GirişTangensin xarakterik xüsusiyyəti. Tangens seqmentləri
Çevrə verilmiş nöqtədən verilmiş məsafədə yerləşən müstəvinin bütün nöqtələrindən ibarət fiqurdur. Bu nöqtə deyilir mərkəz dairə və mərkəzi dairənin istənilən nöqtəsi ilə birləşdirən seqmentdir radius dairələr.
Təyyarənin dairə ilə məhdudlaşan hissəsinə deyilir hər yerdə.
Dairəvi sektor və ya sadəcə sektor qövslə və qövsün uclarını dairənin mərkəzinə birləşdirən iki radiusla məhdudlaşan dairənin hissəsidir.
Seqment çevrənin qövslə və ona tabe olan akkordla məhdudlaşan hissəsidir.
Əsas şərtlər
Tangens
Yalnız bir ümumi nöqtəsi olan düz xətt deyilir tangens çevrəyə çevrilir və onların ümumi nöqtəsi deyilir əlaqə nöqtəsi düz xətt və dairə.
Tangens xassələri
Bir dairəyə toxunan toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.
Bir nöqtədən çəkilmiş çevrəyə toxunan seqmentlər bərabərdir və təşkil edir bərabər açılar bu nöqtədən və dairənin mərkəzindən keçən düz xətt ilə.
Akkord
Dairənin iki nöqtəsini birləşdirən seqment onun adlanır akkord. Dairənin mərkəzindən keçən akkorda deyilir diametri
Akkordların xassələri
Akkorda perpendikulyar olan diametr (radius) bu akkordu və onun bağladığı hər iki qövsü yarıya bölür. Əks teorem də doğrudur: diametri (radius) akkordu ikiyə bölürsə, o, bu akkorda perpendikulyardır.
Paralel akkordlar arasında olan qövslər bərabərdir.
Bir dairənin iki akkordu varsa, AB Və CD bir nöqtədə kəsişir M, onda bir akkordun seqmentlərinin hasili digər akkordun seqmentlərinin hasilinə bərabərdir: AM MB = CM MD.
Bir dairənin xüsusiyyətləri
Düz xəttin dairə ilə ümumi nöqtələri olmaya bilər; dairə ilə bir ümumi nöqtə var ( tangens); onunla iki ortaq nöqtə var ().
sekant
Eyni xəttdə olmayan üç nöqtə vasitəsilə bir dairə çəkə bilərsiniz və yalnız bir.
İki dairənin təmas nöqtəsi onların mərkəzlərini birləşdirən xətt üzərində yerləşir.
Tangens və sekant teoremi Əgər dairədən kənarda yerləşən nöqtədən tangens və sekant çəkilirsə, onda tangensin uzunluğunun kvadratı sekantın və onun xarici hissəsinin hasilinə bərabərdir: 2 M.C..
= MA MB
Əgər dairədən kənarda yerləşən nöqtədən iki sekant çəkilirsə, onda bir sekantın və onun xarici hissəsinin hasili digər sekantın və onun xarici hissəsinin hasilinə bərabərdir. MA MB = MC MD.
Bir dairədə bucaqlar
mərkəzi Dairədəki bucaq mərkəzində təpəsi olan müstəvi bucaqdır.
Təpəsi çevrə üzərində olan və tərəfləri bu çevrənin kəsişdiyi bucağa deyilir yazılmış bucaq.
Dairənin hər hansı iki nöqtəsi onu iki hissəyə bölür. Bu hissələrin hər biri adlanır qövs dairələr. Qövsün ölçüsü onun müvafiq mərkəzi bucağının ölçüsü ola bilər.
Qövs deyilir yarımdairə, onun uclarını birləşdirən seqment diametrdirsə.
Dairə ilə əlaqəli bucaqların xüsusiyyətləri
Yazılı bucaq ya onun müvafiq mərkəzi bucağının yarısına bərabərdir, ya da bu bucağın yarısını 180° tamamlayır.
Eyni dairəyə yazılmış və eyni qövsə söykənən açılar bərabərdir.
Diametrə uyğun olaraq yazılan bucaq 90°-dir.
Bir dairəyə toxunan və təmas nöqtəsindən çəkilmiş sekantın yaratdığı bucaq onun tərəfləri arasında bağlanmış qövsün yarısına bərabərdir.
Uzunluqlar və sahələr
Çevrə C radius R düsturla hesablanır:
C= 2 R.
Kvadrat S dairə radiusu R düsturla hesablanır:
S= R 2 .
Yazılı və əhatə olunmuş dairələr
Dairə və üçbucaq 
dairənin mərkəzi üçbucağın bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsidir, onun radiusu r düsturla hesablanır:
r = ,
Harada Süçbucağın sahəsidir və - yarımperimetr;
R= ,
R= ;
burada a, b, c üçbucağın tərəfləri, tərəfə qarşı olan bucaqdır a, S- üçbucağın sahəsi;
düzbucaqlı üçbucağın ətrafında çəkilmiş dairənin mərkəzi hipotenuzanın ortasında yerləşir;
Üçbucağın çevrələnmiş və həkk olunmuş dairələrinin mərkəzləri yalnız bu üçbucaq düzgün olduqda üst-üstə düşür.
Dairə və dördbucaqlılar
Qabarıq dördbucaqlı ətrafında dairə yalnız və yalnız o halda təsvir edilə bilər ki, onun daxili əks bucaqlarının cəmi 180°-ə bərabər olsun:
180°;
Bir dairə dördbucaqlıya o halda yazıla bilər ki, onun əks tərəflərinin cəmi bərabər olsun:
a + c = b + d;
paraleloqramı yalnız və yalnız düzbucaqlı olduqda dairə kimi təsvir etmək olar;
trapesiya ətrafında dairəni təsvir etmək o halda mümkündür ki, bu trapesiya ikitərəfli olsun;
dairənin mərkəzi trapezoidin simmetriya oxunun yan tərəfə perpendikulyar bisektor ilə kəsişməsində yerləşir;
Bir dairəni paraleloqrama yalnız və yalnız romb olduqda yazmaq olar. Birbaşa (), dairə ilə yalnız bir ümumi nöqtəyə malik olan ( A), çağırdı tangens dairəyə.
Bu vəziyyətdə ümumi nöqtə deyilir əlaqə nöqtəsi.
Mövcud olma ehtimalı tangens, və üstəlik, istənilən nöqtədən çəkilir dairə, toxunma nöqtəsi kimi aşağıdakı kimi isbat edilir teorem.
Onu həyata keçirmək tələb olunsun dairə mərkəzi ilə O tangens nöqtəsi vasitəsilə A. Bunu nöqtədən etmək üçün A, mərkəzdən olaraq təsvir edirik qövs radius A.O., və nöqtədən O, mərkəz olaraq bu qövsü nöqtələrdə kəsirik B Və İLƏ verilmiş dairənin diametrinə bərabər olan kompas məhlulu.
Sonra xərclədikdən sonra akkordlar O.B. Və ƏS, nöqtəni birləşdirin A nöqtələrlə D Və E, bu akkordların verilmiş dairə ilə kəsişdiyi zaman. Birbaşa AD Və A.E. - çevrəyə toxunan O. Doğrudan da, tikintidən aydın olur ki üçbucaqlar AOB Və AOC isosceles(AO = AB = AC) əsaslarla O.B. Və ƏS, dairənin diametrinə bərabərdir O.
Çünki O.D. Və O.E.- radiuslar, onda D - orta O.B., A E- orta ƏS, deməkdir AD Və A.E. - medianlar, ikitərəfli üçbucaqların əsaslarına çəkilmiş və buna görə də bu əsaslara perpendikulyar. Düzdürsə D.A. Və E.A. radiuslara perpendikulyar O.D. Və O.E., sonra onlar - tangenslər.
Nəticə.
Bir nöqtədən dairəyə çəkilmiş iki tangens bərabərdir və bu nöqtəni mərkəzlə birləşdirən düz xətt ilə bərabər bucaqlar əmələ gətirir..
Beləliklə AD=AE və ∠ OAD = ∠OAEçünki düz üçbucaqlar AOD Və AOE, ümumi olan hipotenuz A.O. və bərabərdir ayaqları O.D. Və O.E.(radius kimi), bərabərdir. Qeyd edək ki, burada “tangens” sözü əslində “ tangens seqmenti” müəyyən bir nöqtədən təmas nöqtəsinə qədər.
Sekant, tangens - bütün bunları həndəsə dərslərində yüzlərlə dəfə eşitmək olardı. Amma məktəbi bitirmək arxada qaldı, illər keçir və bütün bu biliklər unudulur. Nəyi xatırlamalısan?
mahiyyət
“Dairəyə toxunan” ifadəsi yəqin ki, hamıya tanışdır. Ancaq çətin ki, hər kəs tez bir zamanda onun tərifini formalaşdıra bilsin. Bu arada, tangens onu yalnız bir nöqtədə kəsən bir dairə ilə eyni müstəvidə yerləşən düz xəttdir. Onların sayı çox ola bilər, amma hamısında var eyni xassələri, aşağıda müzakirə olunacaq. Təxmin etdiyiniz kimi, toxunma nöqtəsi dairə ilə düz xəttin kəsişdiyi yerdir. Hər bir konkret vəziyyətdə yalnız bir var, lakin onlardan daha çox olarsa, o, bir sekant olacaqdır.
Kəşf və öyrənmə tarixi
Tangens anlayışı qədim zamanlarda ortaya çıxdı. Bu düz xətlərin əvvəlcə dairəyə, sonra isə xətkeş və kompasdan istifadə etməklə ellipslərə, parabolalara və hiperbolalara çəkilməsi həndəsə elminin inkişafının ilkin mərhələlərində aparılmışdır. Əlbəttə ki, tarix kəşf edənin adını qoruyub saxlamayıb, amma aydındır ki, hətta o dövrdə insanlar çevrəyə toxunmanın xüsusiyyətləri ilə kifayət qədər tanış idilər.
Müasir dövrdə bu fenomenə maraq yenidən alovlandı - yeni əyrilərin kəşfi ilə birlikdə bu konsepsiyanın öyrənilməsinin yeni mərhələsi başladı. Beləliklə, Qalileo sikloid anlayışını təqdim etdi və Fermat və Dekart ona tangens qurdular. Dairələrə gəlincə, deyəsən, bu sahədə qədimlər üçün heç bir sirr qalmayıb.
Xüsusiyyətlər
Kəsişmə nöqtəsinə çəkilmiş radius Bu olacaq
çevrəyə toxunan əsas, lakin yeganə xüsusiyyət deyil. Digər mühüm xüsusiyyət iki düz xətt daxildir. Beləliklə, dairədən kənarda yerləşən bir nöqtə vasitəsilə iki tangens çəkilə bilər və onların seqmentləri bərabər olacaqdır. Bu mövzuda başqa bir teorem var, lakin bəzi problemlərin həlli üçün olduqca əlverişli olsa da, nadir hallarda standart məktəb kursunun bir hissəsi kimi tədris olunur. Səslənir aşağıdakı kimi. Dairədən kənarda yerləşən bir nöqtədən ona bir tangens və sekant çəkilir. AB, AC və AD seqmentləri əmələ gəlir. A xətlərin kəsişməsi, B toxunma nöqtəsi, C və D kəsişmə nöqtələridir. Bu halda aşağıdakı bərabərlik etibarlı olacaq: dairəyə toxunan uzunluq kvadratı AC və AD seqmentlərinin hasilinə bərabər olacaqdır.
Yuxarıdakıların mühüm nəticəsi var. Dairənin hər nöqtəsi üçün bir tangens qura bilərsiniz, ancaq bir. Bunun sübutu olduqca sadədir: nəzəri olaraq radiusdan ona perpendikulyar saldıqda, əmələ gələn üçbucağın mövcud ola bilməyəcəyini öyrənirik. Və bu o deməkdir ki, tangens yeganədir.
Tikinti
Həndəsənin digər problemləri arasında, bir qayda olaraq, xüsusi bir kateqoriya var
tələbələr və tələbələr tərəfindən sevilir. Bu kateqoriyadakı problemləri həll etmək üçün sizə yalnız bir kompas və bir hökmdar lazımdır. Bunlar tikinti işləridir. Tangens qurmaq üçün olanlar da var.
Beləliklə, bir dairə və onun hüdudlarından kənarda yerləşən bir nöqtə verilir. Və onların arasından bir tangens çəkmək lazımdır. Bunu necə etmək olar? Əvvəlcə O dairəsinin mərkəzi ilə verilmiş nöqtə arasında bir seqment çəkmək lazımdır. Sonra kompasdan istifadə edərək onu yarıya bölün. Bunu etmək üçün radiusu təyin etməlisiniz - orijinal dairənin mərkəzi ilə bu nöqtə arasındakı məsafənin yarısından bir qədər çox. Bundan sonra, kəsişən iki qövs qurmaq lazımdır. Üstəlik, kompasın radiusunun dəyişdirilməsinə ehtiyac yoxdur və dairənin hər bir hissəsinin mərkəzi müvafiq olaraq orijinal nöqtə və O olacaqdır. Qövslərin kəsişmələrini birləşdirmək lazımdır, bu da seqmenti yarıya böləcəkdir. Kompasda bu məsafəyə bərabər bir radius təyin edin. Sonra, mərkəz kəsişmə nöqtəsində olmaqla başqa bir dairə qurun. Həm orijinal, həm də O nöqtəsi onun üzərində uzanacaq. Onlar əvvəlcə müəyyən edilmiş nöqtə üçün əlaqə nöqtələri olacaqlar.
Doğuşa səbəb olan dairəyə toxunanların qurulması idi
diferensial hesablama. Bu mövzuda ilk əsər məşhur alman riyaziyyatçısı Leybnits tərəfindən nəşr edilmişdir. O, kəsr və irrasional kəmiyyətlərdən asılı olmayaraq maksimal, minimum və tangensləri tapmaq imkanını təmin edirdi. Yaxşı, indi bir çox başqa hesablamalar üçün istifadə olunur.
Bundan əlavə, çevrəyə toxunan tangensin həndəsi mənası ilə bağlıdır. Onun adı buradan gəlir. Latın dilindən tərcümədə tangens "tangens" deməkdir. Beləliklə, bu anlayış təkcə həndəsə və diferensial hesabla deyil, həm də triqonometriya ilə əlaqələndirilir.
İki dairə
Tangens həmişə yalnız bir rəqəmə təsir etmir. Bir dairəyə çoxlu sayda düz xətt çəkmək olarsa, niyə əksinə olmasın? bilər. Ancaq bu vəziyyətdə vəzifə ciddi şəkildə mürəkkəbləşir, çünki iki dairəyə toxunan heç bir nöqtədən keçməyə bilər və bütün bu rəqəmlərin nisbi mövqeyi çox ola bilər.
fərqli.
Növlər və çeşidlər
Söhbət iki çevrə və bir və ya bir neçə düz xəttdən getdikdə, hətta bunların tangens olduğu məlum olsa belə, bütün bu fiqurların bir-birinə münasibətdə necə yerləşdiyi dərhal aydınlaşmır. Buna əsaslanaraq bir neçə növ fərqləndirilir. Beləliklə, dairələrin bir və ya iki ümumi nöqtəsi ola bilər və ya ümumiyyətlə olmaya bilər. Birinci halda onlar kəsişəcək, ikincidə isə toxunacaqlar. Və burada iki növ fərqlənir. Bir dairə, sanki, ikinciyə daxil edilmişdirsə, toxunma daxili, deyilsə, xarici adlanır. Fiqurların nisbi mövqeyini yalnız rəsmə əsaslanaraq deyil, həm də onların radiuslarının cəmi və mərkəzləri arasındakı məsafə haqqında məlumat əldə edə bilərsiniz. Bu iki kəmiyyət bərabərdirsə, dairələr toxunur. Birincisi daha böyükdürsə, kəsişir, azdırsa, ortaq nöqtələri yoxdur.
Eyni şey düz xətlərə də aiddir. Ortaq nöqtələri olmayan hər hansı iki dairə üçün edə bilərsiniz
dörd tangens qurun. Onlardan ikisi rəqəmlər arasında kəsişəcək, onlara daxili deyilir. Digər bir neçəsi xaricidir.
Bir ümumi nöqtəyə sahib olan dairələrdən danışırıqsa, problem çox sadələşdirilmişdir. Fakt budur ki, nisbi mövqeyindən asılı olmayaraq, bu halda onların yalnız bir tangensi olacaq. Və onların kəsişdiyi nöqtədən keçəcək. Beləliklə, tikinti çətin olmayacaq.
Fiqurların iki kəsişmə nöqtəsi varsa, onlar üçün həm birinin, həm də digərinin dairəsinə toxunan, ancaq xarici bir düz xətt çəkilə bilər. Bu problemin həlli aşağıda müzakirə ediləcəklərə bənzəyir.
Problemin həlli
İki dairənin həm daxili, həm də xarici tangensini qurmaq o qədər də sadə deyil, baxmayaraq ki, bu problemi həll etmək olar. Fakt budur ki, bunun üçün köməkçi bir rəqəm istifadə olunur, buna görə də bu üsulu özünüz hazırlamalısınız
olduqca problemlidir. Beləliklə, müxtəlif radiuslu və mərkəzləri O1 və O2 olan iki dairə verilmişdir. Onlar üçün iki cüt tangens qurmaq lazımdır.
Əvvəla, daha böyük dairənin mərkəzinə yaxın bir köməkçi qurmalısınız. Bu halda, iki ilkin rəqəmin radiusları arasındakı fərq kompas üzərində qurulmalıdır. Köməkçi dairəyə tangentlər kiçik dairənin mərkəzindən qurulur. Bundan sonra O1 və O2-dən bu xətlərə orijinal fiqurlarla kəsişənə qədər perpendikulyarlar çəkilir. Tangensin əsas xassəsindən göründüyü kimi, hər iki çevrədə tələb olunan nöqtələr tapılır. Problem həll olundu, heç olmasa birinci hissə.
Daxili tangensləri qurmaq üçün praktiki olaraq həll etməli olacaqsınız
oxşar vəzifə. Yenə köməkçi bir rəqəmə ehtiyacınız olacaq, lakin bu dəfə onun radiusu olacaq məbləğinə bərabərdir orijinal. Bu dairələrdən birinin mərkəzindən ona tangentlər tikilir. Həllin sonrakı gedişatını əvvəlki nümunədən başa düşmək olar.
Bir dairəyə, hətta iki və ya daha çoxuna toxunmaq o qədər də çətin iş deyil. Təbii ki, riyaziyyatçılar bu cür məsələləri əl ilə həll etməyi çoxdan dayandırıblar və hesablamalara arxalanırlar xüsusi proqramlar. Ancaq düşünməməlisən ki, indi bunu özünüz etmək məcburiyyətində deyilsiniz, çünki kompüter üçün bir tapşırığı düzgün formalaşdırmaq üçün çox şey etməli və başa düşməlisiniz. Təəssüf ki, biliyə nəzarətin test formasına son keçiddən sonra tikinti tapşırıqlarının tələbələrə getdikcə daha çox çətinlik yaradacağı ilə bağlı narahatlıqlar var.
Daha çox sayda çevrə üçün ümumi tangenslərin tapılmasına gəlincə, bu, eyni müstəvidə olsa belə, həmişə mümkün olmur. Ancaq bəzi hallarda belə bir düz xətt tapa bilərsiniz.
Həyatdan nümunələr
İki dairəyə ümumi bir tangens praktikada tez-tez baş verir, baxmayaraq ki, bu həmişə nəzərə çarpmır. Konveyerlər, blok sistemləri, kasnağın ötürücü kəmərləri, ip gərginliyi tikiş maşını, və hətta sadəcə bir velosiped zənciri - bütün bunlar həyatdan nümunələrdir. Beləliklə, həndəsi problemlərin yalnız nəzəri olaraq qaldığını düşünməməlisiniz: mühəndislik, fizika, tikinti və bir çox başqa sahələrdə praktik tətbiq tapırlar.
Çox vaxt abituriyentlər, məzunlar və riyaziyyat olimpiadalarında iştirak edənlər üçün çətinlik yaradan həndəsi problemlərdir. 2010-cu ilin Vahid Dövlət İmtahanının statistikasına baxsanız, bunu görə bilərsiniz həndəsi problemİştirakçıların təxminən 12% -i C4-ə başladı, lakin iştirakçıların yalnız 0,2% -i tam qiymət aldı və ümumilikdə tapşırıq təklif olunanların hamısından ən çətini oldu.
Aydındır ki, biz məktəblilərə problemlərin həllinin gözəl və ya gözlənilməz yollarını nə qədər tez təklif etsək, onları ciddi və uzun müddət maraqlandırmaq və ovsunlamaq ehtimalı bir o qədər çox olar. Bəs 7-ci sinif səviyyəsində həndəsənin sistemli öyrənilməsi yeni başlayanda maraqlı və mürəkkəb məsələləri tapmaq nə qədər çətindir. Yalnız üçbucaqların bərabərlik əlamətlərini, bitişik və onların xassələrini bilən riyaziyyatla maraqlanan tələbəyə nə təklif oluna bilər. şaquli açılar? Bununla belə, çevrə ilə bir ortaq nöqtəsi olan düz xətt kimi çevrəyə tangens anlayışını təqdim etmək olar; təmas nöqtəsinə çəkilmiş radiusun tangensə perpendikulyar olduğunu qəbul edək. Əlbətdə ki, sıfırdan dördə qədər çəkilə bilən iki dairənin və onlara ümumi toxunuşların yerləşməsinin bütün mümkün hallarını nəzərdən keçirməyə dəyər. Aşağıda təklif olunan teoremləri sübut etməklə siz yeddinci sinif şagirdləri üçün problemlər toplusunu əhəmiyyətli dərəcədə genişləndirə bilərsiniz. Eyni zamanda, eyni zamanda vacib və ya sadəcə maraqlı olduğunu sübut edin əyləncəli faktlar. Üstəlik, bir çox ifadələr məktəb dərsliyinə daxil edilmədiyinə görə, planimetriyanı nəzərdən keçirərkən onları dairə dərslərində və məzunlarla müzakirə etmək olar. Bu faktların ötən tədris ilində aktual olduğu ortaya çıxdı. Bir çox diaqnostik işin özü olduğundan Vahid dövlət imtahan işi həlli üçün aşağıda sübut edilmiş tangens seqmentinin xassəsindən istifadə etmək lazım olan bir problem var idi.
T 1
Dairəyə çəkilmiş tangentlərin seqmentləri
bir nöqtəyə bərabərdir (şək. 1)
Bu, ilk olaraq yeddinci sinif şagirdlərinə təqdim edə biləcəyiniz teoremdir.
Sübut prosesində düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik işarəsindən istifadə etdik və dairənin mərkəzinin bucağın bissektrisasında olduğu qənaətinə gəldik. BSA.
Yolda biz xatırladıq ki, bucağın bissektoru bucağın daxili bölgəsindəki, tərəflərindən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeridir. Önəmsiz bir problemin həlli hətta həndəsəni öyrənməyə başlayanlar üçün də əlçatan olan bu faktlara əsaslanır.
1. Bucaq bissektrisaları A, IN Və İLƏ qabarıq dördbucaqlı ABCD bir nöqtədə kəsişir. Şüalar AB Və DC bir nöqtədə kəsişir E, və şüalar
Günəş Və AD nöqtədə F. Qabarıq olmayan dördbucaqlı olduğunu sübut edin AECFəks tərəflərin uzunluqlarının cəmi bərabərdir.
Həlli (Şəkil 2). Qoy HAQQINDA– bu bissektrisaların kəsişmə nöqtəsi. HAQQINDA Sonra ABCD dördbucaqlının bütün tərəflərindən bərabər məsafədə
, yəni 1
dördbucaqlıya daxil edilmiş dairənin mərkəzidir. Teoremlə aşağıdakı bərabərliklər doğrudur: = AR,
A.K. = ER, E.P. = F.T. FK
(aşağıdakı bərabərliklər doğrudur: + A.K.) + E.P. = (AR +F.T.) + ER; A.E. + (. Sol və sağ tərəfləri müddətə görə əlavə edək və düzgün bərabərliyi əldə edək: + F.C.) = C.T. + (A.F. + Aİ PC ). = Çünki ST RS + . Sol və sağ tərəfləri müddətə görə əlavə edək və düzgün bərabərliyi əldə edək: = C.T. + A.F., Bu
AE 1 .
sübut edilməli olan şey idi. Qeyri-adi düsturlu bir problemi nəzərdən keçirək, onun həlli üçün teoremi bilmək kifayətdir. 2. Vardır Qeyri-adi düsturlu bir problemi nəzərdən keçirək, onun həlli üçün teoremi bilmək kifayətdir. n
-tərəfləri ardıcıl olaraq 1, 2, 3, ... olan üçbucaq, Qeyri-adi düsturlu bir problemi nəzərdən keçirək, onun həlli üçün teoremi bilmək kifayətdir., hansı dairəyə daxil edilə bilər? A 1 A 2 =1, …, A Həll. Bunu deyək A-gon mövcuddur. Qeyri-adi düsturlu bir problemi nəzərdən keçirək, onun həlli üçün teoremi bilmək kifayətdir.– 1,n-1 n= A 1 = Qeyri-adi düsturlu bir problemi nəzərdən keçirək, onun həlli üçün teoremi bilmək kifayətdir.. B 1 , …, B A A 1 B 1 = A 1 B n=< 1, Qeyri-adi düsturlu bir problemi nəzərdən keçirək, onun həlli üçün teoremi bilmək kifayətdir. – 1 < A n= B n=< n n – müvafiq təmas nöqtələri. Sonra Teorem 1 ilə A n= B-gon mövcuddur. A n= B n. A n= B Həll. Bunu deyək< A Həll. Bunu deyək A-gon mövcuddur. Tangens seqmentlərinin xassəsinə görə 1. n-1. Amma, Qeyri-adi düsturlu bir problemi nəzərdən keçirək, onun həlli üçün teoremi bilmək kifayətdir.-Problemin şərtlərini təmin edən.
T 2 Dördbucaqlının əks tərəflərinin cəmi haqqında təsvir edilmişdir
dairələr bərabərdir (şək. 3)
Məktəblilər, bir qayda olaraq, təsvir olunan dördbucağın bu xüsusiyyətini asanlıqla sübut edirlər. 1 Teoremi sübut etdikdən sonra , bu bir məşq məşqidir. Biz bu faktı ümumiləşdirə bilərik - bir tərəfdən götürülən, sərhədlənmiş cüt üçbucağın tərəflərinin cəmi bərabərdir. Məsələn, altıbucaqlı üçün ABCDEF sağ:
, Əgər CD = a
Həll (Şəkil 1)
mərkəzi O nöqtəsində olan çevrəyə. İxtiyari nöqtə vasitəsilə AB Və AB – CD = s. AB = a + p. X qövslər Və seqmentləri kəsən dairəyə tangens çəkilir nöqtələrində M R müvafiq olaraq. Üçbucağın perimetri olduğunu sübut edin AMR
və bucağın böyüklüyü MPA X nöqtəsinin seçimindən asılı deyil. Həlli (Şəkil 5). M Teorem 1 ilə AB Və MV = MX və RS = RH. Buna görə də üçbucağın perimetri seqmentlərin cəminə bərabərdir M AC. Və yaüçbucaq üçün dairəyə çəkilmiş ikiqat tangens ..
və nöqtə TO. Seqmentin uzunluğunu tapın AK. Həlli (Şəkil 6). Birinci üsul (cəbri). Qoy AK = AN = x,
.
Sonra
BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC, üçün tənlik yarada bilərik x: b = x + (a – c + x). Haradaİkinci üsul (həndəsi). Diaqrama baxaq.
TO– dairənin yan ilə toxunma nöqtəsi 1
AB.Məhsul (Şəkil 7). CM = p Δ ABC. b + x = p; x = p – b. Alınan düsturlar aşağıdakı məsələlərdə tətbiq olunur. X 4. Ayaqları olan düzbucaqlı üçbucağa daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın və hipotenuza ilə. Həlli (Şəkil 8). T yaxşı necə
.
OMCN -
kvadrat, onda yazılmış dairənin radiusu CN tangens seqmentinə bərabərdir. 5. Üçbucağın tərəfi ilə yazılan və çevrənin toxunma nöqtələrinin bu tərəfin ortasına yaxın simmetrik olduğunu sübut edin. Həlli (Şəkil 9). Qeyd edək ki, AK üçbucaq üçün dairənin tangens seqmentidir
ABC. Formula (2) görə
. Həlli (Şəkil 9). VM
- seqmentüçbucaq üçün dairəyə tangens Formula (1) görə. AK = VM, və bu nöqtələr deməkdir
K və M tərəfin ortasından bərabər məsafədə AB, Q.E.D. 6. İki ümumi xarici tangens və bir daxili tangens iki dairəyə çəkilir. Daxili tangens xarici tangensləri nöqtələrdə kəsir A, B və nöqtələrdə dairələrə toxunur A 1
Və Həlli (Şəkil 9). B 1. Bunu sübut et AA 1 = BB 1. Həlli (Şəkil 10). Dayan... Qərar vermək üçün nə var? Bu, əvvəlki problemin sadəcə fərqli bir formalaşdırılmasıdır. Aydındır ki, dairələrdən biri müəyyən bir üçbucaq üçün yazılmışdır, digəri isə dairədir 6. İki ümumi xarici tangens və bir daxili tangens iki dairəyə çəkilir. Daxili tangens xarici tangensləri nöqtələrdə kəsir Və seqmentlər AA 1 və BB 1 seqmentlərə uyğundur AK VM
tapşırıqlar 5.
Tapşırığın təklif edilməsi diqqət çəkirÜmumrusiya Olimpiadası məktəblilərin riyaziyyatı, belə açıq şəkildə həll edilir. 7. Keçmə qaydasında beşbucağın tərəfləri 5, 6, 10, 7, 8-dir. Sübut edin ki, bu beşbucaqda çevrə çəkilə bilməz. AB, ., CD, Həlli (Şəkil 11) Və . Tutaq ki, beşbucaqlıda ABCDE F, bir dairə yaza bilərsiniz., Üstəlik, tərəflər, M DE EA müvafiq olaraq 5, 6, 10, 7 və 8-ə bərabərdir, gəlin ardıcıllıqla toxunan nöqtələri qeyd edək. C.T. G H.
Və N = . Seqmentin uzunluğuna icazə verin – C.T. = 5 – bərabərdir = X. Sonra = . – X = = 6 – (5 – bərabərdir) = 1 + bərabərdir = B.F. FD x = B.G. = 9 – bərabərdir; G.C. = CH = . – 2, Və s.: = 10 – H.
HD C.T. = Və s.: DM H = H; H M.E. EN x AB AN
Amma,
. H Yəni 10 - 2 = 5. Bununla belə, tangens seqmenti
A.F. H bərabər tərəf ola bilməz H. Nəticədə ortaya çıxan ziddiyyət sübut edir ki, verilmiş beşbucaqda çevrə çəkilə bilməz. H = 3.
Həlli (Şəkil 12). Bütün tərəflərin uzunluqları tam ədədlər olduğundan, seqmentlərin uzunluqlarının kəsr hissələri bərabərdir. BT, B.P., DM, DN, AR Və AT. bizdə var AT + TV= 1 və seqment uzunluqlarının kəsr hissələri AT Və Vərəm bərabərdirlər. Bu yalnız o zaman mümkündür AT + TV= 0,5. 1
Teoremlə + VR.
VT VR O deməkdir ki, CD= 0,5.
Qeyd edək ki, şərt = 3 iddiasız çıxdı. Aydındır ki, problemin müəllifləri başqa bir həll yolu tapdılar. Cavab: 0.5. 10. Dördbucaqlı Dəstək tapşırığı ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5.Üçbucaqlara yazılmış dairələr ABD CBD seqmentə toxunun BD nöqtələrində M Və
N müvafiq olaraq. Seqmentin uzunluğunu tapın MN. BD Həlli (Şəkil 13). MN = DN – DM.Üçbucaqlar üçün (1) düsturuna görə
DBA Dördbucaqlıda DBC müvafiq olaraq bizdə: Və 11. Dördbucaqlıya bir dairə yaza bilərsiniz. R Və rÜçbucaqlara yazılmış dairələr
ABD Dördbucaqlıda CBD 2 radiusları var müvafiq olaraq. Bu dairələrin mərkəzləri arasındakı məsafəni tapın. Həlli (Şəkil 13). Çünki şərti ilə dördbucaqlı B.G. teoremlə yazılmışdır bizdə:
AB + DC = AD + BC. DördbucaqlıdaƏvvəlki problemi həll etmək fikrindən istifadə edək. . Bu o deməkdir ki, dairələrin seqmentlə təmas nöqtələri Dördbucaqlıda uyğun. Dairələrin mərkəzləri arasındakı məsafə radiusların cəminə bərabərdir. Cavab: R+r. Və Əslində, şərtin dördbucaqlı olduğu sübut edilmişdirşərtə ekvivalent bir dairə yaza bilərsiniz - qabarıq dördbucaqlıda
üçbucaqlara yazılmış dairələr
ABC Dördbucaqlıda (ADC bir-birinizə toxunun. Bunun əksi doğrudur. R+r. Və Aşağıdakı problemdə bu iki qarşılıqlı tərs ifadənin sübut edilməsi təklif olunur ki, bu da bunun ümumiləşdirilməsi hesab edilə bilər. 12. Qabarıq dördbucaqlıda müvafiq olaraq bizdə: Və düyü. 14) üçbucaqlara daxil edilmiş dairələr
ADC bir-birinizə toxunun. Sübut edin ki, çevrələr üçbucaqlara yazılmışdır BDC həm də bir-birinə toxunur. Və 13. Üçbucaqda ABC Günəş tərəflərlə a, b c tərəfdən Və nöqtəsi qeyd olunur D AD belə ki, dairələr üçbucaqlara yazılmışdır ABD.
ACD Əslində, şərtin dördbucaqlı olduğu sübut edilmişdir Və seqmentə toxunun bir nöqtədə. Seqmentin uzunluğunu tapın BD 
Həlli (Şəkil 15). Üçbucaqlar üçün düstur (1) tətbiq edək D A.D.B. Günəş, hesablama bir-birinizə toxunun. Sübut edin ki, çevrələr üçbucaqlara yazılmışdır DM
iki HAQQINDA 1 , HAQQINDA Belə çıxır, HAQQINDA– tərəflə təmas nöqtəsi HAQQINDA 1 , HAQQINDA 2 , HAQQINDA 3-də, şəkildə göstərildiyi kimi bu çevrələrə toxunanlar çəkilir.
Məlumdur ki, bu tangenslər kəsişərək, tərəfləri qırmızı və mavi rənglərə boyanmış qabarıq altıbucaqlı əmələ gətirir.
Qırmızı seqmentlərin uzunluqlarının cəminin mavi seqmentlərin uzunluqlarının cəminə bərabər olduğunu sübut edin. Həlli (Şəkil 16). Verilmiş dairələrin bərabər radiuslara malik olması faktından necə istifadə edəcəyini başa düşmək vacibdir. Qeyd edək ki, seqmentlər Və BR DM HAQQINDA 1 Həlli (Şəkil 16). Verilmiş dairələrin bərabər radiuslara malik olması faktından necə istifadə edəcəyini başa düşmək vacibdir. Qeyd edək ki, seqmentlər Və O 2 bərabərdir ki, bu da düzbucaqlı üçbucaqların bərabərliyindən irəli gəlir B.M. . = Eynilə, D.L. = F.T. D.P. A, İLƏ FN E. Bərabərlik müddətini terminə əlavə edirik, sonra əldə edilən cəmlərdən təpələrdən çəkilmiş eyni tangens seqmentlərini çıxarırıq. , bu bir məşq məşqidir. Biz bu faktı ümumiləşdirə bilərik - bir tərəfdən götürülən, sərhədlənmiş cüt üçbucağın tərəflərinin cəmi bərabərdir. Məsələn, altıbucaqlı üçün: , Və Və AR, altıbucaqlı Və AR, CH Və ER C.L.
C.M.
. Bizə lazım olanı alırıq. Budur, orta məktəb şagirdləri üçün “A.N.Kolmoqorovun xatirəsinə kubok” XII Beynəlxalq Riyaziyyat Turnirində təklif olunan stereometriya probleminin nümunəsi. 16. Beşbucaqlı piramida verilmişdir SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Kürə var w, piramidanın bütün kənarlarına və başqa bir sferaya toxunur w 1, bazanın hər tərəfinə toxunur A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 və yan qabırğaların davamı
w-nin tərəflə təmas nöqtəsini işarə edək i ilə. Sonra vasitəsilə +1 = S.C. s a 1 = a 3 = a 5 = a 2 = açünki tangens seqmentləri bərabərdir. Qoy C i A i = a i 1 = C i A i = a i 2 = C i A i = a i 3 = C i A i = a i 4 = C i A i = a i 5 .
17. . Sonra s+a i +a i+1 və perimetrlərin bərabərliyindən belə nəticə çıxır 4, haradan S.A. Vahid Dövlət İmtahanı. 44,Diaqnostik iş = 100, 8.12.2009, S–4. Trapezoid verilir AD Və ABCD, bunun əsasını təşkil edir CD BC = AD. Seqmentin uzunluğunu tapın AB = CD= 35. Xətlərə toxunan dairə A.C., tərəfə toxunur nöqtədə X E Və F. Seqmentin uzunluğunu tapın xallar alınıb.
K Həlli (Şəkil 11) Və CK.
.BDC və AD = 0,1AB – CD = s. AB = a + p., CD = 0,9ABCD BDA AD = 0,125AB – CD = s. AB = a + p., CD = 1,125ABCD, yanlara toxunun
ВD
Həll. İki hal mümkündür (şək. 20 və şək. 21). (1) düsturundan istifadə edərək seqmentlərin uzunluqlarını tapırıq DF Birinci halda
. ikincidə - . Məlumatları əvəz edirik və cavabı alırıq: 4.6 və ya 5.5. Müstəqil həll üçün problemlər/ ABC (Şəkil 22),üç tangens çəkilir. Kəsilmiş üçbucaqların perimetrləri 6, 8, 10-dur. Perimetrini tapın. (24)
verilmiş üçbucaq 3. Üçbucağa ABC dairəsi yazılmışdır. MN - dairəyə toxunan, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Üçbucağın perimetrini tapın
MNC. (12) 4. İki tərəfi kəsişən, tərəfi a olan kvadratın içinə yazılmış dairəyə tangens çəkilir.
Kəsilmiş üçbucağın perimetrini tapın. (A), 5. Yanları olan beşbucaqlıya dairə yazılmışdır, 13. Üçbucaqda, 5. Yanları olan beşbucaqlıya dairə yazılmışdır Və A d (A).
e
7. CD. Toxunma nöqtəsinin tərəfi bərabər böldüyü seqmentləri tapın R+r. 6. Üzləri 6, 10 və 12 olan üçbucağın içinə dairə yazılmışdır. Dairəyə elə bir tangens çəkilir ki, o, iki uzun tərəfi kəssin. Kəsilmiş üçbucağın perimetrini tapın. (16) nöqtəsi qeyd olunur Və - üçbucağın medianı. Üçbucaqlara yazılmış dairələr CD BCD M Və EA, seqmentə toxunun Birbaşa ( ECDF AB – CD = s. AB = a + p. – nöqtələrində = 2. (1)
. Tapın bir-birinizə toxunun. Sübut edin ki, çevrələr üçbucaqlara yazılmışdır Günəş həm də bir-birinə toxunur. 8. Üçbucaqda 13. Üçbucaqda ABC Günəş tərəflərlə D tərəflərlə tərəfdən Və nöqtəsi qeyd olunur Və AD. Üçbucaqlarla yazılmış dairələrə qövslər, kəsişən ümumi tangens çəkilir nöqtədə. Seqmentin uzunluğunu tapın nöqtədə AM D Və
. (Uzunluq nöqtənin mövqeyindən asılı deyil))
½-ə bərabər ( c + b - a 9. B (A) düz üçbucaq radiuslu bir dairəyə yazılmışdır. Hipotenuzaya və ayaqların uzantılarına toxunan dairənin radiusu bərabərdir R.)
Hipotenuzanın uzunluğunu tapın. ( bir-birinizə toxunun. Sübut edin ki, çevrələr üçbucaqlara yazılmışdır R–a AB = 10. Üçbucaqda, AB – CD = s. AB = a + p. = tərəflərin uzunluqları məlumdur:, Günəş = (A) ilə AB. Üçbucaqlarla yazılmış dairələrə b. Üçbucaqda yazılmış bir dairə yan tərəfə toxunur AB C 1 A BC = . Dairə yan tərəfin uzanmasına toxunur nöqtə başına C 2. (tərəflərin uzunluqları məlumdur:)
. Seqmentin uzunluğunu müəyyənləşdirin
12. C 1 C 2 11. Radiusu 3 sm olan daxili çevrənin toxunma nöqtəsinə 4 sm və 3 sm (düzbucaqlı üçbucaqda 7, 24 və 25 sm) seqmentlərə bölünən üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını tapın. bir-birinizə toxunun. Sübut edin ki, çevrələr üçbucaqlara yazılmışdır Soros Olimpiadası 1996, 2-ci tur, 11-ci sinif . Üçbucaq verilir, tərəflərində nöqtələr qeyd olunur A 1, B 1, C 1. Üçbucaqlara yazılmış dairələrin radiusu r AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1 bərabərdir. Üçbucaqda yazılmış dairənin radiusu R A 1 B 1 C 1 bir-birinizə toxunun. Sübut edin ki, çevrələr üçbucaqlara yazılmışdır. (R +bərabərdir).
. Üçbucağa daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın