Casa / Vitamine/ Equazioni di radice. Metodi per risolvere equazioni irrazionali

Equazioni di radice. Metodi per risolvere equazioni irrazionali

Ad alcuni scolari non piacciono davvero le equazioni e i problemi in cui appare il segno della radice. Ma risolvere un esempio dalla radice non è così difficile; è importante sapere da che parte affrontare il problema. L'icona stessa, che indica l'estrazione della radice, è chiamata radicale. Come risolvere le radici? Estrarre la radice quadrata di un numero significa selezionare un numero che, quadrato, darà lo stesso valore sotto il segno radicale.

Allora come risolvere le radici quadrate

Risolvere le radici quadrate è facile. Ad esempio, devi capire qual è la radice di 16. Per risolvere questo semplice esempio, devi ricordare quanto fa 2 al quadrato: 2 2, poi 3 2 e infine 4 2. Solo ora vedremo che il risultato (16) corrisponde alla richiesta. Cioè, per estrarre la radice, dovevamo selezionare i possibili valori. Si scopre che non esiste un algoritmo esatto e comprovato per risolvere le radici. Per facilitare il lavoro del “risolutore”, i matematici consigliano di memorizzare (appunto a memoria, come una tavola pitagorica) i valori dei quadrati dei numeri fino a venti. Allora sarà possibile estrarre facilmente la radice dei numeri che sono più di cento. E, al contrario, puoi immediatamente vedere che la radice non può essere estratta da questo numero, cioè la risposta non sarà un numero intero.

Abbiamo capito come risolvere le radici quadrate. Ora scopriamo quali radici quadrate non hanno soluzione. Ad esempio, numeri negativi. Qui è chiaro che se si moltiplicano due numeri negativi, la risposta sarà con un segno più. Ecco cosa dovresti sapere: La radice può essere estratta da qualsiasi numero (eccetto quello negativo, come menzionato sopra). La risposta potrebbe semplicemente rivelarsi una frazione decimale. Cioè, contenere un certo numero di cifre dopo la virgola decimale. Ad esempio, la radice di due ha valore 1.41421 e non si tratta di tutti i numeri dopo la virgola. Tali valori vengono arrotondati, per facilitare i calcoli, talvolta alla seconda cifra decimale, talvolta alla terza o quarta. Inoltre, è spesso consuetudine lasciare il numero sotto la radice come risposta se sembra bello e compatto. Dopotutto, è già chiaro cosa significhi.

Come risolvere le equazioni con radici?

Per risolvere le equazioni con radici, è necessario utilizzare uno dei metodi non inventati da noi. Ad esempio, eleva al quadrato entrambi i lati di tale equazione. Per esempio:

Radice di X+3=5

Facciamo il quadrato dei lati sinistro e destro dell'equazione:

Ora puoi vedere come risolvere questa equazione. Per prima cosa, scopriamo a cosa è uguale X 2 (ed è uguale a 16), quindi prendiamone la radice. Risposta: 4. Tuttavia, vale la pena dire qui che questa equazione ha in realtà due soluzioni, due radici: 4 e -4. Dopotutto, anche -4 al quadrato dà 16.

Oltre a questo metodo, a volte è più attraente e conveniente sostituire la variabile che si trova sotto la radice con un'altra variabile per eliminare questa radice.

Y = radice di X.

Successivamente, risolta l'equazione, torniamo alla sostituzione e terminiamo i calcoli con la radice.

Otteniamo cioè X = Y 2. E questa sarà la soluzione.

Va detto che esistono molte altre tecniche per risolvere equazioni con radici.

Come risolvere le radici nei poteri?

Un radicale, che non ha una potenza nella sua base, significa che devi prendere la radice quadrata di un'espressione o di un numero, cioè la potenza quadrata al contrario. È semplice e chiaro. Ad esempio: radice di 9 = 3, (e 3 2 = 9), radice di 16 = 4 (4 2 = 16) e tutto nello stesso spirito. Ma cosa significa se la radice ha una laurea? Ciò significa che è necessario, ancora una volta, compiere l'azione opposta all'elevarlo a questo stesso potere. Ad esempio, devi scoprire il valore della radice cubica di 27.
Per fare ciò, devi scegliere un numero che, una volta tagliato al cubo, dia 27. Questo è 3 (3*3*3=27).

radice 3 di 27 = 3

Azioni simili vanno eseguite se il grado della radice è 4, 5. Solo in questo caso è necessario selezionare un numero che, elevato a potenza N darà il valore sotto la radice N-esimo grado.

Qui va detto che i gradi delle radici e i gradi delle espressioni radicali possono essere ridotti. Tuttavia, secondo le regole. Se il numero o la variabile sotto la radice ha un grado multiplo della radice, è possibile ridurli. Per esempio:

radice 3 di X 6 = X 2

Queste regole per trattare radici e poteri sono semplici; devi conoscerle chiaramente, e quindi il calcolo sarà semplice. Abbiamo capito come risolvere le radici fino a un certo punto, ora andiamo avanti.

Come risolvere la radice sotto la radice?

Questa terribile espressione è radice per radice e a prima vista non può essere risolta. Ma per calcolare correttamente il valore di tale espressione, è necessario conoscere le proprietà delle radici. In questo caso, devi solo sostituire due radici con una. Per fare ciò, i gradi di questi radicali devono essere semplicemente moltiplicati. Per esempio:

radice 3 di radice 729 = (radice 3 * radice 2) di 729

Cioè, qui abbiamo moltiplicato la radice cubica per la radice quadrata. Di conseguenza, abbiamo ottenuto la sesta radice:

radice 6 di 729 = 3

Altre radici simili sotto la radice devono essere affrontate allo stesso modo.

Dopo aver considerato tutti gli esempi proposti, è facile concordare sul fatto che risolvere le radici non è un compito così difficile. Naturalmente, quando si tratta di operazioni aritmetiche semplici e banali, a volte è più semplice usare una calcolatrice familiare. Tuttavia, prima di effettuare calcoli, è necessario fare tutto il possibile per semplificare l'attività, riducendo il più possibile il numero e la complessità dei calcoli aritmetici. Quindi la soluzione diventerà semplice e, soprattutto, interessante.

Risoluzione di equazioni irrazionali.

In questo articolo parleremo di soluzioni equazioni irrazionali più semplici.

Equazione irrazionaleè un'equazione che contiene un'incognita sotto il segno della radice.

Diamo un'occhiata a due tipi equazioni irrazionali, che a prima vista sono molto simili, ma in sostanza sono molto diversi tra loro.

(1)

(2)

Nella prima equazione vediamo che l'ignoto è sotto il segno della radice del terzo grado. Possiamo prendere la strana radice di numero negativo, quindi, in questa equazione non ci sono restrizioni né sull'espressione sotto il segno della radice né sull'espressione sul lato destro dell'equazione. Possiamo elevare entrambi i lati dell'equazione alla terza potenza per eliminare la radice. Otteniamo un'equazione equivalente:

Quando eleviamo i lati destro e sinistro dell'equazione a una potenza dispari, non possiamo aver paura di ottenere radici estranee.

Esempio 1. Risolviamo l'equazione

Eleviamo entrambi i lati dell'equazione alla terza potenza. Otteniamo un'equazione equivalente:

Spostiamo tutti i termini da parte e mettiamo la x tra parentesi:

Uguagliando ogni fattore a zero, otteniamo:

Risposta: (0;1;2)

Consideriamo da vicino la seconda equazione: . Sul lato sinistro dell'equazione c'è la radice quadrata, che accetta solo valori non negativi. Pertanto, affinché l'equazione abbia soluzioni, anche il membro di destra deve essere non negativo. Pertanto, la condizione è imposta sul lato destro dell'equazione:

Titolo="g(x)>=0"> - это !} condizione per l'esistenza delle radici.

Per risolvere un'equazione di questo tipo, è necessario elevare al quadrato entrambi i lati dell'equazione:

(3)

La quadratura può portare alla comparsa di radici estranee, quindi abbiamo bisogno delle equazioni:

Titolo="f(x)>=0"> (4)!}

Tuttavia, la disuguaglianza (4) segue dalla condizione (3): se il lato destro dell'uguaglianza contiene il quadrato di qualche espressione, e il quadrato di qualsiasi espressione può assumere solo valori non negativi, quindi anche il lato sinistro deve essere non- negativo. Pertanto la condizione (4) segue automaticamente dalla condizione (3) e dalla ns equazione è equivalente al sistema:

Titolo="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Esempio 2. Risolviamo l'equazione:

Passiamo ad un sistema equivalente:

Titolo="delim(lbrace)(matrice(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Risolviamo la prima equazione del sistema e controlliamo quali radici soddisfano la disuguaglianza.

Titolo disuguaglianza="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Risposta: x=1

Attenzione! Se nel processo di risoluzione eleviamo entrambi i lati dell'equazione al quadrato, dobbiamo ricordare che potrebbero apparire radici estranee. Pertanto, o devi passare a un sistema equivalente, oppure, alla fine della soluzione, FARE UN CONTROLLO: trovare le radici e sostituirle nell'equazione originale.

Esempio 3. Risolviamo l'equazione:

Per risolvere questa equazione dobbiamo anche elevare al quadrato entrambi i lati. Non preoccupiamoci dell'ODZ e della condizione per l'esistenza delle radici in questa equazione, ma eseguiamo semplicemente un controllo alla fine della soluzione.

Facciamo il quadrato di entrambi i lati dell'equazione:

Spostiamo il termine contenente la radice a sinistra e tutti gli altri termini a destra:

Facciamo di nuovo il quadrato di entrambi i lati dell'equazione:

Secondo il tema di Vieta:

Facciamo un controllo. Per fare ciò, sostituiamo le radici trovate nell'equazione originale. Ovviamente, in , il lato destro dell'equazione originale è negativo e il lato sinistro è positivo.

A otteniamo l'uguaglianza corretta.

Istituzione educativa comunale

"Scuola Secondaria Kuedino N. 2"

Metodi per risolvere equazioni irrazionali

Completato da: Olga Egorova,

Supervisore:

Insegnante

matematica,

qualifica più alta

Introduzione....……………………………………………………………………………………… 3

Sezione 1. Metodi per risolvere equazioni irrazionali…………………………………6

1.1 Risoluzione delle equazioni irrazionali della parte C……….….….………21

Sezione 2. Compiti individuali…………………………………………….....………...24

Risposte………………………………………………………………………………………….25

Elenco dei riferimenti…….…………………………………………………………………….26

Introduzione

L'educazione matematica ricevuta in una scuola comprensiva lo è componente essenziale istruzione generale e cultura generale uomo moderno. Quasi tutto ciò che circonda l’uomo moderno è in qualche modo connesso con la matematica. E i recenti progressi nel campo della fisica, dell’ingegneria e dell’informatica non lasciano dubbi sul fatto che in futuro la situazione rimarrà la stessa. Pertanto, la decisione di molti problemi pratici si riduce a una decisione vari tipi equazioni che devi imparare a risolvere. Uno di questi tipi sono le equazioni irrazionali.

Equazioni irrazionali

Viene chiamata un'equazione contenente un'incognita (o un'espressione algebrica razionale per un'incognita) sotto il segno radicale equazione irrazionale. Nella matematica elementare le soluzioni delle equazioni irrazionali si trovano nell'insieme dei numeri reali.

Qualsiasi equazione irrazionale può essere ridotta a un'equazione algebrica razionale utilizzando operazioni algebriche elementari (moltiplicazione, divisione, elevazione di entrambi i membri dell'equazione a una potenza intera). Va tenuto presente che l'equazione algebrica razionale risultante potrebbe rivelarsi non equivalente all'equazione irrazionale originale, vale a dire, potrebbe contenere radici "extra" che non saranno radici dell'equazione irrazionale originale. Pertanto, avendo trovato le radici dell'equazione algebrica razionale risultante, è necessario verificare se tutte le radici dell'equazione razionale saranno le radici dell'equazione irrazionale.

Nel caso generale, è difficile indicare un metodo universale per risolvere qualsiasi equazione irrazionale, poiché è auspicabile che, come risultato delle trasformazioni dell'equazione irrazionale originale, il risultato non sia semplicemente una qualche equazione algebrica razionale, tra le radici di dove non ci saranno le radici dell'equazione irrazionale data, ma un'equazione algebrica razionale formata da polinomi del più piccolo grado possibile. Il desiderio di ottenere quell'equazione algebrica razionale formata da polinomi di grado quanto più piccolo possibile è del tutto naturale, poiché trovare tutte le radici di un'equazione algebrica razionale in sé può rivelarsi un compito piuttosto difficile, che possiamo risolvere completamente solo in un numero molto limitato di casi.

Tipi di equazioni irrazionali

Risolvere equazioni irrazionali di grado pari causa sempre più problemi che risolvere equazioni irrazionali di grado dispari. Quando si risolvono equazioni irrazionali di grado dispari, la OD non cambia. Pertanto, di seguito considereremo le equazioni irrazionali di grado pari. Esistono due tipi di equazioni irrazionali:

2..

Consideriamo il primo di essi.

Equazioni ODZ: f(x)≥ 0. In ODZ, il lato sinistro dell'equazione è sempre non negativo, quindi una soluzione può esistere solo quando G(X)≥ 0. In questo caso, entrambi i lati dell'equazione sono non negativi e l'elevamento a potenza 2 N fornisce un'equazione equivalente. Lo capiamo

Prestiamo attenzione al fatto che in questo caso ODZ viene eseguito automaticamente e non è necessario scriverlo, ma la condizioneG(x) ≥ 0 deve essere controllato.

Nota: Questa è una condizione di equivalenza molto importante. In primo luogo, libera lo studente dalla necessità di indagare e, dopo aver trovato le soluzioni, verificare la condizione f(x) ≥ 0 – la non negatività dell'espressione radicale. In secondo luogo, si concentra sul controllo della condizioneG(x) ≥ 0 – non negatività del lato destro. Dopotutto, dopo aver eseguito il quadrato, l'equazione è risolta cioè, due equazioni vengono risolte contemporaneamente (ma su intervalli diversi dell'asse numerico!):

1. - dove G(X)≥ 0 e

2. - dove g(x) ≤ 0.

Nel frattempo, molti, per abitudine scolastica di trovare ODZ, agiscono esattamente al contrario quando risolvono tali equazioni:

a) dopo aver trovato le soluzioni, controllano la condizione f(x) ≥ 0 (che è automaticamente soddisfatta), commettendo errori aritmetici e ottenendo un risultato errato;

b) ignorare la condizioneG(x) ≥ 0 - e ancora una volta la risposta potrebbe rivelarsi errata.

Nota: La condizione di equivalenza è particolarmente utile quando si risolvono equazioni trigonometriche, in cui trovare l'ODZ implica risolvere disuguaglianze trigonometriche, il che è molto più difficile che risolvere equazioni trigonometriche. Verifica delle condizioni pari nelle equazioni trigonometriche G(X)≥ 0 non è sempre facile da ottenere.

Consideriamo il secondo tipo di equazioni irrazionali.

. Sia data l'equazione . Il suo ODZ:

In ODZ entrambi i lati sono non negativi e il quadrato fornisce l'equazione equivalente F(x) =G(X). Pertanto, in ODZ o

Con questo metodo di soluzione è sufficiente verificare la non negatività di una delle funzioni: puoi sceglierne una più semplice.

Sezione 1. Metodi per risolvere equazioni irrazionali

1 metodo. Eliminare i radicali elevando successivamente entrambi i lati dell'equazione alla corrispondente potenza naturale

Il metodo più comunemente utilizzato per risolvere le equazioni irrazionali è il metodo di eliminazione dei radicali elevando successivamente entrambi i membri dell'equazione alla potenza naturale appropriata. Va tenuto presente che quando entrambi i lati dell'equazione vengono elevati a una potenza dispari, l'equazione risultante è equivalente a quella originale, e quando entrambi i lati dell'equazione vengono elevati a una potenza pari, l'equazione risultante sarà, generalmente parlando, essere non equivalente all'equazione originale. Ciò può essere facilmente verificato elevando entrambi i lati dell'equazione a qualsiasi potenza pari. Il risultato di questa operazione è l'equazione , il cui insieme di soluzioni è un'unione di insiemi di soluzioni: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" Height="21 src=">. Tuttavia , nonostante questo inconveniente, la procedura più comune per ridurre un'equazione irrazionale a un'equazione razionale è la procedura di elevare entrambi i lati dell'equazione a una certa potenza (spesso pari).

Risolvi l'equazione:

Dove - alcuni polinomi. A causa della definizione dell'operazione di estrazione della radice nell'insieme dei numeri reali, i valori consentiti dell'ignoto sono https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 altezza =21" altezza="21">..gif " larghezza="243" altezza="28 src=">.

Poiché entrambi i lati dell'equazione 1 sono quadrati, potrebbe risultare che non tutte le radici dell'equazione 2 saranno soluzioni dell'equazione originale; è necessario controllare le radici;

Risolvi l'equazione:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" larghezza="137" altezza="25">

Cubi su entrambi i lati dell'equazione, otteniamo

Considerando che https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" Height="27">(L'ultima equazione può avere radici che, in generale, non sono radici della equazione ).

Cubiamo entrambi i lati di questa equazione: . Riscriviamo l'equazione nella forma x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Controllando stabiliamo che x1 = 0 è una radice estranea dell'equazione (-2 ≠ 1), e x2 = 1 soddisfa l'originale equazione.

Risposta: x = 1.

Metodo 2. Sostituzione di un sistema di condizioni adiacente

Quando si risolvono equazioni irrazionali contenenti radicali di ordine pari, nelle risposte possono apparire radici estranee, che non sono sempre facili da identificare. Per facilitare l'identificazione e l'eliminazione delle radici estranee, quando si risolvono equazioni irrazionali vengono immediatamente sostituite da un sistema di condizioni adiacente. Ulteriori disuguaglianze nel sistema tengono effettivamente conto dell'ODZ dell'equazione da risolvere. Puoi trovare DL separatamente e tenerne conto in seguito, ma è preferibile utilizzarlo sistemi misti condizioni: c'è meno pericolo di dimenticare qualcosa o di non tenerne conto nel processo di risoluzione dell'equazione. Pertanto, in alcuni casi è più razionale utilizzare il metodo della transizione verso sistemi misti.

Risolvi l'equazione:

Risposta: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" larghezza="109 altezza=27" altezza="27">

Questa equazione è equivalente al sistema

Risposta: l'equazione non ha soluzioni.

Metodo 3. Utilizzando le proprietà della radice n-esima

Quando si risolvono equazioni irrazionali, vengono utilizzate le proprietà della radice n-esima. Radice aritmetica N- th gradi tra UN chiamare un numero non negativo N- i la cui potenza è uguale a UN. Se N - Anche( 2n), allora a ≥ 0, altrimenti la radice non esiste. Se N - strano( 2 n+1), allora a è qualsiasi e = - ..gif" larghezza="45" altezza="19"> Quindi:

Quando si applica una qualsiasi di queste formule, formalmente (senza tenere conto delle restrizioni specificate), è necessario tenere presente che il VA delle parti sinistra e destra di ciascuna di esse può essere diverso. Ad esempio, l'espressione è definita con f ≥ 0 E g≥ 0, e l'espressione è come se f ≥ 0 E g≥ 0, e con f ≤ 0 E g ≤ 0.

Per ciascuna delle formule 1-5 (senza tenere conto delle restrizioni specificate), l'ODZ del lato destro può essere più ampio dell'ODZ del sinistro. Ne consegue che trasformazioni dell'equazione con l'uso formale delle formule 1-5 “da sinistra a destra” (come sono scritte) portano ad un'equazione che è conseguenza di quella originale. In questo caso potrebbero apparire radici estranee all'equazione originale, quindi la verifica è un passaggio obbligatorio per risolvere l'equazione originale.

Le trasformazioni delle equazioni con l'uso formale delle formule 1-5 "da destra a sinistra" sono inaccettabili, poiché è possibile giudicare la OD dell'equazione originale e, di conseguenza, la perdita delle radici.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" larghezza="247" altezza="61 src=">,

che è una conseguenza di quello originale. Risolvere questa equazione si riduce alla risoluzione di un insieme di equazioni .

Dalla prima equazione di questo insieme troviamo https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" Height="27"> da dove troviamo. Quindi, le radici di questa equazione può essere solo composta da numeri (-1) e (-2). Il controllo mostra che entrambe le radici trovate soddisfano questa equazione.

Risposta: -1,-2.

Risolvi l'equazione: .

Soluzione: in base alle identità sostituire il primo termine con . Notalo come la somma di due numeri non negativi sul lato sinistro. “Rimuovi” il modulo e, dopo aver introdotto termini simili, risolvi l’equazione. Poiché , otteniamo l'equazione . Da , quindi https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" larghezza="89" altezza="27 src=">.gif" larghezza="39" altezza="19 src= " >.gif" larghezza="145" altezza="21 src=">

Risposta: x = 4,25.

Metodo 4 Introduzione di nuove variabili

Un altro esempio di risoluzione di equazioni irrazionali è il metodo di introduzione di nuove variabili, rispetto al quale si ottiene un'equazione irrazionale più semplice o un'equazione razionale.

È possibile risolvere equazioni irrazionali sostituendo l'equazione con la sua conseguenza (seguita dal controllo delle radici). come segue:

1. Trova l'ODZ dell'equazione originale.

2. Passa dall'equazione alla sua conseguenza.

3. Trova le radici dell'equazione risultante.

4. Controlla se le radici trovate sono le radici dell'equazione originale.

Il controllo è il seguente:

A) viene verificata l'appartenenza di ciascuna radice trovata all'equazione originale. Quelle radici che non appartengono all'ODZ sono estranee all'equazione originaria.

B) per ciascuna radice inclusa nell'ODZ dell'equazione originale, viene verificato se i lati sinistro e destro di ciascuna delle equazioni derivanti dal processo di risoluzione dell'equazione originale ed elevati a potenza pari hanno gli stessi segni. Quelle radici per le quali hanno le parti di qualsiasi equazione elevate a potenza pari segni diversi, sono estranei all'equazione originale.

C) solo quelle radici che appartengono all'ODZ dell'equazione originale e per le quali entrambi i lati di ciascuna delle equazioni che si presentano nel processo di risoluzione dell'equazione originale ed elevate a una potenza pari hanno gli stessi segni vengono verificate mediante sostituzione diretta nell'equazione equazione originale.

Questo metodo di soluzione con il metodo di verifica specificato consente di evitare calcoli complicati nel caso di sostituzione diretta di ciascuna delle radici trovate dell'ultima equazione in quella originale.

Risolvi l'equazione irrazionale:

L'insieme dei valori validi per questa equazione è:

Mettendo , dopo la sostituzione otteniamo l'equazione

o equazione equivalente

che può essere considerato come equazione quadratica relativamente. Risolvendo questa equazione, otteniamo

Pertanto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione irrazionale originale è l'unione degli insiemi delle soluzioni delle seguenti due equazioni:

, .

Elevando entrambi i membri di ciascuna di queste equazioni a un cubo, otteniamo due equazioni algebriche razionali:

, .

Risolvendo queste equazioni, troviamo che questa equazione irrazionale ha un'unica radice x = 2 (non è richiesta alcuna verifica, poiché tutte le trasformazioni sono equivalenti).

Risposta: x = 2.

Risolvi l'equazione irrazionale:

Indichiamo 2x2 + 5x – 2 = t. Quindi l'equazione originale assumerà la forma . Elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione risultante e portando termini simili, otteniamo un'equazione che è conseguenza della precedente. Da esso troviamo t=16.

Ritornando all'incognita x, otteniamo l'equazione 2x2 + 5x – 2 = 16, che è una conseguenza di quella originaria. Controllando ci siamo convinti che le sue radici x1 = 2 e x2 = - 9/2 sono le radici dell'equazione originale.

Risposta: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metodo. Trasformazione identica dell'equazione

Quando risolvi equazioni irrazionali, non dovresti iniziare a risolvere l'equazione elevando entrambi i lati dell'equazione a una potenza naturale, cercando di ridurre la soluzione dell'equazione irrazionale alla soluzione di un'equazione algebrica razionale. Per prima cosa dobbiamo vedere se è possibile effettuare qualche trasformazione identica dell'equazione che possa semplificarne notevolmente la soluzione.

Risolvi l'equazione:

L'insieme di valori accettabili per questa equazione: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" Height="45"> Dividiamo questa equazione per .

Otteniamo:

Quando a = 0 l'equazione non avrà soluzioni; quando l'equazione può essere scritta come

poiché questa equazione non ha soluzioni, poiché per nessuna X, appartenente all'insieme dei valori ammissibili dell'equazione, l'espressione a sinistra dell'equazione è positiva;

quando l'equazione ha una soluzione

Tenendo conto di così tanti soluzioni ammissibili l’equazione è determinata dalla condizione, otteniamo infine:

Quando risolvi questa equazione irrazionale, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" Height="19"> la soluzione dell'equazione sarà. Per tutti gli altri valori X l'equazione non ha soluzioni.

ESEMPIO 10:

Risolvi l'equazione irrazionale: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" larghezza="381" altezza="51">

Risolvendo l'equazione quadratica del sistema si ottengono due radici: x1 = 1 e x2 = 4. La prima delle radici risultanti non soddisfa la disuguaglianza del sistema, quindi x = 4.

Note

1) Effettuare trasformazioni identiche consente di fare a meno del controllo.

2) La disuguaglianza x – 3 ≥0 si riferisce a trasformazioni di identità, e non al dominio di definizione dell'equazione.

3) Sul lato sinistro dell'equazione c'è una funzione decrescente e sul lato destro di questa equazione c'è una funzione crescente. I grafici delle funzioni decrescenti e crescenti all'intersezione dei loro domini di definizione non possono avere più di un punto comune. Ovviamente nel nostro caso x = 4 è l'ascissa del punto di intersezione dei grafici.

Risposta: x = 4.

6 metodo. Utilizzo del dominio delle funzioni per risolvere le equazioni

Questo metodo è più efficace quando si risolvono equazioni che includono funzioni https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" Height="21 src="> e si trovano le definizioni dell'area (F)..gif" larghezza="53" altezza="21"> .gif" larghezza="88" altezza="21 src=">, allora devi controllare se l'equazione è corretta alle estremità dell'intervallo, e se< 0, а b >0, è necessario effettuare controlli a intervalli (a;0) E . Il più piccolo intero in E(y) è 3.

Risposta: x = 3.

8 metodo. Applicazione della derivata nella risoluzione di equazioni irrazionali

Il metodo più comune utilizzato per risolvere le equazioni utilizzando il metodo delle derivate è il metodo di stima.

ESEMPIO 15:

Risolvi l'equazione: (1)

Soluzione: da https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" Height="29">, o (2). Considera la funzione ..gif" larghezza="400" altezza="23 src=">.gif" larghezza="215" altezza="49"> affatto e, quindi, aumenta. Quindi l'equazione è equivalente a un'equazione avente una radice che è la radice dell'equazione originale.

Risposta:

ESEMPIO 16:

Risolvi l'equazione irrazionale:

Il dominio di una funzione è un segmento. Troviamo il più grande e valore più piccolo i valori di questa funzione sull'intervallo. Per fare ciò, troviamo la derivata della funzione F(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 Height=19" Height="19">. Troviamo i valori della funzione F(X) alle estremità del segmento e al punto: Quindi, Ma e, quindi, l'uguaglianza è possibile solo se https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" Height= "19 src=" >. Il controllo mostra che il numero 3 è la radice di questa equazione.

Risposta: x = 3.

9 metodo. Funzionale

Negli esami a volte ti chiedono di risolvere equazioni che possono essere scritte nella forma , dove è una funzione.

Ad esempio, alcune equazioni: 1) 2) . Infatti, nel primo caso , nel secondo caso . Pertanto, risolvi le equazioni irrazionali utilizzando la seguente affermazione: se una funzione è strettamente crescente sull'insieme X e per qualsiasi , allora le equazioni, ecc. sono equivalenti sul set X .

Risolvi l'equazione irrazionale: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" Height="25"> aumenta rigorosamente sul set R, e https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" larghezza="45" altezza="24 src=">..gif" larghezza="104" altezza="24 src=" > che ha una sola radice. Pertanto, anche l'equazione (1) equivalente ad essa ha una sola radice

Risposta: x = 3.

ESEMPIO 18:

Risolvi l'equazione irrazionale: (1)

Per definizione radice quadrata troviamo che se l'equazione (1) ha radici, allora appartengono all'insieme https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" Height="47">. ( 2)

Considera la funzione https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" Height="21"> aumenta rigorosamente su questo set per qualsiasi ..gif" width="100" altezza="41"> che ha quindi un'unica radice e il suo equivalente sull'insieme X l'equazione (1) ha una radice singola

Risposta: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" larghezza="145" altezza="27 src=">

Soluzione: questa equazione equivale a un sistema misto

Riepilogo della lezione
"Metodi per risolvere equazioni irrazionali"

Profilo di fisica e matematica dell'11° grado.

Zelenodolskij distretto comunale RT"

Valeva S.Z.

Argomento della lezione: Metodi per risolvere equazioni irrazionali
Obiettivo della lezione: 1.Esplora vari modi Risoluzione di equazioni irrazionali.

Sviluppare la capacità di generalizzare e selezionare correttamente i metodi per risolvere equazioni irrazionali.

Sviluppare l'indipendenza, migliorare l'alfabetizzazione vocale

Tipo di lezione: seminario.
Piano della lezione:

Momento organizzativo

Imparare nuovo materiale

Consolidamento

Compiti a casa

Riepilogo della lezione

Avanzamento della lezione
IO. Punto organizzativo: messaggio dell'argomento della lezione, lo scopo della lezione.
Nella lezione precedente, abbiamo esaminato la risoluzione di equazioni irrazionali contenenti radici quadrate elevandole al quadrato. In questo caso, otteniamo un'equazione di corollario, che a volte porta alla comparsa di radici estranee. E poi una parte obbligatoria della risoluzione dell'equazione è controllare le radici. Abbiamo anche esaminato la risoluzione di equazioni utilizzando la definizione di radice quadrata. In questo caso il controllo potrebbe non essere effettuato. Tuttavia, quando si risolvono le equazioni, non si dovrebbe sempre iniziare immediatamente ad applicare “alla cieca” gli algoritmi di risoluzione delle equazioni. Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato ci sono molte equazioni, quando si risolvono è necessario scegliere un metodo di soluzione che consenta di risolvere le equazioni in modo più semplice e veloce. Pertanto, è necessario conoscere altri metodi per risolvere le equazioni irrazionali, di cui faremo conoscenza oggi. In precedenza, la classe era divisa in 8 gruppi creativi e venivano forniti esempi specifici per rivelare l'essenza di un particolare metodo. Diamo loro la parola.

II. Imparare nuovo materiale.
Per ogni gruppo, 1 studente spiega ai bambini come risolvere le equazioni irrazionali. Tutta la classe ascolta e prende appunti sulla loro storia.

1 modo. Introduzione di una nuova variabile.
Risolvi l'equazione: (2x + 3) 2 - 3

4x2 + 12x + 9 - 3

4x2 - 8x - 51 - 3

, t ≥ 0
x2 – 2x – 6 = t2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x2 – 2x – 15 =0

x2 – 2x – 6 =9;

Risposta: -3; 5.

Metodo 2. La ricerca sul DL.
Risolvi l'equazione

ODZ:

x = 2. Controllando siamo convinti che x = 2 è la radice dell'equazione.
3 vie. Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il fattore coniugato.
+
(moltiplica entrambi i lati per -
)

x + 3 – x – 8 = 5(-)

2=4, quindi x=1. Controllando siamo convinti che x = 1 è la radice di questa equazione.

4 vie. Ridurre un'equazione a un sistema introducendo una variabile.
Risolvi l'equazione

Sia = u,
=v.

Otteniamo il sistema:
Risolviamo con il metodo di sostituzione. Otteniamo u = 2, v = 2. Ciò significa
otteniamo x = 1.

Risposta: x = 1.

5 modi. Selezione di un quadrato completo.
Risolvi l'equazione

Espandiamo i moduli. Perché -1≤сos0.5x≤1, quindi -4≤сos0.5x-3≤-2, che significa . Allo stesso modo,
Quindi otteniamo l'equazione

x = 4πn, nZ.

Risposta: 4πn, nZ.
6 vie. Metodo di valutazione

Risolvi l'equazione

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, per definizione, il lato destro è -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

otteniamo
quelli. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Risolvendo l'equazione fattorizzando, otteniamo x = 2, x = -2
Metodo 7: Utilizzo delle proprietà di monotonicità delle funzioni.

Risolvi l'equazione. Le funzioni sono strettamente crescenti. La somma delle funzioni crescenti è crescente e questa equazione ha al massimo una radice. Per selezione troviamo x = 1.

8 vie. Utilizzando i vettori.

Risolvi l'equazione. ODZ: -1≤х≤3.

Lasciamo il vettore
. Il prodotto scalare dei vettori è il lato sinistro. Troviamo il prodotto delle loro lunghezze. Questo è il lato destro. Ricevuto
, cioè. i vettori a e b sono collineari. Da qui
. Quadratiamo entrambi i lati. Risolvendo l'equazione, otteniamo x = 1 ex =
.

Consolidamento.(ad ogni studente vengono consegnati dei fogli di lavoro)

Lavoro orale frontale
Trova un'idea per risolvere le equazioni (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3.x2 – 3x +
(sostituzione)

4. (selezionando un quadrato completo)

5.
(Ridurre un'equazione a un sistema introducendo una variabile.)

6.
(moltiplicando per l'espressione coniugata)

7.
Perché
. Allora questa equazione non ha radici.

8. Perché Ogni termine è non negativo, li equiparamo a zero e risolviamo il sistema.

9. 3

10. Trova la radice dell'equazione (o il prodotto delle radici, se ce ne sono diverse) dell'equazione.

Scritto lavoro indipendente seguito dalla verifica
risolvere le equazioni numerate 11,13,17,19

Risolvi le equazioni:
12. (x + 6) 2 -

14.

Metodo di valutazione

Utilizzo delle proprietà di monotonicità delle funzioni.

Utilizzando i vettori.

Quali di questi metodi vengono utilizzati per risolvere altri tipi di equazioni?

Quale di questi metodi ti è piaciuto di più e perché?

Compiti a casa: risolvere le restanti equazioni.

Riferimenti:

Algebra e gli inizi dell'analisi matematica: libro di testo. per l'11° grado istruzione generale istituzioni / S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V.Shevkin. M: Prsveshchenie, 2009

Materiali didattici sull'algebra e gli inizi dell'analisi per il grado 11/B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – M.: Educazione, 2003.

Mordkovich A. G. Algebra e gli inizi dell'analisi. 10 – 11 classi: libro di problemi per l'istruzione generale. istituzioni. – M.: Mnemosine, 2000.

Ershova A. P., Goloborodko V. V. Indipendente e test su algebra e analisi di base per i gradi 10-11. – M.: Ilexa, 2004

Esame di Stato unificato KIM 2002-2010

6. Simulatore algebrico. A.G.Merzlyak, V.B.Polonsky, M.S. Yakir. Un manuale per scolari e candidati. Mosca: “Ilexa” 2001.
7. Equazioni e diseguaglianze. Metodi risolutivi non standard. Educativo – manuale metodologico. 10 – 11 gradi. S.N. Potapov, P.I. Pasichenko. Mosca. "Otarda". 2001
Durante lo studio dell'algebra, gli scolari devono affrontare molti tipi di equazioni. Tra quelli più semplici ci sono quelli lineari, contenenti un'incognita. Se una variabile in un'espressione matematica viene elevata a una certa potenza, l'equazione viene chiamata quadratica, cubica, biquadratica e così via. Queste espressioni possono contenere numeri razionali. Ma ci sono anche equazioni irrazionali. Si differenziano dagli altri per la presenza di una funzione dove l'incognita è sotto il segno radicale (cioè, puramente esternamente, la variabile qui può essere vista scritta sotto la radice quadrata). Risolvere equazioni irrazionali ha il suo tratti caratteristici. Quando si calcola il valore di una variabile per ottenere la risposta corretta, è necessario tenerne conto.
"Indicibile a parole"
Non è un segreto che gli antichi matematici operassero principalmente con i numeri razionali. Tra questi rientrano, come è noto, i numeri interi espressi mediante frazioni periodiche ordinarie e decimali, rappresentanti di una determinata comunità. Tuttavia, gli scienziati del Medio e Vicino Oriente, così come l'India, sviluppando la trigonometria, l'astronomia e l'algebra, hanno anche imparato a risolvere equazioni irrazionali. Ad esempio, i Greci conoscevano quantità simili, ma traducendole in forma verbale usavano il concetto “alogos”, che significava “inesprimibile”. Un po’ più tardi, gli europei, imitandoli, chiamarono tali numeri “sordi”. Differiscono da tutti gli altri in quanto possono essere rappresentati solo sotto forma di una frazione infinita non periodica, la cui espressione numerica finale è semplicemente impossibile da ottenere. Pertanto, più spesso tali rappresentanti del regno dei numeri sono scritti sotto forma di numeri e segni come un'espressione situata sotto la radice del secondo o grado superiore.
Sulla base di quanto sopra, proviamo a definire un'equazione irrazionale. Tali espressioni contengono i cosiddetti "numeri inesprimibili", scritti utilizzando il segno della radice quadrata. Possono rappresentare tutti i tipi di opzioni piuttosto complesse, ma nella loro nella sua forma più semplice Sembrano la foto qui sotto.
Quando si inizia a risolvere equazioni irrazionali, prima di tutto è necessario calcolare l'intervallo di valori consentiti della variabile.
Ha senso l'espressione?
La necessità di verificare i valori ottenuti deriva dalle proprietà. Come è noto, tale espressione è accettabile e ha significato solo a determinate condizioni. Nei casi di radici di grado pari, tutte le espressioni radicali devono essere positive o uguali a zero. Se questa condizione non è soddisfatta, la notazione matematica presentata non può essere considerata significativa.
Diamo un esempio specifico di come risolvere le equazioni irrazionali (nella foto sotto).
In questo caso è ovvio che le condizioni specificate non possono essere soddisfatte per nessun valore accettato dal valore desiderato, poiché risulta che 11 ≤ x ≤ 4. Ciò significa che solo Ø può essere una soluzione.
Metodo di analisi
Da quanto sopra diventa chiaro come risolvere alcuni tipi di equazioni irrazionali. Qui in modo efficace potrebbe essere una semplice analisi.
Diamo una serie di esempi che lo dimostreranno chiaramente (nella foto sotto).
Nel primo caso, dopo un attento esame dell'espressione, risulta subito estremamente chiaro che non può essere vera. In effetti, dovremmo ottenere sul lato sinistro dell’uguaglianza numero positivo, che non può assolutamente essere uguale a -1.
Nel secondo caso, la somma di due espressioni positive può essere considerata uguale a zero solo quando x - 3 = 0 e x + 3 = 0 contemporaneamente. E anche questo è impossibile. Ciò significa che la risposta dovrebbe essere scritta nuovamente Ø.
Il terzo esempio è molto simile a quello già discusso in precedenza. Infatti, qui le condizioni dell'ODZ richiedono che sia soddisfatta la seguente disuguaglianza assurda: 5 ≤ x ≤ 2. E una tale equazione allo stesso modo non può avere soluzioni sensate.
Zoom illimitato
La natura dell'irrazionale può essere spiegata e conosciuta nel modo più chiaro e completo solo attraverso la serie infinita di numeri decimali. E specifico, un fulgido esempio uno dei membri di questa famiglia è πi. Non a caso questa costante matematica è nota fin dall'antichità, poiché veniva utilizzata per calcolare la circonferenza e l'area di un cerchio. Ma tra gli europei fu messo in pratica per primo dall’inglese William Jones e dallo svizzero Leonard Euler.
Questa costante si presenta come segue. Se confrontiamo cerchi di circonferenze diverse, il rapporto tra le loro lunghezze e i loro diametri sarà obbligatorio uguale allo stesso numero. Questo è pi greco. Se lo esprimiamo attraverso una frazione ordinaria, otteniamo approssimativamente 22/7. Questo fu fatto per primo dal grande Archimede, il cui ritratto è mostrato nella figura sopra. Ecco perché un tale numero ha ricevuto il suo nome. Ma questo non è un valore esplicito, ma approssimativo, forse del numero più sorprendente. Un brillante scienziato ha trovato il valore desiderato con una precisione di 0,02, ma, in realtà, questa costante non ha alcun significato reale, ma è espressa come 3,1415926535... È una serie infinita di numeri, che si avvicina indefinitamente a un valore mitico.
Quadratura
Ma torniamo alle equazioni irrazionali. Per trovare l'ignoto, in questo caso ricorrono molto spesso metodo semplice: eleva al quadrato entrambi i lati dell'uguaglianza esistente. Questo metodo solitamente dà buoni risultati. Ma bisogna tenere conto dell'insidiosità delle quantità irrazionali. Tutte le radici così ottenute devono essere controllate perché potrebbero non essere adatte.
Ma continuiamo a guardare gli esempi e proviamo a trovare le variabili utilizzando il metodo appena proposto.
Non è affatto difficile, utilizzando il teorema di Vieta, trovare i valori desiderati delle quantità dopo che, come risultato di determinate operazioni, abbiamo formato un'equazione quadratica. Qui si scopre che tra le radici ci saranno 2 e -19. Tuttavia, quando si controlla, sostituendo i valori risultanti nell'espressione originale, è possibile assicurarsi che nessuna di queste radici sia adatta. Questo è un evento comune nelle equazioni irrazionali. Ciò significa che anche il nostro dilemma non ha soluzioni e la risposta dovrebbe indicare un insieme vuoto.
Esempi più complessi
In alcuni casi è necessario quadrare entrambi i lati di un'espressione non una, ma più volte. Diamo un'occhiata agli esempi in cui ciò è richiesto. Possono essere visti qui sotto.
Dopo aver ricevuto le radici, non dimenticare di controllarle, perché potrebbero apparirne di extra. Bisognerebbe spiegare perché ciò è possibile. Quando si applica questo metodo, l'equazione è in qualche modo razionalizzata. Ma liberandoci delle radici che non ci piacciono, che ci impediscono di produrre operazioni aritmetiche, sembra che stiamo espandendo la gamma di valori esistente, il che è carico (come si può capire) di conseguenze. Anticipando ciò, effettuiamo un controllo. In questo caso c'è la possibilità di assicurarsi che solo una delle radici sia adatta: x = 0.
Sistemi
Cosa dovremmo fare nei casi in cui dobbiamo risolvere sistemi di equazioni irrazionali e non abbiamo una, ma due incognite? Qui agiamo come nei casi ordinari, ma tenendo conto delle proprietà di cui sopra di queste espressioni matematiche. E in ogni nuovo compito, ovviamente, dovresti usare un approccio creativo. Ma, ancora una volta, è meglio considerare tutto esempio specifico presentato di seguito. Qui non devi solo trovare le variabili xey, ma anche indicare la loro somma nella risposta. Quindi, esiste un sistema contenente quantità irrazionali (vedi foto sotto).
Come puoi vedere, un compito del genere non rappresenta nulla di soprannaturalmente difficile. Devi solo essere intelligente e indovinare che il lato sinistro della prima equazione è il quadrato della somma. Compiti simili si trovano nell'Esame di Stato Unificato.
Irrazionale in matematica
Ogni volta, la necessità di creare nuovi tipi di numeri è nata tra l'umanità quando non aveva abbastanza “spazio” per risolvere alcune equazioni. Numeri irrazionali non fanno eccezione. Come testimoniano i fatti della storia, i grandi saggi prestarono attenzione per la prima volta a questo anche prima della nostra era, nel VII secolo. Ciò è stato fatto da un matematico indiano noto come Manava. Lo capiva chiaramente di alcuni numeri naturaliè impossibile estrarre la radice. Ad esempio, questi includono 2; 17 o 61, così come molti altri.
Uno dei pitagorici, un pensatore di nome Ippaso, arrivò alla stessa conclusione provando a fare calcoli espressioni numeriche lati del pentagramma. Scoprire elementi matematici che non possono essere espressi valori digitali e non hanno proprietà numeri ordinari, fece arrabbiare così tanto i suoi colleghi che fu gettato in mare dalla nave. Il fatto è che altri pitagorici consideravano il suo ragionamento una ribellione alle leggi dell'universo.
Segno del Radicale: Evoluzione
Segno di radice per l'espressione valore numerico I numeri “sordi” non iniziarono immediatamente ad essere utilizzati per risolvere disuguaglianze ed equazioni irrazionali. I matematici europei, in particolare italiani, iniziarono per la prima volta a pensare al radicale intorno al XIII secolo. Allo stesso tempo, hanno avuto l'idea di usare la R latina per la notazione. Ma i matematici tedeschi hanno agito diversamente nel loro lavoro. A loro piaceva di più la lettera V. In Germania si diffuse presto la designazione V(2), V(3), che doveva esprimere la radice quadrata di 2, 3 e così via. Successivamente intervennero gli olandesi che modificarono il segno del radicale. E René Descartes completò l'evoluzione, portando il segno della radice quadrata alla perfezione moderna.
Sbarazzarsi dell'irrazionale
Le equazioni e le disuguaglianze irrazionali possono includere una variabile non solo sotto il segno della radice quadrata. Può essere di qualsiasi grado. Il modo più comune per sbarazzarsene è elevare entrambi i lati dell’equazione alla potenza appropriata. Questa è l'azione principale che aiuta nelle operazioni con l'irrazionale. Le azioni nei casi pari non sono particolarmente diverse da quelle di cui abbiamo già parlato in precedenza. Qui bisogna tenere conto delle condizioni per la non negatività dell'espressione radicale, e alla fine della soluzione è necessario filtrare i valori estranei delle variabili nello stesso modo mostrato negli esempi già considerati .
Tra le trasformazioni aggiuntive che aiutano a trovare la risposta corretta, viene spesso utilizzata la moltiplicazione dell'espressione per il suo coniugato, ed è spesso necessario introdurre una nuova variabile, che facilita la soluzione. In alcuni casi è consigliabile utilizzare i grafici per trovare il valore delle incognite.