EntrataFormula d in progressione aritmetica. Progressione aritmetica
Problemi sulla progressione aritmetica esistevano già nell'antichità. Sono comparsi e hanno chiesto una soluzione perché avevano un bisogno pratico.
Così, in uno dei papiri dell'Antico Egitto, che ha contenuto matematico, - il papiro Rhind (XIX secolo a.C.) - contiene il seguente compito: dividere dieci misure di pane tra dieci persone, a condizione che la differenza tra ciascuna di esse sia un ottavo della misura.
E nelle opere matematiche degli antichi greci si trovano eleganti teoremi legati alla progressione aritmetica. Così, Ipsicle di Alessandria (II secolo, che compilò molti problemi interessanti e aggiunse il quattordicesimo libro agli Elementi di Euclide), formulò l'idea: “In una progressione aritmetica che ha un numero pari di termini, la somma dei termini della 2a metà è maggiore della somma dei termini del 1° sul quadrato 1/2 numeri di membri."
La sequenza è indicata con un. I numeri di una sequenza sono chiamati i suoi membri e sono solitamente indicati da lettere con indici che indicano numero di serie questo membro (a1, a2, a3...si legge: “un 1°”, “un 2°”, “un 3°” e così via).
La sequenza può essere infinita o finita.
Che cos'è progressione aritmetica? Con esso si intende quello ottenuto sommando il termine precedente (n) con lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.
Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, allora questa progressione è considerata crescente.
Una progressione aritmetica si dice finita se si prendono in considerazione solo i suoi primi termini. A molto grandi quantità membri è già una progressione infinita.
Qualsiasi progressione aritmetica è definita dalla seguente formula:
an =kn+b, dove b e k sono alcuni numeri.
È assolutamente vera l'affermazione opposta: se una sequenza è data da una formula simile, allora è esattamente una progressione aritmetica che ha le proprietà:
- Ogni termine della progressione è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo.
- Inversa: se, a partire dal 2°, ogni termine è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo, cioè se la condizione è soddisfatta, questa sequenza è una progressione aritmetica. Questa uguaglianza è allo stesso tempo un segno di progressione, quindi viene solitamente chiamata una proprietà caratteristica della progressione.
Allo stesso modo è vero il teorema che riflette questa proprietà: una successione è una progressione aritmetica solo se questa uguaglianza è vera per uno qualsiasi dei termini della successione, a cominciare dal 2°.
La proprietà caratteristica di quattro numeri qualsiasi di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula an + am = ak + al, se n + m = k + l (m, n, k sono numeri di progressione).
In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (N-esimo) può essere trovato utilizzando la seguente formula:
Ad esempio: il primo termine (a1) in una progressione aritmetica è dato e pari a tre, e la differenza (d) è pari a quattro. Devi trovare il quarantacinquesimo termine di questa progressione. a45 = 1+4(45-1)=177
La formula an = ak + d(n - k) ci permette di determinare ennesimo termine una progressione aritmetica attraverso uno qualsiasi dei suoi termini k-esimi, purché sia noto.
Si calcola la somma dei termini di una progressione aritmetica (ovvero i primi n termini di una progressione finita) come segue:
Sn = (a1+an) n/2.
Se è noto anche il primo termine, per il calcolo è conveniente un'altra formula:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
La somma di una progressione aritmetica che contiene n termini si calcola come segue:
La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni dei problemi e dai dati iniziali.
Serie naturali di qualsiasi numero, ad esempio 1,2,3,...,n,...- esempio più semplice progressione aritmetica.
Oltre alla progressione aritmetica esiste anche una progressione geometrica, che ha le sue proprietà e caratteristiche.
Somma di una progressione aritmetica.
La somma di una progressione aritmetica è una cosa semplice. Sia nel significato che nella formula. Ma ci sono tutti i tipi di compiti su questo argomento. Da semplice a abbastanza solido.
Innanzitutto, comprendiamo il significato e la formula dell'importo. E poi decideremo. Per il tuo piacere.) Il significato dell'importo è semplice come un muggito. Per trovare la somma di una progressione aritmetica basta sommare con attenzione tutti i suoi termini. Se questi termini sono pochi, puoi aggiungerli senza alcuna formula. Ma se c'è molto, o molto... l'addizione è fastidiosa.) In questo caso la formula viene in soccorso.
La formula per l'importo è semplice:
Scopriamo che tipo di lettere sono incluse nella formula. Questo chiarirà molto le cose.
S n - la somma di una progressione aritmetica. Risultato dell'addizione tutti membri, con Primo Di scorso. Questo è importante. Si sommano esattamente Tutto membri di fila, senza saltare o saltare. E, appunto, a partire da Primo. In problemi come trovare la somma del terzo e dell'ottavo termine, o la somma del quinto e del ventesimo termine, l'applicazione diretta della formula sarà deludente.)
un 1 - Primo membro della progressione. Qui è tutto chiaro, è semplice Primo numero di riga.
UN- scorso membro della progressione. L'ultimo numero della serie. Non è un nome molto familiare, ma se applicato all’importo è molto adatto. Allora lo vedrai tu stesso.
N - numero dell'ultimo membro. È importante capire che nella formula questo numero coincide con il numero di termini aggiunti.
Definiamo il concetto scorso membro UN. Domanda complicata: quale membro sarà l'ultimo se dato infinito progressione aritmetica?)
Per rispondere con sicurezza è necessario comprendere il significato elementare della progressione aritmetica e... leggere attentamente il compito!)
Nel compito di trovare la somma di una progressione aritmetica, l'ultimo termine compare sempre (direttamente o indirettamente), che dovrebbe essere limitato. Altrimenti, un importo finale e specifico semplicemente non esiste. Per la soluzione non importa se la progressione è data: finita o infinita. Non importa come viene dato: una serie di numeri o una formula per l'ennesimo termine.
La cosa più importante è capire che la formula funziona dal primo termine della progressione fino al termine con numero N. In realtà, il nome completo della formula è simile al seguente: la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Il numero di questi primissimi membri, cioè N, è determinato esclusivamente dal compito. In un'attività, tutte queste preziose informazioni sono spesso crittografate, sì... Ma non importa, negli esempi seguenti sveliamo questi segreti.)
Esempi di compiti per la somma di una progressione aritmetica.
Prima di tutto, informazioni utili:
La principale difficoltà nei compiti che comportano la somma di una progressione aritmetica risiede nella corretta determinazione degli elementi della formula.
Gli autori dei compiti crittografano proprio questi elementi con un'immaginazione illimitata.) La cosa principale qui è non avere paura. Comprendendo l'essenza degli elementi, è sufficiente decifrarli semplicemente. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio. Cominciamo con un compito basato su un vero GIA.
1. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a n = 2n-3.5. Trova la somma dei suoi primi 10 termini.
Buon lavoro. Facile.) Per determinare l'importo utilizzando la formula, cosa dobbiamo sapere? Primo membro un 1, ultimo trimestre UN, sì, il numero dell'ultimo membro N.
Dove posso trovare il numero dell'ultimo membro? N? Sì, proprio lì, a condizione! Dice: trova la somma primi 10 membri. Bene, con che numero sarà? scorso, decimo membro?) Non ci crederai, il suo numero è decimo!) Pertanto, invece di UN Sostituiremo nella formula un 10, e invece N- dieci. Ripeto, il numero dell'ultimo membro coincide con il numero dei soci.
Resta da determinare un 1 E un 10. Questo può essere facilmente calcolato utilizzando la formula per l'ennesimo termine, fornita nella dichiarazione del problema. Non sai come farlo? Frequenta la lezione precedente, senza questa non c'è modo.
un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S10.
Abbiamo scoperto il significato di tutti gli elementi della formula per la somma di una progressione aritmetica. Non resta che sostituirli e contare:
Questo è tutto. Risposta: 75.
Un altro compito basato sul GIA. Un po' più complicato:
2. Data una progressione aritmetica (a n), la cui differenza è 3,7; a1 =2,3. Trova la somma dei suoi primi 15 termini.
Scriviamo subito la formula della somma:
Questa formula ci consente di trovare il valore di qualsiasi termine in base al suo numero. Cerchiamo una semplice sostituzione:
un 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Resta da sostituire tutti gli elementi della formula con la somma di una progressione aritmetica e calcolare la risposta:
Risposta: 423.
A proposito, se nella formula della somma invece di UN Sostituiamo semplicemente la formula all'ennesimo termine e otteniamo:
Presentiamone di simili e otteniamo una nuova formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica:
 |
Come puoi vedere, l'ennesimo termine non è richiesto qui UN. In alcuni problemi questa formula aiuta molto, sì... Puoi ricordare questa formula. Oppure puoi semplicemente visualizzarlo al momento giusto, come qui. Dopotutto, devi sempre ricordare la formula per la somma e la formula per l'ennesimo termine.)
Ora il compito sotto forma di una breve crittografia):
3. Trova la somma di tutti i positivi numeri a doppia cifra, multipli di tre.
Oh! Né il tuo primo membro, né l'ultimo, né alcuna progressione... Come vivere!?
Dovrai pensare con la tua testa ed estrarre dalla condizione tutti gli elementi della somma della progressione aritmetica. Sappiamo cosa sono i numeri a due cifre. Sono costituiti da due numeri.) Quale sarà il numero a due cifre Primo? 10, presumibilmente.) A scorso numero a doppia cifra? 99, ovviamente! Quelli a tre cifre lo seguiranno...
Multipli di tre... Hm... Questi sono i numeri divisibili per tre, ecco! Dieci non è divisibile per tre, 11 non è divisibile... 12... è divisibile! Dunque, qualcosa sta emergendo. Puoi già scrivere una serie in base alle condizioni del problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Questa serie sarà una progressione aritmetica? Certamente! Ogni termine differisce dal precedente rigorosamente per tre. Se aggiungi 2 o 4 a un termine, ad esempio, il risultato, ad es. il nuovo numero non è più divisibile per 3. Puoi determinare immediatamente la differenza della progressione aritmetica: d = 3. Tornerà utile!)
Quindi, possiamo tranquillamente annotare alcuni parametri di progressione:
Quale sarà il numero? N ultimo membro? Chi pensa che 99 si sbaglia di grosso... I numeri vanno sempre in fila, ma i nostri membri saltano sopra il tre. Non corrispondono.
Ci sono due soluzioni qui. Un modo è per i super laboriosi. Puoi scrivere la progressione, l'intera serie di numeri e contare il numero dei membri con il dito.) Il secondo modo è per i riflessivi. Devi ricordare la formula per l'ennesimo termine. Se applichiamo la formula al nostro problema, troviamo che 99 è il trentesimo termine della progressione. Quelli. n = 30.
Diamo un'occhiata alla formula per la somma di una progressione aritmetica:
Guardiamo e ci rallegriamo.) Abbiamo estratto dalla dichiarazione del problema tutto il necessario per calcolare l'importo:
un 1= 12.
un 30= 99.
S n = S30.
Tutto ciò che resta è l'aritmetica elementare. Sostituiamo i numeri nella formula e calcoliamo:
Risposta: 1665
Un altro tipo di puzzle popolare:
4. Data una progressione aritmetica:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Trova la somma dei termini dal ventesimo al trentaquattro.
Guardiamo la formula per l'importo e... ci arrabbiamo.) La formula, lasciatemelo ricordare, calcola l'importo dal primo membro. E nel problema devi calcolare la somma dal ventesimo... La formula non funzionerà.
Ovviamente puoi scrivere l'intera progressione in una serie e aggiungere termini da 20 a 34. Ma... è in qualche modo stupido e richiede molto tempo, giusto?)
Esiste una soluzione più elegante. Dividiamo la nostra serie in due parti. La prima parte sarà dal primo mandato al diciannovesimo. Seconda parte - dai venti ai trentaquattro.È chiaro che se calcoliamo la somma dei termini della prima parte S 1-19, aggiungiamolo con la somma dei termini della seconda parte S 20-34, si ottiene la somma della progressione dal primo termine al trentaquattresimo S 1-34. In questo modo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Da questo possiamo vedere che trovi la somma S 20-34 può essere fatto mediante una semplice sottrazione
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Vengono considerati entrambi gli importi sul lato destro dal primo membro, cioè la formula della somma standard è del tutto applicabile a loro. Cominciamo?
Estraiamo i parametri di progressione dalla dichiarazione del problema:
d = 1,5.
un 1= -21,5.
Per calcolare la somma dei primi 19 e dei primi 34 termini, avremo bisogno del 19° e del 34° termine. Li calcoliamo utilizzando la formula per l'ennesimo termine, come nel problema 2:
un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Non è rimasto niente. Dalla somma di 34 termini sottrai la somma di 19 termini:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Risposta: 262,5
Una nota importante! C'è un trucco molto utile per risolvere questo problema. Invece del calcolo diretto di cosa hai bisogno (S 20-34), abbiamo contato qualcosa che sembrerebbe non necessario - S 1-19. E poi hanno deciso S 20-34, scartando il superfluo dal risultato completo. Questo tipo di “finta con le orecchie” spesso ti salva da problemi malvagi.)
In questa lezione abbiamo affrontato problemi per i quali è sufficiente comprendere il significato della somma di una progressione aritmetica. Bene, devi conoscere un paio di formule.)
Quando risolvi qualsiasi problema che coinvolga la somma di una progressione aritmetica, consiglio di scrivere immediatamente le due formule principali di questo argomento.
Formula per l'ennesimo termine:
Queste formule ti diranno immediatamente cosa cercare e in quale direzione pensare per risolvere il problema. Aiuta.
E ora i compiti per una soluzione indipendente.
5. Trova la somma di tutti i numeri a due cifre che non sono divisibili per tre.
Bello?) Il suggerimento è nascosto nella nota al problema 4. Bene, il problema 3 aiuterà.
6. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a 1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova la somma dei suoi primi 24 termini.
Insolito?) Questa è una formula ricorrente. Puoi leggerlo nella lezione precedente. Non ignorare il collegamento, tali problemi si riscontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.
7. Vasya ha risparmiato soldi per le vacanze. Fino a 4550 rubli! E ho deciso di regalare alla mia persona preferita (me stesso) qualche giorno di felicità). Vivi magnificamente senza negarti nulla. Spendi 500 rubli il primo giorno e ogni giorno successivo spendi 50 rubli in più rispetto al precedente! Fino a quando non finiscono i soldi. Quanti giorni di felicità ha avuto Vasya?
Difficile?) Una formula aggiuntiva del problema 2 aiuterà.
Risposte (allo sbando): 7, 3240, 6.
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Livello base
Progressione aritmetica. Teoria dettagliata con esempi (2019)
Sequenza numerica
Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi (nel nostro caso ce ne sono). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale è il primo, quale è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:
Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:
Il numero assegnato è specifico per un solo numero nella sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il numero 10) è sempre lo stesso.
Il numero con numero è chiamato l'esimo termine della sequenza.
Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .
Nel nostro caso: 
Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio: 
ecc.
Questa sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progressione" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in un senso più ampio come una sequenza numerica infinita. Il nome "aritmetica" è stato trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, studiata dagli antichi greci.
Questa è una sequenza numerica, ciascun membro della quale è uguale al precedente sommato allo stesso numero. Questo numero è chiamato differenza di una progressione aritmetica ed è designato.
Prova a determinare quali sequenze numeriche sono una progressione aritmetica e quali no:
UN)
B)
C)
D)
Fatto? Confrontiamo le nostre risposte:
È progressione aritmetica - b, c.
Non lo è progressione aritmetica - a, d.
Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo-esimo termine. Esiste due modo per trovarlo.
1. Metodo
Possiamo aggiungere il numero di progressione al valore precedente fino a raggiungere il trentesimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere: solo tre valori:
Quindi, l'esimo termine della progressione aritmetica descritta è uguale a.
2. Metodo
E se volessimo trovare il valore dell'esimo termine della progressione? La somma richiederebbe più di un'ora e non è un dato di fatto che non commetteremo errori nell'addizione dei numeri.
Naturalmente i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Dai un'occhiata più da vicino all'immagine disegnata... Sicuramente hai già notato un certo schema, vale a dire:
Vediamo ad esempio in cosa consiste il valore dell’esimo termine di questa progressione aritmetica: 
In altre parole:
Prova a trovare tu stesso il valore di un membro di una determinata progressione aritmetica in questo modo.
Hai calcolato? Confronta i tuoi appunti con la risposta:
Tieni presente che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto in sequenza i termini della progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a "spersonalizzare" questa formula- Portiamola qui visione generale e otteniamo:
|
Equazione di progressione aritmetica. |
Le progressioni aritmetiche possono essere crescenti o decrescenti.
In aumento- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:
Discendente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è inferiore al precedente.
Per esempio:
La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Controlliamolo in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri: Controlliamo quale sarà l'esimo numero di questa progressione aritmetica se utilizziamo la nostra formula per calcolarla:
Da allora:
Pertanto, siamo convinti che la formula operi sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare tu stesso l'esimo e l'esimo termine di questa progressione aritmetica.
Confrontiamo i risultati:
Proprietà di progressione aritmetica
Complichiamo il problema: ricaveremo la proprietà della progressione aritmetica.
Diciamo che ci viene data la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trova il valore.
Facile, dici e inizi a contare secondo la formula che già conosci:
Lasciamo, ah, allora:
Assolutamente vero. Si scopre che prima troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da piccoli valori, non c'è nulla di complicato in questo, ma cosa succede se nella condizione ci vengono forniti dei numeri? D'accordo, c'è la possibilità di commettere un errore nei calcoli.
Ora pensa se è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio utilizzando qualsiasi formula? Naturalmente sì, ed è quello che cercheremo di far emergere adesso.
Indichiamo il termine richiesto della progressione aritmetica come, la formula per trovarlo ci è nota - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, Poi:
- il termine precedente della progressione è:
- il termine successivo della progressione è:
Riassumiamo i termini precedenti e successivi della progressione:
Risulta che la somma dei termini precedente e successivo della progressione è il doppio valore del termine di progressione situato tra di loro. In altre parole, per trovare il valore di un termine di progressione con valori precedenti e successivi noti, è necessario sommarli e dividere per.
Esatto, abbiamo lo stesso numero. Mettiamo al sicuro il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, non è affatto difficile.
Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula che, secondo la leggenda, fu facilmente dedotta da uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Carl Gauss...
Quando Carl Gauss aveva 9 anni, un insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti delle altre classi, pose in classe il seguente problema: “Calcola la somma di tutti numeri naturali da a (secondo altre fonti fino a) compreso.” Immaginate la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) un minuto dopo diede la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario, dopo lunghi calcoli, ricevettero il risultato sbagliato...
Il giovane Carl Gauss notò un certo schema che puoi facilmente notare anche tu.
Diciamo di avere una progressione aritmetica composta da -esimi termini: dobbiamo trovare la somma di questi termini della progressione aritmetica. Naturalmente possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma cosa succede se il compito richiede di trovare la somma dei suoi termini, come cercava Gauss?
Descriviamo la progressione che ci è stata data. Osserva da vicino i numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi. 
L'hai provato? Cosa hai notato? Giusto! Le loro somme sono uguali
Ora dimmi, quante coppie di questo tipo ci sono in totale nella progressione che ci è stata data? Naturalmente, esattamente la metà di tutti i numeri.
Basandosi sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e le coppie simili sono uguali, otteniamo che la somma totale è pari a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:
In alcuni problemi non conosciamo l'esimo termine, ma conosciamo la differenza della progressione. Prova a sostituire la formula dell'esimo termine nella formula della somma.
Cosa hai ottenuto?
Ben fatto! Ora torniamo al problema posto a Carl Gauss: calcola tu stesso a cosa è uguale la somma dei numeri che iniziano dal th e la somma dei numeri che iniziano dal th.
Quanto hai ottenuto?
Gauss scoprì che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È questo che hai deciso?
In effetti, la formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica fu dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel III secolo e durante tutto questo tempo le persone spiritose sfruttarono appieno le proprietà della progressione aritmetica.
Ad esempio, immagina l'Antico Egitto e il più grande progetto di costruzione di quel tempo: la costruzione di una piramide... L'immagine ne mostra un lato. 
Dov'è la progressione qui, dici? Osserva attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ciascuna fila del muro della piramide. 
Perché non una progressione aritmetica? Calcola quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i mattoni sono posizionati alla base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto quello che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?
In questo caso, la progressione è la seguente: .
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di termini di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (calcola il numero di blocchi in 2 modi).
Metodo 1.
Metodo 2.
E ora puoi calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi presenti nella nostra piramide. Fatto? Ben fatto, hai padroneggiato la somma degli n-esimi termini di una progressione aritmetica.
Ovviamente non puoi costruire una piramide con i blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Ci sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:
Formazione
Compiti:
- Masha si sta rimettendo in forma per l'estate. Ogni giorno aumenta il numero di squat di. Quante volte Masha farà gli squat in una settimana se li ha fatti al primo allenamento?
- Qual è la somma di tutti i numeri dispari contenuti in.
- Quando archiviano i log, i logger li impilano in modo tale che ogni strato superiore contenga un log in meno rispetto al precedente. Quanti tronchi ci sono in una muratura, se la fondazione della muratura è costituita da tronchi?
Risposte:
- Definiamo i parametri della progressione aritmetica. In questo caso
(settimane = giorni).Risposta: Tra due settimane, Masha dovrebbe fare squat una volta al giorno.
- Primo numero dispari, ultimo numero.
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di numeri dispari è la metà, tuttavia controlliamo questo fatto utilizzando la formula per trovare l'esimo termine di una progressione aritmetica:I numeri contengono numeri dispari.
Sostituiamo i dati disponibili nella formula:Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti è uguale.
- Ricordiamo il problema delle piramidi. Nel nostro caso, a , poiché ogni strato superiore viene ridotto di un log, quindi in totale ci sono un mucchio di strati.
Sostituiamo i dati nella formula:Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.
Riassumiamo
- - una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale. Può essere in aumento o in diminuzione.
- Trovare la formula L'esimo termine di una progressione aritmetica è scritto dalla formula - , dove è il numero di numeri nella progressione.
- Proprietà dei membri di una progressione aritmetica- - dove è il numero di numeri in progressione.
- La somma dei termini di una progressione aritmetica può essere trovato in due modi:
, dove è il numero di valori.
PROGRESSIONE ARITMETICA. LIVELLO MEDIO
Sequenza numerica
Sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi. Ma possiamo sempre dire quale è il primo, quale il secondo e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.
Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.
In altre parole, ogni numero può essere associato a un certo numero naturale e unico. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.
Il numero con numero è chiamato l'esimo membro della sequenza.
Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .
È molto conveniente se l'esimo termine della successione può essere specificato da qualche formula. Ad esempio, la formula
imposta la sequenza:
E la formula è la seguente sequenza:
Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza lo è). Oppure (, differenza).
formula dell'ennesimo termine
Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire l'esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:
Per trovare, ad esempio, l'esimo termine della progressione utilizzando questa formula, dovremo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascialo. Poi:
Bene, ora è chiaro qual è la formula?
In ogni riga aggiungiamo, moltiplicato per un numero. Quale? Molto semplice: questo è il numero del membro attuale meno:
Molto più conveniente adesso, vero? Controlliamo:
Decidi tu stesso:
In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.
Soluzione:
Il primo termine è uguale. Qual è la differenza? Ecco cosa:
(Per questo si chiama differenza perché è uguale alla differenza di termini successivi della progressione).
Quindi, la formula:
Allora il centesimo termine è uguale a:
Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?
Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Gauss, da bambino di 9 anni, calcolò questo importo in pochi minuti. Notò che la somma del primo e dell'ultimo numero è uguale, la somma del secondo e del penultimo è uguale, la somma del terzo e del terzo dalla fine è uguale, e così via. Quante coppie di questo tipo ci sono in totale? Esatto, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè. COSÌ,
La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:
Esempio:
Trova la somma di tutti i multipli a due cifre.
Soluzione:
Il primo di questi numeri è questo. Ogni numero successivo si ottiene aggiungendo al numero precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.
Formula dell'esimo termine per questa progressione:
Quanti termini ci sono nella progressione se devono essere tutti a due cifre?
Molto semplice: .
L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:
Risposta: .
Ora decidi tu stesso:
- Ogni giorno l'atleta percorre più metri rispetto al giorno precedente. Quanti chilometri totali correrà in una settimana se ha corso km m il primo giorno?
- Ogni giorno un ciclista percorre più chilometri del giorno precedente. Il primo giorno ha percorso km. Quanti giorni ha bisogno di viaggiare per percorrere un chilometro? Quanti chilometri percorrerà durante l'ultimo giorno del suo viaggio?
- Il prezzo di un frigorifero in un negozio diminuisce della stessa quantità ogni anno. Determina quanto è diminuito il prezzo di un frigorifero ogni anno se, messo in vendita per rubli, sei anni dopo è stato venduto per rubli.
Risposte:
- La cosa più importante qui è riconoscere la progressione aritmetica e determinarne i parametri. In questo caso, (settimane = giorni). È necessario determinare la somma dei primi termini di questa progressione:
.
Risposta: - Qui è dato: , deve essere trovato.
Ovviamente, è necessario utilizzare la stessa formula di somma del problema precedente:
.
Sostituisci i valori:La radice ovviamente non va bene, quindi la risposta è.
Calcoliamo il percorso percorso nell'ultimo giorno utilizzando la formula del esimo termine:
(km).
Risposta: - Dato: . Trovare: .
Non potrebbe essere più semplice:
(strofinare).
Risposta:
PROGRESSIONE ARITMETICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI
Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
La progressione aritmetica può essere crescente () e decrescente ().
Per esempio:
Formula per trovare l'ennesimo termine di una progressione aritmetica
è scritto dalla formula, dove è il numero di numeri in progressione.
Proprietà dei membri di una progressione aritmetica
Ti consente di trovare facilmente un termine di una progressione se sono noti i termini vicini: dov'è il numero di numeri nella progressione.
Somma dei termini di una progressione aritmetica
Esistono due modi per trovare l'importo:
Dov'è il numero di valori.
Dov'è il numero di valori.
Quando si studia l'algebra in una scuola secondaria (9a elementare), uno degli argomenti importanti è lo studio delle sequenze numeriche, che includono progressioni geometriche e aritmetiche. In questo articolo esamineremo una progressione aritmetica ed esempi con soluzioni.
Cos'è una progressione aritmetica?
Per capirlo, è necessario definire la progressione in questione, nonché fornire le formule di base che verranno utilizzate successivamente per risolvere i problemi.
Aritmetica o è un insieme di numeri razionali ordinati, ciascun membro dei quali differisce dal precedente per un valore costante. Questo valore è chiamato differenza. Cioè, conoscendo qualsiasi membro di una serie ordinata di numeri e la differenza, è possibile ripristinare l'intera progressione aritmetica.
Facciamo un esempio. La seguente sequenza di numeri sarà una progressione aritmetica: 4, 8, 12, 16, ..., poiché la differenza in questo caso è 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ma l'insieme dei numeri 3, 5, 8, 12, 17 non può più essere attribuito al tipo di progressione in esame, poiché la differenza per esso non è un valore costante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formule importanti
Presentiamo ora le formule di base che saranno necessarie per risolvere i problemi utilizzando la progressione aritmetica. Indichiamo con il simbolo a n l'n-esimo membro della sequenza, dove n è un numero intero. Indichiamo la differenza Lettera latina D. Allora valgono le seguenti espressioni:
- Per determinare il valore dell'n-esimo termine è adatta la seguente formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Per determinare la somma dei primi n termini: S n = (a n +a 1)*n/2.
Per comprendere eventuali esempi di progressione aritmetica con soluzioni in 9a elementare, è sufficiente ricordare queste due formule, poiché eventuali problemi del tipo in esame si basano sul loro utilizzo. Dovresti anche ricordare che la differenza di progressione è determinata dalla formula: d = a n - a n-1.
Esempio n. 1: trovare un membro sconosciuto
Facciamo un semplice esempio di progressione aritmetica e le formule da utilizzare per risolverla.
Lascia che sia data la sequenza 10, 8, 6, 4, ..., devi trovare cinque termini in essa.
Dalle condizioni del problema risulta già che i primi 4 termini sono noti. La quinta può essere definita in due modi:
- Calcoliamo prima la differenza. Abbiamo: d = 8 - 10 = -2. Allo stesso modo, potresti prendere altri due membri qualsiasi uno accanto all'altro. Ad esempio, d = 4 - 6 = -2. Poiché è noto che d = a n - a n-1, allora d = a 5 - a 4, da cui si ottiene: a 5 = a 4 + d. Sostituiamo valori conosciuti: un 5 = 4 + (-2) = 2.
- Anche il secondo metodo richiede la conoscenza della differenza della progressione in questione, quindi è necessario prima determinarla come mostrato sopra (d = -2). Sapendo che il primo termine a 1 = 10, usiamo la formula per il numero n della sequenza. Abbiamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Sostituendo n = 5 nell'ultima espressione, otteniamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Come puoi vedere, entrambe le soluzioni hanno portato allo stesso risultato. Si noti che in questo esempio la differenza di progressione d è un valore negativo. Tali sequenze sono dette decrescenti, poiché ogni termine successivo è minore del precedente.
Esempio n.2: differenza di progressione
Adesso complichiamo un po' il problema, facciamo un esempio di come trovare la differenza di una progressione aritmetica.
È noto che in alcune progressioni algebriche il 1° termine è uguale a 6 e il 7° termine è uguale a 18. È necessario trovare la differenza e ripristinare questa sequenza al 7° termine.
Usiamo la formula per determinare il termine sconosciuto: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sostituiamo in essa i dati noti della condizione, cioè i numeri a 1 e a 7, abbiamo: 18 = 6 + 6 * d. Da questa espressione puoi facilmente calcolare la differenza: d = (18 - 6) /6 = 2. Abbiamo così risposto alla prima parte del problema.
Per riportare la sequenza al 7° termine, dovresti usare la definizione di progressione algebrica, cioè a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d e così via. Ripristiniamo di conseguenza l'intera sequenza: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.
Esempio n.3: redazione di una progressione
Complichiamolo ulteriormente condizione più forte compiti. Ora dobbiamo rispondere alla domanda su come trovare una progressione aritmetica. Si può fare il seguente esempio: vengono dati due numeri, ad esempio 4 e 5. È necessario creare una progressione algebrica in modo che tra questi vengano inseriti altri tre termini.
Prima di iniziare a risolvere questo problema, devi capire quale posto occuperanno i numeri indicati nella progressione futura. Dato che ci saranno altri tre termini tra loro, allora a 1 = -4 e a 5 = 5. Stabilito questo, passiamo al problema, che è simile al precedente. Ancora una volta, per l'ennesimo termine usiamo la formula, otteniamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Da: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Quello che abbiamo qui non è un valore intero della differenza, ma è un numero razionale, quindi le formule per la progressione algebrica rimangono le stesse.
Ora aggiungiamo la differenza trovata a 1 e ripristiniamo i termini mancanti della progressione. Otteniamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, che coincideva con le condizioni del problema.
Esempio n.4: primo termine della progressione
Continuiamo a fornire esempi di progressione aritmetica con soluzioni. In tutti i problemi precedenti era noto il primo numero della progressione algebrica. Consideriamo ora un problema di tipo diverso: siano dati due numeri, dove a 15 = 50 e a 43 = 37. È necessario trovare con quale numero inizia questa sequenza.
Le formule finora utilizzate presuppongono la conoscenza di a 1 e d. Nella dichiarazione del problema non si sa nulla di questi numeri. Tuttavia, scriveremo le espressioni per ciascun termine su cui sono disponibili informazioni: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Abbiamo ricevuto due equazioni in cui ci sono 2 quantità sconosciute (a 1 e d). Ciò significa che il problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari.
Il modo più semplice per risolvere questo sistema è esprimere 1 in ciascuna equazione e quindi confrontare le espressioni risultanti. Prima equazione: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; seconda equazione: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Uguagliando queste espressioni, otteniamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, da cui la differenza d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (sono fornite solo 3 cifre decimali).
Conoscendo d, puoi usare una qualsiasi delle 2 espressioni sopra per un 1. Ad esempio, primo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Se hai dubbi sul risultato ottenuto, puoi verificarlo, ad esempio, determinare il 43° termine della progressione, che è specificato nella condizione. Otteniamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Il piccolo errore è dovuto al fatto che nei calcoli è stato utilizzato l'arrotondamento ai millesimi.
Esempio n.5: importo
Consideriamo ora alcuni esempi con soluzioni per la somma di una progressione aritmetica.
Sia data una progressione numerica della forma seguente: 1, 2, 3, 4, ...,. Come calcolare la somma di 100 di questi numeri?
Grazie allo sviluppo della tecnologia informatica, è possibile risolvere questo problema, ovvero aggiungere tutti i numeri in sequenza, cosa che il computer farà non appena una persona preme il tasto Invio. Tuttavia, il problema può essere risolto mentalmente se si presta attenzione che la serie di numeri presentata è una progressione algebrica e la sua differenza è uguale a 1. Applicando la formula per la somma, otteniamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
È interessante notare che questo problema è chiamato “gaussiano” perché all’inizio del XVIII secolo il famoso tedesco, ancora solo 10enne, riuscì a risolverlo mentalmente in pochi secondi. Il ragazzo non conosceva la formula per sommare una progressione algebrica, ma notò che se si sommano a coppie i numeri agli estremi della sequenza si ottiene sempre lo stesso risultato, cioè 1+100=2+99 = 3 + 98 = ..., e poiché queste somme saranno esattamente 50 (100/2), allora per ottenere la risposta corretta è sufficiente moltiplicare 50 per 101.
Esempio n.6: somma dei termini da n a m
Un altro tipico esempio di somma di una progressione aritmetica è il seguente: data una serie di numeri: 3, 7, 11, 15, ..., bisogna trovare a quanto sarà uguale la somma dei suoi termini da 8 a 14 .
Il problema si risolve in due modi. Il primo consiste nel trovare i termini sconosciuti da 8 a 14 e poi sommarli in sequenza. Poiché ci sono pochi termini, questo metodo non richiede molta manodopera. Tuttavia, si propone di risolvere questo problema utilizzando un secondo metodo, più universale.
L'idea è di ottenere una formula per la somma della progressione algebrica tra i termini m ed n, dove n > m sono numeri interi. In entrambi i casi scriviamo due espressioni per la somma:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (an + a 1) / 2.
Poiché n > m, è ovvio che la 2a somma include la prima. L'ultima conclusione significa che se prendiamo la differenza tra queste somme e vi aggiungiamo il termine a m (nel caso della differenza, viene sottratto dalla somma S n), otterremo la risposta necessaria al problema. Abbiamo: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). È necessario sostituire le formule per a n e m in questa espressione. Quindi otteniamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
La formula risultante è un po' complicata, tuttavia la somma S mn dipende solo da n, m, a 1 e d. Nel nostro caso a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sostituendo questi numeri, otteniamo: S mn = 301.
Come si può vedere dalle soluzioni di cui sopra, tutti i problemi si basano sulla conoscenza dell'espressione per l'ennesimo termine e della formula per la somma dell'insieme dei primi termini. Prima di iniziare a risolvere uno qualsiasi di questi problemi, si consiglia di leggere attentamente la condizione, comprendere chiaramente cosa si desidera trovare e solo successivamente procedere con la soluzione.
Un altro suggerimento è quello di tendere alla semplicità, cioè se puoi rispondere a una domanda senza utilizzare calcoli matematici complessi, allora devi farlo, poiché in questo caso la probabilità di commettere un errore è inferiore. Ad esempio, nell'esempio di una progressione aritmetica con la soluzione n. 6, ci si potrebbe fermare alla formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e rottura compito comune in sottoattività separate (in questo caso, trova prima i termini a n e a m).
Se si hanno dubbi sul risultato ottenuto si consiglia di verificarlo, come è stato fatto in alcuni degli esempi riportati. Abbiamo scoperto come trovare una progressione aritmetica. Se lo capisci, non è così difficile.
Alcune persone trattano la parola “progressione” con cautela, poiché è un termine molto complesso proveniente dai rami della matematica superiore. Nel frattempo, la progressione aritmetica più semplice è opera del tassametro (dove esistono ancora). E comprendere l'essenza (e in matematica non c'è niente di più importante che “cogliere l'essenza”) di una sequenza aritmetica non è così difficile, dopo aver analizzato alcuni concetti elementari.
Sequenza numerica matematica
Una sequenza numerica è solitamente chiamata serie di numeri, ognuno dei quali ha il proprio numero.
a 1 è il primo membro della sequenza;
e 2 è il secondo termine della sequenza;
un 7 è il settimo membro della sequenza;
e n è l'ennesimo membro della sequenza;
Tuttavia, non ci interessa alcun insieme arbitrario di numeri e numeri. Concentreremo la nostra attenzione su una sequenza numerica in cui il valore dell'ennesimo termine è legato al suo numero ordinale da una relazione che può essere chiaramente formulata matematicamente. In altre parole: il valore numerico dell'n-esimo numero è una funzione di n.
a è il valore di un membro di una sequenza numerica;
n è il suo numero di serie;
f(n) è una funzione, dove il numero ordinale nella sequenza numerica n è l'argomento.
Definizione
Una progressione aritmetica è solitamente chiamata sequenza numerica in cui ciascun termine successivo è maggiore (minore) del precedente dello stesso numero. La formula per l'ennesimo termine di una sequenza aritmetica è la seguente:
a n - il valore del membro corrente della progressione aritmetica;
a n+1 - formula del numero successivo;
d - differenza (un certo numero).
È facile determinare che se la differenza è positiva (d>0), allora ogni membro successivo della serie in esame sarà maggiore del precedente e tale progressione aritmetica sarà crescente.
Nel grafico sottostante è facile capire perché la sequenza numerica viene chiamata “crescente”.
Nei casi in cui la differenza è negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Valore del membro specificato
A volte è necessario determinare il valore di un termine arbitrario n di una progressione aritmetica. Questo può essere fatto calcolando in sequenza i valori di tutti i membri della progressione aritmetica, partendo dal primo fino a quello desiderato. Tuttavia questo percorso non è sempre accettabile se, ad esempio, è necessario trovare il valore del cinquemillesimo o dell'ottomilionesimo termine. I calcoli tradizionali richiederanno molto tempo. Tuttavia, una progressione aritmetica specifica può essere studiata utilizzando determinate formule. Esiste anche una formula per l'ennesimo termine: il valore di qualsiasi termine di una progressione aritmetica può essere determinato come la somma del primo termine della progressione con la differenza della progressione, moltiplicata per il numero del termine desiderato, ridotta di uno.
La formula è universale per la progressione crescente e decrescente.
Un esempio di calcolo del valore di un determinato termine
Risolviamo il seguente problema di trovare il valore dell'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Condizione: esiste una progressione aritmetica con parametri:
Il primo termine della sequenza è 3;
La differenza nella serie numerica è 1,2.
Compito: devi trovare il valore di 214 termini
Soluzione: per determinare il valore di un dato termine, utilizziamo la formula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Sostituendo i dati della formulazione del problema nell'espressione, abbiamo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Risposta: Il 214esimo termine della sequenza è uguale a 258,6.
I vantaggi di questo metodo di calcolo sono evidenti: l'intera soluzione non richiede più di 2 righe.
Somma di un dato numero di termini
Molto spesso, in una determinata serie aritmetica, è necessario determinare la somma dei valori di alcuni dei suoi segmenti. Per fare ciò non è nemmeno necessario calcolare i valori di ciascun termine e poi sommarli. Questo metodo è applicabile se il numero di termini di cui è necessario trovare la somma è piccolo. Negli altri casi è più conveniente utilizzare la seguente formula.
La somma dei termini di una progressione aritmetica da 1 a n è uguale alla somma del primo e dell'ennesimo termine, moltiplicata per il numero del termine n e divisa per due. Se nella formula si sostituisce il valore dell'ennesimo termine con l'espressione del paragrafo precedente dell'articolo, si ottiene:
Esempio di calcolo
Ad esempio, risolviamo un problema con le seguenti condizioni:
Il primo termine della sequenza è zero;
La differenza è 0,5.
Il problema richiede di determinare la somma dei termini della serie da 56 a 101.
Soluzione. Usiamo la formula per determinare la quantità di progressione:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Per prima cosa determiniamo la somma dei valori di 101 termini della progressione sostituendo le condizioni date del nostro problema nella formula:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525
Ovviamente per trovare la somma dei termini della progressione dalla 56a alla 101a occorre sottrarre S 55 da S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Pertanto, la somma della progressione aritmetica per questo esempio è:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Esempio di applicazione pratica della progressione aritmetica
Alla fine dell'articolo, torniamo all'esempio di una sequenza aritmetica fornita nel primo paragrafo: un tassametro (taxi car meter). Consideriamo questo esempio.
Salire su un taxi (che comprende 3 km di viaggio) costa 50 rubli. Ogni chilometro successivo viene pagato al ritmo di 22 rubli/km. La distanza da percorrere è di 30 km. Calcola il costo del viaggio.
1. Scartiamo i primi 3 km, il cui prezzo è compreso nel costo dello sbarco.
30 - 3 = 27 chilometri.
2. Un ulteriore calcolo non è altro che l'analisi di una serie di numeri aritmetici.
Numero del membro: il numero di chilometri percorsi (meno i primi tre).
Il valore del membro è la somma.
Il primo termine di questo problema sarà pari a 1 = 50 rubli.
Differenza di progressione d = 22 r.
il numero che ci interessa è il valore del (27+1)esimo termine della progressione aritmetica - la lettura del contatore alla fine del 27esimo chilometro è 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
I calcoli dei dati del calendario per un periodo arbitrariamente lungo si basano su formule che descrivono determinate sequenze numeriche. In astronomia, la lunghezza dell'orbita dipende geometricamente dalla distanza del corpo celeste dalla stella. Inoltre, varie serie numeriche vengono utilizzate con successo in statistica e in altre aree applicate della matematica.
Un altro tipo di sequenza numerica è geometrica
La progressione geometrica è caratterizzata da tassi di variazione maggiori rispetto alla progressione aritmetica. Non è un caso che in politica, sociologia e medicina, per mostrare l'elevata velocità di diffusione di un particolare fenomeno, ad esempio una malattia durante un'epidemia, spesso affermino che il processo si sviluppa in progressione geometrica.
L'ennesimo termine della serie di numeri geometrici differisce dal precedente in quanto viene moltiplicato per un numero costante: il denominatore, ad esempio, il primo termine è 1, il denominatore è corrispondentemente uguale a 2, quindi:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - il valore del termine corrente della progressione geometrica;
b n+1 - formula del termine successivo della progressione geometrica;
q è il denominatore della progressione geometrica (un numero costante).
Se il grafico di una progressione aritmetica è una linea retta, una progressione geometrica dipinge un quadro leggermente diverso:
Come nel caso dell'aritmetica, la progressione geometrica ha una formula per il valore di un termine arbitrario. Qualsiasi n-esimo termine di una progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine e del denominatore della progressione alla potenza di n ridotto di uno:
Esempio. Abbiamo una progressione geometrica con il primo termine pari a 3 e il denominatore della progressione pari a 1,5. Troviamo il 5° termine della progressione
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Anche la somma di un determinato numero di termini viene calcolata utilizzando una formula speciale. La somma dei primi n termini di una progressione geometrica è uguale alla differenza tra il prodotto dell'n-esimo termine della progressione e del suo denominatore e il primo termine della progressione, diviso per il denominatore ridotto di uno:
Se b n viene sostituito utilizzando la formula discussa sopra, il valore della somma dei primi n termini della serie numerica considerata assumerà la forma:
Esempio. La progressione geometrica inizia con il primo termine uguale a 1. Il denominatore è posto a 3. Troviamo la somma dei primi otto termini.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280