EntrataConcetto di simmetria assiale. Rettangolo, diamante e quadrato
edificio con facciata architettonica simmetrica
La simmetria è un concetto che riflette l'ordine esistente in natura, proporzionalità e proporzionalità tra gli elementi di qualsiasi sistema o oggetto della natura, ordine, equilibrio del sistema, stabilità, ad es. qualche elemento di armonia.
Sono trascorsi millenni prima che l'umanità, nel corso delle sue attività sociali e produttive, si rendesse conto della necessità di esprimere in alcuni concetti le due tendenze che aveva stabilito primariamente nella natura: la presenza di un ordine rigoroso, la proporzionalità, l'equilibrio e la loro violazione. Le persone prestano da tempo attenzione alla forma corretta dei cristalli, al rigore geometrico della struttura dei favi, alla sequenza e ripetibilità della disposizione di rami e foglie su alberi, petali, fiori, semi di piante, e riflettono questo ordine nei loro attività pratiche, pensiero e arte.
Oggetti e fenomeni della natura vivente hanno simmetria. Non solo piace alla vista e ispira i poeti di tutti i tempi e di tutti i popoli, ma consente agli organismi viventi di adattarsi meglio al loro ambiente e semplicemente di sopravvivere.
Nella natura vivente, la stragrande maggioranza degli organismi viventi esibisce vari tipi simmetrie (forma, somiglianza, posizione relativa). Inoltre, organismi di diverso struttura anatomica possono avere lo stesso tipo di simmetria esterna.
Il principio di simmetria afferma che se lo spazio è omogeneo, il trasferimento di un sistema nel suo insieme nello spazio non modifica le proprietà del sistema. Se tutte le direzioni nello spazio sono equivalenti, allora il principio di simmetria consente la rotazione dell'intero sistema nello spazio. Il principio di simmetria è rispettato se si cambia l'origine del tempo. Secondo il principio, è possibile effettuare una transizione verso un altro sistema di riferimento muovendosi rispetto a questo sistema a velocità costante. Il mondo inanimato è molto simmetrico. Spesso violazioni di simmetria fisica quantistica particelle elementari- questa è una manifestazione di una simmetria ancora più profonda. L'asimmetria è un principio di formazione strutturale e creativo della vita. Nelle cellule viventi, le biomolecole funzionalmente significative sono asimmetriche: le proteine sono costituite da aminoacidi levogiri (forma L) e acidi nucleici contengono, oltre alle basi eterocicliche, carboidrati destrogiri - zuccheri (forma D), inoltre, il DNA stesso - la base dell'ereditarietà è una doppia elica destrorsa.
I principi di simmetria sono alla base della teoria della relatività, della meccanica quantistica, della fisica dello stato solido, della fisica atomica e nucleare e della fisica delle particelle. Questi principi sono espressi più chiaramente nelle proprietà di invarianza delle leggi della natura. Non stiamo parlando solo di leggi fisiche, ma anche di altre, ad esempio quelle biologiche. Un esempio di legge biologica di conservazione è la legge di eredità. Si basa sull'invarianza proprietà biologiche in relazione al passaggio da una generazione all’altra. È abbastanza ovvio che senza le leggi di conservazione (fisiche, biologiche e altre), il nostro mondo semplicemente non potrebbe esistere.
Pertanto, la simmetria esprime la conservazione di qualcosa nonostante alcuni cambiamenti o la conservazione di qualcosa nonostante un cambiamento. La simmetria presuppone l'invariabilità non solo dell'oggetto stesso, ma anche di qualsiasi sua proprietà in relazione alle trasformazioni eseguite sull'oggetto. L'immutabilità di alcuni oggetti può essere osservata in relazione a varie operazioni: rotazioni, traslazioni, sostituzione reciproca di parti, riflessioni, ecc.
Consideriamo i tipi di simmetria in matematica:
- * centrale (relativo al punto)
- * assiale (relativamente dritto)
- * specchio (relativo all'aereo)
- 1. Simmetria centrale (Appendice 1)
Una figura si dice simmetrica rispetto al punto O se, per ogni punto della figura, a questa figura appartiene anche un punto simmetrico rispetto al punto O. Il punto O è chiamato centro di simmetria della figura.
Il concetto di centro di simmetria fu incontrato per la prima volta nel XVI secolo. In uno dei teoremi di Clavio, che recita: “se un parallelepipedo viene tagliato da un piano passante per il centro, allora viene diviso a metà e, viceversa, se un parallelepipedo viene tagliato a metà, allora il piano passa per il centro”. Legendre, che per primo introdusse elementi della dottrina della simmetria nella geometria elementare, mostra che un parallelepipedo retto ha 3 piani di simmetria perpendicolari agli spigoli, e un cubo ha 9 piani di simmetria, di cui 3 perpendicolari agli spigoli, e il altri 6 passano per le diagonali delle facce.
Esempi di figure che hanno simmetria centrale sono il cerchio e il parallelogramma.
In algebra, quando si studiano le funzioni pari e dispari, vengono considerati i loro grafici. Una volta costruito, il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate e il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, cioè punto O. Ciò significa che la funzione dispari ha simmetria centrale e la funzione pari ha simmetria assiale.
2. Simmetria assiale (Appendice 2)
Una figura si dice simmetrica rispetto alla retta a se, per ogni punto della figura, a questa figura appartiene anche un punto simmetrico rispetto alla retta a. La retta a è detta asse di simmetria della figura. Si dice anche che la figura abbia una simmetria assiale.
In senso più stretto, l'asse di simmetria è chiamato asse di simmetria del secondo ordine e parla di “simmetria assiale”, che può essere definita come segue: una figura (o corpo) ha simmetria assiale attorno a un certo asse se ciascuno di i suoi punti E corrispondono ad un punto F appartenente alla stessa figura, cioè il segmento EF è perpendicolare all'asse, lo interseca e nel punto di intersezione è diviso a metà.
Darò esempi di figure che hanno simmetria assiale. Un angolo non sviluppato ha un asse di simmetria: la linea retta su cui si trova la bisettrice dell'angolo. Anche un triangolo isoscele (ma non equilatero) ha un asse di simmetria, e un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria. Un rettangolo e un rombo, che non sono quadrati, hanno ciascuno due assi di simmetria, mentre un quadrato ha quattro assi di simmetria. Un cerchio ne ha un numero infinito: qualsiasi linea retta passante per il suo centro è un asse di simmetria.
Ci sono figure che non hanno un solo asse di simmetria. Tali figure includono un parallelogramma, diverso da un rettangolo, e un triangolo scaleno.
3. Simmetria speculare (Appendice 3)
La simmetria speculare (simmetria relativa a un piano) è una mappatura dello spazio su se stesso in cui qualsiasi punto M entra in un punto M1 che è simmetrico rispetto a questo piano.
La simmetria dello specchio è ben nota a ogni persona dall'osservazione quotidiana. Come suggerisce il nome stesso, la simmetria speculare collega qualsiasi oggetto e il suo riflesso in uno specchio piano. Si dice che una figura (o corpo) sia speculare simmetrica rispetto a un'altra se insieme formano una figura (o corpo) speculare.
I giocatori di biliardo conoscono da tempo l'azione della riflessione. I loro “specchi” sono i lati campo da gioco, e il ruolo di un raggio di luce è svolto dalle traiettorie delle palline. Dopo aver colpito il lato vicino all'angolo, la palla rotola verso il lato situato ad angolo retto e, dopo essere stata riflessa da esso, torna indietro parallelamente alla direzione del primo impatto.
Va notato che due figure simmetriche o due parti simmetriche di una figura, nonostante tutte le loro somiglianze, l'uguaglianza dei volumi e delle superfici, nel caso generale, sono disuguali, cioè non possono essere combinati tra loro. Si tratta di figure diverse, non possono essere sostituite tra loro, ad esempio il guanto, lo stivale giusto, ecc. non adatto per il braccio o la gamba sinistra. Gli elementi possono avere uno, due, tre, ecc. piani di simmetria. Ad esempio, una piramide retta, la cui base è un triangolo isoscele, è simmetrica rispetto a un piano P. Un prisma con la stessa base ha due piani di simmetria. Un prisma esagonale regolare ne ha sette. Corpi di rotazione: sfera, toro, cilindro, cono, ecc. avere un numero infinito di piani di simmetria.
Gli antichi greci credevano che l'universo fosse simmetrico semplicemente perché la simmetria è bella. Basandosi su considerazioni di simmetria, hanno fatto una serie di ipotesi. Così Pitagora (V secolo a.C.), considerando la sfera la più simmetrica e forma perfetta, ha tratto una conclusione sulla sfericità della Terra e sul suo movimento lungo la sfera. Allo stesso tempo, credeva che la Terra si muovesse lungo la sfera di un certo "fuoco centrale". Secondo Pitagora, i sei pianeti conosciuti a quel tempo, così come la Luna, il Sole e le stelle, avrebbero dovuto ruotare attorno allo stesso “fuoco”.
Obiettivo della lezione:
- formazione del concetto" punti simmetrici";
- insegnare ai bambini a costruire punti simmetrici ai dati;
- imparare a costruire segmenti simmetrici ai dati;
- consolidamento di quanto appreso (formazione di abilità computazionali, divisione di un numero a più cifre per un numero a una cifra).
Sul supporto “per la lezione” ci sono le carte:
1. Momento organizzativo
Saluti.
L'insegnante attira l'attenzione sullo stand:
Bambini, iniziamo la lezione pianificando il nostro lavoro.
Oggi nella lezione di matematica faremo un viaggio in 3 regni: il regno dell'aritmetica, dell'algebra e della geometria. Iniziamo la lezione con la cosa più importante per noi oggi, con la geometria. Ti racconterò una fiaba, ma "Una fiaba è una bugia, ma contiene un suggerimento: una lezione per bravi ragazzi".
": Un filosofo di nome Buridan aveva un asino. Una volta, partendo per molto tempo, il filosofo mise due bracciate di fieno identiche davanti all'asino. Mise una panchina, a sinistra della panchina e a destra di essa , alla stessa distanza, pose bracciate di fieno completamente identiche.
Figura 1 sulla lavagna:
L'asino passò da una bracciata di fieno all'altra, ma non sapeva ancora con quale bracciata cominciare. E alla fine morì di fame."
Perché l'asino non ha deciso con quale bracciata di fieno iniziare?
Che dire di queste bracciate di fieno?
(Le manciate di fieno sono esattamente le stesse, erano alla stessa distanza dalla panca, il che significa che sono simmetriche).
2. Facciamo una piccola ricerca.
Prendi un foglio di carta (ogni bambino ha un foglio di carta colorato sul proprio banco), piegalo a metà. Forarlo con la gamba di un compasso. Espandere.
Cosa hai ottenuto? (2 punti simmetrici).
Come puoi essere sicuro che siano veramente simmetrici? (pieghiamo il foglio, i punti combaciano)
3. Sul tabellone:
Pensi che questi punti siano simmetrici? (NO). Perché? Come possiamo esserne sicuri?
Figura 3:
I punti A e B sono simmetrici?
Come possiamo dimostrarlo?
(Misura la distanza dalla linea retta ai punti)
Torniamo ai nostri pezzi di carta colorata.
Misura la distanza dalla linea di piegatura (asse di simmetria) prima a uno e poi all'altro punto (ma prima collegali con un segmento).
Cosa puoi dire di queste distanze?
(identico)
Trova la metà del tuo segmento.
Dove si trova?
(È il punto di intersezione del segmento AB con l'asse di simmetria)
4. Presta attenzione agli angoli, formato come risultato dell'intersezione del segmento AB con l'asse di simmetria. (Lo scopriamo con l'aiuto di un quadratino, ogni bambino lavora al proprio posto di lavoro, uno studia alla lavagna).
Conclusione dei bambini: il segmento AB è ad angolo retto rispetto all'asse di simmetria.
Senza saperlo, ora abbiamo scoperto una regola matematica:
Se i punti A e B sono simmetrici rispetto ad una retta o asse di simmetria, allora il segmento che collega questi punti è ad angolo retto o perpendicolare a questa retta. (La parola “perpendicolare” è scritta separatamente sul supporto). Diciamo ad alta voce la parola “perpendicolare” in coro.
5. Prestiamo attenzione a come è scritta questa regola nel nostro libro di testo.
Lavora secondo il libro di testo.
Trova punti simmetrici rispetto alla retta. I punti A e B saranno simmetrici rispetto a questa retta?
6. Lavorando su nuovo materiale.
Impariamo come costruire punti simmetrici ai dati relativi ad una linea retta.
L'insegnante insegna il ragionamento.
Per costruire un punto simmetrico al punto A, è necessario spostare questo punto dalla linea retta alla stessa distanza verso destra.
7. Impareremo a costruire segmenti simmetrici ai dati relativi ad una linea retta. Lavora secondo il libro di testo.
Gli studenti ragionano alla lavagna.
8. Conteggio orale.
Qui termineremo il nostro soggiorno nel Regno della “Geometria” e faremo un piccolo riscaldamento matematico visitando il Regno dell’“Aritmetica”.
Mentre tutti lavorano oralmente, due studenti lavorano su schede individuali.
A) Eseguire la divisione con verifica:
B) Dopo aver inserito i numeri richiesti, risolvi l'esempio e verifica:
Conteggio orale.
- La durata della vita di una betulla è di 250 anni e una quercia è 4 volte più lunga. Quanto vive una quercia?
- Un pappagallo vive in media 150 anni e un elefante 3 volte meno. Quanti anni vive un elefante?
- L'orso gli ha invitato gli ospiti: un riccio, una volpe e uno scoiattolo. E come regalo gli hanno regalato un vasetto di senape, una forchetta e un cucchiaio.
Cosa ha dato il riccio all'orso?
- Possiamo rispondere a questa domanda se eseguiamo questi programmi.
- Senape - 7
- Forchetta - 8
Cucchiaio - 6
(Il riccio ha dato un cucchiaio)
- 810: 90
- 360: 60
- 420: 7
- 560: 80
4) Calcola. Trova un altro esempio.
3 9 81 2 16
5 10 20 6 24
9. 5) Trova uno schema e aiuta a scrivere il numero richiesto:
Ora riposiamoci un po'.
10. Ascoltiamo la Sonata al chiaro di luna di Beethoven. Un minuto di musica classica. Gli studenti appoggiano la testa sul banco, chiudono gli occhi e ascoltano la musica.
Viaggio nel regno dell'algebra.
Indovina le radici dell'equazione e verifica:
11. "Gli studenti risolvono problemi alla lavagna e sui quaderni. Spiegano come hanno indovinato. .
Torneo lampo"
a) Asya ha acquistato 5 bagel per a rubli e 2 pani per b rubli. Quanto costa l'intero acquisto?
12. Controlliamo. Condividiamo le nostre opinioni.
Riassumendo.
Quindi, abbiamo completato il nostro viaggio nel regno della matematica.
Qual è stata la cosa più importante per te durante la lezione?
A chi è piaciuta la nostra lezione?
È stato un piacere lavorare con te
Grazie per la lezione Definizione. La simmetria (significa “proporzionalità”) è la proprietà degli oggetti geometrici di combinarsi con se stessi sotto determinate trasformazioni. Sotto simmetria comprendere ogni correttezza in struttura interna
corpi o figure. Simmetria rispetto ad un punto - questa è la simmetria centrale (Fig. 23 sotto), e simmetria rispetto ad una retta
corpi o figure.- questa è simmetria assiale (Fig. 24 sotto).
presuppone che su entrambi i lati di un punto ci sia qualcosa a uguale distanza, ad esempio altri punti o il luogo dei punti (linee rette, linee curve, figure geometriche).
Se colleghi punti simmetrici (punti di una figura geometrica) con una linea retta attraverso un punto di simmetria, i punti simmetrici si troveranno alle estremità della linea retta e il punto di simmetria sarà il suo centro. Se fissi il punto di simmetria e ruoti la linea retta, i punti simmetrici descriveranno delle curve, ciascun punto delle quali sarà anche simmetrico rispetto al punto dell'altra linea curva. Simmetria rispetto ad una linea retta
Un esempio potrebbe essere un foglio di quaderno piegato a metà se si traccia una linea retta lungo la linea di piegatura (asse di simmetria). Ogni punto su una metà del foglio avrà un punto simmetrico sulla seconda metà del foglio se si trovano alla stessa distanza dalla linea di piegatura e perpendicolari all'asse.
La linea di simmetria assiale, come in Figura 24, è verticale e i bordi orizzontali del foglio sono perpendicolari ad essa. Cioè, l'asse di simmetria funge da perpendicolare ai punti medi delle rette orizzontali che delimitano il foglio. I punti simmetrici (R e F, C e D) si trovano alla stessa distanza dalla linea assiale, perpendicolare alle linee che collegano questi punti. Di conseguenza, tutti i punti della perpendicolare (asse di simmetria) passante per il centro del segmento sono equidistanti dalle sue estremità; oppure qualsiasi punto perpendicolare (asse di simmetria) al centro di un segmento è equidistante dalle estremità di questo segmento.
6.7.3. Simmetria assiale
Punti UN E UN 1 sono simmetrici rispetto alla retta m, poiché la retta m è perpendicolare al segmento AA1 e passa per il suo mezzo.
M– asse di simmetria.
Rettangolo ABCD ha due assi di simmetria: dritto M E l.
Se il disegno è piegato in linea retta M o in linea retta io, quindi entrambe le parti del disegno coincideranno.
Piazza ABCD ha quattro assi di simmetria: dritto M, l, k E S.
Se il quadrato è piegato lungo una qualsiasi delle linee rette: M, l, k O S, allora entrambi i lati del quadrato coincideranno.
Una circonferenza con centro nel punto O e raggio OA ha un numero infinito di assi di simmetria. Queste sono linee rette: m, m1, m2, m 3 .
Esercizio. Costruisci il punto A 1 simmetrico al punto A(-4; 2) rispetto all'asse del bue.
Costruisci il punto A 2 simmetrico al punto A(-4; 2) rispetto all'asse Oy.
Il punto A 1 (-4; -2) è simmetrico al punto A (-4; 2) rispetto all'asse del bue, poiché l'asse del bue è perpendicolare al segmento AA 1 e passa per il suo centro.
Per i punti simmetrici rispetto all'asse del Bue, le ascisse coincidono e le ordinate sono numeri opposti.
Il punto A 2 (4; -2) è simmetrico al punto A (-4; 2) rispetto all'asse Oy, poiché l'asse Oy è perpendicolare al segmento AA 2 e passa per il suo centro.
Per i punti simmetrici rispetto all'asse Oy, le ordinate coincidono e le ascisse sono numeri opposti.
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Simmetrie centrali e assiali
Simmetria centrale
Due punti A e A 1 si dicono simmetrici rispetto al punto O se O è il centro del segmento AA 1 (Fig. 1). Il punto O è considerato simmetrico a se stesso.
Esempio di simmetria centrale
Una figura si dice simmetrica rispetto al punto O se, per ogni punto della figura, a questa figura appartiene anche un punto simmetrico rispetto al punto O. Il punto O è chiamato centro di simmetria della figura.
Si dice anche che la figura abbia una simmetria centrale.
Esempi di figure con simmetria centrale sono un cerchio e un parallelogramma (Fig. 2).
Il centro di simmetria di un cerchio è il centro del cerchio, mentre il centro di simmetria di un parallelogramma è il punto di intersezione delle sue diagonali. Anche una linea retta ha una simmetria centrale, ma a differenza di un cerchio e di un parallelogramma, che hanno un solo centro di simmetria (punto O in Fig. 2), una linea retta ne ha un numero infinito: qualsiasi punto sulla linea retta è il suo centro di simmetria.
Simmetria assiale
Due punti A e A 1 si dicono simmetrici rispetto alla retta a se questa passa per il centro del segmento AA 1 ed è ad esso perpendicolare (Fig. 3). Ogni punto della linea a è considerato simmetrico a se stesso.
Una figura si dice simmetrica rispetto alla retta a se per ogni punto della figura a questa figura appartiene anche un punto simmetrico rispetto alla retta a.
La retta a è detta asse di simmetria della figura.
Esempi di tali figure e dei loro assi di simmetria sono mostrati nella Figura 4.
Nota che per un cerchio ogni linea retta passante per il suo centro è un asse di simmetria.
Confronto di simmetrie
Simmetrie centrali e assiali
Quanti assi di simmetria ha la figura mostrata in figura?
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Lezione “Simmetria assiale e centrale” Breve descrizione del documento: La simmetria è sufficiente
argomento interessante in geometria, poiché questo stesso concetto si incontra molto spesso non solo nel processo della vita umana ma anche nella natura. La prima parte della presentazione video “Simmetria assiale e centrale” fornisce la definizione della simmetria di due punti rispetto ad una linea retta su un piano. La condizione della loro simmetria è la possibilità di tracciare attraverso di essi un segmento, nel mezzo del quale passerà una determinata retta.
Condizione richiesta
Dopo aver ricevuto i concetti iniziali di simmetria, agli studenti viene fornita una definizione più complessa di figura simmetrica rispetto a una linea retta. La definizione è offerta sotto forma di regola testuale ed è anche accompagnata da una voce fuori campo del relatore. Questa parte si conclude con esempi di simmetrici e non simmetrici figure simmetriche, relativamente dritto. È interessante notare che ci sono figure geometriche che hanno diversi assi di simmetria: tutte sono chiaramente presentate sotto forma di disegni, in cui gli assi sono evidenziati in un colore separato. Puoi rendere più comprensibile il materiale proposto in questo modo: un oggetto o una figura è simmetrico se coincide esattamente quando piega le due metà attorno al proprio asse.
Oltre alla simmetria assiale, esiste una simmetria attorno a un punto. A questo concetto è dedicata la parte successiva della video presentazione. Innanzitutto viene data una definizione della simmetria di due punti rispetto a un terzo, poi viene fornito un esempio sotto forma di figura, che mostra una coppia di punti simmetrici e asimmetrici. Questa parte della lezione si conclude con esempi di figure geometriche che hanno o meno un centro di simmetria.
Alla fine della lezione, gli studenti sono invitati a familiarizzare di più esempi lampanti simmetrie riscontrabili nel mondo circostante. La comprensione e la capacità di costruire figure simmetriche sono semplicemente necessarie nella vita delle persone che svolgono una varietà di professioni. Fondamentalmente, la simmetria è la base di tutta la civiltà umana, poiché 9 oggetti su 10 che circondano una persona hanno un tipo di simmetria o un altro. Senza simmetria, la costruzione di molte grandi strutture architettoniche non sarebbe stata possibile, non sarebbe stato possibile raggiungere capacità industriali impressionanti, e così via. In natura, anche la simmetria è un fenomeno molto comune e, sebbene sia quasi impossibile trovarla negli oggetti inanimati, il mondo vivente ne è letteralmente pieno: quasi tutta la flora e la fauna, con rare eccezioni, hanno una simmetria assiale o centrale.
Il programma scolastico regolare è concepito in modo tale da poter essere compreso da qualsiasi studente ammesso alla lezione. Una presentazione video rende questo processo molte volte più semplice, poiché colpisce contemporaneamente diversi centri per lo sviluppo delle informazioni, fornisce materiale in diversi colori, costringendo così gli studenti a concentrare la loro attenzione sulla cosa più importante durante la lezione. A differenza del solito modo di insegnare nelle scuole, quando non tutti gli insegnanti hanno l'opportunità o il desiderio di rispondere alle domande chiarificatrici degli studenti, una lezione video può essere facilmente riavvolta nel punto richiesto per ascoltare di nuovo l'oratore e leggere di nuovo le informazioni necessarie , fino a quando non sarà pienamente compreso. Considerata la facilità di presentazione del materiale, la video presentazione può essere utilizzata non solo durante l'orario scolastico, ma anche a casa, come metodo indipendente formazione.
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Presentazione “Movimenti. Simmetria assiale"
Documenti in archivio:
Titolo del documento 8.
Descrizione della presentazione per singole diapositive:
La simmetria centrale è un esempio di movimento
Definizione: la simmetria assiale con l'asse a è una mappatura dello spazio su se stesso, in cui qualsiasi punto K va in un punto K1 simmetrico ad esso rispetto all'asse a
1) Оxyz - sistema di coordinate rettangolari Оz - asse di simmetria 2) М(x; y; z) e M1(x1; y1; z1), simmetrici rispetto all'asse Оz Le formule saranno vere anche se il punto М ⊂ Оz La simmetria assiale è il movimento Z X Y Ì(x; y; z) M1(x1; y1; z1) O
Dimostrare: Problema 1 con simmetria assiale, una linea retta che forma un angolo φ con l'asse di simmetria è mappata su una linea retta, che forma anch'essa un angolo φ con l'asse di simmetria Soluzione: con simmetria assiale, una linea retta che forma un angolo φ con l'asse di simmetria viene mappato su una linea retta, formando anche con l'asse di simmetria l'angolo φ A F E N m l a φ φ
Dati: 2) △ABD - rettangolare, secondo il teorema di Pitagora: 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) △BDD2 - rettangolare, secondo il teorema di Pitagora: Problema 2 Trova: BD2 Soluzione:
wiki.eduvdom.com
Presentazione “Movimenti. Simmetria assiale" rappresenta materiale visivo spiegare le principali disposizioni di questo argomento in una lezione di matematica scolastica. In questa presentazione, la simmetria assiale è considerata come un altro tipo di movimento. Durante la presentazione agli studenti viene ricordato il concetto studiato di simmetria centrale, viene data una definizione di simmetria assiale, viene dimostrata la proposizione che la simmetria assiale è movimento, e la soluzione di due problemi in cui è necessario operare con il concetto di viene descritta la simmetria assiale.
La simmetria rotazionale è un movimento, quindi rappresentarlo su una lavagna è impegnativo. È possibile realizzare costruzioni più chiare e comprensibili utilizzando mezzi elettronici. Grazie a ciò le strutture sono ben visibili da qualsiasi scrivania dell'aula. Nei disegni è possibile evidenziare a colori i dettagli della costruzione e focalizzare l'attenzione sulle caratteristiche dell'intervento. Gli effetti di animazione vengono utilizzati per lo stesso scopo. Con l'aiuto degli strumenti di presentazione, è più facile per l'insegnante raggiungere gli obiettivi di apprendimento, quindi la presentazione viene utilizzata per aumentare l'efficacia della lezione.
La dimostrazione inizia ricordando agli studenti il tipo di movimento che hanno imparato: la simmetria centrale. Un esempio dell'applicazione dell'operazione è la visualizzazione simmetrica di una pera disegnata. Sul piano viene segnato un punto rispetto al quale ogni punto dell'immagine diventa simmetrico. L'immagine visualizzata risulta quindi invertita. In questo caso, tutte le distanze tra i punti dell'oggetto vengono preservate con simmetria centrale.
La seconda diapositiva introduce il concetto di simmetria assiale. La figura mostra un triangolo, ciascuno dei suoi vertici si trasforma in un vertice simmetrico del triangolo rispetto ad un determinato asse. La definizione di simmetria assiale è evidenziata nel riquadro. Si nota che con esso ogni punto dell'oggetto diventa simmetrico.
Successivamente, in un sistema di coordinate rettangolari, viene considerata la simmetria assiale, le proprietà delle coordinate di un oggetto visualizzate utilizzando la simmetria assiale, ed è anche dimostrato che con questa mappatura le distanze vengono preservate, che è un segno di movimento. Sul lato destro della diapositiva c'è un sistema di coordinate rettangolari Oxyz. Come asse di simmetria viene preso l'asse di Oz. Nello spazio viene segnato un punto M che, con opportuna mappatura, si trasforma in M 1. La figura mostra che con la simmetria assiale il punto mantiene la sua applicata.
Si nota che la media aritmetica dell'ascissa e dell'ordinata di questa mappatura a simmetria assiale è pari a zero, cioè (x+ x 1)/2=0; (y+y1)/2=0. Altrimenti, ciò indica che x=-x 1 ; y=-y 1 ; z=z1. La regola vale anche se sull'asse di Oz stesso è segnato il punto M.
Per considerare se le distanze tra i punti vengono preservate con la simmetria assiale, viene descritta un'operazione sui punti A e B. Visualizzati rispetto all'asse Oz, i punti descritti vanno in A1 e B1. Per determinare la distanza tra i punti, utilizziamo una formula in cui la distanza viene calcolata in base alle coordinate. Si noti che AB=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), e per i punti visualizzati A 1 B 1 =√(-x 2 +x 1) 2 +(-y 2 +y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2). Tenendo conto delle proprietà della quadratura, si può notare che AB = A 1 B 1. Ciò suggerisce che le distanze vengono mantenute tra i punti - caratteristica principale movimenti. Ciò significa che la simmetria assiale è movimento.
La diapositiva 5 discute la soluzione del problema 1. In essa è necessario dimostrare l'affermazione che una linea retta che passa con un angolo φ rispetto all'asse di simmetria forma con esso lo stesso angolo φ. Per il problema, viene fornita un'immagine su cui è disegnato l'asse di simmetria, nonché una linea retta m, che forma un angolo φ con l'asse di simmetria, e rispetto al suo asse la sua rappresentazione è una linea retta l. La dimostrazione dell'affermazione inizia con la costruzione di punti aggiuntivi. Si noti che la retta m interseca l'asse di simmetria in A. Se segniamo il punto F≠A su questa retta e trasciniamo da essa una perpendicolare all'asse di simmetria, otteniamo l'intersezione della perpendicolare con l'asse di simmetria nel punto E. Con simmetria assiale, il segmento FE va nel segmento NE. Come risultato di questa costruzione, sono stati ottenuti i triangoli rettangoli ΔAEF e ΔAEN. Questi triangoli sono uguali, poiché AE è il loro lato comune, e FE = NE sono uguali nella costruzione. Di conseguenza, l'angolo ∠EAN=∠EAF. Ne consegue che la retta visualizzata forma anche un angolo φ con l'asse di simmetria. Il problema è risolto.
L'ultima diapositiva discute la soluzione del problema 2, in cui ti viene dato un cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 con il lato a. È noto che dopo la simmetria attorno all'asse contenente lo spigolo B 1 D 1, il punto D entra in D 1. Il problema richiede di trovare BD 2. Viene fatta una costruzione per il problema. La figura mostra un cubo, da cui si vede che l'asse di simmetria è la diagonale della faccia del cubo B 1 D 1. Il segmento formato dallo spostamento del punto D è perpendicolare al piano della faccia a cui appartiene l'asse di simmetria. Poiché le distanze tra i punti vengono mantenute durante il movimento, allora DD 1 = D 1 D 2 =a, cioè la distanza DD 2 =2a. Da triangolo rettangoloΔABD per il teorema di Pitagora segue che BD=√(AB 2 +AD 2)=a√2. Dal triangolo rettangolo ΔВDD 2 segue per il teorema di Pitagora BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2) = а√6. Il problema è risolto.
Presentazione “Movimenti. Simmetria assiale" viene utilizzata per aumentare l'efficienza lezione scolastica matematica. Questo metodo di visualizzazione aiuterà anche l'insegnante a condurre l'apprendimento a distanza. Il materiale può essere offerto per una considerazione indipendente da parte degli studenti che non hanno padroneggiato sufficientemente bene l'argomento della lezione.
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Istruzioni
Consigli utili
Le proprietà di simmetria vengono utilizzate costantemente in AutoCAD. Per fare ciò, utilizzare l'opzione Mirror. Per costruire un triangolo isoscele o un trapezio isoscele è sufficiente disegnare la base inferiore e l'angolo formato da questa con il lato. Riflettili utilizzando il comando specificato ed estendi i lati alla dimensione richiesta. Nel caso di un triangolo, questo sarà il punto della loro intersezione, mentre nel caso di un trapezio questo sarà un dato valore.
Ti imbatti costantemente nella simmetria negli editor grafici quando usi l'opzione "capovolgi verticalmente/orizzontalmente". In questo caso, l'asse di simmetria viene considerato una linea retta corrispondente a uno dei lati verticale o orizzontale della cornice.
- Fonti:
Costruire una sezione trasversale di un cono non è un compito così difficile. La cosa principale è seguire una rigorosa sequenza di azioni. Quindi questo compito sarà facilmente realizzabile e non richiederà molto lavoro da parte tua.
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- - carta;
- - penna;
- - cerchio;
- - governate.
- un computer con un editor grafico.
Quando rispondi a questa domanda, devi prima decidere quali parametri definiscono la sezione.
Sia questa la retta di intersezione del piano l col piano e il punto O, che è l'intersezione con la sua sezione.
La costruzione è illustrata in Fig. 1. Il primo passo nella costruzione di una sezione è attraverso il centro della sezione del suo diametro, esteso fino a l perpendicolare a questa linea. Il risultato è il punto L. Successivamente, traccia una linea retta LW attraverso il punto O e costruisci due coni guida che giacciono nella sezione principale O2M e O2C. All'intersezione di queste guide si trovano il punto Q, così come il punto W già mostrato. Questi sono i primi due punti della sezione desiderata.
Disegna ora una perpendicolare MS alla base del cono BB1 e costruisci le generatrici della sezione perpendicolare O2B e O2B1. In questa sezione, attraverso il punto O, tracciare una linea retta RG parallela a BB1. Т.R e Т.G sono altri due punti della sezione desiderata. Se si conoscesse la sezione trasversale della palla, questa potrebbe essere costruita già in questa fase. Questa però non è affatto un'ellisse, ma qualcosa di ellittico che ha simmetria rispetto al segmento QW. Pertanto, dovresti costruire il maggior numero possibile di punti di sezione per collegarli successivamente con una curva morbida per ottenere lo schizzo più affidabile.
Costruisci un punto di sezione arbitrario. Per fare ciò, disegna un diametro arbitrario AN alla base del cono e costruisci le corrispondenti guide O2A e O2N. Attraverso t.O, traccia una linea che passa per PQ e WG finché non si interseca con le guide appena costruite nei punti P ed E. Questi sono altri due punti della sezione desiderata. Proseguendo nello stesso modo potrai trovare tutti i punti che desideri.
È vero, la procedura per ottenerli può essere leggermente semplificata utilizzando la simmetria rispetto a QW. Per fare ciò si possono tracciare delle linee rette SS’ nel piano della sezione desiderata, parallele a RG fino ad intersecarsi con la superficie del cono. La costruzione viene completata arrotondando la polilinea costruita dalle corde. È sufficiente realizzare la metà della sezione desiderata data la già citata simmetria rispetto a QW.
Video sull'argomento
Suggerimento 3: come creare un grafico funzione trigonometrica
Devi disegnare programma trigonometrico funzioni? Padroneggia l'algoritmo delle azioni usando l'esempio della costruzione di una sinusoide. Per risolvere il problema, utilizzare il metodo di ricerca.
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- - proprietà delle figure simmetriche;
- - bussola;
- - conoscenza dei fondamenti della trigonometria.
- un computer con un editor grafico.
Video sull'argomento
notare che
Se i due semiassi di un iperboloide a singola striscia sono uguali, allora la figura si ottiene ruotando un'iperbole con semiassi, di cui uno sia quello superiore, e l'altro, diverso dai due uguali, attorno a asse immaginario.
Disegna una linea retta a, che sarà l'asse di simmetria. Se le sue coordinate non sono specificate, disegnalo arbitrariamente. Posiziona un punto arbitrario A su un lato di questa linea. Devi trovare un punto simmetrico.
Esaminando questa figura relativa agli assi Oxz e Oyz, è chiaro che le sue sezioni principali sono iperboli. E quando questa figura spaziale di rotazione viene tagliata dal piano Oxy, la sua sezione è un'ellisse. L'ellisse del collo di un iperboloide a striscia singola passa per l'origine delle coordinate, perché z=0.
L'ellisse della gola è descritta dall'equazione x²/a² +y²/b²=1, e le altre ellissi sono composte dall'equazione x²/a² +y²/b²=1+h²/c².
Ti imbatti costantemente nella simmetria negli editor grafici quando usi l'opzione "capovolgi verticalmente/orizzontalmente". In questo caso, l'asse di simmetria viene considerato una linea retta corrispondente a uno dei lati verticale o orizzontale della cornice.
- Ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi. Generatori rettilinei
La forma di una stella a cinque punte è stata ampiamente utilizzata dall'uomo fin dai tempi antichi. Consideriamo bella la sua forma perché inconsciamente riconosciamo in essa i rapporti della sezione aurea, cioè la bellezza della stella a cinque punte è giustificata matematicamente. Euclide fu il primo a descrivere la costruzione di una stella a cinque punte nei suoi Elementi. Uniamoci alla sua esperienza.
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- governate;
- matita;
- bussola;
- goniometro.
- un computer con un editor grafico.
La costruzione di una stella si riduce alla costruzione e alla successiva connessione dei suoi vertici tra loro in sequenza attraverso uno. Per costruire quello corretto, devi dividere il cerchio in cinque.
Costruisci un cerchio arbitrario usando un compasso. Segna il suo centro con il punto O.
Segna il punto A e usa un righello per disegnare il segmento di linea OA. Ora devi dividere il segmento OA a metà; per fare ciò, dal punto A, traccia un arco di raggio OA finché non interseca il cerchio in due punti M e N. Costruisci il segmento MN. Il punto E dove MN interseca OA dividerà in due il segmento OA.
Ripristina la perpendicolare OD al raggio OA e collega i punti D ed E. Fai una tacca B su OA dal punto E con raggio ED.
Ora, utilizzando il segmento DB, segna il cerchio in cinque parti uguali. Etichetta i vertici del pentagono regolare in sequenza con i numeri da 1 a 5. Unisci i punti nella seguente sequenza: 1 con 3, 2 con 4, 3 con 5, 4 con 1, 5 con 2. Ecco quello corretto stella a cinque punte, in un pentagono regolare. Questo è esattamente il modo in cui l'ho costruito
Convegno scientifico e pratico
Istituto scolastico municipale "Scuola secondaria n. 23"
città di Vologda
sezione: scienze naturali
lavoro di progettazione e ricerca
TIPI DI SIMMETRIA
Il lavoro è stato completato da uno studente di terza media
Kreneva Margherita
Direttore: insegnante di matematica superiore
2014
Struttura del progetto:
1. Introduzione.
2. Scopi e obiettivi del progetto.
3. Tipi di simmetria:
3.1. Simmetria centrale;
3.2. Simmetria assiale;
3.3. Simmetria speculare (simmetria attorno ad un piano);
3.4. Simmetria rotazionale;
3.5. Simmetria portatile.
4. Conclusioni.
La simmetria è l'idea attraverso la quale l'uomo ha cercato per secoli di comprendere e creare ordine, bellezza e perfezione.
G. Weil
Introduzione.
L'argomento del mio lavoro è stato scelto dopo aver studiato la sezione “Simmetria assiale e centrale” nel corso “Geometria di 8a elementare”. Ero molto interessato a questo argomento. Volevo sapere: quali tipi di simmetria esistono, come differiscono l'uno dall'altro, quali sono i principi per costruire figure simmetriche in ciascun tipo.
Scopo del lavoro : Introduzione ai diversi tipi di simmetria.
Compiti:
Studiare la letteratura su questo tema.
Riassumere e sistematizzare il materiale studiato.
Preparare una presentazione.
Nell'antichità la parola “SIMMETRIA” veniva usata per significare “armonia”, “bellezza”. Tradotta dal greco, questa parola significa “proporzionalità, proporzionalità, identità nella disposizione delle parti di qualcosa sui lati opposti di un punto, linea retta o piano.
Ci sono due gruppi di simmetrie.
Il primo gruppo comprende la simmetria di posizioni, forme, strutture. Questa è la simmetria che può essere vista direttamente. Può essere chiamata simmetria geometrica.
Il secondo gruppo caratterizza la simmetria fenomeni fisici e le leggi della natura. Questa simmetria è alla base stessa del quadro scientifico naturale del mondo: può essere chiamata simmetria fisica.
Smetterò di studiaresimmetria geometrica .
A loro volta, esistono anche diversi tipi di simmetria geometrica: centrale, assiale, speculare (simmetria relativa al piano), radiale (o rotante), portatile e altri. Oggi esaminerò 5 tipi di simmetria.
Simmetria centrale
Due punti A e A 1 si dicono simmetrici rispetto al punto O se giacciono su una retta passante per il punto O e si trovano da parti opposte alla stessa distanza. Il punto O è chiamato centro di simmetria.
Si dice che la figura sia simmetrica rispetto al puntoDI , se per ogni punto della figura esiste un punto ad esso simmetrico rispetto al puntoDI appartiene anche a questa figura. PuntoDI chiamato centro di simmetria di una figura, si dice che la figura abbia una simmetria centrale.
Esempi di figure con simmetria centrale sono un cerchio e un parallelogramma.
Le figure mostrate nella diapositiva sono simmetriche rispetto a un certo punto
2. Il centro di simmetria di un cerchio è il centro del cerchio, mentre il centro di simmetria di un parallelogramma è il punto di intersezione delle sue diagonali. Anche una linea retta ha una simmetria centrale, ma a differenza di un cerchio e di un parallelogramma, che hanno un solo centro di simmetria (punto O in Fig. 2), una linea retta ne ha un numero infinito: qualsiasi punto sulla linea retta è il suo centro di simmetria.
Due puntiX E Y si dicono simmetrici rispetto ad una rettaT , se questa linea passa per il centro del segmento XY ed è ad esso perpendicolare. Va anche detto che ogni punto è una linea rettaT è considerato simmetrico a se stesso.
DrittoT – asse di simmetria.
Si dice che la figura sia simmetrica rispetto ad una linea rettaT, se per ogni punto della figura esiste un punto ad esso simmetrico rispetto alla rettaT appartiene anche a questa figura.
DrittoTchiamato asse di simmetria di una figura, si dice che la figura abbia simmetria assiale.
Un angolo non sviluppato, i triangoli isosceli ed equilateri, un rettangolo e un rombo hanno simmetria assiale.lettere (vedi presentazione).
Simmetria speculare (simmetria attorno a un piano)
Due punti P 1 E P si dicono simmetrici rispetto al piano a se giacciono su una retta perpendicolare al piano a e sono alla stessa distanza da esso
Simmetria speculare ben noto a ogni persona. Collega qualsiasi oggetto e il suo riflesso in uno specchio piano. Dicono che una figura è speculare simmetrica rispetto ad un'altra.
Su un piano, una figura con innumerevoli assi di simmetria era un cerchio. Nello spazio, una palla ha innumerevoli piani di simmetria.
Ma se il cerchio è unico nel suo genere, allora nel mondo tridimensionale esiste tutta una serie di corpi con un numero infinito di piani di simmetria: un cilindro dritto con un cerchio alla base, un cono con una base circolare, una palla.
È facile stabilire che ogni figura piana simmetrica può essere allineata con se stessa mediante uno specchio. È sorprendente che anche figure complesse come una stella a cinque punte o un pentagono equilatero siano simmetriche. Poiché ciò risulta dal numero degli assi, essi si distinguono per l'elevata simmetria. E viceversa: non è così facile capire il perché di una simile apparenza figura corretta, come un parallelogramma obliquo, è asimmetrico.
4.P simmetria rotazionale (o simmetria radiale)
Simmetria rotazionale - questa è simmetria, conservazione della forma di un oggettoquando si ruota attorno ad un determinato asse di un angolo pari a 360°/N(o un multiplo di questo valore), doveN= 2, 3, 4, … L'asse indicato è chiamato asse rotativoN-esimo ordine.
An=2 tutti i punti della figura vengono ruotati di un angolo di 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) attorno all'asse, mentre la forma della figura viene preservata, cioè ogni punto della figura va ad un punto della stessa figura (la figura si trasforma in se stessa). L'asse è chiamato asse del secondo ordine.
La Figura 2 mostra un asse del terzo ordine, la Figura 3 - il 4° ordine, la Figura 4 - il 5° ordine.
Un oggetto può avere più di un asse di rotazione: Fig. 1 - 3 assi di rotazione, Fig. 2 - 4 assi, Fig. 3 - 5 assi, Fig. 4 – solo 1 asse
Le famose lettere “I” e “F” hanno una simmetria rotazionale. Se ruoti la lettera “I” di 180° attorno ad un asse perpendicolare al piano della lettera e passante per il suo centro, la lettera si allineerà con se stessa. In altre parole la lettera “I” è simmetrica rispetto ad una rotazione di 180°, 180°= 360°: 2,N=2, il che significa che ha una simmetria del secondo ordine.
Si noti che anche la lettera “F” ha una simmetria rotazionale del secondo ordine.
Inoltre, la lettera ha un centro di simmetria e la lettera F ha un asse di simmetria
Torniamo agli esempi dalla vita: un bicchiere, una torta a forma di cono con gelato, un pezzo di filo, una pipa.
Se osserviamo più da vicino questi corpi, noteremo che tutti, in un modo o nell'altro, sono costituiti da un cerchio, attraverso un numero infinito di assi di simmetria ci sono innumerevoli piani di simmetria. La maggior parte di questi corpi (sono chiamati corpi di rotazione) hanno, ovviamente, anche un centro di simmetria (il centro di un cerchio), attraverso il quale passa almeno un asse di simmetria di rotazione.
Ad esempio, l'asse del cono gelato è chiaramente visibile. Va dal centro del cerchio (che sporge dal gelato!) fino all'estremità affilata del cono dell'imbuto. Percepiamo la totalità degli elementi di simmetria di un corpo come una sorta di misura di simmetria. La palla, senza dubbio, in termini di simmetria, è un'incarnazione insuperabile della perfezione, un ideale. Gli antichi greci lo percepivano come il massimo corpo perfetto e il cerchio, naturalmente, come la figura piatta più perfetta.
Per descrivere la simmetria di un particolare oggetto è necessario indicare tutti gli assi di rotazione e il loro ordine, nonché tutti i piani di simmetria.
Consideriamo, ad esempio, un corpo geometrico composto da due piramidi quadrangolari regolari identiche.
Ha un asse rotante del 4° ordine (asse AB), quattro assi rotanti del 2° ordine (assi CE,DF, deputato, NQ), cinque piani di simmetria (pianiCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).
5 . Simmetria portatile
Un altro tipo di simmetria èportatile Con simmetria.
Si parla di tale simmetria quando, spostando una figura lungo una linea retta ad una distanza “a” o ad una distanza multipla di questo valore, essa coincide con se stessa La linea retta lungo la quale avviene il trasferimento è chiamata asse di trasferimento, e la distanza “a” è chiamata trasferimento elementare, periodo o passo di simmetria.
UN
Un motivo che si ripete periodicamente su una lunga striscia è chiamato bordo. In pratica le bordure si trovano in varie forme (pittura murale, ghisa, bassorilievi in gesso o ceramica). I bordi vengono utilizzati da pittori e artisti per decorare una stanza. Per realizzare questi ornamenti, viene realizzato uno stencil. Spostiamo lo stencil, girandolo o meno, tracciando il contorno, ripetendo il disegno, e otteniamo un ornamento (dimostrazione visiva).
Il bordo è facile da realizzare utilizzando uno stencil (l'elemento di partenza), spostandolo o capovolgendolo e ripetendo lo schema. La figura mostra cinque tipi di stencil:UN ) asimmetrico;b, c ) avente un asse di simmetria: orizzontale o verticale;G ) centralmente simmetrico;D ) avente due assi di simmetria: verticale e orizzontale.
Per costruire i confini, vengono utilizzate le seguenti trasformazioni:
UN
) trasferimento parallelo;B
) simmetria rispetto all'asse verticale;V
) simmetria centrale;G
) simmetria rispetto all'asse orizzontale.
Puoi costruire socket allo stesso modo. Per fare ciò, il cerchio è diviso inN settori uguali, in uno di essi viene realizzato un disegno campione e poi quest'ultimo viene ripetuto in sequenza nelle restanti parti del cerchio, ruotando il disegno ogni volta di un angolo di 360°/N .
Un chiaro esempio dell'uso della simmetria assiale e portatile è la recinzione mostrata nella fotografia.
Conclusione: quindi, esistono diversi tipi di simmetria, i punti simmetrici in ciascuno di questi tipi di simmetria sono costruiti secondo determinate leggi. Nella vita incontriamo ovunque un tipo di simmetria e spesso negli oggetti che ci circondano si possono notare diversi tipi di simmetria contemporaneamente. Questo crea ordine, bellezza e perfezione nel mondo che ci circonda.
LETTERATURA:
Manuale di matematica elementare. M.Ya. Vygodskij. – Casa editrice “Nauka”. – Mosca 1971 – 416 pagine.
Dizionario moderno parole straniere. - M.: Lingua russa, 1993.
Storia della matematica a scuolaIX - Xclassi. GI Glaser. – Casa editrice “Prosveshcheniye”. – Mosca 1983 – 351 pagine.
Geometria visiva classi 5a-6a. SE. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Casa editrice “Drofa”, Mosca 2005. – 189 pagine
Enciclopedia per bambini. Biologia. S. Ismailova. – Casa editrice Avanta+. – Mosca 1997 – 704 pagine.
Urmantsev Yu.A. Simmetria della natura e natura della simmetria - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/