Cosa sono i punti simmetrici rispetto ad una linea retta? Progetto "Tipi di simmetria"

Sin dai tempi antichi, l'uomo ha sviluppato idee sulla bellezza. Tutte le creazioni della natura sono belle. Le persone sono belle a modo loro, gli animali e le piante sono meravigliosi. La vista è piacevole per gli occhi pietra preziosa o un cristallo di sale, è difficile non ammirare un fiocco di neve o una farfalla. Ma perché succede questo? Ci sembra che l'aspetto degli oggetti sia corretto e completo, le cui metà destra e sinistra sembrano uguali, come in un'immagine speculare.

Apparentemente, le persone d'arte sono state le prime a pensare all'essenza della bellezza. Scultori antichi che studiarono la struttura corpo umano, nel V secolo a.C. Si cominciò ad usare il concetto di “simmetria”. Questa parola ha Origine greca e significa armonia, proporzionalità e somiglianza nella disposizione delle parti componenti. Platone sosteneva che solo ciò che è simmetrico e proporzionato può essere bello.

In geometria e matematica si considerano tre tipi di simmetria: simmetria assiale (relativa a una linea retta), simmetria centrale (relativa a un punto) e simmetria speculare (relativa a un piano).

Se ciascuno dei punti di un oggetto ha la sua esatta mappatura al suo interno rispetto al suo centro, c'è simmetria centrale. I suoi esempi sono corpi geometrici come un cilindro, una palla, prisma corretto ecc.

La simmetria assiale dei punti rispetto ad una retta prevede che questa retta intersechi il centro del segmento che congiunge i punti e sia ad esso perpendicolare. Esempi sono la bisettrice di un angolo non sviluppato di un triangolo isoscele, qualsiasi linea tracciata attraverso il centro di un cerchio, ecc. Se la simmetria assiale è caratteristica, la definizione dei punti speculari può essere visualizzata semplicemente piegandola lungo l’asse e mettendo le metà uguali “faccia a faccia”. I punti desiderati si toccheranno tra loro.

Con la simmetria speculare, i punti di un oggetto si trovano equamente rispetto al piano che passa per il suo centro.

La natura è saggia e razionale, quindi quasi tutte le sue creazioni hanno una struttura armoniosa. Questo vale sia per gli esseri viventi che per gli oggetti inanimati. La struttura della maggior parte delle forme di vita è caratterizzata da uno dei tre tipi di simmetria: bilaterale, radiale o sferica.

Molto spesso, l'assiale può essere osservato nelle piante che si sviluppano perpendicolarmente alla superficie del suolo. In questo caso, la simmetria è il risultato della rotazione di elementi identici attorno ad un asse comune situato al centro. L'angolo e la frequenza della loro posizione potrebbero essere diversi. Esempi sono alberi: abete rosso, acero e altri. In alcuni animali si verifica anche la simmetria assiale, ma questa è meno comune. Certo, la natura è raramente caratterizzata dalla precisione matematica, ma la somiglianza degli elementi di un organismo è comunque sorprendente.

I biologi spesso considerano non la simmetria assiale, ma la simmetria bilaterale (bilaterale). Un esempio di ciò sono le ali di una farfalla o di una libellula, foglie di piante, petali di fiori, ecc. In ogni caso, le parti destra e sinistra dell'oggetto vivente sono uguali e sono immagini speculari l'una dell'altra.

La simmetria sferica è caratteristica dei frutti di molte piante, alcuni pesci, molluschi e virus. Esempi di simmetria radiale sono alcuni tipi di vermi ed echinodermi.

Agli occhi umani, l'asimmetria è spesso associata a irregolarità o inferiorità. Pertanto, nella maggior parte delle creazioni delle mani umane, è possibile rintracciare simmetria e armonia.

La vita delle persone è piena di simmetria. È conveniente, bello e non c’è bisogno di inventare nuovi standard. Ma cos'è veramente ed è così bello in natura come comunemente si crede?

Simmetria

Sin dai tempi antichi, le persone hanno cercato di organizzare il mondo che li circonda. Pertanto, alcune cose sono considerate belle e altre non lo sono così tanto. Da un punto di vista estetico, i rapporti aureo e argento sono considerati attraenti, così come, ovviamente, la simmetria. Questo termine è di origine greca e significa letteralmente “proporzionalità”. Naturalmente, non stiamo parlando solo di coincidenza su questa base, ma anche su altre. In senso generale, la simmetria è una proprietà di un oggetto quando, come risultato di determinate formazioni, il risultato è uguale ai dati originali. Ciò si verifica sia nel vivere che nel natura inanimata, così come negli oggetti realizzati dall'uomo.

Innanzitutto il termine "simmetria" è usato in geometria, ma trova applicazione in molti campi scientifici, e il suo significato rimane generalmente invariato. Questo fenomeno si verifica abbastanza spesso ed è considerato interessante, poiché molti dei suoi tipi, così come gli elementi, differiscono. Anche l'uso della simmetria è interessante, perché si trova non solo in natura, ma anche nei motivi sui tessuti, sui bordi degli edifici e molti altri oggetti creati dall'uomo. Vale la pena considerare questo fenomeno in modo più dettagliato, perché è estremamente affascinante.

Uso del termine in altri campi scientifici

Di seguito considereremo la simmetria dal punto di vista della geometria, ma vale la pena ricordare che questa parola non è usata solo qui. Biologia, virologia, chimica, fisica, cristallografia: tutto questo è un elenco incompleto di aree in cui questo fenomeno viene studiato con vari lati e dentro condizioni diverse. Ad esempio, la classificazione dipende dalla scienza a cui si riferisce questo termine. Pertanto, la divisione in tipi varia notevolmente, anche se alcuni di quelli fondamentali, forse, rimangono invariati.

Classificazione

Esistono diversi tipi principali di simmetria, di cui tre sono i più comuni:

Inoltre, nella geometria si distinguono anche le seguenti tipologie: sono molto meno comuni, ma non per questo meno interessanti:

• scorrevole;
• rotazionale;
• punto;
• progressivo;
• vite;
• frattale;
• ecc.

In biologia, tutte le specie sono chiamate in modo leggermente diverso, sebbene in sostanza possano essere le stesse. La divisione in determinati gruppi avviene sulla base della presenza o dell'assenza, nonché della quantità di determinati elementi, come centri, piani e assi di simmetria. Dovrebbero essere considerati separatamente e in modo più dettagliato.

Elementi di base

Il fenomeno ha alcune caratteristiche, una delle quali è necessariamente presente. I cosiddetti elementi di base comprendono piani, centri e assi di simmetria. È in base alla loro presenza, assenza e quantità che ne viene determinata la tipologia.

Il centro di simmetria è il punto all'interno di una figura o di un cristallo in cui convergono le linee che collegano a coppie tutti i lati paralleli tra loro. Naturalmente, non sempre esiste. Se ci sono lati verso i quali non esiste una coppia parallela, allora tale punto non può essere trovato, poiché non esiste. Secondo la definizione è ovvio che il centro di simmetria è quello attraverso il quale una figura può riflettersi su se stessa. Un esempio potrebbe essere, ad esempio, un cerchio e un punto nel suo centro. Questo elemento è solitamente designato come C.

Il piano di simmetria, ovviamente, è immaginario, ma è proprio lui a dividere la figura in due parti uguali tra loro. Può passare per uno o più lati, essere parallelo ad esso o dividerli. Per la stessa figura possono esistere più piani contemporaneamente. Questi elementi sono solitamente designati come P.

Ma forse il più comune è quello che viene chiamato “asse di simmetria”. Questo è un fenomeno comune che può essere visto sia in geometria che in natura. Ed è degno di considerazione separata.

Assi

Spesso l'elemento rispetto al quale una figura può dirsi simmetrica è

appare una linea retta o un segmento. In ogni caso non stiamo parlando di un punto o di un piano. Poi si considerano le cifre. Possono essercene molti e possono essere posizionati in qualsiasi modo: dividendo i lati o essendo paralleli ad essi, così come intersecando gli angoli o meno. Gli assi di simmetria sono solitamente indicati come L.

Gli esempi includono isoscele e Nel primo caso ci sarà asse verticale simmetria, su entrambi i lati delle quali ci sono facce uguali, e nella seconda le linee intersecheranno ciascun angolo e coincideranno con tutte le bisettrici, mediane e altitudini. I triangoli ordinari non hanno questo.

A proposito, la totalità di tutti gli elementi di cui sopra nella cristallografia e nella stereometria è chiamata grado di simmetria. Questo indicatore dipende dal numero di assi, piani e centri.

Esempi in geometria

Convenzionalmente possiamo dividere l'intero insieme degli oggetti di studio dei matematici in figure che hanno un asse di simmetria e quelle che ne sono prive. Tutti i cerchi, gli ovali e alcuni casi speciali rientrano automaticamente nella prima categoria, mentre il resto rientra nel secondo gruppo.

Come nel caso in cui abbiamo parlato dell'asse di simmetria di un triangolo, anche per un quadrilatero questo elemento non esiste sempre. Per un quadrato, un rettangolo, un rombo o un parallelogramma lo è, ma per una figura irregolare, di conseguenza, non lo è. In un cerchio gli assi di simmetria sono l'insieme delle rette che passano per il suo centro.

Inoltre, è interessante considerare le figure tridimensionali da questo punto di vista. Oltre a tutti i poligoni regolari e alla palla, alcuni coni, così come le piramidi, i parallelogrammi e alcuni altri, avranno almeno un asse di simmetria. Ogni caso deve essere considerato separatamente.

Esempi in natura

Nella vita si chiama bilaterale, si verifica di più
Spesso. Qualsiasi persona e molti animali ne sono un esempio. L'assiale è chiamato radiale ed è molto meno comune, di solito in flora. Eppure esistono. Ad esempio, vale la pena pensare a quanti assi di simmetria ha una stella e ne ha? Naturalmente stiamo parlando di creature marine, e non sull'argomento di studio degli astronomi. E la risposta corretta sarebbe: dipende dal numero di raggi della stella, ad esempio cinque se è a cinque punte.

Inoltre, in molti fiori si osserva una simmetria radiale: margherite, fiordalisi, girasoli, ecc. Ci sono un numero enorme di esempi, sono letteralmente ovunque intorno.

Aritmia

Questo termine, prima di tutto, ricorda la maggior parte della medicina e della cardiologia, ma inizialmente ha un significato leggermente diverso. In questo caso il sinonimo sarà “asimmetria”, cioè l’assenza o la violazione della regolarità in una forma o nell’altra. Può essere trovato come un incidente, e talvolta può diventare una tecnica meravigliosa, ad esempio nell'abbigliamento o nell'architettura. Dopotutto, di edifici simmetrici ce ne sono molti, ma quello famoso è leggermente inclinato e, sebbene non sia l'unico, è l'esempio più famoso. Si sa che ciò è avvenuto per caso, ma questo ha il suo fascino.

Inoltre, è ovvio che nemmeno i volti e i corpi delle persone e degli animali sono completamente simmetrici. Ci sono stati anche studi in cui i volti “corretti” venivano giudicati senza vita o semplicemente poco attraenti. Tuttavia, la percezione della simmetria e questo fenomeno in sé sono sorprendenti e non sono stati ancora completamente studiati, e quindi sono estremamente interessanti.

Convegno scientifico e pratico

Istituto scolastico municipale "Scuola secondaria n. 23"

città di Vologda

sezione: scienze naturali

lavoro di progettazione e ricerca

TIPI DI SIMMETRIA

Il lavoro è stato completato da uno studente di terza media

Kreneva Margherita

Direttore: insegnante di matematica superiore

2014

Struttura del progetto:

1. Introduzione.

2. Scopi e obiettivi del progetto.

3. Tipi di simmetria:

3.1. Simmetria centrale;

3.2. Simmetria assiale;

3.3. Simmetria speculare (simmetria attorno ad un piano);

3.4. Simmetria rotazionale;

3.5. Simmetria portatile.

4. Conclusioni.

La simmetria è l'idea attraverso la quale l'uomo ha cercato per secoli di comprendere e creare ordine, bellezza e perfezione.

G. Weil

Introduzione.

L'argomento del mio lavoro è stato scelto dopo aver studiato la sezione “Simmetria assiale e centrale” nel corso “Geometria di 8a elementare”. Ero molto interessato a questo argomento. Volevo sapere: quali tipi di simmetria esistono, come differiscono l'uno dall'altro, quali sono i principi per costruire figure simmetriche in ciascun tipo.

Scopo del lavoro : Introduzione ai diversi tipi di simmetria.

Compiti:

Studiare la letteratura su questo tema.

Riassumere e sistematizzare il materiale studiato.

Preparare una presentazione.

Nell'antichità la parola “SIMMETRIA” veniva usata per significare “armonia”, “bellezza”. Tradotta dal greco, questa parola significa “proporzionalità, proporzionalità, identità nella disposizione delle parti di qualcosa sui lati opposti di un punto, linea retta o piano.

Ci sono due gruppi di simmetrie.

Il primo gruppo comprende la simmetria di posizioni, forme, strutture. Questa è la simmetria che può essere vista direttamente. Può essere chiamata simmetria geometrica.

Il secondo gruppo caratterizza la simmetria fenomeni fisici e le leggi della natura. Questa simmetria è alla base stessa del quadro scientifico naturale del mondo: può essere chiamata simmetria fisica.

Smetterò di studiaresimmetria geometrica .

A loro volta, esistono anche diversi tipi di simmetria geometrica: centrale, assiale, speculare (simmetria relativa al piano), radiale (o rotante), portatile e altri. Oggi esaminerò 5 tipi di simmetria.

Simmetria centrale

Due punti A e A 1 si dicono simmetrici rispetto al punto O se giacciono su una retta passante per il punto O e si trovano da parti opposte alla stessa distanza. Il punto O è chiamato centro di simmetria.

Si dice che la figura sia simmetrica rispetto al puntoDI , se per ogni punto della figura esiste un punto ad esso simmetrico rispetto al puntoDI appartiene anche a questa figura. PuntoDI si chiama centro di simmetria di una figura, dicono che la figura ha simmetria centrale.

Esempi di figure con simmetria centrale sono un cerchio e un parallelogramma.

Le figure mostrate nella diapositiva sono simmetriche rispetto a un certo punto

2. Simmetria assiale

Due puntiX E Y si dicono simmetrici rispetto ad una rettaT , se questa linea passa per il centro del segmento XY ed è ad esso perpendicolare. Va anche detto che ogni punto è una linea rettaT è considerato simmetrico a se stesso.

DrittoT – asse di simmetria.

Si dice che la figura sia simmetrica rispetto ad una linea rettaT, se per ogni punto della figura esiste un punto ad esso simmetrico rispetto alla rettaT appartiene anche a questa figura.

DrittoTchiamato asse di simmetria di una figura, si dice che la figura abbia simmetria assiale.

Un angolo non sviluppato, i triangoli isosceli ed equilateri, un rettangolo e un rombo hanno simmetria assiale.lettere (vedi presentazione).

Simmetria speculare (simmetria attorno a un piano)

Due punti P 1 E P si dicono simmetrici rispetto al piano a se giacciono su una retta perpendicolare al piano a e sono alla stessa distanza da esso

Simmetria speculare ben noto a ogni persona. Collega qualsiasi oggetto e il suo riflesso in uno specchio piano. Dicono che una figura è speculare simmetrica rispetto ad un'altra.

Su un piano, una figura con innumerevoli assi di simmetria era un cerchio. Nello spazio, una palla ha innumerevoli piani di simmetria.

Ma se il cerchio è unico nel suo genere, allora nel mondo tridimensionale esiste tutta una serie di corpi con un numero infinito di piani di simmetria: un cilindro dritto con un cerchio alla base, un cono con una base circolare, una palla.

È facile stabilire che ogni figura piana simmetrica può essere allineata con se stessa mediante uno specchio. È sorprendente che figure così complesse come stella a cinque punte o un pentagono equilatero, sono anch'essi simmetrici. Poiché ciò risulta dal numero degli assi, essi si distinguono per l'elevata simmetria. E viceversa: non è così facile capire il perché di una simile apparenza figura corretta, come un parallelogramma obliquo, è asimmetrico.

4.P simmetria rotazionale (o simmetria radiale)

Simmetria rotazionale - questa è simmetria, conservazione della forma di un oggettoquando si ruota attorno ad un determinato asse di un angolo pari a 360°/N(o un multiplo di questo valore), doveN= 2, 3, 4, … L'asse indicato è chiamato asse rotativoN-esimo ordine.

An=2 tutti i punti della figura vengono ruotati di un angolo di 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) attorno all'asse, mentre la forma della figura viene preservata, cioè ogni punto della figura va ad un punto della stessa figura (la figura si trasforma in se stessa). L'asse è chiamato asse del secondo ordine.

La Figura 2 mostra un asse del terzo ordine, la Figura 3 - il 4° ordine, la Figura 4 - il 5° ordine.

Un oggetto può avere più di un asse di rotazione: Fig. 1 - 3 assi di rotazione, Fig. 2 - 4 assi, Fig. 3 - 5 assi, Fig. 4 – solo 1 asse

Le famose lettere “I” e “F” hanno una simmetria rotazionale. Se ruoti la lettera “I” di 180° attorno ad un asse perpendicolare al piano della lettera e passante per il suo centro, la lettera si allineerà con se stessa. In altre parole la lettera “I” è simmetrica rispetto ad una rotazione di 180°, 180°= 360°: 2,N=2, il che significa che ha una simmetria del secondo ordine.

Si noti che anche la lettera “F” ha una simmetria rotazionale del secondo ordine.

Inoltre, la lettera ha un centro di simmetria e la lettera F ha un asse di simmetria

Torniamo agli esempi dalla vita: un bicchiere, una torta a forma di cono con gelato, un pezzo di filo, una pipa.

Se osserviamo più da vicino questi corpi, noteremo che tutti, in un modo o nell'altro, sono costituiti da un cerchio, attraverso un numero infinito di assi di simmetria ci sono innumerevoli piani di simmetria. La maggior parte di questi corpi (sono chiamati corpi di rotazione) hanno, ovviamente, anche un centro di simmetria (il centro di un cerchio), attraverso il quale passa almeno un asse di simmetria di rotazione.

Ad esempio, l'asse del cono gelato è chiaramente visibile. Va dal centro del cerchio (che sporge dal gelato!) fino all'estremità affilata del cono dell'imbuto. Percepiamo la totalità degli elementi di simmetria di un corpo come una sorta di misura di simmetria. La palla, senza dubbio, in termini di simmetria, è un'incarnazione insuperabile della perfezione, un ideale. Gli antichi greci lo percepivano come il massimo corpo perfetto e il cerchio, naturalmente, come la figura piatta più perfetta.

Per descrivere la simmetria di un particolare oggetto è necessario indicare tutti gli assi di rotazione e il loro ordine, nonché tutti i piani di simmetria.

Consideriamo, ad esempio, un corpo geometrico composto da due piramidi quadrangolari regolari identiche.

Ha un asse rotante del 4° ordine (asse AB), quattro assi rotanti del 2° ordine (assi CE,DF, deputato, NQ), cinque piani di simmetria (pianiCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Simmetria portatile

Un altro tipo di simmetria èportatile Con simmetria.

Si dice che tale simmetria si verifichi quando, quando si sposta una figura lungo una linea retta fino a una certa distanza "a" o una distanza che è un multiplo di questo valore, si allinea con se stessa La linea retta lungo la quale avviene il trasferimento è chiamata asse di trasferimento, e la distanza “a” è chiamata trasferimento elementare, periodo o passo di simmetria.

UN

Un motivo che si ripete periodicamente su una lunga striscia è chiamato bordo. In pratica le bordure si ritrovano in varie forme (pittura murale, ghisa, bassorilievi in ​​gesso o ceramica). I bordi vengono utilizzati da pittori e artisti per decorare una stanza. Per realizzare questi ornamenti, viene realizzato uno stencil. Spostiamo lo stencil, girandolo o meno, tracciando il contorno, ripetendo il disegno, e otteniamo un ornamento (dimostrazione visiva).

Il bordo è facile da realizzare utilizzando uno stencil (l'elemento di partenza), spostandolo o capovolgendolo e ripetendo lo schema. La figura mostra cinque tipi di stencil:UN ) asimmetrico;b, c ) avente un asse di simmetria: orizzontale o verticale;G ) centralmente simmetrico;D ) avente due assi di simmetria: verticale e orizzontale.

Per costruire i bordi, vengono utilizzate le seguenti trasformazioni:

UN ) trasferimento parallelo;B ) simmetria rispetto all'asse verticale;V ) simmetria centrale;G ) simmetria rispetto all'asse orizzontale.

Puoi costruire socket allo stesso modo. Per fare ciò, il cerchio è diviso inN settori uguali, in uno di essi viene realizzato un disegno campione e poi quest'ultimo viene ripetuto in sequenza nelle restanti parti del cerchio, ruotando il disegno ogni volta di un angolo di 360°/N .

Un chiaro esempio dell'uso della simmetria assiale e portatile è la recinzione mostrata nella fotografia.

Conclusione: quindi ci sono vari tipi simmetria, i punti simmetrici in ciascuno di questi tipi di simmetria sono costruiti secondo determinate leggi. Nella vita incontriamo ovunque un tipo di simmetria e spesso negli oggetti che ci circondano si possono notare diversi tipi di simmetria contemporaneamente. Questo crea ordine, bellezza e perfezione nel mondo che ci circonda.

LETTERATURA:

Manuale di matematica elementare. M.Ya. Vygodskij. – Casa editrice “Nauka”. – Mosca 1971 – 416 pagine.

Dizionario moderno parole straniere. - M.: Lingua russa, 1993.

Storia della matematica a scuolaIX - Xclassi. GI Glaser. – Casa editrice “Prosveshcheniye”. – Mosca 1983 – 351 pagine.

Geometria visiva classi 5a-6a. SE. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Casa editrice “Drofa”, Mosca 2005. – 189 pagine

Enciclopedia per bambini. Biologia. S. Ismailova. – Casa editrice Avanta+. – Mosca 1997 – 704 pagine.

Urmantsev Yu.A. Simmetria della natura e natura della simmetria - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

In questa lezione esamineremo un'altra caratteristica di alcune figure: la simmetria assiale e centrale. Incontriamo la simmetria assiale ogni giorno quando ci guardiamo allo specchio. La simmetria centrale è molto comune nella natura vivente. Allo stesso tempo, le figure che hanno simmetria hanno una serie di proprietà. Inoltre, impareremo in seguito che le simmetrie assiali e centrali sono tipi di movimenti con l'aiuto dei quali viene risolta un'intera classe di problemi.

Questa lezione è dedicata alla simmetria assiale e centrale.

Definizione

I due punti sono chiamati simmetrico relativamente semplice se:

Nella fig. 1 mostra esempi di punti simmetrici rispetto ad una retta e , e .

Riso. 1

Notiamo anche il fatto che qualsiasi punto su una linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea.

Le figure possono anche essere simmetriche rispetto ad una linea retta.

Formuliamo una definizione rigorosa.

Definizione

La figura si chiama simmetrico rispetto a quello rettilineo, se ad ogni punto della figura appartiene anche un punto ad esso simmetrico rispetto a questa retta. In questo caso la linea viene chiamata asse di simmetria. La figura ha simmetria assiale.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di figure che hanno simmetria assiale e i loro assi di simmetria.

Esempio 1

L'angolo ha simmetria assiale. L'asse di simmetria dell'angolo è la bisettrice. Infatti: abbassiamo una perpendicolare alla bisettrice da un punto qualsiasi dell'angolo e allunghiamola fino ad intersecare l'altro lato dell'angolo (vedi Fig. 2).

Riso. 2

(poiché - il lato comune, (proprietà della bisettrice) e i triangoli sono rettangoli). Significa, . Pertanto i punti sono simmetrici rispetto alla bisettrice dell'angolo.

Ne consegue che un triangolo isoscele ha simmetria assiale anche rispetto alla bisettrice (altitudine, mediana) tracciata verso la base.

Esempio 2

Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria (bisettrici/mediane/altitudini di ciascuno dei tre angoli (vedi Fig. 3).

Riso. 3

Esempio 3

Un rettangolo ha due assi di simmetria, ciascuno dei quali passa per i punti medi dei suoi due lati opposti (vedi Fig. 4).

Riso. 4

Esempio 4

Anche un rombo ha due assi di simmetria: le linee rette, che contengono le sue diagonali (vedi Fig. 5).

Riso. 5

Esempio 5

Un quadrato, che è sia un rombo che un rettangolo, ha 4 assi di simmetria (vedi Fig. 6).

Riso. 6

Esempio 6

Per un cerchio, l'asse di simmetria è una qualsiasi linea retta passante per il suo centro (cioè contenente il diametro del cerchio). Pertanto, un cerchio ha infiniti assi di simmetria (vedi Fig. 7).

Riso. 7

Consideriamo ora il concetto simmetria centrale.

Definizione

I punti vengono chiamati simmetrico rispetto al punto se: - il centro del segmento.

Vediamo alcuni esempi: in Fig. 8 mostra i punti e , nonché e , che sono simmetrici rispetto al punto , ed i punti e non sono simmetrici rispetto a questo punto.

Riso. 8

Alcune figure sono simmetriche rispetto ad un certo punto. Formuliamo una definizione rigorosa.

Definizione

La figura si chiama simmetrico rispetto al punto, se per qualsiasi punto della figura appartiene a questa figura anche il punto ad esso simmetrico. Il punto è chiamato centro di simmetria, e la figura ha simmetria centrale.

Diamo un'occhiata ad esempi di figure con simmetria centrale.

Esempio 7

Per un cerchio, il centro di simmetria è il centro del cerchio (questo è facile da dimostrare ricordando le proprietà del diametro e del raggio di un cerchio) (vedi Fig. 9).

Riso. 9

Esempio 8

Per un parallelogramma, il centro di simmetria è il punto di intersezione delle diagonali (vedi Fig. 10).

Riso. 10

Risolviamo diversi problemi sulla simmetria assiale e centrale.

Compito 1.

Quanti assi di simmetria ha il segmento?

Un segmento ha due assi di simmetria. Il primo di essi è una linea contenente un segmento (poiché qualsiasi punto su una linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea). La seconda è la bisettrice perpendicolare al segmento, cioè una retta perpendicolare al segmento e passante per il suo centro.

Risposta: 2 assi di simmetria.

Compito 2.

Quanti assi di simmetria ha una retta?

Una linea retta ha infiniti assi di simmetria. Uno di questi è la linea stessa (poiché qualsiasi punto sulla linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea). E anche gli assi di simmetria sono linee perpendicolari a una determinata linea.

Risposta: ci sono infiniti assi di simmetria.

Compito 3.

Quanti assi di simmetria ha la trave?

Il raggio ha un asse di simmetria, che coincide con la linea contenente il raggio (poiché qualsiasi punto sulla linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea).

Risposta: un asse di simmetria.

Compito 4.

Dimostrare che le rette contenenti le diagonali di un rombo sono i suoi assi di simmetria.

Prova:

Consideriamo un rombo. Dimostriamo, ad esempio, che la retta è il suo asse di simmetria. È ovvio che i punti sono simmetrici a se stessi, poiché giacciono su questa retta. Inoltre i punti e sono simmetrici rispetto a questa linea, poiché . Scegliamo ora un punto arbitrario e dimostriamo che al rombo appartiene anche il punto simmetrico rispetto ad esso (vedi Fig. 11).

Riso. 11

Disegna una perpendicolare alla linea passante per il punto ed estendila finché non si interseca con . Considera i triangoli e . Questi triangoli sono rettangoli (per costruzione), inoltre hanno: - una gamba comune, e (poiché le diagonali di un rombo sono le sue bisettrici). Quindi questi triangoli sono uguali: . Ciò significa che tutti gli elementi corrispondenti sono uguali, quindi: . Dall'uguaglianza di questi segmenti consegue che i punti e sono simmetrici rispetto alla retta. Ciò significa che è l'asse di simmetria del rombo. Questo fatto può essere dimostrato in modo simile per la seconda diagonale.

Comprovato.

Compito 5.

Dimostrare che il punto di intersezione delle diagonali di un parallelogramma è il suo centro di simmetria.

Prova:

Consideriamo un parallelogramma. Dimostriamo che il punto è il suo centro di simmetria. È ovvio che i punti e , e sono simmetrici a due a due rispetto al punto , poiché le diagonali di un parallelogramma sono divise a metà dal punto di intersezione. Scegliamo ora un punto arbitrario e dimostriamo che al parallelogramma appartiene anche il punto simmetrico rispetto ad esso (vedi Fig. 12).

edificio con facciata architettonica simmetrica

La simmetria è un concetto che riflette l'ordine esistente in natura, proporzionalità e proporzionalità tra gli elementi di qualsiasi sistema o oggetto della natura, ordine, equilibrio del sistema, stabilità, ad es. qualche elemento di armonia.

Sono trascorsi millenni prima che l'umanità, nel corso delle sue attività sociali e produttive, si rendesse conto della necessità di esprimere in alcuni concetti le due tendenze che aveva stabilito primariamente nella natura: la presenza di un ordine rigoroso, la proporzionalità, l'equilibrio e la loro violazione. Le persone prestano da tempo attenzione alla forma corretta dei cristalli, al rigore geometrico della struttura dei favi, alla sequenza e ripetibilità della disposizione di rami e foglie su alberi, petali, fiori, semi di piante, e riflettono questo ordine nei loro attività pratiche, pensiero e arte.

Oggetti e fenomeni della natura vivente hanno simmetria. Non solo piace alla vista e ispira i poeti di tutti i tempi e di tutti i popoli, ma consente agli organismi viventi di adattarsi meglio al loro ambiente e semplicemente di sopravvivere.

Nella natura vivente, la stragrande maggioranza degli organismi viventi presenta diversi tipi di simmetrie (forma, somiglianza, posizione relativa). Inoltre, organismi di diverso struttura anatomica possono avere lo stesso tipo di simmetria esterna.

Il principio di simmetria afferma che se lo spazio è omogeneo, il trasferimento di un sistema nel suo insieme nello spazio non modifica le proprietà del sistema. Se tutte le direzioni nello spazio sono equivalenti, allora il principio di simmetria consente la rotazione dell'intero sistema nello spazio. Il principio di simmetria è rispettato se si cambia l'origine del tempo. Secondo il principio, è possibile effettuare una transizione verso un altro sistema di riferimento muovendosi rispetto a questo sistema a velocità costante. Il mondo inanimato è molto simmetrico. Spesso violazioni di simmetria fisica quantistica particelle elementari- questa è una manifestazione di una simmetria ancora più profonda. L'asimmetria è un principio di formazione strutturale e creativo della vita. Nelle cellule viventi, le biomolecole funzionalmente significative sono asimmetriche: le proteine ​​sono costituite da aminoacidi levogiri (forma L) e acidi nucleici contengono, oltre alle basi eterocicliche, carboidrati destrogiri - zuccheri (forma D), inoltre, il DNA stesso - la base dell'ereditarietà è una doppia elica destrorsa.

I principi di simmetria sono alla base della teoria della relatività, della meccanica quantistica, della fisica dello stato solido, della fisica atomica e nucleare e della fisica delle particelle. Questi principi sono espressi più chiaramente nelle proprietà di invarianza delle leggi della natura. Non stiamo parlando solo di leggi fisiche, ma anche di altre, ad esempio quelle biologiche. Un esempio di legge biologica di conservazione è la legge di eredità. Si basa sull'invarianza proprietà biologiche in relazione al passaggio da una generazione all’altra. È abbastanza ovvio che senza le leggi di conservazione (fisiche, biologiche e altre), il nostro mondo semplicemente non potrebbe esistere.

Pertanto, la simmetria esprime la conservazione di qualcosa nonostante alcuni cambiamenti o la conservazione di qualcosa nonostante un cambiamento. La simmetria presuppone l'invariabilità non solo dell'oggetto stesso, ma anche di qualsiasi sua proprietà in relazione alle trasformazioni eseguite sull'oggetto. L'immutabilità di alcuni oggetti può essere osservata in relazione a varie operazioni: rotazioni, traslazioni, sostituzione reciproca di parti, riflessioni, ecc.

Consideriamo i tipi di simmetria in matematica:

• * centrale (relativo al punto)
• * assiale (relativamente dritto)
• * specchio (relativo all'aereo)
• 1. Simmetria centrale (Appendice 1)

Una figura si dice simmetrica rispetto al punto O se, per ogni punto della figura, a questa figura appartiene anche un punto simmetrico rispetto al punto O. Il punto O è chiamato centro di simmetria della figura.

Il concetto di centro di simmetria fu incontrato per la prima volta nel XVI secolo. In uno dei teoremi di Clavio, che recita: “se un parallelepipedo viene tagliato da un piano passante per il centro, allora viene diviso a metà e, viceversa, se un parallelepipedo viene tagliato a metà, allora il piano passa per il centro”. Legendre, che per primo introdusse elementi della dottrina della simmetria nella geometria elementare, mostra che un parallelepipedo retto ha 3 piani di simmetria perpendicolari agli spigoli, e un cubo ha 9 piani di simmetria, di cui 3 perpendicolari agli spigoli, e il altri 6 passano per le diagonali delle facce.

Esempi di figure che hanno simmetria centrale sono il cerchio e il parallelogramma.

In algebra, quando si studiano le funzioni pari e dispari, vengono considerati i loro grafici. Una volta costruito, il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate e il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, cioè punto O. Ciò significa che la funzione dispari ha simmetria centrale e la funzione pari ha simmetria assiale.

2. Simmetria assiale (Appendice 2)

Una figura si dice simmetrica rispetto alla retta a se, per ogni punto della figura, a questa figura appartiene anche un punto simmetrico rispetto alla retta a. La retta a è detta asse di simmetria della figura. Si dice anche che la figura abbia una simmetria assiale.

In senso più stretto, l'asse di simmetria è chiamato asse di simmetria del secondo ordine e parla di “simmetria assiale”, che può essere definita come segue: una figura (o corpo) ha simmetria assiale attorno a un certo asse se ciascuno di i suoi punti E corrispondono ad un punto F appartenente alla stessa figura, cioè il segmento EF è perpendicolare all'asse, lo interseca e nel punto di intersezione è diviso a metà.

Darò esempi di figure che hanno simmetria assiale. Un angolo non sviluppato ha un asse di simmetria, la linea retta su cui si trova la bisettrice dell'angolo. Anche un triangolo isoscele (ma non equilatero) ha un asse di simmetria, e un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria. Un rettangolo e un rombo, che non sono quadrati, hanno ciascuno due assi di simmetria, mentre un quadrato ha quattro assi di simmetria. Un cerchio ne ha un numero infinito: qualsiasi linea retta passante per il suo centro è un asse di simmetria.

Ci sono figure che non hanno un solo asse di simmetria. Tali figure includono un parallelogramma, diverso da un rettangolo, e un triangolo scaleno.

3. Simmetria speculare (Appendice 3)

La simmetria speculare (simmetria relativa a un piano) è una mappatura dello spazio su se stesso in cui qualsiasi punto M entra in un punto M1 che è simmetrico rispetto a questo piano.

La simmetria dello specchio è ben nota a ogni persona dall'osservazione quotidiana. Come indica il nome stesso, la simmetria speculare collega qualsiasi oggetto e il suo riflesso in uno specchio piano. Si dice che una figura (o corpo) sia speculare simmetrica rispetto a un'altra se insieme formano una figura (o corpo) speculare.

I giocatori di biliardo conoscono da tempo l'azione della riflessione. I loro “specchi” sono i lati campo da gioco, e il ruolo di un raggio di luce è svolto dalle traiettorie delle palline. Dopo aver colpito il lato vicino all'angolo, la palla rotola verso il lato situato ad angolo retto e, dopo essere stata riflessa da esso, torna indietro parallelamente alla direzione del primo impatto.

Va notato che due figure simmetriche o due parti simmetriche di una figura, nonostante tutte le loro somiglianze, l'uguaglianza dei volumi e delle superfici, nel caso generale, sono disuguali, cioè non possono essere combinati tra loro. Si tratta di figure diverse, non possono essere sostituite tra loro, ad esempio il guanto, lo stivale giusto, ecc. non adatto per il braccio o la gamba sinistra. Gli elementi possono avere uno, due, tre, ecc. piani di simmetria. Ad esempio, una piramide retta, la cui base è un triangolo isoscele, è simmetrica rispetto a un piano P. Un prisma con la stessa base ha due piani di simmetria. Un prisma esagonale regolare ne ha sette. Corpi di rotazione: sfera, toro, cilindro, cono, ecc. avere un numero infinito di piani di simmetria.

Gli antichi greci credevano che l'universo fosse simmetrico semplicemente perché la simmetria è bella. Basandosi su considerazioni di simmetria, hanno fatto una serie di ipotesi. Così Pitagora (V secolo a.C.), considerando la sfera la più simmetrica e forma perfetta, ha tratto una conclusione sulla sfericità della Terra e sul suo movimento lungo la sfera. Allo stesso tempo, credeva che la Terra si muovesse lungo la sfera di un certo "fuoco centrale". Secondo Pitagora, i sei pianeti conosciuti a quel tempo, così come la Luna, il Sole e le stelle, avrebbero dovuto ruotare attorno allo stesso “fuoco”.