La simmetria assiale è relativamente diritta. Assi di simmetria

In questa lezione esamineremo un'altra caratteristica di alcune figure: la simmetria assiale e centrale. Incontriamo la simmetria assiale ogni giorno quando ci guardiamo allo specchio. La simmetria centrale è molto comune nella natura vivente. Allo stesso tempo, le figure che hanno simmetria hanno una serie di proprietà. Inoltre, apprendiamo successivamente che le simmetrie assiali e centrali sono tipi di movimenti con l'aiuto dei quali viene risolta un'intera classe di problemi.

Questa lezione è dedicata alla simmetria assiale e centrale.

Definizione

I due punti sono chiamati simmetrico relativamente semplice se:

Nella fig. 1 mostra esempi di punti simmetrici rispetto ad una retta e , e .

Riso. 1

Notiamo anche il fatto che qualsiasi punto su una linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea.

Le figure possono anche essere simmetriche rispetto ad una linea retta.

Formuliamo una definizione rigorosa.

Definizione

La figura si chiama simmetrico rispetto a quello dritto, se per ciascun punto della figura appartiene alla figura anche il punto ad esso simmetrico rispetto a questa retta. In questo caso la linea viene chiamata asse di simmetria. La figura ha simmetria assiale.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di figure che hanno simmetria assiale e i loro assi di simmetria.

Esempio 1

L'angolo ha simmetria assiale. L'asse di simmetria dell'angolo è la bisettrice. Infatti: abbassiamo una perpendicolare alla bisettrice da un punto qualsiasi dell'angolo e allunghiamola fino ad intersecare l'altro lato dell'angolo (vedi Fig. 2).

Riso. 2

(poiché - il lato comune, (proprietà della bisettrice) e i triangoli sono rettangoli). Significa, . Pertanto i punti sono simmetrici rispetto alla bisettrice dell'angolo.

Ne consegue che un triangolo isoscele ha simmetria assiale anche rispetto alla bisettrice (altezza, mediana) tracciata verso la base.

Esempio 2

Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria (bisettrici/mediane/altitudini di ciascuno dei tre angoli (vedi Fig. 3).

Riso. 3

Esempio 3

Un rettangolo ha due assi di simmetria, ciascuno dei quali passa per i punti medi dei suoi due lati opposti (vedi Fig. 4).

Riso. 4

Esempio 4

Anche un rombo ha due assi di simmetria: linee rette che contengono le sue diagonali (vedi Fig. 5).

Riso. 5

Esempio 5

Un quadrato, che è sia un rombo che un rettangolo, ha 4 assi di simmetria (vedi Fig. 6).

Riso. 6

Esempio 6

Per un cerchio, l'asse di simmetria è una qualsiasi linea retta passante per il suo centro (cioè contenente il diametro del cerchio). Pertanto, un cerchio ha infiniti assi di simmetria (vedi Fig. 7).

Riso. 7

Consideriamo ora il concetto simmetria centrale.

Definizione

I punti vengono chiamati simmetrico rispetto al punto se: - il centro del segmento.

Vediamo alcuni esempi: in Fig. 8 mostra i punti e , nonché e , che sono simmetrici rispetto al punto , ed i punti e non sono simmetrici rispetto a questo punto.

Riso. 8

Alcune figure sono simmetriche rispetto ad un certo punto. Formuliamo una definizione rigorosa.

Definizione

La figura si chiama simmetrico rispetto al punto, se per qualsiasi punto della figura appartiene a questa figura anche il punto ad esso simmetrico. Il punto è chiamato centro di simmetria, e la figura ha simmetria centrale.

Diamo un'occhiata ad esempi di figure con simmetria centrale.

Esempio 7

Per un cerchio, il centro di simmetria è il centro del cerchio (questo è facile da dimostrare ricordando le proprietà del diametro e del raggio di un cerchio) (vedi Fig. 9).

Riso. 9

Esempio 8

Per un parallelogramma, il centro di simmetria è il punto di intersezione delle diagonali (vedi Fig. 10).

Riso. 10

Risolviamo diversi problemi sulla simmetria assiale e centrale.

Compito 1.

Quanti assi di simmetria ha il segmento?

Un segmento ha due assi di simmetria. La prima è una linea contenente un segmento (poiché qualsiasi punto su una linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea). La seconda è la bisettrice perpendicolare al segmento, cioè una retta perpendicolare al segmento e passante per il suo centro.

Risposta: 2 assi di simmetria.

Compito 2.

Quanti assi di simmetria ha una retta?

Una linea retta ha infiniti assi di simmetria. Uno di questi è la linea stessa (poiché qualsiasi punto sulla linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea). E anche gli assi di simmetria sono linee perpendicolari a una determinata linea.

Risposta: ci sono infiniti assi di simmetria.

Compito 3.

Quanti assi di simmetria ha la trave?

Il raggio ha un asse di simmetria, che coincide con la linea contenente il raggio (poiché qualsiasi punto sulla linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea).

Risposta: un asse di simmetria.

Compito 4.

Dimostrare che le rette contenenti le diagonali di un rombo sono i suoi assi di simmetria.

Prova:

Consideriamo un rombo. Dimostriamo, ad esempio, che la retta è il suo asse di simmetria. È ovvio che i punti sono simmetrici a se stessi, poiché giacciono su questa retta. Inoltre i punti e sono simmetrici rispetto a questa linea, poiché . Scegliamo ora un punto arbitrario e dimostriamo che al rombo appartiene anche il punto simmetrico rispetto ad esso (vedi Fig. 11).

Riso. 11

Disegna una perpendicolare alla linea passante per il punto ed estendila finché non si interseca con . Considera i triangoli e . Questi triangoli sono rettangoli (per costruzione), inoltre hanno: - una gamba comune, e (poiché le diagonali di un rombo sono le sue bisettrici). Quindi questi triangoli sono uguali: . Ciò significa che tutti gli elementi corrispondenti sono uguali, quindi: . Dall'uguaglianza di questi segmenti consegue che i punti e sono simmetrici rispetto alla retta. Ciò significa che è l'asse di simmetria del rombo. Questo fatto può essere dimostrato in modo simile per la seconda diagonale.

Comprovato.

Compito 5.

Dimostrare che il punto di intersezione delle diagonali di un parallelogramma è il suo centro di simmetria.

Prova:

Consideriamo un parallelogramma. Dimostriamo che il punto è il suo centro di simmetria. È ovvio che i punti e , e sono simmetrici a due a due rispetto al punto , poiché le diagonali di un parallelogramma sono divise a metà dal punto di intersezione. Scegliamo ora un punto arbitrario e dimostriamo che al parallelogramma appartiene anche il punto simmetrico rispetto ad esso (vedi Fig. 12).

Sia g una linea fissa (Fig. 191). Prendiamo un punto X arbitrario e trasciniamo la perpendicolare AX sulla retta g. Continuando la perpendicolare oltre il punto A, tracciamo il segmento AX" uguale al segmento AX. Il punto X" si dice simmetrico al punto X rispetto alla retta g.

Se un punto X giace su una linea g, allora il punto ad essa simmetrico è il punto X stesso punto simmetrico X" è il punto X.

La trasformazione di una figura F in una figura F", in cui ciascuno dei suoi punti X va in un punto X", simmetrico rispetto ad una data retta g, si chiama trasformazione di simmetria rispetto ad una retta g. In questo caso le figure F e F" si dicono simmetriche rispetto alla retta g (fig. 192).

Se una trasformazione di simmetria rispetto a una linea g prende in sé una figura F, allora questa figura si dice simmetrica rispetto a una linea g, e la linea g si chiama asse di simmetria della figura.

Ad esempio, le linee rette passanti per il punto di intersezione delle diagonali di un rettangolo parallele ai suoi lati sono gli assi di simmetria del rettangolo (Fig. 193). Le rette su cui giacciono le diagonali di un rombo sono i suoi assi di simmetria (fig. 194).

Teorema 9.3. La trasformazione della simmetria attorno ad una linea retta è un movimento.

Prova. Prendiamo questa linea retta come asse y del sistema di coordinate cartesiane (figura 195). Lasciamo che un punto arbitrario A (x; y) della figura F vada al punto A" (x"; y") della figura F". Dalla definizione di simmetria rispetto ad una retta segue che i punti A e A" hanno ordinate uguali, e le ascisse differiscono solo nel segno:

x"= -x.
Prendiamo due punti arbitrari A(x 1; y 1) e B (x 2; y 2) - Andranno ai punti A" (- x 1, y 1) e B" (-x 2; y 2).

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

Da ciò è chiaro che AB = A "B". E ciò significa che la trasformazione della simmetria attorno ad una retta è movimento. Il teorema è dimostrato.

Sin dai tempi antichi, l'uomo ha sviluppato idee sulla bellezza. Tutte le creazioni della natura sono belle. Le persone sono belle a modo loro, gli animali e le piante sono meravigliosi. La vista è piacevole per gli occhi pietra preziosa o un cristallo di sale, è difficile non ammirare un fiocco di neve o una farfalla. Ma perché succede questo? Ci sembra che l'aspetto degli oggetti sia corretto e completo, le cui metà destra e sinistra sembrano uguali, come in un'immagine speculare.

Apparentemente, le persone d'arte sono state le prime a pensare all'essenza della bellezza. Scultori antichi che studiarono la struttura corpo umano, nel V secolo a.C. Si cominciò ad usare il concetto di “simmetria”. Questa parola ha Origine greca e significa armonia, proporzionalità e somiglianza nella disposizione delle parti componenti. Platone sosteneva che solo ciò che è simmetrico e proporzionato può essere bello.

In geometria e matematica vengono considerati tre tipi di simmetria: simmetria assiale(rispetto alla retta), centrale (rispetto al punto) e specchio (rispetto al piano).

Se ciascuno dei punti di un oggetto ha la sua esatta mappatura al suo interno rispetto al suo centro, c'è simmetria centrale. I suoi esempi sono corpi geometrici come un cilindro, una palla, prisma corretto ecc.

La simmetria assiale dei punti rispetto ad una retta prevede che questa retta intersechi il centro del segmento che congiunge i punti e sia ad esso perpendicolare. Esempi sono la bisettrice di un angolo non sviluppato di un triangolo isoscele, qualsiasi linea tracciata attraverso il centro di un cerchio, ecc. Se la simmetria assiale è caratteristica, la definizione dei punti speculari può essere visualizzata semplicemente piegandola lungo l’asse e mettendo le metà uguali “faccia a faccia”. I punti desiderati si toccheranno tra loro.

Con la simmetria speculare, i punti di un oggetto si trovano equamente rispetto al piano che passa per il suo centro.

La natura è saggia e razionale, quindi quasi tutte le sue creazioni hanno una struttura armoniosa. Questo vale sia per gli esseri viventi che per gli oggetti inanimati. La struttura della maggior parte delle forme di vita è caratterizzata da uno dei tre tipi di simmetria: bilaterale, radiale o sferica.

Molto spesso, l'assiale può essere osservato nelle piante che si sviluppano perpendicolarmente alla superficie del suolo. In questo caso, la simmetria è il risultato della rotazione di elementi identici attorno ad un asse comune situato al centro. L'angolo e la frequenza della loro posizione potrebbero essere diversi. Esempi sono alberi: abete rosso, acero e altri. In alcuni animali si verifica anche la simmetria assiale, ma questa è meno comune. Certo, la natura è raramente caratterizzata dalla precisione matematica, ma la somiglianza degli elementi di un organismo è comunque sorprendente.

I biologi spesso considerano non la simmetria assiale, ma la simmetria bilaterale (bilaterale). Un esempio di ciò sono le ali di una farfalla o di una libellula, foglie di piante, petali di fiori, ecc. In ogni caso, le parti destra e sinistra dell'oggetto vivente sono uguali e sono immagini speculari l'una dell'altra.

La simmetria sferica è caratteristica dei frutti di molte piante, alcuni pesci, molluschi e virus. Esempi di simmetria radiale sono alcuni tipi di vermi ed echinodermi.

Agli occhi umani, l'asimmetria è spesso associata a irregolarità o inferiorità. Pertanto, nella maggior parte delle creazioni delle mani umane, è possibile rintracciare simmetria e armonia.

La vita delle persone è piena di simmetria. È conveniente, bello e non c’è bisogno di inventare nuovi standard. Ma cos'è veramente ed è così bello in natura come comunemente si crede?

Simmetria

Sin dai tempi antichi, le persone hanno cercato di organizzare il mondo che li circonda. Pertanto, alcune cose sono considerate belle e altre non lo sono così tanto. Da un punto di vista estetico, i rapporti aureo e argento sono considerati attraenti, così come, ovviamente, la simmetria. Questo termine è di origine greca e significa letteralmente “proporzionalità”. Naturalmente, non stiamo parlando solo di coincidenza su questa base, ma anche su altre. In senso generale, la simmetria è una proprietà di un oggetto quando, come risultato di determinate formazioni, il risultato è uguale ai dati originali. Ciò si verifica sia nel vivere che nel natura inanimata, così come negli oggetti realizzati dall'uomo.

Innanzitutto il termine "simmetria" è usato in geometria, ma trova applicazione in molti campi scientifici, e il suo significato rimane generalmente invariato. Questo fenomeno si verifica abbastanza spesso ed è considerato interessante, poiché molti dei suoi tipi, così come gli elementi, differiscono. Anche l'uso della simmetria è interessante, perché si trova non solo in natura, ma anche nei motivi sui tessuti, sui bordi degli edifici e molti altri oggetti creati dall'uomo. Vale la pena considerare questo fenomeno in modo più dettagliato, perché è estremamente affascinante.

Uso del termine in altri campi scientifici

Di seguito considereremo la simmetria dal punto di vista della geometria, ma vale la pena ricordare che questa parola non è usata solo qui. Biologia, virologia, chimica, fisica, cristallografia: tutto questo è un elenco incompleto di aree in cui questo fenomeno viene studiato con vari lati e dentro condizioni diverse. Ad esempio, la classificazione dipende dalla scienza a cui si riferisce questo termine. Pertanto, la divisione in tipi varia notevolmente, anche se alcuni di quelli fondamentali, forse, rimangono invariati.

Classificazione

Esistono diversi tipi principali di simmetria, di cui tre sono i più comuni:

Inoltre, nella geometria si distinguono anche le seguenti tipologie: sono molto meno comuni, ma non per questo meno interessanti:

• scorrevole;
• rotazionale;
• punto;
• progressivo;
• vite;
• frattale;
• ecc.

In biologia, tutte le specie sono chiamate in modo leggermente diverso, sebbene in sostanza possano essere le stesse. La divisione in determinati gruppi avviene sulla base della presenza o dell'assenza, nonché della quantità di determinati elementi, come centri, piani e assi di simmetria. Dovrebbero essere considerati separatamente e in modo più dettagliato.

Elementi di base

Il fenomeno ha alcune caratteristiche, una delle quali è necessariamente presente. I cosiddetti elementi di base comprendono piani, centri e assi di simmetria. È in base alla loro presenza, assenza e quantità che ne viene determinata la tipologia.

Il centro di simmetria è il punto all'interno di una figura o di un cristallo in cui convergono le linee che collegano a coppie tutti i lati paralleli tra loro. Naturalmente, non sempre esiste. Se ci sono lati verso i quali non esiste una coppia parallela, allora tale punto non può essere trovato, poiché non esiste. Secondo la definizione è ovvio che il centro di simmetria è quello attraverso il quale una figura può riflettersi su se stessa. Un esempio potrebbe essere, ad esempio, un cerchio e un punto nel suo centro. Questo elemento è solitamente designato come C.

Il piano di simmetria, ovviamente, è immaginario, ma è proprio lui a dividere la figura in due parti uguali tra loro. Può passare per uno o più lati, essere parallelo ad esso o dividerli. Per la stessa figura possono esistere più piani contemporaneamente. Questi elementi sono solitamente designati come P.

Ma forse il più comune è quello che viene chiamato “asse di simmetria”. Questo è un fenomeno comune che può essere visto sia in geometria che in natura. Ed è degno di considerazione separata.

Assi

Spesso l'elemento rispetto al quale una figura può dirsi simmetrica è

appare una linea retta o un segmento. In ogni caso non stiamo parlando di un punto o di un piano. Poi si considerano le cifre. Possono essercene molti e possono essere posizionati in qualsiasi modo: dividendo i lati o essendo paralleli ad essi, così come intersecando gli angoli o meno. Gli assi di simmetria sono solitamente indicati come L.

Gli esempi includono isoscele e. Nel primo caso, ci sarà un asse di simmetria verticale, su entrambi i lati del quale ci sono facce uguali, e nel secondo le linee intersecheranno ciascun angolo e coincideranno con tutte le bisettrici, mediane e altitudini. I triangoli ordinari non hanno questo.

A proposito, la totalità di tutti gli elementi di cui sopra nella cristallografia e nella stereometria è chiamata grado di simmetria. Questo indicatore dipende dal numero di assi, piani e centri.

Esempi in geometria

Convenzionalmente possiamo dividere l'intero insieme degli oggetti di studio dei matematici in figure che hanno un asse di simmetria e quelle che ne sono prive. Tutti i cerchi, gli ovali e alcuni casi speciali rientrano automaticamente nella prima categoria, mentre il resto rientra nel secondo gruppo.

Come nel caso in cui abbiamo parlato dell'asse di simmetria di un triangolo, anche per un quadrilatero questo elemento non esiste sempre. Per un quadrato, un rettangolo, un rombo o un parallelogramma lo è, ma per una figura irregolare, di conseguenza, non lo è. In un cerchio gli assi di simmetria sono l'insieme delle rette che passano per il suo centro.

Inoltre, è interessante considerare le figure tridimensionali da questo punto di vista. Oltre a tutti i poligoni regolari e alla palla, alcuni coni, così come le piramidi, i parallelogrammi e alcuni altri, avranno almeno un asse di simmetria. Ogni caso deve essere considerato separatamente.

Esempi in natura

Nella vita si chiama bilaterale, si verifica di più
Spesso. Qualsiasi persona e molti animali ne sono un esempio. L'assiale è chiamato radiale ed è molto meno comune, di solito in flora. Eppure esistono. Ad esempio, vale la pena pensare a quanti assi di simmetria ha una stella e ne ha? Naturalmente stiamo parlando di creature marine, e non sull'argomento di studio degli astronomi. E la risposta corretta sarebbe: dipende dal numero di raggi della stella, ad esempio cinque, se è a cinque punte.

Inoltre, in molti fiori si osserva una simmetria radiale: margherite, fiordalisi, girasoli, ecc. Ci sono un numero enorme di esempi, sono letteralmente ovunque intorno.

Aritmia

Questo termine, prima di tutto, ricorda la maggior parte della medicina e della cardiologia, ma inizialmente ha un significato leggermente diverso. In questo caso il sinonimo sarà “asimmetria”, cioè l’assenza o la violazione della regolarità in una forma o nell’altra. Può essere trovato come un incidente, e talvolta può diventare una tecnica meravigliosa, ad esempio nell'abbigliamento o nell'architettura. Dopotutto, di edifici simmetrici ce ne sono molti, ma quello famoso è leggermente inclinato e, sebbene non sia l'unico, è l'esempio più famoso. Si sa che ciò è avvenuto per caso, ma questo ha il suo fascino.

Inoltre, è ovvio che nemmeno i volti e i corpi delle persone e degli animali sono completamente simmetrici. Ci sono stati addirittura studi in cui i volti “corretti” venivano giudicati senza vita o semplicemente poco attraenti. Tuttavia, la percezione della simmetria e questo fenomeno in sé sono sorprendenti e non sono stati ancora completamente studiati, e quindi sono estremamente interessanti.