La base S del prisma è una formula rettangolare. Volume di un prisma retto

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Qual è il volume di un prisma e come trovarlo

Il volume di un prisma è il prodotto dell'area della sua base e della sua altezza.

Sappiamo però che alla base del prisma può esserci un triangolo, un quadrato o qualche altro poliedro.

Pertanto, per trovare il volume di un prisma, devi semplicemente calcolare l'area della base del prisma, quindi moltiplicare quest'area per la sua altezza.

Cioè, se c'è un triangolo alla base del prisma, prima devi trovare l'area del triangolo. Se la base del prisma è un quadrato o un altro poligono, prima devi cercare l'area del quadrato o dell'altro poligono.

Va ricordato che l'altezza del prisma è la perpendicolare tracciata alle basi del prisma.

Cos'è un prisma

Ora ricordiamo la definizione di prisma.

Un prisma è un poligono le cui due facce (basi) coincidono piani paralleli e tutti gli spigoli situati all'esterno di queste facce sono paralleli.

Per dirla semplicemente:

Un prisma è una qualsiasi figura geometrica che ha due basi uguali e facce piane.

Il nome di un prisma dipende dalla forma della sua base. Quando la base di un prisma è un triangolo, tale prisma si chiama triangolare. Un prisma poliedrico è una figura geometrica la cui base è un poliedro. Inoltre, un prisma è un tipo di cilindro.

Quali tipi di prismi esistono?

Se guardiamo l'immagine qui sopra, vedremo che i prismi sono diritti, regolari e obliqui.

Esercizio

1. Quale prisma è chiamato corretto?
2. Perché si chiama così?
3. Qual è il nome di un prisma le cui basi sono poligoni regolari?
4. Qual è l'altezza di questa figura?
5. Come si chiama un prisma i cui bordi non sono perpendicolari?
6. Definire un prisma triangolare.
7. Un prisma può essere un parallelepipedo?
8. Quale figura geometrica è chiamata poligono semiregolare?

Da quali elementi è composto un prisma?

Un prisma è costituito da elementi come base inferiore e superiore, facce laterali, bordi e vertici.

Entrambe le basi del prisma giacciono su piani e sono parallele tra loro.
Le facce laterali della piramide sono parallelogrammi.
Superficie laterale la piramide è la somma delle facce laterali.
I lati comuni delle facce laterali non sono altro che i bordi laterali di una data figura.
L'altezza della piramide è il segmento che collega i piani delle basi ed è perpendicolare ad essi.

Proprietà del prisma

Una figura geometrica, come un prisma, ha una serie di proprietà. Vediamo più da vicino queste proprietà:

Innanzitutto le basi di un prisma sono poligoni uguali;
In secondo luogo, le facce laterali di un prisma si presentano sotto forma di parallelogramma;
In terzo luogo, questa figura geometrica ha i bordi paralleli e uguali;
In quarto luogo, la superficie totale del prisma è:

Consideriamo ora il teorema che fornisce la formula utilizzata per calcolare l'area della superficie laterale e dimostrazione.

Ci hai mai pensato? fatto interessante che un prisma può essere non solo un corpo geometrico, ma anche altri oggetti intorno a noi. Anche un normale fiocco di neve, a seconda della temperatura, può trasformarsi in un prisma di ghiaccio, assumendo la forma di una figura esagonale.

Ma i cristalli di calcite hanno questo un fenomeno unico, come frammentarsi e assumere la forma di un parallelepipedo. E la cosa più sorprendente è che, per quanto piccoli siano i cristalli di calcite, il risultato è sempre lo stesso: si trasformano in minuscoli parallelepipedi.

Si scopre che il prisma ha guadagnato popolarità non solo in matematica, dimostrando il suo corpo geometrico, ma anche nel campo dell'arte, poiché è la base di dipinti creati da grandi artisti come P. Picasso, Braque, Griss e altri.

Prismi diversi sono diversi l'uno dall'altro. Allo stesso tempo, hanno molto in comune. Per trovare l'area della base del prisma dovrai capire di che tipologia è.

Teoria generale

Un prisma è un poliedro i cui lati hanno la forma di un parallelogramma. Inoltre, la sua base può essere qualsiasi poliedro, dal triangolo all'n-gon. Inoltre le basi del prisma sono sempre uguali tra loro. Ciò che non si applica alle facce laterali è che possono variare in modo significativo in termini di dimensioni.

Quando si risolvono i problemi, non si incontra solo l'area della base del prisma. Può richiedere la conoscenza della superficie laterale, cioè di tutte le facce che non sono basi. La superficie completa sarà l'unione di tutte le facce che compongono il prisma.

A volte i problemi riguardano l'altezza. È perpendicolare alle basi. La diagonale di un poliedro è un segmento che collega a coppie due vertici qualsiasi che non appartengono alla stessa faccia.

Va notato che l'area di base di un prisma diritto o inclinato non dipende dall'angolo tra loro e le facce laterali. Se hanno le stesse figure sulle facce superiore e inferiore, le loro aree saranno uguali.

Prisma triangolare

Ha alla base una figura con tre vertici, cioè un triangolo. Come sai, può essere diverso. Se è così, basta ricordare che la sua area è determinata dalla metà del prodotto delle zampe.

La notazione matematica è questa: S = ½ av.

Per scoprire l'area della base in visione generale, le formule saranno utili: Airone e quella in cui metà del lato viene portata all'altezza disegnata ad esso.

La prima formula dovrebbe essere scritta come segue: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Questa notazione contiene un semiperimetro (p), cioè la somma di tre lati divisa per due.

Secondo: S = ½ n a * a.

Se vuoi scoprire l'area della base di un prisma triangolare, che è regolare, allora il triangolo risulta essere equilatero. Esiste una formula per questo: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma quadrangolare

La sua base è uno qualsiasi dei quadrangoli conosciuti. Può essere un rettangolo o un quadrato, un parallelepipedo o un rombo. In ogni caso, per calcolare l'area della base del prisma, avrai bisogno della tua formula.

Se la base è un rettangolo, la sua area è determinata come segue: S = ab, dove a, b sono i lati del rettangolo.

Quando si tratta di un prisma quadrangolare, l'area di base prisma corretto calcolato utilizzando la formula del quadrato. Perché è Lui che sta alla base. S = un 2.

Nel caso in cui la base sia un parallelepipedo sarà necessaria la seguente uguaglianza: S = a * n a. Accade che siano dati il ​​lato di un parallelepipedo e uno degli angoli. Quindi, per calcolare l'altezza, dovrai utilizzare una formula aggiuntiva: n a = b * sin A. Inoltre, l'angolo A è adiacente al lato “b” e l'altezza n è opposta a questo angolo.

Se alla base del prisma c'è un rombo, per determinarne l'area avrai bisogno della stessa formula del parallelogramma (poiché è un caso speciale). Ma puoi anche usare questo: S = ½ d 1 d 2. Qui d 1 e d 2 sono due diagonali del rombo.

Prisma pentagonale regolare

In questo caso si tratta di dividere il poligono in triangoli, le cui aree sono più facili da individuare. Anche se succede che le figure possano avere un numero diverso di vertici.

Poiché la base del prisma è un pentagono regolare, può essere diviso in cinque triangoli equilateri. Quindi l'area della base del prisma è uguale all'area di uno di questi triangoli (la formula può essere vista sopra), moltiplicata per cinque.

Prisma esagonale regolare

Secondo il principio descritto per un prisma pentagonale è possibile dividere l'esagono di base in 6 triangoli equilateri. La formula per l'area di base di un tale prisma è simile alla precedente. Solo che dovrebbe essere moltiplicato per sei.

La formula sarà simile a questa: S = 3/2 a 2 * √3.

Compiti

N. 1. Data una retta regolare, la sua diagonale è 22 cm, l'altezza del poliedro è 14 cm Calcola l'area della base del prisma e dell'intera superficie.

Soluzione. La base del prisma è quadrata, ma il suo lato è sconosciuto. Puoi trovare il suo valore dalla diagonale del quadrato (x), che è correlata alla diagonale del prisma (d) e alla sua altezza (h). x2 = d2 - n2. D'altra parte, questo segmento “x” è l'ipotenusa di un triangolo i cui cateti sono uguali al lato del quadrato. Cioè x 2 = a 2 + a 2. Risulta quindi che a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Sostituisci il numero 22 invece di d e sostituisci "n" con il suo valore - 14, risulta che il lato del quadrato è 12 cm Ora scopri solo l'area della base: 12 * 12 = 144 cm 2.

Per scoprire l'area dell'intera superficie, è necessario aggiungere il doppio della superficie di base e quadruplicare la superficie laterale. Quest'ultimo si trova facilmente utilizzando la formula del rettangolo: moltiplica l'altezza del poliedro per il lato della base. Cioè, 14 e 12, questo numero sarà pari a 168 cm 2. La superficie totale del prisma risulta essere 960 cm 2.

Risposta. L'area della base del prisma è 144 cm 2. L'intera superficie è di 960 cm 2.

N. 2. Dato Alla base c'è un triangolo con il lato di 6 cm. In questo caso la diagonale della faccia laterale è di 10 cm. Calcola le aree: la base e la superficie laterale.

Soluzione. Poiché il prisma è regolare, la sua base è un triangolo equilatero. Pertanto la sua area risulta essere 6 quadrati, moltiplicata per ¼ e la radice quadrata di 3. Un semplice calcolo porta al risultato: 9√3 cm 2. Questa è l'area di una base del prisma.

Tutte le facce laterali sono uguali e sono rettangoli con lati di 6 e 10 cm. Per calcolare le loro aree basta moltiplicare questi numeri. Poi moltiplicateli per tre, perché il prisma ha esattamente altrettante facce laterali. Quindi l'area della superficie laterale della ferita risulta essere 180 cm 2.

Risposta. Aree: base - 9√3 cm 2, superficie laterale del prisma - 180 cm 2.

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Supponiamo di dover trovare il volume di un prisma triangolare retto, la cui area di base è uguale a S e l'altezza è uguale a H= AA’ = BB’ = CC’ (Fig. 306).

Disegniamo separatamente la base del prisma, cioè il triangolo ABC (fig. 307, a), e costruiamolo in un rettangolo, per il quale tracciamo una linea retta KM attraverso il vertice B || AC e dai punti A e C abbassiamo su questa linea le perpendicolari AF e CE. Otteniamo il rettangolo ACEF. Disegnando l'altezza ВD del triangolo ABC, vediamo che il rettangolo ACEF è diviso in 4 triangolo rettangolo. Inoltre, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD e \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Ciò significa che l’area del rettangolo ACEF è doppia dell’area del triangolo ABC, cioè pari a 2S.

A questo prisma con base ABC attaccheremo prismi con basi ALL e BAF e altezza H(Fig. 307, b). Otteniamo un parallelepipedo rettangolare con base ACEF.

Se sezioniamo questo parallelepipedo con un piano passante per le rette BD e BB’, vedremo che il parallelepipedo rettangolo è formato da 4 prismi con basi BCD, ALL, BAD e BAF.

I prismi con basi BCD e BC possono essere combinati, poiché le loro basi sono uguali (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) e anche i loro bordi laterali, che sono perpendicolari allo stesso piano, sono uguali. Ciò significa che i volumi di questi prismi sono uguali. Anche i volumi dei prismi con basi BAD e BAF sono uguali.

Risulta quindi che il volume di un dato prisma triangolare con base ABC è la metà del volume parallelepipedo rettangolare con base ACEF.

Sappiamo che il volume di un parallelepipedo rettangolare è pari al prodotto dell'area della sua base per la sua altezza, ovvero in questo caso è pari a 2S H. Quindi il volume di questo prisma triangolare retto è uguale a S H.

Il volume di un prisma triangolare retto è uguale al prodotto dell'area della sua base e della sua altezza.

2. Volume di un prisma poligonale retto.

Per trovare il volume di un prisma poligonale retto, ad esempio pentagonale, con area di base S e altezza H, dividiamolo in prismi triangolari (Fig. 308).

Designazione dell'area di base prismi triangolari per S 1, S 2 e S 3, e il volume di un dato prisma poligonale per V, otteniamo:

V = S1 H+S2 H+S3 H, O

V = (S1 + S2 + S3) H.

E infine: V = S H.

Allo stesso modo si ricava la formula per il volume di un prisma rettilineo avente alla base un qualsiasi poligono.

Significa, Il volume di qualsiasi prisma retto è uguale al prodotto dell'area della sua base e della sua altezza.

Volume del prisma

Teorema. Il volume di un prisma è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza.

Prima dimostriamo questo teorema per un prisma triangolare e poi per uno poligonale.

1) Disegniamo (Fig. 95) attraverso il bordo AA 1 del prisma triangolare ABCA 1 B 1 C 1 un piano parallelo alla faccia BB 1 C 1 C, e attraverso il bordo CC 1 - un piano parallelo alla faccia AA1B1B; quindi continueremo i piani di entrambe le basi del prisma finché non si intersecano con i piani disegnati.

Otteniamo quindi un parallelepipedo BD 1, che è diviso dal piano diagonale AA 1 C 1 C in due prismi triangolari (uno dei quali è questo). Dimostriamo che questi prismi hanno la stessa dimensione. Per fare ciò, disegniamo una sezione perpendicolare abcd. La sezione trasversale produrrà un parallelogramma la cui diagonale caè diviso in due triangoli uguali. Questo prisma ha le stesse dimensioni di un prisma diritto la cui base è \(\Delta\) abc, e l'altezza è il bordo AA 1. Un altro prisma triangolare ha area uguale a una linea retta la cui base è \(\Delta\) adc, e l'altezza è il bordo AA 1. Ma due prismi dritti con ugualmente e altezze uguali sono uguali (perché quando annidate sono combinate), il che significa che i prismi ABCA 1 B 1 C 1 e ADCA 1 D 1 C 1 hanno dimensioni uguali. Ne consegue che il volume di questo prisma è la metà del volume del parallelepipedo BD 1; pertanto, indicando l'altezza del prisma con H, otteniamo:

$$ V_(\Delta es.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Tracciamo i piani diagonali AA 1 C 1 C e AA 1 D 1 D attraverso il bordo AA 1 del prisma poligonale (Fig. 96).

Quindi questo prisma verrà tagliato in diversi prismi triangolari. La somma dei volumi di questi prismi costituisce il volume richiesto. Se indichiamo le aree delle loro basi con B 1 , B 2 , B 3, e l'altezza totale attraverso H, otteniamo:

volume del prisma poligonale = B 1 ora+ B 2 ore+ B 3H =( B 1 + B 2 + B 3) H =

= (zona ABCDE) H.

Conseguenza. Se V, B e H sono numeri che esprimono nelle unità corrispondenti volume, area di base e altezza del prisma, allora, secondo quanto dimostrato, possiamo scrivere:

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