Apakah titik simetri berbanding garis lurus? Projek "Jenis Simetri"

Sejak zaman purba, manusia telah mengembangkan idea tentang kecantikan. Semua ciptaan alam adalah indah. Orang-orang cantik dengan cara mereka sendiri, haiwan dan tumbuh-tumbuhan adalah menakjubkan. Pemandangan itu sedap mata memandang batu permata atau kristal garam, sukar untuk tidak mengagumi kepingan salji atau rama-rama. Tetapi mengapa ini berlaku? Nampaknya rupa objek adalah betul dan lengkap, bahagian kanan dan kiri yang kelihatan sama, seolah-olah dalam imej cermin.

Rupa-rupanya, orang seni adalah orang pertama yang berfikir tentang intipati kecantikan. Pengukir purba yang mengkaji struktur badan manusia, pada abad ke-5 SM. Konsep "simetri" mula digunakan. Perkataan ini mempunyai asal Yunani dan bermaksud keharmonian, kekadaran dan persamaan dalam susunan bahagian komponen. Plato berhujah bahawa hanya yang simetri dan berkadar boleh menjadi cantik.

Dalam geometri dan matematik, tiga jenis simetri dipertimbangkan: simetri paksi (relatif kepada garis lurus), pusat (relatif kepada titik) dan simetri cermin (relatif kepada satah).

Jika setiap titik sesuatu objek mempunyai pemetaan tepatnya sendiri di dalamnya berbanding pusatnya, terdapat simetri pusat. Contohnya adalah jasad geometri seperti silinder, bola, prisma yang betul dll.

Simetri paksi titik relatif kepada garis lurus memperuntukkan bahawa garis lurus ini bersilang di tengah segmen yang menyambungkan titik dan berserenjang dengannya. Contohnya ialah pembahagi bagi sudut yang belum dibangunkan bagi segi tiga sama kaki, sebarang garisan yang dilukis melalui pusat bulatan, dsb. Jika simetri paksi adalah ciri, takrifan titik cermin boleh divisualisasikan dengan hanya membengkokkannya di sepanjang paksi dan meletakkan bahagian yang sama "bersemuka." Mata yang dikehendaki akan menyentuh antara satu sama lain.

Dengan simetri cermin, titik sesuatu objek terletak sama berbanding dengan satah yang melalui pusatnya.

Alam adalah bijak dan rasional, oleh itu hampir semua ciptaannya mempunyai struktur yang harmoni. Ini terpakai kepada kedua-dua makhluk hidup dan objek tidak bernyawa. Struktur kebanyakan bentuk kehidupan dicirikan oleh salah satu daripada tiga jenis simetri: dua hala, jejari atau sfera.

Selalunya, paksi boleh diperhatikan dalam tumbuh-tumbuhan yang berkembang serenjang dengan permukaan tanah. Dalam kes ini, simetri ialah hasil putaran unsur-unsur yang sama di sekeliling paksi sepunya yang terletak di tengah. Sudut dan kekerapan lokasi mereka mungkin berbeza. Contohnya pokok: spruce, maple dan lain-lain. Dalam sesetengah haiwan, simetri paksi juga berlaku, tetapi ini kurang biasa. Sudah tentu, alam semula jadi jarang dicirikan oleh ketepatan matematik, tetapi persamaan unsur-unsur organisma masih menarik perhatian.

Ahli biologi sering menganggap bukan simetri paksi, tetapi simetri dua hala (dua hala). Contohnya adalah sayap rama-rama atau pepatung, daun tumbuhan, kelopak bunga, dll. Dalam setiap kes, bahagian kanan dan kiri objek hidup adalah sama dan merupakan imej cermin antara satu sama lain.

Simetri sfera adalah ciri buah-buahan banyak tumbuhan, beberapa ikan, moluska dan virus. Contoh simetri jejari ialah beberapa jenis cacing dan echinoderms.

Pada mata manusia, asimetri paling kerap dikaitkan dengan ketidakteraturan atau rendah diri. Oleh itu, dalam kebanyakan ciptaan tangan manusia, simetri dan keharmonian dapat dikesan.

Kehidupan manusia dipenuhi dengan simetri. Ia mudah, cantik, dan tidak perlu mencipta piawaian baharu. Tetapi apakah sebenarnya dan adakah ia seindah alam semula jadi seperti yang biasa dipercayai?

simetri

Sejak zaman purba, orang telah berusaha untuk mengatur dunia di sekeliling mereka. Oleh itu, beberapa perkara dianggap cantik, dan ada yang tidak begitu banyak. Dari sudut pandangan estetik, nisbah emas dan perak dianggap menarik, serta, tentu saja, simetri. Istilah ini berasal dari bahasa Yunani dan secara harfiah bermaksud "perkadaran." Sudah tentu, kita bercakap bukan sahaja tentang kebetulan atas dasar ini, tetapi juga pada beberapa yang lain. Dalam erti kata umum, simetri ialah sifat objek apabila, hasil daripada pembentukan tertentu, hasilnya adalah sama dengan data asal. Ini berlaku dalam kehidupan dan dalam alam yang tidak bernyawa, serta dalam objek yang dibuat oleh manusia.

Pertama sekali, istilah "simetri" digunakan dalam geometri, tetapi menemui aplikasi dalam banyak bidang saintifik, dan maknanya secara amnya tidak berubah. Fenomena ini berlaku agak kerap dan dianggap menarik, kerana beberapa jenisnya, serta unsur-unsurnya, berbeza. Penggunaan simetri juga menarik, kerana ia ditemui bukan sahaja dalam alam semula jadi, tetapi juga dalam corak pada kain, sempadan bangunan dan banyak lagi. objek buatan manusia. Perlu mempertimbangkan fenomena ini dengan lebih terperinci, kerana ia sangat menarik.

Penggunaan istilah dalam bidang saintifik lain

Dalam perkara berikut, simetri akan dipertimbangkan dari sudut pandangan geometri, tetapi perlu disebutkan bahawa perkataan ini digunakan bukan sahaja di sini. Biologi, virologi, kimia, fizik, kristalografi - semua ini adalah senarai tidak lengkap bidang di mana fenomena ini dikaji dengan pelbagai pihak dan dalam keadaan yang berbeza. Sebagai contoh, klasifikasi bergantung pada sains yang dirujuk oleh istilah ini. Oleh itu, pembahagian kepada jenis sangat berbeza-beza, walaupun beberapa yang asas, mungkin, kekal tidak berubah sepanjang masa.

Pengelasan

Terdapat beberapa jenis simetri utama, di mana tiga adalah yang paling biasa:

Di samping itu, jenis berikut juga dibezakan dalam geometri; ia adalah kurang biasa, tetapi tidak kurang menarik:

• gelongsor;
• bergilir;
• titik;
• progresif;
• skru;
• fraktal;
• dll.

Dalam biologi, semua spesies dipanggil sedikit berbeza, walaupun pada dasarnya mereka mungkin sama. Pembahagian kepada kumpulan tertentu berlaku atas dasar ada atau tidak, serta kuantiti unsur tertentu, seperti pusat, satah dan paksi simetri. Mereka harus dipertimbangkan secara berasingan dan lebih terperinci.

Elemen asas

Fenomena ini mempunyai ciri-ciri tertentu, salah satunya semestinya ada. Unsur asas yang dipanggil termasuk satah, pusat dan paksi simetri. Selaras dengan kehadiran, ketiadaan dan kuantiti mereka, jenis ditentukan.

Pusat simetri ialah titik di dalam rajah atau kristal di mana garis-garis yang menghubungkan secara berpasangan semua sisi selari antara satu sama lain menumpu. Sudah tentu, ia tidak selalu wujud. Sekiranya terdapat sisi yang tidak ada pasangan selari, maka titik sedemikian tidak dapat dijumpai, kerana ia tidak wujud. Menurut definisi, jelas bahawa pusat simetri ialah yang melaluinya suatu rajah boleh dipantulkan ke dirinya sendiri. Contohnya ialah, sebagai contoh, bulatan dan titik di tengahnya. Unsur ini biasanya ditetapkan sebagai C.

Satah simetri, sudah tentu, adalah khayalan, tetapi ia adalah tepat yang membahagikan angka itu kepada dua bahagian yang sama antara satu sama lain. Ia boleh melalui satu atau lebih sisi, selari dengannya, atau membahagikannya. Untuk angka yang sama, beberapa pesawat boleh wujud sekaligus. Unsur-unsur ini biasanya ditetapkan sebagai P.

Tetapi mungkin yang paling biasa ialah apa yang dipanggil "paksi simetri". Ini adalah fenomena biasa yang boleh dilihat dalam geometri dan dalam alam semula jadi. Dan ia patut dipertimbangkan secara berasingan.

gandar

Selalunya unsur yang berkaitan dengan rajah boleh dipanggil simetri ialah

garis lurus atau segmen muncul. Walau apa pun, kita tidak bercakap tentang titik atau satah. Kemudian angka itu dipertimbangkan. Terdapat banyak daripada mereka, dan mereka boleh terletak dalam apa jua cara: membahagikan sisi atau selari dengan mereka, serta sudut bersilang atau tidak berbuat demikian. Paksi simetri biasanya ditetapkan sebagai L.

Contohnya termasuk isosceles dan Dalam kes pertama akan ada paksi menegak simetri, pada kedua-dua belahnya terdapat muka yang sama, dan pada kedua garisan akan bersilang setiap sudut dan bertepatan dengan semua pembahagi dua, median dan ketinggian. Segitiga biasa tidak mempunyai ini.

Dengan cara ini, keseluruhan semua unsur di atas dalam kristalografi dan stereometri dipanggil tahap simetri. Penunjuk ini bergantung pada bilangan paksi, satah dan pusat.

Contoh dalam geometri

Secara konvensional, kita boleh membahagikan keseluruhan set objek kajian oleh ahli matematik kepada angka yang mempunyai paksi simetri dan yang tidak. Semua bulatan, bujur, serta beberapa kes khas secara automatik jatuh ke dalam kategori pertama, manakala selebihnya jatuh ke dalam kumpulan kedua.

Seperti dalam kes apabila kita bercakap tentang paksi simetri segitiga, elemen ini tidak selalu wujud untuk segi empat. Untuk segi empat sama, segi empat tepat, rombus atau segi empat selari ia adalah, tetapi untuk angka yang tidak sekata, sewajarnya, ia tidak. Untuk bulatan, paksi simetri ialah set garis lurus yang melalui pusatnya.

Di samping itu, adalah menarik untuk mempertimbangkan angka tiga dimensi dari sudut pandangan ini. Sebagai tambahan kepada semua poligon biasa dan bola, beberapa kon, serta piramid, segi empat selari dan beberapa yang lain, akan mempunyai sekurang-kurangnya satu paksi simetri. Setiap kes mesti dipertimbangkan secara berasingan.

Contoh dalam alam semula jadi

Dalam kehidupan ia dipanggil dua hala, ia berlaku paling banyak
selalunya. Mana-mana orang dan banyak haiwan adalah contoh ini. Axial dipanggil radial dan adalah kurang biasa, biasanya dalam flora. Namun mereka wujud. Sebagai contoh, patut difikirkan tentang berapa banyak paksi simetri yang ada pada bintang, dan adakah ia mempunyai apa-apa? Sudah tentu, kita bercakap tentang makhluk laut, dan bukan tentang subjek kajian ahli astronomi. Dan jawapan yang betul ialah: ia bergantung kepada bilangan sinar bintang, contohnya lima, jika ia berbucu lima.

Di samping itu, simetri radial diperhatikan dalam banyak bunga: aster, bunga jagung, bunga matahari, dll. Terdapat sejumlah besar contoh, mereka benar-benar ada di mana-mana.

Aritmia

Istilah ini, pertama sekali, mengingatkan kebanyakan perubatan dan kardiologi, tetapi ia pada mulanya mempunyai makna yang sedikit berbeza. Dalam kes ini, sinonim akan menjadi "asimetri", iaitu, ketiadaan atau pelanggaran keteraturan dalam satu bentuk atau yang lain. Ia boleh didapati sebagai kemalangan, dan kadangkala ia boleh menjadi teknik yang indah, contohnya dalam pakaian atau seni bina. Lagipun, terdapat banyak bangunan simetri, tetapi yang terkenal sedikit condong, dan walaupun ia bukan satu-satunya, ia adalah contoh yang paling terkenal. Adalah diketahui bahawa ini berlaku secara tidak sengaja, tetapi ini mempunyai daya tarikan tersendiri.

Di samping itu, adalah jelas bahawa muka dan badan manusia dan haiwan juga tidak simetri sepenuhnya. Malah ada kajian yang menunjukkan bahawa wajah "betul" dinilai tidak bermaya atau tidak menarik. Namun, persepsi simetri dan fenomena ini sendiri adalah menakjubkan dan belum dikaji sepenuhnya, dan oleh itu sangat menarik.

Persidangan saintifik dan praktikal

Institusi pendidikan perbandaran "Sekolah Menengah No. 23"

bandar Vologda

bahagian: sains semula jadi

reka bentuk dan kerja penyelidikan

JENIS-JENIS SIMETRI

Kerja telah disiapkan oleh seorang pelajar tingkatan 8

Kreneva Margarita

Ketua: guru matematik yang lebih tinggi

2014

Struktur projek:

1. Pengenalan.

2. Matlamat dan objektif projek.

3. Jenis simetri:

3.1. Simetri pusat;

3.2. Simetri paksi;

3.3. Simetri cermin (simetri mengenai satah);

3.4. Simetri putaran;

3.5. Simetri mudah alih.

4. Kesimpulan.

Simetri ialah idea yang melaluinya manusia telah mencuba selama berabad-abad untuk memahami dan mencipta ketertiban, keindahan dan kesempurnaan.

G. Weil

pengenalan.

Topik kerja saya dipilih selepas mempelajari bahagian "Simetri paksi dan pusat" dalam kursus "Geometri gred ke-8". Saya sangat berminat dengan topik ini. Saya ingin tahu: apakah jenis simetri yang wujud, bagaimana ia berbeza antara satu sama lain, apakah prinsip untuk membina angka simetri dalam setiap jenis.

Tujuan kerja : Pengenalan kepada pelbagai jenis simetri.

Tugasan:

Kaji literatur mengenai isu ini.

Meringkaskan dan sistematikkan bahan yang dipelajari.

Sediakan persembahan.

Pada zaman dahulu, perkataan "SIMETRI" digunakan untuk bermaksud "keharmonian", "kecantikan". Diterjemahkan daripada bahasa Yunani, perkataan ini bermaksud “perkadaran, perkadaran, kesamaan dalam susunan bahagian sesuatu pada sisi bertentangan titik, garis lurus atau satah.

Terdapat dua kumpulan simetri.

Kumpulan pertama termasuk simetri kedudukan, bentuk, struktur. Ini adalah simetri yang boleh dilihat secara langsung. Ia boleh dipanggil simetri geometri.

Kumpulan kedua mencirikan simetri fenomena fizikal dan undang-undang alam. Simetri ini terletak pada asas gambaran saintifik semula jadi dunia: ia boleh dipanggil simetri fizikal.

Saya akan berhenti belajarsimetri geometri .

Sebaliknya, terdapat juga beberapa jenis simetri geometri: pusat, paksi, cermin (simetri berbanding satah), jejari (atau berputar), mudah alih dan lain-lain. Hari ini saya akan melihat 5 jenis simetri.

Simetri pusat

Dua mata A dan A 1 dipanggil simetri berkenaan dengan titik O jika ia terletak pada garis lurus yang melalui titik O dan berada di sisi bertentangan dengannya pada jarak yang sama. Titik O dipanggil pusat simetri.

Angka itu dikatakan simetri tentang titik ituTENTANG , jika bagi setiap titik rajah itu terdapat titik simetri kepadanya berbanding dengan titik ituTENTANG juga tergolong dalam angka ini. titikTENTANG dipanggil pusat simetri rajah, mereka mengatakan bahawa rajah itu mempunyai simetri pusat.

Contoh rajah dengan simetri pusat ialah bulatan dan segi empat selari.

Angka yang ditunjukkan pada slaid adalah simetri relatif kepada titik tertentu

2. Simetri paksi

Dua mataX Dan Y dipanggil simetri tentang garis lurust , jika garisan ini melalui bahagian tengah segmen XY dan berserenjang dengannya. Ia juga harus dikatakan bahawa setiap titik adalah garis lurust dianggap simetri kepada dirinya sendiri.

Lurust – paksi simetri.

Rajah dikatakan simetri tentang garis lurust, jika bagi setiap titik rajah itu terdapat satu titik simetri kepadanya berbanding dengan garis lurust juga tergolong dalam angka ini.

Lurustdipanggil paksi simetri rajah, rajah itu dikatakan mempunyai simetri paksi.

Sudut yang belum dibangunkan, sama kaki dan segi tiga sama sisi, segi empat tepat dan rombus mempunyai simetri paksi.surat (lihat pembentangan).

Simetri cermin (simetri tentang satah)

Dua mata P 1 Dan P dipanggil simetri relatif kepada satah a jika ia terletak pada garis lurus yang berserenjang dengan satah a dan berada pada jarak yang sama daripadanya

Simetri cermin diketahui oleh setiap orang. Ia menghubungkan mana-mana objek dan pantulannya dalam cermin rata. Mereka mengatakan bahawa satu rajah adalah cermin simetri kepada yang lain.

Di atas satah, angka dengan paksi simetri yang tidak terkira banyaknya ialah bulatan. Di ruang angkasa, bola mempunyai satah simetri yang tidak terkira banyaknya.

Tetapi jika bulatan adalah sejenis, maka dalam dunia tiga dimensi terdapat satu siri badan dengan bilangan satah simetri yang tidak terhingga: silinder lurus dengan bulatan di pangkalan, kon dengan tapak bulat, sebiji bola.

Adalah mudah untuk menentukan bahawa setiap angka satah simetri boleh diselaraskan dengan dirinya sendiri menggunakan cermin. Adalah menghairankan bahawa angka yang kompleks seperti bintang berbucu lima atau pentagon sama sisi, juga simetri. Oleh kerana ini berikutan daripada bilangan paksi, ia dibezakan oleh simetri yang tinggi. Dan sebaliknya: ia tidak begitu mudah untuk memahami mengapa kelihatan seperti itu angka yang betul, seperti segi empat selari serong, adalah tidak simetri.

4. P simetri putaran (atau simetri jejari)

Simetri putaran - ini adalah simetri, pemeliharaan bentuk objekapabila berputar mengelilingi paksi tertentu melalui sudut yang sama dengan 360°/n(atau gandaan nilai ini), di manan= 2, 3, 4, … Paksi yang ditunjukkan dipanggil paksi berputarn-perintah ke-.

Padan=2 semua titik rajah diputar melalui sudut 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) di sekeliling paksi, manakala bentuk rajah dikekalkan, i.e. setiap titik rajah pergi ke titik rajah yang sama (rajah berubah menjadi dirinya sendiri). Paksi itu dipanggil paksi tertib kedua.

Rajah 2 menunjukkan paksi tertib ketiga, Rajah 3 - tertib ke-4, Rajah 4 - tertib ke-5.

Objek boleh mempunyai lebih daripada satu paksi putaran: Rajah 1 - 3 paksi putaran, Rajah 2 - 4 paksi, Rajah 3 - 5 paksi, Rajah. 4 – hanya 1 paksi

Huruf "I" dan "F" yang terkenal mempunyai simetri putaran Jika anda memutarkan huruf "I" 180° di sekeliling paksi yang berserenjang dengan satah huruf dan melepasi pusatnya, huruf itu akan sejajar dengan dirinya. Dalam erti kata lain, huruf "I" adalah simetri berkenaan dengan putaran 180°, 180°= 360°: 2,n=2, yang bermaksud ia mempunyai simetri tertib kedua.

Ambil perhatian bahawa huruf "F" juga mempunyai simetri putaran tertib kedua.

Di samping itu, huruf itu mempunyai pusat simetri, dan huruf F mempunyai paksi simetri

Mari kita kembali kepada contoh dari kehidupan: gelas, kek paun berbentuk kon dengan ais krim, sekeping wayar, paip.

Jika kita melihat dengan lebih dekat badan-badan ini, kita akan melihat bahawa kesemuanya, dalam satu cara atau yang lain, terdiri daripada bulatan, melalui paksi simetri yang tidak terhingga terdapat satah simetri yang tidak terkira banyaknya. Kebanyakan badan ini (ia dipanggil badan putaran) juga mempunyai, sudah tentu, pusat simetri (pusat bulatan), yang melaluinya sekurang-kurangnya satu paksi putaran simetri.

Contohnya, paksi kon aiskrim jelas kelihatan. Ia berjalan dari tengah bulatan (menonjol keluar dari ais krim!) ke hujung tajam kon corong. Kami melihat keseluruhan unsur simetri badan sebagai sejenis ukuran simetri. Bola, tanpa ragu-ragu, dari segi simetri, adalah penjelmaan kesempurnaan yang tiada tandingan, ideal. Orang Yunani kuno menganggapnya sebagai yang paling badan yang sempurna, dan bulatan, secara semula jadi, sebagai angka rata yang paling sempurna.

Untuk menerangkan simetri objek tertentu, adalah perlu untuk menunjukkan semua paksi putaran dan susunannya, serta semua satah simetri.

Pertimbangkan, sebagai contoh, jasad geometri yang terdiri daripada dua piramid segi empat sama sekata.

Ia mempunyai satu paksi putar tertib ke-4 (paksi AB), empat paksi putar tertib ke-2 (paksi CE,DF, Ahli Parlimen, NQ), lima satah simetri (satahCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Simetri mudah alih

Satu lagi jenis simetri ialahmudah alih Dengan simetri.

Simetri sedemikian disebut apabila, apabila menggerakkan rajah sepanjang garis lurus ke beberapa jarak "a" atau jarak yang merupakan gandaan nilai ini, ia bertepatan dengan dirinya sendiri. Garis lurus di mana pemindahan berlaku dipanggil paksi pemindahan, dan jarak "a" dipanggil pemindahan asas, tempoh atau langkah simetri.

A

Corak berulang secara berkala pada jalur panjang dipanggil sempadan. Dalam amalan, sempadan ditemui dalam pelbagai bentuk (lukisan dinding, besi tuang, pelekat asas atau seramik). Sempadan digunakan oleh pelukis dan artis semasa menghias bilik. Untuk membuat perhiasan ini, stensil dibuat. Kami menggerakkan stensil, membalikkannya atau tidak, menjejaki garis besar, mengulangi corak, dan kami mendapat perhiasan (demonstrasi visual).

Sempadan mudah dibina menggunakan stensil (elemen permulaan), menggerakkan atau membalikkannya dan mengulangi corak. Rajah menunjukkan lima jenis stensil:A ) tidak simetri;b, c ) mempunyai satu paksi simetri: mendatar atau menegak;G ) simetri berpusat;d ) mempunyai dua paksi simetri: menegak dan mendatar.

Untuk membina sempadan, transformasi berikut digunakan:

A ) pemindahan selari;b ) simetri tentang paksi menegak;V ) simetri pusat;G ) simetri tentang paksi mengufuk.

Anda boleh membina soket dengan cara yang sama. Untuk melakukan ini, bulatan dibahagikan kepadan sektor yang sama, dalam salah satu daripadanya corak sampel dibuat dan kemudian yang terakhir diulang secara berurutan di bahagian baki bulatan, memutarkan corak setiap kali dengan sudut 360°/n .

Contoh jelas penggunaan simetri paksi dan mudah alih ialah pagar yang ditunjukkan dalam gambar.

Kesimpulan: Oleh itu, terdapat pelbagai jenis simetri, titik simetri dalam setiap jenis simetri ini dibina mengikut undang-undang tertentu. Dalam kehidupan, kita menghadapi satu jenis simetri di mana-mana, dan selalunya dalam objek yang mengelilingi kita, beberapa jenis simetri boleh diperhatikan sekaligus. Ini mewujudkan ketertiban, keindahan dan kesempurnaan di dunia di sekeliling kita.

KESUSASTERAAN:

Buku Panduan Matematik Rendah. M.Ya. Vygodsky. – Rumah penerbitan “Nauka”. - Moscow 1971 – 416 muka surat.

Kamus moden perkataan asing. - M.: Bahasa Rusia, 1993.

Sejarah matematik di sekolahIX - Xkelas. G.I. Glaser. – Rumah penerbitan “Prosveshcheniye”. – Moscow 1983 – 351 muka surat.

Geometri visual darjah 5 – 6. I.F. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Rumah penerbitan “Drofa”, Moscow 2005. – 189 muka surat

Ensiklopedia untuk kanak-kanak. Biologi. S. Ismailova. – Rumah Penerbitan Avanta+. – Moscow 1997 – 704 muka surat.

Urmantsev Yu.A. Simetri alam dan sifat simetri - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

Dalam pelajaran ini kita akan melihat satu lagi ciri beberapa angka - simetri paksi dan pusat. Kita menghadapi simetri paksi setiap hari apabila kita melihat cermin. Simetri pusat sangat biasa dalam alam semula jadi. Pada masa yang sama, angka yang mempunyai simetri mempunyai beberapa sifat. Di samping itu, kita kemudian akan mengetahui bahawa simetri paksi dan pusat adalah jenis pergerakan dengan bantuan yang mana keseluruhan kelas masalah diselesaikan.

Pelajaran ini ditumpukan kepada simetri paksi dan pusat.

Definisi

Dua titik itu dipanggil simetri agak lurus jika:

Dalam Rajah. 1 menunjukkan contoh titik simetri berkenaan dengan garis lurus dan , dan .

nasi. 1

Mari kita perhatikan juga fakta bahawa mana-mana titik pada garis adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis ini.

Angka juga boleh simetri berbanding dengan garis lurus.

Mari kita rumuskan definisi yang ketat.

Definisi

Angka itu dipanggil simetri berbanding lurus, jika bagi setiap titik rajah, titik simetri kepadanya berbanding garis lurus ini juga tergolong dalam rajah itu. Dalam kes ini talian dipanggil paksi simetri. Angka itu telah simetri paksi.

Mari kita lihat beberapa contoh rajah yang mempunyai simetri paksi dan paksi simetrinya.

Contoh 1

Sudut mempunyai simetri paksi. Paksi simetri sudut ialah pembahagi dua. Sesungguhnya: mari kita turunkan serenjang dengan pembahagi dua dari mana-mana titik sudut dan panjangkannya sehingga ia bersilang dengan sisi lain sudut (lihat Rajah 2).

nasi. 2

(sejak - sisi biasa, (sifat pembahagi dua), dan segi tiga adalah bersudut tegak). Bermaksud, . Oleh itu, titik adalah simetri berkenaan dengan pembahagi dua sudut.

Ia berikutan daripada ini bahawa segitiga sama kaki juga mempunyai simetri paksi berkenaan dengan pembahagi dua (altitud, median) yang dilukis ke tapak.

Contoh 2

Segitiga sama mempunyai tiga paksi simetri (pembahagi dua/median/ketinggian setiap tiga sudut (lihat Rajah 3).

nasi. 3

Contoh 3

Segi empat tepat mempunyai dua paksi simetri, setiap satunya melalui titik tengah dua sisi bertentangannya (lihat Rajah 4).

nasi. 4

Contoh 4

Rombus juga mempunyai dua paksi simetri: garis lurus, yang mengandungi pepenjurunya (lihat Rajah 5).

nasi. 5

Contoh 5

Segi empat sama, iaitu kedua-dua belah ketupat dan segi empat tepat, mempunyai 4 paksi simetri (lihat Rajah 6).

nasi. 6

Contoh 6

Untuk bulatan, paksi simetri ialah sebarang garis lurus yang melalui pusatnya (iaitu, mengandungi diameter bulatan). Oleh itu, bulatan mempunyai banyak paksi simetri yang tidak terhingga (lihat Rajah 7).

nasi. 7

Sekarang mari kita pertimbangkan konsepnya simetri pusat.

Definisi

Titik dipanggil simetri relatif kepada titik jika: - tengah segmen .

Mari lihat beberapa contoh: dalam Rajah. 8 menunjukkan titik dan , serta dan , yang simetri berkenaan dengan titik , dan titik dan tidak simetri berkenaan dengan titik ini.

nasi. 8

Sesetengah angka adalah simetri tentang titik tertentu. Mari kita rumuskan definisi yang ketat.

Definisi

Angka itu dipanggil simetri tentang titik, jika untuk mana-mana titik rajah titik simetri kepadanya juga tergolong dalam rajah ini. Intinya dipanggil pusat simetri, dan angka itu mempunyai simetri pusat.

Mari kita lihat contoh rajah dengan simetri pusat.

Contoh 7

Untuk bulatan, pusat simetri ialah pusat bulatan (ini mudah dibuktikan dengan mengingati sifat diameter dan jejari bulatan) (lihat Rajah 9).

nasi. 9

Contoh 8

Untuk segi empat selari, pusat simetri ialah titik persilangan pepenjuru (lihat Rajah 10).

nasi. 10

Mari kita selesaikan beberapa masalah pada simetri paksi dan pusat.

Tugasan 1.

Berapakah bilangan paksi simetri pada segmen itu?

Segmen mempunyai dua paksi simetri. Yang pertama ialah garis yang mengandungi segmen (kerana mana-mana titik pada garis adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis ini). Yang kedua ialah pembahagi dua serenjang dengan segmen, iaitu garis lurus berserenjang dengan segmen dan melalui tengahnya.

Jawapan: 2 paksi simetri.

Tugasan 2.

Berapakah bilangan paksi simetri pada garis lurus?

Garis lurus mempunyai banyak paksi simetri yang tidak terhingga. Salah satunya ialah garis itu sendiri (kerana mana-mana titik pada garisan adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding garis ini). Dan juga paksi simetri ialah sebarang garis berserenjang dengan garis tertentu.

Jawapan: terdapat banyak paksi simetri yang tidak terhingga.

Tugasan 3.

Berapakah bilangan paksi simetri rasuk itu?

Sinar mempunyai satu paksi simetri, yang bertepatan dengan garis yang mengandungi sinar (kerana mana-mana titik pada garis itu simetri kepada dirinya sendiri berbanding garis ini).

Jawapan: satu paksi simetri.

Tugasan 4.

Buktikan bahawa garisan yang mengandungi pepenjuru bagi rombus ialah paksi simetrinya.

Bukti:

Pertimbangkan rombus. Mari kita buktikan, sebagai contoh, bahawa garis lurus ialah paksi simetrinya. Adalah jelas bahawa titik-titik itu simetri kepada diri mereka sendiri, kerana ia terletak pada garisan ini. Di samping itu, titik dan adalah simetri berkenaan dengan garis ini, kerana . Marilah kita memilih titik sewenang-wenangnya dan buktikan bahawa titik simetri berkenaan dengannya juga tergolong dalam rombus (lihat Rajah 11).

nasi. 11

Lukiskan serenjang dengan garis melalui titik dan panjangkannya sehingga ia bersilang dengan . Pertimbangkan segi tiga dan . Segitiga ini bersudut tegak (dengan pembinaan), di samping itu, mereka mempunyai: - kaki biasa, dan (kerana pepenjuru rombus ialah pembahagi duanya). Jadi segitiga ini adalah sama: . Ini bermakna semua elemen yang sepadan adalah sama, oleh itu: . Daripada kesamaan segmen ini ia mengikuti bahawa titik dan simetri berkenaan dengan garis lurus. Ini bermakna ia adalah paksi simetri rombus. Fakta ini boleh dibuktikan sama untuk pepenjuru kedua.

Terbukti.

Tugasan 5.

Buktikan bahawa titik persilangan pepenjuru segi empat selari ialah pusat simetrinya.

Bukti:

Pertimbangkan segi empat selari. Mari kita buktikan bahawa titik adalah pusat simetrinya. Adalah jelas bahawa titik dan , dan adalah simetri berpasangan berkenaan dengan titik , kerana pepenjuru segi empat selari dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan. Sekarang marilah kita memilih titik sewenang-wenangnya dan membuktikan bahawa titik simetri berkenaan dengannya juga tergolong dalam segi empat selari (lihat Rajah 12).

bangunan fasad seni bina simetri

Simetri ialah konsep yang mencerminkan susunan yang wujud dalam alam semula jadi, perkadaran dan perkadaran antara unsur-unsur mana-mana sistem atau objek alam, keteraturan, keseimbangan sistem, kestabilan, i.e. beberapa unsur keharmonian.

Milenium berlalu sebelum manusia, dalam perjalanan aktiviti sosial dan pengeluarannya, menyedari keperluan untuk menyatakan dalam konsep tertentu dua kecenderungan yang telah ditubuhkan terutamanya dalam alam semula jadi: kehadiran ketertiban yang ketat, perkadaran, keseimbangan dan pelanggarannya. Orang ramai telah lama memberi perhatian kepada bentuk kristal yang betul, ketegasan geometri struktur sarang lebah, urutan dan kebolehulangan susunan dahan dan daun pada pokok, kelopak, bunga, biji tumbuhan, dan mencerminkan keteraturan ini dalam mereka. aktiviti amali, pemikiran dan seni.

Objek dan fenomena alam hidup mempunyai simetri. Ia bukan sahaja menggembirakan mata dan memberi inspirasi kepada penyair sepanjang zaman dan rakyat, tetapi membolehkan organisma hidup menyesuaikan diri dengan lebih baik dengan persekitaran mereka dan hanya bertahan.

Dalam alam hidup, sebahagian besar organisma hidup mempamerkan pelbagai jenis simetri (bentuk, persamaan, lokasi relatif). Selain itu, organisma yang berbeza struktur anatomi mungkin mempunyai jenis simetri luaran yang sama.

Prinsip simetri menyatakan bahawa jika ruang adalah homogen, pemindahan sistem secara keseluruhan dalam ruang tidak mengubah sifat sistem. Jika semua arah dalam ruang adalah setara, maka prinsip simetri membolehkan putaran sistem secara keseluruhan dalam ruang. Prinsip simetri dihormati jika asal usul masa diubah. Selaras dengan prinsip, adalah mungkin untuk membuat peralihan kepada sistem rujukan lain yang bergerak relatif kepada sistem ini pada kelajuan tetap. Dunia tidak bernyawa adalah sangat simetri. Selalunya pelanggaran simetri dalam fizik kuantum zarah asas- ini adalah manifestasi simetri yang lebih mendalam. Asimetri ialah prinsip kehidupan yang membentuk struktur dan kreatif. Dalam sel hidup, biomolekul yang penting dari segi fungsi adalah tidak simetri: protein terdiri daripada asid amino levorotatori (bentuk L), dan asid nukleik mengandungi, sebagai tambahan kepada asas heterosiklik, karbohidrat dextrorotatory - gula (bentuk D), di samping itu, DNA itu sendiri - asas keturunan adalah heliks berganda tangan kanan.

Prinsip simetri mendasari teori relativiti, mekanik kuantum, fizik keadaan pepejal, fizik atom dan nuklear, dan fizik zarah. Prinsip-prinsip ini paling jelas dinyatakan dalam sifat invarian undang-undang alam. Kita bercakap bukan sahaja tentang undang-undang fizikal, tetapi juga yang lain, sebagai contoh, undang-undang biologi. Contoh undang-undang pemuliharaan biologi ialah undang-undang pewarisan. Ia berdasarkan invarian sifat biologi berhubung dengan peralihan dari satu generasi ke generasi yang lain. Agak jelas bahawa tanpa undang-undang pemuliharaan (fizikal, biologi dan lain-lain), dunia kita tidak mungkin wujud.

Oleh itu, simetri menyatakan pemeliharaan sesuatu walaupun terdapat perubahan atau pemeliharaan sesuatu walaupun berlaku perubahan. Simetri mengandaikan ketakbolehubah bukan sahaja objek itu sendiri, tetapi juga mana-mana sifatnya berhubung dengan transformasi yang dilakukan pada objek. Ketidakbolehubahan objek tertentu boleh diperhatikan berhubung dengan pelbagai operasi - putaran, terjemahan, penggantian bersama bahagian, pantulan, dll.

Mari kita pertimbangkan jenis simetri dalam matematik:

• * pusat (berbanding dengan titik)
• * paksi (agak lurus)
• * cermin (berbanding dengan pesawat)
• 1. Simetri pusat (Lampiran 1)

Suatu rajah dikatakan simetri berkenaan dengan titik O jika, bagi setiap titik rajah itu, satu titik simetri berkenaan dengan titik O juga tergolong dalam rajah ini. Titik O dipanggil pusat simetri rajah.

Konsep pusat simetri mula ditemui pada abad ke-16. Dalam salah satu teorem Clavius, yang menyatakan: "jika sebuah parallelepiped dipotong oleh satah yang melalui pusat, maka ia terbelah dua dan, sebaliknya, jika parallelepiped dipotong separuh, maka satah melalui pusat." Legendre, yang pertama kali memperkenalkan unsur-unsur doktrin simetri ke dalam geometri asas, menunjukkan bahawa selari tegak mempunyai 3 satah simetri berserenjang dengan tepi, dan kubus mempunyai 9 satah simetri, di mana 3 adalah berserenjang dengan tepi, dan 6 yang lain melalui pepenjuru muka.

Contoh rajah yang mempunyai simetri pusat ialah bulatan dan selari.

Dalam algebra, apabila mengkaji fungsi genap dan ganjil, graf mereka dipertimbangkan. Apabila dibina, graf bagi fungsi genap adalah simetri berkenaan dengan paksi ordinat, dan graf bagi fungsi ganjil adalah simetri berkenaan dengan asalan, i.e. titik O. Ini bermakna fungsi ganjil mempunyai simetri pusat, dan fungsi genap mempunyai simetri paksi.

2. Simetri paksi (Lampiran 2)

Suatu rajah dipanggil simetri berkenaan dengan garis a jika, bagi setiap titik rajah itu, satu titik simetri berkenaan dengan garis a juga tergolong dalam rajah ini. Garis lurus a dipanggil paksi simetri rajah. Rajah itu juga dikatakan mempunyai simetri paksi.

Dalam erti kata yang lebih sempit, paksi simetri dipanggil paksi simetri tertib kedua dan bercakap tentang "simetri paksi," yang boleh ditakrifkan seperti berikut: rajah (atau badan) mempunyai simetri paksi mengenai paksi tertentu jika setiap titik E sepadan dengan titik F kepunyaan angka yang sama, bahawa segmen EF berserenjang dengan paksi, bersilang dan dibahagikan kepada separuh pada titik persilangan.

Saya akan memberikan contoh rajah yang mempunyai simetri paksi. Sudut yang belum berkembang mempunyai satu paksi simetri - garis lurus di mana pembahagi dua sudut itu terletak. Segi tiga sama kaki (tetapi bukan sama sisi) juga mempunyai satu paksi simetri, dan segi tiga sama mempunyai tiga paksi simetri. Segi empat tepat dan rombus, yang bukan segi empat sama, masing-masing mempunyai dua paksi simetri, dan segi empat sama mempunyai empat paksi simetri. Sebuah bulatan mempunyai bilangan tak terhingga - sebarang garis lurus yang melalui pusatnya ialah paksi simetri.

Terdapat angka yang tidak mempunyai satu paksi simetri. Angka tersebut termasuk segi empat selari, berbeza daripada segi empat tepat, dan segi tiga skala.

3. Simetri cermin (Lampiran 3)

Simetri cermin (simetri relatif kepada satah) ialah pemetaan ruang pada dirinya sendiri di mana mana-mana titik M masuk ke titik M1 yang simetri kepadanya berbanding satah ini.

Simetri cermin diketahui oleh setiap orang daripada pemerhatian setiap hari. Seperti namanya sendiri, simetri cermin menghubungkan mana-mana objek dan pantulannya dalam cermin satah. Satu rajah (atau badan) dikatakan simetri cermin kepada yang lain jika bersama-sama membentuk rajah simetri cermin (atau badan).

Pemain biliard telah lama mengenali aksi renungan. "Cermin" mereka adalah sisi padang permainan, dan peranan sinar cahaya dimainkan oleh trajektori bola. Setelah memukul sisi berhampiran sudut, bola berguling ke arah sisi yang terletak pada sudut tepat, dan, setelah dipantulkan daripadanya, bergerak ke belakang selari dengan arah hentaman pertama.

Perlu diingatkan bahawa dua angka simetri atau dua bahagian simetri satu rajah, walaupun semua persamaannya, kesamaan isipadu dan luas permukaan, dalam kes umum, adalah tidak sama, i.e. mereka tidak boleh digabungkan antara satu sama lain. Ini adalah angka yang berbeza, mereka tidak boleh digantikan antara satu sama lain, contohnya, sarung tangan yang betul, but, dll. tidak sesuai untuk lengan atau kaki kiri. Item boleh mempunyai satu, dua, tiga, dsb. satah simetri. Contohnya, piramid lurus, tapaknya ialah segi tiga sama kaki, adalah simetri kira-kira satu satah P. Prisma dengan tapak yang sama mempunyai dua satah simetri. Prisma heksagon sekata mempunyai tujuh daripadanya. Badan putaran: bola, torus, silinder, kon, dll. mempunyai bilangan satah simetri yang tidak terhingga.

Orang Yunani kuno percaya bahawa alam semesta adalah simetri semata-mata kerana simetri itu indah. Berdasarkan pertimbangan simetri, mereka membuat beberapa tekaan. Oleh itu, Pythagoras (abad ke-5 SM), menganggap sfera yang paling simetri dan bentuk yang sempurna, membuat kesimpulan tentang sfera Bumi dan pergerakannya di sepanjang sfera. Pada masa yang sama, dia percaya bahawa Bumi bergerak di sepanjang sfera "api pusat" tertentu. Menurut Pythagoras, enam planet yang diketahui pada masa itu, serta Bulan, Matahari, dan bintang, sepatutnya berputar mengelilingi "api" yang sama.