Mendarab dua nombor dengan kuasa negatif yang sama. Bagaimana untuk mendarab kuasa, mendarab kuasa dengan eksponen yang berbeza

Formula ijazah digunakan dalam proses mengurangkan dan memudahkan ungkapan kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

Nombor c ialah n-kuasa ke- bagi suatu nombor a Bila:

Operasi dengan ijazah.

1. Dengan mendarab darjah dengan asas yang sama, penunjuknya ditambah:

a m·a n = a m + n .

2. Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponennya ditolak:

3. Kuasa hasil darab 2 atau lebih faktor adalah sama dengan hasil kuasa faktor-faktor ini:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Darjah pecahan adalah sama dengan nisbah darjah dividen dan pembahagi:

(a/b) n = a n /b n .

5. Meningkatkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan:

(a m) n = a m n .

Setiap formula di atas adalah benar dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Sebagai contoh. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:

2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah dividen dan pembahagi punca:

3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, sudah cukup untuk menaikkan nombor radikal kepada kuasa ini:

4. Jika anda meningkatkan darjah akar masuk n sekali dan pada masa yang sama membina ke dalam n kuasa ke adalah nombor radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika anda mengurangkan darjah akar dalam n ekstrak akar pada masa yang sama n-kekuasaan nombor radikal, maka nilai punca tidak akan berubah:

Ijazah dengan eksponen negatif. Kuasa nombor tertentu dengan eksponen bukan positif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan kuasa nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlak penunjuk tidak positif:

Formula a m:a n =a m - n boleh digunakan bukan sahaja untuk m> n, tetapi juga dengan m< n.

Sebagai contoh. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kepada formula a m:a n =a m - n menjadi adil apabila m=n, kehadiran darjah sifar diperlukan.

Ijazah dengan indeks sifar. Kuasa sebarang nombor yang tidak sama dengan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu.

Sebagai contoh. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata A ke tahap m/n, anda perlu mengekstrak akarnya n darjah ke- m-kuasa ke- nombor ini A.

Setiap operasi aritmetik kadangkala menjadi terlalu rumit untuk ditulis dan mereka cuba untuk memudahkannya. Ini pernah berlaku dengan operasi tambah. Orang ramai perlu melakukan penambahan berulang jenis yang sama, sebagai contoh, untuk mengira kos seratus permaidani Parsi, yang kosnya ialah 3 syiling emas untuk setiap satu. 3+3+3+…+3 = 300. Oleh kerana sifatnya yang menyusahkan, ia telah memutuskan untuk memendekkan notasi kepada 3 * 100 = 300. Malah, notasi “tiga kali seratus” bermakna anda perlu mengambil satu ratus tiga dan tambahkannya bersama-sama. Pendaraban ditangkap dan mendapat populariti umum. Tetapi dunia tidak berdiam diri, dan pada Zaman Pertengahan keperluan timbul untuk melakukan pendaraban berulang jenis yang sama. Saya masih ingat teka-teki India lama tentang seorang bijak yang meminta bijirin gandum dalam kuantiti berikut sebagai ganjaran untuk kerja yang dilakukan: untuk petak pertama papan catur dia meminta satu biji, untuk yang kedua - dua, untuk yang ketiga - empat, untuk yang kelima - lapan, dan seterusnya. Beginilah cara pendaraban pertama kuasa muncul, kerana bilangan butir adalah sama dengan dua kuasa nombor sel. Sebagai contoh, pada sel terakhir akan terdapat 2*2*2*...*2 = 2^63 butir, yang bersamaan dengan nombor 18 aksara panjang, yang sebenarnya, adalah maksud teka-teki itu.

Operasi pengeksponenan ditangkap dengan agak cepat, dan keperluan untuk menjalankan penambahan, penolakan, pembahagian dan pendaraban kuasa juga timbul dengan cepat. Yang terakhir ini patut dipertimbangkan dengan lebih terperinci. Formula untuk menambah kuasa adalah mudah dan mudah diingati. Di samping itu, sangat mudah untuk memahami dari mana asalnya jika operasi kuasa digantikan dengan pendaraban. Tetapi pertama-tama anda perlu memahami beberapa istilah asas. Ungkapan a^b (dibaca “a kepada kuasa b”) bermaksud bahawa nombor a harus didarab dengan sendirinya b kali, dengan “a” dipanggil asas kuasa, dan “b” pangkat kuasa. Jika asas darjah adalah sama, maka formula diperolehi dengan mudah. Contoh khusus: cari nilai ungkapan 2^3 * 2^4. Untuk mengetahui apa yang perlu berlaku, anda harus mengetahui jawapan pada komputer sebelum memulakan penyelesaian. Memasukkan ungkapan ini ke dalam mana-mana kalkulator dalam talian, enjin carian, menaip "kuasa darab dengan asas yang berbeza dan sama" atau pakej matematik, outputnya ialah 128. Sekarang mari kita tulis ungkapan ini: 2^3 = 2*2*2, dan 2^4 = 2 *2*2*2. Ternyata 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ternyata hasil darab kuasa dengan asas yang sama adalah sama dengan asas yang dinaikkan kepada kuasa yang sama dengan jumlah dua kuasa sebelumnya.

Anda mungkin berfikir bahawa ini adalah kemalangan, tetapi tidak: mana-mana contoh lain hanya boleh mengesahkan peraturan ini. Oleh itu, dalam Pandangan umum formula kelihatan seperti dengan cara berikut: a^n * a^m = a^(n+m) . Terdapat juga peraturan bahawa sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu. Di sini kita harus ingat peraturan kuasa negatif: a^(-n) = 1 / a^n. Iaitu, jika 2^3 = 8, maka 2^(-3) = 1/8. Dengan menggunakan peraturan ini, anda boleh membuktikan kesahihan kesamaan a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n), a^ (n) boleh dikurangkan dan satu kekal. Dari sini peraturan diperolehi bahawa hasil bagi kuasa dengan atas alasan yang sama sama dengan asas ini kepada darjah yang sama dengan hasil bagi dividen dan pembahagi: a^n: a^m = a^(n-m) . Contoh: mudahkan ungkapan 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Pendaraban ialah operasi komutatif, oleh itu, anda mesti menambah eksponen pendaraban dahulu: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Seterusnya anda perlu berurusan dengan pembahagian oleh kuasa negatif. Adalah perlu untuk menolak eksponen pembahagi daripada eksponen dividen: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ternyata operasi bahagi dengan negatif darjah adalah sama dengan operasi pendaraban dengan eksponen positif yang serupa. Jadi jawapan akhir ialah 8.

Terdapat contoh di mana penggandaan kuasa bukan kanonik berlaku. Mendarab kuasa dengan asas yang berbeza selalunya jauh lebih sukar, dan kadangkala mustahil. Beberapa contoh teknik yang berbeza mungkin perlu diberikan. Contoh: mudahkan ungkapan 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Jelas sekali, terdapat pendaraban kuasa dengan asas yang berbeza. Tetapi perlu diperhatikan bahawa semua pangkalan adalah kuasa yang berbeza dari tiga. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. Menggunakan peraturan (a^n) ^m = a^(n*m) , anda harus menulis semula ungkapan dalam bentuk yang lebih mudah: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Jawapan: 3^11. Dalam kes di mana asasnya berbeza, peraturan a^n * b^n = (a*b) ^n berfungsi untuk penunjuk yang sama. Contohnya, 3^3 * 7^3 = 21^3. Jika tidak, apabila asas dan eksponen berbeza, pendaraban lengkap tidak boleh dilakukan. Kadangkala anda sebahagiannya boleh memudahkan atau menggunakan bantuan teknologi komputer.

Adalah jelas bahawa nombor dengan kuasa boleh ditambah seperti kuantiti lain , dengan menambahkannya satu demi satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, hasil tambah a 3 dan b 2 ialah a 3 + b 2.
Hasil tambah a 3 - b n dan h 5 -d 4 ialah a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan kuasa yang sama bagi pembolehubah yang sama boleh ditambah atau dikurangkan.

Jadi, hasil tambah 2a 2 dan 3a 2 adalah sama dengan 5a 2.

Ia juga jelas bahawa jika anda mengambil dua petak a, atau tiga petak a, atau lima petak a.

Tetapi ijazah pelbagai pembolehubah Dan pelbagai darjat pembolehubah yang sama, mesti digubah dengan menambahkannya dengan tandanya.

Jadi, hasil tambah a 2 dan a 3 ialah hasil tambah a 2 + a 3.

Adalah jelas bahawa kuasa dua a, dan kubus a, tidak sama dengan dua kali kuasa dua a, tetapi dua kali ganda kubus a.

Hasil tambah a 3 b n dan 3a 5 b 6 ialah a 3 b n + 3a 5 b 6.

Penolakan kuasa dijalankan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali tanda-tanda subtrahend mesti diubah sewajarnya.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3j 2 b 6 - 4j 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Melipatgandakan kuasa

Nombor dengan kuasa boleh didarab, seperti kuantiti lain, dengan menulisnya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda darab di antaranya.

Oleh itu, hasil darab a 3 dengan b 2 ialah a 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil dalam contoh terakhir boleh dipesan dengan menambah pembolehubah yang sama.
Ungkapan akan mengambil bentuk: a 5 b 5 y 3.

Dengan membandingkan beberapa nombor (pembolehubah) dengan kuasa, kita dapat melihat bahawa jika mana-mana dua daripadanya didarab, maka hasilnya adalah nombor (pembolehubah) dengan kuasa yang sama dengan jumlah darjah istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 ialah kuasa hasil pendaraban, bersamaan dengan 2 + 3, jumlah kuasa sebutan.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor seberapa banyak kuasa n;

Dan a m diambil sebagai faktor seberapa banyak darjah m bersamaan dengan;

sebab itu, kuasa dengan asas yang sama boleh didarab dengan menambah eksponen kuasa.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Darab (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawapan: x 4 - y 4.
Darab (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Peraturan ini juga benar untuk nombor yang eksponennya negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini boleh ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b didarab dengan a - b, hasilnya akan menjadi 2 - b 2: iaitu

Hasil darab hasil tambah atau beza dua nombor sama dengan jumlah atau perbezaan petak mereka.

Jika anda mendarab jumlah dan beza dua nombor yang dinaikkan kepada segi empat sama, hasilnya akan sama dengan jumlah atau perbezaan nombor ini dalam keempat darjah.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Pembahagian darjah

Nombor dengan kuasa boleh dibahagikan seperti nombor lain, dengan menolak dividen, atau dengan meletakkannya dalam bentuk pecahan.

Oleh itu, a 3 b 2 dibahagikan dengan b 2 adalah sama dengan a 3.

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibahagikan dengan 3 kelihatan seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tetapi ini sama dengan 2 . Dalam satu siri nombor
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
sebarang nombor boleh dibahagikan dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan beza penunjuk nombor boleh bahagi.

Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponen mereka ditolak..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Iaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Iaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Peraturan ini juga benar untuk nombor dengan negatif nilai darjah.
Hasil pembahagian a -5 dengan -3 ialah a -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ia adalah perlu untuk menguasai pendaraban dan pembahagian kuasa dengan baik, kerana operasi sedemikian digunakan secara meluas dalam algebra.

Contoh penyelesaian contoh dengan pecahan yang mengandungi nombor dengan kuasa

1. Kurangkan eksponen sebanyak $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawapan: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangkan eksponen sebanyak $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawapan: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangkan eksponen a 2 /a 3 dan a -3 /a -4 dan membawa kepada penyebut biasa.
a 2 .a -4 ialah a -2 pengangka pertama.
a 3 .a -3 ialah 0 = 1, pengangka kedua.
a 3 .a -4 ialah a -1 , pengangka sepunya.
Selepas dipermudahkan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangkan eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa kepada penyebut yang sama.
Jawapan: 2a 3 /5a 7 dan 5a 5 /5a 7 atau 2a 3 /5a 2 dan 5/5a 2.

5. Darab (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Darab (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Darab b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bahagikan sebuah 4 /y 3 dengan sebuah 3 /y 2 . Jawapan: a/y.

9. Bahagikan (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/j.

Bagaimana untuk melipatgandakan kuasa? Kuasa mana yang boleh digandakan dan yang mana tidak? Bagaimana untuk mendarab nombor dengan kuasa?

Dalam algebra, anda boleh mencari hasil darab kuasa dalam dua kes:

1) jika darjah mempunyai asas yang sama;

2) jika darjah mempunyai penunjuk yang sama.

Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, asas mesti dibiarkan sama, dan eksponen mesti ditambah:

Apabila mendarab kuasa dengan eksponen yang sama penunjuk umum boleh dikeluarkan dari kurungan:

Mari kita lihat cara mendarab kuasa menggunakan contoh khusus.

Unit tidak ditulis dalam eksponen, tetapi apabila mendarab kuasa, mereka mengambil kira:

Apabila mendarab, boleh terdapat sebarang bilangan kuasa. Perlu diingat bahawa anda tidak perlu menulis tanda pendaraban sebelum huruf:

Dalam ungkapan, eksponenisasi dilakukan terlebih dahulu.

Jika anda perlu mendarab nombor dengan kuasa, anda perlu melakukan eksponen dahulu, dan kemudian pendaraban:

www.algebraclass.ru

Penambahan, penolakan, pendaraban, dan pembahagian kuasa

Penambahan dan penolakan kuasa

Adalah jelas bahawa nombor dengan kuasa boleh ditambah seperti kuantiti lain , dengan menambahkannya satu demi satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, hasil tambah a 3 dan b 2 ialah a 3 + b 2.
Hasil tambah a 3 - b n dan h 5 -d 4 ialah a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan kuasa yang sama bagi pembolehubah yang sama boleh ditambah atau dikurangkan.

Jadi, hasil tambah 2a 2 dan 3a 2 adalah sama dengan 5a 2.

Ia juga jelas bahawa jika anda mengambil dua petak a, atau tiga petak a, atau lima petak a.

Tetapi ijazah pelbagai pembolehubah Dan pelbagai darjat pembolehubah yang sama, mesti digubah dengan menambahkannya dengan tandanya.

Jadi, hasil tambah a 2 dan a 3 ialah hasil tambah a 2 + a 3.

Adalah jelas bahawa kuasa dua a, dan kubus a, tidak sama dengan dua kali kuasa dua a, tetapi dua kali ganda kubus a.

Hasil tambah a 3 b n dan 3a 5 b 6 ialah a 3 b n + 3a 5 b 6.

Penolakan kuasa dijalankan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali tanda-tanda subtrahend mesti diubah sewajarnya.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3j 2 b 6 — 4j 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Melipatgandakan kuasa

Nombor dengan kuasa boleh didarab, seperti kuantiti lain, dengan menulisnya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda darab di antaranya.

Oleh itu, hasil darab a 3 dengan b 2 ialah a 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil dalam contoh terakhir boleh dipesan dengan menambah pembolehubah yang sama.
Ungkapan akan mengambil bentuk: a 5 b 5 y 3.

Dengan membandingkan beberapa nombor (pembolehubah) dengan kuasa, kita dapat melihat bahawa jika mana-mana dua daripadanya didarab, maka hasilnya adalah nombor (pembolehubah) dengan kuasa yang sama dengan jumlah darjah istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 ialah kuasa hasil pendaraban, yang bersamaan dengan 2 + 3, jumlah kuasa sebutan.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor seberapa banyak kuasa n;

Dan a m diambil sebagai faktor seberapa banyak darjah m bersamaan dengan;

sebab itu, kuasa dengan asas yang sama boleh didarab dengan menambah eksponen kuasa.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Darab (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawapan: x 4 - y 4.
Darab (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Peraturan ini juga benar untuk nombor yang eksponennya negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini boleh ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b didarab dengan a - b, hasilnya akan menjadi 2 - b 2: iaitu

Hasil pendaraban jumlah atau perbezaan dua nombor adalah sama dengan jumlah atau perbezaan kuasa duanya.

Jika anda mendarab jumlah dan beza dua nombor yang dinaikkan kepada segi empat sama, hasilnya akan sama dengan jumlah atau perbezaan nombor ini dalam keempat darjah.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Pembahagian darjah

Nombor dengan kuasa boleh dibahagikan seperti nombor lain, dengan menolak dividen, atau dengan meletakkannya dalam bentuk pecahan.

Oleh itu, a 3 b 2 dibahagikan dengan b 2 adalah sama dengan a 3.

Menulis 5 dibahagikan dengan 3 kelihatan seperti $\frac $. Tetapi ini sama dengan 2 . Dalam satu siri nombor
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
sebarang nombor boleh dibahagikan dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan beza penunjuk nombor boleh bahagi.

Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponen mereka ditolak..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Iaitu, $\frac = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Iaitu, $\frac = a^n$.

Atau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Peraturan ini juga benar untuk nombor dengan negatif nilai darjah.
Hasil pembahagian a -5 dengan -3 ialah a -2.
Juga, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Ia adalah perlu untuk menguasai pendaraban dan pembahagian kuasa dengan baik, kerana operasi sedemikian digunakan secara meluas dalam algebra.

Contoh penyelesaian contoh dengan pecahan yang mengandungi nombor dengan kuasa

1. Kurangkan eksponen sebanyak $\frac $ Jawapan: $\frac $.

2. Kurangkan eksponen sebanyak $\frac$. Jawapan: $\frac$ atau 2x.

3. Kurangkan eksponen a 2 /a 3 dan a -3 /a -4 dan bawa kepada penyebut sepunya.
a 2 .a -4 ialah a -2 pengangka pertama.
a 3 .a -3 ialah 0 = 1, pengangka kedua.
a 3 .a -4 ialah a -1 , pengangka sepunya.
Selepas dipermudahkan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangkan eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa kepada penyebut yang sama.
Jawapan: 2a 3 /5a 7 dan 5a 5 /5a 7 atau 2a 3 /5a 2 dan 5/5a 2.

5. Darab (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Darab (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Darab b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bahagikan sebuah 4 /y 3 dengan sebuah 3 /y 2 . Jawapan: a/y.

Sifat ijazah

Kami mengingatkan anda bahawa dalam pelajaran ini kami akan faham sifat darjah dengan penunjuk semula jadi dan sifar. Kuasa dengan eksponen rasional dan sifatnya akan dibincangkan dalam pelajaran untuk gred 8.

Ijazah dengan penunjuk semula jadi mempunyai beberapa sifat penting, yang membolehkan anda memudahkan pengiraan dalam contoh dengan kuasa.

Harta No. 1
Produk kuasa

Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, asas kekal tidak berubah, dan eksponen kuasa ditambah.

a m · a n = a m + n, dengan “a” ialah sebarang nombor, dan “m”, “n” ialah sebarang nombor asli.

Sifat kuasa ini juga terpakai kepada hasil daripada tiga kuasa atau lebih.

Permudahkan ungkapan.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Hadirkan ia sebagai ijazah.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Hadirkan ia sebagai ijazah.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Sila ambil perhatian bahawa dalam harta yang dinyatakan kami hanya bercakap tentang pendaraban kuasa dengan asas yang sama. Ia tidak terpakai untuk penambahan mereka.

Anda tidak boleh menggantikan jumlah (3 3 + 3 2) dengan 3 5. Ini boleh difahami jika
hitung (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, dan 3 5 = 243

Harta No. 2
Darjah separa

Apabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama, asas kekal tidak berubah, dan eksponen pembahagi ditolak daripada eksponen dividen.

Tulis hasil bagi sebagai kuasa
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Kira.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Contoh. Selesaikan persamaan. Kami menggunakan sifat kuasa quotient.
3 8: t = 3 4

Jawapan: t = 3 4 = 81

Menggunakan sifat No. 1 dan No. 2, anda boleh memudahkan ungkapan dan melakukan pengiraan dengan mudah.

Contoh. Permudahkan ungkapan.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Contoh. Cari nilai ungkapan menggunakan sifat eksponen.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Sila ambil perhatian bahawa dalam Harta 2 kami hanya bercakap tentang pembahagian kuasa dengan asas yang sama.

Anda tidak boleh menggantikan perbezaan (4 3 −4 2) dengan 4 1. Ini boleh difahami jika anda mengira (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, dan 4 1 = 4

Harta No. 3
Meningkatkan darjat kepada kuasa

Apabila menaikkan darjah kepada kuasa, asas darjah kekal tidak berubah, dan eksponen didarabkan.

(a n) m = a n · m, dengan “a” ialah sebarang nombor, dan “m”, “n” ialah sebarang nombor asli.

Sila ambil perhatian bahawa harta No. 4, seperti sifat ijazah lain, juga digunakan dalam susunan terbalik.

(a n · b n)= (a · b) n

Iaitu, untuk mendarab kuasa dengan eksponen yang sama, anda boleh mendarabkan asas, tetapi membiarkan eksponen tidak berubah.

Contoh. Kira.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

Contoh. Kira.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

Dalam lebih contoh yang kompleks Mungkin terdapat kes apabila pendaraban dan pembahagian mesti dilakukan ke atas kuasa dengan asas dan asas yang berbeza penunjuk yang berbeza. Dalam kes ini, kami menasihati anda untuk melakukan perkara berikut.

Contohnya, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Contoh menaikkan perpuluhan kepada kuasa.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Sifat 5
Kuasa hasil bagi (pecahan)

Untuk meningkatkan hasil bagi kuasa, anda boleh menaikkan dividen dan pembahagi secara berasingan kepada kuasa ini, dan membahagikan hasil pertama dengan yang kedua.

(a: b) n = a n: b n, dengan “a”, “b” ialah sebarang nombor rasional, b ≠ 0, n - sebarang nombor asli.

Contoh. Kemukakan ungkapan itu sebagai hasil bagi kuasa.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Kami mengingatkan anda bahawa hasil bagi boleh diwakili sebagai pecahan. Oleh itu, kita akan membincangkan topik menaikkan pecahan kepada kuasa dengan lebih terperinci pada halaman seterusnya.

Kuasa dan akar

Operasi dengan kuasa dan akar. Ijazah dengan negatif ,

sifar dan pecahan penunjuk. Tentang ungkapan yang tiada makna.

Operasi dengan ijazah.

1. Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponennya ditambah:

a m · a n = a m + n .

2. Apabila membahagi darjah dengan asas yang sama, eksponen mereka adalah ditolak .

3. Darjah hasil darab dua atau lebih faktor adalah sama dengan darab darjah faktor ini.

4. Darjah nisbah (pecahan) adalah sama dengan nisbah darjah dividen (pembilang) dan pembahagi (penyebut):

(a/b) n = a n / b n .

5. Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, eksponennya didarabkan:

Semua formula di atas dibaca dan dilaksanakan dalam kedua-dua arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

CONTOH (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operasi dengan akar. Dalam semua formula di bawah, simbol bermaksud punca aritmetik(ungkapan radikal adalah positif).

1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:

2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah punca dividen dan pembahagi:

3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, ia cukup untuk meningkatkan kuasa ini nombor radikal:

4. Jika anda meningkatkan darjah akar sebanyak m kali dan pada masa yang sama menaikkan nombor radikal kepada kuasa mth, maka nilai punca tidak akan berubah:

5. Jika anda mengurangkan darjah akar sebanyak m kali dan pada masa yang sama mengekstrak punca mth nombor radikal, maka nilai punca tidak akan berubah:

Memperluaskan konsep ijazah. Setakat ini kami telah mempertimbangkan darjah hanya dengan eksponen semula jadi; tetapi operasi dengan kuasa dan akar juga boleh membawa kepada negatif, sifar Dan pecahan penunjuk. Semua eksponen ini memerlukan definisi tambahan.

Ijazah dengan eksponen negatif. Kuasa nombor tertentu dengan eksponen negatif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan kuasa nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlak eksponen negatif:

Sekarang formulanya a m : a n = a m - n boleh digunakan bukan sahaja untuk m, lebih daripada n, tetapi juga dengan m, kurang daripada n .

CONTOH a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Jika kita mahu formula a m : a n = a m — n adil apabila m = n, kita memerlukan definisi sifar darjah.

Ijazah dengan indeks sifar. Kuasa mana-mana nombor bukan sifar dengan eksponen sifar ialah 1.

CONTOH. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata a kepada kuasa m / n, anda perlu mengekstrak punca ke-n bagi kuasa ke-m bagi nombor a ini:

Tentang ungkapan yang tiada makna. Terdapat beberapa ungkapan sedemikian.

di mana a ≠ 0 , tidak wujud.

Malah, jika kita menganggapnya x adalah nombor tertentu, maka mengikut definisi operasi bahagi yang kita ada: a = 0· x, iaitu a= 0, yang bercanggah dengan syarat: a ≠ 0

— sebarang nombor.

Malah, jika kita menganggap bahawa ungkapan ini adalah sama dengan beberapa nombor x, maka mengikut definisi operasi bahagi yang kita ada: 0 = 0 · x. Tetapi kesaksamaan ini berlaku apabila sebarang nombor x, itulah yang perlu dibuktikan.

0 0 — sebarang nombor.

Penyelesaian. Mari kita pertimbangkan tiga kes utama:

1) x = 0 – nilai ini tidak memenuhi persamaan ini

2) bila x> 0 kita dapat: x/x= 1, i.e. 1 = 1, yang bermaksud

Apa x– sebarang nombor; tetapi mengambil kira bahawa dalam

dalam kes kita x> 0 , jawapannya ialah x > 0 ;

Peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang berbeza

IJAZAH DENGAN INDIKATOR RASIONAL,

FUNGSI KUASA IV

§ 69. Pendaraban dan pembahagian kuasa dengan asas yang sama

Teorem 1. Untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, cukup untuk menambah eksponen dan meninggalkan asas yang sama, iaitu

Bukti. Mengikut definisi ijazah

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Kami melihat hasil dua kuasa. Malah, harta yang terbukti adalah benar untuk sebarang bilangan kuasa dengan asas yang sama.

Teorem 2. Untuk membahagikan kuasa dengan asas yang sama, apabila indeks dividen lebih besar daripada indeks pembahagi, sudah cukup untuk menolak indeks pembahagi daripada indeks dividen, dan biarkan asasnya sama, iaitu di t > hlm

(a =/= 0)

Bukti. Ingat bahawa hasil bahagi membahagi satu nombor dengan nombor lain ialah nombor yang, apabila didarab dengan pembahagi, memberikan dividen. Oleh itu, buktikan formula di mana a =/= 0, ia sama seperti membuktikan formula

Jika t > hlm , kemudian nombor t - hlm akan menjadi semula jadi; oleh itu, dengan Teorem 1

Teorem 2 terbukti.

Perlu diingatkan bahawa formula

kami telah membuktikannya hanya dengan andaian bahawa t > hlm . Oleh itu, dari apa yang telah terbukti, masih belum mungkin untuk membuat, sebagai contoh, kesimpulan berikut:

Di samping itu, kami belum lagi mempertimbangkan darjah dengan eksponen negatif dan kami belum tahu apa makna yang boleh diberikan kepada ungkapan 3 - 2 .

Teorem 3. Untuk menaikkan satu darjah kepada satu kuasa, sudah cukup untuk mendarabkan eksponen, meninggalkan asas darjah yang sama, itu dia

Bukti. Dengan menggunakan takrif darjah dan Teorem 1 bahagian ini, kami memperoleh:

Q.E.D.

Contohnya, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Lisan) Tentukan X daripada persamaan:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (No. Set) Permudahkan:

520. (No. Set) Permudahkan:

521. Kemukakan ungkapan ini dalam bentuk darjah dengan asas yang sama:

1) 32 dan 64; 3) 8 5 dan 16 3; 5) 4 100 dan 32 50;

2) -1000 dan 100; 4) -27 dan -243; 6) 81 75 8 200 dan 3 600 4 150.

Pelajaran mengenai topik: "Peraturan pendaraban dan pembahagian kuasa dengan eksponen yang sama dan berbeza. Contoh"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda. Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 7
Manual untuk buku teks Yu.N. Manual Makarycheva untuk buku teks oleh A.G. Mordkovich

Tujuan pelajaran: belajar melakukan operasi dengan kuasa nombor.

Pertama, mari kita ingat konsep "kuasa nombor". Ungkapan bentuk $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ boleh diwakili sebagai $a^n$.

Sebaliknya juga benar: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Persamaan ini dipanggil "merekodkan ijazah sebagai produk." Ia akan membantu kita menentukan cara untuk mendarab dan membahagikan kuasa.
Ingat:
a– asas ijazah.
n– eksponen.
Jika n=1, yang bermaksud nombor A mengambil sekali dan sewajarnya: $a^n= 1$.
Jika n= 0, kemudian $a^0= 1$.

Kita boleh mengetahui mengapa ini berlaku apabila kita membiasakan diri dengan peraturan pendaraban dan pembahagian kuasa.

Peraturan pendaraban

a) Jika kuasa dengan asas yang sama didarab.
Untuk mendapatkan $a^n * a^m$, kami menulis darjah sebagai hasil darab: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
Rajah menunjukkan bahawa nombor A telah mengambil n+m kali, maka $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Contoh.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Sifat ini mudah digunakan untuk memudahkan kerja apabila menaikkan nombor kepada kuasa yang lebih tinggi.
Contoh.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jika kuasa dengan asas yang berbeza tetapi eksponen yang sama didarab.
Untuk mendapatkan $a^n * b^n$, kami menulis darjah sebagai hasil darab: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Jika kita menukar faktor dan mengira pasangan yang terhasil, kita mendapat: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Jadi $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Contoh.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Peraturan bahagian

a) Asas darjah adalah sama, penunjuk berbeza.
Pertimbangkan untuk membahagikan kuasa dengan eksponen yang lebih besar dengan membahagikan kuasa dengan eksponen yang lebih kecil.

Jadi, kita perlukan $\frac(a^n)(a^m)$, Di mana n>m.

Mari kita tulis darjah sebagai pecahan:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Untuk kemudahan, kami menulis pembahagian sebagai pecahan mudah.

Sekarang mari kita kurangkan pecahan.

Ternyata: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Bermaksud, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Sifat ini akan membantu menjelaskan situasi dengan menaikkan nombor kepada darjah sifar. Mari kita anggap itu n=m, maka $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Contoh.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Asas darjah adalah berbeza, penunjuk adalah sama.
Katakan kita memerlukan $\frac(a^n)( b^n)$. Mari kita tulis kuasa nombor sebagai pecahan:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Untuk kemudahan, mari kita bayangkan.

Dengan menggunakan sifat pecahan, kita bahagikan pecahan besar kepada hasil darab yang kecil, kita dapat.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Sehubungan itu: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Contoh.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.