Persamaan melalui diskriminasi. Persamaan kuadratik

Contohnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminasi akan sama dengan \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), ia akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminasi dilambangkan dengan huruf \(D\) dan sering digunakan dalam penyelesaian. Selain itu, dengan nilai diskriminasi, anda boleh memahami rupa graf yang lebih kurang (lihat di bawah).

Diskriminasi dan punca persamaan

Nilai diskriminasi menunjukkan bilangan persamaan kuadratik:
- jika \(D\) adalah positif, persamaan akan mempunyai dua punca;
- jika \(D\) sama dengan sifar – terdapat hanya satu punca;
- jika \(D\) negatif, tiada punca.

Ini tidak perlu diajar, tidak sukar untuk membuat kesimpulan sedemikian, hanya mengetahui bahawa dari diskriminasi (iaitu, \(\sqrt(D)\) termasuk dalam formula untuk mengira punca persamaan : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) Mari kita lihat setiap kes dengan lebih terperinci .

Sekiranya diskriminasi itu positif

Dalam kes ini, akarnya adalah beberapa nombor positif, yang bermaksud \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan mempunyai makna yang berbeza, kerana dalam formula pertama \(\sqrt(D)\) ditambah, dan dalam kedua ia ditolak. Dan kita mempunyai dua akar yang berbeza.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Penyelesaian :

Jawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Jika diskriminasi adalah sifar

Berapa banyak punca yang akan ada jika diskriminasi adalah sifar? Mari beralasan.

Rumus akar kelihatan seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminasi adalah sifar, maka akarnya juga sifar. Kemudian ternyata:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Iaitu, nilai akar persamaan akan bertepatan, kerana menambah atau menolak sifar tidak mengubah apa-apa.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Penyelesaian :

\(x^2-4x+4=0\)		Kami menulis pekali:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Kami mengira diskriminasi menggunakan formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Mencari punca-punca persamaan
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Kami mendapat dua akar yang sama, jadi tidak ada gunanya menulisnya secara berasingan - kami menulisnya sebagai satu.

Jawab : \(x=2\)

DALAM masyarakat moden keupayaan untuk melaksanakan operasi dengan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua boleh berguna dalam banyak bidang aktiviti dan digunakan secara meluas dalam amalan dalam perkembangan saintifik dan teknikal. Bukti ini boleh didapati dalam reka bentuk kapal laut dan sungai, kapal terbang dan roket. Menggunakan pengiraan sedemikian, trajektori pergerakan pelbagai jenis badan, termasuk objek angkasa, ditentukan. Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik digunakan bukan sahaja dalam ramalan ekonomi, dalam reka bentuk dan pembinaan bangunan, tetapi juga dalam keadaan harian yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan semasa perjalanan mendaki, di acara sukan, di kedai semasa membuat pembelian dan dalam situasi biasa yang lain.

Mari kita pecahkan ungkapan kepada faktor komponennya

Darjah persamaan ditentukan oleh nilai maksimum darjah pembolehubah yang terkandung dalam ungkapan itu. Jika ia sama dengan 2, maka persamaan sedemikian dipanggil kuadratik.

Jika kita bercakap dalam bahasa formula, maka ungkapan yang ditunjukkan, tidak kira bagaimana rupanya, sentiasa boleh dibawa ke bentuk apabila bahagian kiri ungkapan terdiri daripada tiga istilah. Antaranya: ax 2 (iaitu pembolehubah kuasa dua dengan pekalinya), bx (yang tidak diketahui tanpa segi empat sama dengan pekalinya) dan c (komponen bebas, iaitu nombor biasa). Semua ini di sebelah kanan adalah sama dengan 0. Dalam kes apabila polinomial tersebut tidak mempunyai salah satu sebutan konstituennya, kecuali ax 2, ia dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Contoh dengan penyelesaian masalah sedemikian, nilai pembolehubah yang mudah dicari, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ungkapan itu kelihatan seperti mempunyai dua sebutan di sebelah kanan, lebih tepat ax 2 dan bx, cara paling mudah untuk mencari x ialah dengan meletakkan pembolehubah keluar dari kurungan. Sekarang persamaan kita akan kelihatan seperti ini: x(ax+b). Seterusnya, menjadi jelas bahawa sama ada x=0, atau masalah datang untuk mencari pembolehubah daripada ungkapan berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat pendaraban. Peraturan menyatakan bahawa hasil darab dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satu daripadanya adalah sifar.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapat dua punca persamaan: 0 dan 0.375.

Persamaan seperti ini boleh menggambarkan pergerakan jasad di bawah pengaruh graviti, yang mula bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asal koordinat. Di sini notasi matematik mengambil borang berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan menggantikan nilai yang diperlukan, menyamakan bahagian kanan dengan 0 dan mencari kemungkinan yang tidak diketahui, anda boleh mengetahui masa yang berlalu dari saat badan naik ke saat ia jatuh, serta banyak kuantiti lain. Tetapi kita akan bercakap tentang perkara ini kemudian.

Memfaktorkan Ekspresi

Peraturan yang diterangkan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan lebih banyak lagi kes yang sukar. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadratik jenis ini.

X 2 - 33x + 200 = 0

Trinomial kuadratik ini sudah lengkap. Pertama, mari kita ubah ungkapan dan faktorkannya. Terdapat dua daripadanya: (x-8) dan (x-25) = 0. Akibatnya, kita mempunyai dua punca 8 dan 25.

Contoh dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dalam gred 9 membenarkan kaedah ini untuk mencari pembolehubah dalam ungkapan bukan sahaja bagi urutan kedua, malah bagi susunan ketiga dan keempat.

Contohnya: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Apabila memfaktorkan sisi kanan ke dalam faktor dengan pembolehubah, terdapat tiga daripadanya, iaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahawa persamaan ini mempunyai tiga punca: -3; -1; 3.

Akar Kuasa Dua

Satu lagi kes persamaan tidak lengkap susunan kedua ialah ungkapan yang diwakili dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga bahagian kanan dibina daripada komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai pembolehubah, istilah bebas dipindahkan ke sebelah kanan, dan selepas itu daripada kedua-dua belah kesamarataan yang kami ekstrak punca kuasa dua. Perlu diingatkan bahawa dalam kes ini biasanya terdapat dua punca persamaan. Satu-satunya pengecualian boleh menjadi kesamaan yang tidak mengandungi istilah dengan sama sekali, dengan pembolehubah adalah sama dengan sifar, serta varian ungkapan apabila sebelah kanan adalah negatif. Dalam kes kedua, tiada penyelesaian sama sekali, kerana tindakan di atas tidak boleh dilakukan dengan akar. Contoh penyelesaian kepada persamaan kuadratik jenis ini perlu dipertimbangkan.

Dalam kes ini, punca persamaan akan menjadi nombor -4 dan 4.

Pengiraan keluasan tanah

Keperluan untuk pengiraan seperti ini muncul pada zaman dahulu, kerana perkembangan matematik pada zaman yang jauh itu sebahagian besarnya ditentukan oleh keperluan untuk menentukan dengan ketepatan yang paling besar kawasan dan perimeter plot tanah.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik berdasarkan masalah seperti ini.

Jadi, katakan terdapat sebidang tanah berbentuk segi empat tepat, yang panjangnya 16 meter lebih besar daripada lebarnya. Anda harus mencari panjang, lebar dan perimeter tapak jika anda tahu bahawa luasnya ialah 612 m 2.

Untuk bermula, mari kita buat persamaan yang diperlukan dahulu. Mari kita nyatakan dengan x lebar kawasan itu, maka panjangnya ialah (x+16). Daripada apa yang telah ditulis, kawasan itu ditentukan oleh ungkapan x(x+16), yang, mengikut keadaan masalah kita, ialah 612. Ini bermakna x(x+16) = 612.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, dan ungkapan ini adalah tepat, tidak boleh dilakukan dengan cara yang sama. kenapa? Walaupun bahagian kiri masih mengandungi dua faktor, produk mereka tidak sama sekali 0, jadi kaedah berbeza digunakan di sini.

Diskriminasi

Pertama sekali, mari kita buat transformasi yang diperlukan, kemudian penampilan ungkapan ini akan kelihatan seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini bermakna kita telah menerima ungkapan dalam bentuk yang sepadan dengan piawaian yang dinyatakan sebelum ini, di mana a=1, b=16, c=-612.

Ini boleh menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi. Di sini pengiraan yang diperlukan dihasilkan mengikut skema: D = b 2 - 4ac. Kuantiti tambahan ini bukan sahaja membolehkan untuk mencari kuantiti yang diperlukan dalam persamaan tertib kedua, ia menentukan kuantiti pilihan yang mungkin. Jika D>0, terdapat dua daripadanya; untuk D=0 terdapat satu punca. Dalam kes D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Mengenai akar dan formulanya

Dalam kes kami, diskriminasi adalah sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahawa masalah kami mempunyai jawapan. Jika anda tahu k, penyelesaian persamaan kuadratik mesti diteruskan menggunakan formula di bawah. Ia membolehkan anda mengira akar.

Ini bermakna dalam kes yang dibentangkan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak boleh menjadi penyelesaian, kerana dimensi plot tanah tidak boleh diukur dalam kuantiti negatif, yang bermaksud x (iaitu, lebar plot) ialah 18 m Dari sini kita mengira panjang: 18 +16=34, dan perimeter 2(34+ 18)=104(m2).

Contoh dan tugasan

Kami meneruskan kajian kami tentang persamaan kuadratik. Contoh dan penyelesaian terperinci beberapa daripadanya akan diberikan di bawah.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Mari kita alihkan segala-galanya ke sebelah kiri kesamaan, buat transformasi, iaitu, kita akan mendapat jenis persamaan yang biasanya dipanggil standard, dan menyamakannya dengan sifar.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Menambah yang serupa, kita tentukan diskriminasi: D = 49 - 48 = 1. Ini bermakna persamaan kita akan mempunyai dua punca. Mari kita mengira mereka mengikut formula di atas, yang bermaksud bahawa yang pertama daripada mereka akan sama dengan 4/3, dan yang kedua kepada 1.

2) Sekarang mari kita selesaikan misteri yang berbeza.

Mari kita ketahui sama ada terdapat sebarang punca di sini x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawapan yang komprehensif, mari kita kurangkan polinomial kepada bentuk biasa yang sepadan dan kirakan diskriminasi. Dalam contoh di atas, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadratik, kerana ini bukan intipati masalah sama sekali. Dalam kes ini, D = 16 - 20 = -4, yang bermaksud tidak ada akar.

Teorem Vieta

Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula di atas dan diskriminasi, apabila punca kuasa dua diambil daripada nilai yang terakhir. Tetapi ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak cara untuk mendapatkan nilai pembolehubah dalam kes ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta. Dia dinamakan sempena yang hidup pada abad ke-16 di Perancis dan mencipta kerjaya yang cemerlang berkat bakat matematik dan hubungannya di mahkamah. Potretnya boleh dilihat dalam artikel.

Corak yang diperhatikan oleh orang Perancis terkenal itu adalah seperti berikut. Dia membuktikan bahawa punca-punca persamaan menambah secara berangka kepada -p=b/a, dan hasil darabnya sepadan dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Untuk kesederhanaan, mari kita ubah ungkapan:

x 2 + 7x - 18 = 0

Mari kita gunakan teorem Vieta, ini akan memberi kita perkara berikut: jumlah punca ialah -7, dan hasil darabnya ialah -18. Dari sini kita dapati bahawa punca persamaan ialah nombor -9 dan 2. Selepas menyemak, kita akan memastikan bahawa nilai pembolehubah ini benar-benar sesuai dengan ungkapan.

Graf parabola dan persamaan

Konsep fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik adalah berkait rapat. Contoh-contoh ini telah pun diberikan sebelum ini. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematik dengan lebih terperinci. Mana-mana persamaan jenis yang diterangkan boleh diwakili secara visual. Hubungan sedemikian, dilukis sebagai graf, dipanggil parabola. Pelbagai jenisnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Mana-mana parabola mempunyai bucu, iaitu titik dari mana cabang-cabangnya muncul. Jika a>0, mereka pergi tinggi kepada infiniti, dan apabila a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Perwakilan visual fungsi membantu menyelesaikan sebarang persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Kaedah ini dipanggil grafik. Dan nilai pembolehubah x ialah koordinat absis pada titik di mana garis graf bersilang dengan 0x. Koordinat puncak boleh didapati menggunakan formula yang baru diberi x 0 = -b/2a. Dan dengan menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal fungsi, anda boleh mengetahui y 0, iaitu, koordinat kedua bucu parabola, yang tergolong dalam paksi ordinat.

Persilangan cabang parabola dengan paksi absis

Terdapat banyak contoh penyelesaian persamaan kuadratik, tetapi terdapat juga pola umum. Mari lihat mereka. Adalah jelas bahawa persilangan graf dengan paksi 0x untuk a>0 adalah mungkin hanya jika 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Daripada graf parabola anda juga boleh menentukan punca. Begitu juga sebaliknya. Iaitu, jika tidak mudah untuk mendapatkan perwakilan visual bagi fungsi kuadratik, anda boleh menyamakan bahagian kanan ungkapan itu kepada 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil. Dan mengetahui titik persilangan dengan paksi 0x, lebih mudah untuk membina graf.

Dari sejarah

Menggunakan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua, pada zaman dahulu mereka bukan sahaja membuat pengiraan matematik dan menentukan luas angka geometri. Orang dahulu memerlukan pengiraan sedemikian untuk penemuan besar dalam bidang fizik dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang dicadangkan oleh saintis moden, penduduk Babylon adalah antara yang pertama menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku empat abad sebelum era kita. Sudah tentu, pengiraan mereka berbeza secara radikal daripada yang diterima sekarang dan ternyata lebih primitif. Sebagai contoh, ahli matematik Mesopotamia tidak tahu tentang kewujudan nombor negatif. Mereka juga tidak biasa dengan kehalusan lain yang mana-mana pelajar sekolah moden tahu.

Mungkin lebih awal daripada saintis Babylon, orang bijak dari India Baudhayama mula menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku kira-kira lapan abad sebelum era Kristus. Benar, persamaan tertib kedua, kaedah penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling mudah. Selain beliau, ahli matematik Cina juga berminat dengan soalan yang sama pada zaman dahulu. Di Eropah, persamaan kuadratik mula diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudiannya ia digunakan dalam karya mereka oleh saintis hebat seperti Newton, Descartes dan ramai lagi.

Saya berharap selepas mempelajari artikel ini anda akan belajar bagaimana untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik lengkap.

Menggunakan diskriminasi, hanya persamaan kuadratik lengkap diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang anda akan dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap."

Apakah persamaan kuadratik yang dipanggil lengkap? ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana pekali a, b dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, kita perlu mengira diskriminasi D.

D = b 2 – 4ac.

Bergantung pada nilai diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi ialah nombor negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminasi adalah sifar, maka x = (-b)/2a. Apabila diskriminasi ialah nombor positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Contohnya. Selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawapan: tiada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawapan: – 3.5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap menggunakan rajah dalam Rajah 1.

Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai

A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian untuk contoh 2 di atas).

Oleh itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai, mula-mula persamaan kuadratik lengkap mesti ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, iaitu A x 2 , kemudian dengan kurang – bx dan kemudian ahli percuma Dengan.

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang dan persamaan kuadratik dengan pekali genap dalam sebutan kedua, anda boleh menggunakan formula lain. Mari kita berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik lengkap sebutan kedua mempunyai pekali genap (b = 2k), maka anda boleh menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 2.

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 sama dengan satu dan persamaan akan mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk penyelesaian, atau ia boleh diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A, berdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan rajah untuk menyelesaikan kuasa dua terkecil
persamaan. Mari kita lihat contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaan

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3

Anda boleh perhatikan bahawa pekali x dalam persamaan ini nombor genap, iaitu b = 6 atau b = 2k, dari mana k = 3. Kemudian mari cuba selesaikan persamaan menggunakan rumus yang diberikan dalam rajah D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3. Menyedari bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini boleh dibahagikan dengan 3 dan melakukan pembahagian, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik terkurang.
persamaan rajah 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang anda lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula yang berbeza, kami menerima jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1 dengan teliti, anda akan sentiasa dapat menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik yang lengkap.

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Diskriminasi, seperti persamaan kuadratik, mula dipelajari dalam kursus algebra dalam gred 8. Anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi dan menggunakan teorem Vieta. Kaedah mengkaji persamaan kuadratik, serta formula diskriminasi, agak tidak berjaya diajarkan kepada pelajar sekolah, seperti banyak perkara dalam pendidikan sebenar. Oleh itu, tahun sekolah berlalu, pendidikan di gred 9-11 menggantikan " pendidikan tinggi"dan semua orang melihat lagi - "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik?", "Bagaimana untuk mencari punca persamaan?", "Bagaimana untuk mencari diskriminasi?" Dan...

Formula diskriminasi

Diskriminasi D bagi persamaan kuadratik a*x^2+bx+c=0 adalah sama dengan D=b^2–4*a*c.
Punca (penyelesaian) persamaan kuadratik bergantung pada tanda diskriminasi (D):
D>0 - persamaan mempunyai 2 punca nyata yang berbeza;
D=0 - persamaan mempunyai 1 punca (2 punca yang sepadan):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula untuk mengira diskriminasi agak mudah, begitu banyak tapak web menawarkan kalkulator diskriminasi dalam talian. Kami belum mengetahui skrip jenis ini lagi, jadi jika sesiapa tahu cara melaksanakannya, sila tulis kepada kami melalui e-mel Alamat e-mel ini dilindungi daripada spambots. Anda mesti mendayakan JavaScript untuk melihatnya. .

Formula am untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik:

Kami mencari punca-punca persamaan menggunakan formula
Jika pekali pembolehubah kuasa dua dipasangkan, maka adalah dinasihatkan untuk mengira bukan diskriminasi, tetapi bahagian keempatnya
Dalam kes sedemikian, punca-punca persamaan ditemui menggunakan formula

Cara kedua untuk mencari punca ialah Teorem Vieta.

Teorem ini dirumuskan bukan sahaja untuk persamaan kuadratik, tetapi juga untuk polinomial. Anda boleh membaca ini di Wikipedia atau sumber elektronik lain. Walau bagaimanapun, untuk memudahkan, mari kita pertimbangkan bahagian yang berkenaan dengan persamaan kuadratik di atas, iaitu, persamaan bentuk (a=1)
Intipati formula Vieta ialah jumlah punca persamaan adalah sama dengan pekali pembolehubah, diambil dengan tanda yang bertentangan. Hasil darab punca-punca persamaan adalah sama dengan sebutan bebas. Teorem Vieta boleh ditulis dalam formula.
Derivasi formula Vieta agak mudah. Mari kita tulis persamaan kuadratik melalui faktor mudah
Seperti yang anda lihat, segala-galanya yang bijak adalah mudah pada masa yang sama. Adalah berkesan untuk menggunakan formula Vieta apabila perbezaan modulus akar atau perbezaan modulus akar ialah 1, 2. Sebagai contoh, persamaan berikut, mengikut teorem Vieta, mempunyai punca.




Sehingga persamaan 4, analisis sepatutnya kelihatan seperti ini. Hasil darab punca persamaan ialah 6, oleh itu puncanya boleh menjadi nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah punca ialah 7 (pekali pembolehubah dengan tanda bertentangan). Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa penyelesaian kepada persamaan kuadratik ialah x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih punca persamaan antara pembahagi istilah bebas, menyesuaikan tanda mereka untuk memenuhi formula Vieta. Pada mulanya, ini kelihatan sukar untuk dilakukan, tetapi dengan latihan pada beberapa persamaan kuadratik, teknik ini akan menjadi lebih berkesan daripada mengira diskriminasi dan mencari punca persamaan kuadratik dengan cara klasik.
Seperti yang anda lihat, teori sekolah mengkaji diskriminasi dan kaedah mencari penyelesaian kepada persamaan tidak mempunyai makna praktikal - "Mengapa pelajar sekolah memerlukan persamaan kuadratik?", "Apakah maksud fizikal diskriminasi?"

Mari cuba fikirkan Apakah yang diterangkan oleh diskriminasi itu?

Dalam kursus algebra mereka mempelajari fungsi, skema untuk mengkaji fungsi dan membina graf fungsi. Daripada semua fungsi, parabola menduduki tempat yang penting, persamaannya boleh ditulis dalam bentuk
Jadi makna fizik persamaan kuadratik ialah sifar parabola, iaitu titik persilangan graf fungsi dengan paksi absis Ox.
Saya meminta anda mengingati sifat-sifat parabola yang diterangkan di bawah. Masanya akan tiba untuk mengambil peperiksaan, ujian, atau peperiksaan kemasukan dan anda akan berterima kasih atas bahan rujukan. Tanda pembolehubah kuasa dua sepadan dengan sama ada cabang parabola pada graf akan naik (a>0),

atau parabola dengan cabang ke bawah (a<0) .

Puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar

Makna fizikal diskriminasi:

Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar (D>0) parabola mempunyai dua titik persilangan dengan paksi Lembu.
Jika diskriminasi adalah sifar (D=0) maka parabola pada bucu menyentuh paksi-x.
Dan kes terakhir, apabila diskriminasi kurang daripada sifar(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Diskriminasi ialah istilah berbilang nilai. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang diskriminasi polinomial, yang membolehkan anda menentukan sama ada polinomial tertentu mempunyai penyelesaian yang sah. Formula untuk polinomial kuadratik terdapat dalam kursus sekolah tentang algebra dan analisis. Bagaimana untuk mencari diskriminasi? Apakah yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan?

Polinomial kuadratik atau persamaan darjah kedua dipanggil i * w ^ 2 + j * w + k sama dengan 0, dengan "i" dan "j" ialah pekali pertama dan kedua, masing-masing, "k" ialah pemalar, kadangkala dipanggil "istilah tolak," dan "w" ialah pembolehubah. Akarnya akan menjadi semua nilai pembolehubah di mana ia berubah menjadi identiti. Kesamaan sedemikian boleh ditulis semula sebagai hasil darab i, (w - w1) dan (w - w2) bersamaan dengan 0. Dalam kes ini, adalah jelas bahawa jika pekali “i” tidak menjadi sifar, maka fungsi pada sebelah kiri akan menjadi sifar hanya jika jika x mengambil nilai w1 atau w2. Nilai ini adalah hasil daripada menetapkan polinomial kepada sifar.

Untuk mencari nilai pembolehubah di mana polinomial kuadratik lenyap, binaan tambahan digunakan, dibina di atas pekalinya dan dipanggil diskriminasi. Reka bentuk ini dikira mengikut formula D bersamaan dengan j * j - 4 * i * k. Mengapa ia digunakan?

1. Ia memberitahu sama ada terdapat keputusan yang sah.
2. Dia membantu mengira mereka.

Bagaimanakah nilai ini menunjukkan kehadiran akar sebenar:

• Jika ia positif, maka dua punca boleh didapati di kawasan nombor nyata.
• Jika diskriminasi adalah sifar, maka kedua-dua penyelesaian adalah sama. Kita boleh mengatakan bahawa terdapat hanya satu penyelesaian, dan ia adalah dari bidang nombor nyata.
• Jika diskriminasi kurang daripada sifar, maka polinomial tidak mempunyai punca sebenar.

Pilihan pengiraan untuk mengamankan bahan

Untuk jumlah (7 * w^2; 3 * w; 1) sama dengan 0 Kami mengira D menggunakan formula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, kami mendapat -19. Nilai diskriminasi di bawah sifar menunjukkan bahawa tiada keputusan pada baris sebenar.

Jika kita menganggap 2 * w^2 - 3 * w + 1 bersamaan dengan 0, maka D dikira sebagai (-3) kuasa dua tolak hasil darab nombor (4; 2; 1) dan sama dengan 9 - 8, iaitu 1. Nilai positif menunjukkan dua keputusan pada garis nyata.

Jika kita mengambil jumlah (w ^ 2; 2 * w; 1) dan menyamakannya dengan 0, D dikira sebagai dua kuasa dua tolak hasil darab nombor (4; 1; 1). Ungkapan ini akan dipermudahkan kepada 4 - 4 dan pergi ke sifar. Ternyata hasilnya sama. Jika anda melihat dengan teliti formula ini, ia akan menjadi jelas bahawa ini adalah "persegi lengkap". Ini bermakna bahawa kesamaan boleh ditulis semula dalam bentuk (w + 1) ^ 2 = 0. Ia menjadi jelas bahawa keputusan dalam masalah ini ialah “-1”. Dalam keadaan di mana D bersamaan dengan 0, bahagian kiri kesamaan sentiasa boleh diruntuhkan menggunakan formula "kuadrat jumlah".

Menggunakan diskriminasi dalam mengira punca

Pembinaan tambahan ini bukan sahaja menunjukkan bilangan penyelesaian sebenar, tetapi juga membantu mencarinya. Formula pengiraan am untuk persamaan darjah kedua ialah:

w = (-j +/- d) / (2 * i), dengan d ialah pendiskriminasi kuasa 1/2.

Katakan diskriminasi adalah di bawah sifar, maka d adalah khayalan dan hasilnya adalah khayalan.

D ialah sifar, maka d sama dengan D dengan kuasa 1/2 juga adalah sifar. Penyelesaian: -j / (2 * i). Sekali lagi mempertimbangkan 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, kita dapati hasil yang bersamaan dengan -2 / (2 * 1) = -1.

Katakan D > 0, maka d ialah nombor nyata, dan jawapan di sini terbahagi kepada dua bahagian: w1 = (-j + d) / (2 * i) dan w2 = (-j - d) / (2 * i ). Kedua-dua keputusan akan sah. Mari kita lihat 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Di sini diskriminasi dan d ialah satu. Ternyata w1 adalah sama dengan (3 + 1) dibahagikan dengan (2 * 2) atau 1, dan w2 adalah sama dengan (3 - 1) dibahagikan dengan 2 * 2 atau 1/2.

Hasil daripada menyamakan ungkapan kuadratik kepada sifar dikira mengikut algoritma:

1. Menentukan bilangan penyelesaian yang sah.
2. Pengiraan d = D^(1/2).
3. Mencari keputusan mengikut formula (-j +/- d) / (2 * i).
4. Menggantikan hasil yang diperoleh kepada kesamaan asal untuk pengesahan.

Beberapa kes khas

Bergantung pada pekali, penyelesaiannya mungkin agak dipermudahkan. Jelas sekali, jika pekali pembolehubah kepada kuasa kedua adalah sifar, maka kesamaan linear diperolehi. Apabila pekali pembolehubah kepada kuasa pertama adalah sifar, maka dua pilihan adalah mungkin:

1. polinomial dikembangkan menjadi perbezaan kuasa dua apabila sebutan bebas adalah negatif;
2. untuk pemalar positif, tiada penyelesaian sebenar boleh ditemui.

Jika sebutan bebas ialah sifar, maka puncanya ialah (0; -j)

Tetapi terdapat kes khas lain yang memudahkan mencari penyelesaian.

Persamaan darjah kedua dikurangkan

Yang diberi dipanggil trinomial kuadratik sedemikian, di mana pekali sebutan utama ialah satu. Untuk situasi ini, teorem Vieta terpakai, yang menyatakan bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali pembolehubah kepada kuasa pertama, didarab dengan -1, dan hasil darab sepadan dengan pemalar "k".

Oleh itu, w1 + w2 sama dengan -j dan w1 * w2 sama dengan k jika pekali pertama ialah satu. Untuk mengesahkan ketepatan perwakilan ini, anda boleh menyatakan w2 = -j - w1 daripada formula pertama dan menggantikannya dengan kesamaan kedua w1 * (-j - w1) = k. Hasilnya ialah kesamaan asal w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Penting untuk diperhatikan, bahawa i * w ^ 2 + j * w + k = 0 boleh dicapai dengan membahagi dengan “i”. Hasilnya ialah: w^2 + j1 * w + k1 = 0, di mana j1 bersamaan dengan j/i dan k1 bersamaan dengan k/i.

Mari kita lihat 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 yang telah diselesaikan dengan keputusan w1 = 1 dan w2 = 1/2. Kita perlu membahagikannya kepada separuh, akibatnya w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Mari kita semak bahawa syarat teorem adalah benar untuk keputusan yang ditemui: 1 + 1/2 = 3/ 2 dan 1*1/2 = 1/2.

Malah faktor kedua

Jika faktor pembolehubah kepada kuasa pertama (j) boleh dibahagi dengan 2, maka ia akan menjadi mungkin untuk memudahkan formula dan mencari penyelesaian melalui satu perempat daripada diskriminasi D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. ternyata w = (-j +/- d/2) / i, di mana d/2 = D/4 kepada kuasa 1/2.

Jika i = 1, dan pekali j adalah genap, maka penyelesaiannya akan menjadi hasil darab -1 dan separuh pekali pembolehubah w, tambah/tolak punca kuasa dua separuh ini tolak pemalar “k”. Formula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Tertib diskriminasi yang lebih tinggi

Diskriminasi bagi trinomial darjah kedua yang dibincangkan di atas ialah kes khas yang paling biasa digunakan. Dalam kes umum, diskriminasi polinomial ialah kuasa dua darab bagi beza punca polinomial ini. Oleh itu, diskriminasi sama dengan sifar menunjukkan kehadiran sekurang-kurangnya dua penyelesaian berbilang.

Pertimbangkan i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Katakan diskriminasi melebihi sifar. Ini bermakna terdapat tiga punca dalam kawasan nombor nyata. Pada sifar terdapat pelbagai penyelesaian. Jika D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают nilai negatif apabila kuasa dua, dan juga satu punca adalah nyata.

Video

Video kami akan memberitahu anda secara terperinci tentang pengiraan diskriminasi.

Tidak mendapat jawapan kepada soalan anda? Cadangkan topik kepada pengarang.