Menu
Secara percuma
Pendaftaran
Rumah  /  Pelepasan/ Apakah maksud janjang aritmetik? Janjang aritmetik – urutan nombor

Apakah maksud janjang aritmetik? Janjang aritmetik – urutan nombor

Janjang aritmetik namakan urutan nombor (istilah janjang)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan istilah baru, yang juga dipanggil perbezaan langkah atau kemajuan.

Oleh itu, dengan menyatakan langkah janjang dan sebutan pertamanya, anda boleh mencari mana-mana elemennya menggunakan formula

Sifat sesuatu janjang aritmetik

1) Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari nombor kedua, ialah min aritmetik ahli janjang sebelumnya dan seterusnya

Begitu juga sebaliknya. Jika min aritmetik bagi sebutan ganjil (genap) bersebelahan bagi sesuatu janjang adalah sama dengan sebutan yang berada di antaranya, maka jujukan nombor ini ialah janjang aritmetik. Menggunakan pernyataan ini, sangat mudah untuk menyemak sebarang urutan.

Juga, dengan sifat janjang aritmetik, formula di atas boleh digeneralisasikan kepada yang berikut

Ini mudah untuk disahkan jika anda menulis syarat di sebelah kanan tanda sama

Ia sering digunakan dalam amalan untuk memudahkan pengiraan dalam masalah.

2) Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik dikira menggunakan formula

Ingat dengan baik formula untuk jumlah janjang aritmetik; ia amat diperlukan dalam pengiraan dan sering dijumpai dalam situasi kehidupan yang mudah.

3) Jika anda perlu mencari bukan jumlah keseluruhan, tetapi sebahagian daripada jujukan bermula dari sebutan ke-knya, maka formula jumlah berikut akan berguna kepada anda

4) Kepentingan praktikal ialah mencari hasil tambah n sebutan suatu janjang aritmetik bermula dari nombor k. Untuk melakukan ini, gunakan formula

Mengenai ini bahan teori berakhir dan kami meneruskan untuk menyelesaikan masalah biasa dalam amalan.

Contoh 1. Cari sebutan keempat puluh janjang aritmetik 4;7;...

Penyelesaian:

Mengikut syarat yang kita ada

Mari tentukan langkah kemajuan

Menggunakan formula yang terkenal, kita dapati sebutan keempat puluh janjang itu

Contoh 2. Janjang aritmetik diberikan oleh sebutan ketiga dan ketujuhnya. Cari sebutan pertama janjang itu dan hasil tambah sepuluh.

Penyelesaian:

Mari kita tuliskannya elemen yang diberikan janjang mengikut formula

Kami menolak yang pertama daripada persamaan kedua, sebagai hasilnya kami dapati langkah kemajuan

Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan untuk mencari sebutan pertama janjang aritmetik

Kami mengira jumlah sepuluh sebutan pertama janjang itu

Tanpa menggunakan pengiraan yang rumit, kami menemui semua kuantiti yang diperlukan.

Contoh 3. Janjang aritmetik diberikan oleh penyebut dan salah satu sebutannya. Cari sebutan pertama janjang itu, hasil tambah 50 sebutannya bermula daripada 50 dan hasil tambah 100 yang pertama.

Penyelesaian:

Mari kita tuliskan formula untuk unsur keseratus janjang itu

dan cari yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kita dapati sebutan ke-50 janjang itu

Mencari hasil tambah bahagian janjang itu

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah kemajuan ialah 250.

Contoh 4.

Cari bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Penyelesaian:

Mari kita tulis persamaan dalam sebutan sebutan pertama dan langkah janjang dan tentukannya

Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula jumlah untuk menentukan bilangan istilah dalam jumlah itu

Kami melakukan pemudahan

dan selesaikan persamaan kuadratik

Daripada dua nilai yang ditemui, hanya nombor 8 yang sesuai dengan keadaan masalah. Oleh itu, jumlah lapan sebutan pertama janjang itu ialah 111.

Contoh 5.

Selesaikan persamaan

1+3+5+...+x=307.

Penyelesaian: Persamaan ini ialah jumlah janjang aritmetik. Mari kita tulis penggal pertamanya dan cari perbezaan dalam janjangnya

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana setiap nombor lebih besar (atau kurang) daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini sering kelihatan rumit dan tidak dapat difahami. Indeks huruf penggal ke- janjang, perbezaan janjang - semua ini entah bagaimana mengelirukan, ya... Mari kita fikirkan maksud janjang aritmetik dan semuanya akan menjadi lebih baik serta-merta.)

Konsep janjang aritmetik.

Janjang aritmetik adalah konsep yang sangat mudah dan jelas. Adakah anda mempunyai sebarang keraguan? Sia-sia.) Tengok sendiri.

Saya akan menulis siri nombor yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bolehkah anda memanjangkan siri ini? Apakah nombor yang akan datang selepas lima? Semua orang... eh..., pendek kata, semua orang akan sedar bahawa nombor 6, 7, 8, 9, dan lain-lain akan datang seterusnya.

Mari kita rumitkan tugas. Saya memberi anda siri nombor yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda akan dapat menangkap corak, melanjutkan siri dan nama ketujuh nombor baris?

Jika anda menyedari bahawa nombor ini adalah 20, tahniah! Bukan sahaja anda rasa perkara utama janjang aritmetik, tetapi juga berjaya menggunakannya dalam perniagaan! Jika anda belum memahaminya, baca terus.

Sekarang mari menterjemahkan perkara utama daripada sensasi ke dalam matematik.)

Perkara utama pertama.

Janjang aritmetik berkaitan dengan siri nombor. Ini mengelirukan pada mulanya. Kami sudah biasa menyelesaikan persamaan, melukis graf dan semua itu... Tetapi di sini kami memanjangkan siri, mencari nombor siri itu...

Tidak mengapa. Cuma perkembangan adalah kenalan pertama dengan cabang matematik yang baharu. Bahagian ini dipanggil "Siri" dan berfungsi secara khusus dengan siri nombor dan ungkapan. Biasakan diri.)

Perkara utama kedua.

Dalam janjang aritmetik, sebarang nombor adalah berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Dalam contoh pertama, perbezaan ini adalah satu. Walau apa pun nombor yang anda ambil, ia lebih satu daripada yang sebelumnya. Dalam kedua - tiga. Sebarang nombor adalah tiga lebih daripada yang sebelumnya. Sebenarnya, detik inilah yang memberi kita peluang untuk memahami corak dan mengira nombor seterusnya.

Perkara utama ketiga.

Momen ini tidak menarik, ya... Tetapi ia sangat-sangat penting. Inilah dia: setiap satu nombor kemajuan berdiri di tempatnya. Ada nombor pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dsb. Jika anda mencampurkannya secara rawak, corak akan hilang. Janjang aritmetik juga akan hilang. Yang tinggal hanyalah siri nombor.

Itulah keseluruhannya.

Sudah tentu, dalam topik baru terma dan jawatan baharu muncul. Anda perlu mengenali mereka. Jika tidak, anda tidak akan memahami tugas itu. Sebagai contoh, anda perlu memutuskan sesuatu seperti:

Tulis enam sebutan pertama janjang aritmetik (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.

Menginspirasikan?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, dengan cara itu, tidak boleh menjadi lebih mudah. Anda hanya perlu memahami maksud istilah dan sebutan. Sekarang kita akan menguasai perkara ini dan kembali kepada tugas.

Terma dan sebutan.

Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana setiap nombor adalah berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Kuantiti ini dipanggil . Mari kita lihat konsep ini dengan lebih terperinci.

Perbezaan janjang aritmetik.

Perbezaan janjang aritmetik ialah amaun yang menggunakan sebarang nombor kemajuan lebih yang sebelumnya.

satu perkara penting. Sila beri perhatian kepada perkataan itu "lebih". Secara matematik, ini bermakna setiap nombor janjang adalah dengan menambah perbezaan janjang aritmetik dengan nombor sebelumnya.

Untuk mengira, katakan kedua nombor siri, anda perlu pertama nombor tambah perbezaan janjang aritmetik ini. Untuk pengiraan kelima- perbezaan itu perlu tambah Kepada keempat, baik, dll.

Perbezaan janjang aritmetik Boleh jadi positif, maka setiap nombor dalam siri itu akan menjadi nyata lebih daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin meningkat. Contohnya:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini setiap nombor diperolehi dengan menambah nombor positif, +5 kepada yang sebelumnya.

Perbezaannya mungkin negatif, maka setiap nombor dalam siri itu akan menjadi kurang daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil (anda tidak akan percaya!) semakin berkurangan.

Contohnya:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini setiap nombor juga diperolehi dengan menambah kepada yang sebelumnya, tetapi sudah menjadi nombor negatif, -5.

Dengan cara ini, apabila bekerja dengan kemajuan, sangat berguna untuk menentukan sifatnya dengan segera - sama ada ia meningkat atau berkurangan. Ini banyak membantu untuk menavigasi keputusan, mengesan kesilapan anda dan membetulkannya sebelum terlambat.

Perbezaan janjang aritmetik biasanya dilambangkan dengan huruf d.

Bagaimana untuk mencari d? Sangat mudah. Ia adalah perlu untuk menolak daripada sebarang nombor dalam siri sebelumnya nombor. Tolak. Dengan cara ini, hasil penolakan dipanggil "perbezaan".)

Mari kita definisikan, sebagai contoh, d untuk meningkatkan janjang aritmetik:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kami mengambil sebarang nombor dalam siri yang kami mahu, sebagai contoh, 11. Kami menolak daripadanya nombor sebelumnya mereka. 8:

Ini adalah jawapan yang betul. Untuk janjang aritmetik ini, perbezaannya ialah tiga.

Anda boleh mengambilnya sebarang nombor kemajuan, kerana untuk perkembangan tertentu d-sentiasa sama. Sekurang-kurangnya di suatu tempat di awal baris, sekurang-kurangnya di tengah, sekurang-kurangnya di mana-mana. Anda tidak boleh mengambil nombor pertama sahaja. Hanya kerana nombor pertama tiada yang sebelumnya.)

By the way, mengetahui itu d=3, mencari nombor ketujuh janjang ini adalah sangat mudah. Mari tambah 3 kepada nombor kelima - kita dapat nombor keenam, ia akan menjadi 17. Mari tambah tiga kepada nombor keenam, kita dapat nombor ketujuh - dua puluh.

Mari kita tentukan d untuk janjang aritmetik menurun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya mengingatkan anda bahawa, tanpa mengira tanda-tanda, untuk menentukan d perlukan dari sebarang nombor ambil yang sebelumnya. Pilih mana-mana nombor kemajuan, contohnya -7. Nombornya sebelum ini ialah -2. Kemudian:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Perbezaan janjang aritmetik boleh menjadi sebarang nombor: integer, pecahan, tidak rasional, sebarang nombor.

Terma dan sebutan lain.

Setiap nombor dalam siri dipanggil ahli janjang aritmetik.

Setiap ahli perkembangan mempunyai nombor sendiri. Nombornya betul-betul teratur, tanpa sebarang helah. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dsb. Sebagai contoh, dalam janjang 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah sebutan pertama, lima adalah kedua, sebelas adalah keempat, baik, anda faham...) Harap faham dengan jelas - nombor itu sendiri boleh menjadi apa-apa sahaja, keseluruhan, pecahan, negatif, apa sahaja, tetapi penomboran nombor- betul-betul teratur!

Bagaimana untuk menulis perkembangan dalam pandangan umum? Tiada soalan! Setiap nombor dalam siri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan janjang aritmetik, huruf biasanya digunakan a. Nombor ahli ditunjukkan oleh indeks di bahagian bawah sebelah kanan. Kami menulis istilah yang dipisahkan dengan koma (atau titik bertitik), seperti ini:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ini adalah nombor pertama, a 3- ketiga, dsb. Tiada yang mewah. Siri ini boleh ditulis secara ringkas seperti ini: (a n).

Kemajuan berlaku terhingga dan tidak terhingga.

muktamad kemajuan mempunyai kuantiti terhad ahli. Lima, tiga puluh lapan, apa sahaja. Tetapi ia adalah nombor terhingga.

tak terhingga perkembangan - mempunyai bilangan ahli yang tidak terhingga, seperti yang anda fikirkan.)

Anda boleh menulis janjang akhir melalui siri seperti ini, semua istilah dan titik pada penghujung:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Atau seperti ini, jika terdapat ramai ahli:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Dalam entri pendek anda perlu menunjukkan bilangan ahli tambahan. Contohnya (untuk dua puluh ahli), seperti ini:

(a n), n = 20

Perkembangan tak terhingga boleh dikenali dengan elipsis di hujung baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.

Kini anda boleh menyelesaikan tugasan. Tugas-tugasnya mudah, semata-mata untuk memahami maksud janjang aritmetik.

Contoh tugas tentang janjang aritmetik.

Mari kita lihat tugas yang diberikan di atas secara terperinci:

1. Tulis enam sebutan pertama janjang aritmetik (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.

Kami menterjemah tugasan ke dalam bahasa yang mudah difahami. Janjang aritmetik tak terhingga diberikan. Nombor kedua perkembangan ini diketahui: a 2 = 5. Perbezaan perkembangan diketahui: d = -2.5. Kita perlu mencari sebutan pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam bagi janjang ini.

Untuk kejelasan, saya akan menulis satu siri mengikut keadaan masalah. Enam sebutan pertama, di mana sebutan kedua ialah lima:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Gantikan kepada ekspresi a 2 = 5 Dan d = -2.5. Jangan lupa tentang tolak!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Penggal ketiga ternyata kurang daripada penggal kedua. Semuanya logik. Jika bilangannya lebih besar daripada yang sebelumnya negatif nilai, yang bermaksud nombor itu sendiri akan kurang daripada yang sebelumnya. Kemajuan semakin berkurangan. Baiklah, mari kita ambil kira.) Kami mengira sebutan keempat siri kami:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, sebutan dari ketiga hingga keenam telah dikira. Hasilnya ialah siri berikut:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Ia kekal untuk mencari penggal pertama a 1 mengikut detik yang terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Jadi, perbezaan janjang aritmetik d tidak boleh ditambah kepada a 2, A bawa pergi:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Itu sahaja. Jawapan tugasan:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Secara sepintas lalu, saya ingin ambil perhatian bahawa kami telah menyelesaikan tugasan ini berulang cara. ini perkataan yang menakutkan hanya bermaksud mencari ahli perkembangan mengikut nombor sebelumnya (bersebelahan). Kami akan melihat cara lain untuk bekerja dengan kemajuan di bawah.

Satu kesimpulan penting boleh dibuat daripada tugasan mudah ini.

Ingat:

Jika kita mengetahui sekurang-kurangnya satu sebutan dan perbezaan janjang aritmetik, kita boleh mencari sebarang sebutan janjang ini.

Adakah anda ingat? Kesimpulan mudah ini membolehkan anda menyelesaikan kebanyakan masalah kursus sekolah mengenai topik ini. Semua tugas berkisar tiga utama parameter: ahli janjang aritmetik, perbezaan janjang, nombor anggota janjang itu. Semua.

Sudah tentu, semua algebra sebelumnya tidak dibatalkan.) Ketaksamaan, persamaan dan perkara lain dilampirkan pada janjang. Tetapi mengikut perkembangan itu sendiri- semuanya berkisar pada tiga parameter.

Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa tugasan popular mengenai topik ini.

2. Tulis janjang aritmetik terhingga sebagai satu siri jika n=5, d = 0.4, dan a 1 = 3.6.

Semuanya mudah di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu ingat bagaimana sebutan janjang aritmetik dikira, mengiranya dan menuliskannya. Adalah dinasihatkan untuk tidak terlepas perkataan dalam syarat tugas: "akhir" dan " n=5". Supaya tidak dikira sehingga anda benar-benar biru di muka.) Terdapat hanya 5 (lima) ahli dalam perkembangan ini:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Ia kekal untuk menulis jawapan:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan sama ada nombor 7 akan menjadi ahli janjang aritmetik (a n), jika a 1 = 4.1; d = 1.2.

Hmm... Siapa tahu? Bagaimana untuk menentukan sesuatu?

Bagaimana-bagaimana... Tuliskan perkembangan dalam bentuk siri dan lihat sama ada akan ada tujuh di sana atau tidak! Kami mengira:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Kini jelas kelihatan bahawa kami baru bertujuh tergelincir antara 6.5 dan 7.7! Tujuh tidak termasuk dalam siri nombor kami, dan, oleh itu, tujuh tidak akan menjadi ahli janjang yang diberikan.

Jawapan: tidak.

Dan inilah masalah berdasarkan versi sebenar GIA:

4. Beberapa sebutan berturut-turut janjang aritmetik ditulis:

...; 15; X; 9; 6; ...

Berikut adalah siri yang ditulis tanpa akhir dan permulaan. Tiada nombor ahli, tiada perbezaan d. Tidak mengapa. Untuk menyelesaikan masalah, cukup memahami maksud janjang aritmetik. Mari lihat dan lihat apa yang mungkin untuk mengetahui dari siri ini? Apakah tiga parameter utama?

Nombor ahli? Tiada satu nombor pun di sini.

Tetapi terdapat tiga nombor dan - perhatian! - perkataan "konsisten" dalam keadaan. Ini bermakna bahawa nombor-nombor itu betul-betul teratur, tanpa jurang. Adakah terdapat dua dalam baris ini? jiran nombor yang diketahui? Ya, saya ada! Ini adalah 9 dan 6. Oleh itu, kita boleh mengira perbezaan janjang aritmetik! Tolak daripada enam sebelumnya nombor, i.e. sembilan:

Ada perkara kecil yang tinggal. Apakah nombor yang akan menjadi nombor sebelumnya untuk X? lima belas. Ini bermakna X boleh didapati dengan mudah dengan penambahan mudah. Tambahkan beza janjang aritmetik kepada 15:

Itu sahaja. Jawapan: x=12

Kami menyelesaikan sendiri masalah berikut. Nota: masalah ini bukan berdasarkan formula. Semata-mata untuk memahami maksud janjang aritmetik.) Kami hanya menulis satu siri nombor dan huruf, melihat dan memikirkannya.

5. Cari sebutan positif pertama janjang aritmetik jika a 5 = -3; d = 1.1.

6. Adalah diketahui bahawa nombor 5.5 adalah ahli janjang aritmetik (a n), di mana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan bilangan n ahli ini.

7. Adalah diketahui bahawa dalam janjang aritmetik a 2 = 4; a 5 = 15.1. Cari 3 .

8. Beberapa sebutan berturut-turut janjang aritmetik ditulis:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Cari sebutan janjang yang ditunjukkan oleh huruf x.

9. Kereta api mula bergerak dari stesen, meningkatkan kelajuan secara seragam sebanyak 30 meter seminit. Berapakah kelajuan kereta api dalam masa lima minit? Berikan jawapan anda dalam km/jam.

10. Adalah diketahui bahawa dalam janjang aritmetik a 2 = 5; a 6 = -5. Cari 1.

Jawapan (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Adakah semuanya berjaya? Hebat! Anda boleh menguasai janjang aritmetik untuk lebih banyak lagi tahap tinggi, dalam pelajaran berikut.

Tidakkah semuanya berjaya? Tiada masalah. Dalam Seksyen Khas 555, semua masalah ini diselesaikan sekeping demi sekeping.) Dan, sudah tentu, teknik praktikal yang mudah diterangkan yang segera menyerlahkan penyelesaian kepada tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, sepintas lalu!

By the way, dalam teka-teki kereta api terdapat dua masalah yang orang sering tersandung. Satu adalah semata-mata dari segi perkembangan, dan yang kedua adalah umum untuk sebarang masalah dalam matematik, dan juga fizik. Ini ialah terjemahan dimensi dari satu ke satu sama lain. Ia menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.

Dalam pelajaran ini kita melihat makna asas janjang aritmetik dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah mengenai topik ini. Tambah d kepada nombor, tulis satu siri, semuanya akan diselesaikan.

Penyelesaian jari berfungsi dengan baik untuk kepingan baris yang sangat pendek, seperti dalam contoh dalam tutorial ini. Jika sirinya lebih panjang, pengiraan menjadi lebih rumit. Sebagai contoh, jika dalam masalah 9 dalam soalan kita ganti "lima minit" pada "tiga puluh lima minit" masalah akan menjadi lebih teruk.)

Dan terdapat juga tugas yang mudah pada dasarnya, tetapi tidak masuk akal dari segi pengiraan, sebagai contoh:

Satu janjang aritmetik (a n) diberikan. Cari 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Jadi apa, adakah kita akan menambah 1/6 banyak, banyak kali?! Awak boleh bunuh diri!?

Anda boleh.) Jika anda tidak tahu formula mudah yang anda boleh menyelesaikan tugasan tersebut dalam satu minit. Formula ini akan ada dalam pelajaran seterusnya. Dan masalah ini diselesaikan di sana. Dalam satu minit.)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Jika bagi setiap nombor asli n sepadan dengan nombor nyata a n , kemudian mereka mengatakan bahawa ia diberikan urutan nombor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan nombor- fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil sebutan pertama bagi urutan itu , nombor a 2 — sebutan kedua bagi urutan itu , nombor a 3 — ketiga dan seterusnya. Nombor a n dipanggil penggal ke- urutan , dan nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua orang ahli yang bersebelahan a n Dan a n +1 ahli urutan a n +1 dipanggil seterusnya (berbanding dengan a n ), A a n — sebelumnya (berbanding dengan a n +1 ).

Untuk menentukan jujukan, anda perlu menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan ditentukan menggunakan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh diberikan oleh formula

a n= 2n- 1,

dan urutan berselang-seli 1 Dan -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli jujukan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , maka tujuh sebutan pertama bagi urutan berangka ditetapkan seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad Dan tidak berkesudahan .

Urutan dipanggil muktamad , jika ia mempunyai bilangan ahli yang terhad. Urutan dipanggil tidak berkesudahan , jika ia mempunyai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

urutan dua digit nombor asli:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan dipanggil semakin meningkat , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan dipanggil semakin berkurangan , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurang apabila bilangan bertambah, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonic, khususnya, ialah jujukan meningkat dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik ialah urutan di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - nombor tertentu.

Oleh itu, perbezaan antara sebutan berikutnya dan sebelumnya bagi janjang aritmetik yang diberikan sentiasa malar:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menentukan janjang aritmetik, cukup untuk menunjukkan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 3, d = 4 , maka kita dapati lima sebutan pertama bagi jujukan seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaannya d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh janjang aritmetik itu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

a n=
a n-1 + a n+1
2

Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c ialah sebutan berturut-turut bagi beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu,

a n+1 + a n-1
=
2n- 5 + 2n- 9
= 2n- 7 = a n,
2
2

◄

Perhatikan bahawa n Sebutan ke-satu janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

Untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

kemudian jelas

a n=
a n-k + a n+k
2

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh jumlah ahli janjang aritmetik ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik kesamaan berikut dipegang:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kerana

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

pertama n sebutan bagi suatu janjang aritmetik adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah sebutan ekstrem dan bilangan sebutan:

Dari sini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika anda perlu menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu janjang aritmetik diberikan, maka kuantitinya a 1 , a n, d, n DanS n dihubungkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini, digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Dalam kes ini:

  • Jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
  • Jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
  • Jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

Janjang geometri ialah urutan di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - nombor tertentu.

Oleh itu, nisbah sebutan berikutnya bagi janjang geometri yang diberikan kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menentukan janjang geometri, cukup untuk menunjukkan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika b 1 = 1, q = -3 , maka kita dapati lima sebutan pertama bagi jujukan seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n Istilah ke-1 boleh didapati menggunakan formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh janjang geometri itu 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelum dan seterusnya.

Oleh kerana sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c ialah sebutan berturut-turut bagi beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua satu daripadanya adalah sama dengan hasil darab dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor itu ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

Mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Oleh itu,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang dikehendaki. ◄

Perhatikan bahawa n Sebutan ke- bagi suatu janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana ahli terdahulu b k , yang mana ia cukup untuk menggunakan formula

b n = b k · qn - k.

Sebagai contoh,

Untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua mana-mana sebutan janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab sebutan yang sama jarak janjang ini.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

dalam janjang geometri

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kerana

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= nb 1

Ambil perhatian bahawa jika anda perlu menjumlahkan syarat

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · 1 - qn - k +1
.
1 - q

Sebagai contoh,

dalam janjang geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu janjang geometri diberi, maka kuantitinya b 1 , b n, q, n Dan S n dihubungkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini, digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebut q berikut berlaku sifat monotoni :

  • perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan q> 1;

b 1 < 0 Dan 0 < q< 1;

  • Kemajuan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 Dan q> 1.

Jika q< 0 , maka janjang geometri itu berselang-seli: sebutannya dengan nombor ganjil mempunyai tanda yang sama dengan sebutan pertamanya, dan sebutan dengan nombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri yang berselang-seli bukanlah monotonik.

Produk pertama n sebutan janjang geometri boleh dikira menggunakan formula:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang 1 , iaitu

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ia sesuai dengan majlis

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga namakan nombor yang menghampiri jumlah yang pertama tanpa had n ahli perkembangan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = b 1
.
1 - q

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara janjang aritmetik dan geometri

Janjang aritmetik dan geometri adalah berkait rapat. Mari kita lihat hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . - janjang aritmetik dengan beza 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - janjang geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - janjang geometri dengan penyebut q , Itu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - janjang aritmetik dengan beza log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . - janjang geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - janjang aritmetik dengan beza lg 6 . ◄

Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu.

Objektif pelajaran:

  • mengembangkan dan mendalami pemahaman pelajar tentang masalah yang diselesaikan menggunakan janjang aritmetik; mengatur aktiviti pencarian pelajar apabila memperoleh formula bagi hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik;
  • membangunkan keupayaan untuk memperoleh pengetahuan baharu secara bebas dan menggunakan pengetahuan yang telah diperoleh untuk mencapai tugas yang diberikan;
  • mengembangkan keinginan dan keperluan untuk menyamaratakan fakta yang diperoleh, mengembangkan kemerdekaan.

Tugasan:

  • meringkaskan dan sistematikkan pengetahuan sedia ada mengenai topik "Janjang aritmetik";
  • terbitkan formula untuk mengira hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik;
  • mengajar cara menggunakan formula yang diperolehi semasa menyelesaikan pelbagai masalah;
  • menarik perhatian pelajar kepada prosedur mencari nilai ungkapan berangka.

peralatan:

  • kad dengan tugas untuk bekerja dalam kumpulan dan berpasangan;
  • lembaran markah;
  • pembentangan"Janjang aritmetik."

I. Pengemaskinian pengetahuan asas.

1. Kerja bebas secara berpasangan.

Pilihan pertama:

Tentukan janjang aritmetik. Tulis formula berulang yang mentakrifkan janjang aritmetik. Sila berikan contoh janjang aritmetik dan nyatakan perbezaannya.

pilihan ke-2:

Tuliskan formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Cari sebutan ke-100 janjang aritmetik ( a n}: 2, 5, 8 …
Pada masa ini, dua pelajar di belakang papan sedang menyediakan jawapan kepada soalan yang sama.
Pelajar menilai hasil kerja pasangan mereka dengan menyemaknya di papan tulis. (Helaian dengan jawapan diserahkan.)

2. Detik permainan.

Tugasan 1.

cikgu. Saya memikirkan beberapa janjang aritmetik. Tanya saya hanya dua soalan supaya selepas jawapan anda boleh menamakan penggal ke-7 janjang ini dengan cepat. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Soalan daripada pelajar.

  1. Apakah sebutan keenam janjang itu dan apakah perbezaannya?
  2. Apakah sebutan kelapan janjang itu dan apakah perbezaannya?

Sekiranya tidak ada lagi soalan, maka guru boleh merangsangnya - "larangan" pada d (perbezaan), iaitu, tidak dibenarkan bertanya apakah perbezaan itu sama. Anda boleh bertanya soalan: apakah sebutan ke-6 bagi janjang itu bersamaan dan apakah sebutan ke-8 janjang itu sama dengan?

Tugasan 2.

Terdapat 20 nombor yang tertulis di papan tulis: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri membelakangi papan. Pelajar memanggil nombor, dan guru serta-merta memanggil nombor itu sendiri. Terangkan bagaimana saya boleh melakukan ini?

Guru mengingati rumus penggal ke-n a n = 3n – 2 dan, menggantikan nilai yang ditentukan n, mencari nilai yang sepadan a n.

II. Menetapkan tugas pembelajaran.

Saya bercadang untuk menyelesaikan masalah purba sejak alaf ke-2 SM, yang terdapat dalam papirus Mesir.

Tugasan:“Hendaklah dikatakan kepadamu: Bagilah 10 takar barli kepada 10 orang, selisih antara setiap orang dengan jirannya ialah 1/8 dari takaran”.

  • Bagaimanakah masalah ini berkaitan dengan janjang aritmetik topik? (Setiap orang seterusnya menerima 1/8 daripada ukuran lebih banyak, yang bermaksud perbezaannya ialah d=1/8, 10 orang, yang bermaksud n=10.)
  • Pada pendapat anda, apakah maksud ukuran nombor 10? (Jumlah semua sebutan janjang.)
  • Apa lagi yang anda perlu tahu untuk memudahkan dan mudah membahagikan barli mengikut keadaan masalah? (Penggal pertama kemajuan.)

Objektif Pelajaran– mendapatkan pergantungan jumlah syarat janjang pada bilangannya, sebutan pertama dan perbezaannya, dan menyemak sama ada masalah itu telah diselesaikan dengan betul pada zaman dahulu.

Sebelum kita menyimpulkan formula, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno menyelesaikan masalah itu.

Dan mereka menyelesaikannya seperti berikut:

1) 10 ukuran: 10 = 1 ukuran – bahagian purata;
2) 1 sukatan ∙ = 2 sukatan – digandakan purata kongsi.
Berganda purata syer ialah jumlah syer orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 sukatan – 1/8 sukatan = 1 7/8 sukatan – dua kali ganda bahagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – pecahan seperlima; dan seterusnya, anda boleh mencari bahagian setiap orang sebelumnya dan seterusnya.

Kami mendapat urutan:

III. Menyelesaikan masalah.

1. Bekerja dalam kumpulan

Kumpulan I: Cari hasil tambah 20 nombor asli berturut-turut: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Secara amnya

Kumpulan II: Cari jumlah nombor asli dari 1 hingga 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Kesimpulan:

Kumpulan III: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 21.

Penyelesaian: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

Kumpulan IV: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 101.

Kesimpulan:

Kaedah menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan ini dipanggil "Kaedah Gauss".

2. Setiap kumpulan membentangkan penyelesaian masalah di papan tulis.

3. Generalisasi penyelesaian yang dicadangkan untuk janjang aritmetik arbitrari:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Mari cari jumlah ini menggunakan alasan yang sama:

4. Adakah kita telah menyelesaikan masalah tersebut?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penggunaan formula yang diperoleh semasa menyelesaikan masalah.

1. Menyemak penyelesaian kepada masalah purba menggunakan formula.

2. Aplikasi formula dalam menyelesaikan pelbagai masalah.

3. Latihan untuk mengembangkan kebolehan menggunakan formula semasa menyelesaikan masalah.

A) No. 613

Diberi: ( a n) - janjang aritmetik;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Cari: S 1500

Penyelesaian: , a 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberi: ( a n) - janjang aritmetik;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Cari: n
Penyelesaian:

V. Kerja bebas dengan pengesahan bersama.

Denis mula bekerja sebagai kurier. Pada bulan pertama gajinya ialah 200 rubel, pada setiap bulan berikutnya ia meningkat sebanyak 30 rubel. Berapakah jumlah pendapatannya dalam setahun?

Diberi: ( a n) - janjang aritmetik;
a 1 = 200, d=30, n=12
Cari: S 12
Penyelesaian:

Jawapan: Denis menerima 4380 rubel untuk tahun ini.

VI. Arahan kerja rumah.

  1. Bahagian 4.3 – pelajari terbitan formula.
  2. №№ 585, 623 .
  3. Cipta satu masalah yang boleh diselesaikan menggunakan formula bagi hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik.

VII. Merumuskan pelajaran.

1. Lembaran markah

2. Sambung ayat

  • Hari ini dalam kelas saya belajar...
  • Formula yang dipelajari...
  • Saya percaya bahawa...

3. Bolehkah anda mencari jumlah nombor dari 1 hingga 500? Apakah kaedah yang akan anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Rujukan.

1. Algebra, darjah 9. Buku teks untuk institusi pendidikan am. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Pencerahan", 2009.


Sebagai contoh, urutan \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... ialah janjang aritmetik, kerana setiap elemen berikutnya berbeza daripada unsur sebelumnya dengan tiga (boleh diperoleh daripada yang sebelumnya dengan menambah tiga):

Dalam janjang ini, perbezaan \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh itu setiap sebutan seterusnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya. Perkembangan sedemikian dipanggil semakin meningkat.

Walau bagaimanapun, \(d\) juga boleh nombor negatif. Contohnya, dalam janjang aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... perbezaan janjang \(d\) adalah sama dengan tolak enam.

Dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya akan menjadi lebih kecil daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin berkurangan.

tatatanda janjang aritmetik

Kemajuan ditunjukkan oleh huruf Latin kecil.

Nombor yang membentuk janjang dipanggil ahli(atau unsur-unsur).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan janjang aritmetik, tetapi dengan indeks berangka yang sama dengan bilangan elemen dalam susunan.

Sebagai contoh, janjang aritmetik \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri daripada unsur \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dalam erti kata lain, untuk janjang \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Menyelesaikan masalah janjang aritmetik

Pada dasarnya, maklumat yang dibentangkan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah janjang aritmetik (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh keadaan \(b_1=7; d=4\). Cari \(b_5\).
Penyelesaian:

Jawapan: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberikan: \(62; 49; 36…\) Cari nilai sebutan negatif pertama janjang ini..
Penyelesaian:

Kami diberi elemen pertama jujukan dan mengetahui bahawa ia adalah janjang aritmetik. Iaitu, setiap elemen berbeza daripada jirannya dengan nombor yang sama. Mari kita ketahui yang mana satu dengan menolak yang sebelumnya daripada elemen seterusnya: \(d=49-62=-13\).

Sekarang kita boleh memulihkan perkembangan kita kepada elemen (negatif pertama) yang kita perlukan.

sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: \(-3\)

Contoh (OGE). Diberi beberapa unsur berturutan bagi janjang aritmetik: \(…5; x; 10; 12.5...\) Cari nilai unsur yang ditetapkan oleh huruf \(x\).
Penyelesaian:


Untuk mencari \(x\), kita perlu tahu berapa banyak perbezaan elemen seterusnya daripada yang sebelumnya, dengan kata lain, perbezaan janjang. Mari cari daripada dua unsur jiran yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).

Dan kini kita boleh mencari dengan mudah apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\).


sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: \(7,5\).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditakrifkan oleh keadaan berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Cari hasil tambah enam sebutan pertama janjang ini.
Penyelesaian:

Kita perlu mencari jumlah enam sebutan pertama janjang itu. Tetapi kita tidak tahu maknanya; kita hanya diberikan unsur pertama. Oleh itu, kita mula-mula mengira nilai satu demi satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Dan setelah mengira enam elemen yang kita perlukan, kita dapati jumlahnya.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang diperlukan telah ditemui.

Jawapan: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam janjang aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Cari perbezaan janjang ini.
Penyelesaian:

Jawapan: \(d=7\).

Formula penting untuk janjang aritmetik

Seperti yang anda lihat, banyak masalah mengenai janjang aritmetik boleh diselesaikan hanya dengan memahami perkara utama - bahawa janjang aritmetik ialah rantai nombor, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambah nombor yang sama kepada yang sebelumnya ( perbezaan perkembangan).

Walau bagaimanapun, kadangkala terdapat situasi apabila membuat keputusan "head-on" adalah sangat menyusahkan. Sebagai contoh, bayangkan bahawa dalam contoh pertama kita perlu mencari bukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus lapan puluh enam \(b_(386)\). Patutkah kita menambah empat \(385\) kali? Atau bayangkan bahawa dalam contoh terakhir anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan penat mengira...

Oleh itu, dalam kes sedemikian, mereka tidak menyelesaikan perkara "secara langsung", tetapi menggunakan formula khas yang diperoleh untuk janjang aritmetik. Dan yang utama ialah formula untuk sebutan ke-n bagi janjang dan formula untuk jumlah \(n\) sebutan pertama.

Formula bagi \(n\) sebutan ke: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) ialah sebutan pertama janjang;
\(n\) – nombor elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – sebutan janjang dengan nombor \(n\).


Formula ini membolehkan kita mencari dengan cepat walaupun elemen tiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbezaan janjang.

Contoh. Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Cari \(b_(246)\).
Penyelesaian:

Jawapan: \(b_(246)=1850\).

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana



\(a_n\) – sebutan terakhir yang dijumlahkan;


Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh keadaan \(a_n=3.4n-0.6\). Cari hasil tambah bagi sebutan \(25\) pertama bagi janjang ini.
Penyelesaian:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Untuk mengira jumlah bagi dua puluh lima sebutan pertama, kita perlu mengetahui nilai sebutan pertama dan dua puluh lima.
Kemajuan kami diberikan oleh formula sebutan ke-n bergantung pada bilangannya (untuk butiran lanjut, lihat). Mari kita hitung elemen pertama dengan menggantikan satu untuk \(n\).

\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)

Sekarang mari kita cari sebutan kedua puluh lima dengan menggantikan dua puluh lima bukannya \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)

Nah, sekarang kita boleh mengira jumlah yang diperlukan dengan mudah.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) sebutan pertama, anda boleh mendapatkan formula lain: anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) bukannya \(a_n\) gantikan formula untuknya \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kami mendapat:

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan bagi \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – sebutan penjumlahan pertama;
\(d\) – perbezaan janjang;
\(n\) – bilangan elemen secara keseluruhan.

Contoh. Cari hasil tambah bagi sebutan \(33\)-ex pertama bagi janjang aritmetik: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Penyelesaian:

Jawapan: \(S_(33)=-231\).

Masalah janjang aritmetik yang lebih kompleks

Kini anda mempunyai semua maklumat yang anda perlukan untuk menyelesaikan hampir semua masalah janjang aritmetik. Mari kita selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana anda bukan sahaja perlu menggunakan formula, tetapi juga berfikir sedikit (dalam matematik ini boleh berguna ☺)

Contoh (OGE). Cari hasil tambah semua sebutan negatif janjang itu: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Penyelesaian:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Tugas ini sangat serupa dengan yang sebelumnya. Kita mula menyelesaikan perkara yang sama: mula-mula kita dapati \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

Sekarang kami ingin menggantikan \(d\) ke dalam formula untuk jumlah... dan di sini satu nuansa kecil muncul - kami tidak tahu \(n\). Dalam erti kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambah. Bagaimana untuk mengetahui? Mari kita fikirkan. Kami akan berhenti menambah elemen apabila kami mencapai elemen positif pertama. Iaitu, anda perlu mengetahui bilangan elemen ini. Bagaimana? Mari tuliskan formula untuk mengira mana-mana unsur janjang aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kes kami.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)

Kita memerlukan \(a_n\) untuk menjadi lebih besar daripada sifar. Mari kita ketahui apa \(n\) ini akan berlaku.

\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)

\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)

Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan \(0.3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Kami memindahkan tolak satu, tidak lupa untuk menukar tanda-tanda

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Jom kira...

\(n>65,333…\)

...dan ternyata unsur positif pertama akan mempunyai nombor \(66\). Oleh itu, yang terakhir negatif mempunyai \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita semak ini.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)

Jadi kita perlu menambah elemen \(65\) pertama.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)

Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: \(S_(65)=-630.5\).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari jumlah dari \(26\)th hingga \(42\) elemen inklusif.
Penyelesaian:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Dalam masalah ini anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi bukan bermula dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Untuk kes sedemikian kami tidak mempunyai formula. Bagaimana untuk membuat keputusan?
Mudah sahaja - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th hingga \(42\)th, anda mesti mencari jumlah dari \(1\)th hingga \(42\)th, dan kemudian tolak daripadanya jumlah dari pertama hingga \(25\)th (lihat gambar).


Untuk perkembangan kami \(a_1=-33\), dan perbezaan \(d=4\) (lagipun, empat yang kami tambahkan pada elemen sebelumnya untuk mencari yang seterusnya). Mengetahui ini, kita dapati jumlah unsur \(42\)-y yang pertama.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Sekarang jumlah unsur \(25\) pertama.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Dan akhirnya, kami mengira jawapannya.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Jawapan: \(S=1683\).

Untuk janjang aritmetik, terdapat beberapa lagi formula yang tidak kami pertimbangkan dalam artikel ini kerana kegunaan praktikalnya yang rendah. Walau bagaimanapun, anda boleh mencari mereka dengan mudah.