Volume di un prisma regolare retto. Volume e area superficiale di un prisma quadrangolare regolare

Volume del prisma. Risoluzione dei problemi

La geometria è il mezzo più potente per affinare le nostre facoltà mentali e permetterci di pensare e ragionare correttamente.

G.Galileo

Obiettivo della lezione:

• insegnare a risolvere problemi sul calcolo del volume dei prismi, riassumere e sistematizzare le informazioni che gli studenti hanno su un prisma e sui suoi elementi, sviluppare la capacità di risolvere problemi di maggiore complessità;
• sviluppare pensiero logico, capacità di lavorare in modo indipendente, capacità di controllo reciproco e autocontrollo, capacità di parlare e ascoltare;
• sviluppare l'abitudine all'impiego costante in qualche attività utile, favorendo la reattività, il duro lavoro e l'accuratezza.

Tipo di lezione: lezione sull'applicazione di conoscenze, abilità e abilità.

Attrezzatura: schede di controllo, proiettore multimediale, presentazione “Lezione. Prism Volume”, computer.

Avanzamento della lezione

• Nervature laterali del prisma (Fig. 2).
• Superficie laterale prismi (Fig. 2, Fig. 5).
• L'altezza del prisma (Fig. 3, Fig. 4).
• Prisma diritto (Figura 2,3,4).
• Un prisma inclinato (Figura 5).
• Il prisma corretto (Fig. 2, Fig. 3).
• Sezione diagonale del prisma (Figura 2).
• Diagonale del prisma (Figura 2).
• Sezione perpendicolare del prisma (Fig. 3, Fig. 4).
• L'area della superficie laterale del prisma.
• La superficie totale del prisma.
• Volume del prisma.

1. VERIFICA DEI COMPITI (8 min)

Scambiatevi i quaderni, verificate la soluzione sulle diapositive e segnatela (segnate 10 se il problema è stato compilato)

Crea un problema in base all'immagine e risolvilo. Lo studente difende alla lavagna il problema che ha compilato. Figura 6 e Figura 7.





Capitolo 2,§3
Problema.2. Le lunghezze di tutti i bordi di un prisma triangolare regolare sono uguali tra loro. Calcola il volume del prisma se la sua superficie è cm 2 (Fig. 8)



Capitolo 2,§3
Problema 5. La base del prisma diritto ABCA 1B 1C1 è triangolo rettangolo ABC (angolo ABC=90°), AB=4cm. Calcola il volume del prisma se il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC è 2,5 cm e l'altezza del prisma è 10 cm. (Figura 9).



Capitolo2,§3
Problema 29. La lunghezza del lato della base di un prisma quadrangolare regolare è 3 cm. La diagonale del prisma forma un angolo di 30° con il piano della faccia laterale. Calcolare il volume del prisma (Figura 10).



2. Collaborazione tra insegnante e classe (2-3 min.).

Scopo: riassumere il riscaldamento teorico (gli studenti danno i voti l'uno all'altro), studiando modi per risolvere problemi su un argomento.

3. MINUTO FISICO (3 min)
4. RISOLUZIONE DEI PROBLEMI (10 minuti)

In questa fase il docente organizza un lavoro frontale sulla ripetizione dei metodi per la risoluzione dei problemi planimetrici e delle formule planimetriche.

La classe è divisa in due gruppi, alcuni risolvono problemi, altri lavorano al computer. Poi cambiano.

Agli studenti viene chiesto di risolvere tutto il n. 8 (orale), il n. 9 (orale). Quindi si dividono in gruppi e procedono a risolvere i problemi n. 14, n. 30, n. 32. Capitolo 2, §3, pagine 66-67 Problema 8. Tutti i bordi sono corretti



prisma triangolare
sono uguali tra loro. Trova il volume del prisma se l'area della sezione trasversale del piano che passa per il bordo della base inferiore e il centro del lato della base superiore è pari a cm (Fig. 11).



prisma triangolare
Capitolo 2,§3, pagine 66-67 Problema 9. La base di un prisma diritto è un quadrato e i suoi bordi laterali sono due volte più grandi del lato della base. Calcolare il volume del prisma se il raggio del cerchio descritto in prossimità della sezione del prisma da un piano passante per il lato della base e il centro del bordo laterale opposto è pari a cm (Fig. 12)



prisma triangolare
Problema 14 La base di un prisma rettilineo è un rombo, la cui diagonale è uguale al suo lato.



prisma triangolare
Calcola il perimetro della sezione con un piano passante per la diagonale maggiore della base inferiore, se il volume del prisma è uguale e tutte le facce laterali sono quadrate (Fig. 13). Problema 30



ABCA 1 B 1 C 1 è un prisma triangolare regolare, i cui bordi sono tutti uguali tra loro, il punto è il centro del bordo BB 1. Calcola il raggio del cerchio inscritto nella sezione del prisma dal piano AOS, se il volume del prisma è uguale a (Fig. 14). Problema 32.In un prisma quadrangolare regolare, la somma delle aree delle basi è uguale all'area della superficie laterale. Calcolare il volume del prisma se il diametro del cerchio descritto vicino alla sezione trasversale del prisma da un piano passante per i due vertici della base inferiore e il vertice opposto della base superiore è 6 cm (Fig. 15).

5. Durante la risoluzione dei problemi, gli studenti confrontano le loro risposte con quelle mostrate dall'insegnante. Questa è una soluzione di esempio al problema con commenti dettagliati... Lavoro individuale

insegnanti con studenti “forti” (10 min.).

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

Lavoro indipendente

studenti che lavorano su un test al computer

2) Il volume di un prisma triangolare regolare è calcolato con la formula V = 0,25a 2 h - dove a è il lato della base, h è l'altezza del prisma.

3) Il volume di un prisma diritto è pari alla metà del prodotto dell'area della base e dell'altezza.

4) Il volume di un prisma quadrangolare regolare si calcola con la formula V = a 2 h-dove a è il lato della base, h è l'altezza del prisma.

5) Il volume di un prisma esagonale regolare si calcola con la formula V = 1.5a 2 h, dove a è il lato della base, h è l'altezza del prisma.

3. Il lato della base di un prisma triangolare regolare è uguale a .

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

Per il lato della base inferiore e per il vertice opposto della base superiore si traccia un piano, che passa con un angolo di 45° rispetto alla base. Trova il volume del prisma.

4. La base di un prisma retto è un rombo, il cui lato è 13 e una delle diagonali è 24.
Trova il volume del prisma se la diagonale della faccia laterale è 14.

Tipo di lavoro: 8

Tema: Prisma

In un prisma triangolare regolare ABCA_1B_1C_1, i lati della base sono 4 e gli spigoli laterali sono 10. Trova l'area della sezione trasversale del prisma dal piano che passa per i punti medi dei bordi AB, AC, A_1B_1 e A_1C_1.

Mostra soluzione

Soluzione Considera la figura seguente. Il segmento MN è linea mediana triangolo A_1B_1C_1, quindi MN = \frac12 B_1C_1=2. Allo stesso modo, KL=\frac12BC=2. Inoltre, MK = NL = 10. Ne consegue che il quadrilatero MNLK è un parallelogramma. Da MK\parallelo AA_1, quindi MK\perp ABC e MK\perp KL. Pertanto, il quadrilatero MNLK è un rettangolo. 20.

S_(MNLK) =

4. La base di un prisma retto è un rombo, il cui lato è 13 e una delle diagonali è 24.
Trova il volume del prisma se la diagonale della faccia laterale è 14.

Tipo di lavoro: 8

MK\cdotKL =

In un prisma triangolare regolare ABCA_1B_1C_1, i lati della base sono 4 e gli spigoli laterali sono 10. Trova l'area della sezione trasversale del prisma dal piano che passa per i punti medi dei bordi AB, AC, A_1B_1 e A_1C_1.

10\cpunto 2 =

Risposta Il volume di un prisma quadrangolare regolare ABCDA_1B_1C_1D_1 è 24 . Il punto K è il centro del bordo CC_1. Trova il volume della piramide KBCD. Secondo la condizione, KC è l'altezza della piramide KBCD. CC_1 è l'altezza del prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 . Poiché K è il punto medio di CC_1, allora KC=\frac12CC_1. Sia CC_1=H , allora KC=\frac12H . Nota anche questo S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Poi, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)=\frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H=

S_(MNLK) =

\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).

4. La base di un prisma retto è un rombo, il cui lato è 13 e una delle diagonali è 24.
Trova il volume del prisma se la diagonale della faccia laterale è 14.

Tipo di lavoro: 8

Quindi,

In un prisma triangolare regolare ABCA_1B_1C_1, i lati della base sono 4 e gli spigoli laterali sono 10. Trova l'area della sezione trasversale del prisma dal piano che passa per i punti medi dei bordi AB, AC, A_1B_1 e A_1C_1.

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2. · Fonte: “Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2017. A livello di profilo." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. esagono regolare, pari a 6. Pertanto, lato S. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

S_(MNLK) =

\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).

4. La base di un prisma retto è un rombo, il cui lato è 13 e una delle diagonali è 24.
Trova il volume del prisma se la diagonale della faccia laterale è 14.

Tipo di lavoro: 8

L'acqua veniva versata in un recipiente a forma di prisma triangolare regolare. Il livello dell'acqua raggiunge i 40 cm. A quale altezza sarà il livello dell'acqua se viene versata in un altro recipiente della stessa forma, il cui lato della base è grande il doppio del primo? Esprimi la tua risposta in centimetri.

In un prisma triangolare regolare ABCA_1B_1C_1, i lati della base sono 4 e gli spigoli laterali sono 10. Trova l'area della sezione trasversale del prisma dal piano che passa per i punti medi dei bordi AB, AC, A_1B_1 e A_1C_1.

Sia a il lato della base del primo vaso, quindi 2 a è il lato della base del secondo vaso. Per condizione, il volume del liquido V nel primo e nel secondo recipiente è lo stesso. Indichiamo con H il livello al quale il liquido è salito nel secondo recipiente. Poi V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, E, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Da qui \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

S_(MNLK) =

\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).

4. La base di un prisma retto è un rombo, il cui lato è 13 e una delle diagonali è 24.
Trova il volume del prisma se la diagonale della faccia laterale è 14.

Tipo di lavoro: 8

In un prisma esagonale regolare ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 tutti gli spigoli sono uguali a 2. Trova la distanza tra i punti A ed E_1.

In un prisma triangolare regolare ABCA_1B_1C_1, i lati della base sono 4 e gli spigoli laterali sono 10. Trova l'area della sezione trasversale del prisma dal piano che passa per i punti medi dei bordi AB, AC, A_1B_1 e A_1C_1.

Il triangolo AEE_1 è rettangolare, poiché il bordo EE_1 è perpendicolare al piano della base del prisma, l'angolo AEE_1 sarà un angolo retto.

Quindi, per il teorema di Pitagora, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Troviamo AE dal triangolo AFE usando il teorema del coseno. Ogni angolo interno di un esagono regolare è 120^(\circ). Poi AE^2=

AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)=

2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\sinistra (-\frac12 \destra).

Quindi, AE^2=4+4+4=12,

S_(MNLK) =

\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).

4. La base di un prisma retto è un rombo, il cui lato è 13 e una delle diagonali è 24.
Trova il volume del prisma se la diagonale della faccia laterale è 14.

Tipo di lavoro: 8

AE_1^2=12+4=16, AE_1=4. Trova la superficie laterale di un prisma rettilineo, alla base del quale si trova un rombo con diagonali uguali

In un prisma triangolare regolare ABCA_1B_1C_1, i lati della base sono 4 e gli spigoli laterali sono 10. Trova l'area della sezione trasversale del prisma dal piano che passa per i punti medi dei bordi AB, AC, A_1B_1 e A_1C_1.

4\sqrt5 · e 8, e un bordo laterale pari a 5.

L'area della superficie laterale di un prisma diritto si trova con la formula S lato. = P fondamentale

h = 4a\cdot h, dove P basico. e h, rispettivamente, il perimetro della base e l'altezza del prisma, pari a 5, e a è il lato del rombo. Troviamo il lato del rombo sfruttando il fatto che le diagonali del rombo ABCD sono mutuamente perpendicolari e divise in due dal punto di intersezione.

In fisica, per studiare lo spettro della luce bianca viene spesso utilizzato un prisma triangolare in vetro perché può scomporlo nei suoi singoli componenti. In questo articolo considereremo la formula del volume

Cos'è un prisma triangolare? Prima di fornire la formula del volume, consideriamo le proprietà di questa figura. e parallelamente a te, spostalo a una certa distanza. I vertici del triangolo nelle posizioni iniziale e finale dovrebbero essere collegati da segmenti diritti. La figura volumetrica risultante è chiamata prisma triangolare. Si compone di cinque lati. Due di esse si chiamano basi: sono parallele e uguali tra loro. Le basi del prisma in questione sono triangoli. I tre lati rimanenti sono parallelogrammi.

Oltre ai lati, il prisma in questione è caratterizzato da sei vertici (tre per ciascuna base) e nove spigoli (6 spigoli giacciono nei piani delle basi e 3 spigoli sono formati dall'intersezione dei lati). Se i bordi laterali sono perpendicolari alle basi, tale prisma viene chiamato rettangolare.

La differenza tra un prisma triangolare e tutte le altre figure di questa classe è che è sempre convesso (i prismi quattro, cinque, ..., n-gonali possono anche essere concavi).

Questa è una figura rettangolare con un triangolo equilatero alla base.

Volume di un prisma triangolare generale

Come trovare il volume di un prisma triangolare? Formula inserita visione generale simile a quello di qualsiasi tipo di prisma. Ha la seguente notazione matematica:

Qui h è l'altezza della figura, cioè la distanza tra le sue basi, S o è l'area del triangolo.

Il valore di S o può essere trovato se si conoscono alcuni parametri del triangolo, ad esempio un lato e due angoli oppure due lati e un angolo. L'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto della sua altezza per la lunghezza del lato di cui questa altezza viene abbassata.

Per quanto riguarda l'altezza h della figura, è più facile trovarla prisma rettangolare. In quest'ultimo caso h coincide con la lunghezza del bordo laterale.

Volume di un prisma triangolare regolare

Formula generale il volume di un prisma triangolare, riportato nella sezione precedente dell'articolo, può essere utilizzato per calcolare il valore corrispondente per un prisma triangolare regolare. Poiché la sua base è un triangolo equilatero, la sua area è pari a:

Chiunque può ottenere questa formula se ricorda che in un triangolo equilatero tutti gli angoli sono uguali tra loro e ammontano a 60 o. Qui il simbolo a è la lunghezza del lato del triangolo.

L'altezza h è la lunghezza del bordo. Non ha alcuna relazione con la base di un prisma regolare e può assumere valori arbitrari. Di conseguenza, la formula per il volume di un prisma triangolare è il tipo giusto assomiglia a questo:

Dopo aver calcolato la radice, puoi riscrivere questa formula come segue:

Pertanto, per trovare il volume di un prisma regolare a base triangolare, è necessario quadrare il lato della base, moltiplicare questo valore per l'altezza e moltiplicare il valore risultante per 0,433.

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Allo stesso tempo, gli studenti delle scuole superiori con qualsiasi livello di preparazione dovrebbero essere in grado di trovare l'area e il volume di un prisma regolare e diritto. Solo in questo caso potranno contare sul conseguimento di punteggi competitivi in ​​base ai risultati del superamento dell'Esame di Stato Unificato.

Punti chiave da ricordare

• Se gli spigoli laterali di un prisma sono perpendicolari alla base si dice linea retta. Tutte le facce laterali di questa figura sono rettangoli. L'altezza di un prisma rettilineo coincide con il suo bordo.
• Un prisma regolare è quello i cui bordi laterali sono perpendicolari alla base su cui si trova il poligono regolare. Le facce laterali di questa figura sono rettangoli uguali. Un prisma corretto è sempre dritto.

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