $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Penyelesaian

Kami mencari had tapak dan melihat bahawa $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, yang bermaksud kita boleh menggunakan had kedua yang luar biasa. Mengikut pelan standard, kami menambah dan menolak satu daripada asas darjah: $$ \lim_(x\kepada \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Kami melaraskan pecahan kepada formula nota ke-2. had: $$ = \lim_(x\hingga \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Sekarang mari kita laraskan darjah. Kuasa mesti mengandungi pecahan yang sama dengan penyebut asas $ \frac(3x^2-2)(6) $. Untuk melakukan ini, darab dan bahagikan darjah dengannya, dan teruskan menyelesaikan: $$ = \lim_(x\kepada \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Had yang terletak dalam kuasa pada $ e $ adalah sama dengan: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Oleh itu, meneruskan penyelesaian yang kami ada:

Jawab

$$ \lim_(x\hingga \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Mari kita periksa kes-kes di mana masalahnya adalah serupa dengan had kedua yang luar biasa, tetapi boleh diselesaikan tanpanya.

Dalam artikel: "Had Luar Biasa Kedua: Contoh Penyelesaian" formula, akibatnya dianalisis dan jenis masalah biasa mengenai topik ini diberikan.

Nombor tetap A dipanggil had urutan(x n ), jika bagi sebarang nombor positif yang kecil sewenang-wenangnyaε > 0 terdapat nombor N yang mempunyai semua nilai x n, yang mana n>N, memenuhi ketaksamaan

|x n - a|< ε. (6.1)

Tuliskannya seperti berikut: atau x n → a.

Ketaksamaan (6.1) adalah bersamaan dengan ketaksamaan berganda

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

yang bermaksud bahawa mata x n, bermula dari beberapa nombor n>N, terletak di dalam selang (a-ε, a+ ε ), iaitu jatuh ke dalam mana-mana kecilε -kejiranan sesuatu titik A.

Urutan yang mempunyai had dipanggil konvergen, jika tidak - mencapah.

Konsep had fungsi ialah generalisasi konsep had jujukan, kerana had jujukan boleh dianggap sebagai had fungsi x n = f(n) hujah integer n.

Biarkan fungsi f(x) diberikan dan biarkan a - titik had domain takrifan fungsi ini D(f), i.e. titik sedemikian, mana-mana kejiranan yang mengandungi titik set D(f) selain daripada a. titik a mungkin atau mungkin tidak tergolong dalam set D(f).

Definisi 1.Nombor pemalar A dipanggil had fungsi f(x) di x→a, jika untuk sebarang jujukan (x n ) nilai hujah yang cenderung kepada A, jujukan yang sepadan (f(x n)) mempunyai had A yang sama.

Definisi ini dipanggil dengan mentakrifkan had fungsi mengikut Heine, atau" dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Nombor pemalar A dipanggil had fungsi f(x) di x→a, jika, dengan menyatakan nombor positif sewenang-wenangnya kecil ε, seseorang boleh mencari δ sedemikian>0 (bergantung pada ε), yang untuk semua orang x, baring dalamε-kejiranan nombor A, iaitu Untuk x, memuaskan ketidaksamaan
0 < x-a< ε , nilai fungsi f(x) akan terletak padaε-kejiranan nombor A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Definisi ini dipanggil dengan mentakrifkan had fungsi mengikut Cauchy, atau “dalam bahasa ε - δ “.

Takrif 1 dan 2 adalah setara. Jika fungsi f(x) sebagai x →a mempunyai had, sama dengan A, ini ditulis dalam bentuk

. (6.3)

Sekiranya urutan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa had untuk sebarang kaedah penghampiran x kepada had anda A, maka kita akan mengatakan bahawa fungsi f(x) mempunyai had tak terhingga, dan tulis dalam bentuk:

Pembolehubah (iaitu urutan atau fungsi) yang hadnya ialah sifar dipanggil kecil tak terhingga.

Pembolehubah yang hadnya ialah infiniti dipanggil besar tak terhingga.

Untuk mencari had dalam amalan, teorem berikut digunakan.

Teorem 1 . Jika setiap had wujud

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komen. Ungkapan seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, sebagai contoh, nisbah dua kuantiti tak terhingga kecil atau besar tak terhingga, dan mencari had jenis ini dipanggil "mendedahkan ketidakpastian."

Teorem 2. (6.7)

mereka. seseorang boleh pergi ke had berdasarkan kuasa dengan eksponen malar, khususnya, ;

(6.8)

(6.9)

Teorem 3.

(6.10)

(6.11)

di mana e » 2.7 - asas logaritma semula jadi. Formula (6.10) dan (6.11) dipanggil yang pertama had yang indah dan had kedua yang luar biasa.

Akibat formula (6.11) juga digunakan dalam amalan:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya had,

Jika x → a dan pada masa yang sama x > a, kemudian tulis x→a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka bukannya simbol 0+0 tulis +0. Begitu juga jika x→a dan pada masa yang sama x a-0. Nombor dan dipanggil sewajarnya had yang betul Dan had kiri fungsi f(x) pada titik A. Untuk terdapat had bagi fungsi f(x) sebagai x→a adalah perlu dan mencukupi supaya . Fungsi f(x) dipanggil berterusan pada titik x 0 jika had

. (6.15)

Keadaan (6.15) boleh ditulis semula sebagai:

,

iaitu, laluan ke had di bawah tanda fungsi adalah mungkin jika ia berterusan pada titik tertentu.

Jika kesaksamaan (6.15) dilanggar, maka kita katakan itu di x = xo fungsi f(x) mempunyai jurang Pertimbangkan fungsi y = 1/x. Domain takrifan fungsi ini ialah set R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 ialah titik had bagi set D(f), kerana dalam mana-mana kejiranannya, i.e. dalam mana-mana selang terbuka yang mengandungi titik 0, terdapat titik dari D(f), tetapi ia sendiri tidak tergolong dalam set ini. Nilai f(x o)= f(0) tidak ditakrifkan, jadi pada titik x o = 0 fungsi mempunyai ketakselanjaran.

Fungsi f(x) dipanggil berterusan di sebelah kanan pada titik x o jika had

,

Dan berterusan di sebelah kiri pada titik x o, jika had

.

Kesinambungan fungsi pada satu titik xo adalah bersamaan dengan kesinambungannya pada ketika ini ke kanan dan ke kiri.

Agar fungsi itu berterusan pada titik xo, sebagai contoh, di sebelah kanan, adalah perlu, pertama, bahawa terdapat had terhingga, dan kedua, bahawa had ini bersamaan dengan f(x o). Oleh itu, jika sekurang-kurangnya satu daripada dua syarat ini tidak dipenuhi, maka fungsi tersebut akan mengalami ketakselanjaran.

1. Jika had itu wujud dan tidak sama dengan f(x o), maka mereka berkata demikian fungsi f(x) pada titik x o mempunyai pecah jenis pertama, atau lompat.

2. Jika hadnya+∞ atau -∞ atau tidak wujud, maka mereka mengatakan bahawa dalam titik xo fungsi mempunyai ketakselanjaran jenis kedua.

Contohnya, fungsi y = cot x pada x→ +0 mempunyai had yang sama dengan +∞, yang bermaksud bahawa pada titik x=0 ia mempunyai ketakselanjaran jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bahagian integer daripada x) pada titik dengan keseluruhan abscissas mempunyai ketakselanjaran jenis pertama, atau lompatan.

Fungsi yang berterusan pada setiap titik dalam selang dipanggil berterusan V . Fungsi selanjar diwakili oleh lengkung pepejal.

Banyak masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan berterusan beberapa kuantiti membawa kepada had kedua yang luar biasa. Tugas sedemikian, sebagai contoh, termasuk: pertumbuhan deposit mengikut undang-undang faedah kompaun, pertumbuhan penduduk negara, pereputan bahan radioaktif, percambahan bakteria, dsb.

Mari kita pertimbangkan contoh Ya I. Perelman, memberikan tafsiran nombor e dalam masalah faedah kompaun. Nombor e ada hadnya . Dalam bank simpanan, wang faedah ditambah kepada modal tetap setiap tahun. Sekiranya penyertaan dibuat lebih kerap, maka modal berkembang lebih cepat, kerana jumlah yang lebih besar terlibat dalam pembentukan faedah. Mari kita ambil contoh teori semata-mata, sangat mudah. Biarkan 100 penafi dimasukkan ke dalam bank. unit berdasarkan 100% setahun. Jika wang faedah ditambah kepada modal tetap hanya selepas setahun, maka pada tempoh ini 100 den. unit akan bertukar menjadi 200 unit monetari. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 denize. unit, jika wang faedah ditambah kepada modal tetap setiap enam bulan. Selepas enam bulan, 100 den. unit akan meningkat kepada 100× 1.5 = 150, dan selepas enam bulan lagi - 150× 1.5 = 225 (den. unit). Jika penyertaan dilakukan setiap 1/3 tahun, maka selepas setahun 100 den. unit akan bertukar menjadi 100× (1 +1/3) 3" 237 (den. unit). Kami akan meningkatkan syarat untuk menambah wang faedah kepada 0.1 tahun, sehingga 0.01 tahun, sehingga 0.001 tahun, dsb. Kemudian daripada 100 den. unit selepas setahun ia akan menjadi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. unit),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. unit),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. unit).

Dengan pengurangan tanpa had dalam syarat menambah faedah, modal terkumpul tidak berkembang selama-lamanya, tetapi menghampiri had tertentu bersamaan dengan lebih kurang 271. Modal yang didepositkan pada 100% setahun tidak boleh meningkat lebih daripada 2.71 kali, walaupun faedah terakru telah ditambah kepada modal setiap saat kerana had

Contoh 3.1.Dengan menggunakan takrifan had bagi jujukan nombor, buktikan bahawa jujukan x n =(n-1)/n mempunyai had bersamaan dengan 1.

Penyelesaian.Kita perlu membuktikannya, tidak kira apa punε > 0, tidak kira apa yang kita ambil, kerana itu terdapat nombor asli N supaya untuk semua n N ketaksamaan kekal|x n -1|< ε.

Mari kita ambil mana-mana e > 0. Sejak ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, kemudian untuk mencari N sudah cukup untuk menyelesaikan ketaksamaan 1/n< e. Oleh itu n>1/ e dan, oleh itu, N boleh diambil sebagai bahagian integer 1/ e , N = E(1/ e ). Dengan itu kami telah membuktikan bahawa had .

Contoh 3.2 . Cari had bagi jujukan yang diberikan oleh sebutan sepunya .

Penyelesaian.Mari gunakan had teorem hasil tambah dan cari had bagi setiap sebutan. Apabila n→ ∞ pengangka dan penyebut bagi setiap sebutan cenderung kepada infiniti, dan kita tidak boleh menggunakan teorem had hasil bagi secara langsung. Oleh itu, pertama kita mengubah x n, membahagikan pengangka dan penyebut sebutan pertama dengan n 2, dan yang kedua pada n. Kemudian, menggunakan had hasil bagi dan had jumlah teorem, kita dapati:

.

Contoh 3.3. . Cari .

Penyelesaian. .

Di sini kami menggunakan had teorem darjah: had darjah adalah sama dengan darjah had asas.

Contoh 3.4 . Cari ( ).

Penyelesaian.Adalah mustahil untuk menggunakan had teorem perbezaan, kerana kita mempunyai ketidakpastian bentuk ∞-∞ . Mari kita ubah formula istilah umum:

.

Contoh 3.5 . Fungsi f(x)=2 1/x diberikan. Buktikan bahawa tiada had.

Penyelesaian.Mari kita gunakan takrifan 1 bagi had fungsi melalui jujukan. Mari kita ambil urutan ( x n ) menumpu kepada 0, i.e. Mari kita tunjukkan bahawa nilai f(x n)= berkelakuan berbeza untuk jujukan yang berbeza. Biarkan x n = 1/n. Jelas sekali, maka hadnya Marilah kita memilih sebagai x n jujukan dengan sebutan sepunya x n = -1/n, juga cenderung kepada sifar. Oleh itu tiada had.

Contoh 3.6 . Buktikan bahawa tiada had.

Penyelesaian.Biarkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... menjadi urutan yang
. Bagaimanakah urutan (f(x n)) = (sin x n) berkelakuan untuk x n yang berbeza → ∞

Jika x n = p n, maka sin x n = sin p n = 0 untuk semua n dan had Jika
x n =2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 untuk semua n dan oleh itu hadnya. Jadi ia tidak wujud.

Widget untuk mengira had dalam talian

Di tetingkap atas, bukannya sin(x)/x, masukkan fungsi yang hadnya anda ingin cari. Di tetingkap bawah, masukkan nombor yang x cenderung dan klik butang Calcular, dapatkan had yang dikehendaki. Dan jika dalam tetingkap hasil anda mengklik pada Tunjukkan langkah di sudut kanan atas, anda akan mendapat penyelesaian terperinci.

Peraturan untuk memasukkan fungsi: sqrt(x) - punca kuasa dua, cbrt(x) - punca kubus, exp(x) - eksponen, ln(x) - logaritma asli, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangen, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Tanda: * pendaraban, / pembahagian, ^ eksponen, sebaliknya infiniti Infiniti. Contoh: fungsi dimasukkan sebagai sqrt(tan(x/2)).

Had memberi semua pelajar matematik banyak masalah. Untuk menyelesaikan had, kadangkala anda perlu menggunakan banyak helah dan memilih daripada pelbagai kaedah penyelesaian yang betul-betul sesuai untuk contoh tertentu.

Dalam artikel ini kami tidak akan membantu anda memahami had keupayaan anda atau memahami had kawalan, tetapi kami akan cuba menjawab soalan: bagaimana untuk memahami had dalam matematik yang lebih tinggi? Pemahaman datang dengan pengalaman, jadi pada masa yang sama kami akan memberikan beberapa contoh terperinci untuk menyelesaikan had dengan penjelasan.

Konsep had dalam matematik

Soalan pertama ialah: apakah had ini dan had apa? Kita boleh bercakap tentang had jujukan dan fungsi berangka. Kami berminat dengan konsep had fungsi, kerana inilah yang paling kerap dihadapi oleh pelajar. Tetapi pertama, definisi paling umum had:

Katakan terdapat beberapa nilai berubah. Jika nilai ini dalam proses perubahan tanpa had menghampiri nombor tertentu a , Itu a – had nilai ini.

Untuk fungsi yang ditakrifkan dalam selang waktu tertentu f(x)=y nombor sedemikian dipanggil had A , yang fungsinya cenderung apabila X , cenderung ke titik tertentu A . titik A tergolong dalam selang di mana fungsi itu ditakrifkan.

Kedengarannya rumit, tetapi ia ditulis dengan sangat ringkas:

Lim- daripada bahasa Inggeris had- had.

Terdapat juga penjelasan geometri untuk menentukan had, tetapi di sini kita tidak akan menyelidiki teori itu, kerana kita lebih berminat dengan praktikal dan bukannya sisi teoritis isu itu. Apabila kita berkata demikian X cenderung kepada beberapa nilai, ini bermakna bahawa pembolehubah tidak mengambil nilai nombor, tetapi menghampirinya hampir tidak terhingga.

Mari kita berikan contoh khusus. Tugasnya adalah untuk mencari had.

Untuk menyelesaikan contoh ini, kami menggantikan nilai x=3 menjadi fungsi. Kami mendapat:

Dengan cara ini, jika anda berminat, baca artikel berasingan mengenai topik ini.

Dalam contoh X boleh cenderung kepada sebarang nilai. Ia boleh menjadi sebarang nombor atau infiniti. Berikut ialah contoh apabila X cenderung kepada infiniti:

Secara intuitif, semakin besar nombor dalam penyebut, semakin kecil nilai fungsi yang akan diambil. Jadi, dengan pertumbuhan tanpa had X maksudnya 1/x akan berkurangan dan menghampiri sifar.

Seperti yang anda lihat, untuk menyelesaikan had, anda hanya perlu menggantikan nilai untuk diusahakan ke dalam fungsi X . Walau bagaimanapun, ini adalah kes yang paling mudah. Selalunya mencari had tidak begitu jelas. Dalam had terdapat ketidakpastian jenis 0/0 atau infiniti/infiniti . Apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian? Resort untuk muslihat!

Ketidakpastian dalam

Ketidakpastian bentuk infiniti/infiniti

Biar ada had:

Jika kita cuba menggantikan infiniti ke dalam fungsi, kita akan mendapat infiniti dalam kedua-dua pengangka dan penyebut. Secara umum, patut dikatakan bahawa terdapat unsur seni tertentu dalam menyelesaikan ketidakpastian tersebut: anda perlu perhatikan bagaimana anda boleh mengubah fungsi sedemikian rupa sehingga ketidakpastian itu hilang. Dalam kes kami, kami membahagikan pengangka dan penyebut dengan X dalam ijazah senior. Apa yang akan berlaku?

Daripada contoh yang telah dibincangkan di atas, kita tahu bahawa istilah yang mengandungi x dalam penyebut akan cenderung kepada sifar. Maka penyelesaian kepada had adalah:

Untuk menyelesaikan ketidakpastian jenis infiniti/infiniti bahagikan pengangka dan penyebut dengan X ke tahap tertinggi.

By the way! Untuk pembaca kami kini terdapat diskaun 10% pada

Satu lagi jenis ketidakpastian: 0/0

Seperti biasa, menggantikan nilai ke dalam fungsi x=-1 memberi 0 dalam pengangka dan penyebut. Lihat sedikit lebih dekat dan anda akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik dalam pengangka. Mari cari akar dan tulis:

Jom kurangkan dan dapatkan:

Jadi, jika anda berhadapan dengan ketidakpastian jenis 0/0 – faktorkan pengangka dan penyebut.

Untuk memudahkan anda menyelesaikan contoh, kami membentangkan jadual dengan had beberapa fungsi:

Peraturan L'Hopital dalam

Satu lagi cara yang berkesan untuk menghapuskan kedua-dua jenis ketidakpastian. Apakah intipati kaedah tersebut?

Jika terdapat ketidakpastian dalam had, ambil terbitan pengangka dan penyebut sehingga ketidakpastian hilang.

Peraturan L'Hopital kelihatan seperti ini:

Perkara penting : had di mana terbitan pengangka dan penyebut berdiri bukannya pengangka dan penyebut mesti wujud.

Dan sekarang - contoh sebenar:

Terdapat ketidakpastian biasa 0/0 . Mari kita ambil terbitan pengangka dan penyebut:

Voila, ketidakpastian diselesaikan dengan cepat dan elegan.

Kami berharap anda akan dapat menggunakan maklumat ini secara praktikal dan mencari jawapan kepada soalan "cara menyelesaikan had dalam matematik yang lebih tinggi." Jika anda perlu mengira had jujukan atau had fungsi pada satu titik, dan langsung tiada masa untuk kerja ini, hubungi perkhidmatan pelajar profesional untuk penyelesaian yang cepat dan terperinci.