Pintu masukHubungan kaki dengan hipotenus. Segitiga kanan
Salah satu bidang matematik yang paling sukar dihadapi oleh pelajar ialah trigonometri. Ia tidak menghairankan: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada memori matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk memperoleh rantai logik yang kompleks.
Asal-usul trigonometri
Membiasakan diri dengan sains ini harus bermula dengan definisi sinus, kosinus dan tangen sudut, tetapi pertama-tama anda perlu memahami apa yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.
Dari segi sejarah, objek utama kajian dalam cabang sains matematik ini ialah segi tiga tepat. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan seseorang menentukan nilai semua parameter rajah yang dipersoalkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Pada masa lalu, orang melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi dan juga dalam seni.
Peringkat permulaan
Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan antara sudut dan sisi secara eksklusif menggunakan contoh segi tiga tepat. Kemudian formula khas ditemui yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam kehidupan seharian cabang matematik ini.
Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga tepat, selepas itu pelajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fizik dan menyelesaikan persamaan trigonometri abstrak, yang bermula di sekolah menengah.
Trigonometri sfera
Kemudian, apabila sains mencapai tahap perkembangan seterusnya, formula dengan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan yang berbeza digunakan, dan jumlah sudut dalam segi tiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui kewujudannya sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan "berbentuk lengkok" dalam ruang tiga dimensi.
Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Sila ambil perhatian - ia telah mengambil bentuk arka. Geometri sfera berurusan dengan bentuk sedemikian, yang digunakan dalam geodesi, astronomi dan bidang teori dan gunaan lain.
Segitiga kanan
Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah sinus, kosinus, tangen, pengiraan apa yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.
Langkah pertama ialah memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Ia adalah yang paling lama. Kita ingat bahawa mengikut teorem Pythagoras, nilai berangkanya adalah sama dengan punca jumlah kuasa dua dua sisi yang lain.
Contohnya, jika kedua-dua sisi masing-masing ialah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.
Dua sisi yang tinggal, yang membentuk sudut tegak, dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat segi empat tepat adalah sama dengan 180 darjah.
Definisi
Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang asas geometri, seseorang boleh beralih kepada definisi sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.
Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki bertentangan (iaitu, sisi bertentangan dengan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus.
Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih besar daripada satu! kenapa? Kerana hipotenus secara lalai adalah yang paling panjang Tidak kira berapa panjang kaki itu, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika dalam jawapan anda kepada masalah anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih daripada 1, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas tidak betul.
Akhir sekali, tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Membahagi sinus dengan kosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, kemudian bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat hubungan yang sama seperti dalam definisi tangen.
Cotangent, dengan itu, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi yang bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan satu dengan tangen.
Jadi, kita telah melihat definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita boleh beralih kepada formula.
Formula paling mudah
Dalam trigonometri anda tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Tetapi inilah yang diperlukan apabila menyelesaikan masalah.
Formula pertama yang anda perlu tahu apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi ia menjimatkan masa jika anda perlu mengetahui saiz sudut dan bukannya sisi.
Ramai pelajar tidak dapat mengingati formula kedua, yang juga sangat popular apabila menyelesaikan masalah sekolah: jumlah satu dan kuasa dua tangen sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut. Lihat lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah dilakukan formula trigonometri sama sekali tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan transformasi dan beberapa formula asas, anda boleh pada bila-bila masa memperoleh formula yang lebih kompleks yang diperlukan pada helaian kertas.
Formula untuk sudut berganda dan penambahan hujah
Dua lagi formula yang perlu anda pelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka dibentangkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil darab berpasangan sinus dan kosinus ditambah.
Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan argumen sudut berganda. Ia sepenuhnya diperoleh daripada yang sebelumnya - sebagai amalan, cuba dapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa yang sama dengan sudut beta.
Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut dua kali boleh disusun semula untuk mengurangkan kuasa sinus, kosinus, alfa tangen.
Teorem
Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan oleh itu luas rajah, dan saiz setiap sisi, dsb.
Teorem sinus menyatakan bahawa dengan membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan sudut bertentangan, kita dapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan sama dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu, bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.
Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada jumlah segi empat sama kedua-dua belah, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut bersebelahan - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.
Kesilapan yang tidak berhati-hati
Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk membuat kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita lihat yang paling popular.
Pertama, anda tidak seharusnya menukar pecahan kepada perpuluhan sehingga anda mendapat keputusan akhir - anda boleh meninggalkan jawapan sebagai pecahan sepunya, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam syarat. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat masalah akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa anda untuk perkara yang tidak perlu operasi matematik. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti punca tiga atau punca dua, kerana ia ditemui dalam masalah pada setiap langkah. Perkara yang sama berlaku untuk membundarkan nombor "hodoh".
Selanjutnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Jika anda tersilap terlupa untuk menolak dua kali hasil darab sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi anda juga akan menunjukkan kekurangan pemahaman sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan yang tidak berhati-hati.
Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus 30 darjah adalah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mengelirukan mereka, akibatnya anda pasti akan mendapat hasil yang salah.
Permohonan
Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula belajar trigonometri kerana mereka tidak memahami maksud praktikalnya. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep yang memungkinkan untuk mengira jarak ke bintang yang jauh, meramalkan kejatuhan meteorit, atau menghantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban pada permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, dari muzik ke perubatan.
Kesimpulannya
Jadi anda sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.
Keseluruhan trigonometri datang kepada fakta bahawa menggunakan parameter segitiga yang diketahui anda perlu mengira yang tidak diketahui. Terdapat enam parameter secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan saiz tiga sudut. Satu-satunya perbezaan dalam tugas ialah data input yang berbeza diberikan.
Anda kini tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau hipotenus yang diketahui. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama Masalah trigonometri menjadi mencari punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematik sekolah biasa akan membantu anda.
Arahan
Video mengenai topik
Sila ambil perhatian
Apabila mengira sisi segi tiga tepat, pengetahuan tentang ciri-cirinya boleh memainkan peranan:
1) Jika kaki sudut tegak terletak bertentangan dengan sudut 30 darjah, maka ia sama dengan separuh hipotenus;
2) Hiptenus sentiasa lebih panjang daripada mana-mana kaki;
3) Jika bulatan dihadkan mengelilingi segi tiga tegak, maka pusatnya mestilah terletak di tengah-tengah hipotenus.
Hipotenus ialah sisi dalam segi tiga tepat yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Untuk mengira panjangnya, cukup untuk mengetahui panjang salah satu kaki dan saiz salah satu sudut akut segitiga.
Arahan
Beritahu kami salah satu kaki dan sudut yang bersebelahan dengannya. Untuk lebih spesifik, biarkan ini menjadi sebelah |AB| dan sudut α. Kemudian kita boleh menggunakan formula untuk kosinus trigonometri– kosinus nisbah kaki bersebelahan dengan . Itu. dalam tatatanda cos α = |AB| / |AC|. Daripada ini kita memperoleh panjang hipotenus |AC| = |AB| / cos α.
Jika kita tahu sebelah |BC| dan sudut α, maka kita akan menggunakan formula untuk mengira sinus sudut - sinus sudut adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus: sin α = |BC| / |AC|. Kami mendapati bahawa panjang hipotenus ialah |AC| = |SM| / cos α.
Untuk kejelasan, mari kita lihat contoh. Biarkan panjang kaki |AB|. = 15. Dan sudut α = 60°. Kami mendapat |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30.
Mari lihat bagaimana anda boleh menyemak keputusan anda menggunakan teorem Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita perlu mengira panjang kaki kedua |BC|. Menggunakan formula tangen sudut tan α = |BC| / |AC|, kami mendapat |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Seterusnya, kita menggunakan teorem Pythagoras, kita mendapat 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Semakan selesai.
Selepas mengira hipotenus, semak sama ada nilai yang terhasil memenuhi teorem Pythagoras.
Sumber:
- Jadual nombor perdana dari 1 hingga 10000
kaki ialah dua sisi pendek bagi segi tiga tegak yang membentuk bucu yang saiznya ialah 90°. Sisi ketiga dalam segitiga sedemikian dipanggil hipotenus. Semua sisi dan sudut segi tiga ini saling berkaitan oleh hubungan tertentu yang memungkinkan untuk mengira panjang kaki jika beberapa parameter lain diketahui.
Arahan
Gunakan teorem Pythagoras untuk kaki (A) jika anda mengetahui panjang dua sisi yang lain (B dan C) bagi segi tiga tegak. Teorem ini menyatakan bahawa jumlah panjang kuasa dua kaki adalah sama dengan kuasa dua hipotenus. Dari sini ia mengikuti bahawa panjang setiap kaki adalah sama punca kuasa dua daripada panjang hipotenus dan kaki kedua: A=√(C²-B²).
Gunakan takrifan fungsi trigonometri langsung "sinus" untuk sudut akut jika magnitud sudut (α) terletak bertentangan dengan kaki yang dikira dan panjang hipotenus (C) diketahui. Ini menyatakan bahawa sinus nisbah yang diketahui ini bagi panjang kaki yang dikehendaki kepada panjang hipotenus. Ini bermakna panjang kaki yang dikehendaki adalah sama dengan hasil darab panjang hipotenus dan sinus. sudut yang diketahui: A=C∗sin(α). Untuk kuantiti yang sama diketahui, anda juga boleh menggunakan kosekan dan mengira panjang yang diperlukan dengan membahagikan panjang hipotenus dengan kosekan sudut yang diketahui A=C/cosec(α).
Gunakan takrifan fungsi kosinus trigonometri langsung jika, sebagai tambahan kepada panjang hipotenus (C), magnitud sudut akut (β) bersebelahan dengan yang dikehendaki juga diketahui. Kosinus sudut ini ialah nisbah panjang kaki yang dikehendaki dan hipotenus, dan dari sini kita boleh menyimpulkan bahawa panjang kaki adalah sama dengan hasil darab panjang hipotenus dan kosinus sudut yang diketahui: A=C∗cos(β). Anda boleh menggunakan definisi fungsi sekan dan mengira nilai yang dikehendaki, membahagikan panjang hipotenus dengan sekan sudut yang diketahui A=C/sec(β).
Terbitkan formula yang diperlukan daripada definisi yang sama untuk terbitan tangen fungsi trigonometri, jika sebagai tambahan kepada nilai sudut akut (α) yang terletak bertentangan dengan kaki yang dikehendaki (A), panjang kaki kedua (B) diketahui. . Tangen sudut bertentangan dengan kaki yang dikehendaki ialah nisbah panjang kaki ini kepada panjang kaki kedua. Ini bermakna kuantiti yang diperlukan akan sama dengan hasil darab panjang kaki terkenal kepada tangen sudut yang diketahui: A=B∗tg(α). Daripada kuantiti yang sama diketahui ini, formula lain boleh diperoleh jika kita menggunakan takrifan fungsi kotangen. Dalam kes ini, untuk mengira panjang kaki, adalah perlu untuk mencari nisbah panjang kaki yang diketahui kepada kotangen sudut yang diketahui: A=B/ctg(α).
Video mengenai topik
Perkataan "kathet" berasal dari bahasa Rusia dari bahasa Yunani. Dalam terjemahan tepat, ia bermaksud garis tegak, iaitu, berserenjang dengan permukaan bumi. Dalam matematik, kaki ialah sisi yang membentuk sudut tepat bagi segi tiga tegak. Sisi yang bertentangan dengan sudut ini dipanggil hipotenus. Istilah "cathet" juga digunakan dalam seni bina dan teknologi kimpalan.
Sekan sudut yang diberi diperoleh dengan membahagikan hipotenus dengan sisi bersebelahan, iaitu secCAB = c/b. Hasilnya ialah timbal balik kosinus, iaitu, ia boleh dinyatakan menggunakan formula secCAB=1/cosSAB.
Kosekan adalah sama dengan hasil bagi hipotenus dibahagikan dengan sisi bertentangan dan merupakan salingan sinus. Ia boleh dikira menggunakan formula cosecCAB=1/sinCAB
Kedua-dua kaki disambungkan antara satu sama lain dan oleh kotangen. Dalam kes ini, tangen akan menjadi nisbah sisi a ke sisi b, iaitu sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Hubungan ini boleh dinyatakan dengan formula tgCAB=a/b. Oleh itu, nisbah songsang akan menjadi kotangen: ctgCAB=b/a.
Hubungan antara saiz hipotenus dan kedua-dua kaki ditentukan oleh Pythagoras Yunani purba. Orang masih menggunakan teorem dan namanya. Ia mengatakan bahawa kuasa dua hipotenus sama dengan jumlah segi empat sama kaki, iaitu, c2=a2+b2. Sehubungan itu, setiap kaki akan sama dengan punca kuasa dua perbezaan antara kuasa dua hipotenus dan kaki yang satu lagi. Formula ini boleh ditulis sebagai b=√(c2-a2).
Panjang kaki juga boleh dinyatakan melalui hubungan yang anda ketahui. Menurut teorem sinus dan kosinus, kaki adalah sama dengan hasil darab hipotenus dan salah satu daripada fungsi ini. Ia boleh dinyatakan sebagai dan atau kotangen. Kaki a boleh didapati, contohnya, menggunakan formula a = b*tan CAB. Dengan cara yang sama, bergantung pada tangen yang diberikan atau , kaki kedua ditentukan.
Istilah "cathet" juga digunakan dalam seni bina. Ia digunakan pada modal Ionik dan tegak melalui bahagian tengah belakangnya. Iaitu, dalam kes ini, istilah ini berserenjang dengan garis tertentu.
Dalam teknologi kimpalan terdapat "kaki kimpalan fillet". Seperti dalam kes lain, ini adalah jarak terpendek. Di sini kita bercakap tentang jurang antara salah satu bahagian yang dikimpal ke sempadan jahitan yang terletak di permukaan bahagian lain.
Video mengenai topik
Sumber:
- apakah kaki dan hipotenus pada 2019
Nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus dipanggil sinus sudut akut segi tiga tepat.
\sin \alfa = \frac(a)(c)
Kosinus sudut lancip bagi segi tiga tegak
Nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus dipanggil kosinus sudut lancip segi tiga tepat.
\cos \alfa = \frac(b)(c)
Tangen bagi sudut lancip bagi segi tiga tegak
Nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan dipanggil tangen sudut akut segi tiga tepat.
tg \alfa = \frac(a)(b)
Kotangen bagi sudut lancip bagi segi tiga tegak
Nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan dipanggil kotangen sudut akut segi tiga tepat.
ctg \alfa = \frac(b)(a)
Sinus sudut sewenang-wenangnya
Ordinasi titik pada bulatan unit yang berpadanan dengan sudut \alfa dipanggil sinus sudut arbitrari putaran \ alpha .
\sin \alpha=y
Kosinus sudut arbitrari
Absis titik pada bulatan unit yang sudut \alfa sepadan dipanggil kosinus sudut arbitrari putaran \ alpha .
\cos \alpha=x
Tangen sudut sewenang-wenangnya
Nisbah sinus sudut putaran arbitrari \alfa kepada kosinusnya dipanggil tangen sudut sewenang-wenangnya putaran \ alpha .
tan \alfa = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Kotangen sudut sewenang-wenangnya
Nisbah kosinus sudut putaran arbitrari \alfa kepada sinusnya dipanggil kotangen sudut sewenang-wenangnya putaran \ alpha .
ctg\alfa =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Contoh mencari sudut sewenang-wenangnya
Jika \alfa ialah beberapa sudut AOM, dengan M ialah titik bagi bulatan unit, maka
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Sebagai contoh, jika \sudut AOM = -\frac(\pi)(4), maka: ordinat bagi titik M adalah sama dengan -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa adalah sama dengan \frac(\sqrt(2))(2) dan oleh itu
\sin \kiri (-\frac(\pi)(4) \kanan)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \kiri (-\frac(\pi)(4) \kanan)=-1.
Jadual nilai sinus kosinus tangen kotangen
Nilai sudut utama yang kerap berlaku diberikan dalam jadual:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(6)\kanan) | 45^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(4)\kanan) | 60^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(3)\kanan) | 90^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(2)\kanan) | 180^(\circ)\kiri(\pi\kanan) | 270^(\circ)\kiri(\frac(3\pi)(2)\kanan) | 360^(\circ)\kiri(2\pi\kanan) | |
| \sin\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Trigonometri ialah cabang sains matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan penggunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri bermula pada zaman dahulu Yunani purba. Semasa Zaman Pertengahan, saintis dari Timur Tengah dan India memberikan sumbangan penting kepada perkembangan sains ini.
Artikel ini didedikasikan untuk konsep asas dan definisi trigonometri. Ia membincangkan definisi utama fungsi trigonometri: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maksudnya dijelaskan dan digambarkan dalam konteks geometri.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pada mulanya, takrifan fungsi trigonometri yang hujahnya ialah sudut dinyatakan dalam sebutan nisbah sisi segi tiga tepat.
Definisi fungsi trigonometri
Sinus suatu sudut (sin α) ialah nisbah kaki yang bertentangan dengan sudut ini kepada hipotenus.
Kosinus sudut (cos α) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
Sudut tangen (t g α) - nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan.
Kotangen sudut (c t g α) - nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan.
Takrifan ini diberikan untuk sudut akut segi tiga tegak!
Mari beri ilustrasi.
Dalam segi tiga ABC dengan sudut tegak C, sinus sudut A adalah sama dengan nisbah kaki BC kepada hipotenus AB.
Takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen membolehkan anda mengira nilai-nilai fungsi ini dengan panjang yang diketahui sisi segi tiga.
Penting untuk diingat!
Julat nilai sinus dan kosinus adalah dari -1 hingga 1. Dengan kata lain, sinus dan kosinus mengambil nilai dari -1 hingga 1. Julat nilai tangen dan kotangen ialah keseluruhan garis nombor, iaitu, fungsi ini boleh mengambil sebarang nilai.
Takrifan yang diberikan di atas digunakan untuk sudut akut. Dalam trigonometri, konsep sudut putaran diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut akut, tidak terhad kepada 0 hingga 90 darjah Sudut putaran dalam darjah atau radian dinyatakan dengan sebarang nombor nyata dari - ∞ hingga + ∞.
Dalam konteks ini, kita boleh mentakrifkan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut magnitud arbitrari. Mari kita bayangkan bulatan unit dengan pusatnya pada asal sistem koordinat Cartes.
Titik awal A dengan koordinat (1, 0) berputar mengelilingi pusat bulatan unit melalui sudut α tertentu dan pergi ke titik A 1. Takrifan diberikan dari segi koordinat titik A 1 (x, y).
Sinus (sin) sudut putaran
Sinus bagi sudut putaran α ialah ordinat bagi titik A 1 (x, y). dosa α = y
Kosinus (cos) sudut putaran
Kosinus bagi sudut putaran α ialah absis bagi titik A 1 (x, y). cos α = x
Tangen (tg) sudut putaran
Tangen bagi sudut putaran α ialah nisbah ordinat titik A 1 (x, y) kepada absisnya. t g α = y x
Kotangen (ctg) sudut putaran
Kotangen bagi sudut putaran α ialah nisbah absis titik A 1 (x, y) kepada ordinatnya. c t g α = x y
Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut putaran. Ini adalah logik, kerana absis dan ordinat titik selepas putaran boleh ditentukan pada mana-mana sudut. Keadaannya berbeza dengan tangen dan kotangen. Tangen tidak ditentukan apabila titik selepas putaran pergi ke titik dengan absis sifar (0, 1) dan (0, - 1). Dalam kes sedemikian, ungkapan untuk tangen t g α = y x tidak masuk akal, kerana ia mengandungi pembahagian dengan sifar. Keadaannya sama dengan kotangen. Perbezaannya ialah kotangen tidak ditakrifkan dalam kes di mana ordinat titik pergi ke sifar.
Penting untuk diingat!
Sinus dan kosinus ditakrifkan untuk sebarang sudut α.
Tangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kotangen ditakrifkan untuk semua sudut kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Apabila menyelesaikan contoh praktikal, jangan sebut "sinus sudut putaran α". Perkataan "sudut putaran" hanya ditinggalkan, membayangkan bahawa ia sudah jelas daripada konteks apa yang dibincangkan.
Nombor
Bagaimana pula dengan takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor, dan bukannya sudut putaran?
Sinus, kosinus, tangen, kotangen bagi suatu nombor
Sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor t ialah nombor yang masing-masing sama dengan sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam t radian.
Sebagai contoh, sinus nombor 10 π adalah sama dengan sinus sudut putaran 10 π rad.
Terdapat satu lagi pendekatan untuk menentukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu nombor. Mari kita lihat lebih dekat.
Mana-mana nombor sebenar t satu titik pada bulatan unit dikaitkan dengan pusat pada asal sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini.
Titik permulaan pada bulatan ialah titik A dengan koordinat (1, 0).
Nombor positif t
Nombor negatif t sepadan dengan titik di mana titik permulaan akan pergi jika ia bergerak mengelilingi bulatan lawan jam dan melepasi laluan t.
Sekarang bahawa hubungan antara nombor dan titik pada bulatan telah diwujudkan, kita beralih kepada definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen.
Sinus (dosa) t
Sinus nombor t- koordinat titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t. dosa t = y
Kosinus (cos) bagi t
Kosinus bagi suatu nombor t- absis titik bulatan unit yang sepadan dengan nombor t. cos t = x
Tangen (tg) daripada t
Tangen bagi suatu nombor t- nisbah ordinat kepada absis titik pada bulatan unit yang sepadan dengan nombor t. t g t = y x = sin t cos t
Takrifan terkini adalah mengikut dan tidak bercanggah dengan takrifan yang diberikan pada permulaan perenggan ini. Tunjuk pada bulatan yang sepadan dengan nombor t, bertepatan dengan titik di mana titik permulaan pergi selepas berpusing dengan sudut t radian.
Fungsi trigonometri bagi argumen sudut dan angka
Setiap nilai sudut α sepadan dengan nilai sinus dan kosinus tertentu sudut ini. Sama seperti semua sudut α selain daripada α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) sepadan dengan nilai tangen tertentu. Cotangent, seperti yang dinyatakan di atas, ditakrifkan untuk semua α kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Kita boleh mengatakan bahawa sin α, cos α, t g α, c t g α ialah fungsi alfa sudut, atau fungsi hujah sudut.
Begitu juga, kita boleh bercakap tentang sinus, kosinus, tangen dan kotangen sebagai fungsi hujah berangka. Setiap nombor nyata t sepadan dengan nilai sinus atau kosinus tertentu bagi suatu nombor t. Semua nombor selain daripada π 2 + π · k, k ∈ Z, sepadan dengan nilai tangen. Cotangent, begitu juga, ditakrifkan untuk semua nombor kecuali π · k, k ∈ Z.
Fungsi asas trigonometri
Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ialah fungsi trigonometri asas.
Ia biasanya jelas daripada konteks hujah fungsi trigonometri (argumen sudut atau hujah angka) yang kita hadapi.
Mari kita kembali kepada takrifan yang diberikan pada awal-awal lagi dan sudut alfa, yang terletak dalam julat dari 0 hingga 90 darjah. Takrif trigonometri sinus, kosinus, tangen, dan kotangen sepenuhnya konsisten dengan takrif geometri yang diberikan oleh nisbah bidang segi tiga tepat. Jom tunjuk.
Mari kita ambil bulatan unit dengan pusat dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Mari kita putarkan titik permulaan A (1, 0) dengan sudut sehingga 90 darjah dan lukiskan serenjang dengan absis dari titik A 1 (x, y) yang terhasil. Dalam segi tiga tegak yang terhasil, sudut A 1 O H sama dengan sudut pusing α, panjang kaki O H adalah sama dengan absis titik A 1 (x, y). Panjang kaki yang bertentangan dengan sudut adalah sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang hipotenus adalah sama dengan satu, kerana ia adalah jejari bagi bulatan unit.
Selaras dengan definisi dari geometri, sinus sudut α adalah sama dengan nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Ini bermakna penentuan sinus sudut akut dalam segi tiga tepat melalui nisbah bidang adalah bersamaan dengan penentuan sinus sudut putaran α, dengan alfa terletak dalam julat dari 0 hingga 90 darjah.
Begitu juga, kesesuaian definisi boleh ditunjukkan untuk kosinus, tangen dan kotangen.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Apakah sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut akan membantu anda memahami segi tiga tepat.
Apakah sisi segi tiga tepat dipanggil? Betul, hipotenus dan kaki: hipotenus ialah sisi yang terletak bertentangan dengan sudut kanan (dalam contoh kita ini ialah sisi \(AC\)); kaki ialah dua sisi yang tinggal \(AB\) dan \(BC\) (yang bersebelahan dengan sudut tepat), dan, jika kita menganggap kaki relatif kepada sudut \(BC\), maka kaki \(AB\) ialah kaki bersebelahan, dan kaki \(BC\) adalah sebaliknya. Jadi, sekarang mari kita jawab soalan: apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut?
Sinus sudut– ini ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.
Dalam segitiga kami:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosinus sudut– ini ialah nisbah kaki (dekat) bersebelahan dengan hipotenus.
Dalam segitiga kami:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangen sudut– ini ialah nisbah bahagian yang bertentangan (jauh) dengan yang bersebelahan (dekat).
Dalam segitiga kami:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangen sudut– ini ialah nisbah kaki yang bersebelahan (dekat) dengan yang bertentangan (jauh).
Dalam segitiga kami:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Definisi ini adalah perlu ingat! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengingati kaki mana yang hendak dibahagikan kepada apa, anda perlu memahami dengan jelasnya tangen Dan kotangen hanya kaki duduk, dan hipotenus hanya muncul di dalam resdung Dan kosinus. Dan kemudian anda boleh membuat rangkaian persatuan. Sebagai contoh, yang ini:
Kosinus→sentuh→sentuh→bersebelahan;
Cotangent→sentuh→sentuh→bersebelahan.
Pertama sekali, anda perlu ingat bahawa sinus, kosinus, tangen dan kotangen kerana nisbah sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi ini (pada sudut yang sama). Tidak percaya saya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:
Pertimbangkan, sebagai contoh, kosinus sudut \(\beta \) . Mengikut definisi, dari segi tiga \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), tetapi kita boleh mengira kosinus sudut \(\beta \) daripada segi tiga \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Anda lihat, panjang sisi adalah berbeza, tetapi nilai kosinus satu sudut adalah sama. Oleh itu, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bergantung semata-mata pada magnitud sudut.
Jika anda memahami takrifannya, teruskan dan satukan definisi tersebut!
Untuk segi tiga \(ABC \) yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, kami dapati \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Nah, adakah anda mendapatnya? Kemudian cuba sendiri: hitung yang sama untuk sudut \(\beta \) .
Jawapan: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Bulatan unit (trigonometri).
Memahami konsep darjah dan radian, kami menganggap bulatan dengan jejari sama dengan \(1\) . Bulatan sedemikian dipanggil bujang. Ia akan sangat berguna apabila mempelajari trigonometri. Oleh itu, mari kita lihat dengan lebih terperinci.
Seperti yang anda lihat, bulatan ini dibina dalam sistem koordinat Cartesan. Jejari bulatan sama dengan satu, manakala pusat bulatan terletak pada asalan, kedudukan awal vektor jejari ditetapkan di sepanjang arah positif paksi \(x\) (dalam contoh kita, ini ialah jejari \(AB\)).
Setiap titik pada bulatan sepadan dengan dua nombor: koordinat sepanjang paksi \(x\) dan koordinat sepanjang paksi \(y\). Apakah nombor koordinat ini? Dan secara umum, apakah kaitan mereka dengan topik yang sedang dibincangkan? Untuk melakukan ini, kita perlu ingat tentang segi tiga tepat yang dianggap. Dalam rajah di atas, anda boleh melihat dua segi tiga tepat keseluruhan. Pertimbangkan segitiga \(ACG\) . Ia adalah segi empat tepat kerana \(CG\) berserenjang dengan paksi \(x\).
Apakah \(\cos \ \alpha \) daripada segi tiga \(ACG \)? betul tu \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Di samping itu, kita tahu bahawa \(AC\) ialah jejari bagi bulatan unit, yang bermaksud \(AC=1\) . Mari kita gantikan nilai ini ke dalam formula kita untuk kosinus. Inilah yang berlaku:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Apakah \(\sin \ \alpha \) daripada segi tiga \(ACG \) sama dengan? Sudah tentu \(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)\)! Gantikan nilai jejari \(AC\) ke dalam formula ini dan dapatkan:
\(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Jadi, bolehkah anda beritahu apakah koordinat titik \(C\) kepunyaan bulatan itu? Nah, tidak mungkin? Bagaimana jika anda menyedari bahawa \(\cos \ \alpha \) dan \(\sin \alpha \) hanyalah nombor? Apakah koordinat yang sepadan dengan \(\cos \alpha \)? Sudah tentu, koordinat \(x\)! Dan apakah koordinat yang sepadan dengan \(\sin \alpha \)? Betul, koordinat \(y\)! Jadi intinya \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Apakah yang sama dengan \(tg \alpha \) dan \(ctg \alpha \)? Betul, mari kita gunakan takrifan yang sepadan bagi tangen dan kotangen dan dapatkannya \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Bagaimana jika sudut lebih besar? Sebagai contoh, seperti dalam gambar ini:
Apa yang telah berubah dalam dalam contoh ini? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, mari kita pusing lagi ke segi tiga tepat. Pertimbangkan segi tiga tegak \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : sudut (bersebelahan dengan sudut \(\beta \) ). Apakah nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Betul, kami mematuhi takrifan fungsi trigonometri yang sepadan:
\(\begin(array)(l)\sin \sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\sudut ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Nah, seperti yang anda lihat, nilai sinus sudut masih sepadan dengan koordinat \(y\) ; nilai kosinus sudut – koordinat \(x\) ; dan nilai tangen dan kotangen kepada nisbah yang sepadan. Oleh itu, hubungan ini digunakan untuk sebarang putaran vektor jejari.
Telah disebutkan bahawa kedudukan awal vektor jejari adalah sepanjang arah positif paksi \(x\). Setakat ini kita telah memutarkan vektor ini mengikut arah jam, tetapi apa yang berlaku jika kita memutarkannya mengikut arah jam? Tiada apa-apa yang luar biasa, anda juga akan mendapat sudut nilai tertentu, tetapi hanya ia akan menjadi negatif. Oleh itu, apabila memutarkan vektor jejari lawan jam, kita dapat sudut positif, dan apabila berputar mengikut arah jam – negatif.
Jadi, kita tahu bahawa seluruh revolusi vektor jejari mengelilingi bulatan ialah \(360()^\circ \) atau \(2\pi \) . Adakah mungkin untuk memutarkan vektor jejari dengan \(390()^\circ \) atau dengan \(-1140()^\circ \)? Sudah tentu anda boleh! Dalam kes pertama, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), oleh itu, vektor jejari akan membuat satu pusingan penuh dan berhenti pada kedudukan \(30()^\circ \) atau \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Dalam kes kedua, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), iaitu, vektor jejari akan membuat tiga pusingan penuh dan berhenti pada kedudukan \(-60()^\circ \) atau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Oleh itu, daripada contoh di atas kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut yang berbeza dengan \(360()^\circ \cdot m \) atau \(2\pi \cdot m \) (di mana \(m \) ialah sebarang integer ), sepadan dengan kedudukan vektor jejari yang sama.
Rajah di bawah menunjukkan sudut \(\beta =-60()^\circ \) . Imej yang sama sepadan dengan sudut \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) dll. Senarai ini boleh diteruskan selama-lamanya. Semua sudut ini boleh ditulis dengan formula am \(\beta +360()^\circ \cdot m\) atau \(\beta +2\pi \cdot m \) (dengan \(m \) ialah sebarang integer)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Sekarang, mengetahui takrifan fungsi trigonometri asas dan menggunakan bulatan unit, cuba jawab apakah nilainya:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Berikut ialah bulatan unit untuk membantu anda:
Mengalami kesukaran? Kemudian mari kita fikirkan. Jadi kita tahu bahawa:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)
Dari sini, kami menentukan koordinat titik yang sepadan dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulakan mengikut urutan: sudut masuk \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) sepadan dengan titik dengan koordinat \(\left(0;1 \right) \) , oleh itu:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- tidak wujud;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Selanjutnya, mematuhi logik yang sama, kami mendapati bahawa sudut masuk \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) sepadan dengan titik dengan koordinat \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \kanan) \), masing-masing. Mengetahui ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sepadan. Cuba sendiri dahulu, dan kemudian semak jawapannya.
Jawapan:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- tidak wujud
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- tidak wujud
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- tidak wujud
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- tidak wujud
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Oleh itu, kita boleh membuat jadual berikut:
Tidak perlu mengingati semua nilai ini. Cukup untuk mengingati korespondensi antara koordinat titik pada bulatan unit dan nilai fungsi trigonometri:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Anda mesti ingat atau boleh mengeluarkannya!! \) !}
Tetapi nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) diberikan dalam jadual di bawah, anda mesti ingat:
Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan kepada anda salah satu contoh. hafalan mudah nilai yang sepadan:
Untuk menggunakan kaedah ini, adalah penting untuk mengingati nilai sinus untuk ketiga-tiga ukuran sudut ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), serta nilai tangen sudut dalam \(30()^\circ \) . Mengetahui nilai \(4\) ini, agak mudah untuk memulihkan keseluruhan jadual - nilai kosinus dipindahkan mengikut anak panah, iaitu:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), mengetahui perkara ini, anda boleh memulihkan nilai untuk \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Pengangka "\(1 \)" akan sepadan dengan \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) dan penyebut "\(\sqrt(\text(3)) \)" akan sepadan dengan \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Nilai kotangen dipindahkan mengikut anak panah yang ditunjukkan dalam rajah. Jika anda memahami perkara ini dan mengingati rajah dengan anak panah, maka sudah cukup untuk mengingati nilai \(4\) sahaja daripada jadual.
Koordinat titik pada bulatan
Adakah mungkin untuk mencari titik (koordinatnya) pada bulatan, mengetahui koordinat pusat bulatan, jejari dan sudut putarannya? Sudah tentu anda boleh! Mari kita keluarkan formula am untuk mencari koordinat sesuatu titik. Sebagai contoh, berikut ialah bulatan di hadapan kita:
Kami diberi titik itu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- pusat bulatan. Jejari bulatan ialah \(1.5\) . Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik \(P\) yang diperolehi dengan memutarkan titik \(O\) dengan \(\delta \) darjah.
Seperti yang dapat dilihat daripada rajah, koordinat \(x\) bagi titik \(P\) sepadan dengan panjang segmen \(TP=UQ=UK+KQ\) . Panjang segmen \(UK\) sepadan dengan koordinat \(x\) pusat bulatan, iaitu, ia sama dengan \(3\) . Panjang segmen \(KQ\) boleh dinyatakan menggunakan takrifan kosinus:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Kemudian kita mempunyai itu untuk titik \(P\) koordinat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Menggunakan logik yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik \(P\) . Oleh itu,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Jadi, dalam pandangan umum koordinat titik ditentukan oleh formula:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Di mana
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinat pusat bulatan,
\(r\) - jejari bulatan,
\(\delta \) - sudut putaran jejari vektor.
Seperti yang anda lihat, untuk bulatan unit yang sedang kita pertimbangkan, formula ini dikurangkan dengan ketara, kerana koordinat pusat adalah sama dengan sifar dan jejari adalah sama dengan satu:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.Untuk melakukan pengiraan, anda mesti mendayakan kawalan ActiveX!