Definisi logaritma, identiti logaritma asas. Apakah logaritma? Menyelesaikan logaritma

Fokus artikel ini ialah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan tatatanda yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan bercakap tentang logaritma asli dan perpuluhan. Selepas itu, mari kita lihat yang utama identiti logaritma.

Navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma timbul apabila menyelesaikan masalah dalam erti kata tertentu songsang, apabila anda perlu mencari eksponen dalam nilai yang diketahui ijazah dan asas yang diketahui.

Tetapi cukup mukaddimah, sudah tiba masanya untuk menjawab soalan "apa itu logaritma"? Mari kita berikan definisi yang sepadan.

Definisi.

Logaritma b kepada asas a, di mana a>0, a≠1 dan b>0 ialah eksponen yang anda perlukan untuk menaikkan nombor a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada peringkat ini, kami perhatikan bahawa perkataan "logaritma" yang dituturkan harus segera menimbulkan dua soalan susulan: "nombor apa" dan "atas asas apa." Dalam erti kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya logaritma nombor kepada beberapa asas.

Jom masuk segera tatatanda logaritma: logaritma nombor b hingga asas a biasanya dilambangkan sebagai log a b. Logaritma nombor b kepada asas e dan logaritma kepada asas 10 mempunyai sebutan khas mereka sendiri lnb dan logb, iaitu, mereka menulis bukan log e b, tetapi lnb, dan bukan log 10 b, tetapi lgb.

Kini kami boleh berikan: .
Dan rekod tidak masuk akal, kerana dalam yang pertama di bawah tanda logaritma ada nombor negatif, pada yang kedua terdapat nombor negatif dalam pangkalan, dan pada yang ketiga terdapat nombor negatif di bawah tanda logaritma dan unit dalam pangkalan.

Sekarang mari kita bercakap tentang peraturan untuk membaca logaritma. Log a b dibaca sebagai "logaritma b kepada asas a". Sebagai contoh, log 2 3 ialah logaritma tiga kepada asas 2, dan ialah logaritma dua titik dua pertiga kepada asas 2 punca kuasa dua daripada lima. Logaritma kepada asas e dipanggil logaritma semula jadi, dan notasi lnb berbunyi "logaritma semula jadi b". Sebagai contoh, ln7 ialah logaritma asli bagi tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma asli bagi pi. Logaritma asas 10 juga mempunyai nama khas - logaritma perpuluhan, dan lgb dibaca sebagai "logaritma perpuluhan b". Sebagai contoh, lg1 ialah logaritma perpuluhan bagi satu, dan lg2.75 ialah logaritma perpuluhan bagi dua koma tujuh lima perseratus.

Perlu diingat secara berasingan pada syarat a>0, a≠1 dan b>0, di mana takrif logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana datangnya sekatan ini. Kesamaan bentuk yang dipanggil , yang secara langsung mengikuti daripada takrifan logaritma yang diberikan di atas, akan membantu kita melakukan ini.

Mari kita mulakan dengan a≠1. Oleh kerana satu kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan satu, kesamaan hanya boleh benar apabila b=1, tetapi log 1 1 boleh menjadi sebarang nombor nyata. Untuk mengelakkan kekaburan ini, a≠1 diandaikan.

Marilah kita mewajarkan kesesuaian syarat a>0. Dengan a=0, mengikut takrifan logaritma, kita akan mempunyai kesamaan yang hanya mungkin dengan b=0. Tetapi kemudian log 0 0 boleh menjadi sebarang nombor nyata bukan sifar, kerana sifar kepada mana-mana kuasa bukan sifar ialah sifar. Keadaan a≠0 membolehkan kita mengelakkan kekaburan ini. Dan apabila a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhir sekali, keadaan b>0 mengikuti daripada ketaksamaan a>0, sejak , dan nilai kuasa dengan asas positif a sentiasa positif.

Untuk menyimpulkan perkara ini, katakan bahawa takrifan logaritma yang dinyatakan membolehkan anda segera menunjukkan nilai logaritma apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah kuasa tertentu asas. Sesungguhnya, takrifan logaritma membolehkan kita menyatakan bahawa jika b=a p, maka logaritma nombor b kepada asas a adalah sama dengan p. Iaitu, log kesamaan a a p =p adalah benar. Sebagai contoh, kita tahu bahawa 2 3 =8, kemudian log 2 8=3. Kami akan bercakap lebih lanjut mengenai perkara ini dalam artikel.

Salah satu unsur algebra aras primitif ialah logaritma. Nama berasal dari bahasa Yunani daripada perkataan "nombor" atau "kuasa" dan bermaksud kuasa yang nombor dalam pangkalan mesti dinaikkan untuk mencari nombor akhir.

Jenis-jenis logaritma

• log a b – logaritma nombor b ke asas a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logaritma perpuluhan (logaritma hingga asas 10, a = 10);
• ln b – logaritma asli (logaritma kepada asas e, a = e).

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Logaritma b kepada asas a ialah eksponen yang memerlukan b dinaikkan kepada asas a. Hasil yang diperolehi disebut seperti ini: "logaritma b ke asas a." Penyelesaian kepada masalah logaritma ialah anda perlu menentukan kuasa yang diberikan dalam nombor daripada nombor yang ditentukan. Terdapat beberapa peraturan asas untuk menentukan atau menyelesaikan logaritma, serta menukar tatatanda itu sendiri. Menggunakannya, persamaan logaritma diselesaikan, derivatif ditemui, kamiran diselesaikan, dan banyak operasi lain dilakukan. Pada asasnya, penyelesaian kepada logaritma itu sendiri ialah tatatanda yang dipermudahkan. Berikut adalah formula dan sifat asas:

Untuk mana-mana a ; a > 0; a ≠ 1 dan untuk sebarang x ; y > 0.

• a log a b = b – identiti logaritma asas
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , untuk k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula untuk berpindah ke pangkalan baharu
• log a x = 1/log x a

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma - arahan langkah demi langkah untuk menyelesaikan

• Pertama, tuliskan persamaan yang diperlukan.

Sila ambil perhatian: jika logaritma asas ialah 10, maka entri itu dipendekkan, menghasilkan logaritma perpuluhan. Jika ia berbaloi nombor asli e, kemudian kita menulisnya, mengurangkannya kepada logaritma asli. Ini bermakna hasil daripada semua logaritma ialah kuasa nombor asas dinaikkan untuk mendapatkan nombor b.

Secara langsung, penyelesaiannya terletak pada pengiraan darjah ini. Sebelum menyelesaikan ungkapan dengan logaritma, ia mesti dipermudahkan mengikut peraturan, iaitu, menggunakan formula. Anda boleh mencari identiti utama dengan kembali sedikit dalam artikel.

Menambah dan menolak logaritma dengan dua nombor berbeza, tetapi dengan atas alasan yang sama, gantikan dengan satu logaritma dengan hasil darab atau pembahagian nombor b dan c, masing-masing. Dalam kes ini, anda boleh menggunakan formula untuk berpindah ke pangkalan lain (lihat di atas).

Jika anda menggunakan ungkapan untuk memudahkan logaritma, terdapat beberapa batasan untuk dipertimbangkan. Dan itu ialah: asas logaritma a adalah sahaja nombor positif, tetapi tidak sama dengan satu. Nombor b, seperti a, mestilah lebih besar daripada sifar.

Terdapat kes di mana, dengan memudahkan ungkapan, anda tidak akan dapat mengira logaritma secara berangka. Ia berlaku bahawa ungkapan sedemikian tidak masuk akal, kerana banyak kuasa adalah nombor tidak rasional. Di bawah keadaan ini, biarkan kuasa nombor sebagai logaritma.

Kami terus mengkaji logaritma. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang mengira logaritma, proses ini dipanggil logaritma. Mula-mula kita akan memahami pengiraan logaritma mengikut definisi. Seterusnya, mari kita lihat bagaimana nilai logaritma ditemui menggunakan sifatnya. Selepas ini, kami akan menumpukan pada pengiraan logaritma melalui nilai awal yang ditentukan bagi logaritma lain. Akhir sekali, mari belajar cara menggunakan jadual logaritma. Keseluruhan teori disediakan dengan contoh dengan penyelesaian terperinci.

Navigasi halaman.

Mengira logaritma mengikut takrifan

Dalam kes yang paling mudah adalah mungkin untuk melaksanakan dengan cepat dan mudah mencari logaritma mengikut definisi. Mari kita lihat dengan lebih dekat bagaimana proses ini berlaku.

Intipatinya adalah untuk mewakili nombor b dalam bentuk a c, dari mana, mengikut takrifan logaritma, nombor c ialah nilai logaritma. Iaitu, mengikut takrifan, rantaian kesamaan berikut sepadan dengan mencari logaritma: log a b=log a a c =c.

Jadi, pengiraan logaritma mengikut takrifan adalah untuk mencari nombor c supaya a c = b, dan nombor c itu sendiri ialah nilai logaritma yang dikehendaki.

Dengan mengambil kira maklumat dalam perenggan sebelumnya, apabila nombor di bawah tanda logaritma diberikan oleh kuasa tertentu asas logaritma, anda boleh segera menunjukkan apa logaritma itu sama dengan - ia sama dengan eksponen. Mari tunjukkan penyelesaian kepada contoh.

Contoh.

Cari log 2 2 −3, dan juga hitung logaritma asli bagi nombor e 5,3.

Penyelesaian.

Takrifan logaritma membolehkan kita untuk segera mengatakan bahawa log 2 2 −3 =−3. Sesungguhnya, nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas 2 kepada kuasa −3.

Begitu juga, kita dapati logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Jawapan:

log 2 2 −3 =−3 dan lne 5,3 =5,3.

Jika nombor b di bawah tanda logaritma tidak dinyatakan sebagai kuasa asas logaritma, maka anda perlu melihat dengan teliti untuk melihat sama ada ia mungkin untuk menghasilkan perwakilan nombor b dalam bentuk a c . Selalunya perwakilan ini agak jelas, terutamanya apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas kepada kuasa 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Penyelesaian.

Adalah mudah untuk melihat bahawa 25=5 2, ini membolehkan anda mengira logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Mari kita teruskan untuk mengira logaritma kedua. Nombor itu boleh diwakili sebagai kuasa 7: (lihat jika perlu). Oleh itu, .

Mari kita tulis semula logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang anda boleh melihatnya , dari mana kami membuat kesimpulan bahawa . Oleh itu, mengikut takrifan logaritma .

Secara ringkas, penyelesaiannya boleh ditulis seperti berikut: .

Jawapan:

log 5 25=2 , Dan .

Apabila terdapat nombor asli yang cukup besar di bawah tanda logaritma, tidak ada salahnya untuk mengembangkannya faktor utama. Ia sering membantu untuk mewakili nombor sedemikian sebagai beberapa kuasa asas logaritma, dan oleh itu mengira logaritma ini mengikut takrifan.

Contoh.

Cari nilai logaritma itu.

Penyelesaian.

Sesetengah sifat logaritma membolehkan anda menentukan nilai logaritma dengan segera. Sifat-sifat ini termasuk sifat logaritma unit dan sifat logaritma nombor, sama dengan asas: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Iaitu, apabila di bawah tanda logaritma terdapat nombor 1 atau nombor a sama dengan asas logaritma, maka dalam kes ini logaritma adalah sama dengan 0 dan 1, masing-masing.

Contoh.

Apakah yang sama dengan logaritma dan log10?

Penyelesaian.

Oleh kerana , maka dari definisi logaritma ia mengikuti .

Dalam contoh kedua, nombor 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan asasnya, jadi logaritma perpuluhan sepuluh adalah sama dengan satu, iaitu, lg10=lg10 1 =1.

Jawapan:

DAN lg10=1 .

Ambil perhatian bahawa pengiraan logaritma mengikut takrifan (yang kita bincangkan dalam perenggan sebelumnya) membayangkan penggunaan log kesamaan a a p =p, yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam amalan, apabila nombor di bawah tanda logaritma dan asas logaritma mudah diwakili sebagai kuasa nombor tertentu, adalah sangat mudah untuk menggunakan formula , yang sepadan dengan salah satu sifat logaritma. Mari kita lihat contoh mencari logaritma yang menggambarkan penggunaan formula ini.

Contoh.

Kira logaritma.

Penyelesaian.

Jawapan:

.

Sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam pengiraan, tetapi kita akan membincangkannya dalam perenggan berikut.

Mencari logaritma melalui logaritma lain yang diketahui

Maklumat dalam perenggan ini meneruskan topik penggunaan sifat logaritma semasa mengiranya. Tetapi di sini perbezaan utama ialah sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asal dari segi logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita berikan contoh untuk penjelasan. Katakan kita tahu bahawa log 2 3≈1.584963, maka kita boleh mencari, sebagai contoh, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, sudah cukup untuk kita menggunakan sifat logaritma produk. Walau bagaimanapun, lebih kerap adalah perlu untuk menggunakan senjata sifat logaritma yang lebih luas untuk mengira logaritma asal melalui yang diberikan.

Contoh.

Kira logaritma 27 hingga asas 60 jika anda tahu bahawa log 60 2=a dan log 60 5=b.

Penyelesaian.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Adalah mudah untuk melihat bahawa 27 = 3 3 , dan logaritma asal, disebabkan oleh sifat logaritma kuasa, boleh ditulis semula sebagai 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana untuk menyatakan log 60 3 dari segi logaritma yang diketahui. Sifat logaritma nombor yang sama dengan asas membolehkan kita menulis log kesamaan 60 60=1. Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Oleh itu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Oleh itu, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Akhir sekali, kita mengira logaritma asal: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Jawapan:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Secara berasingan, adalah bernilai menyebut maksud formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma bentuk . Ia membolehkan anda berpindah dari logaritma dengan mana-mana asas kepada logaritma dengan asas tertentu, yang nilainya diketahui atau mungkin untuk mencarinya. Biasanya, dari logaritma asal, menggunakan formula peralihan, mereka berpindah ke logaritma dalam salah satu asas 2, e atau 10, kerana untuk pangkalan ini terdapat jadual logaritma yang membolehkan nilainya dikira dengan tahap tertentu. ketepatan. Dalam perenggan seterusnya kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.

Jadual logaritma dan kegunaannya

Untuk pengiraan anggaran nilai logaritma boleh digunakan jadual logaritma. Jadual logaritma asas 2 yang paling biasa digunakan ialah jadual logaritma semula jadi dan jadual logaritma perpuluhan. Apabila bekerja di sistem perpuluhan Untuk kalkulus, adalah mudah untuk menggunakan jadual logaritma berdasarkan asas sepuluh. Dengan bantuannya kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Jadual yang dibentangkan membolehkan anda mencari nilai logaritma perpuluhan nombor dari 1,000 hingga 9,999 (dengan tiga tempat perpuluhan) dengan ketepatan satu persepuluh ribu. Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan jadual logaritma perpuluhan ke dalam contoh khusus- lebih jelas seperti itu. Mari cari log1.256.

Dalam lajur kiri jadual logaritma perpuluhan kita dapati dua digit pertama nombor 1.256, iaitu, kita dapati 1.2 (nombor ini dibulatkan dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga nombor 1.256 (digit 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan warna merah). Digit keempat nombor asal 1.256 (digit 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan garis hijau). Sekarang kita dapati nombor dalam sel jadual logaritma di persimpangan baris bertanda dan lajur bertanda (nombor ini diserlahkan dalam oren). Jumlah nombor yang ditanda memberikan nilai logaritma perpuluhan yang dikehendaki tepat kepada tempat perpuluhan keempat, iaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Adakah mungkin, menggunakan jadual di atas, untuk mencari nilai logaritma perpuluhan nombor yang mempunyai lebih daripada tiga digit selepas titik perpuluhan, serta nilai yang melampaui julat dari 1 hingga 9.999? Ya, anda boleh. Mari tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan contoh.

Jom kira lg102.76332. Mula-mula anda perlu menulis nombor dalam bentuk piawai: 102.76332=1.0276332·10 2. Selepas ini, mantissa harus dibundarkan ke tempat perpuluhan ketiga, kita ada 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, manakala logaritma perpuluhan asal adalah lebih kurang sama dengan logaritma nombor yang terhasil, iaitu, kita ambil log102.76332≈lg1.028·10 2. Sekarang kita menggunakan sifat logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhir sekali, kita dapati nilai logaritma lg1.028 daripada jadual logaritma perpuluhan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Akibatnya, keseluruhan proses pengiraan logaritma kelihatan seperti ini: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu diperhatikan bahawa menggunakan jadual logaritma perpuluhan anda boleh mengira nilai anggaran mana-mana logaritma. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan formula peralihan untuk pergi ke logaritma perpuluhan, cari nilainya dalam jadual, dan lakukan pengiraan yang tinggal.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma, kita mempunyai . Daripada jadual logaritma perpuluhan kita dapati log3≈0.4771 dan log2≈0.3010. Oleh itu, .

Rujukan.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).