Y x4 3 x törəmə. Onlayn kalkulyator

Törəmə tapma əməliyyatına diferensiasiya deyilir.

Artımın arqumentin artımına nisbətinin həddi kimi törəməni təyin etməklə ən sadə (və çox sadə olmayan) funksiyaların törəmələrinin tapılması problemlərinin həlli nəticəsində törəmələr cədvəli və dəqiq müəyyən edilmiş diferensiallaşdırma qaydaları meydana çıxdı. . Törəmələrin tapılması sahəsində ilk iş görənlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Vilhelm Leybnizdir (1646-1716).

Odur ki, bizim dövrümüzdə hər hansı funksiyanın törəməsini tapmaq üçün funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin yuxarıda qeyd olunan həddini hesablamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq, cədvəldən istifadə etmək kifayətdir. törəmələr və diferensiallaşma qaydaları. Törəmə tapmaq üçün aşağıdakı alqoritm uyğundur.

Törəmə tapmaq üçün, əsas işarənin altında bir ifadə lazımdır sadə funksiyaları komponentlərə ayırın və hansı hərəkətləri müəyyənləşdirin (məhsul, cəmi, əmsal) bu funksiyalar əlaqəlidir. Sonra, elementar funksiyaların törəmələrini törəmələr cədvəlində, hasil, cəmi və hissənin törəmələri üçün düsturları isə diferensiallaşdırma qaydalarında tapırıq. Törəmə cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ilk iki nümunədən sonra verilmişdir.

Misal 1. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Diferensiasiya qaydalarından məlum olur ki, funksiyaların cəminin törəməsi funksiyaların törəmələrinin cəmidir, yəni.

Törəmələr cədvəlindən öyrənirik ki, “X” törəməsi birə, sinusun törəməsi isə kosinusa bərabərdir. Bu dəyərləri törəmələrin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan törəməni tapırıq:

Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Törəmə işarəsindən çıxarıla bilən ikinci terminin sabit əmsalı olduğu cəminin törəməsi kimi fərqləndiririk:

Əgər hələ də bir şeyin haradan gəldiyi ilə bağlı suallar yaranarsa, onlar adətən törəmələr cədvəli və ən sadə fərqləndirmə qaydaları ilə tanış olduqdan sonra aydınlaşdırılır. Biz hazırda onlara gedirik.

Sadə funksiyaların törəmələri cədvəli

1. Sabitin (ədədin) törəməsi. Funksiya ifadəsində olan istənilən ədəd (1, 2, 5, 200...). Həmişə sıfıra bərabərdir. Bunu xatırlamaq çox vacibdir, çünki çox vaxt tələb olunur
2. Müstəqil dəyişənin törəməsi. Çox vaxt "X". Həmişə birə bərabərdir. Bunu uzun müddət xatırlamaq da vacibdir
3. Dərəcənin törəməsi. Problemləri həll edərkən kvadrat olmayan kökləri güclərə çevirmək lazımdır.
4. Dəyişənin -1 gücünə törəməsi
5. Törəmə kvadrat kök
6. Sinusun törəməsi
7. Kosinusun törəməsi
8. Tangensin törəməsi
9. Kotangensin törəməsi
10. Arksinusun törəməsi
11. Arkkosinin törəməsi
12. Arktangensin törəməsi
13. Qövs kotangentinin törəməsi
14. Natural loqarifmin törəməsi
15. Loqarifmik funksiyanın törəməsi
16. Göstəricinin törəməsi
17. Eksponensial funksiyanın törəməsi

Fərqləndirmə qaydaları

1. Cəmin və ya fərqin törəməsi
2. Məhsulun törəməsi
2a. Sabit əmsala vurulan ifadənin törəməsi
3. Bölmənin törəməsi
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Qayda 1.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallanır, sonra funksiyalar eyni nöqtədə diferensiallanır

və

olanlar. funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

Nəticə. İki diferensiallanan funksiya sabit bir həddi ilə fərqlənirsə, onların törəmələri bərabərdir, yəni.

Qayda 2.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirlər, sonra onların məhsulu eyni nöqtədə diferensiallana bilir

və

olanlar. İki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir.

Nəticə 1. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:

Nəticə 2. Bir neçə diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi hər bir amilin və bütün digərlərinin törəməsinin hasillərinin cəminə bərabərdir.

Məsələn, üç çarpan üçün:

Qayda 3.Əgər funksiyaları

müəyyən bir nöqtədə fərqlənə bilər Və , onda bu nöqtədə onların nisbəti də diferensiallaşıru/v , və

olanlar. iki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir ki, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın törəməsi və payın və məxrəcin törəməsi arasındakı fərqdir, məxrəc isə onun kvadratıdır. keçmiş say.

Başqa səhifələrdə şeyləri harada axtarmaq lazımdır

Həqiqi məsələlərdə məhsulun törəməsini və nisbətini taparkən həmişə eyni vaxtda bir neçə fərqləndirmə qaydasını tətbiq etmək lazımdır, ona görə də məqalədə bu törəmələrə dair daha çox nümunə var."Funksiyaların hasilinin və əmsalının törəməsi".

Şərh. Sabiti (yəni rəqəmi) cəmdəki terminlə sabit faktor kimi qarışdırmamalısınız! Termin halında onun törəməsi sıfıra bərabərdir, sabit əmsalda isə törəmələrin işarəsindən çıxarılır. Bu tipik səhv, bu, törəmələrin öyrənilməsinin ilkin mərhələsində baş verir, lakin orta tələbə bir və iki hissədən ibarət bir neçə nümunəni həll etdiyi üçün artıq bu səhvə yol vermir.

Bir məhsulu və ya əmsalı fərqləndirərkən bir termininiz varsa u"v, hansında u- bir ədəd, məsələn, 2 və ya 5, yəni sabit, onda bu ədədin törəməsi sıfıra bərabər olacaq və buna görə də bütün müddət sıfıra bərabər olacaqdır (bu hal 10-cu misalda müzakirə olunur).

Başqa bir ümumi səhv mürəkkəb funksiyanın törəməsinin sadə funksiyanın törəməsi kimi mexaniki yolla həll edilməsidir. Buna görə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ayrıca məqalə həsr olunub. Ancaq əvvəlcə törəmələri tapmağı öyrənəcəyik sadə funksiyalar.

Yolda, ifadələri dəyişdirmədən edə bilməzsiniz. Bunu etmək üçün təlimatı yeni pəncərələrdə açmalı ola bilərsiniz. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .

Güclü və köklü kəsrlərin törəmələrinin həlli yollarını axtarırsınızsa, yəni funksiya belə göründüyü zaman , sonra “Kəsrlərin cəmlərinin hədləri və kökləri olan törəməsi” dərsini izləyin.

kimi bir vəzifəniz varsa , sonra “Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri” dərsini keçəcəksiniz.

Addım-addım nümunələr - törəməni necə tapmaq olar

Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Funksiya ifadəsinin hissələrini müəyyənləşdiririk: bütün ifadə məhsulu təmsil edir və onun amilləri cəmidir, ikincisində isə şərtlərdən biri sabit amildən ibarətdir. Məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik: iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin digərinin törəməsi ilə hasillərinin cəminə bərabərdir:

Sonra cəminin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik: funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Bizim vəziyyətimizdə hər cəmdə ikinci hədd mənfi işarəyə malikdir. Hər bir cəmdə həm törəməsi birə bərabər olan müstəqil dəyişən, həm də törəməsi sıfıra bərabər olan sabit (ədəd) görürük. Beləliklə, “X” birinə, mənfi 5 isə sıfıra çevrilir. İkinci ifadədə "x" 2-yə vurulur, ona görə də ikisini "x"-in törəməsi ilə eyni vahidə vururuq. Aşağıdakı törəmə dəyərləri əldə edirik:

Tapılmış törəmələri hasillərin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan bütün funksiyanın törəməsini alırıq:

Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bizdən hissənin törəməsini tapmaq tələb olunur. Hissənin diferensiallaşdırılması düsturunu tətbiq edirik: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın və payın törəməsi və törəməsi arasındakı fərqdir. məxrəc, məxrəc isə əvvəlki payın kvadratıdır. Biz əldə edirik:

Artıq 2-ci misalda payda olan amillərin törəməsini tapmışıq. Onu da unutmayaq ki, indiki misaldakı payda ikinci amil olan hasil mənfi işarə ilə alınır:

Əgər siz köklərin və güclərin davamlı yığınının olduğu funksiyanın törəməsini tapmağınız lazım olan problemlərin həlli yollarını axtarırsınızsa, məsələn, , sonra sinifə xoş gəldiniz "Kəsrlərin gücü və kökləri olan cəminin törəməsi" .

Sinusların, kosinusların, tangenslərin və başqalarının törəmələri haqqında daha çox öyrənmək lazımdırsa triqonometrik funksiyalar, yəni funksiyanın göründüyü zaman , onda sizin üçün bir dərs "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" .

Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada faktorlarından biri müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hasil görürük, törəməsi ilə törəmələr cədvəlində tanış olduq. Məhsulu və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərini fərqləndirmək qaydasından istifadə edərək əldə edirik:

Misal 6. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada dividend müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan bir hissəni görürük. 4-cü misalda təkrar etdiyimiz və tətbiq etdiyimiz əmsalların diferensiallaşdırılması qaydasından və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərindən istifadə edərək əldə edirik:

Hissədə kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci ilə vurun.

Ərizə

Tələbələrin və məktəblilərin əhatə etdiyi materialı birləşdirmək üçün saytda törəmənin həlli. Onlayn problem həlli xidmətimizdən istifadə etsəniz, bir neçə saniyə ərzində funksiyanın törəməsinin hesablanması çətin görünmür. Üzərində hərtərəfli bir araşdırma üçün ətraflı təhlil gətirin praktiki dərs hər üçüncü tələbə bacaracaq. Tez-tez riyaziyyatın təbliği üçün müvafiq şöbənin şöbəsi təhsil müəssisələriölkələr. Bu halda, qapalı məkan üçün törəmənin onlayn həllini necə qeyd etməmək olar? nömrə ardıcıllığı. Bir çox varlı insanlara öz çaşqınlıqlarını ifadə etməyə icazə verilir. Amma bu arada riyaziyyatçılar bir yerdə oturmur və çox işləyirlər. Törəmə kalkulyatoru əsasən kubların enən mövqelərinin üstünlüyü səbəbindən xətti xüsusiyyətlərə əsaslanan giriş parametrlərində dəyişiklikləri qəbul edəcəkdir. Nəticə səth kimi qaçılmazdır. İlkin məlumat kimi, onlayn törəmə lazımsız addımlar atmaq ehtiyacını aradan qaldırır. Uydurma ev işlərindən başqa. Bundan əlavə, törəmələrin onlayn həlli zəruridir və mühüm aspekt riyaziyyatı öyrənən tələbələr çox vaxt keçmişdəki problemləri xatırlamırlar. Tələbə tənbəl məxluq olduğundan bunu başa düşür. Amma tələbələr gülməli insanlardır! Ya bunu qaydalara uyğun edin, ya da funksiyanın törəməsi meylli təyyarə maddi nöqtəyə sürət verə bilər. Aşağıya doğru fəza şüasının vektorunu harasa istiqamətləndirək. Tələb olunan cavabda törəmənin tapılması riyazi sistemin qeyri-sabitliyinə görə mücərrəd nəzəri istiqamət kimi görünür. Gəlin ədəd münasibətini istifadə olunmamış variantlar ardıcıllığı kimi düşünək. Rabitə kanalı kubun qapalı bifurkasiyası nöqtəsindən azalan vektor boyunca beşinci xətt ilə dolduruldu. Əyri fəzalar müstəvisində törəmənin onlayn həlli bizi keçən əsrdə planetin ən böyük ağıllarını bu barədə düşünməyə vadar edən bir nəticəyə gətirir. Riyaziyyat sahəsində keçirilən tədbirlərdə dəyişən seçimin mövqeyini yaxşılaşdırmağa kömək edən beş prinsipial mühüm amil ictimai müzakirəyə çıxarıldı. Beləliklə, bal qanunu bildirir ki, onlayn törəmə hər bir halda təfərrüatlı hesablanmır, yeganə istisna sadiq mütərəqqi məqamdır. Proqnoz bizi inkişafın yeni mərhələsinə çıxardı. Bizə nəticələr lazımdır. Səthin altından keçən riyazi yamacın xəttində rejim törəmə kalkulyatoru əyilmə dəstindəki məhsulların kəsişmə sahəsində yerləşir. Epsilon məhəlləsi yaxınlığındakı müstəqil nöqtədə funksiyanın diferensiasiyasını təhlil etmək qalır. Hər kəs bunu praktikada yoxlaya bilər. Nəticədə, proqramlaşdırmanın növbəti mərhələsində qərar veriləcək bir şey olacaq. Təcrübə olunan xəyali tədqiqatdan asılı olmayaraq tələbəyə həmişə olduğu kimi onlayn törəmə lazımdır. Məlum olub ki, törəmə onlaynın sabitə vurulan həlli maddi nöqtənin ümumi hərəkət istiqamətini dəyişmir, lakin düz xətt boyunca sürət artımını xarakterizə edir. Bu mənada, törəmə kalkulyatorumuzdan istifadə etmək və onun tərifinin bütün dəsti üzrə funksiyanın bütün dəyərlərini hesablamaq faydalı olacaq. Qravitasiya sahəsinin güc dalğalarını öyrənməyə ehtiyac yoxdur. Törəmələrin onlayn həlli heç bir halda çıxan şüanın meylini göstərməyəcək, ancaq nadir hallarda, bu həqiqətən zəruri olduqda, universitet tələbələri bunu təsəvvür edə bilərlər. Gəlin direktoru araşdıraq. Ən kiçik rotorun dəyəri proqnozlaşdırıla bilər. Topu təsvir edən sağa baxan xətlərin nəticəsini tətbiq edin, ancaq onlayn kalkulyator törəmələr, bu, xüsusi güc və qeyri-xətti asılılıq rəqəmləri üçün əsasdır. Riyaziyyat layihəsinin hesabatı hazırdır. Şəxsi xüsusiyyətlər: ən kiçik ədədlər və ordinat oxu boyunca bir funksiyanın törəməsi arasındakı fərq eyni funksiyanın konkavliyini hündürlüyə gətirəcəkdir. Bir istiqamət var - bir nəticə var. Nəzəriyyəni praktikada tətbiq etmək daha asandır. Tələbələrin təhsilin başlama vaxtı ilə bağlı təklifləri var. Müəllimin cavabı lazımdır. Yenə də, əvvəlki mövqedə olduğu kimi, riyazi sistem törəməni tapmağa kömək edəcək hərəkət əsasında tənzimlənmir. degenerasiya şərti qanun. Düsturların hesablanması ideyası yenicə irəli sürülüb. Funksiyanın xətti diferensiasiyası həllin həqiqətini sadəcə olaraq aidiyyatı olmayan müsbət variasiyaları tərtib etməyə yönəldir. Müqayisə işarələrinin əhəmiyyəti ox boyunca funksiyada davamlı fasilə kimi qiymətləndiriləcəkdir. Tələbənin fikrincə, onlayn törəmənin riyazi analizin sadiq nümunəsindən başqa bir şey olduğu ən şüurlu nəticənin əhəmiyyəti budur. Evklid fəzasındakı əyri dairənin radiusu, əksinə, törəmələrin kalkulyatoruna həlledici məsələlərin sabitlik üçün mübadiləsinin təbii təsvirini verdi. Ən yaxşı üsul tapıldı. Tapşırığı bir səviyyəyə qaldırmaq daha asan idi. Müstəqil fərq nisbətinin tətbiqi törəmələrin onlayn həllinə səbəb olsun. Həll absis oxu ətrafında fırlanır, dairənin fiqurunu təsvir edir. Çıxış yolu var və o, hər kəsin oxuduğu universitet tələbələrinin nəzəri cəhətdən dəstəklənən tədqiqatlarına əsaslanır və hətta həmin anlarda funksiyanın törəməsi var. Biz irəliləyiş üçün bir yol tapdıq və tələbələr bunu təsdiqlədilər. Riyazi sistemi çevirmək üçün qeyri-təbii yanaşmadan kənara çıxmadan törəməni tapa bilərik. Sol mütənasiblik işarəsi sonsuz ordinatda xətti amillərin naməlum şəraiti səbəbindən onlayn törəmə kalkulyatorun riyazi təsviri kimi həndəsi ardıcıllıqla böyüyür. Bütün dünyada riyaziyyatçılar istehsal prosesinin müstəsna xarakterini sübut etdilər. Nəzəriyyənin təsvirinə görə dairənin içərisində ən kiçik kvadrat var. Yenə də onlayn törəmə ilk növbədə nəzəri cəhətdən dəqiqləşdirilmiş rəyə nəyin təsir edə biləcəyi ilə bağlı fərziyyəmizi ətraflı şəkildə ifadə edəcəkdir. Təqdim etdiyimiz təhlil edilmiş hesabatdan fərqli xarakterli fikirlər var idi. Fakültələrimizin tələbələrinə xüsusi diqqət yetirilməsə də, ağıllı və texnoloji cəhətdən inkişaf etmiş riyaziyyatçılara deyil, funksiyanın diferensiallaşdırılması sadəcə bəhanədir. Törəmənin mexaniki mənası çox sadədir. Qaldırma qüvvəsi zamanla yuxarıya doğru enən sabit boşluqlar üçün onlayn törəmə kimi hesablanır. Aydındır ki, törəmə kalkulyator amorf bir cisim kimi süni çevrilmənin degenerasiya problemini təsvir etmək üçün ciddi bir prosesdir. Birinci törəmə maddi nöqtənin hərəkətindəki dəyişikliyi göstərir. Törəmələrin onlayn həlli üçün xüsusi hazırlanmış texnologiyalar kontekstində üçölçülü məkan açıq şəkildə müşahidə olunur, əslində bu, riyazi fənnin mövzusunda olan hər bir kollokviumda olur; İkinci törəmə maddi nöqtənin sürətinin dəyişməsini xarakterizə edir və sürətlənməni təyin edir. Meridian yanaşmasına əsaslanan afin çevrilmə istifadəsinə gətirib çıxarır yeni səviyyə bu funksiyanın təyin olunma sahəsindən bir nöqtədə funksiyanın törəməsi. Onlayn törəmə kalkulyator, tapşırıqdakı əşyaların dəyişdirilə bilən düzülüşünə əlavə olaraq, bəzi hallarda düzgün yerinə yetirilən məqama görə nömrələr və simvolik qeydlər olmadan mövcud ola bilməz. Təəccüblüdür ki, maddi nöqtənin ikinci sürətlənməsi var, bu, sürətlənmənin dəyişməsini xarakterizə edir; Qısa müddətdə biz törəmənin həllini onlayn öyrənməyə başlayacağıq, lakin bilikdə müəyyən bir mərhələyə çatan kimi tələbəmiz bu prosesi dayandıracaq. Ən yaxşı vasitəəlaqə yaratmaq riyazi mövzuda canlı ünsiyyətdir. Elə prinsiplər var ki, qarşıya qoyulan vəzifə nə qədər çətin olursa olsun, heç bir halda onları pozmaq olmaz. Törəməni vaxtında və səhvsiz onlayn tapmaq faydalıdır. Bu, riyazi ifadənin yeni mövqeyinə səbəb olacaqdır. Sistem stabildir. Törəmənin fiziki mənası mexaniki məna qədər məşhur deyil. Onlayn törəmənin absis oxuna bitişik üçbucaqdan normalda funksiyanın xətlərinin konturunu müstəvidə necə təfərrüatlı şəkildə göstərdiyini kimsə xatırlaya bilməz. İnsan ötən əsrin tədqiqatlarında böyük rola layiqdir. Funksiyanı üç elementar mərhələdə həm təyinetmə sahəsindən, həm də sonsuzluqda nöqtələrdə diferensiallayaq. Bu, yalnız tədqiqat sahəsində yazılı formada olacaq, lakin baş verənlər onlayn törəmə kalkulyatorunu problemlə birləşdirən kimi riyaziyyat və ədədlər nəzəriyyəsində əsas vektorun yerini tuta bilər. Səbəb olsaydı, tənlik yaratmağa səbəb olardı. Bütün giriş parametrlərini yadda saxlamaq çox vacibdir. Ən yaxşısı həmişə baş-başa qəbul edilmir. Bunun arxasında onlayn törəmənin kosmosda necə hesablandığını bilən çoxlu sayda ən yaxşı işləyən ağıllar dayanır. O vaxtdan qabarıqlıq davamlı funksiyanın xassəsi hesab olunur. Bununla belə, ilk növbədə mümkün olan ən qısa müddətdə törəmələri onlayn həll etmək vəzifəsini təyin etmək daha yaxşıdır. Beləliklə, həll tam olacaq. Yerinə yetirilməmiş standartlardan başqa, bu, yetərli sayılmır. Başlanğıcda, demək olar ki, hər bir tələbə funksiyanın törəməsinin mübahisəli artırma alqoritmini necə yaratdığına dair sadə bir üsul irəli sürməyi təklif edir. Yüksələn şüa istiqamətində. Bu kimi məna kəsb edir ümumi vəziyyət. Əvvəllər müəyyən bir tamamlanma başlanğıcı riyazi əməliyyat, amma bu gün əksinə olacaq. Ola bilsin ki, törəmənin onlayn həlli məsələni yenidən gündəmə gətirsin və biz müəllimlərin iclasında müzakirə zamanı onu qorumaq üçün ümumi rəy qəbul edək. Biz görüş iştirakçılarının hər tərəfdən anlaşmaya ümid edirik. Məntiqi məna, keçən əsrdə dünyanın böyük alimləri tərəfindən cavablandırılan problemin düşüncəsinin təqdim edilməsi ardıcıllığı haqqında rəqəmlərin rezonansında törəmə kalkulyatorun təsvirindədir. Bu, transformasiya edilmiş ifadədən mürəkkəb dəyişən çıxarmağa və eyni tipli kütləvi hərəkəti yerinə yetirmək üçün onlayn törəməni tapmağa kömək edəcək. Həqiqət təxminlərdən qat-qat yaxşıdır. Ən aşağı dəyər trenddə. Dəqiq təyin etmək üçün unikal xidmətdən istifadə edərkən nəticə uzun sürməyəcək, bunun üçün onlayn törəmənin mahiyyəti ətraflı şəkildə mövcuddur. Dolayı yolla, lakin bir müdrik insanın dediyi kimi, ittifaqın müxtəlif şəhərlərindən bir çox tələbənin istəyi ilə onlayn törəmələrin kalkulyatoru yaradılmışdır. Əgər fərq varsa, niyə iki dəfə qərar verin. Verilmiş vektor normal ilə eyni tərəfdə yerləşir. Keçən əsrin ortalarında funksiyanın diferensiallaşdırılması indiki kimi qətiyyən dərk olunmurdu. Davam edən inkişaflar sayəsində onlayn riyaziyyat ortaya çıxdı. Zaman keçdikcə tələbələr riyaziyyat fənlərinə lazımi kredit verməyi unudurlar. Törəmənin onlayn həlli praktiki biliklərlə dəstəklənən nəzəriyyənin tətbiqinə əsaslanan tezisimizə haqlı olaraq etiraz edəcəkdir. O, təqdimat faktorunun mövcud dəyərindən kənara çıxacaq və biz funksiya üçün düsturu açıq formada yazacağıq. Belə olur ki, heç bir kalkulyatordan istifadə etmədən dərhal onlayn törəmə tapmaq lazımdır, lakin siz həmişə tələbənin hiyləsinə müraciət edə və hələ də veb sayt kimi xidmətdən istifadə edə bilərsiniz. Beləliklə, şagird nümunələri kobud dəftərdən yekun formaya köçürməyə çox vaxt qənaət etmiş olacaq. Heç bir ziddiyyət yoxdursa, xidmətdən istifadə edin addım-addım həll belə mürəkkəb nümunələr.

Əgər tərifə əməl etsəniz, onda bir nöqtədə funksiyanın törəməsi Δ funksiyasının artımının nisbətinin həddidir. y arqument artımına Δ x:

Hər şey aydın görünür. Lakin, məsələn, funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün bu düsturdan istifadə etməyə çalışın f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Hər şeyi təriflə etsəniz, bir neçə səhifəlik hesablamalardan sonra sadəcə yuxuya düşəcəksiniz. Buna görə daha sadə və daha təsirli yollar var.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, bütün müxtəlif funksiyalardan elementar funksiyaları ayırd edə bilərik. Bunlar nisbətən sadə ifadələrdir, törəmələri çoxdan hesablanmış və cədvəl şəklində verilmişdir. Bu cür funksiyaları xatırlamaq olduqca asandır - törəmələri ilə birlikdə.

Elementar funksiyaların törəmələri

Elementar funksiyalar aşağıda sadalananların hamısıdır. Bu funksiyaların törəmələri əzbərdən bilinməlidir. Üstəlik, onları yadda saxlamaq heç də çətin deyil - buna görə də onlar elementardırlar.

Beləliklə, elementar funksiyaların törəmələri:

ad	Funksiya	törəmə
Daimi	f(x) = C, C ∈ R	0 (bəli, sıfır!)
Rasional göstərici ilə güc	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = günah x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	-günah x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/günah 2 x
Təbii loqarifm	f(x) = log x	1/x
İxtiyari loqarifm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponensial funksiya	f(x) = e x	e x(heç nə dəyişməyib)

Elementar funksiya ixtiyari sabitə vurularsa, yeni funksiyanın törəməsi də asanlıqla hesablanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Ümumiyyətlə, sabitləri törəmə işarəsindən çıxarmaq olar. Məsələn:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Aydındır ki, elementar funksiyalar bir-birinə əlavə edilə bilər, vurula bilər, bölünə bilər - və daha çox. Artıq xüsusilə elementar deyil, həm də müəyyən qaydalara görə fərqlənən yeni funksiyalar belə görünəcək. Bu qaydalar aşağıda müzakirə olunur.

Cəm və fərqin törəməsi

Funksiyalar verilsin f(x) Və g(x), törəmələri bizə məlum olan. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Məsələn, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də fərq f − g cəmi kimi yenidən yazmaq olar f+ (−1) g, və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.

f(x) = x 2 + günah x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın cəmidir, buna görə də:

f ’(x) = (x 2 + günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cos x;

Funksiya üçün də oxşar səbəblər veririk g(x). Yalnız üç termin var (cəbr baxımından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cavab:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Məhsulun törəməsi

Riyaziyyat məntiqi bir elmdir, ona görə də bir çox insan hesab edir ki, əgər cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdirsə, məhsulun törəməsi zərbə">törəmələrin hasilinə bərabərdir. Amma sizi incidir! Məhsulun törəməsi tamamilə fərqli bir düsturla hesablanır. Yəni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula sadədir, lakin çox vaxt unudulur. Həm də təkcə məktəblilər deyil, həm də tələbələr. Nəticə problemlərin düzgün həll edilməməsidir.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın məhsuludur, ona görə də hər şey sadədir:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−günah x) = x 2 (3 cos x − x günah x)

Funksiya g(x) birinci amil bir az daha mürəkkəbdir, lakin ümumi sxem bu dəyişmir. Aydındır ki, funksiyanın birinci amili g(x) çoxhədlidir və onun törəməsi cəminin törəməsidir. Bizdə:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cavab:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Nəzərə alın ki, son mərhələdə törəmə faktorlara bölünür. Formal olaraq bunu etmək lazım deyil, lakin törəmələrin çoxu öz-özünə hesablanmır, funksiyanı araşdırmaq üçün hesablanır. Bu o deməkdir ki, bundan sonra törəmə sıfıra bərabərləşdiriləcək, onun əlamətləri müəyyən ediləcək və s. Belə bir hal üçün ifadənin faktorlara bölünməsi daha yaxşıdır.

İki funksiya varsa f(x) Və g(x), və g(x) ≠ 0 bizi maraqlandıran çoxluqda yeni funksiya təyin edə bilərik h(x) = f(x)/g(x). Belə bir funksiya üçün törəməni də tapa bilərsiniz:

Zəif deyil, hə? Minus haradan gəldi? Niyə g 2? Və beləliklə! Bu, ən mürəkkəb düsturlardan biridir - bir şüşə olmadan başa düşə bilməzsiniz. Ona görə də onun üzərində öyrənmək daha yaxşıdır konkret misallar.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

Hər kəsrin payı və məxrəci elementar funksiyaları ehtiva edir, ona görə də bizə lazım olan tək şey hissənin törəməsi üçün düsturdur:

Ənənəyə görə, rəqəmi faktorlara ayıraq - bu cavabı çox sadələşdirəcək:

Mürəkkəb bir funksiya mütləq yarım kilometr uzunluğunda bir düstur deyil. Məsələn, funksiyanı götürmək kifayətdir f(x) = günah x və dəyişəni əvəz edin x, deyin, açıq x 2 + ln x. Bu nəticə verəcək f(x) = günah ( x 2 + ln x) - bu mürəkkəb funksiyadır. Onun da törəməsi var, lakin yuxarıda müzakirə olunan qaydalardan istifadə edərək onu tapmaq mümkün olmayacaq.

Mən nə etməliyəm? Belə hallarda mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün dəyişən və düsturun dəyişdirilməsi kömək edir:

f ’(x) = f ’(t) · t', Əgər x ilə əvəz olunur t(x).

Bir qayda olaraq, bu düsturun başa düşülməsi ilə bağlı vəziyyət bölmənin törəməsi ilə müqayisədə daha kədərlidir. Ona görə də konkret misallarla, ilə izah etmək daha yaxşıdır ətraflı təsviri hər addım.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2 + ln x)

Qeyd edək ki, əgər funksiyadadırsa f(x) ifadə 2 əvəzinə x+ 3 asan olacaq x, onda elementar funksiya alırıq f(x) = e x. Buna görə də bir əvəz edirik: qoy 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Düsturdan istifadə edərək mürəkkəb funksiyanın törəməsini axtarırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

İndi - diqqət! Biz tərs dəyişdirmə həyata keçiririk: t = 2x+ 3. Alırıq:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

İndi funksiyaya baxaq g(x). Aydındır ki, onu dəyişdirmək lazımdır x 2 + ln x = t. Bizdə:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = cos t · t ’

Əks dəyişdirmə: t = x 2 + ln x. Sonra:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Budur! Sonuncu ifadədən göründüyü kimi, bütün problem törəmə cəminin hesablanmasına qədər azaldılıb.

Cavab:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünki ( x 2 + ln x).

Çox vaxt dərslərimdə “törəmə” ifadəsi əvəzinə “əsas” sözünü işlədirəm. Məsələn, məbləğdən bir əsas məbləğinə bərabərdir vuruşlar. Bu daha aydındır? Yaxşı, bu yaxşıdır.

Beləliklə, törəmənin hesablanması yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq eyni vuruşlardan xilas olmaq üçün gəlir. Son nümunə olaraq, rasional göstərici ilə törəmə gücə qayıdaq:

(x n)’ = n · x n − 1

Bunu rolda az adam bilir n kəsr sayı ola bilər. Məsələn, kök x 0.5. Kökün altında zərif bir şey varsa nə olacaq? Yenə də nəticə mürəkkəb bir funksiya olacaq - onlar bu cür konstruksiyalar verməyi sevirlər testlər və imtahanlar.

Tapşırıq. Funksiyanın törəməsini tapın:

Əvvəlcə kökü rasional göstərici ilə bir güc kimi yenidən yazaq:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

İndi bir əvəz edirik: icazə verin x 2 + 8x − 7 = t. Düsturdan istifadə edərək törəməni tapırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Əks əvəzi edək: t = x 2 + 8x− 7. Bizdə:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nəhayət, köklərə qayıdaq:

Törəmə hesablamalarına tez-tez rast gəlinir Vahid dövlət imtahan tapşırıqları. Bu səhifədə törəmələri tapmaq üçün düsturların siyahısı var.

Fərqləndirmə qaydaları

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Əgər y=F(u) və u=u(x) olarsa, y=f(x)=F(u(x)) funksiyası x-in kompleks funksiyası adlanır. y′(x)=Fu′⋅ ux′-a bərabərdir.
5. Gizli funksiyanın törəməsi. F(x,f(x))≡0 olarsa, y=f(x) funksiyası F(x,y)=0 münasibəti ilə təyin olunan gizli funksiya adlanır.
6. Tərs funksiyanın törəməsi. Əgər g(f(x))=x olarsa, g(x) funksiyası y=f(x) funksiyasının tərs funksiyası adlanır.
7. Parametrli təyin olunmuş funksiyanın törəməsi. x və y t dəyişəninin funksiyaları kimi təyin olunsun: x=x(t), y=y(t). Deyirlər ki, y=y(x) x∈ (a;b) intervalında parametrik təyin olunmuş funksiyadır, əgər bu intervalda x=x(t) tənliyini t=t(x) və funksiyası ilə ifadə etmək olarsa. y=y( t(x))=y(x).
8. Qüdrət-eksponensial funksiyanın törəməsi. Təbii loqarifmin əsasına loqarifmləri götürməklə tapılır.

Linki yadda saxlamağınızı məsləhət görürük, çünki bu cədvəl dəfələrlə lazım ola bilər.
Tarix: 05/10/2015

Törəməni necə tapmaq olar?

Fərqləndirmə qaydaları.

Hər hansı bir funksiyanın törəməsini tapmaq üçün yalnız üç anlayışı mənimsəmək lazımdır:

2. Diferensiasiya qaydaları.

3. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

Məhz bu qaydada. Bu bir işarədir.)

Təbii ki, ümumiyyətlə törəmələr haqqında fikir sahibi olmaq yaxşı olardı). Törəmə nədir və törəmələr cədvəli ilə necə işləmək əvvəlki dərsdə aydın şəkildə izah edilmişdir. Burada fərqləndirmə qaydaları ilə məşğul olacağıq.

Fərqləndirmə törəmənin tapılması əməliyyatıdır. Bu terminin arxasında daha gizli bir şey yoxdur. Bunlar. ifadələr "funksiyanın törəməsini tapın" Və "funksiyanı fərqləndirmək"- eyni şeydir.

İfadə "diferensiallaşdırma qaydaları" törəmənin tapılmasına aiddir arifmetik əməliyyatlardan. Bu anlayış başınızdakı qarışıqlığın qarşısını almağa çox kömək edir.

Bütün, hamısını, bütün hesab əməliyyatlarını cəmləyək və xatırlayaq. Onlardan dördü var). Toplama (cəm), çıxma (fərq), vurma (məhsul) və bölmə (bölmə). Budur, fərqləndirmə qaydaları:

Plitə göstərir beş haqqında qaydalar dörd arifmetik əməliyyatlar. Qısa dəyişiklik etmədim.) Sadəcə olaraq 4-cü qayda 3-cü qaydanın elementar nəticəsidir. Amma o qədər məşhurdur ki, onu müstəqil düstur kimi yazmaq (və yadda saxlamaq!) mənasızdır.

Təyinatlar altında U Və V bəzi (tamamilə hər hansı!) funksiyalar nəzərdə tutulur U(x) Və V(x).

Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq. Birincisi - ən sadələri.

y=sinx - x 2 funksiyasının törəməsini tapın

Budur bizdə fərq iki elementar funksiya. Biz 2-ci qaydanı tətbiq edirik. Sinx-in funksiya olduğunu fərz edəcəyik U, və x 2 funksiyadır V. Yazmağa tam hüququmuz var:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Bu daha yaxşıdır, elə deyilmi?) Qalır ki, sinusun törəmələrini və x-in kvadratını tapmaqdır. Bunun üçün törəmələr cədvəli var. Biz sadəcə cədvəldə bizə lazım olan funksiyaları axtarırıq ( sinx Və x 2), onların hansı törəmələri olduğuna baxın və cavabı yazın:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

bu qədər. Məbləğin diferensiallaşdırılmasının 1-ci qaydası tam olaraq eyni işləyir.

Bir neçə şərtimiz olsa nə olar? Problem yoxdur.) Biz funksiyanı şərtlərə bölürük və digərlərindən asılı olmayaraq hər bir terminin törəməsini axtarırıq. Məsələn:

y=sinx - x 2 +cosx - x +3 funksiyasının törəməsini tapın

Cəsarətlə yazırıq:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3))"

Dərsin sonunda fərqləndirmə zamanı həyatı asanlaşdırmaq üçün məsləhətlər verəcəyəm.)

Praktik məsləhət:

1. Fərqləndirmədən əvvəl orijinal funksiyanı sadələşdirməyin mümkün olub-olmadığına baxın.

2. Mürəkkəb nümunələrdə həlli bütün mötərizə və tirelərlə ətraflı təsvir edirik.

3. Məxrəcində sabit ədədi olan kəsrləri diferensiallaşdırarkən bölməni vurmaya çeviririk və 4-cü qaydadan istifadə edirik.