Come moltiplicare le radici con indicatori diversi. Moltiplicare le radici: regole fondamentali

Disponibilità radici quadrate nell'espressione complica il processo di divisione, ma ci sono regole che rendono molto più semplice lavorare con le frazioni.

L'unica cosa che devi tenere a mente tutto il tempo- le espressioni radicali si dividono in espressioni radicali e i fattori in fattori. Nel processo di divisione delle radici quadrate, semplifichiamo la frazione. Inoltre, ricorda che la radice può essere al denominatore.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Metodo 1. Divisione delle espressioni radicali

Algoritmo delle azioni:

Scrivi una frazione

Se l'espressione non è rappresentata come frazione, è necessario scriverla come tale, perché è più semplice seguire il principio della divisione delle radici quadrate.

Esempio 1

144 ÷ 36, tale espressione va riscritta come segue: 144 36

Usa un segno di radice

Se sia il numeratore che il denominatore contengono radici quadrate, è necessario scrivere le loro espressioni radicali sotto lo stesso segno di radice per facilitare il processo di soluzione.

Ti ricordiamo che un'espressione radicale (o numero) è un'espressione sotto il segno della radice.

Esempio 2

144 36. Questa espressione dovrebbe essere scritta come segue: 144 36

Espressioni radicali separate

Basta dividere un'espressione per un'altra e scrivere il risultato sotto il segno della radice.

Esempio 3

144 36 = 4, scriviamo questa espressione così: 144 36 = 4

Semplifica l'espressione radicale (se necessario)

Se l'espressione radicale o uno dei fattori è un quadrato perfetto, semplifica l'espressione.

Ricordiamo che un quadrato perfetto è un numero che rappresenta il quadrato di un intero.

Esempio 4

4 è un quadrato perfetto perché 2 × 2 = 4. Da ciò segue:

4 = 2 × 2 = 2. Pertanto 144 36 = 4 = 2.

Metodo 2. Fattorizzazione dell'espressione radicale

Algoritmo delle azioni:

Scrivi una frazione

Riscrivi l'espressione come frazione (se è rappresentata in questo modo). Ciò rende molto più semplice la divisione delle espressioni con radici quadrate, soprattutto durante la fattorizzazione.

Esempio 5

8 ÷ 36, riscrivilo così 8 36

Fattorizza ciascuna delle espressioni radicali

Fattorizza il numero sotto la radice come qualsiasi altro numero intero, scrivi solo i fattori sotto il segno della radice.

Esempio 6

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Semplifica il numeratore e il denominatore di una frazione

Per fare ciò, elimina i fattori che rappresentano i quadrati perfetti da sotto il segno della radice. Pertanto, il fattore dell'espressione radicale diventerà il fattore prima del segno della radice.

Esempio 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, questo segue: 8 36 = 2 2 6

Razionalizzare il denominatore (eliminare la radice)

In matematica esistono regole secondo le quali lasciare la radice al denominatore è segno di cattiva forma, cioè è proibito. Se c'è una radice quadrata nel denominatore, eliminala.

Moltiplica il numeratore e il denominatore per la radice quadrata che vuoi rimuovere.

Esempio 8

Nell'espressione 6 2 3, devi moltiplicare il numeratore e il denominatore per 3 per eliminarlo nel denominatore:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Semplifica l'espressione risultante (se necessario)

Se il numeratore e il denominatore contengono numeri che possono e devono essere ridotti. Semplifica tali espressioni come faresti con qualsiasi frazione.

Esempio 9

2 6 si semplifica in 1 3 ; quindi 2 2 6 si semplifica in 1 2 3 = 2 3

Metodo 3: divisione delle radici quadrate con i fattori

Algoritmo delle azioni:

Semplificare i fattori

Ricordiamo che i fattori sono i numeri che precedono il segno della radice. Per semplificare i fattori, dovrai dividerli o ridurli. Non toccare le espressioni radicali!

Esempio 10

4 32 6 16 . Per prima cosa riduciamo 4 6: dividiamo sia il numeratore che il denominatore per 2: 4 6 = 2 3.

Semplifica le radici quadrate

Se il numeratore è uniformemente divisibile per il denominatore, allora dividi. In caso contrario, semplifica le espressioni radicali come qualsiasi altra.

Esempio 11

32 è divisibile per 16, quindi: 32 16 = 2

Moltiplica i fattori semplificati per le radici semplificate

Ricorda la regola: non lasciare le radici al denominatore. Pertanto, moltiplichiamo semplicemente il numeratore e il denominatore per questa radice.

Esempio 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Razionalizzare il denominatore (eliminare la radice del denominatore)

Esempio 13

4 3 2 7 . Dovresti moltiplicare il numeratore e il denominatore per 7 per eliminare la radice del denominatore.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Metodo 4: Divisione binomiale con radice quadrata

Algoritmo delle azioni:

Determina se un binomio è al denominatore

Ricordiamo che un binomio è un'espressione che include 2 monomi. Questo metodo funziona solo nei casi in cui il denominatore ha un binomio con radice quadrata.

Esempio 14

1 5 + 2 - c'è un binomio al denominatore, poiché ci sono due monomi.

Trova l'espressione coniugata del binomio

Ricordiamo che il binomio coniugato è un binomio con gli stessi monomi ma di segno opposto. Per semplificare l'espressione ed eliminare la radice del denominatore, dovresti moltiplicare i binomi coniugati.

Esempio 15

5 + 2 e 5 - 2 sono binomi coniugati.

Moltiplicare numeratore e denominatore per il binomio che è il coniugato del binomio al denominatore

Questa opzione aiuterà a eliminare la radice del denominatore, poiché il prodotto dei binomi coniugati è uguale alla differenza dei quadrati di ciascun termine dei binomi: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Esempio 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Da ciò segue: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.

Consiglio:

1. Se lavori con le radici quadrate di numeri misti, convertile in frazioni improprie.
2. La differenza tra addizione e sottrazione dalla divisione è che nel caso della divisione non è consigliabile semplificare le espressioni radicali (a scapito dei quadrati completi).
3. Non lasciare mai (!) una radice al denominatore.
4. Nessun decimale o misto prima della radice: è necessario convertirli in frazione comune, e poi semplificare.
5. Il denominatore è la somma o la differenza di due monomi? Moltiplica tale binomio per il suo binomio coniugato ed elimina la radice del denominatore.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Formule di laurea utilizzato nel processo di riduzione e semplificazione di espressioni complesse, nella risoluzione di equazioni e disequazioni.

Numero CÈ N-esima potenza di un numero UN Quando:

Operazioni con i gradi.

1. Poteri moltiplicativi di c la stessa base i loro indicatori si sommano:

Sono·a n = a m + n .

2. Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti:

3. Il grado del prodotto di 2 o più fattori è uguale al prodotto dei gradi di questi fattori:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Il grado di una frazione è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo e il divisore:

(a/b) n = a n /b n .

5. Elevando una potenza a potenza, si moltiplicano gli esponenti:

(a m) n = a m n .

Ciascuna formula sopra è vera nelle direzioni da sinistra a destra e viceversa.

Per esempio. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operazioni con le radici.

1. La radice del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:

2. La radice di un rapporto è uguale al rapporto tra il dividendo e il divisore delle radici:

3. Quando si eleva una radice a una potenza, è sufficiente elevare il numero radicale a questa potenza:

4. Se aumenti il ​​grado della radice in N una volta e allo stesso tempo incorporare N l'esima potenza è un numero radicale, quindi il valore della radice non cambierà:

5. Se riduci il grado della radice in N estrarre contemporaneamente la radice N-esima potenza di un numero radicale, il valore della radice non cambierà:

Un grado con esponente negativo. La potenza di un certo numero con esponente non positivo (intero) è definita come uno diviso per la potenza dello stesso numero con esponente uguale a valore assoluto indicatore non positivo:

Formula Sono:a n = a m - n può essere utilizzato non solo per M> N, ma anche con M< N.

Per esempio. UN4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Alla formula Sono:a n = a m - nè diventato giusto quando m=n, è richiesta la presenza di grado zero.

Una laurea con indice pari a zero. La potenza di qualsiasi numero diverso da zero con esponente zero è uguale a uno.

Per esempio. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grado con esponente frazionario. Per aumentare un numero reale UN al grado m/n, devi estrarre la radice N° grado di M-esima potenza di questo numero UN.

1. La radice del potere del prodotto non lo è numeri negativiè uguale al prodotto delle radici dello stesso grado dai fattori: dove (la regola per estrarre una radice da un prodotto).

2. Se , allora y (la regola per estrarre la radice di una frazione).

3. Se allora (la regola per estrarre una radice da una radice).

4. Se poi la regola per elevare la radice a potenza).

5. Se allora dove, cioè, l'esponente della radice e l'esponente dell'espressione radicale possono essere moltiplicati per lo stesso numero.

6. Se allora 0, cioè, corrisponde a un'espressione radicale positiva più grande e valore più alto radice

7. Tutte le formule di cui sopra vengono spesso applicate in ordine inverso (cioè da destra a sinistra). Per esempio,

(regola della moltiplicazione delle radici);

(regola della divisione delle radici);

8. La regola per rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice. A

9. Il problema inverso è introdurre un moltiplicatore sotto il segno della radice. Per esempio,

10. Eliminazione dell'irrazionalità nel denominatore di una frazione.

Diamo un'occhiata ad alcuni casi tipici.

Per esempio,

11. Applicazione delle identità di moltiplicazione abbreviate alle operazioni con radici aritmetiche:

12. Il fattore davanti alla radice è chiamato coefficiente. Ad esempio, qui 3 è il coefficiente.

13. Le radici (radicali) si dicono simili se hanno gli stessi indici di radice e le stesse espressioni di radicale, e differiscono solo nel coefficiente. Per giudicare se queste radici (radicali) sono simili o meno, è necessario ridurle alla loro forma più semplice.

Ad esempio, e sono simili, da allora

ESERCIZI CON SOLUZIONI

1. Semplifica le espressioni:

Soluzione. 1) Non ha senso moltiplicare l'espressione radicale, poiché ciascuno dei fattori rappresenta il quadrato di un numero intero. Usiamo la regola per estrarre la radice di un prodotto:

In futuro, eseguiremo tali azioni oralmente.

2) Proviamo, se possibile, a rappresentare l'espressione radicale come un prodotto di fattori, ciascuno dei quali è il cubo di un intero, e applichiamo la regola sulla radice del prodotto:

2. Trova il valore dell'espressione:

Soluzione. 1) Secondo la regola per estrarre la radice di una frazione, abbiamo:

3) Trasforma le espressioni radicali ed estrai la radice:

3. Semplificare quando

Soluzione. Quando si estrae una radice da una radice, gli indicatori delle radici vengono moltiplicati, ma l'espressione radicale rimane invariata

Se davanti alla radice situata sotto la radice è presente un coefficiente, prima di eseguire l'operazione di estrazione della radice, inserire questo coefficiente sotto il segno del radicale davanti al quale appare.

In base alle regole di cui sopra, estraiamo le ultime due radici:

4. Elevare a potenza:

Soluzione. Quando si eleva una radice a una potenza, l'esponente della radice rimane invariato e gli esponenti dell'espressione radicale vengono moltiplicati per l'esponente.

(visto che è definito, quindi );

Se data la radice ha un coefficiente, allora questo coefficiente viene elevato a una potenza separatamente e il risultato viene scritto come coefficiente della radice.

Qui abbiamo usato la regola secondo cui l'indicatore della radice e l'indicatore dell'espressione radicale possono essere moltiplicati per lo stesso numero (abbiamo moltiplicato per, cioè diviso per 2).

Ad esempio, o

4) L'espressione tra parentesi, che rappresenta la somma di due radicali diversi, è al cubo e semplificata:

Poiché abbiamo:

5. Eliminare l'irrazionalità nel denominatore:

Soluzione. Per eliminare (distruggere) l'irrazionalità nel denominatore di una frazione, è necessario trovare l'espressione più semplice, che in un prodotto con un denominatore dà un'espressione razionale, e moltiplicare il numeratore e il denominatore di questa frazione per il fattore trovato.

Ad esempio, se il denominatore di una frazione contiene un binomio, allora il numeratore e il denominatore della frazione dovranno essere moltiplicati per l'espressione coniugata al denominatore, ovvero la somma dovrà essere moltiplicata per la differenza corrispondente e viceversa.

Di più casi difficili Distruggono l'irrazionalità non immediatamente, ma in più passaggi.

1) L'espressione deve contenere

Moltiplicando numeratore e denominatore della frazione per otteniamo:

2) Moltiplicando numeratore e denominatore della frazione per il quadrato parziale della somma, otteniamo:

3) Portiamo le frazioni ad un denominatore comune:

Decidere questo esempio, dobbiamo tenere presente che ogni frazione ha un significato, cioè il denominatore di ogni frazione è diverso da zero. Oltretutto,

Quando si convertono espressioni contenenti radicali, spesso si commettono errori. Sono causati dall'incapacità di applicare correttamente il concetto (definizione) di radice aritmetica e valore assoluto.

Regole della moltiplicazione delle radici

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto “non molto”. »
E per chi “moltissimo. ")

Nella lezione precedente abbiamo capito cos'è una radice quadrata. È tempo di capire quali esistono formule per le radici cosa sono proprietà delle radici, e cosa si può fare con tutto questo.

Formule delle radici, proprietà delle radici e regole per lavorare con le radici- questa è essenzialmente la stessa cosa. Esistono sorprendentemente poche formule per le radici quadrate. Il che sicuramente mi rende felice! O meglio, puoi scrivere tante formule diverse, ma per un lavoro pratico e sicuro con le radici ne bastano solo tre. Tutto il resto scaturisce da questi tre. Anche se molte persone si confondono con le tre formule radicali, sì.

Cominciamo con quello più semplice. Ecco qui:

Lascia che ti ricordi (dalla lezione precedente): a e b sono numeri non negativi! Altrimenti la formula non ha senso.

Questo proprietà delle radici , come puoi vedere, è semplice, breve e innocuo. Ma ci sono così tante cose fantastiche che puoi fare con questa formula radice! Diamo un'occhiata esempi tutte queste cose utili.

La prima cosa utile. Questa formula ce lo permette moltiplicare le radici.

Come moltiplicare le radici?

Sì, molto semplice. Direttamente alla formula. Per esempio:

Sembrerebbe che lo abbiano moltiplicato, e allora? C'è molta gioia?! Sono d'accordo, un po'. Come ti piace questo? esempio?

Le radici non sono esattamente estratte dai fattori. E il risultato è eccellente! Così va meglio, vero? Per ogni evenienza, lascia che ti dica che possono esserci tutti i moltiplicatori che desideri. La formula per moltiplicare le radici funziona ancora. Per esempio:

Quindi, con la moltiplicazione tutto è chiaro, perché è necessario? proprietà delle radici- anche comprensibile.

La seconda cosa è utile. Immissione di un numero sotto il segno della radice.

Come inserire un numero sotto la radice?

Supponiamo di avere questa espressione:

È possibile nascondere il diavolo all'interno della radice? Facilmente! Se crei una radice da due, la formula per moltiplicare le radici funzionerà. Come puoi creare una radice da due? Sì, nessuna domanda neanche! Due è radice quadrata di quattro!

A proposito, una radice può essere ricavata da qualsiasi numero non negativo! Questa sarà la radice quadrata del quadrato di questo numero. 3 è la radice di 9. 8 è la radice di 64. 11 è la radice di 121. Bene, e così via.

Naturalmente non è necessario descriverlo in modo così dettagliato. Bene, per cominciare. Basta rendersi conto che qualsiasi numero non negativo moltiplicato per la radice può essere sommato sotto la radice. Ma non dimenticare! - sotto la radice questo numero diventerà piazza te stesso. Questa azione, ovvero l'inserimento di un numero sotto la radice, può anche essere chiamata moltiplicazione del numero per la radice. IN visione generale si può scrivere:

La procedura è semplice, come puoi vedere. Perché è necessario?

Come ogni trasformazione, questa procedura espande le nostre capacità. Opportunità di trasformare un'espressione crudele e scomoda in un'espressione morbida e soffice). Eccone uno semplice per te esempio:

Come potete vedere, proprietà delle radici che ti permette di inserire un moltiplicatore sotto il segno della radice, è abbastanza adatto per la semplificazione.

Inoltre, l'aggiunta di un fattore alla radice facilita il confronto dei valori di radici diverse. Senza calcoli o calcolatrice! La terza cosa utile.

Come confrontare le radici?

Questa abilità è molto importante nei compiti seri, quando si rivelano moduli e altre cose interessanti.

Confronta queste espressioni. Quale è più grande? Senza calcolatrice! Ognuno con una calcolatrice. uh-uh. Insomma, tutti possono farlo!)

Non puoi dirlo subito. Cosa succede se inserisci i numeri sotto il segno della radice?

Ricordiamo (e se non lo sapessi?): se il numero sotto il segno della radice è più grande, allora la radice stessa è più grande! Da qui la risposta immediatamente corretta, senza calcoli e calcoli complessi:

Fantastico, vero? Ma non è tutto! Ricorda che tutte le formule funzionano sia da sinistra a destra che da destra a sinistra. Finora abbiamo utilizzato la formula per moltiplicare le radici da sinistra a destra. Eseguiamo questa proprietà delle radici al contrario, da destra a sinistra. In questo modo:

E qual è la differenza? Questo dà qualcosa? Certamente! Adesso lo vedrai tu stesso.

Supponiamo di dover estrarre (senza calcolatrice!) la radice quadrata del numero 6561. Alcune persone in questa fase si troveranno in una lotta impari con il compito. Ma noi teniamo duro, non molliamo! La quarta cosa utile.

Come estrarre le radici da grandi numeri?

Ricordiamo la formula per estrarre le radici da un prodotto. Quello che ho scritto poco sopra. Ma dov'è il nostro lavoro!? Abbiamo un numero enorme 6561 e basta. Sì, il lavoro non è qui. Ma se ne avremo bisogno, lo faremo facciamolo! Consideriamo questo numero. Ne abbiamo il diritto.

Per prima cosa, scopriamo per cosa è divisibile esattamente questo numero? Cosa, non lo sai!? Hai dimenticato i segni della divisibilità!? Invano. Vai alla Sezione Speciale 555, argomento “Frazioni”, ci sono. Questo numero è divisibile per 3 e 9. Perché la somma dei numeri (6+5+6+1=18) è divisa per questi numeri. Questo è uno dei segni di divisibilità. Non serve dividere per tre (ora capirai perché), ma divideremo per 9. Almeno in un angolo. Otteniamo 729. Quindi abbiamo trovato due fattori! Il primo è nove (lo abbiamo scelto noi stessi) e il secondo è 729 (è risultato così). Puoi già scrivere:

Hai capito? Faremo lo stesso con il numero 729. È anche divisibile per 3 e 9. Non dividiamo nuovamente per 3, dividiamo per 9. Otteniamo 81. E conosciamo questo numero! Scriviamo:

Tutto si è rivelato facile ed elegante! La radice doveva essere estratta pezzo per pezzo, ma vabbè. Puoi farlo con chiunque grandi numeri. Moltiplicateli e vai avanti!

A proposito, perché non hai dovuto dividere per 3, hai indovinato? Sì, perché la radice di tre non può essere estratta esattamente! Ha senso tenerlo in considerazione in fattori tali che la radice possa essere estratta bene da almeno uno. Questi sono 4, 9, 16 e così via. Dividi il tuo numero enorme per questi numeri uno per uno e sarai fortunato!

Ma non necessariamente. Potresti non essere fortunato. Diciamo che il numero 432, se scomposto e utilizzando la formula radice del prodotto, darà il seguente risultato:

Vabbè. Ad ogni modo, abbiamo semplificato l'espressione. In matematica è consuetudine lasciare il numero più piccolo possibile sotto la radice. Nel processo di risoluzione tutto dipende dall'esempio (forse tutto può essere abbreviato senza semplificazione), ma nella risposta bisogna dare un risultato che non può essere ulteriormente semplificato.

A proposito, sai cosa abbiamo fatto con la radice di 432?

Noi tolse i fattori da sotto il segno della radice ! Così si chiama questa operazione. Altrimenti riceverai un compito - " rimuovere il fattore da sotto il segno della radice"Ma gli uomini non lo sanno nemmeno.) Ecco un'altra applicazione per te proprietà delle radici. Quinta cosa utile.

Come rimuovere il moltiplicatore da sotto la radice?

Facilmente. Fattorizza l'espressione radicale ed estrai le radici che vengono estratte. Diamo un'occhiata:

Niente di soprannaturale. È importante scegliere i moltiplicatori giusti. Qui abbiamo espanso 72 come 36·2. E tutto è andato bene. Oppure avrebbero potuto espanderlo diversamente: 72 = 6·12. E cosa!? La radice non può essere estratta né da 6 né da 12. Cosa fare?!

Va bene. Cerca altre opzioni di scomposizione o continua a scomporre tutto finché non si ferma! In questo modo:

Come puoi vedere, tutto ha funzionato. Questo, a proposito, non è il modo più veloce, ma il più affidabile. Dividi il numero nei fattori più piccoli, quindi raccogli gli stessi in pile. Il metodo viene utilizzato con successo anche quando si moltiplicano radici scomode. Ad esempio devi calcolare:

Moltiplica tutto: ottieni un numero pazzesco! E poi come estrarne la radice?! Fattorizzarlo di nuovo? No, non abbiamo bisogno di lavoro extra. Lo fattorizziamo immediatamente in fattori e raccogliamo quelli identici in gruppi:

Questo è tutto. Naturalmente non è necessario espanderlo completamente. Tutto è determinato dalle tue capacità personali. Abbiamo portato l'esempio al punto in cui ti è tutto chiaro Ciò significa che possiamo già contare. La cosa principale è non commettere errori. Non l’uomo per la matematica, ma la matematica per l’uomo!)

Applichiamo la conoscenza alla pratica? Cominciamo con qualcosa di semplice:

LAUREA CON INDICATORE RAZIONALE,

FUNZIONE POTENZA IV

§ 82. Moltiplicazione e divisione delle radici

1. Moltiplicazione delle radici. Nel § 79 la regola per moltiplicare le radici con identico indicatori:

Per moltiplicare le radici con indicatori diversi, devono prima essere ridotte a indicatore complessivo, e poi moltiplicare come radici con gli stessi esponenti.

Supponiamo, ad esempio, che tu debba moltiplicare N √ UN SU M √ B . Usando il Teorema 3 del § 80 possiamo scrivere:

Ad esempio, √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3

Come indicatore generale per le radici N √ UN SU M √ B È più conveniente scegliere il minimo comune multiplo dei numeri N E M . Ad esempio, se devi moltiplicare 4 √ 2 per 6 √ 32, allora è conveniente scegliere il numero 12, che è il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6, come indicatore comune di queste radici.

Il Teorema 3 § 80 dà: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.

4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2

2. Divisione delle radici. Nel § 79 si ottenne una regola per dividere le radici con gli stessi esponenti:

Per separare radici con indicatori diversi, è necessario prima portarle a un indicatore comune e poi dividerle come radici con gli stessi indicatori.

oldskola1.narod.ru

Moltiplicare le radici: regole fondamentali

Saluti, gatti! L’ultima volta abbiamo parlato in dettaglio di cosa sono le radici (se non te lo ricordi ti consiglio di leggerlo). Il punto principale di quella lezione: esiste una sola definizione universale di radici, che è ciò che devi sapere. Il resto sono sciocchezze e perdita di tempo.

Oggi andiamo oltre. Impareremo a moltiplicare le radici, studieremo alcuni problemi legati alla moltiplicazione (se questi problemi non vengono risolti, possono diventare fatali all'esame) e ci eserciteremo adeguatamente. Quindi fai scorta di popcorn, mettiti comodo e iniziamo :).

Nemmeno tu l'hai ancora fumato, vero?

La lezione si è rivelata piuttosto lunga, quindi l’ho divisa in due parti:

Per prima cosa esamineremo le regole della moltiplicazione. Cap sembra suggerire: questo è quando ci sono due radici, tra di loro c'è un segno di "moltiplicazione" - e vogliamo farci qualcosa.

Poi guardiamo la situazione opposta: c’è una grande radice, ma siamo stati ispirati a rappresentarla come il prodotto di due radici più semplici. Perché è necessario, è una domanda separata. Analizzeremo solo l'algoritmo.

Per coloro che non vedono l’ora di passare direttamente alla seconda parte, siete i benvenuti. Cominciamo con il resto in ordine.

Regola base della moltiplicazione

Cominciamo con la cosa più semplice: le classiche radici quadrate. Gli stessi designati $\sqrt$ e $\sqrt $. Tutto è ovvio per loro:

Regola di moltiplicazione. Per moltiplicare una radice quadrata per un'altra, moltiplica semplicemente le loro espressioni radicali e scrivi il risultato sotto il radicale comune:

Non vengono imposte ulteriori restrizioni ai numeri di destra o di sinistra: se esistono i fattori radice, esiste anche il prodotto.

Esempi. Diamo un'occhiata a quattro esempi con numeri contemporaneamente:

Come puoi vedere, il significato principale di questa regola è semplificare le espressioni irrazionali. E se nel primo esempio noi stessi avremmo estratto le radici di 25 e 4 senza nuove regole, allora le cose si fanno difficili: $\sqrt $ e $\sqrt $ non vengono considerati da soli, ma il loro prodotto risulta essere un quadrato perfetto, quindi la sua radice è uguale a un numero razionale.

Vorrei in particolare evidenziare l'ultima riga. Lì, entrambe le espressioni radicali sono frazioni. Grazie al prodotto molti fattori vengono cancellati e l'intera espressione si trasforma in un numero adeguato.

Naturalmente, le cose non saranno sempre così belle. A volte sotto le radici ci sarà una schifezza completa: non è chiaro cosa farne e come trasformarlo dopo la moltiplicazione. Un po' più tardi, quando inizi a studiare equazioni irrazionali e disuguaglianze, ci saranno generalmente tutti i tipi di variabili e funzioni. E molto spesso chi scrive problemi conta sul fatto che si scopriranno alcuni termini o fattori annullanti, dopodiché il problema verrà semplificato più volte.

Inoltre, non è affatto necessario moltiplicare esattamente due radici. Puoi moltiplicare tre, quattro o anche dieci contemporaneamente! Ciò non cambierà la regola. Dai un'occhiata:

E ancora una piccola nota sul secondo esempio. Come puoi vedere, nel terzo fattore sotto la radice c'è una frazione decimale: nel processo di calcolo la sostituiamo con una normale, dopodiché tutto può essere facilmente ridotto. Quindi: consiglio vivamente di eliminare le frazioni decimali in qualsiasi espressioni irrazionali(cioè contenente almeno un simbolo radicale). Ciò ti farà risparmiare molto tempo e nervi in ​​futuro.

Ma questa era una digressione lirica. Consideriamo ora un caso più generale: quando l'esponente radice contiene un numero arbitrario $n$, e non solo i due “classici”.

Il caso di un indicatore arbitrario

Quindi, abbiamo risolto le radici quadrate. Cosa fare con quelli cubici? O anche con radici di grado arbitrario $n$? Sì, è tutto uguale. La regola rimane la stessa:

Per moltiplicare due radici di grado $n$ è sufficiente moltiplicare le loro espressioni radicali e poi scrivere il risultato sotto un radicale.

In generale, niente di complicato. Solo che la quantità di calcoli potrebbe essere maggiore. Diamo un'occhiata a un paio di esempi:

Esempi. Calcola i prodotti:

E ancora, attenzione alla seconda espressione. Moltiplichiamo le radici cubiche, eliminiamo la frazione decimale e otteniamo il prodotto dei numeri 625 e 25 al denominatore gran numero- Personalmente, non riesco a calcolare subito a cosa equivale.

Quindi abbiamo semplicemente isolato il cubo esatto nel numeratore e nel denominatore e quindi abbiamo utilizzato una delle proprietà chiave (o, se preferisci, la definizione) della $n$esima radice:

Tali "macchinazioni" possono farti risparmiare molto tempo durante l'esame o lavoro di prova, quindi ricorda:

Non affrettarti a moltiplicare i numeri usando espressioni radicali. Innanzitutto, controlla: cosa succede se il grado esatto di qualsiasi espressione è "crittografato" lì?

Nonostante l'ovvietà di questa osservazione, devo ammettere che la maggior parte degli studenti impreparati non vede i gradi esatti a bruciapelo. Invece, moltiplicano tutto in modo definitivo e poi si chiedono: perché hanno ottenuto numeri così brutali :)

Tuttavia, tutto questo è una sciocchezza rispetto a ciò che studieremo ora.

Moltiplicazione di radici con esponenti diversi

Ok, ora possiamo moltiplicare le radici con gli stessi indicatori. Cosa succede se gli indicatori sono diversi? Diciamo, come moltiplicare un normale $\sqrt $ per una schifezza come $\sqrt $? È anche possibile farlo?

Sì, certo che puoi. Tutto viene fatto secondo questa formula:

Tuttavia, questa formula funziona solo se le espressioni radicali non sono negative. Questa è una nota molto importante su cui torneremo un po’ più tardi.

Per ora, diamo un'occhiata a un paio di esempi:

Come puoi vedere, niente di complicato. Ora scopriamo da dove viene il requisito di non negatività e cosa accadrà se lo violiamo :).

Moltiplicare le radici è facile

Perché le espressioni radicali devono essere non negative?

Certo che puoi essere così insegnanti della scuola e con uno sguardo intelligente cita il libro di testo:

Il requisito di non negatività è associato a diverse definizioni di radici di grado pari e dispari (di conseguenza, anche i loro domini di definizione sono diversi).

Bene, è diventato più chiaro? Personalmente, quando ho letto queste sciocchezze in terza media, ho capito qualcosa del genere: “Il requisito della non negatività è associato a *#&^@(*#@^#)

%" - insomma, quella volta non ho capito un bel niente. :)

Quindi ora spiegherò tutto in modo normale.

Per prima cosa, scopriamo da dove viene la formula di moltiplicazione sopra. Per fare questo, lascia che ti ricordi una cosa proprietà importante radice:

In altre parole, possiamo facilmente elevare l'espressione radicale a qualsiasi potenza naturale $k$: in questo caso l'esponente della radice dovrà essere moltiplicato per la stessa potenza. Pertanto, possiamo facilmente ridurre qualsiasi radice a un esponente comune e quindi moltiplicarla. Da qui deriva la formula della moltiplicazione:

Ma c’è un problema che limita fortemente l’uso di tutte queste formule. Considera questo numero:

Secondo la formula appena data possiamo sommare qualsiasi grado. Proviamo ad aggiungere $k=2$:

Abbiamo rimosso il meno proprio perché il quadrato brucia il meno (come ogni altro grado pari). Ora eseguiamo la trasformazione inversa: “riduciamo” il due in esponente e potenza. Dopotutto, qualsiasi uguaglianza può essere letta sia da sinistra a destra che da destra a sinistra:

Ma poi si scopre che è una specie di schifezza:

Ciò non può accadere perché $\sqrt \lt 0$ e $\sqrt \gt 0$. Ciò significa che per le potenze pari e i numeri negativi la nostra formula non funziona più. Dopodiché abbiamo due opzioni:

1. Sbattere contro il muro e affermare che la matematica è una scienza stupida, dove “ci sono alcune regole, ma queste sono imprecise”;
2. Introdurre ulteriori restrizioni in base alle quali la formula diventerà funzionante al 100%.

Nella prima opzione, dovremo individuare costantemente casi "non funzionanti": è difficile, richiede tempo e generalmente fa schifo. Pertanto, i matematici hanno preferito la seconda opzione :).

Ma non preoccuparti! In pratica, questa limitazione non influisce in alcun modo sui calcoli, perché tutti i problemi descritti riguardano solo radici di grado dispari, e da esse si possono ricavare dei meno.

Formuliamo quindi un'altra regola, che generalmente si applica a tutte le azioni con radici:

Prima di moltiplicare le radici, assicurati che le espressioni radicali siano non negative.

Esempio. Nel numero $\sqrt$ puoi rimuovere il segno meno da sotto il segno della radice, quindi tutto sarà normale:

Senti la differenza? Se lasci un segno meno sotto la radice, quando l'espressione radicale sarà quadrata, scomparirà e inizierà la schifezza. E se prima togli il meno, puoi squadrare/rimuovere finché non diventi blu in faccia: il numero rimarrà negativo :).

Pertanto, il modo più corretto e affidabile per moltiplicare le radici è il seguente:

3. Rimuovi tutti gli aspetti negativi dai radicali. I meno esistono solo nelle radici di molteplicità dispari: possono essere posizionati davanti alla radice e, se necessario, ridotti (ad esempio, se ci sono due di questi meno).
4. Esegui la moltiplicazione secondo le regole discusse sopra nella lezione di oggi. Se gli indicatori delle radici sono gli stessi, moltiplichiamo semplicemente le espressioni radicali. E se sono diversi usiamo la formula malvagia \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
5. 3.Goditi il ​​risultato e i bei voti.:)

BENE? Facciamo pratica?

Esempio 1: semplificare l'espressione:

Questa è l'opzione più semplice: le radici sono uguali e dispari, l'unico problema è che il secondo fattore è negativo. Togliamo questo meno dall'immagine, dopodiché tutto può essere facilmente calcolato.

Esempio 2: semplificare l'espressione:

In questo caso, molti rimarrebbero confusi dal fatto che l’output si rivelasse un numero irrazionale. Sì, succede: non siamo riusciti a eliminare completamente la radice, ma almeno abbiamo semplificato notevolmente l'espressione.

Esempio 3: semplificare l'espressione:

Vorrei attirare la vostra attenzione su questo compito. Ci sono due punti qui:

6. La radice non è un numero o una potenza specifica, ma la variabile $a$. A prima vista, questo è un po 'insolito, ma in realtà, quando risolvi problemi matematici, molto spesso devi affrontare le variabili.
7. Alla fine siamo riusciti a “ridurre” l’indicatore di radicalità e il grado di espressione radicale. Questo accade abbastanza spesso. Ciò significa che sarebbe stato possibile semplificare notevolmente i calcoli se non si utilizzasse la formula di base.

Ad esempio, potresti fare questo:

Tutte le trasformazioni, infatti, venivano eseguite solo con il secondo radicale. E se non descrivi in ​​​​dettaglio tutti i passaggi intermedi, alla fine la quantità di calcoli sarà notevolmente ridotta.

In effetti, abbiamo già riscontrato un'attività simile sopra quando abbiamo risolto l'esempio $\sqrt \cdot \sqrt $. Ora può essere scritto in modo molto più semplice:

8. Privazione della patente di guida per ubriachezza nel 2018. Guida in stato di intossicazione da alcol- una delle violazioni più gravi delle regole traffico. Legge del 23 luglio 2013 n. 196-FZ […]

Mantenere la tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e archiviamo le tue informazioni. Si prega di rivedere le nostre pratiche sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono ai dati che possono essere utilizzati per identificare o contattare una persona specifica.

Ti potrebbe essere chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che potremmo raccogliere e di come potremmo utilizzare tali informazioni.

Quali informazioni personali raccogliamo:

• Quando invii una richiesta sul sito, potremmo raccogliere varie informazioni, tra cui nome, numero di telefono, indirizzo e-mail ecc.

Come utilizziamo le tue informazioni personali:

• Le informazioni personali che raccogliamo ci consentono di contattarti e informarti in merito offerte uniche, promozioni e altri eventi e prossimi eventi.
• Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviare avvisi e comunicazioni importanti.
• Potremmo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e varie ricerche al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornirti consigli sui nostri servizi.
• Se partecipi a un'estrazione a premi, a un concorso o a una promozione simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione di informazioni a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da te a terzi.

Eccezioni:

• Se necessario, in conformità con la legge, procedura giudiziaria, in procedimenti legali e/o sulla base di inchieste o richieste pubbliche da parte di agenzie governative sul territorio della Federazione Russa - divulgare le tue informazioni personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per scopi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di importanza pubblica.
• In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo alla terza parte successore applicabile.

Protezione delle informazioni personali

Prendiamo precauzioni, comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche, per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso non autorizzato, divulgazione, alterazione e distruzione.

Rispettare la tua privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano sicure, comunichiamo gli standard di privacy e sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.