Formula d dalam janjang aritmetik. Janjang aritmetik

Masalah tentang janjang aritmetik telah pun wujud pada zaman dahulu. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Oleh itu, dalam salah satu papirus Mesir Purba, yang mempunyai kandungan matematik, - papirus Rhind (abad ke-19 SM) - mengandungi tugas berikut: membahagikan sepuluh sukat roti kepada sepuluh orang, dengan syarat bahawa perbezaan antara setiap satu daripada mereka adalah satu perlapan daripada sukatan.”

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Oleh itu, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambah buku keempat belas kepada Elemen Euclid), merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik yang mempunyai bilangan sebutan genap, jumlah sebutan separuh ke-2 adalah lebih besar daripada jumlah sebutan yang pertama pada kuasa dua 1/2 nombor ahli."

Urutan itu dilambangkan dengan an. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... berbunyi: "a 1", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apa itu janjang aritmetik? Dengan itu kita maksudkan yang diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan sedemikian dianggap meningkat.

Janjang aritmetik dipanggil terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Pada sangat kuantiti yang banyak ahli sudah menjadi kemajuan yang tidak berkesudahan.

Sebarang janjang aritmetik ditakrifkan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan yang bertentangan adalah benar: jika urutan diberikan oleh formula yang sama, maka ia adalah janjang aritmetik yang mempunyai sifat:

1. Setiap sebutan janjang ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya.
2. Berbalik: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan ini ialah janjang aritmetik. Kesaksamaan ini juga merupakan tanda kemajuan, itulah sebabnya ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana sebutan jujukan, bermula dengan ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al, jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati menggunakan formula berikut:

Contohnya: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) adalah sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan kita menentukan penggal ke- suatu janjang aritmetik melalui mana-mana sebutan kthnya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah sebutan janjang aritmetik (bermaksud n sebutan pertama janjang terhingga) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung kepada keadaan masalah dan data awal.

Siri semula jadi sebarang nombor, seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling mudah janjang aritmetik.

Sebagai tambahan kepada janjang aritmetik, terdapat juga janjang geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari asas kepada agak kukuh.

Pertama, mari kita fahami maksud dan formula jumlahnya. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah itu semudah moo. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua istilahnya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula datang untuk menyelamatkan.

Formula untuk jumlahnya adalah mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan membersihkan banyak perkara.

S n - jumlah janjang aritmetik. Hasil penambahan semua orang ahli, dengan pertama Oleh terakhir. Ini penting. Mereka menambah tepat Semua ahli berturut-turut, tanpa melangkau atau melangkau. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan kelima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir siri ini. Nama yang tidak begitu biasa, tetapi apabila digunakan pada jumlah itu, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n - nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan istilah tambahan.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Soalan rumit: ahli mana yang akan yang terakhir jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?)

Untuk menjawab dengan yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah muktamad, tertentu langsung tidak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira sama ada perkembangan diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: satu siri nombor, atau formula untuk sebutan ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugasan, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya... Tetapi tidak mengapa, dalam contoh di bawah kami mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan pada jumlah janjang aritmetik.

pertama sekali, maklumat yang berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan yang melibatkan jumlah janjang aritmetik terletak pada penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.

Penulis tugas menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terbatas.) Perkara utama di sini ialah jangan takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup untuk menguraikannya. Mari lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertamanya.

Kerja bagus. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menggunakan formula, apakah yang perlu kita ketahui? Ahli pertama a 1, penggal lepas a n, ya nombor ahli terakhir n.

Di mana saya boleh mendapatkan nombor ahli terakhir? n? Ya, di sana, dengan syarat! Ia berkata: cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, nombor apa yang akan ada? terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n Kami akan menggantikan ke dalam formula a 10, dan sebaliknya n- sepuluh. Saya ulangi, bilangan ahli terakhir bertepatan dengan bilangan ahli.

Ia kekal untuk menentukan a 1 Dan a 10. Ini mudah dikira menggunakan formula untuk sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak mungkin.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Kami telah mengetahui maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Yang tinggal hanyalah menggantikannya dan mengira:

Itu sahaja. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 =2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertamanya.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai sebarang istilah dengan nombornya. Kami mencari penggantian mudah:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Apa yang tinggal ialah menggantikan semua elemen ke dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n Kami hanya menggantikan formula untuk sebutan ke-n dan dapatkan:

Mari kita bentangkan yang serupa dan dapatkan formula baharu untuk jumlah sebutan bagi janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini a n. Dalam sesetengah masalah formula ini banyak membantu, ya... Anda boleh ingat formula ini. Atau anda boleh memaparkannya pada masa yang betul, seperti di sini. Lagipun, anda sentiasa perlu mengingati formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua positif nombor dua digit, gandaan tiga.

Wah! Baik ahli pertama anda, mahupun yang terakhir, mahupun kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan mengeluarkan semua unsur jumlah janjang aritmetik daripada keadaan. Kita tahu apa itu nombor dua digit. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) A terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika anda menambah 2 atau 4 pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi boleh dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik: d = 3. Ia akan berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apakah nombor itu? n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut... Nombor sentiasa berturut-turut, tetapi ahli kami melompat melebihi tiga. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh menuliskan janjang, keseluruhan siri nombor, dan mengira bilangan ahli dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang berfikir. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika kita menggunakan formula untuk masalah kita, kita dapati bahawa 99 ialah sebutan ketiga puluh bagi janjang itu. Itu. n = 30.

Mari kita lihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami menarik keluar dari pernyataan masalah semua yang diperlukan untuk mengira jumlah:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Yang tinggal hanyalah aritmetik asas. Kami menggantikan nombor ke dalam formula dan mengira:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Diberi janjang aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari dua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula untuk jumlah dan... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlah daripada yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, sudah tentu, menulis keseluruhan perkembangan dalam satu siri, dan menambah istilah dari 20 hingga 34. Tetapi... entah bagaimana ia bodoh dan mengambil masa yang lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari bahagikan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan menjadi dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dari dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya dengan jumlah syarat bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Daripada ini kita dapat melihat bahawa mencari jumlah S 20-34 boleh dilakukan dengan penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan daripada yang pertama ahli, i.e. formula jumlah standard agak terpakai kepada mereka. Jom mulakan?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada penyataan masalah:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengira mereka menggunakan formula untuk sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

a 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Tiada apa yang tinggal. Daripada jumlah 34 sebutan, tolak jumlah 19 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

Satu nota penting! Terdapat helah yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira sesuatu yang nampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil yang lengkap. “Tipuan dengan telinga anda” semacam ini sering menyelamatkan anda dalam masalah jahat.)

Dalam pelajaran ini kita melihat masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

Nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah yang melibatkan jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula untuk penggal ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari dan ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah 24 sebutan pertamanya.

Luar biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, masalah seperti itu sering dijumpai di Akademi Sains Negeri.

7. Vasya menyimpan wang untuk percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang kegemaran saya (diri saya) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Belanja 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih daripada yang sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Adakah ia sukar?) Formula tambahan daripada masalah 2 akan membantu.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Tahap kemasukan

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan nombor
Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama.
Nombor dengan nombor dipanggil sebutan ke-jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Katakan kita mempunyai urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Contohnya:

dll.
Urutan nombor ini dipanggil janjang aritmetik.
Istilah "kemajuan" telah diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius pada abad ke-6 dan difahami dalam erti kata yang lebih luas sebagai urutan berangka yang tidak terhingga. Nama "aritmetik" dipindahkan dari teori perkadaran berterusan, yang dikaji oleh orang Yunani kuno.

Ini ialah urutan nombor, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan ditetapkan.

Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:

a)
b)
c)
d)

faham? Mari bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
bukan janjang aritmetik - a, d.

Mari kembali ke janjang yang diberikan () dan cuba cari nilai sebutan ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.

1. Kaedah

Kita boleh menambah nombor janjang kepada nilai sebelumnya sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:

Jadi, sebutan ke janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.

2. Kaedah

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai sebutan ke-kemajuan itu? Penjumlahan akan mengambil masa lebih daripada satu jam, dan bukan fakta bahawa kita tidak akan membuat kesilapan semasa menambah nombor.
Sudah tentu, ahli matematik telah menghasilkan satu cara yang tidak perlu menambah perbezaan janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya. Perhatikan gambar yang dilukis dengan lebih dekat... Pasti anda sudah perasan corak tertentu iaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat apakah nilai sebutan ke bagi janjang aritmetik ini terdiri daripada:


Dengan kata lain:

Cuba cari sendiri nilai ahli janjang aritmetik tertentu dengan cara ini.

Adakah anda mengira? Bandingkan nota anda dengan jawapan:

Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami secara berurutan menambah istilah janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya.
Mari cuba "menyahperibadi" formula ini- mari kita bawa dia ke pandangan umum dan kita dapat:

Persamaan janjang aritmetik.

Janjang aritmetik boleh meningkat atau menurun.

Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Contohnya:

Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Contohnya:

Formula terbitan digunakan dalam pengiraan sebutan dalam kedua-dua sebutan meningkat dan menurun bagi janjang aritmetik.
Mari kita semak ini dalam amalan.
Kami diberi janjang aritmetik yang terdiri daripada nombor berikut: Mari kita semak apakah nombor ke janjang aritmetik ini jika kita menggunakan formula kita untuk mengiranya:

Sejak itu:

Oleh itu, kami yakin bahawa formula beroperasi dalam kedua-dua janjang aritmetik yang menurun dan meningkat.
Cuba cari sendiri sebutan ke dan ke bagi janjang aritmetik ini.

Mari bandingkan hasilnya:

Sifat janjang aritmetik

Mari kita rumitkan masalah - kita akan memperoleh sifat janjang aritmetik.
Katakan kita diberi syarat berikut:
- janjang aritmetik, cari nilai.
Mudah, anda katakan dan mula mengira mengikut formula yang anda sudah tahu:

Mari, ah, kemudian:

benar sekali. Ternyata kita mula-mula mencari, kemudian menambahnya pada nombor pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai kecil, maka tidak ada yang rumit mengenainya, tetapi bagaimana jika kita diberi nombor dalam keadaan? Setuju, terdapat kemungkinan membuat kesilapan dalam pengiraan.
Sekarang fikirkan sama ada mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan sebarang formula? Sudah tentu ya, dan itulah yang akan kami cuba kemukakan sekarang.

Mari kita nyatakan istilah yang diperlukan bagi janjang aritmetik sebagai, formula untuk mencarinya diketahui oleh kita - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:

• istilah janjang sebelumnya ialah:
• istilah janjang seterusnya ialah:

Mari kita rumuskan istilah janjang sebelumnya dan seterusnya:

Ternyata jumlah terma janjang sebelumnya dan seterusnya ialah nilai berganda bagi istilah janjang yang terletak di antara mereka. Dalam erti kata lain, untuk mencari nilai istilah janjang dengan nilai sebelumnya dan seterusnya yang diketahui, anda perlu menambahnya dan membahagikannya dengan.

Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari selamatkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, ia sama sekali tidak sukar.

Syabas! Anda tahu hampir segala-galanya tentang kemajuan! Tinggal untuk mengetahui hanya satu formula, yang, menurut legenda, mudah disimpulkan sendiri oleh salah seorang ahli matematik terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematik" - Karl Gauss...

Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, seorang guru, sibuk memeriksa kerja pelajar di kelas lain, bertanya masalah berikut di dalam kelas: "Kira jumlah semua nombor asli daripada kepada (mengikut sumber lain sehingga) termasuk.” Bayangkan guru terkejut apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) seminit kemudian memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil, selepas pengiraan yang panjang, menerima keputusan yang salah...

Carl Gauss muda melihat corak tertentu yang anda juga boleh perasan dengan mudah.
Katakan kita mempunyai janjang aritmetik yang terdiri daripada sebutan -th: Kita perlu mencari jumlah sebutan janjang aritmetik ini. Sudah tentu, kita boleh menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas itu memerlukan mencari jumlah istilahnya, seperti yang dicari oleh Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Lihat dengan teliti nombor yang diserlahkan dan cuba lakukan pelbagai operasi matematik dengan mereka.


Sudahkah anda mencubanya? Apa yang awak perasan? Betul! Jumlah mereka adalah sama

Sekarang beritahu saya, berapakah jumlah pasangan sebegitu yang terdapat dalam janjang yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua sebutan janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan yang serupa adalah sama, kita memperoleh bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Dalam beberapa masalah kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan perkembangannya. Cuba gantikan formula sebutan ke dalam formula jumlah.
Apa yang awak dapat?

Syabas! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor yang bermula dari th sama dengan dan jumlah nombor bermula dari th.

Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss mendapati bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu yang anda putuskan?

Malah, formula untuk jumlah istilah janjang aritmetik telah dibuktikan oleh saintis Yunani purba Diophantus pada abad ke-3, dan sepanjang masa ini, orang cerdik menggunakan sepenuhnya sifat janjang aritmetik itu.
Sebagai contoh, bayangkan Mesir Purba dan projek pembinaan terbesar pada masa itu - pembinaan piramid... Gambar menunjukkan sebelahnya.

Di manakah perkembangan di sini, anda katakan? Lihat dengan teliti dan cari corak dalam bilangan blok pasir dalam setiap baris dinding piramid.


Mengapa bukan janjang aritmetik? Kira berapa banyak blok yang diperlukan untuk membina satu dinding jika bata blok diletakkan di pangkalan. Saya harap anda tidak akan mengira semasa menggerakkan jari anda pada monitor, anda masih ingat formula terakhir dan semua yang kami katakan tentang janjang aritmetik?

Dalam kes ini, perkembangan kelihatan seperti ini: .
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik.
Mari kita gantikan data kita ke dalam formula terakhir (kira bilangan blok dalam 2 cara).

Kaedah 1.

Kaedah 2.

Dan kini anda boleh mengira pada monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan bilangan blok yang ada dalam piramid kami. faham? Syabas, anda telah menguasai jumlah sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.
Sudah tentu, anda tidak boleh membina piramid dari blok di pangkalan, tetapi dari? Cuba kira berapa banyak bata pasir yang diperlukan untuk membina dinding dengan keadaan ini.
Adakah anda berjaya?
Jawapan yang betul ialah blok:

Latihan

Tugasan:

1. Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan melakukan squats dalam seminggu jika dia melakukan squats pada sesi latihan pertama?
2. Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
3. Apabila menyimpan log, pembalak menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak?

Jawapan:

1. Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
   (minggu = hari).

   Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu melakukan squat sekali sehari.

2. Nombor ganjil pertama, nombor terakhir.
   Perbezaan janjang aritmetik.
   Bilangan nombor ganjil dalam ialah separuh, bagaimanapun, mari kita semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari sebutan ke satu janjang aritmetik:

   Nombor memang mengandungi nombor ganjil.
   Mari kita gantikan data yang tersedia ke dalam formula:

   Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama.

3. Mari kita ingat masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, maka secara keseluruhan terdapat sekumpulan lapisan, iaitu.
   Mari kita gantikan data ke dalam formula:

   Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.

Mari kita ringkaskan

1. - urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia boleh meningkat atau menurun.
2. Mencari formula Sebutan ke-1 suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
3. Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di manakah bilangan nombor dalam kemajuan.
4. Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:
   
   , di manakah bilangan nilai.

PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH

Urutan nombor

Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka. Tetapi kita sentiasa boleh mengatakan yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor.

Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satu daripadanya boleh diberikan nombor unik.

Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan nombor unik. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.

Nombor dengan nombor dipanggil ahli ke-jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Ia adalah sangat mudah jika sebutan ke-jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula

menetapkan urutan:

Dan formulanya adalah urutan berikut:

Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya ialah). Atau (, perbezaan).

formula penggal ke-n

Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah ke, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang menggunakan formula ini, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:

Nah, adakah ia jelas sekarang apakah formulanya?

Dalam setiap baris yang kita tambah, didarab dengan beberapa nombor. yang mana satu? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:

Jauh lebih mudah sekarang, bukan? Kami menyemak:

Tentukan sendiri:

Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.

Penyelesaian:

Sebutan pertama adalah sama. Apa bezanya? Inilah yang:

(Inilah sebabnya ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan sebutan berturut-turut janjang).

Jadi, formulanya:

Maka sebutan keseratus adalah sama dengan:

Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?

Menurut legenda, ahli matematik hebat Carl Gauss, sebagai budak lelaki berusia 9 tahun, mengira jumlah ini dalam beberapa minit. Dia perasan bahawa jumlah nombor pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua terakhir adalah sama, jumlah ketiga dan ke-3 dari hujung adalah sama, dan seterusnya. Berapakah jumlah pasangan sedemikian? Betul, tepat separuh daripada bilangan semua nombor, iaitu. Jadi,

Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Contoh:
Cari hasil tambah semua gandaan dua digit.

Penyelesaian:

Nombor yang pertama ialah ini. Setiap nombor berikutnya diperoleh dengan menambah nombor sebelumnya. Oleh itu, nombor yang kita minati membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama dan perbezaannya.

Formula istilah ke-1 untuk janjang ini:

Berapakah bilangan yang terdapat dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?

Sangat mudah: .

Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:

Jawapan: .

Sekarang tentukan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari lebih meter daripada hari sebelumnya. Berapakah jumlah kilometer yang dia akan larian dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
2. Seorang penunggang basikal menempuh lebih banyak kilometer setiap hari berbanding hari sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu menempuh perjalanan sejauh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
3. Harga peti sejuk di kedai menurun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Jawapan:

1. Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
   .
   Jawapan:
2. Di sini diberikan: , mesti dijumpai.
   Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam masalah sebelumnya:
   .
   Gantikan nilai:

   Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya adalah.
   Mari kita mengira laluan yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula istilah ke-:
   (km).
   Jawapan:

3. Diberi: . Cari: .
   Ia tidak boleh menjadi lebih mudah:
   (gosok).
   Jawapan:

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Ini ialah urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.

Janjang aritmetik boleh meningkat () dan menurun ().

Contohnya:

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

ditulis oleh formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Ia membolehkan anda mencari istilah janjang dengan mudah jika istilah jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:

Di manakah bilangan nilai.

Di manakah bilangan nilai.

Apabila belajar algebra di sekolah menengah (gred 9), salah satu topik penting ialah kajian jujukan berangka, yang merangkumi janjang - geometri dan aritmetik. Dalam artikel ini kita akan melihat janjang aritmetik dan contoh dengan penyelesaian.

Apakah janjang aritmetik?

Untuk memahami perkara ini, adalah perlu untuk menentukan perkembangan yang dimaksudkan, serta menyediakan formula asas yang akan digunakan kemudian dalam menyelesaikan masalah.

Aritmetik atau ialah satu set nombor rasional tersusun, setiap ahlinya berbeza daripada yang sebelumnya dengan beberapa nilai tetap. Nilai ini dipanggil perbezaan. Iaitu, mengetahui mana-mana ahli siri nombor tersusun dan perbezaannya, anda boleh memulihkan keseluruhan janjang aritmetik.

Mari kita beri contoh. Urutan nombor berikut akan menjadi janjang aritmetik: 4, 8, 12, 16, ..., kerana perbezaan dalam kes ini ialah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi set nombor 3, 5, 8, 12, 17 tidak lagi boleh dikaitkan dengan jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, kerana perbezaannya bukan nilai tetap (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formula Penting

Sekarang mari kita kemukakan formula asas yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan janjang aritmetik. Mari kita nyatakan dengan simbol a n ahli ke-n bagi jujukan, di mana n ialah integer. Kami menandakan perbezaannya huruf latin d. Kemudian ungkapan berikut adalah sah:

1. Untuk menentukan nilai sebutan ke-n, formula berikut sesuai: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Untuk menentukan hasil tambah n sebutan pertama: S n = (a n +a 1)*n/2.

Untuk memahami mana-mana contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian dalam gred 9, cukup untuk mengingati kedua-dua formula ini, kerana sebarang masalah dari jenis yang sedang dipertimbangkan adalah berdasarkan penggunaannya. Anda juga harus ingat bahawa perbezaan janjang ditentukan oleh formula: d = a n - a n-1.

Contoh #1: mencari istilah yang tidak diketahui

Mari kita berikan contoh mudah janjang aritmetik dan formula yang perlu digunakan untuk menyelesaikannya.

Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, anda perlu mencari lima sebutan di dalamnya.

Daripada syarat-syarat masalah ia sudah mengikuti bahawa 4 istilah pertama diketahui. Yang kelima boleh ditakrifkan dalam dua cara:

1. Mari kita kira perbezaannya dahulu. Kami mempunyai: d = 8 - 10 = -2. Begitu juga, anda boleh mengambil mana-mana dua ahli lain berdiri bersebelahan. Contohnya, d = 4 - 6 = -2. Oleh kerana diketahui bahawa d = a n - a n-1, maka d = a 5 - a 4, dari mana kita dapat: a 5 = a 4 + d. Mari kita ganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Kaedah kedua juga memerlukan pengetahuan tentang perbezaan janjang yang dipersoalkan, jadi anda perlu terlebih dahulu menentukannya seperti yang ditunjukkan di atas (d = -2). Mengetahui bahawa sebutan pertama a 1 = 10, kita menggunakan formula untuk n nombor jujukan. Kami mempunyai: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Menggantikan n = 5 ke dalam ungkapan terakhir, kita dapat: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang anda lihat, kedua-dua penyelesaian membawa kepada hasil yang sama. Ambil perhatian bahawa dalam contoh ini perbezaan janjang d ialah nilai negatif. Urutan sedemikian dipanggil menurun, kerana setiap sebutan berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Contoh #2: perbezaan kemajuan

Sekarang mari kita rumitkan sedikit tugasan, berikan contoh cara mencari perbezaan janjang aritmetik.

Adalah diketahui bahawa dalam beberapa janjang algebra sebutan pertama adalah sama dengan 6, dan sebutan ke-7 adalah sama dengan 18. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan dan memulihkan jujukan ini kepada sebutan ke-7.

Mari kita gunakan formula untuk menentukan istilah yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mari kita gantikan data yang diketahui dari keadaan ke dalamnya, iaitu, nombor a 1 dan 7, kita ada: 18 = 6 + 6 * d. Daripada ungkapan ini anda boleh mengira perbezaan dengan mudah: d = (18 - 6) /6 = 2. Oleh itu, kami telah menjawab bahagian pertama masalah.

Untuk memulihkan jujukan kepada sebutan ke-7, anda harus menggunakan takrif janjang algebra, iaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Akibatnya, kami memulihkan keseluruhan urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Contoh No. 3: membuat janjang

Mari kita rumitkan lagi keadaan yang lebih kuat tugasan. Sekarang kita perlu menjawab persoalan bagaimana untuk mencari janjang aritmetik. Contoh berikut boleh diberikan: dua nombor diberikan, contohnya - 4 dan 5. Ia adalah perlu untuk mencipta janjang algebra supaya tiga lagi sebutan diletakkan di antara ini.

Sebelum anda mula menyelesaikan masalah ini, anda perlu memahami tempat yang akan diduduki oleh nombor yang diberikan dalam perkembangan masa depan. Oleh kerana akan ada tiga lagi istilah di antara mereka, maka 1 = -4 dan 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kita beralih kepada masalah, yang serupa dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk istilah ke-n kita menggunakan formula, kita dapat: a 5 = a 1 + 4 * d. Daripada: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Apa yang kami dapat di sini bukanlah nilai integer bagi perbezaan, tetapi ia adalah nombor rasional, jadi formula untuk janjang algebra kekal sama.

Sekarang mari tambahkan perbezaan yang ditemui pada 1 dan pulihkan istilah janjang yang hilang. Kami mendapat: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, yang bertepatan dengan keadaan masalah.

Contoh No. 4: penggal pertama janjang

Mari teruskan memberi contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian. Dalam semua masalah sebelumnya, nombor pertama janjang algebra diketahui. Sekarang mari kita pertimbangkan masalah jenis yang berbeza: biarkan dua nombor diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Ia adalah perlu untuk mencari nombor yang jujukan ini bermula.

Formula yang digunakan setakat ini menganggap pengetahuan tentang a 1 dan d. Dalam pernyataan masalah, tiada apa yang diketahui tentang nombor ini. Namun begitu, kami akan menulis ungkapan untuk setiap istilah mengenai maklumat yang tersedia: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami menerima dua persamaan di mana terdapat 2 kuantiti yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini bermakna bahawa masalah dikurangkan kepada menyelesaikan sistem persamaan linear.

Cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem ini ialah dengan menyatakan 1 dalam setiap persamaan dan kemudian membandingkan ungkapan yang terhasil. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ungkapan ini, kita dapat: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dari mana perbezaan d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (hanya 3 tempat perpuluhan diberikan).

Mengetahui d, anda boleh menggunakan mana-mana daripada 2 ungkapan di atas untuk 1. Contohnya, pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Jika anda mempunyai keraguan tentang hasil yang diperoleh, anda boleh menyemaknya, sebagai contoh, tentukan penggal ke-43 perkembangan, yang dinyatakan dalam syarat. Kami mendapat: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ralat kecil adalah disebabkan fakta bahawa pembundaran kepada perseribu telah digunakan dalam pengiraan.

Contoh No. 5: jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan penyelesaian untuk jumlah janjang aritmetik.

Biarkan janjang berangka bagi bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana untuk mengira jumlah 100 nombor ini?

Terima kasih kepada perkembangan teknologi komputer, adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini, iaitu, menambah semua nombor secara berurutan, yang akan dilakukan oleh komputer sebaik sahaja seseorang menekan kekunci Enter. Walau bagaimanapun, masalah itu boleh diselesaikan secara mental jika anda memberi perhatian bahawa siri nombor yang dibentangkan adalah janjang algebra, dan perbezaannya adalah sama dengan 1. Menggunakan formula untuk jumlah, kita mendapat: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah ini dipanggil "Gaussian" kerana pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, dapat menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa saat. Budak itu tidak tahu formula untuk jumlah janjang algebra, tetapi dia perasan bahawa jika anda menambah nombor di hujung urutan secara berpasangan, anda sentiasa mendapat keputusan yang sama, iaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan kerana jumlah ini akan menjadi tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawapan yang betul sudah cukup untuk mendarabkan 50 dengan 101.

Contoh No. 6: jumlah sebutan dari n hingga m

Satu lagi contoh tipikal jumlah janjang aritmetik adalah seperti berikut: diberikan satu siri nombor: 3, 7, 11, 15, ..., anda perlu mencari jumlah sebutannya dari 8 hingga 14 akan sama dengan .

Masalah diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan mencari istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Oleh kerana terdapat beberapa istilah, kaedah ini tidak begitu intensif buruh. Namun begitu, adalah dicadangkan untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan kaedah kedua, iaitu lebih universal.

Ideanya adalah untuk mendapatkan formula bagi jumlah janjang algebra antara sebutan m dan n, dengan n > m ialah integer. Untuk kedua-dua kes, kami menulis dua ungkapan untuk jumlah:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Oleh kerana n > m, adalah jelas bahawa jumlah ke-2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir bermakna jika kita mengambil perbezaan antara jumlah ini dan menambah istilah a m kepadanya (dalam kes mengambil perbezaan, ia ditolak daripada jumlah S n), kita akan memperoleh jawapan yang diperlukan untuk masalah itu. Kami mempunyai: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ia adalah perlu untuk menggantikan formula untuk a n dan a m ke dalam ungkapan ini. Kemudian kita dapat: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula yang terhasil agak rumit, walau bagaimanapun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kes kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Menggantikan nombor ini, kita mendapat: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat daripada penyelesaian di atas, semua masalah adalah berdasarkan pengetahuan tentang ungkapan untuk sebutan ke-n dan formula untuk jumlah set sebutan pertama. Sebelum mula menyelesaikan mana-mana masalah ini, disyorkan agar anda membaca dengan teliti syarat itu, memahami dengan jelas apa yang anda perlu cari, dan hanya kemudian meneruskan penyelesaiannya.

Petua lain ialah berusaha untuk kesederhanaan, iaitu, jika anda boleh menjawab soalan tanpa menggunakan pengiraan matematik yang rumit, maka anda perlu berbuat demikian, kerana dalam kes ini kemungkinan membuat kesilapan adalah kurang. Sebagai contoh, dalam contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian No. 6, seseorang boleh berhenti pada formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan rehat tugas biasa ke dalam subtugas yang berasingan (dalam kes ini, mula-mula cari istilah a n dan a m).

Jika anda mempunyai keraguan tentang keputusan yang diperoleh, adalah disyorkan untuk menyemaknya, seperti yang dilakukan dalam beberapa contoh yang diberikan. Kami mengetahui cara mencari janjang aritmetik. Jika anda memikirkannya, ia tidak begitu sukar.

Sesetengah orang menganggap perkataan "kemajuan" dengan berhati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks daripada cabang matematik yang lebih tinggi. Sementara itu, janjang aritmetik yang paling mudah ialah kerja meter teksi (di mana ia masih wujud). Dan memahami intipati (dan dalam matematik tidak ada yang lebih penting daripada "mendapatkan intipati") bagi urutan aritmetik tidaklah begitu sukar, setelah menganalisis beberapa konsep asas.

Urutan nombor matematik

Urutan berangka biasanya dipanggil satu siri nombor, setiap satunya mempunyai nombor sendiri.

a 1 ialah ahli pertama bagi jujukan;

dan 2 ialah sebutan kedua bagi jujukan;

dan 7 ialah ahli ketujuh bagi jujukan;

dan n ialah ahli ke-n bagi jujukan;

Walau bagaimanapun, tidak ada set nombor dan nombor sewenang-wenangnya yang menarik minat kami. Kami akan menumpukan perhatian kami pada jujukan berangka di mana nilai sebutan ke-n dikaitkan dengan nombor ordinalnya melalui hubungan yang boleh dirumuskan secara matematik dengan jelas. Dalam erti kata lain: nilai berangka nombor ke-n ialah beberapa fungsi n.

a ialah nilai ahli bagi jujukan berangka;

n ialah nombor sirinya;

f(n) ialah fungsi, di mana nombor ordinal dalam jujukan berangka n ialah hujah.

Definisi

Janjang aritmetik biasanya dipanggil jujukan berangka di mana setiap sebutan berikutnya adalah lebih besar (kurang) daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama. Formula bagi sebutan ke-n bagi jujukan aritmetik adalah seperti berikut:

a n - nilai ahli semasa janjang aritmetik;

a n+1 - formula nombor seterusnya;

d - perbezaan (nombor tertentu).

Adalah mudah untuk menentukan bahawa jika perbezaan adalah positif (d>0), maka setiap ahli berikutnya bagi siri yang sedang dipertimbangkan akan lebih besar daripada yang sebelumnya dan janjang aritmetik sedemikian akan meningkat.

Dalam graf di bawah adalah mudah untuk melihat mengapa urutan nombor dipanggil "meningkat".

Dalam kes di mana perbezaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai ahli yang ditentukan

Kadangkala adalah perlu untuk menentukan nilai sebarang sebutan arbitrari bagi suatu janjang aritmetik. Ini boleh dilakukan dengan mengira secara berurutan nilai semua ahli janjang aritmetik, bermula dari yang pertama hingga yang dikehendaki. Walau bagaimanapun, laluan ini tidak selalu boleh diterima jika, sebagai contoh, perlu mencari nilai sebutan lima ribu atau lapan juta. Pengiraan tradisional akan mengambil banyak masa. Walau bagaimanapun, janjang aritmetik tertentu boleh dikaji menggunakan formula tertentu. Terdapat juga formula untuk sebutan ke-n: nilai sebarang sebutan janjang aritmetik boleh ditentukan sebagai hasil tambah sebutan pertama janjang dengan perbezaan janjang itu, didarab dengan bilangan sebutan yang dikehendaki, dikurangkan dengan satu.

Formula adalah universal untuk meningkatkan dan mengurangkan perkembangan.

Contoh pengiraan nilai istilah tertentu

Mari kita selesaikan masalah berikut untuk mencari nilai sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Keadaan: terdapat janjang aritmetik dengan parameter:

Sebutan pertama bagi jujukan ialah 3;

Perbezaan dalam siri nombor ialah 1.2.

Tugasan: anda perlu mencari nilai 214 sebutan

Penyelesaian: untuk menentukan nilai istilah tertentu, kami menggunakan formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Menggantikan data daripada pernyataan masalah ke dalam ungkapan, kami mempunyai:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Jawapan: Sebutan ke-214 bagi jujukan itu bersamaan dengan 258.6.

Kelebihan kaedah pengiraan ini adalah jelas - keseluruhan penyelesaian mengambil masa tidak lebih daripada 2 baris.

Jumlah bilangan sebutan tertentu

Selalunya, dalam siri aritmetik tertentu, adalah perlu untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Untuk melakukan ini, anda juga tidak perlu mengira nilai setiap istilah dan kemudian menambahnya. Kaedah ini boleh digunakan jika bilangan istilah yang jumlahnya perlu dicari adalah kecil. Dalam kes lain, lebih mudah untuk menggunakan formula berikut.

Jumlah sebutan bagi janjang aritmetik dari 1 hingga n adalah sama dengan hasil tambah sebutan pertama dan ke-n, didarab dengan bilangan sebutan n dan dibahagikan dengan dua. Jika dalam formula nilai istilah ke-n digantikan dengan ungkapan dari perenggan sebelumnya artikel, kita dapat:

Contoh pengiraan

Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalah dengan syarat berikut:

Sebutan pertama bagi jujukan ialah sifar;

Perbezaannya ialah 0.5.

Masalahnya memerlukan penentuan jumlah terma siri dari 56 hingga 101.

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula untuk menentukan jumlah kemajuan:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kami menentukan jumlah nilai 101 sebutan janjang dengan menggantikan syarat yang diberikan masalah kami ke dalam formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Jelas sekali, untuk mengetahui jumlah terma janjang dari ke-56 hingga ke-101, adalah perlu untuk menolak S 55 daripada S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Oleh itu, jumlah janjang aritmetik untuk contoh ini ialah:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Contoh aplikasi amali janjang aritmetik

Pada akhir artikel, mari kita kembali kepada contoh jujukan aritmetik yang diberikan dalam perenggan pertama - pengukur taksi (meter kereta teksi). Mari kita pertimbangkan contoh ini.

Menaiki teksi (termasuk 3 km perjalanan) berharga 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar pada kadar 22 rubel/km. Jarak perjalanan ialah 30 km. Kira kos perjalanan.

1. Mari kita buang 3 km pertama, yang harganya termasuk dalam kos pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Pengiraan selanjutnya tidak lebih daripada menghuraikan siri nombor aritmetik.

Nombor ahli - bilangan kilometer yang dilalui (tolak tiga yang pertama).

Nilai ahli ialah jumlah.

Istilah pertama dalam masalah ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Perbezaan kemajuan d = 22 r.

nombor yang kita minati ialah nilai sebutan (27+1) bagi janjang aritmetik - bacaan meter pada penghujung kilometer ke-27 ialah 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Pengiraan data kalendar untuk tempoh yang panjang sewenang-wenangnya adalah berdasarkan formula yang menerangkan jujukan berangka tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit bergantung secara geometri pada jarak jasad angkasa ke bintang. Selain itu, pelbagai siri nombor berjaya digunakan dalam statistik dan bidang gunaan matematik yang lain.

Satu lagi jenis urutan nombor ialah geometri

Janjang geometri dicirikan oleh kadar perubahan yang lebih besar berbanding janjang aritmetik. Bukan kebetulan bahawa dalam politik, sosiologi, dan perubatan, untuk menunjukkan kelajuan tinggi penyebaran fenomena tertentu, sebagai contoh, penyakit semasa wabak, mereka sering mengatakan bahawa proses itu berkembang dalam perkembangan geometri.

Sebutan N bagi siri nombor geometri berbeza daripada yang sebelumnya kerana ia didarab dengan beberapa nombor tetap - penyebutnya, sebagai contoh, sebutan pertama ialah 1, penyebutnya bersamaan dengan 2, kemudian:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai istilah semasa janjang geometri;

b n+1 - formula sebutan seterusnya bagi janjang geometri;

q ialah penyebut janjang geometri (nombor tetap).

Jika graf janjang aritmetik ialah garis lurus, maka janjang geometri melukis gambar yang sedikit berbeza:

Seperti dalam kes aritmetik, janjang geometri mempunyai formula untuk nilai sebutan arbitrari. Mana-mana sebutan ke-n suatu janjang geometri adalah sama dengan hasil darab sebutan pertama dan penyebut janjang kepada kuasa n dikurangkan dengan satu:

Contoh. Kami mempunyai janjang geometri dengan sebutan pertama sama dengan 3 dan penyebut janjang itu sama dengan 1.5. Mari cari sebutan ke-5 janjang itu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Jumlah bilangan sebutan yang diberikan juga dikira menggunakan formula khas. Jumlah n sebutan pertama suatu janjang geometri adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab sebutan ke-n janjang itu dan penyebutnya dan sebutan pertama janjang itu, dibahagikan dengan penyebut yang dikurangkan dengan satu:

Jika b n digantikan menggunakan formula yang dibincangkan di atas, nilai jumlah n sebutan pertama siri nombor yang sedang dipertimbangkan akan berbentuk:

Contoh. Janjang geometri bermula dengan sebutan pertama bersamaan dengan 1. Penyebutnya ditetapkan kepada 3. Mari cari hasil tambah bagi lapan sebutan pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280