Rumah / Ovulasi/ Logaritma: contoh dan penyelesaian. LN dan LOG berfungsi untuk mengira logaritma asli dalam EXCEL

Logaritma: contoh dan penyelesaian. LN dan LOG berfungsi untuk mengira logaritma asli dalam EXCEL

Logaritma nombor positif b kepada asas a (a>0, a tidak sama dengan 1) ialah nombor c supaya a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Ambil perhatian bahawa logaritma nombor bukan positif tidak ditentukan. Di samping itu, asas logaritma mestilah nombor positif, tidak sama dengan 1. Sebagai contoh, jika kita kuasa dua -2, kita mendapat nombor 4, tetapi ini tidak bermakna logaritma kepada asas -2 daripada 4 adalah sama dengan 2.

Identiti logaritma asas

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Adalah penting bahawa skop definisi bahagian kanan dan kiri formula ini adalah berbeza. Bahagian kiri ditakrifkan hanya untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Bahagian kanan ditakrifkan untuk mana-mana b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Oleh itu, penggunaan "identiti" logaritma asas apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan boleh membawa kepada perubahan dalam OD.

Dua akibat yang jelas dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Sesungguhnya, apabila menaikkan nombor a kepada kuasa pertama, kita mendapat nombor yang sama, dan apabila menaikkannya kepada kuasa pertama darjah sifar- satu.

Logaritma hasil darab dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memberi amaran kepada pelajar sekolah supaya tidak menggunakan formula ini secara tidak sengaja semasa menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan. Apabila menggunakannya "dari kiri ke kanan," ODZ mengecil, dan apabila bergerak dari jumlah atau perbezaan logaritma ke logaritma hasil atau hasil, ODZ mengembang.

Sesungguhnya, ungkapan log a (f (x) g (x)) ditakrifkan dalam dua kes: apabila kedua-dua fungsi adalah positif atau apabila f(x) dan g(x) kedua-duanya kurang daripada sifar.

Mengubah ungkapan ini kepada log jumlah a f (x) + log a g (x), kita terpaksa mengehadkan diri kita hanya kepada kes apabila f(x)>0 dan g(x)>0. Terdapat penyempitan julat nilai yang boleh diterima, dan ini secara kategorinya tidak boleh diterima, kerana ia boleh menyebabkan kehilangan penyelesaian. Masalah yang sama wujud untuk formula (6).

Darjah boleh diambil daripada tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta ketepatan. Pertimbangkan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Bahagian kiri kesamaan jelas ditakrifkan untuk semua nilai f(x) kecuali sifar. Bahagian kanan hanya untuk f(x)>0! Dengan mengeluarkan darjah daripada logaritma, kami sekali lagi mengecilkan ODZ. Prosedur sebaliknya membawa kepada pengembangan julat nilai yang boleh diterima. Semua kenyataan ini terpakai bukan sahaja untuk kuasa 2, tetapi juga untuk mana-mana kuasa genap.

Formula untuk berpindah ke asas baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Kes yang jarang berlaku apabila ODZ tidak berubah semasa transformasi. Jika anda telah memilih asas c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), formula untuk berpindah ke pangkalan baharu adalah selamat sepenuhnya.

Jika kita memilih nombor b sebagai asas baru c, kita memperoleh satu kes khas yang penting bagi formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Beberapa contoh mudah dengan logaritma

Contoh 1. Kira: log2 + log50.
Penyelesaian. log2 + log50 = log100 = 2. Kami menggunakan jumlah formula logaritma (5) dan takrifan logaritma perpuluhan.

Contoh 2. Kira: lg125/lg5.
Penyelesaian. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan formula untuk berpindah ke pangkalan baharu (8).

Jadual rumus berkaitan logaritma

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Logaritma semula jadi

Graf fungsi logaritma semula jadi. Fungsi perlahan-lahan menghampiri infiniti positif apabila ia meningkat x dan cepat menghampiri infiniti negatif apabila x cenderung kepada 0 (“lambat” dan “cepat” berbanding dengan mana-mana fungsi kuasa x).

Logaritma semula jadi ialah logaritma kepada asas , Di mana e- pemalar tidak rasional sama dengan lebih kurang 2.718281 828. Logaritma asli biasanya ditulis sebagai ln( x), log e (x) atau kadangkala hanya log( x), jika asas e tersirat.

Logaritma asli bagi suatu nombor x(ditulis sebagai ln(x)) ialah eksponen yang nombor itu mesti dinaikkan e untuk mendapatkan x. Sebagai contoh, ln(7,389...) sama dengan 2 kerana e 2 =7,389... . Logaritma asli bagi nombor itu sendiri e (ln(e)) adalah sama dengan 1 kerana e 1 = e, dan logaritma asli ialah 1 ( ln(1)) adalah sama dengan 0 kerana e 0 = 1.

Logaritma asli boleh ditakrifkan untuk sebarang nombor nyata positif a sebagai kawasan di bawah lengkung y = 1/x dari 1 hingga a. Kesederhanaan definisi ini, yang konsisten dengan banyak formula lain yang menggunakan logaritma asli, membawa kepada nama "semula jadi". Takrifan ini boleh diperluaskan kepada nombor kompleks, seperti yang dibincangkan di bawah.

Jika kita menganggap logaritma asli sebagai fungsi sebenar pembolehubah nyata, maka ia adalah fungsi songsang bagi fungsi eksponen, yang membawa kepada identiti:

Seperti semua logaritma, logaritma asli memetakan pendaraban kepada penambahan:

Oleh itu, fungsi logaritma ialah isomorfisme kumpulan nombor nyata positif berkenaan dengan pendaraban dengan kumpulan nombor nyata berkenaan dengan penambahan, yang boleh diwakili sebagai fungsi:

Logaritma boleh ditakrifkan untuk sebarang asas positif selain daripada 1, bukan sahaja e, tetapi logaritma untuk asas lain berbeza daripada logaritma asli hanya dengan faktor malar, dan biasanya ditakrifkan dari segi logaritma asli. Logaritma berguna untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan tidak diketahui sebagai eksponen. Sebagai contoh, logaritma digunakan untuk mencari pemalar pereputan untuk separuh hayat yang diketahui, atau untuk mencari masa pereputan dalam menyelesaikan masalah radioaktiviti. Mereka sedang bermain peranan penting dalam banyak bidang matematik dan sains gunaan, digunakan dalam kewangan untuk menyelesaikan banyak masalah, termasuk mencari faedah kompaun.

cerita

Sebutan pertama logaritma semula jadi telah dibuat oleh Nicholas Mercator dalam karyanya Logaritmoteknik, diterbitkan pada tahun 1668, walaupun guru matematik John Spidell menyusun jadual logaritma semula jadi pada tahun 1619. Ia sebelum ini dipanggil logaritma hiperbolik kerana ia sepadan dengan kawasan di bawah hiperbola. Ia kadangkala dipanggil logaritma Napier, walaupun makna asal istilah ini agak berbeza.

Konvensyen penetapan

Logaritma asli biasanya dilambangkan dengan “ln( x)", logaritma kepada asas 10 - melalui "lg( x)", dan sebab lain biasanya ditunjukkan secara eksplisit dengan simbol "log".

Dalam banyak karya mengenai matematik diskret, sibernetik dan sains komputer, pengarang menggunakan tatatanda “log( x)" untuk logaritma kepada asas 2, tetapi konvensyen ini tidak diterima umum dan memerlukan penjelasan sama ada dalam senarai tatatanda yang digunakan atau (sekiranya tiada senarai sedemikian) dengan nota kaki atau ulasan apabila pertama kali digunakan.

Tanda kurung di sekitar hujah logaritma (jika ini tidak membawa kepada bacaan formula yang salah) biasanya ditinggalkan, dan apabila menaikkan logaritma kepada kuasa, eksponen ditugaskan terus kepada tanda logaritma: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistem Inggeris-Amerika

Ahli matematik, ahli statistik dan beberapa jurutera biasanya menggunakan untuk menandakan logaritma asli atau “log( x)" atau "ln( x)", dan untuk menandakan logaritma asas 10 - "log 10 ( x)».

Sesetengah jurutera, ahli biologi dan pakar lain sentiasa menulis “ln( x)" (atau kadangkala "log e ( x)") apabila mereka bermaksud logaritma semula jadi, dan tatatanda "log( x)" maksudnya log 10 ( x).

log e ialah logaritma "semula jadi" kerana ia berlaku secara automatik dan sering muncul dalam matematik. Sebagai contoh, pertimbangkan masalah terbitan bagi fungsi logaritma:

Jika asas b sama e, maka terbitannya ialah 1/ x, dan bila x= 1 terbitan ini bersamaan dengan 1. Satu lagi sebab mengapa asas e Perkara yang paling biasa tentang logaritma ialah ia boleh ditakrifkan secara ringkas dari segi kamiran mudah atau siri Taylor, yang tidak boleh dikatakan tentang logaritma lain.

Justifikasi lanjut untuk naturalness tidak berkaitan dengan notasi. Sebagai contoh, terdapat beberapa siri mudah dengan logaritma semula jadi. Pietro Mengoli dan Nicholas Mercator memanggil mereka logaritmus naturalis beberapa dekad sehingga Newton dan Leibniz membangunkan kalkulus pembezaan dan kamiran.

Definisi

Secara rasmi ln( a) boleh ditakrifkan sebagai kawasan di bawah lengkung graf 1/ x dari 1 hingga a, iaitu sebagai integral:

Ini sememangnya logaritma kerana ia memuaskan harta asasi logaritma:

Ini boleh ditunjukkan dengan membenarkan seperti berikut:

Nilai berangka

Untuk mengira nilai berangka logaritma asli nombor, anda boleh menggunakan pengembangan siri Taylornya dalam bentuk:

Untuk mendapatkan kelajuan yang lebih baik penumpuan, kita boleh menggunakan identiti berikut:

dengan syarat itu y = (x−1)/(x+1) dan x > 0.

Untuk ln( x), Di mana x> 1, semakin hampir nilainya x kepada 1, kemudian kelajuan lebih pantas penumpuan. Identiti yang berkaitan dengan logaritma boleh digunakan untuk mencapai matlamat:

Kaedah ini telah digunakan walaupun sebelum kemunculan kalkulator, yang mana jadual berangka telah digunakan dan manipulasi yang serupa dengan yang diterangkan di atas telah dilakukan.

Ketepatan yang tinggi

Untuk pengiraan logaritma asli dengan bilangan digit ketepatan yang besar, siri Taylor tidak cekap kerana penumpuannya perlahan. Alternatifnya ialah menggunakan kaedah Newton untuk menyongsangkan ke dalam fungsi eksponen yang sirinya menumpu dengan lebih cepat.

Alternatif untuk ketepatan pengiraan yang sangat tinggi ialah formula:

di mana M menandakan purata aritmetik-geometri 1 dan 4/s, dan

m dipilih supaya hlm markah ketepatan dicapai. (Dalam kebanyakan kes, nilai 8 untuk m adalah mencukupi.) Malah, jika kaedah ini digunakan, songsangan Newton bagi logaritma asli boleh digunakan untuk mengira fungsi eksponen dengan cekap. (Pemalar ln 2 dan pi boleh dikira terlebih dahulu mengikut ketepatan yang diingini menggunakan mana-mana siri penumpuan cepat yang diketahui.)

Kerumitan pengiraan

Kerumitan pengiraan logaritma semula jadi (menggunakan min aritmetik-geometrik) ialah O( M(n)ln n). Di sini n ialah bilangan digit ketepatan yang mana logaritma asli mesti dinilai, dan M(n) ialah kerumitan pengiraan untuk mendarab dua n-digit nombor.

pecahan bersambung

Walaupun tidak ada pecahan berterusan mudah untuk mewakili logaritma, beberapa pecahan berterusan umum boleh digunakan, termasuk:

Logaritma kompleks

Fungsi eksponen boleh dilanjutkan kepada fungsi yang memberikan nombor kompleks bentuk e x untuk sebarang nombor kompleks arbitrari x, dalam kes ini siri tak terhingga dengan kompleks x. ini fungsi eksponen boleh diterbalikkan untuk membentuk logaritma kompleks, yang akan mempunyai kebanyakan sifat logaritma biasa. Walau bagaimanapun, terdapat dua kesukaran: tidak ada x, yang mana e x= 0, dan ternyata itu e 2πi = 1 = e 0 . Oleh kerana sifat multiplikativiti adalah sah untuk fungsi eksponen yang kompleks, maka e z = e z+2nπi untuk semua kompleks z dan keseluruhan n.

Logaritma tidak boleh ditakrifkan ke atas keseluruhan satah kompleks, dan walaupun begitu ia berbilang nilai - sebarang logaritma kompleks boleh digantikan dengan logaritma "setara" dengan menambah sebarang gandaan integer 2 πi. Logaritma kompleks hanya boleh dinilai tunggal pada sekeping satah kompleks. Contohnya, ln i = 1/2 πi atau 5/2 πi atau −3/2 πi, dsb., dan walaupun i 4 = 1.4 log i boleh ditakrifkan sebagai 2 πi, atau 10 πi atau −6 πi, dan seterusnya.

Lihat juga

John Napier - pencipta logaritma

Nota

Matematik untuk kimia fizikal. - ke-3. - Akhbar Akademik, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Petikan muka surat 9
JJ O"Connor dan EF Robertson Nombor e. Arkib Sejarah Matematik MacTutor (September 2001). Diarkibkan
Cajori Florian A History of Mathematics, ed ke-5. - Kedai Buku AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Menganggar Kamiran menggunakan Polinomial. Diarkibkan daripada yang asal pada 12 Februari 2012.

sering mengambil nombor e = 2,718281828 . Logaritma berdasarkan asas ini dipanggil semula jadi. Apabila melakukan pengiraan dengan logaritma semula jadi, ia adalah perkara biasa untuk beroperasi dengan tanda ln, bukan log; manakala nombor 2,718281828 , menentukan asas, tidak ditunjukkan.

Dengan kata lain, rumusan akan kelihatan seperti: logaritma semula jadi nombor X- ini ialah eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan e untuk mendapatkan x.

Jadi, ln(7,389...)= 2, sejak e 2 =7,389... . Logaritma asli bagi nombor itu sendiri e= 1 kerana e 1 =e, dan logaritma semula jadi bagi perpaduan ialah sifar, kerana e 0 = 1.

Nombor itu sendiri e mentakrifkan had jujukan terikat monoton

dikira begitu e = 2,7182818284... .

Selalunya, untuk menetapkan nombor dalam ingatan, digit nombor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tarikh tertunggak. Kelajuan menghafal sembilan digit pertama nombor e selepas titik perpuluhan akan meningkat jika anda perasan bahawa 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!

Hari ini terdapat jadual logaritma semula jadi yang cukup lengkap.

Graf logaritma semula jadi(fungsi y =ln x) ialah akibat daripada graf eksponen menjadi imej cermin bagi garis lurus y = x dan mempunyai bentuk:

Logaritma asli boleh didapati untuk setiap nombor nyata positif a sebagai kawasan di bawah lengkung y = 1/x daripada 1 kepada a.

Sifat asas rumusan ini, yang konsisten dengan banyak formula lain di mana logaritma asli terlibat, adalah sebab pembentukan nama "semula jadi".

Jika anda menganalisis logaritma semula jadi, sebagai fungsi sebenar pembolehubah sebenar, maka ia bertindak fungsi songsang kepada fungsi eksponen, yang mengurangkan kepada identiti:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma asli menukarkan pendaraban kepada penambahan, pembahagian kepada penolakan:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritma boleh didapati untuk setiap asas positif yang tidak sama dengan satu, bukan hanya untuk e, tetapi logaritma untuk asas lain berbeza daripada logaritma asli hanya dengan faktor malar, dan biasanya ditakrifkan dari segi logaritma asli.

Setelah menganalisis graf logaritma semula jadi, kita dapati bahawa ia wujud untuk nilai positif pembolehubah x. Ia meningkat secara monotoni dalam domain definisinya.

Pada x → 0 had logaritma asli ialah tolak infiniti ( -∞ ).Pada x → +∞ had logaritma asli ialah campur infiniti ( + ∞ ). Pada umumnya x Logaritma meningkat agak perlahan. Mana-mana fungsi kuasa xa dengan eksponen positif a meningkat lebih cepat daripada logaritma. Logaritma semula jadi ialah fungsi yang meningkat secara monoton, jadi ia tidak mempunyai ekstrem.

Penggunaan logaritma semula jadi sangat rasional apabila lulus matematik yang lebih tinggi. Oleh itu, menggunakan logaritma adalah mudah untuk mencari jawapan kepada persamaan di mana tidak diketahui muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma semula jadi dalam pengiraan memungkinkan untuk sangat memudahkan bilangan yang besar formula matematik. Logaritma kepada pangkalan e hadir dalam menyelesaikan sejumlah besar masalah fizikal dan secara semula jadi termasuk dalam huraian matematik bagi kimia individu, biologi dan proses lain. Oleh itu, logaritma digunakan untuk mengira pemalar pereputan untuk separuh hayat yang diketahui, atau untuk mengira masa pereputan dalam menyelesaikan masalah radioaktiviti. Mereka membuat persembahan dalam peranan utama dalam banyak cabang matematik dan sains praktikal, mereka digunakan dalam bidang kewangan untuk menyelesaikannya bilangan yang besar tugas, termasuk pengiraan faedah kompaun.

Logaritma semula jadi ialah logaritma kepada asas , Di mana e (\gaya paparan e)- pemalar tidak rasional sama dengan lebih kurang 2.72. Ia dilambangkan sebagai ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) atau kadang-kadang sahaja log ⁡ x (\displaystyle \log x), jika asas e (\gaya paparan e) tersirat . Dalam erti kata lain, logaritma asli sesuatu nombor x- ini ialah eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan e untuk mendapatkan x. Takrifan ini boleh diperluaskan kepada nombor kompleks.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), kerana e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), kerana e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Logaritma asli juga boleh ditakrifkan secara geometri untuk sebarang nombor nyata positif a sebagai kawasan di bawah lengkung y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) di antara [ 1 ; a ] (\displaystyle ). Kesederhanaan definisi ini, yang konsisten dengan banyak formula lain yang menggunakan logaritma ini, menerangkan asal usul nama "semula jadi".

Jika kita menganggap logaritma asli sebagai fungsi sebenar pembolehubah sebenar, maka ia adalah fungsi songsang bagi fungsi eksponen, yang membawa kepada identiti:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Seperti semua logaritma, logaritma asli memetakan pendaraban kepada penambahan:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b *a c = a b+c). Undang-undang matematik ini diterbitkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual eksponen integer. Merekalah yang berkhidmat untuk penemuan logaritma selanjutnya. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana perlu untuk memudahkan pendaraban yang rumit dengan penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Dalam bahasa yang mudah dan mudah diakses.

Definisi dalam matematik

Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log a b=c, iaitu, logaritma sebarang nombor bukan negatif (iaitu, sebarang positif) “b” kepada asasnya “a” dianggap sebagai kuasa “c ” yang mana asas “a” mesti dinaikkan untuk akhirnya mendapat nilai "b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari kuasa supaya dari 2 kepada kuasa yang diperlukan anda mendapat 8. Selepas melakukan beberapa pengiraan dalam kepala anda, kami mendapat nombor 3! Dan itu benar, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan jawapan sebagai 8.

Jenis-jenis logaritma

Bagi kebanyakan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Terdapat tiga jenis ungkapan logaritma yang berasingan:

Logaritma asli ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e = 2.7).
Perpuluhan a, dengan asasnya ialah 10.
Logaritma sebarang nombor b kepada asas a>1.

Setiap daripada mereka diputuskan dengan cara yang standard, yang merangkumi penyederhanaan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, anda harus ingat sifatnya dan urutan tindakan apabila menyelesaikannya.

Peraturan dan beberapa sekatan

Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-kekangan yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak tertakluk kepada perbincangan dan merupakan kebenaran. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengekstrak punca genap daripadanya nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturannya sendiri, yang berikut anda boleh belajar bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:

Asas "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
jika a > 0, kemudian a b >0, ternyata “c” juga mestilah lebih besar daripada sifar.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Sebagai contoh, tugasan diberikan untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x = 100. Ini sangat mudah, anda perlu memilih kuasa dengan menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita wakili ungkapan ini dalam bentuk logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikalnya menumpu untuk mencari kuasa yang diperlukan untuk memasukkan asas logaritma untuk mendapatkan nombor yang diberikan.

Untuk menentukan nilai ijazah yang tidak diketahui dengan tepat, anda perlu belajar cara bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai minda teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun, untuk nilai yang lebih besar anda memerlukan jadual kuasa. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematik yang kompleks. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c yang nombor a dinaikkan. Di persimpangan, sel mengandungi nilai nombor yang merupakan jawapan (a c =b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling benar akan faham!

Persamaan dan ketaksamaan

Ternyata dalam keadaan tertentu eksponen adalah logaritma. Oleh itu, sebarang ungkapan berangka matematik boleh ditulis sebagai kesamaan logaritma. Sebagai contoh, 3 4 =81 boleh ditulis sebagai asas 3 logaritma 81 bersamaan dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan melihat contoh dan penyelesaian persamaan di bawah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.

Ungkapan berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan dua kuantiti dibandingkan: logaritma nombor yang dikehendaki kepada asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.

Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih jawapan khusus. nilai berangka, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan, kedua-dua julat nilai yang dibenarkan dan titik putus fungsi ini ditentukan. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan kepada persamaan, tetapi siri berterusan atau set nombor.

Teorem asas tentang logaritma

Apabila menyelesaikan tugas primitif mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan melihat contoh persamaan kemudian; mari kita lihat setiap sifat dengan lebih terperinci.

Identiti utama kelihatan seperti ini: a logaB =B. Ia terpakai hanya apabila a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini prasyarat ialah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, kemudian a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kami memperoleh bahawa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat bagi darjah ), dan kemudian mengikut takrifan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, iaitu apa yang perlu dibuktikan.
Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorem dalam bentuk formula mengambil bentuk berikut: log a q b n = n/q log a b.

Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma." Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik adalah berdasarkan postulat semula jadi. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b = t, ternyata a t =b. Jika kita menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n ;

tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt/q = b n, oleh itu log a q b n = (n*t)/t, kemudian log a q b n = n/q log a b. Teorem telah terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksamaan

Jenis masalah yang paling biasa pada logaritma ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Ia ditemui dalam hampir semua buku masalah, dan juga merupakan bahagian yang diperlukan dalam peperiksaan matematik. Untuk memasuki universiti atau lulus peperiksaan masuk dalam matematik, anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas tersebut dengan betul.

Malangnya, tiada pelan atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, tetapi peraturan tertentu boleh digunakan untuk setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau membawa kepada penampilan umum. Permudahkan yang panjang ungkapan logaritma mungkin jika anda menggunakan sifatnya dengan betul. Jom kenali mereka dengan cepat.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, kita mesti menentukan jenis logaritma yang kita ada: ungkapan contoh mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa mereka perlu menentukan kuasa yang mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma semula jadi, anda perlu memohon identiti logaritma atau harta mereka. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma pelbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Penyelesaian

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem asas tentang logaritma.

Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan yang perlu dikembangkan nilai hebat nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat kuasa logaritma, kami berjaya menyelesaikan ungkapan yang kelihatan rumit dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan asas dan kemudian mengambil nilai eksponen daripada tanda logaritma.

Tugasan daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu

Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu (peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya, tugasan ini hadir bukan sahaja dalam bahagian A (bahagian ujian paling mudah dalam peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling kompleks dan banyak). Peperiksaan memerlukan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".

Contoh dan penyelesaian kepada masalah diambil dari rasmi Pilihan Peperiksaan Negeri Bersatu. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.

Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis semula ungkapan, permudahkan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan takrif logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4, oleh itu 2x = 17; x = 8.5.

Adalah lebih baik untuk mengurangkan semua logaritma kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila eksponen ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai tapaknya diambil sebagai pengganda, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.