Lukisan paksi. Segi empat tepat, berlian dan segi empat sama

Anda akan perlukan

• - sifat titik simetri;
• - sifat angka simetri;
• - pembaris;
• - persegi;
• - kompas;
• - pensel;
• - sehelai kertas;
• - komputer dengan editor grafik.

Arahan

Lukiskan garis lurus a, yang akan menjadi paksi simetri. Jika koordinatnya tidak dinyatakan, lukiskannya sewenang-wenangnya. Letakkan titik A sewenang-wenangnya pada satu sisi garis ini Anda perlu mencari titik simetri.

Nasihat yang berguna

Sifat simetri digunakan secara berterusan dalam AutoCAD. Untuk melakukan ini, gunakan pilihan Mirror. Untuk membina segitiga isosceles atau isosceles trapezoid, cukup untuk melukis tapak bawah dan sudut di antaranya dan sisi. Cerminkan mereka menggunakan arahan yang ditentukan dan panjangkan sisi ke saiz yang diperlukan. Dalam kes segitiga, ini akan menjadi titik persilangan mereka, dan untuk trapezoid, ini akan menjadi nilai yang diberikan.

Anda sentiasa menjumpai simetri dalam editor grafik apabila anda menggunakan pilihan "terbalik secara menegak/mendatar". Dalam kes ini, paksi simetri diambil sebagai garis lurus yang sepadan dengan salah satu sisi menegak atau mendatar bingkai gambar.

Sumber:

• cara melukis simetri pusat

Membina keratan rentas kon bukanlah tugas yang sukar. Perkara utama ialah mengikuti urutan tindakan yang ketat. Kemudian tugas ini akan mudah dicapai dan tidak memerlukan banyak tenaga kerja daripada anda.

Anda akan perlukan

• - kertas;
• - pen;
• - bulatan;
• - pembaris.

Arahan

Apabila menjawab soalan ini, anda mesti terlebih dahulu memutuskan parameter yang menentukan bahagian tersebut.
Biarkan ini menjadi garis lurus persilangan satah l dengan satah dan titik O, iaitu persilangan dengan bahagiannya.

Pembinaan digambarkan dalam Rajah 1. Langkah pertama dalam membina bahagian adalah melalui pusat bahagian diameternya, dilanjutkan ke l berserenjang dengan garisan ini. Hasilnya ialah titik L. Seterusnya, lukis garis lurus LW melalui titik O, dan bina dua kon panduan yang terletak di bahagian utama O2M dan O2C. Di persimpangan panduan ini terletak titik Q, serta titik W yang telah ditunjukkan. Ini adalah dua titik pertama bahagian yang dikehendaki.

Sekarang lukis MS berserenjang di dasar kon BB1 ​​dan bina penjanaan bagi bahagian serenjang O2B dan O2B1. Dalam bahagian ini, melalui titik O, lukis garis lurus RG selari dengan BB1. Т.R dan Т.G ialah dua lagi titik bahagian yang dikehendaki. Sekiranya keratan rentas bola diketahui, maka ia boleh dibina sudah pada peringkat ini. Walau bagaimanapun, ini bukan elips sama sekali, tetapi sesuatu elips yang mempunyai simetri berkenaan dengan segmen QW. Oleh itu, anda harus membina seberapa banyak titik bahagian yang mungkin untuk menyambungkannya kemudian dengan lengkung yang lancar untuk mendapatkan lakaran yang paling boleh dipercayai.

Bina titik keratan sewenang-wenangnya. Untuk melakukan ini, lukis diameter AN sewenang-wenangnya di dasar kon dan bina panduan yang sepadan O2A dan O2N. Melalui t.O, lukis garisan yang melalui PQ dan WG sehingga ia bersilang dengan panduan yang baru dibina pada titik P dan E. Ini adalah dua lagi titik bahagian yang dikehendaki. Meneruskan dengan cara yang sama, anda boleh mencari seberapa banyak mata yang anda mahu.

Benar, prosedur untuk mendapatkannya boleh dipermudahkan sedikit menggunakan simetri berkenaan dengan QW. Untuk melakukan ini, anda boleh melukis garis lurus SS dalam satah bahagian yang dikehendaki, selari dengan RG sehingga ia bersilang dengan permukaan kon. Pembinaan disiapkan dengan membundarkan polyline yang dibina daripada kord. Ia cukup untuk membina separuh daripada bahagian yang dikehendaki kerana simetri yang telah disebutkan berkenaan dengan QW.

Video mengenai topik

Petua 3: Cara membuat graf fungsi trigonometri

Anda perlu melukis jadual trigonometri fungsi? Kuasai algoritma tindakan menggunakan contoh membina sinusoid. Untuk menyelesaikan masalah, gunakan kaedah penyelidikan.

Anda akan perlukan

• - pembaris;
• - pensel;
• - pengetahuan tentang asas trigonometri.

Arahan

Video mengenai topik

Sila ambil perhatian

Jika dua separa paksi bagi hiperboloid jalur tunggal adalah sama, maka angka itu boleh diperolehi dengan memutarkan hiperbola dengan separa paksi, salah satunya adalah di atas, dan yang lain, berbeza daripada dua yang sama, di sekeliling paksi khayalan.

Nasihat yang berguna

Apabila meneliti angka ini berbanding dengan paksi Oxz dan Oyz, jelas bahawa bahagian utamanya ialah hiperbola. Dan apabila angka spatial putaran ini dipotong oleh satah Oxy, bahagiannya adalah elips. Elips leher bagi hiperboloid jalur tunggal melalui asal koordinat, kerana z=0.

Elips tekak diterangkan oleh persamaan x²/a² +y²/b²=1, dan elips lain disusun oleh persamaan x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Sumber:

• Elipsoid, paraboloid, hiperboloid. Penjana rectilinear

Bentuk bintang berbucu lima telah digunakan secara meluas oleh manusia sejak zaman dahulu. Kami menganggap bentuknya cantik kerana kami secara tidak sedar mengenali di dalamnya hubungan bahagian emas, i.e. kecantikan bintang bucu lima itu wajar secara matematik. Euclid adalah orang pertama yang menerangkan pembinaan bintang berbucu lima dalam Elemennya. Jom sertai pengalaman beliau.

Anda akan perlukan

• pembaris;
• pensel;
• kompas;
• protraktor.

Arahan

Pembinaan bintang datang kepada pembinaan dan penyambungan seterusnya bucunya antara satu sama lain secara berurutan melalui satu. Untuk membina yang betul, anda perlu membahagikan bulatan kepada lima.
Bina bulatan sewenang-wenangnya menggunakan kompas. Tandakan pusatnya dengan titik O.

Tandakan titik A dan gunakan pembaris untuk melukis segmen garisan OA. Sekarang anda perlu membahagikan segmen OA kepada separuh; untuk melakukan ini, dari titik A, lukis lengkok jejari OA sehingga ia bersilang dengan bulatan pada dua titik M dan N. Bina segmen MN. Titik E di mana MN bersilang dengan OA akan membelah bahagian OA.

Pulihkan OD berserenjang kepada jejari OA dan sambungkan titik D dan E. Buat takuk B pada OA dari titik E dengan jejari ED.

Sekarang, menggunakan segmen garis DB, tandakan bulatan kepada lima bahagian yang sama. Labelkan bucu pentagon sekata secara berurutan dengan nombor dari 1 hingga 5. Sambungkan titik dalam urutan berikut: 1 dengan 3, 2 dengan 4, 3 dengan 5, 4 dengan 1, 5 dengan 2. Berikut adalah yang betul bintang berbucu lima, ke dalam pentagon biasa. Beginilah cara saya membinanya

Konsep pergerakan

Mari kita kaji dahulu konsep pergerakan.

Definisi 1

Pemetaan satah dipanggil gerakan satah jika jarak dikekalkan semasa pemetaan ini.

Terdapat beberapa teorem yang berkaitan dengan konsep ini.

Teorem 2

Segitiga itu, apabila bergerak, bertukar menjadi segi tiga sama.

Teorem 3

Mana-mana angka, apabila bergerak, berubah menjadi angka yang sama dengannya.

Simetri paksi dan pusat adalah contoh gerakan. Mari kita lihat mereka dengan lebih terperinci.

Simetri paksi

Definisi 2

Titik $A$ dan $A_1$ dipanggil simetri berkenaan dengan garis $a$ jika garis ini berserenjang dengan segmen $(AA)_1$ dan melalui pusatnya (Rajah 1).

Rajah 1.

Mari kita pertimbangkan simetri paksi menggunakan contoh masalah.

Contoh 1

Bina segitiga simetri untuk segi tiga yang diberi mengenai mana-mana aspeknya.

Penyelesaian.

Biarkan kita diberi segitiga $ABC$. Kami akan membina simetrinya berkenaan dengan sisi $BC$. Sisi $BC$ dengan simetri paksi akan berubah menjadi dirinya sendiri (berikut daripada definisi). Titik $A$ akan pergi ke titik $A_1$ seperti berikut: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Segitiga $ABC$ akan berubah menjadi segitiga $A_1BC$ (Gamb. 2).

Rajah 2.

Definisi 3

Suatu rajah dikatakan simetri berkenaan dengan garis lurus $a$ jika setiap satu titik simetri angka ini terkandung dalam angka yang sama (Rajah 3).

Rajah 3.

Rajah $3$ menunjukkan sebuah segi empat tepat. Ia mempunyai simetri paksi berkenaan dengan setiap diameternya, serta berkenaan dengan dua garis lurus yang melalui pusat sisi bertentangan bagi segi empat tepat tertentu.

Simetri pusat

Definisi 4

Titik $X$ dan $X_1$ dipanggil simetri berkenaan dengan titik $O$ jika titik $O$ ialah pusat segmen $(XX)_1$ (Rajah 4).

Rajah 4.

Mari kita pertimbangkan simetri pusat menggunakan contoh masalah.

Contoh 2

Bina segitiga simetri untuk segitiga tertentu pada mana-mana bucunya.

Penyelesaian.

Biarkan kita diberi segitiga $ABC$. Kami akan membina simetrinya berbanding dengan bucu $A$. Puncak $A$ dengan simetri pusat akan berubah menjadi dirinya sendiri (berikut daripada definisi). Titik $B$ akan pergi ke titik $B_1$ seperti berikut: $(BA=AB)_1$, dan titik $C$ akan pergi ke titik $C_1$ seperti berikut: $(CA=AC)_1$. Segitiga $ABC$ akan berubah menjadi segitiga $(AB)_1C_1$ (Rajah 5).

Rajah 5.

Definisi 5

Suatu rajah adalah simetri berkenaan dengan titik $O$ jika setiap titik simetri rajah ini terkandung dalam rajah yang sama (Rajah 6).

Rajah 6.

Rajah $6$ menunjukkan sebuah segi empat selari. Ia mempunyai simetri pusat mengenai titik persilangan pepenjurunya.

Contoh tugasan.

Contoh 3

Biar kami diberi segmen $AB$. Bina simetrinya berkenaan dengan garis $l$, yang tidak bersilang dengan ruas yang diberi, dan berkenaan dengan titik $C$ yang terletak pada garis $l$.

Penyelesaian.

Marilah kita menggambarkan secara skematik keadaan masalah.

Rajah 7.

Mari kita mula-mula menggambarkan simetri paksi berkenaan dengan garis lurus $l$. Oleh kerana simetri paksi ialah pergerakan, maka dengan Teorem $1$, segmen $AB$ akan dipetakan pada segmen $A"B"$ yang sama dengannya. Untuk membinanya, kami akan melakukan perkara berikut: lukis garis lurus $m\ dan\n$ melalui titik $A\ dan\B$, berserenjang dengan garis lurus $l$. Biarkan $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Seterusnya kita lukis segmen $A"X=AX$ dan $B"Y=BY$.

Rajah 8.

Mari kita sekarang menggambarkan simetri pusat berkenaan dengan titik $C$. Oleh kerana simetri pusat ialah gerakan, maka dengan Teorem $1$, segmen $AB$ akan dipetakan pada segmen $A""B""$ yang sama dengannya. Untuk membinanya, kami akan melakukan perkara berikut: lukis garisan $AC\ dan\ BC$. Seterusnya kita lukiskan segmen $A^("")C=AC$ dan $B^("")C=BC$.

Rajah 9.

Kehidupan manusia dipenuhi dengan simetri. Ia mudah, cantik, dan tidak perlu mencipta piawaian baharu. Tetapi apakah sebenarnya dan adakah ia seindah alam semula jadi seperti yang biasa dipercayai?

simetri

Sejak zaman purba, orang telah berusaha untuk mengatur dunia di sekeliling mereka. Oleh itu, beberapa perkara dianggap cantik, dan ada yang tidak begitu banyak. Dari sudut pandangan estetik, nisbah emas dan perak dianggap menarik, serta, tentu saja, simetri. Istilah ini mempunyai asal Yunani dan secara literal bermaksud "perkadaran". Sudah tentu, kita bercakap bukan sahaja tentang kebetulan atas dasar ini, tetapi juga pada beberapa yang lain. Dalam erti kata umum, simetri ialah sifat objek apabila, hasil daripada pembentukan tertentu, hasilnya adalah sama dengan data asal. Ini berlaku dalam kehidupan dan dalam alam yang tidak bernyawa, serta dalam objek yang dibuat oleh manusia.

Pertama sekali, istilah "simetri" digunakan dalam geometri, tetapi menemui aplikasi dalam banyak bidang saintifik, dan maknanya secara amnya tidak berubah. Fenomena ini berlaku agak kerap dan dianggap menarik, kerana beberapa jenisnya, serta unsur-unsurnya, berbeza. Penggunaan simetri juga menarik, kerana ia ditemui bukan sahaja dalam alam semula jadi, tetapi juga dalam corak pada kain, sempadan bangunan dan banyak lagi. objek buatan manusia. Perlu mempertimbangkan fenomena ini dengan lebih terperinci, kerana ia sangat menarik.

Penggunaan istilah dalam bidang saintifik lain

Dalam perkara berikut, simetri akan dipertimbangkan dari sudut pandangan geometri, tetapi perlu disebutkan bahawa perkataan ini digunakan bukan sahaja di sini. Biologi, virologi, kimia, fizik, kristalografi - semua ini adalah senarai tidak lengkap bidang di mana fenomena ini dikaji dengan pelbagai pihak dan dalam keadaan yang berbeza. Sebagai contoh, klasifikasi bergantung pada sains yang dirujuk oleh istilah ini. Oleh itu, pembahagian kepada jenis sangat berbeza-beza, walaupun beberapa yang asas, mungkin, kekal tidak berubah sepanjang masa.

Pengelasan

Terdapat beberapa jenis simetri utama, di mana tiga adalah yang paling biasa:

Di samping itu, jenis berikut juga dibezakan dalam geometri; ia adalah kurang biasa, tetapi tidak kurang menarik:

• gelongsor;
• bergilir;
• titik;
• progresif;
• skru;
• fraktal;
• dll.

Dalam biologi, semua spesies dipanggil sedikit berbeza, walaupun pada dasarnya mereka mungkin sama. Pembahagian kepada kumpulan tertentu berlaku atas dasar ada atau tidak, serta kuantiti unsur tertentu, seperti pusat, satah dan paksi simetri. Mereka harus dipertimbangkan secara berasingan dan lebih terperinci.

Elemen asas

Fenomena ini mempunyai ciri-ciri tertentu, salah satunya semestinya ada. Unsur asas yang dipanggil termasuk satah, pusat dan paksi simetri. Selaras dengan kehadiran, ketiadaan dan kuantiti mereka, jenis ditentukan.

Pusat simetri ialah titik di dalam rajah atau kristal di mana garis-garis yang menghubungkan secara berpasangan semua sisi selari antara satu sama lain menumpu. Sudah tentu, ia tidak selalu wujud. Sekiranya terdapat sisi yang tidak ada pasangan selari, maka titik sedemikian tidak dapat dijumpai, kerana ia tidak wujud. Menurut definisi, jelas bahawa pusat simetri ialah yang melaluinya suatu rajah boleh dipantulkan ke dirinya sendiri. Contohnya ialah, sebagai contoh, bulatan dan titik di tengahnya. Unsur ini biasanya ditetapkan sebagai C.

Satah simetri, sudah tentu, adalah khayalan, tetapi ia adalah tepat yang membahagikan angka itu kepada dua bahagian yang sama antara satu sama lain. Ia boleh melalui satu atau lebih sisi, selari dengannya, atau membahagikannya. Untuk angka yang sama, beberapa pesawat boleh wujud sekaligus. Unsur-unsur ini biasanya ditetapkan sebagai P.

Tetapi mungkin yang paling biasa ialah apa yang dipanggil "paksi simetri". Ini adalah fenomena biasa yang boleh dilihat dalam geometri dan dalam alam semula jadi. Dan ia patut dipertimbangkan secara berasingan.

gandar

Selalunya unsur yang berkaitan dengan angka boleh dipanggil simetri ialah

garis lurus atau segmen muncul. Walau apa pun, kita tidak bercakap tentang titik atau satah. Kemudian angka itu dipertimbangkan. Terdapat banyak daripada mereka, dan mereka boleh terletak dalam apa jua cara: membahagikan sisi atau selari dengan mereka, serta sudut bersilang atau tidak berbuat demikian. Paksi simetri biasanya ditetapkan sebagai L.

Contohnya termasuk isosceles dan Dalam kes pertama akan ada paksi menegak simetri, pada kedua-dua belahnya terdapat muka yang sama, dan pada kedua garisan akan bersilang setiap sudut dan bertepatan dengan semua pembahagi dua, median dan ketinggian. Segitiga biasa tidak mempunyai ini.

Dengan cara ini, keseluruhan semua unsur di atas dalam kristalografi dan stereometri dipanggil tahap simetri. Penunjuk ini bergantung pada bilangan paksi, satah dan pusat.

Contoh dalam geometri

Secara konvensional, kita boleh membahagikan keseluruhan set objek kajian oleh ahli matematik kepada angka yang mempunyai paksi simetri dan yang tidak. Semua bulatan, bujur, serta beberapa kes khas secara automatik jatuh ke dalam kategori pertama, manakala selebihnya jatuh ke dalam kumpulan kedua.

Seperti dalam kes apabila kita bercakap tentang paksi simetri segitiga, elemen ini tidak selalu wujud untuk segi empat. Untuk segi empat sama, segi empat tepat, rombus atau segi empat selari ia adalah, tetapi untuk angka yang tidak sekata, sewajarnya, ia tidak. Untuk bulatan, paksi simetri ialah set garis lurus yang melalui pusatnya.

Di samping itu, adalah menarik untuk mempertimbangkan angka tiga dimensi dari sudut pandangan ini. Sebagai tambahan kepada semua poligon biasa dan bola, beberapa kon, serta piramid, segi empat selari dan beberapa yang lain, akan mempunyai sekurang-kurangnya satu paksi simetri. Setiap kes mesti dipertimbangkan secara berasingan.

Contoh dalam alam semula jadi

Dalam kehidupan ia dipanggil dua hala, ia berlaku paling banyak
selalunya. Mana-mana orang dan banyak haiwan adalah contoh ini. Axial dipanggil radial dan adalah kurang biasa, biasanya dalam flora. Namun mereka wujud. Sebagai contoh, patut difikirkan tentang berapa banyak paksi simetri yang ada pada bintang, dan adakah ia mempunyai apa-apa? Sudah tentu, kita bercakap tentang makhluk laut, dan bukan tentang subjek kajian ahli astronomi. Dan jawapan yang betul ialah: ia bergantung kepada bilangan sinar bintang, contohnya lima, jika ia berbucu lima.

Di samping itu, simetri radial diperhatikan dalam banyak bunga: aster, bunga jagung, bunga matahari, dll. Terdapat sejumlah besar contoh, mereka benar-benar ada di mana-mana.

Aritmia

Istilah ini, pertama sekali, mengingatkan kebanyakan perubatan dan kardiologi, tetapi ia pada mulanya mempunyai makna yang sedikit berbeza. Dalam kes ini, sinonim akan menjadi "asimetri", iaitu, ketiadaan atau pelanggaran keteraturan dalam satu bentuk atau yang lain. Ia boleh didapati sebagai kemalangan, dan kadangkala ia boleh menjadi teknik yang indah, contohnya dalam pakaian atau seni bina. Lagipun, terdapat banyak bangunan simetri, tetapi yang terkenal sedikit condong, dan walaupun ia bukan satu-satunya, ia adalah contoh yang paling terkenal. Adalah diketahui bahawa ini berlaku secara tidak sengaja, tetapi ini mempunyai daya tarikan tersendiri.

Di samping itu, adalah jelas bahawa muka dan badan manusia dan haiwan juga tidak simetri sepenuhnya. Malah ada kajian yang menunjukkan bahawa wajah "betul" dinilai tidak bermaya atau tidak menarik. Namun, persepsi simetri dan fenomena ini sendiri adalah menakjubkan dan belum dikaji sepenuhnya, dan oleh itu sangat menarik.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat satu lagi ciri beberapa angka - simetri paksi dan pusat. Kita menghadapi simetri paksi setiap hari apabila kita melihat cermin. Simetri pusat sangat biasa dalam alam semula jadi. Pada masa yang sama, angka yang mempunyai simetri mempunyai beberapa sifat. Di samping itu, kita kemudiannya mengetahui bahawa paksi dan simetri pusat adalah jenis pergerakan dengan bantuan yang mana keseluruhan kelas masalah diselesaikan.

Pelajaran ini ditumpukan kepada simetri paksi dan pusat.

Definisi

Dua titik itu dipanggil simetri agak lurus jika:

Dalam Rajah. 1 menunjukkan contoh titik simetri berkenaan dengan garis lurus dan , dan .

nasi. 1

Mari kita perhatikan juga hakikat bahawa mana-mana titik pada garis adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis ini.

Angka juga boleh simetri berbanding dengan garis lurus.

Mari kita rumuskan definisi yang ketat.

Definisi

Angka itu dipanggil simetri berbanding lurus, jika bagi setiap titik rajah, titik simetri kepadanya berbanding garis lurus ini juga tergolong dalam rajah itu. Dalam kes ini talian dipanggil paksi simetri. Angka itu telah simetri paksi.

Mari kita lihat beberapa contoh rajah yang mempunyai simetri paksi dan paksi simetrinya.

Contoh 1

Sudut mempunyai simetri paksi. Paksi simetri sudut ialah pembahagi dua. Sesungguhnya: mari kita turunkan serenjang dengan pembahagi dua dari mana-mana titik sudut dan panjangkannya sehingga ia bersilang dengan sisi lain sudut (lihat Rajah 2).

nasi. 2

(sejak - sisi biasa, (sifat pembahagi dua), dan segi tiga adalah bersudut tegak). Bermaksud, . Oleh itu, titik adalah simetri berkenaan dengan pembahagi dua sudut.

Ia berikutan daripada ini bahawa segitiga sama kaki juga mempunyai simetri paksi berkenaan dengan pembahagi dua (altitud, median) yang dilukis ke tapak.

Contoh 2

Segi tiga sama sisi mempunyai tiga paksi simetri (pembahagi dua/median/ketinggian setiap tiga sudut (lihat Rajah 3).

nasi. 3

Contoh 3

Segi empat tepat mempunyai dua paksi simetri, setiap satunya melalui titik tengah dua sisi bertentangannya (lihat Rajah 4).

nasi. 4

Contoh 4

Rombus juga mempunyai dua paksi simetri: garis lurus yang mengandungi pepenjurunya (lihat Rajah 5).

nasi. 5

Contoh 5

Segi empat sama, iaitu kedua-dua belah ketupat dan segi empat tepat, mempunyai 4 paksi simetri (lihat Rajah 6).

nasi. 6

Contoh 6

Untuk bulatan, paksi simetri ialah sebarang garis lurus yang melalui pusatnya (iaitu, mengandungi diameter bulatan). Oleh itu, bulatan mempunyai banyak paksi simetri yang tidak terhingga (lihat Rajah 7).

nasi. 7

Sekarang mari kita pertimbangkan konsepnya simetri pusat.

Definisi

Titik dipanggil simetri relatif kepada titik jika: - tengah segmen.

Mari lihat beberapa contoh: dalam Rajah. 8 menunjukkan titik dan , serta dan , yang simetri berkenaan dengan titik , dan titik dan tidak simetri berkenaan dengan titik ini.

nasi. 8

Sesetengah angka adalah simetri tentang titik tertentu. Mari kita rumuskan definisi yang ketat.

Definisi

Angka itu dipanggil simetri tentang titik, jika untuk mana-mana titik rajah titik simetri kepadanya juga tergolong dalam rajah ini. Intinya dipanggil pusat simetri, dan angka itu mempunyai simetri pusat.

Mari kita lihat contoh rajah dengan simetri pusat.

Contoh 7

Untuk bulatan, pusat simetri ialah pusat bulatan (ini mudah dibuktikan dengan mengingati sifat diameter dan jejari bulatan) (lihat Rajah 9).

nasi. 9

Contoh 8

Untuk segi empat selari, pusat simetri ialah titik persilangan pepenjuru (lihat Rajah 10).

nasi. 10

Mari kita selesaikan beberapa masalah pada simetri paksi dan pusat.

Tugasan 1.

Berapakah bilangan paksi simetri pada segmen itu?

Segmen mempunyai dua paksi simetri. Yang pertama ialah garis yang mengandungi segmen (kerana mana-mana titik pada garis adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis ini). Yang kedua ialah pembahagi dua serenjang dengan segmen, iaitu garis lurus berserenjang dengan segmen dan melalui tengahnya.

Jawapan: 2 paksi simetri.

Tugasan 2.

Berapakah bilangan paksi simetri pada garis lurus?

Garis lurus mempunyai banyak paksi simetri yang tidak terhingga. Salah satunya ialah garis lurus itu sendiri (kerana mana-mana titik pada garis lurus adalah simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis lurus ini). Dan juga paksi simetri ialah sebarang garis berserenjang dengan garis tertentu.

Jawapan: terdapat banyak paksi simetri yang tidak terhingga.

Tugasan 3.

Berapakah bilangan paksi simetri rasuk itu?

Sinar mempunyai satu paksi simetri, yang bertepatan dengan garis yang mengandungi sinar (kerana mana-mana titik pada garis itu simetri kepada dirinya sendiri berbanding dengan garis ini).

Jawapan: satu paksi simetri.

Tugasan 4.

Buktikan bahawa garisan yang mengandungi pepenjuru bagi rombus ialah paksi simetrinya.

Bukti:

Pertimbangkan rombus. Mari kita buktikan, sebagai contoh, bahawa garis lurus ialah paksi simetrinya. Adalah jelas bahawa titik-titik itu simetri kepada diri mereka sendiri, kerana ia terletak pada garisan ini. Di samping itu, titik dan adalah simetri berkenaan dengan garis ini, kerana . Marilah kita memilih titik sewenang-wenangnya dan buktikan bahawa titik simetri berkenaan dengannya juga tergolong dalam rombus (lihat Rajah 11).

nasi. 11

Lukiskan serenjang dengan garis melalui titik dan panjangkannya sehingga ia bersilang dengan . Pertimbangkan segi tiga dan . Segitiga ini bersudut tegak (dengan pembinaan), di samping itu, mereka mempunyai: - kaki biasa, dan (kerana pepenjuru rombus ialah pembahagi duanya). Jadi segitiga ini adalah sama: . Ini bermakna semua elemen yang sepadan adalah sama, oleh itu: . Daripada kesamaan segmen ini ia mengikuti bahawa titik dan simetri berkenaan dengan garis lurus. Ini bermakna ia adalah paksi simetri rombus. Fakta ini boleh dibuktikan sama untuk pepenjuru kedua.

Terbukti.

Tugasan 5.

Buktikan bahawa titik persilangan pepenjuru segi empat selari ialah pusat simetrinya.

Bukti:

Pertimbangkan segi empat selari. Mari kita buktikan bahawa titik adalah pusat simetrinya. Adalah jelas bahawa titik dan , dan adalah simetri berpasangan berkenaan dengan titik , kerana pepenjuru segi empat selari dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan. Sekarang marilah kita memilih titik sewenang-wenangnya dan membuktikan bahawa titik simetri berkenaan dengannya juga tergolong dalam segi empat selari (lihat Rajah 12).