Apakah maksud nombor tidak rasional? Operasi pada nombor dan ungkapan tak rasional.

Bahan dalam artikel ini memberikan maklumat awal tentang nombor tidak rasional. Mula-mula kita akan memberikan definisi nombor tak rasional dan menerangkannya. Di bawah ini kami berikan contoh nombor tak rasional. Akhir sekali, mari kita lihat beberapa pendekatan untuk mengetahui sama ada nombor yang diberikan adalah tidak rasional atau tidak.

Navigasi halaman.

Definisi dan contoh nombor tak rasional

Apabila mengkaji perpuluhan, kami mempertimbangkan perpuluhan tak berkala tak terhingga secara berasingan. Pecahan sedemikian timbul apabila mengukur panjang perpuluhan bagi segmen yang tidak boleh dibandingkan dengan segmen unit. Kami juga menyatakan bahawa pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga tidak boleh ditukar kepada pecahan biasa (lihat menukar pecahan biasa kepada perpuluhan dan sebaliknya), oleh itu, nombor ini bukan nombor rasional, ia mewakili apa yang dipanggil nombor tidak rasional.

Jadi kita datang ke definisi nombor tak rasional.

Definisi.

Nombor yang ada dalam tatatanda perpuluhan mewakili pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga, dipanggil nombor tidak rasional.

Definisi yang dinyatakan membolehkan kita memberi contoh nombor tak rasional. Contohnya, pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 4.10110011100011110000... (bilangan satu dan sifar bertambah satu setiap kali) ialah nombor tidak rasional. Mari kita berikan satu lagi contoh nombor tak rasional: −22.353335333335... (bilangan tiga yang memisahkan lapan bertambah dua setiap kali).

Perlu diingatkan bahawa nombor tak rasional agak jarang ditemui dalam bentuk pecahan perpuluhan tak berkala yang tidak berkesudahan. Mereka biasanya ditemui dalam bentuk, dsb., serta dalam bentuk surat yang dimasukkan khas. Contoh nombor tak rasional yang paling terkenal dalam tatatanda ini ialah aritmetik punca kuasa dua daripada dua, nombor “pi” π=3.141592..., nombor e=2.718281... dan nombor emas.

Nombor tak rasional juga boleh ditakrifkan dari segi nombor nyata, yang menggabungkan nombor rasional dan tidak rasional.

Definisi.

Nombor tak rasional ialah nombor nyata yang bukan nombor rasional.

Adakah nombor ini tidak rasional?

Apabila nombor diberikan bukan dalam bentuk pecahan perpuluhan, tetapi dalam bentuk beberapa punca, logaritma, dll., maka menjawab soalan sama ada ia tidak rasional dalam banyak kes agak sukar.

Tidak dinafikan, apabila menjawab soalan yang dikemukakan, adalah sangat berguna untuk mengetahui nombor mana yang tidak rasional. Daripada definisi nombor tak rasional, nombor tak rasional bukanlah nombor rasional. Oleh itu, nombor tak rasional BUKAN:

• pecahan perpuluhan berkala terhingga dan tak terhingga.

Juga, sebarang komposisi nombor rasional yang disambungkan oleh tanda operasi aritmetik (+, −, ·, :) bukan nombor tak rasional. Ini kerana hasil tambah, beza, hasil darab dan hasil bagi dua nombor rasional ialah nombor rasional. Sebagai contoh, nilai ungkapan dan nombor rasional. Di sini kita perhatikan bahawa jika ungkapan tersebut mengandungi satu nombor tak rasional tunggal di antara nombor rasional, maka nilai keseluruhan ungkapan akan menjadi nombor tak rasional. Sebagai contoh, dalam ungkapan nombor itu tidak rasional, dan nombor selebihnya adalah rasional, oleh itu ia adalah nombor tidak rasional. Jika ia adalah nombor rasional, maka rasionaliti nombor itu akan mengikuti, tetapi ia tidak rasional.

Jika ungkapan yang menyatakan nombor itu mengandungi beberapa nombor tidak rasional, tanda akar, logaritma, fungsi trigonometri, nombor π, e, dsb., maka ia diperlukan untuk membuktikan ketidakrasionalan atau rasionalitas nombor tertentu dalam setiap kes tertentu. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa keputusan yang telah diperolehi yang boleh digunakan. Mari kita senaraikan yang utama.

Telah dibuktikan bahawa punca kth bagi integer ialah nombor rasional hanya jika nombor di bawah punca ialah kuasa kth bagi integer lain, punca sedemikian menentukan nombor tidak rasional. Sebagai contoh, nombor dan tidak rasional, kerana tiada integer yang kuasa duanya ialah 7, dan tiada integer yang dinaikkan kepada kuasa kelima memberikan nombor 15. Dan nombor itu tidak rasional, kerana dan .

Bagi logaritma, kadangkala boleh dibuktikan ketidakrasionalannya menggunakan kaedah percanggahan. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahawa log 2 3 ialah nombor tak rasional.

Mari kita andaikan bahawa log 2 3 ialah nombor rasional, bukan nombor tak rasional, iaitu, ia boleh diwakili sebagai pecahan biasa m/n. dan benarkan kami menulis rantaian persamaan berikut: . Persamaan terakhir adalah mustahil, kerana di sebelah kirinya nombor ganjil , dan di sebelah kanan – genap. Jadi kami sampai kepada percanggahan, yang bermaksud bahawa andaian kami ternyata salah, dan ini membuktikan bahawa log 2 3 ialah nombor tidak rasional.

Ambil perhatian bahawa lna untuk mana-mana positif dan bukan satu rasional a ialah nombor tak rasional. Sebagai contoh, dan adalah nombor tak rasional.

Ia juga terbukti bahawa nombor e a untuk mana-mana bukan sifar rasional a adalah tidak rasional, dan bahawa nombor π z untuk mana-mana bukan sifar integer z adalah tidak rasional. Sebagai contoh, nombor adalah tidak rasional.

Nombor tak rasional juga merupakan fungsi trigonometri sin, cos, tg dan ctg untuk sebarang nilai rasional dan bukan sifar bagi hujah. Contohnya, sin1 , tan(−4) , cos5,7 ialah nombor tak rasional.

Terdapat hasil terbukti lain, tetapi kami akan mengehadkan diri kami kepada yang telah disenaraikan. Ia juga harus dikatakan bahawa apabila membuktikan keputusan di atas, teori yang berkaitan dengan nombor algebra Dan nombor transendental.

Kesimpulannya, kita ambil perhatian bahawa kita tidak seharusnya membuat kesimpulan terburu-buru mengenai ketidakrasionalan nombor yang diberikan. Sebagai contoh, nampaknya jelas bahawa nombor tidak rasional kepada tahap tidak rasional adalah nombor tidak rasional. Walau bagaimanapun, ini tidak selalu berlaku. Untuk mengesahkan fakta yang dinyatakan, kami membentangkan ijazah. Adalah diketahui bahawa - ialah nombor tak rasional, dan ia juga telah dibuktikan bahawa - ialah nombor tak rasional, tetapi ialah nombor rasional. Anda juga boleh memberikan contoh nombor tak rasional, hasil tambah, beza, hasil darab dan hasil bahagi yang merupakan nombor rasional. Selain itu, rasional atau tidak rasional nombor π+e, π−e, π·e, π π, π e dan banyak lagi masih belum dibuktikan.

Rujukan.

• Matematik. darjah 6: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [N. Ya. Vilenkin dan lain-lain]. - ed. ke-22, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Ahli matematik purba sudah mengetahui tentang segmen unit panjang: mereka tahu, sebagai contoh, ketidakseimbangan pepenjuru dan sisi segi empat sama, yang bersamaan dengan ketidakrasionalan nombor.

Tidak rasional ialah:

Contoh bukti tidak rasional

Akar 2

Mari kita anggap sebaliknya: ia adalah rasional, iaitu, ia diwakili dalam bentuk pecahan tidak boleh dikurangkan, di mana dan adalah integer. Mari kita kuasai persamaan yang sepatutnya:

Ia berikutan bahawa genap adalah genap dan . Biarlah ia berada di mana keseluruhannya. Kemudian

Oleh itu, genap bermaksud genap dan . Kami mendapati bahawa dan genap, yang bercanggah dengan ketakterurangan pecahan . Ini bermakna andaian asal adalah salah, dan ia adalah nombor tidak rasional.

Logaritma binari nombor 3

Mari kita anggap sebaliknya: rasional, iaitu, diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer. Sejak , dan boleh dipilih untuk menjadi positif. Kemudian

Tetapi genap dan ganjil. Kami mendapat percanggahan.

e

cerita

Konsep nombor tidak rasional telah diterima pakai secara tersirat oleh ahli matematik India pada abad ke-7 SM, apabila Manava (c. 750 SM - c. 690 SM) mendapati bahawa punca kuasa dua beberapa nombor asli, seperti 2 dan 61, tidak boleh dinyatakan secara eksplisit.

Bukti pertama kewujudan nombor tidak rasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemui bukti ini dengan mengkaji panjang sisi pentagram. Pada masa Pythagoreans, dipercayai bahawa terdapat satu unit panjang, cukup kecil dan tidak boleh dibahagikan, yang memasuki mana-mana segmen bilangan integer beberapa kali. Walau bagaimanapun, Hippasus berhujah bahawa tidak ada satu unit panjang, kerana andaian kewujudannya membawa kepada percanggahan. Dia menunjukkan bahawa jika hipotenus suatu isosceles segi tiga tepat mengandungi nombor integer segmen unit, maka nombor ini mestilah genap dan ganjil. Buktinya kelihatan seperti ini:

• Nisbah panjang hipotenus kepada panjang kaki segi tiga sama kaki boleh dinyatakan sebagai a:b, Di mana a Dan b dipilih sebagai sekecil mungkin.
• Mengikut teorem Pythagoras: a² = 2 b².
• Kerana a- walaupun, a mestilah genap (kerana kuasa dua nombor ganjil akan menjadi ganjil).
• Sejak a:b tidak dapat dikurangkan b mesti ganjil.
• Kerana a malah, kita nyatakan a = 2y.
• Kemudian a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², oleh itu b- walaupun, kemudian b malah.
• Walau bagaimanapun, ia telah terbukti b ganjil. Percanggahan.

Ahli matematik Yunani memanggil nisbah kuantiti yang tidak boleh dibandingkan alogos(tak terkata), tetapi menurut legenda mereka tidak memberi penghormatan sewajarnya kepada Hippasus. Terdapat legenda bahawa Hippasus membuat penemuan semasa dalam pelayaran laut dan dibuang ke laut oleh Pythagorean lain "kerana mencipta unsur alam semesta yang menafikan doktrin bahawa semua entiti di alam semesta boleh dikurangkan kepada integer dan nisbahnya." Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematik Pythagoras, memusnahkan andaian asas bahawa nombor dan objek geometri adalah satu dan tidak boleh dipisahkan.

Lihat juga

Nota

Ahli matematik purba sudah mengetahui tentang segmen unit panjang: mereka tahu, sebagai contoh, ketidakseimbangan pepenjuru dan sisi segi empat sama, yang bersamaan dengan ketidakrasionalan nombor.

Tidak rasional ialah:

Contoh bukti tidak rasional

Akar 2

Mari kita anggap sebaliknya: ia adalah rasional, iaitu, ia diwakili dalam bentuk pecahan tidak boleh dikurangkan, di mana dan adalah integer. Mari kita kuasai persamaan yang sepatutnya:

Ia berikutan bahawa genap adalah genap dan . Biarlah ia berada di mana keseluruhannya. Kemudian

Oleh itu, genap bermaksud genap dan . Kami mendapati bahawa dan genap, yang bercanggah dengan ketakterurangan pecahan . Ini bermakna andaian asal adalah salah, dan ia adalah nombor tidak rasional.

Logaritma binari nombor 3

Mari kita anggap sebaliknya: rasional, iaitu, diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer. Sejak , dan boleh dipilih untuk menjadi positif. Kemudian

Tetapi genap dan ganjil. Kami mendapat percanggahan.

e

cerita

Konsep nombor tidak rasional telah diterima pakai secara tersirat oleh ahli matematik India pada abad ke-7 SM, apabila Manava (c. 750 SM - c. 690 SM) mendapati bahawa punca kuasa dua beberapa nombor asli, seperti 2 dan 61 tidak boleh dinyatakan secara eksplisit. .

Bukti pertama kewujudan nombor tidak rasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemui bukti ini dengan mengkaji panjang sisi pentagram. Pada masa Pythagoreans, dipercayai bahawa terdapat satu unit panjang, cukup kecil dan tidak boleh dibahagikan, yang memasuki mana-mana segmen bilangan integer beberapa kali. Walau bagaimanapun, Hippasus berhujah bahawa tidak ada satu unit panjang, kerana andaian kewujudannya membawa kepada percanggahan. Dia menunjukkan bahawa jika hipotenus segi tiga sama kaki tegak mengandungi nombor integer segmen unit, maka nombor ini mestilah genap dan ganjil. Buktinya kelihatan seperti ini:

• Nisbah panjang hipotenus kepada panjang kaki segi tiga sama kaki boleh dinyatakan sebagai a:b, Di mana a Dan b dipilih sebagai sekecil mungkin.
• Mengikut teorem Pythagoras: a² = 2 b².
• Kerana a- walaupun, a mestilah genap (kerana kuasa dua nombor ganjil akan menjadi ganjil).
• Sejak a:b tidak dapat dikurangkan b mesti ganjil.
• Kerana a malah, kita nyatakan a = 2y.
• Kemudian a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², oleh itu b- walaupun, kemudian b malah.
• Walau bagaimanapun, ia telah terbukti b ganjil. Percanggahan.

Ahli matematik Yunani memanggil nisbah kuantiti yang tidak boleh dibandingkan alogos(tak terkata), tetapi menurut legenda mereka tidak memberi penghormatan sewajarnya kepada Hippasus. Terdapat legenda bahawa Hippasus membuat penemuan semasa dalam pelayaran laut dan dibuang ke laut oleh Pythagorean lain "kerana mencipta unsur alam semesta yang menafikan doktrin bahawa semua entiti di alam semesta boleh dikurangkan kepada integer dan nisbahnya." Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematik Pythagoras, memusnahkan andaian asas bahawa nombor dan objek geometri adalah satu dan tidak boleh dipisahkan.

Lihat juga

Nota

Apakah nombor tidak rasional? Mengapa mereka dipanggil begitu? Di manakah ia digunakan dan apakah ia? Hanya sedikit orang yang boleh menjawab soalan ini tanpa berfikir. Tetapi sebenarnya, jawapan kepada mereka agak mudah, walaupun tidak semua orang memerlukannya dan dalam situasi yang sangat jarang berlaku

Intipati dan sebutan

Nombor tak rasional ialah nombor tak berkala tak terhingga Keperluan untuk memperkenalkan konsep ini adalah kerana untuk menyelesaikan masalah baru yang timbul, konsep sedia ada bagi nombor nyata atau nyata, integer, asli dan rasional tidak lagi mencukupi. Sebagai contoh, untuk mengira kuantiti manakah kuasa dua 2, anda perlu menggunakan perpuluhan tak terhingga bukan berkala. Selain itu, banyak persamaan mudah juga tidak mempunyai penyelesaian tanpa memperkenalkan konsep nombor tak rasional.

Set ini dilambangkan sebagai I. Dan, seperti yang telah jelas, nilai-nilai ini tidak boleh diwakili sebagai pecahan mudah, yang pengangkanya akan menjadi integer, dan penyebutnya akan

Buat pertama kalinya, dengan satu cara atau yang lain, ahli matematik India menemui fenomena ini pada abad ke-7 apabila didapati bahawa punca kuasa dua beberapa kuantiti tidak boleh ditunjukkan secara jelas. Dan bukti pertama kewujudan nombor tersebut dikaitkan dengan Pythagorean Hippasus, yang melakukan ini semasa mengkaji segi tiga sama kaki. Beberapa saintis lain yang hidup sebelum era kita memberi sumbangan serius kepada kajian set ini. Pengenalan konsep nombor tak rasional memerlukan semakan semula sistem matematik sedia ada, itulah sebabnya ia sangat penting.

Asal usul nama

Jika nisbah diterjemahkan daripada bahasa Latin ialah "pecahan", "nisbah", maka awalan "ir"
memberikan perkataan ini makna yang berlawanan. Oleh itu, nama set nombor ini menunjukkan bahawa mereka tidak boleh dikaitkan dengan integer atau pecahan dan mempunyai tempat yang berasingan. Ini berikutan daripada intipati mereka.

Letakkan dalam klasifikasi umum

Nombor tak rasional, bersama dengan nombor rasional, tergolong dalam kumpulan nombor nyata atau nyata, yang seterusnya tergolong dalam nombor kompleks. Tiada subset, tetapi terdapat varieti algebra dan transendental, yang akan dibincangkan di bawah.

Hartanah

Memandangkan nombor tak rasional adalah sebahagian daripada set nombor nyata, semua sifatnya yang dikaji dalam aritmetik (ia juga dipanggil undang-undang algebra asas) dikenakan kepada mereka.

a + b = b + a (komutatif);

(a + b) + c = a + (b + c) (persekutuan);

a + (-a) = 0 (kewujudan nombor berlawanan);

ab = ba (hukum komutatif);

(ab)c = a(bc) (keagihan);

a(b+c) = ab + ac (hukum taburan);

a x 1/a = 1 (kewujudan nombor salingan);

Perbandingan juga dilakukan mengikut undang-undang dan prinsip am:

Jika a > b dan b > c, maka a > c (transitiviti hubungan) dan. dll.

Sudah tentu, semua nombor tidak rasional boleh ditukar menggunakan asas operasi aritmetik. Tiada peraturan khas.

Di samping itu, aksiom Archimedes digunakan untuk nombor tidak rasional. Ia menyatakan bahawa untuk mana-mana dua kuantiti a dan b, adalah benar bahawa jika anda mengambil a sebagai sebutan cukup kali, anda boleh mengalahkan b.

Penggunaan

Walaupun pada hakikatnya dalam kehidupan biasa Ia tidak selalunya seseorang menemui mereka; Terdapat sejumlah besar daripada mereka, tetapi mereka hampir tidak kelihatan. Nombor tidak rasional ada di sekeliling kita. Contoh yang biasa kepada semua orang ialah pi, iaitu 3.1415926..., atau e, yang pada asasnya ialah asas logaritma semula jadi, 2.718281828... Dalam algebra, trigonometri dan geometri mereka perlu digunakan secara berterusan. Dengan cara ini, makna terkenal "nisbah emas", iaitu nisbah kedua-dua bahagian yang lebih besar kepada bahagian yang lebih kecil, dan sebaliknya, juga

tergolong dalam set ini. Yang kurang dikenali "perak" juga.

Pada garis nombor mereka terletak sangat padat, supaya antara mana-mana dua kuantiti yang diklasifikasikan sebagai rasional, yang tidak rasional pasti akan berlaku.

Masih banyak masalah yang belum selesai berkaitan set ini. Terdapat kriteria seperti ukuran ketidakrasionalan dan kenormalan sesuatu nombor. Ahli matematik terus mengkaji contoh yang paling penting untuk menentukan sama ada mereka tergolong dalam satu kumpulan atau yang lain. Sebagai contoh, dipercayai bahawa e ialah nombor biasa, iaitu, kebarangkalian digit yang berbeza muncul dalam tatatandanya adalah sama. Bagi pi, kajian masih dijalankan mengenainya. Ukuran tidak rasional ialah nilai yang menunjukkan sejauh mana nombor tertentu boleh dianggarkan oleh nombor rasional.

Algebra dan transendental

Seperti yang telah disebutkan, nombor tidak rasional secara konvensional dibahagikan kepada algebra dan transendental. Secara bersyarat, kerana, secara tegasnya, klasifikasi ini digunakan untuk membahagikan set C.

Penamaan ini menyembunyikan nombor kompleks, yang termasuk nombor nyata atau nyata.

Jadi, algebra ialah nilai yang merupakan punca polinomial yang tidak sama dengan sifar. Sebagai contoh, punca kuasa dua bagi 2 akan berada dalam kategori ini kerana ia adalah penyelesaian kepada persamaan x 2 - 2 = 0.

Semua nombor nyata lain yang tidak memenuhi syarat ini dipanggil transendental. Pelbagai ini termasuk contoh yang paling terkenal dan telah disebutkan - nombor pi dan asas logaritma asli e.

Menariknya, tidak satu atau yang lain pada asalnya dibangunkan oleh ahli matematik dalam kapasiti ini tidak rasional dan transendensi mereka terbukti bertahun-tahun selepas penemuan mereka. Untuk pi, bukti telah diberikan pada tahun 1882 dan dipermudahkan pada tahun 1894, menamatkan perbahasan selama 2,500 tahun tentang masalah mengkuadratkan bulatan. Ia masih belum dipelajari sepenuhnya, jadi ahli matematik moden mempunyai sesuatu untuk diusahakan. Dengan cara ini, pengiraan pertama yang agak tepat bagi nilai ini telah dijalankan oleh Archimedes. Sebelum dia, semua pengiraan terlalu anggaran.

Untuk e (nombor Euler atau Napier), bukti transendensinya ditemui pada tahun 1873. Ia digunakan dalam menyelesaikan persamaan logaritma.

Contoh lain termasuk nilai sinus, kosinus dan tangen untuk sebarang nilai bukan sifar algebra.

Apabila menukar ungkapan algebra pecahan yang penyebutnya mengandungi ungkapan tidak rasional, seseorang biasanya cuba mewakili pecahan supaya penyebutnya adalah rasional. Jika A,B,C,D,... ialah beberapa ungkapan algebra, maka anda boleh menentukan peraturan dengan bantuan yang anda boleh menyingkirkan tanda radikal dalam penyebut ungkapan bentuk

Dalam semua kes ini, pembebasan daripada ketidakrasionalan dicapai dengan mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor yang dipilih supaya hasil darabnya dengan penyebut pecahan adalah rasional.

1) Untuk menghilangkan ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan bentuk . Dalam darab pengangka dan penyebut dengan

Contoh 1. .

2) Dalam kes pecahan bentuk . Darabkan pengangka dan penyebut dengan faktor tidak rasional

masing-masing, iaitu kepada ungkapan tidak rasional konjugasi.

Maksud tindakan terakhir ialah dalam penyebut hasil tambah dan perbezaan diubah menjadi perbezaan kuasa dua, yang sudah menjadi ungkapan rasional.

Contoh 2. Bebaskan diri anda daripada ketidakrasionalan dalam penyebut ungkapan:

Penyelesaian, a) Darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan ungkapan . Kami mendapat (dengan syarat itu)

3) Dalam kes ungkapan seperti

penyebut dianggap sebagai jumlah (perbezaan) dan didarab dengan kuasa dua separa perbezaan (jumlah) untuk mendapatkan hasil tambah (beza) kubus ((20.11), (20.12)). Pengangka juga didarab dengan faktor yang sama.

Contoh 3. Bebaskan diri anda daripada ketidakrasionalan dalam penyebut ungkapan:

Penyelesaian, a) Mempertimbangkan penyebut pecahan tertentu sebagai jumlah nombor dan 1, darabkan pengangka dan penyebut dengan kuasa dua separa perbezaan nombor ini:

atau akhirnya:

Dalam sesetengah kes, adalah perlu untuk melakukan transformasi sifat yang bertentangan: untuk membebaskan pecahan daripada ketidakrasionalan dalam pengangka. Ia dijalankan dengan cara yang sama.

Contoh 4. Bebaskan diri anda daripada ketidakrasionalan dalam pengangka pecahan.