Esempi di ricerca dei limiti di una sequenza numerica per definizione. Limite di successione – teoremi fondamentali e proprietà

Oggi in classe vedremo sequenza rigorosa E definizione rigorosa del limite di una funzione, e imparare anche a risolvere problemi rilevanti di natura teorica. L'articolo è destinato principalmente agli studenti del primo anno di scienze naturali e specialità di ingegneria che hanno iniziato a studiare la teoria dell'analisi matematica e hanno incontrato difficoltà nella comprensione di questa sezione della matematica superiore. Inoltre, il materiale è abbastanza accessibile agli studenti delle scuole superiori.

Nel corso degli anni di esistenza del sito, ho ricevuto una dozzina di lettere con approssimativamente il seguente contenuto: "Non capisco bene l'analisi matematica, cosa dovrei fare?", "Non capisco affatto la matematica, non capisco pensando di lasciare gli studi”, ecc. E infatti è proprio il matan che spesso sfoltisce il gruppo degli studenti dopo la prima sessione. Perché è così? Perché l'argomento è inimmaginabilmente complesso? Affatto! La teoria dell'analisi matematica non è così difficile quanto peculiare. E devi accettarla e amarla per quello che è =)

Cominciamo dal caso più difficile. La prima e più importante cosa è che non devi abbandonare gli studi. Capisci bene, puoi sempre smettere ;-) Naturalmente, se dopo un anno o due ti senti male a causa della specialità che hai scelto, allora sì, dovresti pensarci (e non arrabbiarti!) riguardo ad un cambio di attività. Ma per ora vale la pena continuare. E per favore dimentica la frase "Non capisco niente": non succede che tu non capisca NIENTE.

Cosa fare se la teoria è cattiva? Questo, tra l'altro, si applica non solo all'analisi matematica. Se la teoria è pessima, prima devi concentrarti SERIAMENTE sulla pratica. In questo caso, due problemi vengono risolti contemporaneamente obiettivi strategici:

– In primo luogo, una parte significativa della conoscenza teorica è emersa attraverso la pratica. Ed è per questo che molte persone comprendono la teoria attraverso... – è vero! No, no, non ci stai pensando =)

– E, in secondo luogo, le abilità pratiche molto probabilmente ti “tireranno” a superare l’esame, anche se… ma non entusiasmiamoci così! Tutto è reale e tutto può essere “sollevato” in un tempo abbastanza breve. L'analisi matematica è la mia sezione preferita della matematica superiore, e quindi semplicemente non potevo fare a meno di darti una mano:

All'inizio del 1° semestre vengono solitamente trattati i limiti di sequenza e i limiti di funzione. Non capisci cosa sono e non sai come risolverli? Inizia con l'articolo Limiti di funzione, in cui il concetto stesso viene esaminato “sulle dita” e vengono analizzati gli esempi più semplici. Successivamente, segui altre lezioni sull'argomento, inclusa una lezione su all'interno di sequenze, sul quale in realtà ho già formulato una definizione rigorosa.

Quali simboli conosci oltre ai segni di disuguaglianza e al modulo?

– un lungo bastoncino verticale recita così: “tale quello”, “tale quello”, “tale quello” o “tale quello”, nel nostro caso, ovviamente, si tratta di un numero - quindi “tale che”;

– per tutti gli “en” maggiori di ;

– il segno del modulo indica la distanza, cioè. questa voce ci dice che la distanza tra i valori è inferiore a epsilon.

Beh, è ​​mortalmente difficile? =)

Dopo aver imparato la pratica, non vedo l'ora di vederti nel prossimo paragrafo:

E infatti, pensiamoci un po': come formulare una definizione rigorosa di sequenza? ...La prima cosa che mi viene in mente al mondo lezione pratica: “il limite di una sequenza è il numero al quale i membri della sequenza si avvicinano infinitamente”.

Ok, scriviamolo successiva :

Non è difficile capirlo successiva avvicinarsi infinitamente vicino al numero –1 e ai termini con numeri pari – a “uno”.

O forse ci sono due limiti? Ma allora perché nessuna sequenza non può averne dieci o venti? Puoi andare lontano in questo modo. A questo proposito è logico presumerlo se una sequenza ha un limite allora è unica.

Nota : la successione non ha limite, ma da essa si possono distinguere due sottosuccessioni (vedi sopra), ciascuna delle quali ha il proprio limite.

Pertanto la definizione di cui sopra risulta insostenibile. Sì, funziona per casi come (che non ho utilizzato correttamente nelle spiegazioni semplificate di esempi pratici), ma ora occorre trovare una definizione rigorosa.

Tentativo due: “il limite di una sequenza è il numero al quale si avvicinano TUTTI i membri della sequenza, tranne forse loro finale quantità." Questo è più vicino alla verità, ma non è ancora del tutto accurato. Quindi, ad esempio, la sequenza la metà dei termini non si avvicina affatto allo zero - sono semplicemente uguali =) A proposito, la "luce lampeggiante" assume generalmente due valori fissi.

La formulazione non è difficile da chiarire, ma poi sorge un'altra domanda: come scrivere la definizione in simboli matematici? Mondo scientifico Ho lottato con questo problema per molto tempo finché non ho risolto la situazione famoso maestro, che, in sostanza, formalizzava l'analisi matematica classica in tutto il suo rigore. Cauchy suggerì un intervento chirurgico dintorni , che ha avanzato significativamente la teoria.

Considera un punto e il suo arbitrario-dintorni:

Il valore di "epsilon" è sempre positivo e, inoltre, abbiamo il diritto di sceglierlo noi stessi. Supponiamo che in questo quartiere ci siano molti membri (non necessariamente tutti) qualche sequenza. Come scrivere il fatto che, ad esempio, il decimo termine è nelle vicinanze? Lascia che sia sul lato destro. Quindi la distanza tra i punti e dovrebbe essere inferiore a “epsilon”: . Se però “x decimo” si trova a sinistra del punto “a”, allora la differenza sarà negativa e quindi occorrerà aggiungervi il segno modulo: .

Definizione: un numero è detto limite di una successione se per qualsiasi i suoi dintorni (preselezionato) esiste un numero naturale TALE quello TUTTO i membri della sequenza con i numeri più alti saranno all'interno del quartiere:

O in breve: se

In altre parole, non importa quanto piccolo sia il valore “epsilon” che prendiamo, prima o poi la “coda infinita” della sequenza si troverà COMPLETAMENTE in queste vicinanze.

Ad esempio, la “coda infinita” della sequenza entrerà COMPLETAMENTE in qualsiasi quartiere arbitrariamente piccolo del punto . Quindi questo valore è il limite della sequenza per definizione. Lascia che ti ricordi che si chiama una sequenza il cui limite è zero infinitesimale.

Da notare che per una sequenza non è più possibile dire “coda infinita” entrerà“- i membri con numeri dispari sono infatti uguali a zero e “non vanno da nessuna parte” =) Ecco perché nella definizione viene utilizzato il verbo “apparirà”. E, naturalmente, anche i membri di una sequenza come questa “non vanno da nessuna parte”. A proposito, controlla se il numero è il suo limite.

Ora dimostreremo che la successione non ha limiti. Consideriamo, ad esempio, un intorno del punto . È assolutamente chiaro che non esiste un numero dopo il quale TUTTI i termini finiranno in un dato quartiere: i termini dispari “saltano” sempre a “meno uno”. Per un motivo simile, non vi è alcun limite a questo punto.

Consolidiamo il materiale con la pratica:

Esempio 1

Dimostrare che il limite della successione è zero. Specificare il numero dopo il quale è garantito che tutti i membri della sequenza si trovino all'interno di un intorno arbitrariamente piccolo del punto.

Nota : Per molte sequenze, il numero naturale richiesto dipende dal valore, da qui la notazione .

Soluzione: considerare arbitrario ce n'è? numero - in modo tale che TUTTI i membri con numeri più alti saranno all'interno di questo quartiere:

Per mostrare l'esistenza del numero richiesto, lo esprimiamo tramite .

Poiché per qualsiasi valore di “en”, il segno del modulo può essere rimosso:

Usiamo azioni “scolastiche” con le disuguaglianze che ho ripetuto in classe Disuguaglianze lineari E Dominio delle funzioni. In questo caso, una circostanza importante è che “epsilon” e “en” sono positivi:

Dato che stiamo parlando di numeri naturali a sinistra, e il lato destro è generalmente frazionario, deve essere arrotondato:

Nota : a volte si aggiunge un'unità a destra per andare sul sicuro, ma in realtà questo è eccessivo. Relativamente parlando, se indeboliamo il risultato arrotondando per difetto, il numero adatto più vicino (“tre”) soddisferà comunque la disuguaglianza originale.

Ora guardiamo alla disuguaglianza e ricordiamo ciò che avevamo considerato inizialmente arbitrario-quartiere, cioè "epsilon" può essere uguale a chiunque un numero positivo.

Conclusione: per qualsiasi intorno arbitrariamente piccolo di un punto, è stato trovato il valore . Pertanto, un numero è per definizione il limite di una sequenza. Q.E.D.

A proposito, dal risultato ottenuto è chiaramente visibile uno schema naturale: più piccolo è il quartiere, maggiore è il numero, dopodiché TUTTI i membri della sequenza si troveranno in questo quartiere. Ma non importa quanto piccola sia l’“epsilon”, ci sarà sempre una “coda infinita” all’interno, e all’esterno – anche se è grande, comunque finale numero di membri.

Come sono le tue impressioni? =) Sono d'accordo che sia un po' strano. Ma rigorosamente! Per favore rileggi e pensa di nuovo a tutto.

Diamo un'occhiata a un esempio simile e conosciamo altre tecniche tecniche:

Esempio 2

Soluzione: per definizione di successione è necessario dimostrarlo (dillo ad alta voce!!!).

Consideriamo arbitrario-quartiere del punto e controllo, esiste? numero naturale – tale che per tutti i numeri più grandi vale la seguente disuguaglianza:

Per dimostrare l'esistenza di tale , è necessario esprimere “en” tramite “epsilon”. Semplifichiamo l'espressione sotto il segno del modulo:

Il modulo distrugge il segno meno:

Il denominatore è positivo per qualsiasi “en”, quindi i bastoncini possono essere rimossi:

Riproduzione casuale:

Ora dobbiamo estrarre radice quadrata, ma il problema è che per alcuni “epsilon” il lato destro sarà negativo. Per evitare questo problema rafforziamoci disuguaglianza per modulo:

Perché è possibile farlo? Se, relativamente parlando, risulta che , anche la condizione sarà soddisfatta. Il modulo può basta aumentare numero desiderato, e andrà bene anche a noi! In parole povere, se è adatto il centesimo, allora è adatto anche il duecentesimo! Secondo la definizione, devi mostrare il fatto stesso dell'esistenza del numero(almeno alcuni), dopodiché tutti i membri della sequenza si troveranno nel quartiere. A proposito, questo è il motivo per cui non abbiamo paura dell'arrotondamento finale del lato destro verso l'alto.

Estrazione della radice:

E arrotondare il risultato:

Conclusione: Perché il valore “epsilon” è stato scelto arbitrariamente, quindi per qualsiasi intorno arbitrariamente piccolo del punto è stato trovato il valore , tale che per tutti i numeri più grandi vale la disuguaglianza . Così, per definizione. Q.E.D.

Lo consiglio particolarmente comprendere il rafforzamento e l'indebolimento delle disuguaglianze è una tecnica tipica e molto comune nell'analisi matematica. L'unica cosa che devi monitorare è la correttezza di questa o quell'azione. Quindi, ad esempio, la disuguaglianza in nessun caso è possibile allentare, sottraendo, diciamo, uno:

Ancora una volta, in modo condizionale: se il numero si adatta esattamente, quello precedente potrebbe non adattarsi più.

Il seguente esempio per una soluzione indipendente:

Esempio 3

Utilizzando la definizione di sequenza, dimostralo

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione.

Se la sequenza infinitamente grande, allora la definizione di limite è formulata in modo simile: un punto è chiamato limite di una successione se per qualsiasi, grande quanto vuoi numero, esiste un numero tale che per tutti i numeri più grandi la disuguaglianza sarà soddisfatta. Il numero viene chiamato prossimità del punto “più infinito”:

In altre parole, qualunque cosa grande valore In ogni caso, la “coda infinita” della sequenza andrà sicuramente nelle vicinanze del punto, lasciando sulla sinistra solo un numero finito di termini.

Esempio standard:

E notazione abbreviata: , if

Nel caso, scrivi tu stesso la definizione. La versione corretta si trova alla fine della lezione.

Una volta che hai capito gli esempi pratici e capito la definizione del limite di una sequenza, puoi rivolgerti alla letteratura sul calcolo infinitesimale e/o al tuo quaderno delle lezioni. Consiglio di scaricare il volume 1 di Bohan (più semplice - per studenti di corrispondenza) e Fichtenholtz (più nel dettaglio e nel dettaglio). Tra gli altri autori consiglio Piskunov, il cui corso è rivolto alle università tecniche.

Prova a studiare coscienziosamente i teoremi che riguardano il limite della successione, le loro dimostrazioni, le conseguenze. All'inizio, la teoria può sembrare "torbida", ma questo è normale: devi solo abituarti. E molti ne avranno anche un assaggio!

Definizione rigorosa del limite di una funzione

Cominciamo con la stessa cosa: come formulare questo concetto? Definizione verbale il limite di una funzione è formulato molto più semplicemente: “un numero è limite di una funzione se con “x” tendente a (sia a sinistra che a destra), i valori della funzione corrispondente tendono a » (vedi disegno). Tutto sembra normale, ma le parole sono parole, il significato è significato, un'icona è un'icona e non ci sono abbastanza notazioni matematiche rigorose. E nel secondo paragrafo conosceremo due approcci per risolvere questo problema.

Sia definita la funzione su un certo intervallo, con la possibile eccezione del punto. IN letteratura educativaè generalmente accettato che la funzione sia presente Non definito:

Questa scelta sottolinea l'essenza del limite di una funzione: "X" infinitamente vicino approcci e i valori corrispondenti della funzione sono infinitamente vicino A . In altre parole, il concetto di limite non implica un “avvicinamento esatto” ai punti, ma proprio questo approssimazione infinitamente vicina, non importa se la funzione è definita in quel punto o meno.

La prima definizione di limite di una funzione, non a caso, è formulata utilizzando due sequenze. In primo luogo, i concetti sono correlati e, in secondo luogo, i limiti delle funzioni vengono solitamente studiati dopo i limiti delle sequenze.

Considera la sequenza punti (non nel disegno), appartenente all'intervallo e diverso da, Quale converge A . Quindi i corrispondenti valori della funzione formano anche una sequenza numerica, i cui membri si trovano sull'asse delle ordinate.

Limite di una funzione secondo Heine per qualsiasi sequenze di punti (appartenente e diverso da), che converge al punto , la corrispondente sequenza di valori della funzione converge a .

Eduard Heine è un matematico tedesco. ...E non c'è bisogno di pensare una cosa del genere, c'è solo un gay in Europa: Gay-Lussac =)

Nasce la seconda definizione di limite... sì, sì, hai ragione. Ma prima, capiamo il suo design. Consideriamo un intorno arbitrario del punto (quartiere “nero”). Sulla base del paragrafo precedente, la voce significa questo un certo valore la funzione si trova all'interno del quartiere “epsilon”.

Ora troviamo il quartiere che corrisponde al quartiere dato (disegna mentalmente linee tratteggiate nere da sinistra a destra e poi dall'alto verso il basso). Tieni presente che il valore è selezionato lungo la lunghezza del segmento più piccolo, in questo caso - lungo la lunghezza del segmento sinistro più corto. Inoltre, l'intorno “lampone” di un punto può anche essere ridotto, come nella seguente definizione il fatto stesso dell'esistenza è importante questo quartiere. E, analogamente, la notazione significa che un certo valore si trova all’interno del quartiere “delta”.

Limite della funzione di Cauchy: un numero è detto limite di una funzione in un punto se per qualsiasi preselezionato quartiere (piccolo quanto vuoi), esiste-quartiere del punto, COME, che: COME SOLO valori (appartenente a) inclusi in quest'area: (frecce rosse)– COSÌ IMMEDIATAMENTE è garantito che i valori della funzione corrispondente entrino nel quartiere: (frecce blu).

Devo avvisarti che per motivi di chiarezza ho improvvisato un po', quindi non abusarne =)

Voce breve: , se

Qual è l'essenza della definizione? In senso figurato, riducendo all’infinito il quartiere -, “accompagniamo” i valori della funzione al loro limite, non lasciando loro alcuna alternativa all’avvicinarsi altrove. Abbastanza insolito, ma ancora una volta severo! Per comprendere appieno l'idea, rileggere nuovamente la formulazione.

! Attenzione: se hai solo bisogno di formulare La definizione di Heine o semplicemente Definizione di Cauchy per favore, non dimenticartene significativo commenti preliminari: "Consideriamo una funzione definita su un certo intervallo, con la possibile eccezione di un punto". L’ho affermato una volta all’inizio e non l’ho ripetuto ogni volta.

Secondo il corrispondente teorema dell’analisi matematica, le definizioni di Heine e Cauchy sono equivalenti, ma la seconda opzione è la più famosa (Ovviamente!), chiamato anche "limite linguistico":

Esempio 4

Utilizzando la definizione di limite, dimostralo

Soluzione: la funzione è definita su tutta la retta numerica tranne il punto. Usando la definizione, dimostriamo l'esistenza di un limite in un dato punto.

Nota : il valore del quartiere “delta” dipende dall'“epsilon”, da cui la designazione

Consideriamo arbitrario-dintorni. Il compito è utilizzare questo valore per verificare se esiste?-dintorni, COME, che dalla disuguaglianza segue la disuguaglianza .

Supponendo che , trasformiamo l'ultima disuguaglianza:
(ampliato il trinomio quadratico)

Vengono fornite le formulazioni dei principali teoremi e delle proprietà delle successioni numeriche che hanno un limite. Contiene una definizione della sequenza e del suo limite. Vengono considerate le operazioni aritmetiche con successioni, proprietà relative alle disuguaglianze, criteri di convergenza, proprietà delle successioni infinitesimali e infinitamente grandi.

Sequenze

Sequenza numericaè una legge (regola) secondo la quale a ogni numero naturale viene assegnato un numero.
Il numero viene chiamato ennesimo termine o un elemento di una sequenza.
Inoltre assumeremo che gli elementi della successione siano numeri reali.

limitato, se esiste un numero M tale che per ogni reale n .

Bordo superiore le sequenze sono chiamate il numero più piccolo che limita la sequenza dall'alto. Cioè questo è un numero s per il quale, per ogni n e per ogni , esiste un elemento della sequenza che supera s′: .

Bordo inferiore le sequenze sono chiamate il numero più grande che limita la sequenza dal basso. Cioè questo è un numero i per il quale, per ogni n e per ogni , esiste un elemento della sequenza minore di i′: .

Viene anche chiamato il limite superiore limite superiore esatto, e il limite inferiore è limite inferiore esatto. I concetti di superiore e inferiore si applicano non solo alle successioni, ma anche a qualsiasi insieme di numeri reali.

Determinazione del limite di sequenza

Il numero a è chiamato limite della successione, se per qualsiasi numero positivo esiste tale numero naturale N , a seconda del fatto che per tutte le disuguaglianze naturali vale la seguente disuguaglianza:
.
Il limite della sequenza è indicato come segue:
.
O a .

Utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità si può scrivere la definizione di limite come segue:
.

Intervallo aperto (a - ε, a + ε) chiamato ε - intorno del punto a.

Viene chiamata una sequenza che ha un limite sequenza convergente. Si dice anche che la sequenza converge ad a. Viene chiamata una sequenza che non ha limiti.

divergente Punto a non è il limite della sequenza , se esiste tale che per ogni numero naturale n esiste un tale m naturale>n
.
.
, Che cosa

Proprietà dei limiti finiti delle successioni

Proprietà di base

Un punto a è limite di una successione se e solo se all'esterno di questo punto esiste un qualsiasi intorno numero finito di elementi sequenze o l'insieme vuoto.

Se il numero a non è il limite della sequenza, allora esiste un intorno del punto a oltre il quale esiste numero infinito di elementi della sequenza.

Teorema dell'unicità limite sequenza numerica . Se una sequenza ha un limite allora è unica.

Se una successione ha un limite finito, allora limitato.

Se ogni elemento della sequenza uguale allo stesso numero C : allora questa sequenza ha un limite pari al numero C .

Se la sequenza aggiungi, scarta o modifica i primi m elementi, allora questo non influenzerà la sua convergenza.

Dimostrazioni delle proprietà fondamentali sono riportati nella pagina
Proprietà fondamentali dei limiti finiti delle successioni >>>.

Operazioni aritmetiche con limiti

Lasciamo che ci siano limiti finiti di entrambe le sequenze e .
;
;
;
E sia C una costante, cioè un dato numero. Poi
, Se .

Nel caso di un quoziente, si assume che per ogni n.

Se, allora. sono riportati nella pagina
Dimostrazioni di proprietà aritmetiche

Proprietà aritmetiche dei limiti finiti di successioni >>>.

Proprietà legate alle disuguaglianze

Se gli elementi di una successione, a partire da un certo numero, soddisfano la disuguaglianza , allora anche il limite a di tale successione soddisfa la disuguaglianza .

Se gli elementi della sequenza, a partire da un certo numero, appartengono ad un intervallo chiuso (segmento), allora a questo intervallo appartiene anche il limite a: .

Se e ed elementi di successioni, a partire da un certo numero, soddisfano la disuguaglianza , allora .
Se e, a partire da un numero, , allora .
In particolare, se, a partire da un certo numero, , allora
se, allora;

se, allora.

Se e, allora. < b Lascia fare. Se a , allora esiste un numero naturale N tale che per ogni n>N

vale la disuguaglianza. sono riportati nella pagina
Dimostrazioni di proprietà legate alle disuguaglianze

Proprietà dei limiti di sequenza associati alle disuguaglianze >>>.

Sequenze infinitamente grandi e infinitesimali

Sequenza infinitesimale Successione chiamata sequenza infinitesima
.

, se il suo limite è zero: Somma e differenza

di un numero finito di sequenze infinitesimali è una sequenza infinitesima. Lavoro a infinitesimo è una sequenza infinitesimale.

Prodotto di un numero finito sequenze infinitesimali è una sequenza infinitesima.

Affinché una successione abbia limite a è necessario e sufficiente che , dove sia una successione infinitesimale.

Dimostrazioni delle proprietà delle successioni infinitesime sono riportati nella pagina
Successioni infinitesime - definizione e proprietà >>>.

Sequenza infinitamente grande

Sequenza infinitesimale chiamata sequenza infinitamente grande, se per ogni numero positivo esiste un numero naturale N dipendente da tale che per tutti i numeri naturali vale la disuguaglianza
.
In questo caso scrivono
.
O a .
Dicono che tende all'infinito.

Se, a partire da un numero N, allora
.
Se allora
.

Se la successione è infinitamente grande, allora, a partire da un numero N, si definisce una successione infinitesimale. Se è una sequenza infinitesima con elementi diversi da zero, allora la sequenza è infinitamente grande.

Se la sequenza è infinitamente grande e la sequenza è limitata, allora
.

Se i valori assoluti degli elementi della sequenza sono limitati dal basso da un numero positivo (), ed è infinitesimale con elementi diversi da zero, allora
.

Maggiori dettagli definizione di una sequenza infinitamente grande con esempiè riportato nella pagina
Definizione di successione infinitamente grande >>>.
Dimostrazioni delle proprietà di successioni infinitamente grandi sono riportati nella pagina
Proprietà delle sequenze infinitamente grandi >>> .

Criteri di convergenza delle sequenze

Sequenze monotone

La sequenza viene chiamata strettamente crescente, se per tutti gli n vale la seguente disuguaglianza:
.
Di conseguenza, per strettamente decrescente sequenza vale la seguente disuguaglianza:
.
Per non decrescente:
.
Per non crescente:
.

Ne consegue che una successione strettamente crescente è anche non decrescente. Anche una sequenza strettamente decrescente è non crescente.

La sequenza viene chiamata monotono, se non è decrescente o non crescente.

Una sequenza monotona è limitata almeno da un lato dal valore .

Una sequenza non decrescente è delimitata di seguito: . Una successione non crescente è limitata dall'alto: .

Poiché qualsiasi sequenza non decrescente (non crescente) è limitata dal basso (dall'alto), il teorema di Weierstrass può essere riformulato come segue:

Affinché una successione monotona abbia limite finito è necessario e sufficiente che sia limitata: .

Successione monotona illimitata ha un limite infinito, uguale per una sequenza non decrescente e non crescente.

Dimostrazione del teorema di Weierstrass riportato nella pagina
Teorema di Weierstrass sul limite di una successione monotona >>>.

Criterio di Cauchy per la convergenza di successioni

Condizione cauchy. Una successione soddisfa la condizione di Cauchy se per ogni esiste un numero naturale tale che per tutti i numeri naturali n e m che soddisfano la condizione la disuguaglianza
.
Vengono chiamate anche sequenze che soddisfano la condizione di Cauchy sequenze fondamentali.

Criterio di Cauchy per la convergenza di successioni. Affinché una successione abbia limite finito è necessario e sufficiente che soddisfi la condizione di Cauchy.

Dimostrazione del criterio di convergenza di Cauchy riportato nella pagina
Criterio di Cauchy per la convergenza della successione >>>.

Sottosequenze

Teorema di Bolzano-Weierstrass. Da qualsiasi successione limitata si può selezionare una sottosuccessione convergente. E da qualsiasi sequenza illimitata - una sottosequenza infinitamente grande che converge a o a .

Dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass riportato nella pagina
Teorema di Bolzano–Weierstrass >>> .

Definizioni, teoremi e proprietà delle sottosuccessioni e dei limiti parziali sono discussi nella pagina
Sottosuccessioni e limiti parziali di successioni >>>.

Letteratura utilizzata:
CM. Nikolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
V.A. Zorich. Analisi matematica. Parte 1. Mosca, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Fondamenti di analisi matematica. Parte 1. Mosca, 2005.

Per chi vuole imparare a trovare i limiti, in questo articolo parleremo proprio di questo. Non approfondiremo la teoria; gli insegnanti di solito la spiegano durante le lezioni. Quindi la “teoria noiosa” dovrebbe essere annotata sui tuoi quaderni. In caso contrario, puoi leggere i libri di testo presi in prestito dalla biblioteca. istituzione educativa o su altre risorse Internet.

Quindi, il concetto di limite è piuttosto importante nello studio della matematica superiore, specialmente quando ci si imbatte nel calcolo integrale e si comprende la connessione tra limite e integrale. Nel materiale attuale considereremo semplici esempi, nonché i modi per risolverli.

Esempi di soluzioni

Esempio 1

Calcola a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluzione

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Le persone spesso ci inviano questi limiti con una richiesta di aiuto per risolverli. Abbiamo deciso di evidenziarli come esempio separato e di spiegare che questi limiti, di regola, devono solo essere ricordati. Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai visualizzare lo stato di avanzamento del calcolo e ottenere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere il voto dal tuo insegnante in modo tempestivo!

Risposta

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0$$

Cosa fare con l'incertezza della forma: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Esempio 3

Risolvi $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluzione

Come sempre, iniziamo sostituendo il valore $ x $ nell'espressione sotto il segno limite. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Qual è il prossimo passo? Cosa dovrebbe succedere alla fine? Poiché si tratta di incertezza, questa non è ancora una risposta e continuiamo il calcolo. Dato che abbiamo un polinomio ai numeratori, lo fattorizzeremo utilizzando la formula familiare a tutti fin dalla scuola $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Ti ricordi? Grande! Ora vai avanti e usalo con la canzone :) Troviamo che il numeratore $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuiamo a risolvere tenendo conto della trasformazione di cui sopra: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Risposta

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Spostiamo all'infinito il limite degli ultimi due esempi e consideriamo l'incertezza: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Esempio 5

Calcola $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluzione

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Cosa fare? Cosa dovrei fare? Niente panico, perché l'impossibile è possibile. È necessario eliminare la x sia dal numeratore che dal denominatore, quindi ridurla. Successivamente, prova a calcolare il limite. Proviamo... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Usando la definizione dell'Esempio 2 e sostituendo x con infinito, otteniamo: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Risposta

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmo per il calcolo dei limiti

Quindi, riassumiamo brevemente gli esempi e creiamo un algoritmo per risolvere i limiti:

1. Sostituisci il punto x nell'espressione che segue il segno limite. Se si ottiene un certo numero o infinito, il limite è completamente risolto. Altrimenti abbiamo l’incertezza: “zero diviso zero” oppure “infinito diviso infinito” e passiamo ai punti successivi delle istruzioni.
2. Per eliminare l'incertezza di "zero diviso zero", è necessario fattorizzare il numeratore e il denominatore. Ridurre quelli simili. Sostituisci il punto x nell'espressione sotto il segno limite.
3. Se l'incertezza è “infinito diviso per infinito”, allora eliminiamo sia il numeratore che il denominatore x nella massima misura. Accorciamo le X. Sostituiamo i valori di x da sotto il limite nell'espressione rimanente.

In questo articolo hai imparato le basi per risolvere i limiti, spesso utilizzati nel corso di Calcolo. Naturalmente questi non sono tutti i tipi di problemi proposti dagli esaminatori, ma solo i limiti più semplici. Parleremo di altri tipi di incarichi negli articoli futuri, ma prima devi imparare questa lezione per andare avanti. Parliamo di cosa fare se ci sono radici, gradi, studiamo funzioni equivalenti infinitesimali, limiti meravigliosi, La regola dell'Hopital.

Se non riesci a capire da solo i limiti, niente panico. Siamo sempre felici di aiutarti!

Numero costante UN chiamato limite sequenze(x n ), se per qualsiasi numero positivo arbitrariamente piccoloε > 0 esiste un numero N che ha tutti i valori x n, per cui n>N, soddisfa la disuguaglianza

|x n - a|< ε. (6.1)

Scrivilo come segue: oppure x n → UN.

La disuguaglianza (6.1) è equivalente alla doppia disuguaglianza

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

il che significa che i punti x n, a partire da un numero n>N, giacciono all'interno dell'intervallo (a-ε, a+ ε ), cioè. cadere in qualsiasi piccoloε -intorno di un punto UN.

Viene chiamata una sequenza avente un limite convergente, Altrimenti - divergente.

Il concetto di limite di funzione è una generalizzazione del concetto di limite di sequenza, poiché il limite di una sequenza può essere considerato come il limite di una funzione x n = f(n) di un argomento intero N.

Sia data la funzione f(x) e sia UN - punto limite dominio di definizione di questa funzione D(f), cioè tale punto, un qualsiasi intorno del quale contiene punti dell'insieme D(f) diversi da UN. Punto UN può appartenere o meno all'insieme D(f).

Definizione 1.Viene chiamata la costante numero A limite funzioni f(x) A x→a, se per qualsiasi sequenza (x n) di argomenti valori tendenti a UN, le successioni corrispondenti (f(x n)) hanno lo stesso limite A.

Questa definizione si chiama definendo il limite di una funzione secondo Heine, O " nel linguaggio sequenziale”.

Definizione 2. Viene chiamata la costante numero A limite funzioni f(x) A x→a, se, specificando un piccolo arbitrario arbitrario numero positivo ε , si può trovare tale δ>0 (a seconda di ε), che è per tutti X, sdraiatoε-intorni del numero UN, cioè. Per X, soddisfacendo la disuguaglianza
0 < x-a< ε , si troveranno i valori della funzione f(x).Quartiere ε del numero A, cioè|f(x)-A|< ε.

Questa definizione si chiama definendo il limite di una funzione secondo Cauchy, O “nella lingua ε - δ “.

Le definizioni 1 e 2 sono equivalenti. Se la funzione f(x) come x →a ha limite, uguale ad A, questo si scrive nella forma

. (6.3)

Nel caso in cui la successione (f(x n)) aumenta (o diminuisce) senza limiti per qualsiasi metodo di approssimazione X al tuo limite UN, allora diremo che la funzione f(x) ha limite infinito, e scrivilo nel formato:

Viene chiamata una variabile (cioè una sequenza o una funzione) il cui limite è zero infinitamente piccolo.

Viene chiamata una variabile il cui limite è infinito infinitamente grande.

Per trovare in pratica il limite si utilizzano i seguenti teoremi.

Teorema 1 . Se ogni limite esiste

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commento. Espressioni come 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sono incerti, ad esempio, il rapporto tra due quantità infinitesime o infinitamente grandi, e trovare un limite di questo tipo si chiama “scoprire incertezze”.

Teorema 2. (6.7)

quelli. si può arrivare al limite in base alla potenza con esponente costante, in particolare, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Dove e » 2.7 - base del logaritmo naturale. Le formule (6.10) e (6.11) sono dette la prima limite meraviglioso e il secondo limite notevole.

Nella pratica si applicano anche le conseguenze della formula (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

in particolare il limite

Se x → a e contemporaneamente x > a, quindi scrivere x→a + 0. Se in particolare a = 0, allora al posto del simbolo 0+0 scrivi +0. Allo stesso modo se x→a e contemporaneamente x a-0. Numeri e vengono chiamati di conseguenza limite giusto E limite sinistro funzioni f(x) al punto UN. Perché ci sia un limite della funzione f(x) come x→a è necessario e sufficiente affinché . Viene chiamata la funzione f(x). continuo al punto x 0 se limite

. (6.15)

La condizione (6.15) può essere riscritta come:

,

cioè il passaggio al limite sotto il segno di una funzione è possibile se questa è continua in un dato punto.

Se l’uguaglianza (6.15) viene violata, allora si dice così A x = xo funzione f(x) ha spacco Considera la funzione y = 1/x. Il dominio di definizione di questa funzione è l'insieme R, eccetto x = 0. Il punto x = 0 è un punto limite dell'insieme D(f), poiché in qualsiasi intorno di esso, cioè in ogni intervallo aperto contenente il punto 0, ci sono punti da D(f), ma esso stesso non appartiene a questo insieme. Il valore f(x o)= f(0) non è definito, quindi nel punto x o = 0 la funzione ha una discontinuità.

Viene chiamata la funzione f(x). continua a destra nel punto x o se il limite

,

E continuo a sinistra nel punto x o, se il limite

.

Continuità di una funzione in un punto xo equivale alla sua continuità in questo punto sia a destra che a sinistra.

Affinché la funzione sia continua nel punto xo, ad esempio, a destra, è necessario, in primo luogo, che esista un limite finito, e in secondo luogo, che questo limite sia uguale a f(x o). Pertanto, se almeno una di queste due condizioni non è soddisfatta, allora la funzione presenterà una discontinuità.

1. Se il limite esiste e non è uguale a f(x o), allora dicono così funzione f(x) al punto xo ha rottura del primo tipo, O salto.

2. Se il limite è+∞ o -∞ oppure non esiste, allora lo dicono in punto xo la funzione ha una discontinuità secondo tipo.

Ad esempio, la funzione y = lettino x in x→ +0 ha limite pari a +∞, il che significa che nel punto x=0 si ha una discontinuità del secondo tipo. Funzione y = E(x) (parte intera di X) nei punti con ascisse intere presenta discontinuità del primo tipo, ovvero salti.

Si dice una funzione continua in ogni punto dell'intervallo continuo V. Una funzione continua è rappresentata da una curva solida.

Molti problemi associati alla crescita continua di una certa quantità portano al secondo limite notevole. Tali compiti includono, ad esempio: crescita dei depositi secondo la legge dell'interesse composto, crescita della popolazione del paese, decadimento delle sostanze radioattive, proliferazione di batteri, ecc.

Consideriamo esempio di Ya. I. Perelman, dando un'interpretazione del numero e nel problema dell’interesse composto. Numero e c'è un limite . Nelle casse di risparmio gli interessi vengono aggiunti ogni anno al capitale fisso. Se l'adesione avviene più spesso, il capitale cresce più velocemente, poiché nella formazione degli interessi è coinvolta una somma maggiore. Facciamo un esempio puramente teorico, molto semplificato. Si depositino in banca 100 denari. unità basato sul 100% annuo. Se il denaro degli interessi viene aggiunto al capitale fisso solo dopo un anno, entro questo periodo allora 100 den. unità si trasformerà in 200 unità monetarie. Ora vediamo in cosa si trasformeranno 100 denize. unità, se gli interessi vengono aggiunti al capitale fisso ogni sei mesi. Dopo sei mesi, 100 den. unità crescerà fino a 100× 1,5 = 150 e dopo altri sei mesi - 150× 1,5 = 225 (unità den.). Se l'adesione avviene ogni 1/3 dell'anno, dopo un anno 100 den. unità diventeranno 100× (1+1/3) 3" 237 (unità den.). Aumenteremo i termini per aggiungere gli interessi a 0,1 anno, fino a 0,01 anno, fino a 0,001 anno, ecc. Quindi su 100 den. unità dopo un anno sarà:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unità den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unità den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unità den.).

Con una riduzione illimitata dei termini per l'aggiunta degli interessi, il capitale accumulato non cresce indefinitamente, ma si avvicina ad un certo limite pari a circa 271. Il capitale depositato al 100% annuo non può aumentare più di 2,71 volte, anche se gli interessi maturati venivano aggiunti al capitale ogni secondo perché il limite

Esempio 3.1.Utilizzando la definizione di limite di una sequenza numerica, dimostrare che la sequenza x n =(n-1)/n ha limite pari a 1.

Soluzione.Dobbiamo dimostrarlo, qualunque cosa accadaε > 0, qualunque cosa prendiamo, perché esiste un numero naturale N tale che per ogni n N vale la disuguaglianza|x n -1|< ε.

Prendiamo qualsiasi e > 0. Poiché ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, allora per trovare N è sufficiente risolvere la disuguaglianza 1/n< e. Quindi n>1/ e e, quindi, N può essere preso come parte intera di 1/ e , N = E(1/ e ). Abbiamo così dimostrato che il limite .

Esempio 3.2 . Trovare il limite di una successione data da un termine comune .

Soluzione.Applichiamo il limite del teorema della somma e troviamo il limite di ciascun termine. Quando n→ ∞ il numeratore e il denominatore di ciascun termine tendono all'infinito e non possiamo applicare direttamente il teorema del limite del quoziente. Pertanto, prima trasformiamo x n, dividendo numeratore e denominatore del primo termine per n2, e il secondo in poi N. Quindi, applicando il limite del quoziente e il limite del teorema della somma, troviamo:

.

Esempio 3.3. . Trovare .

Soluzione. .

Qui abbiamo utilizzato il teorema del limite del grado: il limite di un grado è uguale al grado del limite della base.

Esempio 3.4 . Trovare ( ).

Soluzione.È impossibile applicare il teorema del limite della differenza, poiché abbiamo un’incertezza della forma ∞-∞ . Trasformiamo la formula del termine generale:

.

Esempio 3.5 . È data la funzione f(x)=2 1/x. Dimostrare che non esiste alcun limite.

Soluzione.Usiamo la definizione 1 del limite di una funzione attraverso una sequenza. Prendiamo una successione ( x n ) convergente a 0, cioè Mostriamo che il valore f(x n)= si comporta diversamente per sequenze diverse. Sia x n = 1/n. Ovviamente, quindi il limite Scegliamo ora come x n una successione con termine comune x n = -1/n, anch'esso tendente a zero. Pertanto non vi è alcun limite.

Esempio 3.6 . Dimostrare che non esiste alcun limite.

Soluzione.Sia x 1 , x 2 ,..., x n ,... una successione per la quale
. Come si comporta la successione (f(x n)) = (sin x n) per diversi x n → ∞

Se x n = p n, allora sin x n = sin p n = 0 per tutti N e il limite Se
x n = 2 p n+ p /2, allora sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 per tutti N e quindi il limite. Quindi non esiste.

Widget per il calcolo dei limiti on-line

Nella finestra superiore, invece di sin(x)/x, inserisci la funzione di cui vuoi trovare il limite. Nella finestra inferiore, inserisci il numero a cui tende x e fai clic sul pulsante Calcola, ottieni il limite desiderato. E se nella finestra dei risultati fai clic su Mostra passaggi nell'angolo in alto a destra, otterrai una soluzione dettagliata.

Regole per l'immissione delle funzioni: sqrt(x) - radice quadrata, cbrt(x) - radice cubica, exp(x) - esponente, ln(x) - logaritmo naturale, sin(x) - seno, cos(x) - coseno, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arcoseno, arccos(x) - arcocoseno, arctan(x) - arcotangente. Segni: * moltiplicazione, / divisione, ^ esponenziazione, invece infinito Infinito. Esempio: la funzione viene inserita come sqrt(tan(x/2)).

La matematica è la scienza che costruisce il mondo. Sia lo scienziato che l'uomo comune: nessuno può farne a meno. Prima ai bambini viene insegnato a contare, poi addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni entrano in gioco i simboli delle lettere, che alle superiori non possono più essere evitati;

Ma oggi parleremo di ciò su cui si basa tutta la matematica conosciuta. Informazioni su una comunità di numeri chiamata “limiti di sequenza”.

Cosa sono le sequenze e dov'è il loro limite?

Il significato della parola “sequenza” non è difficile da interpretare. Questa è una disposizione delle cose in cui qualcuno o qualcosa si trova in un certo ordine o coda. Ad esempio, la coda per i biglietti per lo zoo è una sequenza. E può essercene solo uno! Se, ad esempio, guardi la coda al negozio, questa è una sequenza. E se una persona di questa coda se ne va improvvisamente, allora questa è una coda diversa, un ordine diverso.

Anche la parola “limite” è facilmente interpretabile: è la fine di qualcosa. Tuttavia, in matematica, i limiti delle sequenze sono quei valori sulla linea numerica a cui tende una sequenza di numeri. Perché si sforza e non finisce? È semplice, la linea numerica non ha fine e la maggior parte delle sequenze, come i raggi, hanno solo un inizio e assomigliano a questa:

x1, x2, x3,...xn...

Quindi la definizione di sequenza è una funzione dell'argomento naturale. In parole più semplici, questa è una serie di membri di un certo insieme.

Come è costruita la sequenza numerica?

Un semplice esempio di sequenza numerica potrebbe assomigliare a questo: 1, 2, 3, 4, …n…

Nella maggior parte dei casi, per scopi pratici, le sequenze sono costruite da numeri e ogni membro successivo della serie, chiamiamolo X, ha il proprio nome. Per esempio:

x 1 è il primo membro della sequenza;

x 2 è il secondo termine della successione;

x 3 è il terzo termine;

x n è l'ennesimo termine.

Nei metodi pratici, la sequenza è data da una formula generale in cui è presente una certa variabile. Per esempio:

X n = 3n, la serie di numeri stessa sarà simile a questa:

Vale la pena ricordare che quando si scrivono sequenze in generale, è possibile utilizzare qualsiasi lettera latina, non solo X. Ad esempio: y, z, k, ecc.

Progressione aritmetica come parte di sequenze

Prima di cercare i limiti delle sequenze, è consigliabile approfondire il concetto stesso di tale serie numerica, che tutti abbiamo incontrato quando erano alle scuole medie. Una progressione aritmetica è una serie di numeri in cui la differenza tra termini adiacenti è costante.

Problema: “Sia a 1 = 15, e il passo di progressione della serie di numeri d = 4. Costruisci i primi 4 termini di questa serie"

Soluzione: a 1 = 15 (per condizione) è il primo termine della progressione (serie numerica).

e 2 = 15+4=19 è il secondo termine della progressione.

e 3 =19+4=23 è il terzo termine.

e 4 =23+4=27 è il quarto termine.

Utilizzando questo metodo però è difficile raggiungere valori elevati, ad esempio fino a 125. . Soprattutto per questi casi è stata derivata una formula conveniente per la pratica: a n = a 1 +d(n-1). In questo caso, a 125 =15+4(125-1)=511.

Tipi di sequenze

La maggior parte delle sequenze sono infinite, vale la pena ricordarle per il resto della vita. Esistono due tipi interessanti di serie numeriche. Il primo è dato dalla formula a n =(-1) n. I matematici spesso chiamano questa sequenza flasher. Perché? Controlliamo la sua serie numerica.

1, 1, -1, 1, -1, 1, ecc. Con un esempio come questo diventa chiaro che i numeri in sequenza possono essere facilmente ripetuti.

Sequenza fattoriale. È facile da indovinare: la formula che definisce la sequenza contiene un fattoriale. Ad esempio: a n = (n+1)!

Quindi la sequenza sarà simile a questa:

a2 = 1x2x3 = 6;

e 3 = 1x2x3x4 = 24, ecc.

Una successione definita da una progressione aritmetica si dice infinitamente decrescente se la disuguaglianza -1 è soddisfatta per tutti i suoi termini

e 3 = - 1/8, ecc.

Esiste anche una sequenza composta dallo stesso numero. Quindi n = 6 è formato da un numero infinito di sei.

Determinazione del limite di sequenza

I limiti di sequenza esistono da molto tempo in matematica. Naturalmente, meritano il proprio design competente. Quindi, è tempo di imparare la definizione di limiti di sequenza. Innanzitutto, esaminiamo in dettaglio il limite di una funzione lineare:

1. Tutti i limiti sono abbreviati in lim.
2. La notazione di limite è costituita dall'abbreviazione lim, da qualsiasi variabile tendente ad un certo numero, zero o infinito, nonché dalla funzione stessa.

È facile capire che la definizione del limite di una sequenza può essere formulata come segue: questo è un certo numero al quale tutti i membri della sequenza si avvicinano all'infinito. Un semplice esempio: ax = 4x+1. Quindi la sequenza stessa sarà simile a questa.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Quindi questa sequenza aumenterà indefinitamente, il che significa che il suo limite è uguale a infinito come x→∞, e dovrebbe essere scritta così:

Se prendiamo una sequenza simile, ma x tende a 1, otteniamo:

E la serie di numeri sarà così: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, ecc. Ogni volta dovrai sostituire il numero più vicino a uno (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Da questa serie è chiaro che il limite della funzione è cinque.

Da questa parte vale la pena ricordare qual è il limite di una sequenza numerica, la definizione e il metodo per risolvere problemi semplici.

Designazione generale del limite delle sequenze

Dopo aver esaminato il limite di una sequenza numerica, la sua definizione ed esempi, puoi procedere ad un argomento più complesso. Assolutamente tutti i limiti delle sequenze possono essere formulati con una formula, che di solito viene analizzata nel primo semestre.

Allora, cosa significa questo insieme di lettere, moduli e segni di disuguaglianza?

∀ è un quantificatore universale, che sostituisce le frasi “per tutti”, “per tutto”, ecc.

∃ è un quantificatore esistenziale, in questo caso significa che esiste un valore N appartenente all'insieme dei numeri naturali.

Un lungo bastone verticale che segue N significa che l’insieme N dato è “tale che”. In pratica può significare “tale quello”, “tale quello”, ecc.

Per rinforzare il materiale, leggi la formula ad alta voce.

Incertezza e certezza del limite

Il metodo per trovare il limite delle sequenze, discusso sopra, sebbene semplice da usare, non è così razionale nella pratica. Prova a trovare il limite per questa funzione:

Se sostituiamo diversi valori di “x” (crescenti ogni volta: 10, 100, 1000, ecc.), otteniamo ∞ al numeratore, ma anche ∞ al denominatore. Ciò si traduce in una frazione piuttosto strana:

Ma è davvero così? Calcolare il limite di una sequenza numerica in questo caso sembra abbastanza semplice. Sarebbe possibile lasciare tutto così com'è, perché la risposta è pronta ed è stata ricevuta in condizioni ragionevoli, ma esiste un altro modo specifico per questi casi.

Innanzitutto, troviamo il grado più alto nel numeratore della frazione: questo è 1, poiché x può essere rappresentato come x 1.

Ora troviamo il grado più alto nel denominatore. Anche 1.

Dividiamo sia il numeratore che il denominatore per la variabile al massimo grado. In questo caso, dividi la frazione per x 1.

Successivamente, troveremo a quale valore tende ciascun termine contenente una variabile. In questo caso vengono considerate le frazioni. Per x→∞ il valore di ciascuna frazione tende a zero. Quando invii il tuo lavoro per iscritto, dovresti inserire le seguenti note a piè di pagina:

Ciò si traduce nella seguente espressione:

Naturalmente le frazioni contenenti x non sono diventate zeri! Ma il loro valore è così piccolo che è del tutto lecito non tenerne conto nei calcoli. In questo caso, infatti, x non sarà mai uguale a 0, perché non è possibile dividere per zero.

Cos'è un quartiere?

Supponiamo che il professore abbia a disposizione una sequenza complessa, data, ovviamente, da una formula altrettanto complessa. Il professore ha trovato la risposta, ma è giusta? Dopotutto, tutte le persone commettono errori.

Auguste Cauchy una volta trovò un modo eccellente per dimostrare i limiti delle sequenze. Il suo metodo si chiamava manipolazione del vicinato.

Supponiamo che esista un certo punto a, il cui vicinato in entrambe le direzioni sulla linea numerica è uguale a ε (“epsilon”). Poiché l'ultima variabile è la distanza, il suo valore è sempre positivo.

Definiamo ora una successione x n e assumiamo che il decimo termine della successione (x 10) sia compreso nell'intorno di a. Come possiamo scrivere questo fatto in linguaggio matematico?

Diciamo che x 10 è a destra del punto a, quindi la distanza x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Adesso è il momento di spiegare in pratica la formula discussa sopra. È giusto chiamare un certo numero il punto finale di una sequenza se per uno qualsiasi dei suoi limiti la disuguaglianza ε>0 è soddisfatta e l'intero intorno ha il proprio numero naturale N, tale che tutti i membri della sequenza con numeri più alti sarà all'interno della sequenza |x n - a|< ε.

Con tale conoscenza è facile risolvere i limiti della sequenza, dimostrare o confutare la risposta già pronta.

Teoremi

I teoremi sui limiti delle successioni sono una componente importante della teoria, senza la quale la pratica è impossibile. Esistono solo quattro teoremi principali, ricordarli può semplificare notevolmente il processo di risoluzione o dimostrazione:

1. Unicità del limite di una successione. Qualsiasi sequenza può avere un solo limite o nessuno. Lo stesso esempio con una coda che può avere solo un'estremità.
2. Se una serie di numeri ha un limite, anche la sequenza di questi numeri è limitata.
3. Il limite della somma (differenza, prodotto) delle successioni è uguale alla somma (differenza, prodotto) dei loro limiti.
4. Il limite del quoziente di divisione di due successioni è uguale al quoziente dei limiti se e solo se il denominatore non si annulla.

Prova di sequenze

A volte è necessario risolvere un problema inverso, per dimostrare un dato limite di una sequenza numerica. Diamo un'occhiata a un esempio.

Dimostrare che il limite della successione data dalla formula è zero.

Secondo la regola discussa sopra, per ogni successione la disuguaglianza |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Esprimiamo n tramite “epsilon” per mostrare l'esistenza di un certo numero e dimostrare la presenza di un limite della successione.

A questo punto è importante ricordare che “epsilon” e “en” sono numeri positivi e non sono uguali a zero. Ora puoi continuare ulteriori trasformazioni utilizzando la conoscenza delle disuguaglianze ottenuta in Scuola superiore.

Come risulta che n > -3 + 1/ε. Poiché è bene ricordare che stiamo parlando di numeri naturali, il risultato può essere arrotondato racchiudendolo tra parentesi quadre. Pertanto, è stato dimostrato che per qualsiasi valore dell'intorno “epsilon” del punto a = 0, è stato trovato un valore tale che la disuguaglianza iniziale è soddisfatta. Da qui possiamo tranquillamente affermare che il numero a è il limite di una data sequenza. Q.E.D.

Questo comodo metodo può essere utilizzato per dimostrare il limite di una sequenza numerica, non importa quanto possa essere complessa a prima vista. La cosa principale è non farsi prendere dal panico quando vedi l'attività.

O forse non c'è?

Nella pratica l'esistenza di un limite di coerenza non è necessaria. Puoi facilmente imbatterti in serie di numeri che in realtà non hanno fine. Ad esempio, la stessa “luce lampeggiante” x n = (-1) n. è ovvio che una sequenza composta da sole due cifre, ripetuta ciclicamente, non può avere limite.

La stessa storia si ripete con sequenze costituite da un numero, quelle frazionarie, aventi incertezza di qualsiasi ordine durante i calcoli (0/0, ∞/∞, ∞/0, ecc.). Tuttavia, va ricordato che si verificano anche calcoli errati. A volte ricontrollare la tua soluzione ti aiuterà a trovare il limite della sequenza.

Sequenza monotona

Diversi esempi di sequenze e metodi per risolverli sono stati discussi sopra, e ora proviamo a prendere un caso più specifico e a chiamarlo “sequenza monotona”.

Definizione: qualsiasi successione può a buon diritto dirsi monotonicamente crescente se per essa vale la disuguaglianza stretta x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Insieme a queste due condizioni esistono anche disuguaglianze simili e non rigorose. Di conseguenza, x n ≤ x n +1 (sequenza non decrescente) e x n ≥ x n +1 (sequenza non crescente).

Ma è più facile capirlo con degli esempi.

La sequenza data dalla formula x n = 2+n forma la seguente serie di numeri: 4, 5, 6, ecc. Questa è una sequenza monotonicamente crescente.

E se prendiamo x n =1/n, otteniamo la serie: 1/3, ¼, 1/5, ecc. Questa è una sequenza monotonicamente decrescente.

Limite di una successione convergente e limitata

Una sequenza limitata è una sequenza che ha un limite. Una successione convergente è una serie di numeri che ha un limite infinitesimo.

Pertanto, il limite di una successione limitata è qualsiasi numero reale o complesso. Ricorda che può esserci un solo limite.

Il limite di una successione convergente è una quantità infinitesima (reale o complessa). Se disegni un diagramma di sequenza, ad un certo punto sembrerà convergere, tenderà a trasformarsi in un certo valore. Da qui il nome - sequenza convergente.

Limite di una successione monotona

Potrebbe esserci o meno un limite a tale sequenza. Innanzitutto è utile capire quando esiste; da qui si può partire per dimostrare l'assenza di un limite.

Tra le successioni monotone si distinguono convergenti e divergenti. Convergente è una successione formata dall'insieme x e ha un limite reale o complesso in questo insieme. Divergente è una sequenza che non ha limiti nel suo insieme (né reale né complesso).

Inoltre la successione converge se, in una rappresentazione geometrica, i suoi limiti superiore e inferiore convergono.

Il limite di una successione convergente può essere zero in molti casi, poiché ogni successione infinitesima ha un limite noto (zero).

Qualunque sia la sequenza convergente che prendi, sono tutte limitate, ma non tutte le sequenze limitate convergono.

Anche la somma, la differenza, il prodotto di due successioni convergenti è una successione convergente. Tuttavia il quoziente può anche essere convergente se definito!

Varie azioni con limiti

I limiti di sequenza sono significativi (nella maggior parte dei casi) quanto cifre e numeri: 1, 2, 15, 24, 362, ecc. Risulta che alcune operazioni possono essere eseguite con limiti.

Innanzitutto, come i numeri e i numeri, i limiti di qualsiasi sequenza possono essere aggiunti e sottratti. In base al terzo teorema sui limiti delle successioni vale la seguente uguaglianza: il limite della somma delle successioni è uguale alla somma dei loro limiti.

In secondo luogo, in base al quarto teorema sui limiti delle sequenze, è vera la seguente uguaglianza: il limite del prodotto dell'n-esimo numero di sequenze è uguale al prodotto dei loro limiti. Lo stesso vale per la divisione: il limite del quoziente di due successioni è uguale al quoziente dei loro limiti, purché il limite non sia zero. Dopotutto, se il limite delle sequenze è uguale a zero, risulterà una divisione per zero, il che è impossibile.

Proprietà delle quantità di successione

Sembrerebbe che il limite della sequenza numerica sia già stato discusso in dettaglio, ma frasi come numeri “infinitamente piccoli” e “infinitamente grandi” sono menzionate più di una volta. Ovviamente, se esiste una successione 1/x, dove x→∞, allora tale frazione è infinitesima, e se la stessa successione, ma il limite tende a zero (x→0), allora la frazione diventa un valore infinitamente grande. E tali quantità hanno le loro caratteristiche. Le proprietà del limite di una sequenza avente valori piccoli o grandi sono le seguenti:

1. Anche la somma di qualsiasi numero di qualsiasi numero di piccole quantità sarà una piccola quantità.
2. La somma di qualsiasi numero di grandi quantità sarà una quantità infinitamente grande.
3. Il prodotto di quantità arbitrariamente piccole è infinitesimale.
4. Il prodotto di un numero qualsiasi di numeri grandi è infinitamente grande.
5. Se la sequenza originale tende a un numero infinitamente grande, allora il suo inverso sarà infinitesimale e tenderà a zero.

In effetti, calcolare il limite di una sequenza non è un compito così difficile se si conosce un semplice algoritmo. Ma i limiti della coerenza sono un tema che richiede la massima attenzione e perseveranza. Naturalmente è sufficiente cogliere l'essenza della soluzione a tali espressioni. Iniziando in piccolo, puoi raggiungere grandi traguardi nel tempo.