Keselarian satah: tanda, keadaan. Satah selari

Setiap orang yang pernah belajar atau sedang belajar di sekolah terpaksa berdepan dengan pelbagai kesukaran dalam mempelajari disiplin yang termasuk dalam program yang dibangunkan oleh Kementerian Pendidikan.

Apakah kesukaran yang anda hadapi?

Pembelajaran bahasa disertai dengan hafalan yang sedia ada peraturan tatabahasa dan pengecualian utama kepada mereka. Pendidikan jasmani memerlukan banyak usaha, kecergasan fizikal yang baik dan kesabaran yang tinggi daripada pelajar.

Walau bagaimanapun, tiada apa yang dapat dibandingkan dengan kesukaran yang timbul apabila mempelajari disiplin yang tepat. Algebra, yang mengandungi cara rumit untuk menyelesaikan masalah asas. Fizik dengan set formula undang-undang fizik yang kaya. Geometri dan cabangnya, yang berdasarkan teorem dan aksiom kompleks.

Contohnya ialah aksiom yang menerangkan teori keselarian satah, yang mesti dihafal, kerana ia membentuk asas keseluruhan kurikulum sekolah dalam stereometri. Mari cuba fikirkan cara melakukannya dengan lebih mudah dan cepat.

Satah selari dengan contoh

Aksiom yang menunjukkan keselarian satah berbunyi seperti berikut: « Mana-mana dua satah dianggap selari hanya jika ia tidak mengandungi titik sepunya", iaitu mereka tidak bersilang antara satu sama lain. Untuk membayangkan gambar ini dengan lebih terperinci, sebagai contoh asas kita boleh mengambil hubungan antara siling dan lantai atau dinding bertentangan dalam sesebuah bangunan. Ia menjadi jelas dengan serta-merta apa yang dimaksudkan, dan juga mengesahkan fakta bahawa pesawat ini dalam kes biasa tidak akan bersilang.

Contoh lain ialah tingkap berlapis dua, di mana kepingan kaca bertindak sebagai satah. Mereka juga tidak akan membentuk titik persilangan antara satu sama lain dalam apa jua keadaan. Selain itu, anda boleh menambah rak buku, kiub Rubik, di mana pesawat adalah muka bertentangannya dan elemen harian yang lain.

Pesawat yang sedang dipertimbangkan ditetapkan oleh tanda khas dalam bentuk dua garis lurus "||", yang dengan jelas menggambarkan keselarian pesawat. Oleh itu, menggunakan contoh sebenar, anda boleh membentuk persepsi yang lebih jelas tentang topik tersebut, dan, oleh itu, anda boleh meneruskan untuk mempertimbangkan konsep yang lebih kompleks.

Di mana dan bagaimana teori satah selari digunakan?

Apabila mempelajari kursus geometri sekolah, pelajar perlu berhadapan dengan masalah yang pelbagai, di mana ia selalunya perlu untuk menentukan keselarian garisan, garis lurus dan satah antara satu sama lain, atau pergantungan satah antara satu sama lain. Dengan menganalisis keadaan sedia ada, setiap tugas boleh dikaitkan dengan empat kelas utama stereometri.

Kelas pertama termasuk masalah di mana ia perlu untuk menentukan keselarian garis lurus dan satah antara satu sama lain. Penyelesaiannya datang kepada bukti teorem dengan nama yang sama. Untuk melakukan ini, anda perlu menentukan sama ada untuk garisan yang bukan milik satah yang sedang dipertimbangkan, terdapat garis selari yang terletak pada satah ini.

Kelas kedua masalah termasuk masalah di mana ciri satah selari digunakan. Ia digunakan untuk memudahkan proses pembuktian, dengan itu mengurangkan masa untuk mencari penyelesaian dengan ketara.

Kelas seterusnya merangkumi pelbagai masalah mengenai kesesuaian garis lurus dengan sifat asas selari satah. Penyelesaian kepada masalah kelas keempat adalah untuk menentukan sama ada keadaan satah selari dipenuhi. Mengetahui dengan tepat bagaimana pembuktian masalah tertentu berlaku, ia menjadi lebih mudah untuk pelajar menavigasi apabila menggunakan senjata aksiom geometri yang sedia ada.

Oleh itu, masalah yang keadaannya memerlukan penentuan dan pembuktian keselarian garis lurus, garis lurus dan satah, atau dua satah antara satu sama lain, dikurangkan kepada pemilihan yang betul teorem dan penyelesaian mengikut set peraturan sedia ada.

Pada keselarian garis dan satah

Keselarian garis lurus dan satah adalah topik khas dalam stereometri, kerana ia adalah tepat konsep asas, di mana semua sifat selari seterusnya bagi rajah geometri adalah berdasarkan.

Mengikut aksiom yang tersedia, dalam kes apabila dua titik garis tergolong dalam satah tertentu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa garis ini juga terletak di dalamnya. Dalam situasi ini, menjadi jelas bahawa terdapat tiga pilihan yang mungkin untuk lokasi garis lurus berbanding satah di angkasa:

1. Garis lurus kepunyaan satah.
2. Garis dan satah mempunyai satu titik persilangan yang sama.
3. Tiada titik persilangan untuk garis lurus dan satah.

Kami, khususnya, berminat dengan pilihan terakhir, apabila tiada titik persimpangan. Barulah kita boleh mengatakan bahawa garis lurus dan satah adalah selari secara relatif antara satu sama lain. Oleh itu, keadaan teorem utama mengenai tanda selari garis dan satah disahkan, yang menyatakan bahawa: "Jika garisan yang bukan milik satah yang sedang dipertimbangkan adalah selari dengan mana-mana garisan pada satah ini, maka garisan yang sedang dipertimbangkan juga selari dengan satah yang diberikan."

Keperluan untuk menggunakan ciri paralelisme

Tanda selari satah biasanya digunakan untuk mencari penyelesaian yang dipermudahkan kepada masalah tentang satah. Intipati ciri ini adalah seperti berikut: “ Jika terdapat dua garis bersilang terletak pada satah yang sama, selari dengan dua garis kepunyaan satah lain, maka satah tersebut boleh dipanggil selari».

Teorem tambahan

Selain menggunakan tanda yang membuktikan keselarian satah, dalam amalan seseorang boleh menghadapi penggunaan dua teorem tambahan lain. Yang pertama dibentangkan dalam borang berikut: « Jika satu daripada dua satah selari selari dengan yang ketiga, maka satah kedua sama ada selari dengan yang ketiga atau bertepatan sepenuhnya dengannya».

Berdasarkan penggunaan teorem yang diberikan, adalah sentiasa mungkin untuk membuktikan keselarian satah berkenaan dengan ruang yang sedang dipertimbangkan. Teorem kedua memaparkan pergantungan satah pada garis serenjang dan mempunyai bentuk: “ Jika dua satah mencapah berserenjang dengan garis tertentu, maka ia dianggap selari antara satu sama lain».

Konsep syarat perlu dan mencukupi

Dengan berulang kali menyelesaikan masalah membuktikan keselarian satah, syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian satah telah diperolehi. Adalah diketahui bahawa sebarang satah diberikan oleh persamaan parametrik dalam bentuk: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Keadaan kami adalah berdasarkan penggunaan sistem persamaan yang menentukan lokasi satah di angkasa, dan diwakili oleh rumusan berikut: “ Untuk membuktikan keselarian dua satah, adalah perlu dan memadai bahawa sistem persamaan yang menerangkan satah ini tidak konsisten, iaitu, tidak mempunyai penyelesaian.».

Sifat asas

Namun, apabila membuat keputusan masalah geometri Menggunakan ciri selari tidak semestinya mencukupi. Kadangkala situasi timbul apabila perlu untuk membuktikan keselarian dua atau lebih garis dalam satah yang berbeza atau kesamaan segmen yang terkandung pada garisan ini. Untuk melakukan ini, gunakan sifat selari satah. Dalam geometri hanya terdapat dua daripadanya.

Sifat pertama membolehkan kita menilai keselarian garisan dalam satah tertentu dan dibentangkan dalam bentuk berikut: “ Jika dua satah selari bersilang dengan satu pertiga, maka garis lurus yang dibentuk oleh garis persilangan juga akan selari antara satu sama lain».

Maksud sifat kedua adalah untuk membuktikan kesamaan segmen yang terletak pada garis selari. Tafsirannya dibentangkan di bawah. " Jika kita mempertimbangkan dua satah selari dan melampirkan kawasan di antara mereka, maka kita boleh mengatakan bahawa panjang segmen yang dibentuk oleh rantau ini akan sama.».

Hubungan selari satah, sifat dan aplikasinya dipertimbangkan.

Perwakilan visual lokasi kedua-duanya

pesawat memberikan pemodelan menggunakan satah permukaan dinding bersebelahan, siling dan lantai bilik, katil dua tingkat, dua helaian kertas yang diikat

ahli silap mata, dsb. (Gamb. 242–244).

Walaupun terdapat bilangan pilihan yang tidak terhingga untuk kedudukan relatif pelbagai satah, untuk menetapkan dan mencirikan ukuran sudut dan jarak yang akan digunakan pada masa hadapan, kita akan mula-mula menumpukan pada yang diklasifikasikan (serta garis lurus dengan satah. ) adalah berdasarkan bilangan mata sepunya mereka.

1. Dua satah mempunyai sekurang-kurangnya tiga titik sepunya yang tidak terletak pada garisan yang sama. Pesawat sedemikian bertepatan (aksiom C 2, §7).

2. Titik sepunya dua satah terletak pada satu garis lurus, iaitu garis persilangan satah ini (aksiom C 3, §7). Pesawat sedemikian bersilang.

3. Kedua-dua pesawat tidak mempunyai titik sepunya.

DALAM dalam kes ini mereka dipanggil selari-

Dua satah dipanggil selari jika mereka tidak mempunyai titik sepunya.

Keselarian satah ditunjukkan oleh tanda ||: α || β.

Seperti biasa, dengan pengenalan konsep geometri,

Tiada masalah dengan kewujudan mereka. Kewujudan persilangan-

Pesawat Xia adalah ciri ciri ruang,

dan kami telah menggunakan ini berkali-kali. Kurang jelas adalah

Kewujudan satah selari didedahkan. tak ada

meragui bahawa, sebagai contoh, satah graf bertentangan

Kubus adalah selari, iaitu, mereka tidak bersilang. Tetapi secara langsung

Sesungguhnya, mengikut definisi, ini tidak boleh ditubuhkan. Untuk penyelesaian

pemahaman soalan yang dikemukakan, serta isu-isu lain yang berkaitan dengan

keselarian satah, perlu ada tanda selari.

Untuk mencari tanda, dinasihatkan untuk mempertimbangkan kapal terbang,

"anyaman" daripada garis lurus. Adalah jelas bahawa setiap garis lurus adalah salah satu daripada

satah selari mesti selari dengan yang lain.

Jika tidak, pesawat akan mempunyai titik yang sama. Cukuplah

Adakah satah β betul-betul selari dengan garis lurus α yang sama

supaya satah α dan β adalah selari? betul-betul

tetapi, tidak (justify this!). Pengalaman praktikal menunjukkan bahawa

dua garis bersilang itu sudah memadai. Untuk mengamankan

pada tiang terdapat platform yang selari dengan tanah, letak sahaja

Jika satah itu selari dengan satah kedua, maka satah ini selari.

 Biarkan garis bersilang a dan b bagi satah α selari dengan satah β. Mari kita buktikan bahawa satah α dan β adalah selari dengan percanggahan. Untuk melakukan ini, mari kita andaikan bahawa satah α dan β bersilang sepanjang garis lurus

t (Gamb. 246). Garis a dan b tidak boleh bersilang garis mengikut keadaan. Walau bagaimanapun, kemudian dalam satah α dua garis lurus dilukis melalui satu titik yang tidak bersilang dengan garis lurus, iaitu selari dengannya. Ini adalah percanggahan

dan melengkapkan bukti teorem.

Tanda selari satah digunakan apabila meletakkan struktur rata secara mendatar (papak konkrit, lantai, cakera peranti goniometer, dll.) menggunakan dua aras yang diletakkan dalam satah struktur pada garis lurus yang bersilang. Berdasarkan ciri ini, adalah mungkin untuk membina satah selari dengan yang ini.

Masalah 1. Melalui satu titik yang terletak di luar satah tertentu, lukis satah selari dengan satah yang diberi.

 Biarkan satah β dan satu titik M di luar satah diberi (Rajah 247, a). Mari kita lukis melalui titik M dua garis bersilang a dan b, selari dengan satah β. Untuk melakukan ini, anda perlu mengambil dua garis lurus c dan d bersilang dalam satah β (Rajah 247, b). Kemudian melalui titik M lukis garis a dan b selari dengan garis c dan d, masing-masing.

tetapi (Rajah 247, c).

Garisan bersilang a dan b selari dengan satah β, berdasarkan keselarian garis dan satah (Teorem 1 §11). Mereka secara unik menentukan satah α. Mengikut kriteria yang terbukti, α || β.

Contoh 1. Diberi kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , titik M , N , P ialah titik tengah bagi tepi BC , B 1 C 1 , A 1 D 1, masing-masing. Tetapkan kedudukan relatif pesawat: 1) ABB 1 dan PNM; 2) NMA dan A 1 C 1 C ; 3)A 1 NM

dan PC 1 C; 4) MAD 1 dan DB 1 C.

 1) Satah ABB 1 dan РNM (Rajah 248) adalah selari, berdasarkan keselarian satah (Teorem 1). Sesungguhnya, garis PN dan NM bersilang dan selari dengan satah ABB 1, berdasarkan keselarian garis dan satah (Teorem 1 §11), kerana segmen PN dan NM menghubungkan titik tengah sisi bertentangan bagi segi empat sama. , jadi ia selari dengan sisi segi empat sama:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Satah NMA dan A 1 C 1 C bersilang di sepanjang garis lurus AA 1 (Gamb. 249). Sesungguhnya, garis AA 1 dan CC 1 adalah selari, berdasarkan keselarian garisan (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Oleh itu, garis lurus AA 1 terletak pada satah A 1 C 1 C. Kepunyaan garis lurus AA 1 kepada satah NMA adalah wajar.

3) Satah A 1 NM dan РС 1 C (Rajah 250) adalah selari, berdasarkan keselarian satah. Sesungguhnya, NM ||С 1 C . Oleh itu, garis lurus NM adalah selari dengan satah PC 1 C. Segmen PC 1 dan A 1 N juga selari, kerana segiempat PC 1 NA 1 ialah segiempat selari (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Oleh itu, garis A 1 N adalah selari dengan satah PC 1 C. Garisan A 1 N dan NM bersilang.

4) Pesawat MAD 1 dan DB 1 C bersilang (Gamb. 251). Walaupun garis persimpangan mereka tidak mudah dibina, tidak sukar untuk menunjukkan satu titik garisan ini. Sesungguhnya, garis A 1 D dan B 1 C adalah selari, kerana segiempat A 1 B 1 CD ialah segiempat selari (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Oleh itu, garisan A 1 D tergolong dalam satah DB 1 C. Garisan A 1 D dan AD 1 bersilang pada satu titik yang sama dengan satah MAD 1 dan DB 1 C.

Jika dua garis bersilang bagi satu satah masing-masing selari dengan dua garis satah lain, maka satah ini adalah selari.

Dengan menggunakan kriteria keselarian garis dan satah (Teorem 1 §11), adalah mudah untuk menetapkan bahawa syarat Teorem 1 mengikuti daripada syarat Teorem 1. Penggunaan songsang teorem kepada kriteria selari sesuatu garis dan satah (Teorem 2 §11) melengkapkan justifikasi untuk kesetaraan syarat Teorem 1 dan 1 '.

Sememangnya, timbul persoalan tentang keunikan binaan yang diberikan dalam Masalah 1. Oleh kerana kita perlu menggunakan sifat ini lebih daripada sekali, kita akan menyerlahkannya sebagai teorem yang berasingan. Namun, mari kita lihat kenyataan lain dahulu.

Teorem 2 (tentang persilangan dua satah selari dengan satu pertiga).

Jika dua satah selari bersilang dengan satah ketiga, maka garis persilangan satah itu adalah selari.

 Biarkan satah selari α, β dan satah γ yang bersilang diberi (Rajah 252). Mari kita nyatakan garis persimpangan

melalui a dan b. Garis-garis ini terletak pada satah γ dan tidak bersilang, kerana satah α dan β tidak mempunyai titik sepunya. Oleh itu, secara langsung

a dan b adalah selari.

Teorem 3 (mengenai kewujudan dan keunikan satah yang selari dengan yang ini).

Melalui satu titik yang terletak di luar satah tertentu, seseorang boleh melukis satu satah selari dengan satah yang diberi.

 Pembinaan pesawat sebegini telah dijalankan dalam masalah 1. Kami akan membuktikan keunikan pembinaan itu dengan percanggahan. Mari kita andaikan bahawa dua satah berbeza α dan γ dilukis melalui titik M, pa-

satah selari β (Rajah 253), dan garis lurus t ialah garis persilangan mereka. Mari kita lukis satah δ melalui titik M, bersilang dengan garis itu

m dan satah β (bagaimana ini boleh dilakukan?). Mari kita nyatakan dengan a dan b

garis persilangan satah δ dengan satah α dan γ, dan melalui c - garis persilangan satah δ dan β (Rajah 253). Mengikut Teorem 2,a ||c

dan b ||s. Iaitu, dalam satah δ melalui

dua garis lurus selari dengan garis lurus melalui titik M. Percanggahan menunjukkan bahawa andaian itu tidak betul.

Hubungan selari satah mempunyai beberapa sifat yang mempunyai analog dalam planimetri.

Teorem 4 (pada segmen garis selari antara satah selari).

Segmen garis selari yang dipotong oleh satah selari adalah sama antara satu sama lain.

 Biarkan dua satah selari α dan β dan segmen diberi AB

dan CD garis lurus selari a dan d, dipotong oleh satah ini (Rajah 254, a). Mari kita lukis satah γ melalui garis lurus a dan d (Rajah 254, b). Ia bersilang dengan satah α dan β sepanjang garis lurus AC dan BD, yang, menurut Teorem 2, adalah selari. Oleh itu, segi empat ABCD ialah segi empat selari, sisi bertentangan AC dan BD adalah sama.

Daripada harta di atas ia mengikuti bahawa jika kita merancang dari semua titik pesawat

Pada satu sisi satah terdapat segmen selari yang sama panjang, kemudian hujung segmen ini membentuk dua satah selari. Di atas harta inilah pembinaan paip selari menggunakan pemendapan segmen adalah berdasarkan (Rajah 255).

Teorem 5 (mengenai transitiviti hubungan selari satah).

Jika setiap dua satah selari dengan satu pertiga, maka kedua-dua satah itu selari antara satu sama lain.

 Biarkan satah α dan β selari dengan satah γ. Mari kita anggap itu

α dan β tidak selari. Kemudian satah α dan β mempunyai titik sepunya, dan melalui titik ini terdapat melepasi dua satah berbeza selari dengan satah γ, yang bercanggah dengan Teorem 3. Oleh itu, satah α dan β tidak mempunyai titik sepunya, iaitu, ia selari .

Teorem 5 ialah satu lagi tanda keselarian satah. Ia digunakan secara meluas dalam kedua-dua geometri dan aktiviti amali. Sebagai contoh, dalam bangunan berbilang tingkat, keselarian lantai dan satah siling pada setiap tingkat menjamin keselarian mereka pada tingkat yang berbeza.

Masalah 2. Buktikan bahawa jika garis lurus bersilang dengan satah α, maka ia juga memotong setiap satah selari dengan satah α.

 Biarkan satah α dan β selari, dan garis lurus a memotong satah α pada titik A. Mari kita buktikan bahawa ia juga bersilang dengan pesawat

β. Mari kita anggap bahawa ini tidak berlaku. Maka garis lurus a adalah selari dengan satah β. Mari kita lukis satah γ melalui garis lurus dan titik arbitrari satah β (Rajah 256).

Satah ini memotong satah selari α dan β sepanjang garis lurus b ialah. bersama-

mengikut Teorem 2, b || c, iaitu, dalam satah γ, dua garis a dan b melalui titik A, selari dengan garis c . Percanggahan ini membuktikan kenyataan tersebut.

Cuba buktikan sendiri bahawa jika satah α bersilang dengan satah β, maka ia juga bersilang setiap satah selari dengan satah β.

Contoh 2. Dalam tetrahedron ABCD, titik K, F, E ialah titik tengah tepi DA, DC, DB, aM dan P - pusat jisim muka ABD dan ВСD, masing-masing.

1) Tetapkan kedudukan relatif pesawat KEF dan ABC;

DEF dan ABC.

2) Membina garisan persilangan pesawat AFB dan KEC.

3) Cari luas keratan rentas tetrahedron dengan satah selari dengan satah ABD dan melalui titik P jika semua tepi tetrahedron adalah sama.

 Mari bina lukisan yang memenuhi syarat (Rajah 257, a). 1) Satah KEF dan ABC adalah selari, berdasarkan keselarian satah (Teorem 1'): garis bersilang KE dan KF satah KEF adalah selari dengan garis bersilang AB dan AC satah ABC (garis tengah bagi yang sepadan

segi tiga sedia ada).

Satah DEF dan ABC bersilang di sepanjang garis lurus BC, kerana garis lurus BC kepunyaan kedua-dua satah, dan ia tidak boleh bertepatan - titik A, B, C, D tidak terletak dalam satah yang sama.

2) Satah AFB bersilang dengan satah KEC sepanjang garis lurus yang mengandungi titik P, kerana garis CE dan BF yang terletak dalam satah ini berada dalam satah BCD dan bersilang di titik P. Satu lagi titik ialah titik persilangan Q bagi garis lurus AF dan CK dalam satah ACD (Rajah 257, b). Jelas sekali, titik ini ialah pusat jisim muka ACD. Persimpangan yang diperlukan ialah garis PQ.

3) Bina bahagian yang dinyatakan dalam keadaan, menggunakan tanda selari satah. Mari kita lukis garisan melalui titik P dan Q selari dengan garis DB dan DA, masing-masing (Rajah 257, c). Garis-garis ini bersilang dengan segmen CD pada titik L. Yang terakhir mengikuti dari sifat pusat jisim segitiga - ia membahagikan median segitiga dalam nisbah 2: 1, mengira dari puncak. Ia kekal untuk menggunakan teorem Thales. Oleh itu, pesawat PLQ dan BDA adalah selari. Bahagian yang diperlukan ialah segi tiga LSN.

Secara pembinaan, segi tiga BCD dan SCL adalah serupa dengan pekali persamaan CE CP =3 2. Oleh itu LS =3 2 BD . Serupa dengan yang ditubuhkan

kesamaan berikut ditambah: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Ia berikutan bahawa segi tiga LSN dan ABD adalah serupa dengan pekali persamaan 3 2. Mengikut sifat-sifat kawasan segi tiga yang serupa,

S LNS =4 9 S ABD . Ia kekal untuk mencari kawasan segitiga ABD. Oleh-

kerana, mengikut keadaan, semua tepi tetrahedron adalah sama dengan a, maka S ABD =4 3 a 2.

Luas yang diperlukan ialah 3 1 3 a 2 .

Adalah wajar untuk ambil perhatian bahawa jawapan hanya bergantung pada kawasan muka ABD. Oleh itu, kesamaan semua tepi hanyalah satu cara untuk mencari kawasan ini. Oleh itu, masalah ini boleh digeneralisasikan dengan ketara.

Jawab. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 a 2 .

 Soalan ujian

1. Adakah benar dua satah selari jika setiap garis yang terletak dalam satu satah selari dengan satah yang satu lagi?

2. Satah α dan β adalah selari. Adakah terdapat garisan condong yang terletak pada pesawat ini?

3. Dua sisi segitiga adalah selari dengan satah tertentu. Adakah sisi ketiga segi tiga selari dengan satah ini?

4. Dua sisi segi empat selari adalah selari dengan satah tertentu. Adakah benar bahawa satah segi empat selari adalah selari dengan satah yang diberi?

5. Bolehkah segmen dua garis lurus yang dipotong oleh satah selari tidak sama?

6. Bolehkah keratan rentas kubus menjadi trapezoid sama kaki? Bolehkah keratan rentas kubus menjadi pentagon sekata? Adakah benar bahawa dua satah selari dengan garis yang sama adalah selari antara satu sama lain?

Garis persilangan satah α dan β dengan satah γ adalah selari antara satu sama lain. Adakah satah α dan β selari?

Bolehkah tiga muka kubus selari dengan satah yang sama?

Latihan grafik

1. Rajah 258 menunjukkan kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, titik M, N, K, L, P ialah titik tengah bagi tepi yang sepadan. Isikan jadual mengikut contoh yang diberikan, memilih lokasi yang diperlukan bagi satah α dan β.

bersama

lokasi

α || β α = β

α × β α || β α = β

2. Dalam Rajah. 259 menunjukkan sebuah tetrahedron ABCD, titik K, F, M, N, Q ialah titik tengah bagi tepi yang sepadan. Sila nyatakan:

1) satah yang melalui titik K selari dengan satah ABC;

2) satah yang melalui garis BD selari dengan satah MNQ.

3. Tentukan apakah bahagian rajah oleh satah yang melalui tiga titik yang diberi yang ditunjukkan dalam rajah itu.

kah 260, a)–e) dan 261, a)–d).

4. Bina lukisan berdasarkan data yang diberi.

1) Daripada bucu sebuah segi empat selari ABCD yang terletak dalam salah satu daripada dua satah selari, garis selari dilukis bersilang dengan satah kedua pada titik A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , masing-masing.

2) Segitiga A 1 B 1 C 1 ialah unjuran segitiga ABC pada satah α yang selari dengannya. Titik M ialah tengah matahari, M 1 ialah unjuran titik M ke atas satah α.

207. Dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 titik O, O 1 ialah pusat muka ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1, masing-masing, M ialah tengah tepi AB.

1°) Tentukan kedudukan relatif satah MO 1 O

dan ADD 1, ABD 1 dan CO 1 C 1.

2°) Bina titik persilangan satah DCC 1 dan garis lurus MO 1 dan garis persilangan satah MCC 1 dan A 1 D 1 C 1.

3) Cari luas keratan rentas kubus dengan satah selari dengan satah AD 1 C 1 dan melalui titik O 1 jika tepi kubus itu sama dengan a.

208. Dalam tetrahedron ABCD, titik K, L, P ialah pusat jisim muka ABD, BDC, ABC, masing-masing, dan aM ialah tengah tepi AD.

1°) Tentukan kedudukan relatif satah ACD

dan KLP ;

2°) Bina titik persilangan satah ABC dan garis ML dan garis persilangan satah MKL dan ABC.

3) Cari luas keratan rentas tetrahedron dengan satah yang melalui titik K, L dan M selari dengan garis lurus AD, jika semua tepi tetrahedron adalah sama.

209. Diberi kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Titik L, M, M 1 ialah titik tengah bagi tepi AB, AD dan A 1 D 1, masing-masing.

1°) Tentukan kedudukan relatif bagi satah B 1 D 1 D

dan LMM1.

2) Bina satah melalui titik M selari dengan satah ACC 1.

3) Bina bahagian kubus dengan satah melalui titik M 1 selari dengan satah CDD 1.

4) Tentukan kedudukan relatif satah MA 1 B 1

dan CDM1.

5) Bina satah melalui garis C 1 D 1 selari dengan satah CDM 1.

210. Dalam piramid segi empat biasa SABCD, semua sisi adalah sama antara satu sama lain. Titik L, M dan N ialah titik tengah bagi tepi AS, BS, CS, masing-masing.

1°) Tentukan kedudukan relatif bagi: garis lurus LM dan BC; garis lurus LN dan satah ABD; pesawat LMN dan BDC.

2°) Buktikan bahawa segi tiga ABC dan LMN adalah serupa.

3) Bina bahagian piramid menggunakan satah AMN; kapal terbang LMN; kapal terbangLBC.

4*) Manakah antara bahagian piramid yang melalui bucu S mempunyai luas terbesar?

Keselarian garis dan satah

Dalam tetrahedron SABC, semua muka adalah segi tiga sekata. Titik L, M dan N ialah titik tengah bagi tepi AS, BS, CS, masing-masing. 1°) Tentukan kedudukan relatif bagi garis lurus LM dan BC. 2°) Tentukan kedudukan relatif bagi garis lurus LN dan satah ABC.

3) Buktikan bahawa segi tiga LMN dan ABC adalah serupa.

Bina satu bahagian kubus iaitu: 1°) segi tiga sama; 2) pentagon.

217. Bina bahagian tetrahedron iaitu segi empat selari.

218°. Buktikan bahawa muka bertentangan dengan paip selari adalah selari.

219. Buktikan bahawa set semua garis yang melalui titik tertentu dan selari dengan satah tertentu membentuk satah selari dengan yang diberi.

220. Diberi empat titik A, B, C, D, tidak terletak dalam satah yang sama. Buktikan bahawa setiap satah selari dengan garis AB dan CD bersilang dengan garis AC, AD, BD, BC pada bucu segiempat selari.

221. Buktikan bahawa satah dan garis yang bukan milik satah ini adalah selari antara satu sama lain jika kedua-duanya selari dengan satah yang sama.

222. Melalui titik O persilangan pepenjuru kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sebuah satah dilukis selari dengan muka ABCD. Satah ini bersilang tepi BB 1 dan CC 1 pada titik M dan N, masing-masing. Buktikan bahawa sudut MON ialah sudut tegak.

223. Buktikan bahawa dua satah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika setiap garis lurus yang bersilang dengan salah satu satah juga bersilang dengan yang kedua.

224*. Dalam piramid segi tiga SABC, melalui segmen AD dan CE, dengan D ialah titik tengah SB, dan E ialah titik tengah SA, lukis bahagian piramid selari antara satu sama lain.

225. Cari tempat geometri:

1) titik tengah semua segmen dengan hujung pada dua data satah selari; 2*) titik tengah segmen dengan hujung pada dua garis bersilang yang diberikan.

226*. Sisi AB bagi segi tiga ABC terletak pada satah α adalah selari dengan satah β. Segitiga sama sisi 1 B 1 C 1 ialah unjuran selari bagi segi tiga ABC pada satah β = 5, BC = 6, AC = 9.

1) Nyatakan kedudukan relatif garis lurus AB dan A 1 B 1,

BC dan B1 C1, A1 C1 dan AC.

2) Cari luas segi tiga A 1 B 1 C 1.

227*. Diberi dua garis bersilang. Nyatakan set semua titik dalam ruang yang melaluinya satu garisan boleh dilukis bersilang setiap dua garisan yang diberi.

Definisi asas

Kedua-dua pesawat itu dipanggil

adalah selari,

jika mereka tidak mempunyai mata yang sama.

Kenyataan utama

Tanda selari - Jika dua garis lurus bersilang bagi satu satah satah masing-masing selari dengan dua garis lurus satah kedua, maka satah ini

tulang adalah selari.

Teorem bersilang Jika dua satah bersilang selari dua satah tidak selari bersilang dengan satah ketiga, maka garis-garis persilangan ketiga satah itu

mereka selari.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

Mα

β: α || β,M β

Bersedia untuk bertema

untuk penilaian mengenai topik "Paralelisme garis dan satah"

Tugas mengawal diri

1. Empat mata tidak tergolong dalam satah yang sama. Bolehkah beberapa daripada mereka berbaring pada garis lurus yang sama?

2. Bolehkah tiga satah berbeza mempunyai dua titik persamaan?

3. Bolehkah dua garisan condong selari dengan garis ketiga pada masa yang sama?

4. Adakah benar itu lurus a dan b tidak selari jika tiada garis c yang selari dengan a dan b?

5. Bolehkah segmen yang sama mempunyai unjuran yang tidak sama?

6. Bolehkah sinar menjadi unjuran selari bagi garis?

7. Bolehkah segi empat sama menjadi imej kubus?

8. Adakah benar melalui titik tertentu dalam ruang hanya satu satah boleh dilukis selari dengan garis tertentu?

9. Adakah selalu mungkin untuk melukis garis melalui titik tertentu selari dengan dua satah tertentu yang tidak mengandungi titik ini?

10. Adakah mungkin untuk melukis satah selari melalui dua garis bersilang?

Jawapan kepada tugas untuk mengawal diri

Sampel ujian

Dua segi empat selari ABCD dan ABC 1 D 1 terletak pada satah yang berbeza.

1°) Tentukan kedudukan relatif bagi garis lurus CD dan C 1 D 1.

2°) Tentukan kedudukan relatif bagi garis lurus C 1 D 1 dan satah

3°) Bina garis persilangan satah DD 1 C 1 dan СС 1.

4°) Tentukan kedudukan relatif satah ADD 1 dan BCC 1.

5) Melalui titik M, membahagi segmen AB dalam nisbah 2:1, mengira dari titik A, lukis satah α selari dengan satah C 1 BC. 6) Bina titik persilangan garis lurus AC dengan satah α dan cari nisbah di mana titik ini membahagi segmen AC.

Kedudukan relatif garis lurus dan satah di angkasa

Trigonometri

Anda telah pun berurusan dengan fungsi trigonometri dalam pelajaran geometri. Sehingga kini, aplikasi mereka hanya terhad kepada menyelesaikan segi tiga, iaitu, kita bercakap tentang mencari beberapa unsur segitiga daripada yang lain. Daripada sejarah matematik diketahui bahawa kemunculan trigonometri dikaitkan dengan ukuran panjang dan sudut. Walau bagaimanapun, kini sfera

dia aplikasi adalah lebih luas berbanding zaman dahulu.

Perkataan "trigonometri" berasal dari bahasa Yunani τριγωνον

(trigonon) – segi tiga dan µετρεω (metreo) – ukur, ukur-

saya menyalak. Secara harfiah ia bermaksud mengukur segi tiga.

DALAM Bab ini mensistemkan bahan yang telah anda ketahui daripada kursus geometri, dan meneruskan kajian fungsi trigonometri dan aplikasinya untuk mencirikan proses berkala, khususnya, gerakan putaran, proses berayun, dsb.

Kebanyakan aplikasi trigonometri berkaitan secara khusus dengan proses berkala, iaitu proses yang berulang pada selang masa yang tetap. Matahari terbit dan terbenam, perubahan musim, putaran roda - ini adalah contoh paling mudah bagi proses sedemikian. Getaran mekanikal dan elektromagnet juga merupakan contoh penting proses berkala. Oleh itu, kajian proses berkala adalah tugas yang penting. Dan peranan matematik dalam penyelesaiannya adalah menentukan.

bersiap sedia untuk mempelajari topik "Fungsi trigonometri"

Adalah dinasihatkan untuk mula mempelajari topik "Fungsi Trigonometri" dengan mengkaji definisi dan sifat fungsi trigonometri sudut segi tiga dan aplikasinya untuk menyelesaikan kedua-dua segi tiga tegak dan sewenang-wenangnya.

Sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut segi empat tepat

segi tiga

Jadual 24

Sinus sudut akut ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus:

sin α = a c .

Kosinus sudut akut ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus:

cosα = b c .

Tangen bagi sudut lancip ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan:

tg α =a b .

Kotangen bagi sudut lancip ialah nisbah sisi bersebelahan dengan sisi bertentangan:

ctgα = a b .

Sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut dari 0° hingga 180°

Jadual 25

sin α = R y ; cosα = R x ;

tg α = x y ; cotgα = x y.

(X;di) - koordinat titik A terletak pada separuh bulatan atas, α - sudut yang dibentuk oleh jejari OA bulatan dengan paksi X.

Nilai sinus, kosinus, tangen, kotangen

beberapa sudut

Jadual 26

Sudut t

Menyelesaikan segi tiga sewenang-wenangnya

Jadual 27

Teorem sinus

Sisi segitiga adalah berkadar dengan sinus sudut bertentangan:

dosa aα = dosa bβ = dosa cγ .

Teorem kosinus

Kuadrat sisi arbitrari segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain tanpa dua kali hasil darab sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka:

c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ ,b2 = a2 + c2 − 2 ac cos β , a2 = b2 + c2 − 2 bc cos α .

Luas segi tiga adalah sama dengan separuh hasil darab kedua-dua sisinya dan sinus sudut di antara mereka:

S=1 2 abdosaγ = 1 2 acdosaβ = 1 2 bcdosaα .

Identiti asas trigonometri

5. Bandingkan jumlah sinus sudut tajam segi tiga tegak sewenang-wenang (kami menandakannya denganA) dengan satu.

< 1. B.A= 1.

> 1. G. Tidak mustahil untuk dibandingkan. Susun nombor dalam tertib menaik: A= dosa 30°, b= cos 30°,

= tg 30°.

< b<c.B.a<c<b

15. Nyatakan koordinat titik tersebutA, berbaring pada bulatan jejari 1 (lihat rajah).

(−1; 0).B.(1; 0).

(0; − 1). G.(0; 1).A.DALAM.

e harta pa garis selari, dipanggil transitifkeselarian:

• Jika dua garis a dan b adalah selari dengan garis ketiga c, maka ia adalah selari kita antara satu sama lain.

Tetapi lebih sukar untuk membuktikan sifat ini dalam stereometri. Pada satah, garis tak selari mesti bersilang dan oleh itu tidak boleh selari dengan garis ketiga pada masa yang sama (jika tidak aksiom selari dilanggar). Dalam prodi angkasa ada yang tidak selari danisipadu garis putusjika mereka terletak dalam satah yang berbeza. Garis lurus tersebut dikatakan bersilang.

Dalam Rajah. 4 menunjukkan sebuah kubus; garis lurus AB dan BC bersilang, AB dan CDadalah selari, dan AB dan B DENGAN kacukan. Pada masa hadapan, kami akan sering menggunakan bantuan kiub untuk menggambarkanmencuba konsep dan fakta stereometri. Kubus kami dilekatkan bersama dari enam muka persegi. Berdasarkan ini, kami akan memperoleh sifat-sifatnya yang lain. Sebagai contoh, kita boleh mengatakan bahawa garis AB adalah selari dengan CD,kerana kedua-duanya adalah selari dengan sisi biasa CD denganpetak yang memegangnya.

Dalam stereometri, hubungan selari juga dipertimbangkan untuk satah: dua satahGaris atau garis dan satah adalah selari jika mereka tidak mempunyai titik sepunya. Adalah mudah untuk menganggap garis lurus dan satah selari walaupun ia terletak di dalam satah. Untuk satah dan garisan, teorem transitiviti adalah sah:

• Jika dua satah selari dengan satah ketiga, maka ia selari antara satu sama lain.
• Jika garis dan satah selari dengan beberapa garis (atau satah), maka ia selari antara satu sama lain.

Kes khas yang paling penting bagi teorem kedua ialah tanda keselarian garis dan satah:

• Garis adalah selari dengan satah jika ia selari dengan beberapa garis dalam satah ini.

Dan inilah tanda satah selari:

• Jika dua garis bersilang dalam satu satah masing-masing selari dengan dua garis bersilang dalam satah lain, maka satah itu selari.

Teorem mudah berikut sering digunakan:

• Garis di mana dua satah selari bersilang dengan satu pertiga adalah selari antara satu sama lain.

Mari lihat kubus itu sekali lagi (Gamb. 4). Daripada tanda selari antara garis dan satah ia mengikuti, sebagai contoh, garis lurus A DALAM selari dengan satah ABCD (kerana ia selari dengan garis AB dalam satah ini), dan muka bertentangan kubus, khususnya A DALAM DENGAN D dan ABCD, selari berdasarkan keselarian satah: garis lurus A B dan B DENGAN dalam satu muka masing-masing selari dengan garis lurus AB dan BC pada satu lagi. Dan contoh yang kurang mudah. Satah yang mengandungi garis selari AA dan SS, memotong satah selari ABCD dan A B C D sepanjang garis lurus AC dan A DENGAN, ini bermakna garis-garis ini selari: begitu juga, garis selari B C dan A D. Oleh itu, satah selari AB C dan A DC bersilang kubus dalam segi tiga.

III. Imej angka spatial.

Terdapat kata mutiara Geometriia adalah satu godaankeupayaan untuk menaakul dengan betul pada lukisan yang salah. Sesungguhnya, jika kita kembali keBerdasarkan alasan di atas, ternyata:

satu-satunya faedah yang kami dapat daripada lukisan kubus yang disertakan ialah ia menjimatkan sedikit ruang untuk kami menerangkanNotasi NI. Ia boleh digambarkan dengan mudah seperti badan dalam Rajah. 4, Saya, walaupun, jelas, sesuatu yang diwakili di atasnya bukan sahaja bukan kubus, tetapi juga bukan polyhedron. Namun, aforisme di atas hanya mengandungi sebahagian daripada kebenaran. Lagipun, sebelum berbincangmengemukakan bukti yang telah siap, ia mestilahfikir. Dan untuk ini anda perlu membayangkan dengan jelas angka yang diberikan, hubungan antara unsur-unsurnya. Lukisan yang baik membantu mengembangkan idea sedemikian. Lebih-lebih lagi, seperti yang akan kita lihat, dalam stereometri lukisan yang berjaya bolehboleh menjadi bukan sekadar ilustrasi, tetapi asas untuk menyelesaikan masalah.

Seorang artis (atau lebih tepatnya, artis realis) padamenarik kubus kita seperti yang kita lihat (Rajah 5, b), iaitu dalam perspektif, atau pusattiada unjuran. Dengan unjuran pusat dari titik O (pusat unjuran) ke satah a,titik X sewenang-wenangnya diwakili oleh titik X di mana satu memotong garis lurus OX (Rajah 6). Unjuran tengah mengekalkan kelurusansusunan titik linear, tetapi, sebagai peraturan, mengubah garis selari menjadi persilanganberubah, apatah lagi ia mengubah jarak dan sudut. Mengkaji sifatnya dimembawa kepada kemunculan bahagian penting geometri (lihat artikel Geometri projektif).

Tetapi dalam lukisan geometri unjuran berbeza digunakan. Kita boleh mengatakan bahawa ia diperoleh daripada pusat apabila pusat O bergerak ke infiniti dan garis lurus OX menjadi paselari.

Marilah kita memilih satah a dan garis lurus l yang bersilang dengannya. Mari kita lukis garis lurus melalui titik X, paselari l. Titik X di mana garis ini bertemu a ialah unjuran selari X ke atas satah, a sepanjang garis lurus l (Rajah 7). Tentangunjuran rajah terdiri daripada unjuran semua titiknya. Dalam geometri, imej rajah ialah unjuran selarinya.

Khususnya, imej garis lurusadakah ia garis lurus atau (dalam kes luar biasa)teh, apabila garisan selari dengan arah unjuran) titik. Terdapat selari dalam imej

Dalam pelajaran ini kita akan mentakrifkan satah selari dan mengingat aksiom mengenai persilangan dua satah. Seterusnya, kami akan membuktikan teorem - tanda selari satah dan, bergantung padanya, kami akan menyelesaikan beberapa masalah pada selari satah.

Topik: Keselarian garis dan satah

Pelajaran: Satah Selari

Dalam pelajaran ini kita akan mentakrifkan satah selari dan mengimbas kembali aksiom mengenai persilangan dua satah.

Definisi. Dua satah dipanggil selari jika tidak bersilang.

Jawatan: .

Ilustrasi satah selari(Gamb. 1.)

1. Apakah satah yang dipanggil selari?

2. Bolehkah satah yang melalui garisan tidak selari selari?

3. Apakah kedudukan relatif bagi dua garis lurus, yang setiap satunya terletak pada salah satu daripada dua satah selari yang berbeza?

4. Geometri. Gred 10-11: buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am (peringkat asas dan khusus) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, diperbetulkan dan dikembangkan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 ms: ill.

Tugasan 1, 2, 5 ms 29