Disegno assiale. Rettangolo, diamante e quadrato

Ne avrai bisogno

• - proprietà dei punti simmetrici;
• - proprietà delle figure simmetriche;
• - governate;
• - piazza;
• - bussola;
• - matita;
• - un foglio di carta;
• - un computer con un editor grafico.

Istruzioni

Disegna una linea retta a, che sarà l'asse di simmetria. Se le sue coordinate non sono specificate, disegnalo arbitrariamente. Posiziona un punto arbitrario A su un lato di questa linea. Devi trovare un punto simmetrico.

Consigli utili

Le proprietà di simmetria vengono utilizzate costantemente in AutoCAD. Per fare ciò, utilizzare l'opzione Mirror. Per costruire un triangolo isoscele o un trapezio isoscele è sufficiente disegnare la base inferiore e l'angolo formato da questa con il lato. Riflettili utilizzando il comando specificato ed estendi i lati alla dimensione richiesta. Nel caso di un triangolo, questo sarà il punto della loro intersezione, mentre nel caso di un trapezio questo sarà un dato valore.

Ti imbatti costantemente nella simmetria negli editor grafici quando usi l'opzione "capovolgi verticalmente/orizzontalmente". In questo caso, l'asse di simmetria viene considerato una linea retta corrispondente a uno dei lati verticale o orizzontale della cornice.

Fonti:

• come disegnare la simmetria centrale

Costruire una sezione trasversale di un cono non è un compito così difficile. La cosa principale è seguire una rigorosa sequenza di azioni. Quindi questo compito sarà facilmente realizzabile e non richiederà molto lavoro da parte tua.

Ne avrai bisogno

• - carta;
• - penna;
• - cerchio;
• - governate.

Istruzioni

Quando rispondi a questa domanda, devi prima decidere quali parametri definiscono la sezione.
Sia questa la retta di intersezione del piano l col piano e il punto O, che è l'intersezione con la sua sezione.

La costruzione è illustrata in Fig. 1. Il primo passo nella costruzione di una sezione è attraverso il centro della sezione del suo diametro, esteso fino a l perpendicolare a questa linea. Il risultato è il punto L. Successivamente, traccia una linea retta LW attraverso il punto O e costruisci due coni guida che giacciono nella sezione principale O2M e O2C. All'intersezione di queste guide si trovano il punto Q, così come il punto W già mostrato. Questi sono i primi due punti della sezione desiderata.

Disegna ora una perpendicolare MS alla base del cono BB1 e costruisci le generatrici della sezione perpendicolare O2B e O2B1. In questa sezione, attraverso il punto O, tracciare una linea retta RG parallela a BB1. Т.R e Т.G sono altri due punti della sezione desiderata. Se la sezione trasversale della palla fosse nota, potrebbe essere costruita già in questa fase. Questa però non è affatto un'ellisse, ma qualcosa di ellittico che ha simmetria rispetto al segmento QW. Pertanto, dovresti costruire il maggior numero possibile di punti di sezione per collegarli successivamente con una curva morbida per ottenere lo schizzo più affidabile.

Costruisci un punto di sezione arbitrario. Per fare ciò, disegna un diametro arbitrario AN alla base del cono e costruisci le corrispondenti guide O2A e O2N. Attraverso t.O tracciare una linea retta passante per PQ e WG fino ad intersecare le guide appena costruite nei punti P ed E. Questi sono altri due punti della sezione desiderata. Proseguendo nello stesso modo potrai trovare tutti i punti che desideri.

È vero, la procedura per ottenerli può essere leggermente semplificata utilizzando la simmetria rispetto a QW. Per fare ciò si possono tracciare delle linee rette SS’ nel piano della sezione desiderata, parallele a RG fino ad intersecarsi con la superficie del cono. La costruzione viene completata arrotondando la polilinea costruita dalle corde. È sufficiente realizzare la metà della sezione desiderata data la già citata simmetria rispetto a QW.

Video sull'argomento

Suggerimento 3: come creare un grafico funzione trigonometrica

Devi disegnare programma trigonometrico funzioni? Padroneggia l'algoritmo delle azioni usando l'esempio della costruzione di una sinusoide. Per risolvere il problema, utilizzare il metodo di ricerca.

Ne avrai bisogno

• - governate;
• - matita;
• - conoscenza dei fondamenti della trigonometria.

Istruzioni

Video sull'argomento

notare che

Se i due semiassi di un iperboloide a singola striscia sono uguali, allora la figura si ottiene ruotando un'iperbole con semiassi, di cui uno sia quello superiore, e l'altro, diverso dai due uguali, attorno a asse immaginario.

Consigli utili

Esaminando questa figura relativa agli assi Oxz e Oyz, è chiaro che le sue sezioni principali sono iperboli. E quando questa figura spaziale di rotazione viene tagliata dal piano Oxy, la sua sezione è un'ellisse. L'ellisse del collo di un iperboloide a striscia singola passa per l'origine delle coordinate, perché z=0.

L'ellisse della gola è descritta dall'equazione x²/a² +y²/b²=1, e le altre ellissi sono composte dall'equazione x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Fonti:

• Ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi. Generatori rettilinei

La forma di una stella a cinque punte è stata ampiamente utilizzata dall'uomo fin dai tempi antichi. Consideriamo bella la sua forma perché inconsciamente riconosciamo in essa i rapporti della sezione aurea, cioè la bellezza della stella a cinque punte è giustificata matematicamente. Euclide fu il primo a descrivere la costruzione di una stella a cinque punte nei suoi Elementi. Uniamoci alla sua esperienza.

Ne avrai bisogno

• governate;
• matita;
• bussola;
• goniometro.

Istruzioni

La costruzione di una stella si riduce alla costruzione e alla successiva connessione dei suoi vertici tra loro in sequenza attraverso uno. Per costruire quello corretto, devi dividere il cerchio in cinque.
Costruisci un cerchio arbitrario usando un compasso. Segna il suo centro con il punto O.

Segna il punto A e usa un righello per disegnare il segmento di linea OA. Ora devi dividere il segmento OA a metà; per fare ciò, dal punto A, traccia un arco di raggio OA finché non interseca il cerchio in due punti M e N. Costruisci il segmento MN. Il punto E dove MN interseca OA dividerà in due il segmento OA.

Ripristina la perpendicolare OD al raggio OA e collega i punti D ed E. Fai una tacca B su OA dal punto E con raggio ED.

Ora, utilizzando il segmento DB, segna il cerchio in cinque parti uguali. Etichetta i vertici del pentagono regolare in sequenza con i numeri da 1 a 5. Unisci i punti nella seguente sequenza: 1 con 3, 2 con 4, 3 con 5, 4 con 1, 5 con 2. Ecco quello corretto stella a cinque punte, in un pentagono regolare. Questo è esattamente il modo in cui l'ho costruito

Concetto di movimento

Esaminiamo innanzitutto il concetto di movimento.

Definizione 1

Una mappatura di un piano è detta movimento del piano se la mappatura preserva le distanze.

Esistono diversi teoremi legati a questo concetto.

Teorema 2

Il triangolo, quando si muove, si trasforma in un triangolo uguale.

Teorema 3

Qualsiasi figura, quando si muove, si trasforma in una figura uguale ad essa.

La simmetria assiale e centrale sono esempi di movimento. Diamo un'occhiata a loro in modo più dettagliato.

Simmetria assiale

Definizione 2

I punti $A$ e $A_1$ si dicono simmetrici rispetto alla retta $a$ se questa è perpendicolare al segmento $(AA)_1$ e passa per il suo centro (Fig. 1).

Figura 1.

Consideriamo la simmetria assiale utilizzando un problema di esempio.

Esempio 1

Costruisci un triangolo simmetrico per dato triangolo riguardo ad ogni suo aspetto.

Soluzione.

Diamo un triangolo $ABC$. Costruiremo la sua simmetria rispetto al lato $BC$. Il lato $BC$ con simmetria assiale si trasformerà in se stesso (segue dalla definizione). Il punto $A$ andrà al punto $A_1$ come segue: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Il triangolo $ABC$ si trasformerà nel triangolo $A_1BC$ (Fig. 2).

Figura 2.

Definizione 3

Una figura si dice simmetrica rispetto alla retta $a$ se ciascuna punto simmetrico questa figura è contenuta nella stessa figura (Fig. 3).

Figura 3.

La figura $3$ mostra un rettangolo. Ha simmetria assiale rispetto a ciascuno dei suoi diametri, nonché rispetto a due rette che passano per i centri dei lati opposti di un dato rettangolo.

Simmetria centrale

Definizione 4

I punti $X$ e $X_1$ si dicono simmetrici rispetto al punto $O$ se il punto $O$ è il centro del segmento $(XX)_1$ (Fig. 4).

Figura 4.

Consideriamo la simmetria centrale utilizzando un problema di esempio.

Esempio 2

Costruisci un triangolo simmetrico per un dato triangolo in uno qualsiasi dei suoi vertici.

Soluzione.

Diamo un triangolo $ABC$. Costruiremo la sua simmetria rispetto al vertice $A$. Il vertice $A$ con simmetria centrale si trasformerà in se stesso (segue dalla definizione). Il punto $B$ andrà al punto $B_1$ come segue: $(BA=AB)_1$, e il punto $C$ andrà al punto $C_1$ come segue: $(CA=AC)_1$. Il triangolo $ABC$ si trasformerà nel triangolo $(AB)_1C_1$ (Fig. 5).

Figura 5.

Definizione 5

Una figura è simmetrica rispetto al punto $O$ se ogni punto simmetrico di questa figura è contenuto nella stessa figura (Fig. 6).

Figura 6.

La figura $6$ mostra un parallelogramma. Ha simmetria centrale rispetto al punto di intersezione delle sue diagonali.

Compito di esempio.

Esempio 3

Diamo un segmento $AB$. Costruisci la sua simmetria rispetto alla retta $l$, che non interseca il segmento dato, e rispetto al punto $C$ giacente sulla retta $l$.

Soluzione.

Descriviamo schematicamente la condizione del problema.

Figura 7.

Descriviamo innanzitutto la simmetria assiale rispetto alla retta $l$. Poiché la simmetria assiale è un movimento, in base al Teorema $1$, il segmento $AB$ verrà mappato sul segmento $A"B"$ uguale ad esso. Per costruirlo, faremo quanto segue: tracciamo delle linee rette $m\ e\n$ passanti per i punti $A\ e\B$, perpendicolari alla retta $l$. Sia $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Successivamente disegniamo i segmenti $A"X=AX$ e $B"Y=BY$.

Figura 8.

Descriviamo ora la simmetria centrale rispetto al punto $C$. Poiché la simmetria centrale è un movimento, in base al Teorema $1$, il segmento $AB$ verrà mappato sul segmento $A""B""$ uguale ad esso. Per costruirlo faremo quanto segue: disegneremo le linee $AC\ e\ BC$. Successivamente disegniamo i segmenti $A^("")C=AC$ e $B^("")C=BC$.

Figura 9.

La vita delle persone è piena di simmetria. È conveniente, bello e non c’è bisogno di inventare nuovi standard. Ma cos'è veramente ed è così bello in natura come comunemente si crede?

Simmetria

Sin dai tempi antichi, le persone hanno cercato di organizzare il mondo che li circonda. Pertanto, alcune cose sono considerate belle e altre non lo sono così tanto. Da un punto di vista estetico, i rapporti aureo e argento sono considerati attraenti, così come, ovviamente, la simmetria. Questo termine ha Origine greca e significa letteralmente “proporzionalità”. Naturalmente, non stiamo parlando solo di coincidenza su questa base, ma anche su altre. In senso generale, la simmetria è una proprietà di un oggetto quando, come risultato di determinate formazioni, il risultato è uguale ai dati originali. Ciò si verifica sia nel vivere che nel natura inanimata, così come negli oggetti realizzati dall'uomo.

Innanzitutto il termine "simmetria" è usato in geometria, ma trova applicazione in molti campi scientifici, e il suo significato rimane generalmente invariato. Questo fenomeno si verifica abbastanza spesso ed è considerato interessante, poiché molti dei suoi tipi, così come gli elementi, differiscono. Anche l'uso della simmetria è interessante, perché si trova non solo in natura, ma anche nei motivi sui tessuti, sui bordi degli edifici e molti altri oggetti creati dall'uomo. Vale la pena considerare questo fenomeno in modo più dettagliato, perché è estremamente affascinante.

Uso del termine in altri campi scientifici

Di seguito considereremo la simmetria dal punto di vista della geometria, ma vale la pena ricordare che questa parola non è usata solo qui. Biologia, virologia, chimica, fisica, cristallografia: tutto questo è un elenco incompleto di aree in cui questo fenomeno viene studiato con vari lati e dentro condizioni diverse. Ad esempio, la classificazione dipende dalla scienza a cui si riferisce questo termine. Pertanto, la divisione in tipi varia notevolmente, anche se alcuni di quelli fondamentali, forse, rimangono invariati.

Classificazione

Esistono diversi tipi principali di simmetria, di cui tre sono i più comuni:

Inoltre, nella geometria si distinguono anche le seguenti tipologie: sono molto meno comuni, ma non per questo meno interessanti:

• scorrevole;
• rotazionale;
• punto;
• progressivo;
• vite;
• frattale;
• ecc.

In biologia, tutte le specie sono chiamate in modo leggermente diverso, sebbene in sostanza possano essere le stesse. La divisione in determinati gruppi avviene sulla base della presenza o dell'assenza, nonché della quantità di determinati elementi, come centri, piani e assi di simmetria. Dovrebbero essere considerati separatamente e in modo più dettagliato.

Elementi di base

Il fenomeno ha alcune caratteristiche, una delle quali è necessariamente presente. I cosiddetti elementi di base comprendono piani, centri e assi di simmetria. È in base alla loro presenza, assenza e quantità che ne viene determinata la tipologia.

Il centro di simmetria è il punto all'interno di una figura o di un cristallo in cui convergono le linee che collegano a coppie tutti i lati paralleli tra loro. Naturalmente, non sempre esiste. Se ci sono lati verso i quali non esiste una coppia parallela, allora tale punto non può essere trovato, poiché non esiste. Secondo la definizione è ovvio che il centro di simmetria è quello attraverso il quale una figura può riflettersi su se stessa. Un esempio potrebbe essere, ad esempio, un cerchio e un punto nel suo centro. Questo elemento è solitamente designato come C.

Il piano di simmetria, ovviamente, è immaginario, ma è proprio lui a dividere la figura in due parti uguali tra loro. Può passare per uno o più lati, essere parallelo ad esso o dividerli. Per la stessa figura possono esistere più piani contemporaneamente. Questi elementi sono solitamente designati come P.

Ma forse il più comune è quello che viene chiamato “asse di simmetria”. Questo è un fenomeno comune che può essere visto sia in geometria che in natura. Ed è degno di considerazione separata.

Assi

Spesso l'elemento rispetto al quale una figura può dirsi simmetrica è

appare una linea retta o un segmento. In ogni caso non stiamo parlando di un punto o di un piano. Poi si considerano le cifre. Possono essercene molti e possono essere posizionati in qualsiasi modo: dividendo i lati o essendo paralleli ad essi, così come intersecando gli angoli o meno. Gli assi di simmetria sono solitamente indicati come L.

Gli esempi includono isoscele e Nel primo caso ci sarà asse verticale simmetria, su entrambi i lati delle quali ci sono facce uguali, e nella seconda le linee intersecheranno ciascun angolo e coincideranno con tutte le bisettrici, mediane e altitudini. I triangoli ordinari non hanno questo.

A proposito, la totalità di tutti gli elementi di cui sopra nella cristallografia e nella stereometria è chiamata grado di simmetria. Questo indicatore dipende dal numero di assi, piani e centri.

Esempi in geometria

Convenzionalmente possiamo dividere l'intero insieme degli oggetti di studio dei matematici in figure che hanno un asse di simmetria e quelle che ne sono prive. Tutti i cerchi, gli ovali e alcuni casi speciali rientrano automaticamente nella prima categoria, mentre il resto rientra nel secondo gruppo.

Come nel caso in cui abbiamo parlato dell'asse di simmetria di un triangolo, anche per un quadrilatero questo elemento non esiste sempre. Per un quadrato, un rettangolo, un rombo o un parallelogramma lo è, ma per una figura irregolare, di conseguenza, non lo è. Per un cerchio, l'asse di simmetria è l'insieme delle rette che passano per il suo centro.

Inoltre, è interessante considerare le figure tridimensionali da questo punto di vista. Oltre a tutti i poligoni regolari e alla palla, alcuni coni, così come le piramidi, i parallelogrammi e alcuni altri, avranno almeno un asse di simmetria. Ogni caso deve essere considerato separatamente.

Esempi in natura

Nella vita si chiama bilaterale, si verifica di più
Spesso. Qualsiasi persona e molti animali ne sono un esempio. L'assiale è chiamato radiale ed è molto meno comune, di solito in flora. Eppure esistono. Ad esempio, vale la pena pensare a quanti assi di simmetria ha una stella e ne ha? Naturalmente stiamo parlando di creature marine, e non sull'argomento di studio degli astronomi. E la risposta corretta sarebbe: dipende dal numero di raggi della stella, ad esempio cinque se è a cinque punte.

Inoltre, in molti fiori si osserva una simmetria radiale: margherite, fiordalisi, girasoli, ecc. Ci sono un numero enorme di esempi, sono letteralmente ovunque intorno.

Aritmia

Questo termine, prima di tutto, ricorda la maggior parte della medicina e della cardiologia, ma inizialmente ha un significato leggermente diverso. In questo caso il sinonimo sarà “asimmetria”, cioè l’assenza o la violazione della regolarità in una forma o nell’altra. Può essere trovato come un incidente, e talvolta può diventare una tecnica meravigliosa, ad esempio nell'abbigliamento o nell'architettura. Dopotutto, di edifici simmetrici ce ne sono molti, ma quello famoso è leggermente inclinato e, sebbene non sia l'unico, è l'esempio più famoso. Si sa che ciò è avvenuto per caso, ma questo ha il suo fascino.

Inoltre, è ovvio che anche i volti e i corpi di persone e animali non sono completamente simmetrici. Ci sono stati anche studi in cui i volti “corretti” venivano giudicati senza vita o semplicemente poco attraenti. Tuttavia, la percezione della simmetria e questo fenomeno in sé sono sorprendenti e non sono stati ancora completamente studiati, e quindi sono estremamente interessanti.

In questa lezione esamineremo un'altra caratteristica di alcune figure: la simmetria assiale e centrale. Incontriamo la simmetria assiale ogni giorno quando ci guardiamo allo specchio. La simmetria centrale è molto comune nella natura vivente. Allo stesso tempo, le figure che hanno simmetria hanno una serie di proprietà. Inoltre, apprendiamo successivamente che l'assiale e simmetria centrale sono tipi di movimenti con l'aiuto dei quali viene risolta un'intera classe di problemi.

Questa lezione è dedicata alla simmetria assiale e centrale.

Definizione

I due punti sono chiamati simmetrico relativamente semplice se:

Nella fig. 1 mostra esempi di punti simmetrici rispetto ad una retta e , e .

Riso. 1

Notiamo anche il fatto che qualsiasi punto su una linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea.

Le figure possono anche essere simmetriche rispetto ad una linea retta.

Formuliamo una definizione rigorosa.

Definizione

La figura si chiama simmetrico rispetto a quello dritto, se ad ogni punto della figura appartiene anche un punto ad esso simmetrico rispetto a questa retta. In questo caso la linea viene chiamata asse di simmetria. La figura ha simmetria assiale.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di figure che hanno simmetria assiale e i loro assi di simmetria.

Esempio 1

L'angolo ha simmetria assiale. L'asse di simmetria dell'angolo è la bisettrice. Infatti: abbassiamo una perpendicolare alla bisettrice da un punto qualsiasi dell'angolo e allunghiamola fino ad intersecare l'altro lato dell'angolo (vedi Fig. 2).

Riso. 2

(poiché - il lato comune, (proprietà della bisettrice) e i triangoli sono rettangoli). Significa, . Pertanto i punti sono simmetrici rispetto alla bisettrice dell'angolo.

Ne consegue che un triangolo isoscele ha simmetria assiale anche rispetto alla bisettrice (altezza, mediana) tracciata verso la base.

Esempio 2

Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria (bisettrici/mediane/altitudini di ciascuno dei tre angoli (vedi Fig. 3).

Riso. 3

Esempio 3

Un rettangolo ha due assi di simmetria, ciascuno dei quali passa per i punti medi dei suoi due lati opposti (vedi Fig. 4).

Riso. 4

Esempio 4

Anche un rombo ha due assi di simmetria: le linee rette, che contengono le sue diagonali (vedi Fig. 5).

Riso. 5

Esempio 5

Un quadrato, che è sia un rombo che un rettangolo, ha 4 assi di simmetria (vedi Fig. 6).

Riso. 6

Esempio 6

Per un cerchio, l'asse di simmetria è una qualsiasi linea retta passante per il suo centro (cioè contenente il diametro del cerchio). Pertanto, un cerchio ha infiniti assi di simmetria (vedi Fig. 7).

Riso. 7

Consideriamo ora il concetto simmetria centrale.

Definizione

I punti vengono chiamati simmetrico rispetto al punto se: - il centro del segmento.

Vediamo alcuni esempi: in Fig. 8 mostra i punti e , nonché e , che sono simmetrici rispetto al punto , ed i punti e non sono simmetrici rispetto a questo punto.

Riso. 8

Alcune figure sono simmetriche rispetto ad un certo punto. Formuliamo una definizione rigorosa.

Definizione

La figura si chiama simmetrico rispetto al punto, se per qualsiasi punto della figura appartiene a questa figura anche il punto ad esso simmetrico. Il punto è chiamato centro di simmetria, e la figura ha simmetria centrale.

Diamo un'occhiata ad esempi di figure con simmetria centrale.

Esempio 7

Per un cerchio, il centro di simmetria è il centro del cerchio (questo è facile da dimostrare ricordando le proprietà del diametro e del raggio di un cerchio) (vedi Fig. 9).

Riso. 9

Esempio 8

Per un parallelogramma, il centro di simmetria è il punto di intersezione delle diagonali (vedi Fig. 10).

Riso. 10

Risolviamo diversi problemi sulla simmetria assiale e centrale.

Compito 1.

Quanti assi di simmetria ha il segmento?

Un segmento ha due assi di simmetria. La prima è una linea contenente un segmento (poiché qualsiasi punto su una linea è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea). La seconda è la bisettrice perpendicolare al segmento, cioè una retta perpendicolare al segmento e passante per il suo centro.

Risposta: 2 assi di simmetria.

Compito 2.

Quanti assi di simmetria ha una retta?

Una linea retta ha infiniti assi di simmetria. Uno di questi è la linea retta stessa (poiché qualsiasi punto sulla linea retta è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea retta). E anche gli assi di simmetria sono linee perpendicolari a una determinata linea.

Risposta: ci sono infiniti assi di simmetria.

Compito 3.

Quanti assi di simmetria ha la trave?

Il raggio ha un asse di simmetria, che coincide con la linea retta contenente il raggio (poiché qualsiasi punto sulla linea retta è simmetrico a se stesso rispetto a questa linea retta).

Risposta: un asse di simmetria.

Compito 4.

Dimostrare che le rette contenenti le diagonali di un rombo sono i suoi assi di simmetria.

Prova:

Consideriamo un rombo. Dimostriamo, ad esempio, che la retta è il suo asse di simmetria. È ovvio che i punti sono simmetrici a se stessi, poiché giacciono su questa retta. Inoltre i punti e sono simmetrici rispetto a questa linea, poiché . Scegliamo ora un punto arbitrario e dimostriamo che al rombo appartiene anche il punto simmetrico rispetto ad esso (vedi Fig. 11).

Riso. 11

Disegna una perpendicolare alla linea che passa per il punto ed estendila finché non si interseca con . Considera i triangoli e . Questi triangoli sono rettangoli (per costruzione), inoltre hanno: - una gamba comune, e (poiché le diagonali di un rombo sono le sue bisettrici). Quindi questi triangoli sono uguali: . Ciò significa che tutti gli elementi corrispondenti sono uguali, quindi: . Dall'uguaglianza di questi segmenti consegue che i punti e sono simmetrici rispetto alla retta. Ciò significa che è l'asse di simmetria del rombo. Questo fatto può essere dimostrato in modo simile per la seconda diagonale.

Comprovato.

Compito 5.

Dimostrare che il punto di intersezione delle diagonali di un parallelogramma è il suo centro di simmetria.

Prova:

Consideriamo un parallelogramma. Dimostriamo che il punto è il suo centro di simmetria. È ovvio che i punti e , e sono simmetrici a due a due rispetto al punto , poiché le diagonali di un parallelogramma sono divise a metà dal punto di intersezione. Scegliamo ora un punto arbitrario e dimostriamo che al parallelogramma appartiene anche il punto simmetrico rispetto ad esso (vedi Fig. 12).