Simetri paksi agak lurus. Paksi simetri

Dalam pelajaran ini kita akan melihat satu lagi ciri beberapa angka - simetri paksi dan pusat. Kita menghadapi simetri paksi setiap hari apabila kita melihat cermin. Simetri pusat sangat biasa dalam alam semula jadi. Pada masa yang sama, angka yang mempunyai simetri mempunyai beberapa sifat. Di samping itu, kita kemudiannya mengetahui bahawa simetri paksi dan pusat adalah jenis pergerakan dengan bantuan yang mana keseluruhan kelas masalah diselesaikan.

Pelajaran ini ditumpukan kepada simetri paksi dan pusat.

Definisi

Dua titik itu dipanggil simetri agak lurus jika:

Dalam Rajah. 1 menunjukkan contoh titik simetri berkenaan dengan garis lurus dan , dan .

nasi. 1

Mari kita perhatikan juga hakikat bahawa mana-mana titik pada garis adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis ini.

Angka juga boleh simetri berbanding dengan garis lurus.

Mari kita rumuskan definisi yang ketat.

Definisi

Angka itu dipanggil simetri berbanding lurus, jika bagi setiap titik rajah titik simetri kepadanya berbanding garis lurus ini juga tergolong dalam rajah. Dalam kes ini talian dipanggil paksi simetri. Angka itu telah simetri paksi.

Mari kita lihat beberapa contoh rajah yang mempunyai simetri paksi dan paksi simetrinya.

Contoh 1

Sudut mempunyai simetri paksi. Paksi simetri sudut ialah pembahagi dua. Sesungguhnya: mari kita turunkan serenjang dengan pembahagi dua dari mana-mana titik sudut dan panjangkannya sehingga ia bersilang dengan sisi lain sudut (lihat Rajah 2).

nasi. 2

(sejak - sisi biasa, (sifat pembahagi dua), dan segi tiga adalah bersudut tegak). Bermaksud, . Oleh itu, titik-titik adalah simetri berkenaan dengan pembahagi dua sudut.

Ia berikutan daripada ini bahawa segitiga sama kaki juga mempunyai simetri paksi berkenaan dengan pembahagi dua (altitud, median) yang dilukis ke tapak.

Contoh 2

Segitiga sama mempunyai tiga paksi simetri (pembahagi dua/median/ketinggian setiap tiga sudut (lihat Rajah 3).

nasi. 3

Contoh 3

Segi empat tepat mempunyai dua paksi simetri, setiap satunya melalui titik tengah dua sisi bertentangannya (lihat Rajah 4).

nasi. 4

Contoh 4

Rombus juga mempunyai dua paksi simetri: garis lurus yang mengandungi pepenjurunya (lihat Rajah 5).

nasi. 5

Contoh 5

Segi empat sama, iaitu kedua-dua belah ketupat dan segi empat tepat, mempunyai 4 paksi simetri (lihat Rajah 6).

nasi. 6

Contoh 6

Untuk bulatan, paksi simetri ialah sebarang garis lurus yang melalui pusatnya (iaitu, mengandungi diameter bulatan). Oleh itu, bulatan mempunyai banyak paksi simetri yang tidak terhingga (lihat Rajah 7).

nasi. 7

Sekarang mari kita pertimbangkan konsepnya simetri pusat.

Definisi

Titik dipanggil simetri relatif kepada titik jika: - tengah segmen.

Mari lihat beberapa contoh: dalam Rajah. 8 menunjukkan titik dan , serta dan , yang simetri berkenaan dengan titik , dan titik dan tidak simetri berkenaan dengan titik ini.

nasi. 8

Sesetengah angka adalah simetri tentang titik tertentu. Mari kita rumuskan definisi yang ketat.

Definisi

Angka itu dipanggil simetri tentang titik, jika untuk mana-mana titik rajah titik simetri kepadanya juga tergolong dalam rajah ini. Intinya dipanggil pusat simetri, dan angka itu mempunyai simetri pusat.

Mari kita lihat contoh rajah dengan simetri pusat.

Contoh 7

Untuk bulatan, pusat simetri ialah pusat bulatan (ini mudah dibuktikan dengan mengingati sifat diameter dan jejari bulatan) (lihat Rajah 9).

nasi. 9

Contoh 8

Untuk segi empat selari, pusat simetri ialah titik persilangan pepenjuru (lihat Rajah 10).

nasi. 10

Mari kita selesaikan beberapa masalah pada simetri paksi dan pusat.

Tugasan 1.

Berapakah bilangan paksi simetri pada segmen itu?

Segmen mempunyai dua paksi simetri. Yang pertama ialah garis yang mengandungi segmen (kerana mana-mana titik pada garis adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis ini). Yang kedua ialah pembahagi dua serenjang dengan segmen, iaitu garis lurus berserenjang dengan segmen dan melalui tengahnya.

Jawapan: 2 paksi simetri.

Tugasan 2.

Berapakah bilangan paksi simetri pada garis lurus?

Garis lurus mempunyai banyak paksi simetri yang tidak terhingga. Salah satu daripadanya ialah garisan itu sendiri (kerana mana-mana titik pada garisan adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding garisan ini). Dan juga paksi simetri ialah sebarang garis yang berserenjang dengan garis tertentu.

Jawapan: terdapat banyak paksi simetri yang tidak terhingga.

Tugasan 3.

Berapakah bilangan paksi simetri rasuk itu?

Sinar mempunyai satu paksi simetri, yang bertepatan dengan garis yang mengandungi sinar (kerana mana-mana titik pada garis itu simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis ini).

Jawapan: satu paksi simetri.

Tugasan 4.

Buktikan bahawa garisan yang mengandungi pepenjuru bagi rombus ialah paksi simetrinya.

Bukti:

Pertimbangkan rombus. Mari kita buktikan, sebagai contoh, bahawa garis lurus ialah paksi simetrinya. Adalah jelas bahawa titik-titik itu simetri kepada diri mereka sendiri, kerana ia terletak pada garisan ini. Di samping itu, titik dan adalah simetri berkenaan dengan garis ini, kerana . Marilah kita memilih titik sewenang-wenangnya dan buktikan bahawa titik simetri berkenaan dengannya juga tergolong dalam rombus (lihat Rajah 11).

nasi. 11

Lukiskan serenjang dengan garis melalui titik dan panjangkannya sehingga ia bersilang dengan . Pertimbangkan segi tiga dan . Segitiga ini bersudut tegak (dengan pembinaan), di samping itu, mereka mempunyai: - kaki biasa, dan (kerana pepenjuru rombus ialah pembahagi duanya). Jadi segitiga ini adalah sama: . Ini bermakna semua elemen yang sepadan adalah sama, oleh itu: . Daripada kesamaan segmen ini ia mengikuti bahawa titik dan simetri berkenaan dengan garis lurus. Ini bermakna ia adalah paksi simetri rombus. Fakta ini boleh dibuktikan sama untuk pepenjuru kedua.

Terbukti.

Tugasan 5.

Buktikan bahawa titik persilangan pepenjuru segi empat selari ialah pusat simetrinya.

Bukti:

Pertimbangkan segi empat selari. Mari kita buktikan bahawa titik adalah pusat simetrinya. Adalah jelas bahawa titik dan , dan adalah simetri berpasangan berkenaan dengan titik , kerana pepenjuru segi empat selari dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan. Marilah kita memilih titik sewenang-wenangnya dan membuktikan bahawa titik simetri berkenaan dengannya juga tergolong dalam segi empat selari (lihat Rajah 12).

Biarkan g ialah garis tetap (Gamb. 191). Mari kita ambil titik X sewenang-wenangnya dan lepaskan AX berserenjang ke garis lurus g. Pada kesinambungan serenjang di luar titik A, kami memplot segmen AX" sama dengan segmen AX. Titik X" dipanggil simetri kepada titik X berbanding dengan garis lurus g.

Jika titik X terletak pada garis g, maka titik simetri padanya ialah titik X itu sendiri titik simetri X" ialah titik X.

Penjelmaan rajah F kepada rajah F", di mana setiap titik X pergi ke titik X", simetri berkenaan dengan garis lurus g tertentu, dipanggil transformasi simetri berkenaan dengan garis lurus g. Dalam kes ini, angka F dan F" dipanggil simetri berkenaan dengan garis lurus g (Rajah 192).

Jika penjelmaan simetri berkenaan dengan garis g mengambil rajah F ke dalam dirinya sendiri, maka rajah ini dipanggil simetri berkenaan dengan garis g, dan garis g dipanggil paksi simetri rajah itu.

Sebagai contoh, garis lurus yang melalui titik persilangan pepenjuru segi empat tepat selari dengan sisinya ialah paksi simetri segi empat tepat itu (Rajah 193). Garis lurus di mana pepenjuru rombus terletak ialah paksi simetrinya (Rajah 194).

Teorem 9.3. Penjelmaan simetri tentang garis lurus ialah pergerakan.

Bukti. Mari kita ambil garis lurus ini sebagai paksi-y sistem koordinat Cartesan (Rajah 195). Biarkan titik A (x; y) sembarangan bagi rajah F pergi ke titik A" (x"; y") rajah F". Daripada takrif simetri berkenaan dengan garis lurus, titik A dan A" mempunyai koordinat yang sama, dan absis hanya berbeza dalam tanda:

x"= -x.
Mari kita ambil dua titik sewenang-wenangnya A(x 1; y 1) dan B (x 2; y 2) - Mereka akan pergi ke titik A" (- x 1, y 1) dan B" (-x 2; y 2).

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

Daripada ini jelas bahawa AB = A "B". Dan ini bermakna bahawa transformasi simetri tentang garis lurus adalah gerakan. Teorem terbukti.

Sejak zaman purba, manusia telah mengembangkan idea tentang kecantikan. Semua ciptaan alam adalah indah. Orang-orang cantik dengan cara mereka sendiri, haiwan dan tumbuhan adalah menakjubkan. Pemandangan itu sedap mata memandang batu permata atau kristal garam, sukar untuk tidak mengagumi kepingan salji atau rama-rama. Tetapi mengapa ini berlaku? Nampaknya rupa objek adalah betul dan lengkap, bahagian kanan dan kiri yang kelihatan sama, seolah-olah dalam imej cermin.

Rupa-rupanya, orang seni adalah orang pertama yang berfikir tentang intipati kecantikan. Pengukir purba yang mengkaji struktur badan manusia, pada abad ke-5 SM. Konsep "simetri" mula digunakan. Perkataan ini mempunyai asal Yunani dan bermaksud keharmonian, kekadaran dan persamaan dalam susunan bahagian komponen. Plato berhujah bahawa hanya yang simetri dan berkadar boleh menjadi cantik.

Dalam geometri dan matematik, tiga jenis simetri dipertimbangkan: simetri paksi(relatif kepada garis lurus), pusat (relatif kepada titik) dan cermin (relatif kepada satah).

Jika setiap titik sesuatu objek mempunyai pemetaan tepatnya sendiri di dalamnya berbanding pusatnya, terdapat simetri pusat. Contohnya adalah jasad geometri seperti silinder, bola, prisma yang betul dll.

Simetri paksi titik relatif kepada garis lurus memperuntukkan bahawa garis lurus ini bersilang di tengah segmen yang menyambungkan titik dan berserenjang dengannya. Contohnya ialah pembahagi bagi sudut yang belum dibangunkan bagi segi tiga sama kaki, sebarang garisan yang dilukis melalui pusat bulatan, dsb. Jika simetri paksi adalah ciri, takrifan titik cermin boleh divisualisasikan dengan hanya membengkokkannya di sepanjang paksi dan meletakkan bahagian yang sama "bersemuka." Mata yang dikehendaki akan menyentuh antara satu sama lain.

Dengan simetri cermin, titik sesuatu objek terletak sama berbanding dengan satah yang melalui pusatnya.

Alam adalah bijak dan rasional, oleh itu hampir semua ciptaannya mempunyai struktur yang harmoni. Ini terpakai kepada kedua-dua makhluk hidup dan objek tidak bernyawa. Struktur kebanyakan bentuk kehidupan dicirikan oleh salah satu daripada tiga jenis simetri: dua hala, jejari atau sfera.

Selalunya, paksi boleh diperhatikan dalam tumbuh-tumbuhan yang berkembang serenjang dengan permukaan tanah. Dalam kes ini, simetri ialah hasil putaran unsur-unsur yang sama di sekeliling paksi sepunya yang terletak di tengah. Sudut dan kekerapan lokasi mereka mungkin berbeza. Contohnya pokok: spruce, maple dan lain-lain. Dalam sesetengah haiwan, simetri paksi juga berlaku, tetapi ini kurang biasa. Sudah tentu, alam semula jadi jarang dicirikan oleh ketepatan matematik, tetapi persamaan unsur-unsur organisma masih menarik perhatian.

Ahli biologi sering menganggap bukan simetri paksi, tetapi simetri dua hala (dua hala). Contohnya adalah sayap rama-rama atau pepatung, daun tumbuhan, kelopak bunga, dll. Dalam setiap kes, bahagian kanan dan kiri objek hidup adalah sama dan merupakan imej cermin antara satu sama lain.

Simetri sfera adalah ciri buah-buahan banyak tumbuhan, beberapa ikan, moluska dan virus. Contoh simetri jejari ialah beberapa jenis cacing dan echinoderms.

Pada mata manusia, asimetri paling kerap dikaitkan dengan ketidakteraturan atau rendah diri. Oleh itu, dalam kebanyakan ciptaan tangan manusia, simetri dan keharmonian dapat dikesan.

Kehidupan manusia dipenuhi dengan simetri. Ia mudah, cantik, dan tidak perlu mencipta piawaian baharu. Tetapi apakah sebenarnya dan adakah ia seindah alam semula jadi seperti yang biasa dipercayai?

simetri

Sejak zaman purba, orang telah berusaha untuk mengatur dunia di sekeliling mereka. Oleh itu, beberapa perkara dianggap cantik, dan ada yang tidak begitu banyak. Dari sudut pandangan estetik, nisbah emas dan perak dianggap menarik, serta, tentu saja, simetri. Istilah ini berasal dari bahasa Yunani dan secara harfiah bermaksud "perkadaran." Sudah tentu, kita bercakap bukan sahaja tentang kebetulan atas dasar ini, tetapi juga pada beberapa yang lain. Dalam erti kata umum, simetri ialah sifat objek apabila, hasil daripada pembentukan tertentu, hasilnya adalah sama dengan data asal. Ini berlaku dalam kehidupan dan dalam alam yang tidak bernyawa, serta dalam objek yang dibuat oleh manusia.

Pertama sekali, istilah "simetri" digunakan dalam geometri, tetapi menemui aplikasi dalam banyak bidang saintifik, dan maknanya secara amnya tidak berubah. Fenomena ini berlaku agak kerap dan dianggap menarik, kerana beberapa jenisnya, serta unsur-unsurnya, berbeza. Penggunaan simetri juga menarik, kerana ia ditemui bukan sahaja dalam alam semula jadi, tetapi juga dalam corak pada kain, sempadan bangunan dan banyak lagi. objek buatan manusia. Perlu mempertimbangkan fenomena ini dengan lebih terperinci, kerana ia sangat menarik.

Penggunaan istilah dalam bidang saintifik lain

Dalam perkara berikut, simetri akan dipertimbangkan dari sudut pandangan geometri, tetapi perlu disebutkan bahawa perkataan ini digunakan bukan sahaja di sini. Biologi, virologi, kimia, fizik, kristalografi - semua ini adalah senarai tidak lengkap bidang di mana fenomena ini dikaji dengan pelbagai pihak dan dalam keadaan yang berbeza. Sebagai contoh, klasifikasi bergantung pada sains yang dirujuk oleh istilah ini. Oleh itu, pembahagian kepada jenis sangat berbeza, walaupun beberapa yang asas, mungkin, kekal tidak berubah sepanjang masa.

Pengelasan

Terdapat beberapa jenis simetri utama, yang mana tiga adalah yang paling biasa:

Di samping itu, jenis berikut juga dibezakan dalam geometri; ia adalah kurang biasa, tetapi tidak kurang menarik:

• gelongsor;
• putaran;
• titik;
• progresif;
• skru;
• fraktal;
• dll.

Dalam biologi, semua spesies dipanggil sedikit berbeza, walaupun pada dasarnya mereka mungkin sama. Pembahagian kepada kumpulan tertentu berlaku atas dasar ada atau tidak, serta kuantiti unsur-unsur tertentu, seperti pusat, satah dan paksi simetri. Mereka harus dipertimbangkan secara berasingan dan lebih terperinci.

Elemen asas

Fenomena ini mempunyai ciri-ciri tertentu, salah satunya semestinya ada. Unsur asas yang dipanggil termasuk satah, pusat dan paksi simetri. Selaras dengan kehadiran, ketiadaan dan kuantiti mereka, jenis ditentukan.

Pusat simetri ialah titik di dalam rajah atau kristal di mana garis-garis yang menghubungkan secara berpasangan semua sisi selari antara satu sama lain bertumpu. Sudah tentu, ia tidak selalu wujud. Sekiranya terdapat sisi yang tidak ada pasangan selari, maka titik tersebut tidak dapat dijumpai, kerana ia tidak wujud. Menurut definisi, jelas bahawa pusat simetri ialah yang melaluinya suatu rajah boleh dipantulkan ke dirinya sendiri. Contohnya, sebagai contoh, bulatan dan titik di tengahnya. Unsur ini biasanya ditetapkan sebagai C.

Satah simetri, sudah tentu, adalah khayalan, tetapi ia adalah tepat yang membahagikan angka itu kepada dua bahagian yang sama antara satu sama lain. Ia boleh melalui satu atau lebih sisi, selari dengannya, atau membahagikannya. Untuk angka yang sama, beberapa pesawat boleh wujud sekaligus. Unsur-unsur ini biasanya ditetapkan sebagai P.

Tetapi mungkin yang paling biasa ialah apa yang dipanggil "paksi simetri". Ini adalah fenomena biasa yang boleh dilihat dalam geometri dan dalam alam semula jadi. Dan ia patut dipertimbangkan secara berasingan.

gandar

Selalunya unsur yang berkaitan dengan angka boleh dipanggil simetri ialah

garis lurus atau segmen muncul. Walau apa pun, kita tidak bercakap tentang titik atau satah. Kemudian angka itu dipertimbangkan. Terdapat banyak daripada mereka, dan mereka boleh terletak dalam apa jua cara: membahagikan sisi atau selari dengan mereka, serta sudut bersilang atau tidak berbuat demikian. Paksi simetri biasanya ditetapkan sebagai L.

Contohnya termasuk sama kaki dan Dalam kes pertama, akan terdapat paksi menegak simetri, pada kedua-dua belahnya terdapat muka yang sama, dan pada kedua, garisan akan bersilang setiap sudut dan bertepatan dengan semua pembahagi dua, median dan ketinggian. Segitiga biasa tidak mempunyai ini.

Dengan cara ini, keseluruhan semua unsur di atas dalam kristalografi dan stereometri dipanggil tahap simetri. Penunjuk ini bergantung kepada bilangan paksi, satah dan pusat.

Contoh dalam geometri

Secara konvensional, kita boleh membahagikan keseluruhan set objek kajian oleh ahli matematik kepada angka yang mempunyai paksi simetri dan yang tidak. Semua bulatan, bujur, serta beberapa kes khas secara automatik jatuh ke dalam kategori pertama, manakala selebihnya jatuh ke dalam kumpulan kedua.

Seperti dalam kes apabila kita bercakap tentang paksi simetri segitiga, elemen ini tidak selalu wujud untuk segi empat. Untuk segi empat sama, segi empat tepat, rombus atau segi empat selari ia adalah, tetapi untuk angka yang tidak sekata, sewajarnya, ia tidak. Untuk bulatan, paksi simetri ialah set garis lurus yang melalui pusatnya.

Di samping itu, adalah menarik untuk mempertimbangkan angka tiga dimensi dari sudut pandangan ini. Sebagai tambahan kepada semua poligon biasa dan bola, beberapa kon, serta piramid, segi empat selari dan beberapa yang lain, akan mempunyai sekurang-kurangnya satu paksi simetri. Setiap kes mesti dipertimbangkan secara berasingan.

Contoh dalam alam semula jadi

Dalam kehidupan ia dipanggil dua hala, ia berlaku paling banyak
selalunya. Mana-mana orang dan banyak haiwan adalah contoh ini. Axial dipanggil radial dan lebih kurang biasa, biasanya dalam flora. Namun mereka wujud. Sebagai contoh, patut difikirkan tentang berapa banyak paksi simetri yang ada pada bintang, dan adakah ia mempunyai apa-apa? Sudah tentu, kita bercakap tentang makhluk laut, dan bukan tentang subjek kajian ahli astronomi. Dan jawapan yang betul ialah: ia bergantung pada bilangan sinar bintang, contohnya lima jika ia berbucu lima.

Di samping itu, simetri radial diperhatikan dalam banyak bunga: aster, bunga jagung, bunga matahari, dll. Terdapat sejumlah besar contoh, mereka benar-benar ada di mana-mana.

Aritmia

Istilah ini, pertama sekali, mengingatkan kebanyakan perubatan dan kardiologi, tetapi ia pada mulanya mempunyai makna yang sedikit berbeza. Dalam kes ini, sinonim akan menjadi "asimetri", iaitu, ketiadaan atau pelanggaran keteraturan dalam satu bentuk atau yang lain. Ia boleh didapati sebagai kemalangan, dan kadangkala ia boleh menjadi teknik yang indah, contohnya dalam pakaian atau seni bina. Lagipun, terdapat banyak bangunan simetri, tetapi yang terkenal sedikit condong, dan walaupun ia bukan satu-satunya, ia adalah contoh yang paling terkenal. Adalah diketahui bahawa ini berlaku secara tidak sengaja, tetapi ini mempunyai daya tarikan tersendiri.

Di samping itu, adalah jelas bahawa muka dan badan manusia dan haiwan juga tidak simetri sepenuhnya. Malah ada kajian yang menunjukkan bahawa wajah "betul" dinilai tidak bermaya atau tidak menarik. Namun, persepsi simetri dan fenomena ini sendiri adalah menakjubkan dan belum dikaji sepenuhnya, dan oleh itu sangat menarik.