Kəsiri natural ədəd qaydasına necə vurmaq olar. Kəsrlərin vurulması və bölünməsi

§ 87. Kəsrlərin toplanması.

Kəsrlərin əlavə edilməsinin tam ədədlərin toplanması ilə çox oxşarlıqları var. Kəsrlərin toplanması, verilmiş bir neçə ədədin (şərtlərin) bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət olan hərəkətdir, bu da termin vahidlərinin bütün vahidlərini və kəsrlərini ehtiva edir.

Üç halı ardıcıl olaraq nəzərdən keçirəcəyik:

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin toplanması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin toplanması.

Məsələni nəzərdən keçirək: 1/5 + 2/5.

AB seqmentini götürək (şəkil 17), onu bir kimi götürüb 5 bərabər hissəyə bölək, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə, eyni CD seqmentinin hissəsi isə bərabər olacaq. 2/5 AB.

Rəsmdən aydın olur ki, AD seqmentini götürsək, 3/5 AB-ə bərabər olacaq; lakin AD seqmenti AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu şərtləri və yaranan cəmini nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı həddlərin paylarını toplamaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.

Buradan alırıq növbəti qayda: Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə edib eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

Bir misala baxaq:

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.

Fraksiyaları əlavə edək: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək lazımdır:

Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməz; aydınlıq üçün burada yazdıq.

Beləliklə, müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirməli, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəci işarələməlisiniz.

Məsələni nəzərdən keçirək (uyğun fraksiyaların üstündə əlavə amillər yazacağıq):

3. Qarışıq ədədlərin toplanması.

Rəqəmləri əlavə edək: 2 3/8 + 3 5/6.

Əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətirək və yenidən yazaq:

İndi ardıcıl olaraq tam və kəsr hissələri əlavə edirik:

§ 88. Kəsrlərin çıxılması.

Kəsrlərin çıxarılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki terminin və onlardan birinin cəmini nəzərə alaraq, başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Ardıcıl olaraq üç halı nəzərdən keçirək:

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

1. Bənzər məxrəcli kəsrlərin çıxılması.

Bir misala baxaq:

13 / 15 - 4 / 15

AB seqmentini götürək (şəkil 18), onu vahid kimi götürək və 15 bərabər hissəyə bölək; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15 hissəsini, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-yə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan başqa bir ED seqmentini kənara qoyaq.

13/15-dən 4/15 kəsrini çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, ED seqmenti AD seqmentindən çıxılmalıdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:

Verdiyimiz misal göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınmış, lakin məxrəc eyni qalmışdır.

Buna görə də, oxşar məxrəcləri olan kəsrləri çıxmaq üçün minuendin payından çıxılanın payını çıxarmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.

2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.

Misal. 3/4 - 5/8

Əvvəlcə bu kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə endirək:

Aralıq 6 / 8 - 5 / 8 burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin daha sonra atlana bilər.

Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə endirməli, sonra minuendin payını minuendin payından çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ümumi məxrəcə işarə etməlisiniz.

Bir misala baxaq:

3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.

Misal. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuendin kəsr hissələrini azaldaq və ən aşağı ortaq məxrəcə çıxaraq:

Tamdan tamı, kəsirdən isə kəsri çıxardıq. Amma elə hallar olur ki, çıxarmanın kəsr hissəsi minuendin kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, minuendin bütün hissəsindən bir vahid götürmək, kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölmək və onu minuendin kəsr hissəsinə əlavə etmək lazımdır. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:

§ 89. Kəsrlərin vurulması.

Kəsirin vurulmasını öyrənərkən nəzərə alacağıq aşağıdakı suallar:

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədi kəsrə vurmaq.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Kəsirin tam ədədə vurulması.

Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsri (çoxluğu) tam ədədə (amillə) vurmaq hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini yaratmaq deməkdir.

Bu o deməkdir ki, əgər 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bunu belə etmək olar:

Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsinə qədər azaldıldı. Beləliklə,

Bu hərəkətin nəzərdən keçirilməsi göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və bir kəsrin artırılması ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün

yaxud onun məxrəcini azaltmaqla , onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bölmə mümkündürsə.

Buradan qaydanı alırıq:

Kəsri tam ədədə vurmaq üçün siz payı həmin tam ədədə vurub məxrəci eyni qoyursunuz və ya mümkünsə məxrəci həmin ədədə bölərək, payı dəyişməz qoyursunuz.

Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:

2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu problemlərin digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq lazımdır ki, bu da burada müəyyən bir kəsrlə göstərilir. Anlamağı asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə bu cür problemlərə nümunələr verəcəyik, sonra isə onların həlli üsulunu təqdim edəcəyik.

Tapşırıq 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?

Tapşırıq 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər məsafə qət etməlidir. O, artıq bu məsafənin 2/3 hissəsini qət edib. Bu neçə kilometrdir?

Tapşırıq 3. Kənddə 400 ev var, onun 3/4 hissəsi kərpic, qalanı taxtadır. Ümumilikdə neçə kərpic ev var?

Bunlar, qarşılaşdığımız müəyyən ədədin bir hissəsinin tapılması ilə bağlı çoxsaylı problemlərdən bəziləridir. Onlar adətən verilmiş ədədin kəsrini tapmaq üçün problemlər adlanır.

Problemin həlli 1. 60 rubldan. 1/3-ni kitablara sərf etdim; Bu o deməkdir ki, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:

Problemin həlli 2. Problemin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, 300 km-in 2/3 hissəsini tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 300-ün 1/3 hissəsini hesablayaq; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:

300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-ə bərabərdir).

300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün ortaya çıxan əmsalı ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:

100 x 2 = 200 (bu 300-dən 2/3-ə bərabərdir).

Problemin həlli 3. Burada 400-ün 3/4-ni təşkil edən kərpic evlərin sayını müəyyən etmək lazımdır. Gəlin əvvəlcə 400-ün 1/4 hissəsini tapaq,

400: 4 = 100 (bu 400-dən 1/4-ə bərabərdir).

400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:

100 x 3 = 300 (bu 400-ün 3/4-üdür).

Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:

Verilmiş ədəddən kəsrin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və nəticədə yaranan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.

3. Tam ədədi kəsrə vurmaq.

Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması dedikdə, eyni şərtlərin əlavə edilməsi başa düşülməlidir (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu bənddə (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni hədlərin cəmini tapmaq deməkdir.

Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.

İndi tam ədədi kəsrə vurmağa davam edirik. Burada, məsələn, çarpma ilə qarşılaşacağıq: 9 2 / 3. Aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu işə aid deyil. Bu, bərabər ədədləri toplamaqla belə vurmanı əvəz edə bilməyəcəyimizdən aydın olur.

Bu səbəbdən biz vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməliyik.

Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydın olur: tam ədədi (çoxluğu) kəsrə (çoxluq) vurmaq vurmanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.

Yəni 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3-ni tapmaq deməkdir. Əvvəlki paraqrafda belə problemlər həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6 ilə yekunlaşacağıq.

Amma indi maraqlı və vacib sual yaranır: niyə bərabər ədədlərin cəmini tapmaq və ədədin kəsrini tapmaq kimi bir-birindən fərqli görünən əməliyyatlar arifmetikada eyni “vurma” sözü ilə adlanır?

Bu ona görə baş verir ki, əvvəlki hərəkət (bir neçə dəfə şərtlərlə ədədi təkrarlamaq) və yeni hərəkət (ədədin kəsirini tapmaq) eynicinsli suallara cavab verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya tapşırıqların eyni hərəkətlə həll olunduğu mülahizələrindən çıxış edirik.

Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?

Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.

Gəlin eyni problemi götürək, amma orada parça miqdarı fraksiya şəklində ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə parçanın 3/4 m-i neçəyə başa gələcək?”

Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.

Problemin mənasını dəyişdirmədən içindəki nömrələri bir neçə dəfə dəyişdirə bilərsiniz, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.

Bu məsələlər eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onların həllində istifadə olunan hərəkətləri eyni söz - vurma adlandırırıq.

Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?

Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:

Tərifə görə 50-nin 3/4-ni tapmalıyıq.Əvvəlcə 50-nin 1/4, sonra isə 3/4-ü tapaq.

50-nin 1/4-ü 50/4-dür;

50 ədədinin 3/4 hissəsi .

Beləliklə.

Başqa bir misala baxaq: 12 5/8 =?

12 rəqəminin 1/8 hissəsi 12/8-dir,

12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.

Beləliklə,

Buradan qaydanı alırıq:

Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili paya çevirmək və bu kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.

Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazaq:

Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. azalmalar, Məsələn:

4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni bir kəsi kəsrə vurarkən birinci kəsrdən (vurmalı) əmsalda olan kəsri tapmaq lazımdır.

Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.

Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?

Bir misal götürək: 3/4 5/7 ilə vurulur. Bu o deməkdir ki, 3/4-dən 5/7-ni tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapaq

3/4 ədədinin 1/7 hissəsi aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

5/7 rəqəmləri 3/4 aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

Beləliklə,

Başqa bir misal: 5/8 4/9 ilə vurulur.

5/8-in 1/9-u ,

5/8 rəqəminin 4/9 hissəsidir.

Beləliklə,

Bu nümunələrdən aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalı və birinci hasilini paya, ikinci hasilini isə hasilin məxrəcinə çevirmək lazımdır.

Bu qaydada var ümumi görünüş belə yazmaq olar:

Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Nümunələrə baxaq:

5. Qarışıq ədədlərin vurulması. Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərlə asanlıqla əvəz etmək mümkün olduğundan, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya çarpan və ya hər iki amil qarışıq ədədlər kimi ifadə edildikdə, onlar düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çoxaldaq: 2 1/2 və 3 1/5. Gəlin onların hər birini düzgün olmayan kəsrə çevirək və sonra yaranan fraksiyaları kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaldaq:

Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrləri kəsrlərə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:

6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən biz hər növ kəsrlərdən istifadə edirik. Ancaq nəzərə almaq lazımdır ki, bir çox miqdar onlar üçün hər hansı bir deyil, təbii bölünməyə imkan verir. Məsələn, rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri 3 qəpikdir. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, bu "10 qəpik, ya on qəpiklik olacaq. Rublun dörddə biri, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) ala bilərsiniz. Amma onlar praktiki olaraq götürmürlər, məsələn , rublun 2/7 hissəsi, çünki rubl yeddiyə bölünmür.

Çəki vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə, 1/10 kq və ya 100 q-a bölünməyə imkan verir və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/13 kimi fraksiyaları ümumi deyil.

Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıkdır və onluq bölmələrə imkan verir.

Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, belə əsaslandırılmış bölgü “yüzüncü” bölgüdür. İnsan praktikasının ən müxtəlif sahələrinə aid bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.

Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl idi. 1 rubl azaldı. 20 qəpik

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə il ərzində əmanət üçün qoyulan məbləğin 2/100 hissəsini ödəyir.

Misal. Kassaya 500 rubl qoyulur, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.

3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı ümumi şagirdlərin 5/100 hissəsini təşkil edirdi.

NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird var idi, onlardan 60-ı bitirdi.

Ədədin yüzüncü hissəsi faiz adlanır.

"Faiz" sözü ondan götürülmüşdür latın dili kökü isə “cent” yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüz üçün" mənasını verir. Belə bir ifadənin mənası əvvəlcə içərisində olmasından irəli gəlir qədim Roma faiz borclunun borc verənə “hər yüz üçün” ödədiyi pul idi. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (santimetr deyin).

Məsələn, son bir ayda zavodun istehsal etdiyi bütün məhsulların 1/100-i qüsurludur demək əvəzinə, belə deyəcəyik: son bir ayda zavod bir faiz qüsur istehsal edib. Zavod müəyyən edilmiş plandan 4/100 çox məhsul istehsal etmək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirmişdir.

Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:

1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.

2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanətə qoyulan məbləğdən ildə 2 faiz ödəyir.

3. Bir məktəbi bitirənlərin sayı bütün məktəb şagirdlərinin 5 faizini təşkil edirdi.

Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % simvolunun yazılması adətdir.

Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, hesablamalarda % işarəsi adətən yazılmır, o, problem bəyanatında və yekun nəticədə yazıla bilər. Hesablamalar apararkən bu işarə ilə tam ədədin yerinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.

Göstərilən işarə ilə tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:

Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən simvolu olan tam ədədi yazmağa alışmalısınız:

7. Verilmiş ədədin faizini tapmaq.

Tapşırıq 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunu 30% təşkil edir. Nə qədər ağcaqayın odun var idi?

Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsini təşkil edirdi və bu hissə 30/100 fraksiyasında ifadə edilir. Bu o deməkdir ki, bizim qarşımızda ədədin kəsirini tapmaq tapşırığı var. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirinin tapılması məsələləri ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).

Bu o deməkdir ki, 200-ün 30%-i 60-a bərabərdir.

Bu problemdə rast gəlinən 30/100 fraksiyasını 10-a endirmək olar. Bu azalmanı lap əvvəldən etmək olardı; problemin həlli dəyişməzdi.

Tapşırıq 2. Düşərgədə müxtəlif yaşlarda olan 300 uşaq var idi. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% təşkil edib. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?

Bu problemdə üç hesablama aparmalısınız, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapmalısınız.

Bu o deməkdir ki, burada üç dəfə ədədin kəsirini tapmaq lazımdır. Gəlin bunu edək:

1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?

2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?

3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?

Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, problem bəyanatında verilən faizlərin cəmi 100-dür:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu, düşərgədəki uşaqların ümumi sayının 100% kimi götürüldüyünü deməyə əsas verir.

3 a d a h a 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzillərə və istiliyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Tapşırıqda göstərilən ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?

Bu məsələni həll etmək üçün 1200-ün 5 dəfə hissəsini tapmaq lazımdır.

1) Yemək üçün nə qədər pul xərcləndi? Problem deyir ki, bu xərc ümumi qazancın 65%-ni təşkil edir, yəni 1200 rəqəminin 65/100-üdür.

2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödəmisiniz? Əvvəlki ilə eyni şəkildə əsaslandıraraq, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:

3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?

4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?

5) İşçi nə qədər pul yığdı?

Yoxlamaq üçün bu 5 sualda tapılan rəqəmləri toplamaq faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% kimi qəbul edilir, problem bəyanatında verilən faiz rəqəmlərini əlavə etməklə yoxlamaq asandır.

Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu problemlər müxtəlif məsələlərdən (məktəb üçün odun daşınması, müxtəlif yaşda olan uşaqların sayı, fəhlə xərcləri) məşğul olurdu. Bu ona görə baş verdi ki, bütün məsələlərdə verilmiş ədədlərin bir neçə faizini tapmaq lazım idi.

§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.

Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
2. Kəsirin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Verilmiş kəsrindən ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.

1. Tam ədədi tam ədədə bölün.

Tam ədədlər bölməsində göstərildiyi kimi, bölmə iki amilin (bölmənin) hasilini (bölən) və bu amillərdən birinin (bölən) başqa bir amilin tapılmasından ibarət olan hərəkətdir.

Tam ədədlər bölməsində tam ədədin tam ədədə bölünməsinə baxdıq. Orada iki bölmə halı ilə qarşılaşdıq: qalıqsız bölmə və ya “bütün” (150: 10 = 15) və qalıq ilə bölmə (100: 9 = 11 və 1 qalıq). Buna görə deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölənin tam ədədə hasili olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin istənilən halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).

Məsələn, 7-nin 12-yə bölünməsi hasilinin 12-yə bərabər olacağı bir ədədin tapılması deməkdir. Belə bir ədəd 7/12 kəsridir, çünki 7/12 12 = 7. Başqa bir misal: 14: 25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.

Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividendlərə, məxrəci isə bölənə bərabər olan kəsr yaratmaq lazımdır.

2. Kəsirin tam ədədə bölünməsi.

6/7 kəsrini 3-ə bölün. Yuxarıda verilmiş bölmənin tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; 3-ə vurulduqda verilmiş hasili 6/7 verəcək ikinci amili tapmaq tələb olunur. Aydındır ki, bu məhsuldan üç dəfə kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımıza qoyulan vəzifə 6/7 kəsri 3 dəfə azaltmaq idi.

Biz artıq bilirik ki, kəsri azaltmaq ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla edilə bilər. Buna görə yaza bilərsiniz:

Bu halda 6 ədədi 3-ə bölünür, ona görə də pay 3 dəfə azaldılmalıdır.

Başqa bir misal götürək: 5/8 2-yə bölünür. Burada 5 ədədi 2-yə bölünmür, yəni məxrəci bu ədədə vurmaq lazım gələcək:

Buna əsaslanaraq bir qayda tərtib edilə bilər: Kəsiri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını həmin tam ədədə bölmək lazımdır.(mümkünsə), eyni məxrəci tərk edərək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı qoyub.

3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.

5-i 1/2-ə bölmək lazım olsun, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5-i verəcək bir ədəd tapın. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən çox olmalıdır, çünki 1/2 düzgün kəsrdir. , və ədədi vurarkən düzgün kəsrin hasili vurulan hasildən az olmalıdır. Bunu aydınlaşdırmaq üçün hərəkətlərimizi yazaq aşağıdakı kimi: 5: 1 / 2 = X , bu x 1/2 = 5 deməkdir.

Belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2-yə vurularsa, 5 verəcəkdir. Müəyyən bir ədədi 1/2-yə vurmaq bu ədədin 1/2 hissəsini tapmaq deməkdir, deməli, 1/2 naməlum tarix X 5-ə və tam ədədə bərabərdir X iki dəfə çox, yəni 5 2 = 10.

Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10

yoxlayaq:

Başqa bir misala baxaq. Tutaq ki, siz 6-nı 2/3-ə bölmək istəyirsiniz. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).

Şəkil 19

6 vahidə bərabər AB seqmentini çəkək və hər bir vahidi 3 bərabər hissəyə bölək. Hər bir vahiddə bütün AB seqmentinin üçdə üçü (3/3) 6 dəfə böyükdür, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrdən istifadə edərək, nəticədə 2-nin 18 seqmentini birləşdiririk; Cəmi 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsr 6 vahiddə 9 dəfə olur və ya başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Beləliklə,

Yalnız hesablamalardan istifadə edərək rəsm çəkmədən bu nəticəni necə əldə etmək olar? Gəlin belə əsaslandıraq: 6-nı 2/3-ə bölmək lazımdır, yəni 6-da 2/3-ün neçə dəfə olduğu sualına cavab verməliyik. Əvvəlcə öyrənək: 6-da 1/3 neçə dəfədir? Bütöv vahiddə üçdə 3, 6 vahiddə isə 6 dəfə çox, yəni üçdə 18; bu rəqəmi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Bu o deməkdir ki, 1/3 b vahidlərində 18 dəfə, 2/3 isə b vahidlərində 18 dəfə deyil, yarısı qədərdir, yəni 18: 2 = 9 Beləliklə, 6-nı 2/3-ə bölərkən aşağıdakıları etdik:

Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili saya çevirərək onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bu qaydanı tamamilə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılan qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Nəzərə alın ki, eyni düstur orada da alınıb.

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.

Tutaq ki, 3/4-ü 3/8-ə bölmək lazımdır. Bölünmə nəticəsində yaranan rəqəm nə deməkdir? Bu, 3/4 kəsrində 3/8 kəsirinin neçə dəfə olduğu sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün bir rəsm çəkək (şək. 20).

AB seqmentini götürək, onu bir kimi götürək, 4 bərabər hissəyə bölək və 3 belə hissəni qeyd edək. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd orijinal seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdirək, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər bir seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; Bu o deməkdir ki, bölmənin nəticəsi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başqa bir misala baxaq. Tutaq ki, 15/16-nı 3/32-yə bölmək lazımdır:

Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurduqdan sonra 15/16-ya bərabər məhsul verəcək bir ədəd tapmaq lazımdır. Hesablamaları belə yazaq:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 naməlum nömrə X 15/16-dır

Naməlum nömrənin 1/32-si X ,

32/32 nömrələr X makiyaj etmək.

Beləliklə,

Beləliklə, kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə vurmaq, birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmaq və birinci hasili pay etmək lazımdır, ikincisi isə məxrəcdir.

Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:

Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:

5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.

Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə onları çevirmək lazımdır düzgün olmayan fraksiyalar və sonra yaranan kəsrləri kəsr ədədlərinin bölünməsi qaydalarına uyğun olaraq bölün. Bir misala baxaq:

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirək:

İndi bölünək:

Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydasından istifadə edərək bölmək lazımdır.

6. Verilmiş kəsrindən ədədin tapılması.

Müxtəlif fraksiya məsələləri arasında bəzən naməlum ədədin hansısa kəsrinin qiymətinin verildiyi və bu ədədi tapmaq lazım olanlar var. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsrini tapmaq məsələsinin tərsi olacaq; orada bir ədəd verilmişdi və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilmişdir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunurdu. Bu tip problemin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.

Tapşırıq 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evin bütün pəncərələrinin 1/3 hissəsidir. Bu evdə neçə pəncərə var?

Həll. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə çox pəncərə var, yəni.

Evin 150 pəncərəsi var idi.

Tapşırıq 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da mağazada olan ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın ilkin un ehtiyatı nə qədər idi?

Həll. Problemin şərtlərindən aydın olur ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; Bu o deməkdir ki, bu ehtiyatın 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:

1500: 3 = 500 (bu ehtiyatın 1/8 hissəsidir).

Aydındır ki, bütün tədarük 8 dəfə çox olacaq. Beləliklə,

500 8 = 4000 (kq).

Mağazada ilkin un ehtiyatı 4000 kq olub.

Bu problemi nəzərə alaraq aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.

Onun kəsirinin verilmiş qiymətindən ədəd tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.

Kəsri verilmiş ədədin tapılması ilə bağlı iki məsələni həll etdik. Bu cür problemlər, xüsusilə sonuncudan aydın olduğu kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (tam ədəd tapıldıqda).

Ancaq kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.

Məsələn, sonuncu vəzifəni belə bir hərəkətlə həll etmək olar:

Gələcəkdə onun kəsrindən ədədin tapılması məsələlərini bir hərəkətlə - bölmə ilə həll edəcəyik.

7. Ədədin faizinə görə tapılması.

Bu problemlərdə siz bu rəqəmin bir neçə faizini bilən bir nömrə tapmalısınız.

Tapşırıq 1. Bu ilin əvvəlində əmanət bankından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətlərə qoyduğum məbləğdən gəlir. Əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşam? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)

Problemin mahiyyəti odur ki, mən müəyyən məbləğdə pulu əmanət kassasına qoydum və bir il orada qaldım. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. əmanət qoyduğum pulun 2/100 hissəsi olan gəlir. Mən nə qədər pul qoymuşdum?

Nəticə etibarı ilə, bu pulun iki şəkildə (rubl və fraksiya ilə) ifadə olunan bir hissəsini bilə-bilə, hələlik naməlum olan bütün məbləği tapmalıyıq. Bu, kəsri verilmiş ədədi tapmaq üçün adi bir problemdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı problemlər həll olunur:

Bu o deməkdir ki, əmanət kassasına 3000 rubl qoyulub.

Tapşırıq 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq yığaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?

Problemin şərtlərindən məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq hazırlamaq lazım olduğunu bilmirik. Bu nömrəni tapmaq problemin həlli olacaq.

Bu cür problemlər bölmə ilə həll olunur:

Bu o deməkdir ki, plana görə 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.

Tapşırıq 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq yolun nə qədərini qət etdiklərini soruşdu. Buna dirijor cavab verdi: "Biz artıq bütün səyahətin 30%-ni keçdik." Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?

Problemli şərtlərdən aydın olur ki, Riqadan Moskvaya marşrutun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni tapmalıyıq, yəni bu hissə üçün tamı tapmalıyıq:

§ 91. Qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.

2/3 kəsri götürək və məxrəc yerinə payı əvəz edək, 3/2 alırıq. Bu kəsrin tərsini aldıq.

Verilmiş kəsrin tərsi olan kəsri əldə etmək üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Bu yolla istənilən kəsrin əksini əldə edə bilərik. Məsələn:

3/4, tərs 4/3; 5/6, tərs 6/5

Birincinin payının ikincinin məxrəci, birincinin məxrəcinin ikincinin payı olması xassəsinə malik iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.

İndi fikirləşək ki, 1/2-nin əksi hansı kəsr olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Verilənin tərs hissəsini axtararaq tam ədəd əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, sayı 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün əkslər tam ədədlər olacaq, məsələn:

1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5

Qarşılıqlı kəsrlərin tapılmasında tam ədədlərlə də qarşılaşdığımız üçün bundan sonra biz qarşılıqlı kəsrlərdən deyil, əks ədədlərdən danışacağıq.

Tam ədədin tərsini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll edilə bilər: payın yerinə məxrəci qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, siz tam ədəd üçün tərs ədəd əldə edə bilərsiniz, çünki istənilən tam ədədin məxrəci 1 ola bilər. Bu o deməkdir ki, 7-nin tərs sayı 1/7 olacaq, çünki 7 = 7/1; 10 rəqəmi üçün tərs 1/10 olacaq, çünki 10 = 10/1

Bu fikri fərqli ifadə etmək olar: verilmiş ədədin əksi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır. Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Əslində, 5/9 kəsrinin tərsini yazmaq lazımdırsa, onda 1-i götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.

İndi bir şeyi qeyd edək əmlak bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı ədədlərin hasili birə bərabərdir.Əslində:

Bu xassədən istifadə edərək qarşılıqlı ədədləri aşağıdakı şəkildə tapa bilərik. Tutaq ki, 8-in tərsini tapmalıyıq.

Onu hərflə qeyd edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. 7/12-nin tərsi olan başqa bir ədəd tapaq və onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1: 7/12 və ya X = 12 / 7 .

Bölmə kəsrləri haqqında məlumatı bir qədər əlavə etmək üçün burada qarşılıqlı ədədlər anlayışını təqdim etdik.

6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:

İfadəyə xüsusi diqqət yetirin və onu verilmiş ifadə ilə müqayisə edin: .

Əgər ifadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onda onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölməkdən və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda eyni şey olur. Ona görə də deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividendləri bölənin tərsinə vurmaqla əvəz edilə bilər.

Aşağıda verdiyimiz nümunələr bu qənaəti tam təsdiq edir.

) və məxrəcə görə məxrəc (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsrləri çoxaltmaq üçün düstur:

Məsələn:

Numeratorları və məxrəcləri vurmağa başlamazdan əvvəl, kəsri azaltmaq mümkün olub olmadığını yoxlamaq lazımdır. Əgər kəsri azalda bilsəniz, əlavə hesablamalar aparmağınız daha asan olacaq.

Adi kəsri kəsrə bölmək.

Natural ədədləri əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Əlavədə olduğu kimi, tam ədədi məxrəcində bir olan kəsrə çeviririk. Məsələn:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

• qarışıq fraksiyaları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək;
• kəsrlərin say və məxrəclərinin vurulması;
• fraksiyanı azaltmaq;
• Əgər düzgün olmayan kəsr əldə edirsinizsə, onda düzgün olmayan kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Diqqət edin! Qarışıq kəsri başqa bir qarışıq kəsrlə vurmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan fraksiyalar formasına çevirməli, sonra isə adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

Adi kəsri ədədə vurmaq üçün ikinci üsuldan istifadə etmək daha rahat ola bilər.

Diqqət edin! Kəsiri vurmaq üçün natural ədəd Kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Yuxarıda verilmiş misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxmərtəbəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə üç mərtəbəli (və ya daha çox) kəsrlərə tez-tez rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Diqqət edin! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd edin Məsələn:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri çoxaltmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq zehni hesablamalarda itməkdən daha yaxşıdır.

2. ilə tapşırıqlarda müxtəlif növlər kəsrlər - adi kəsrlər formasına keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi ifadələrə çeviririk.

5. Başınızdakı vahidi kəsrə bölün, sadəcə kəsri çevirin.

ilə hərəkətləri öyrənməyə davam edək adi fraksiyalar. İndi diqqət mərkəzində adi kəsrlərin çoxaldılması. Bu yazıda adi kəsrlərin vurulması qaydasını verəcəyik və nümunələri həll edərkən bu qaydanın tətbiqini nəzərdən keçirəcəyik. Adi kəsri natural ədədə vurmağa da diqqət yetirəcəyik. Sonda üç və ya daha çox fraksiyanın necə vurulacağına baxaq.

Səhifə naviqasiyası.

Adi kəsri adi kəsrə vurmaq

Sözlərlə başlayaq adi kəsrlərin vurulması qaydalarını: Kəsri kəsrə vurduqda onun payı vurulan kəsrlərin saylarının hasilinə, məxrəci isə məxrəclərin hasilinə bərabər olan kəsr əmələ gəlir.

Yəni düstur a/b və c/d adi fraksiyaların vurulmasına uyğundur.

Adi kəsrlərin vurulması qaydasını təsvir edən bir misal verək. Tərəfi 1 vahid olan bir kvadrat düşünün. , onun sahəsi 1 vahid 2 olduğu halda. Bu kvadratı tərəfləri 1/4 vahid olan bərabər düzbucaqlılara bölün. və 1/8 ədəd. , orijinal kvadrat 4·8=32 düzbucaqlıdan ibarət olacağı halda, buna görə də hər düzbucağın sahəsi orijinal kvadratın sahəsinin 1/32 hissəsidir, yəni 1/32 vahid 2-ə bərabərdir. . İndi orijinal kvadratın bir hissəsini boyayaq. Bütün hərəkətlərimiz aşağıdakı şəkildə əks olunub.

Kölgəli düzbucağın tərəfləri 5/8 ədəddir. və 3/4 ədəd. , bu o deməkdir ki, onun sahəsi 5/8 və 3/4 kəsrlərinin hasilinə bərabərdir, yəni vahidlər 2. Ancaq kölgəli düzbucaqlı 15 "kiçik" düzbucaqlıdan ibarətdir, bu da onun sahəsi 15/32 vahid 2 deməkdir. Beləliklə, . 5·3=15 və 8·4=32 olduğundan sonuncu bərabərliyi belə yazmaq olar. formanın adi fraksiyalarını vurmaq üçün düsturu təsdiqləyən .

Qeyd edək ki, qeyd olunan vurma qaydasından istifadə etməklə siz həm düzgün, həm də nalayiq kəsrləri, eyni məxrəcli kəsrləri və müxtəlif məxrəcli kəsrləri çoxalda bilərsiniz.

Gəlin nəzərdən keçirək adi kəsrlərin vurulmasına misallar.

7/11 sadə kəsri 9/8 adi kəsrə çarpın.

7 və 9-a vurulan kəsrlərin saylarının hasili 63-ə, 11 və 8-in məxrəclərinin hasili isə 88-ə bərabərdir. Beləliklə, 7/11 və 9/8 adi fraksiyaları vurmaqla 63/88 kəsri alınır.

Budur həllin xülasəsi: .

Çarpma nəticəsində azalan kəsr yaranarsa, yaranan kəsri azaltmağı və bütün hissəni düzgün olmayan kəsrdən ayırmağı unutmamalıyıq.

4/15 və 55/6 kəsrlərini çoxaldın.

Adi kəsrlərin vurulması qaydasını tətbiq edək: .

Aydındır ki, nəticədə kəsr azaldıla bilər (10-a bölünmə testi 220/90 kəsrinin payı və məxrəcinin olduğunu bildirməyə imkan verir. ümumi çarpan 10). 220/90 kəsrini azaldaq: gcd(220, 90)=10 və . Bütün hissəni yaranan düzgün olmayan fraksiyadan təcrid etmək qalır: .

Qeyd edək ki, kəsrin azaldılması, çarpan kəsrlərin paylarının məhsullarını və məxrəclərinin məhsullarını hesablamazdan əvvəl, yəni kəsrin formasına malik olduqda həyata keçirilə bilər. Bunun üçün a, b, c və d ədədləri onların genişlənməsi ilə əvəz olunur əsas amillər, bundan sonra payın və məxrəcin eyni amilləri azalır.

Aydınlıq üçün əvvəlki nümunəyə qayıdaq.

Formanın kəsrlərinin hasilini hesablayın.

Adi kəsrlərin çoxaldılması düsturuna görə bizdə var .

4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 və 6=2·3 olduğundan . İndi ümumi əsas amilləri azaldırıq: .

Qalan yalnız pay və məxrəcdəki məhsulları hesablamaq və sonra bütün hissəni düzgün olmayan kəsrdən təcrid etməkdir: .

Qeyd etmək lazımdır ki, kəsrlərin vurulması kommutativ xüsusiyyət ilə xarakterizə olunur, yəni vurulan kəsrlər bir-birini əvəz edə bilər: .

Adi kəsri natural ədədə vurmaq

Sözlərlə başlayaq adi kəsri natural ədədə vurma qaydaları: Kəsiri natural ədədə vurduqda onun payı natural ədədə vurulan kəsrin payının hasilinə, məxrəci isə vurulan kəsrin məxrəcinə bərabər olan kəsr əmələ gəlir.

Hərflərdən istifadə edərək a/b kəsrini natural n ədədinə vurma qaydası formaya malikdir.

Düstur, formanın iki adi fraksiyasını vurmaq üçün düsturdan gəlir. Həqiqətən, natural ədədi məxrəci 1 olan kəsr kimi təqdim edirik .

Kəsirin natural ədədə vurulması nümunələrinə baxaq.

2/27 kəsrini 5-ə vurun.

2 ədədini 5 rəqəminə vurmaq 10 verir, buna görə də kəsri natural ədədə vurma qaydasına görə 2/27-nin 5-ə məhsulu 10/27 kəsrə bərabərdir.

Bütün həlli belə yazmaq rahatdır: .

Kəsri natural ədədə vurarkən, yaranan kəsr tez-tez azaldılmalıdır və əgər o da səhvdirsə, qarışıq ədəd kimi təqdim olunur.

5/12 kəsrini 8 rəqəminə vurun.

Kəsirin natural ədədə vurulması düsturuna görə bizdə var . Aydındır ki, nəticədə kəsr azaldıla bilər (2-yə bölünmə əlaməti payın və məxrəcin 2 ortaq bölənini göstərir). 40/12 kəsrini azaldaq: çünki LCM(40, 12)=4, onda . Bütün hissəni vurğulamaq qalır: .

Bütün həll yolu budur: .

Qeyd edək ki, azalma pay və məxrəcdəki ədədləri onların parçalanmaları ilə sadə amillərə əvəz etməklə həyata keçirilə bilər. Bu halda həll yolu belə görünəcək: .

Bu bəndin yekununda qeyd edirik ki, kəsri natural ədədə vurmaq kommutativ xüsusiyyətə malikdir, yəni kəsrin natural ədədə hasili bu natural ədədin kəsrə hasilinə bərabərdir: .

Üç və ya daha çox fraksiyanın vurulması

Adi kəsrləri təyin etdiyimiz üsul və onlarla vurma əməliyyatı təbii ədədlərin vurulmasının bütün xüsusiyyətlərinin kəsrlərin çarpılmasına da aid olduğunu təsdiq etməyə imkan verir.

Vurmanın kommutativ və assosiativ xassələri birmənalı olaraq müəyyən etməyə imkan verir üç və ya daha çox kəsr və natural ədədlərin vurulması. Bu halda hər şey üç və ya daha çox natural ədədin vurulması ilə bənzətmə ilə baş verir. Xüsusilə məhsuldakı kəsrlər və natural ədədlər hesablama asanlığı üçün yenidən sıralana bilər və əməliyyatların ardıcıllığını göstərən mötərizələr olmadıqda, mötərizələri məqbul üsullardan hər hansı birində özümüz düzə bilərik.

Bir neçə kəsr və natural ədədlərin vurulması nümunələrinə baxaq.

Üç ümumi fraksiyanı 1/20, 12/5, 3/7 və 5/8-ə vurun.

Hesablamalı olduğumuz məhsulu yazaq . Kəsrləri vurma qaydasına görə, yazılı məhsul, payı bütün kəsrlərin saylarının hasilinə, məxrəc isə məxrəclərin hasilinə bərabər olan kəsrə bərabərdir: .

Saxlama və məxrəcdəki məhsulları hesablamazdan əvvəl, bütün amilləri onların parçalanmaları ilə sadə amillərə dəyişdirmək və azalma yerinə yetirmək məsləhətdir (əlbəttə ki, vurduqdan sonra bir kəsiri azalda bilərsiniz, lakin bir çox hallarda bunun üçün çoxlu rəqəmlər tələb olunur. hesablama səyi): .

.

Beş ədədi çarpın .

Bu məhsulda 7/8 fraksiyasını 8 rəqəmi ilə, 12 rəqəmini isə 5/36 fraksiyası ilə qruplaşdırmaq rahatdır, bu, hesablamaları asanlaşdıracaq, çünki belə bir qruplaşdırma ilə azalma göz qabağındadır. bizdə var
.

.

Fraksiyaların vurulması

Bir neçə mümkün variantda adi fraksiyaların vurulmasını nəzərdən keçirəcəyik.

Adi kəsri kəsrə vurmaq

Bu, aşağıdakılardan istifadə etməli olduğunuz ən sadə haldır kəsrlərin vurulması qaydaları.

Kimə kəsri kəsrə vur, zəruri:

• birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vurun və hasilini yeni kəsrin payına yazın;
• birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə vurur və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazır;

Sayları və məxrəcləri vurmazdan əvvəl, kəsrlərin azaldıla biləcəyini yoxlayın. Hesablamalarda fraksiyaların azaldılması hesablamalarınızı çox asanlaşdıracaq.

Kəsirin natural ədədə vurulması

Kəsr etmək üçün natural ədədə çarpın Kəsrin payını bu rəqəmə vurmalı və kəsrin məxrəcini dəyişməz qoymalısınız.

Vurmanın nəticəsi düzgün olmayan kəsrdirsə, onu qarışıq bir ədədə çevirməyi, yəni bütün hissəni vurğulamağı unutmayın.

Qarışıq ədədlərin vurulması

Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın başqa bir yolu

Bəzən hesablamalar apararkən ümumi kəsri ədədə vurmaq üçün başqa üsuldan istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı eyni saxlamaq lazımdır.

Nümunədən göründüyü kimi, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölünürsə, qaydanın bu variantından istifadə etmək daha rahatdır.

Qarışıq ədədlərin vurulması: qaydalar, nümunələr, həllər.

Bu yazıda baxacağıq qarışıq ədədlərin vurulması. Əvvəlcə qarışıq ədədlərin vurulması qaydasını təsvir edəcəyik və nümunələri həll edərkən bu qaydanın tətbiqini nəzərdən keçirəcəyik. Sonra qarışıq ədədi və natural ədədi vurmaq haqqında danışacağıq. Nəhayət, qarışıq ədədi və ümumi kəsri necə vurmağı öyrənəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Qarışıq ədədlərin vurulması.

Qarışıq ədədlərin vurulması adi fraksiyaların çarpılmasına qədər azaldıla bilər. Bunun üçün qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək kifayətdir.

Gəlin onu yazaq qarışıq ədədlərin vurulması qaydası:

• Birincisi, vurulan qarışıq ədədlər düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz edilməlidir;
• İkincisi, fraksiyaları kəsrlərə vurma qaydasından istifadə etməlisiniz.

Qarışıq ədədi qarışıq ədədə vurarkən bu qaydanın tətbiqi nümunələrinə baxaq.

Qarışıq ədədlərin vurulmasını yerinə yetirin və .

Əvvəlcə çarpılan qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlər kimi təqdim edək: Və . İndi qarışıq ədədlərin vurulmasını adi fraksiyaların vurulması ilə əvəz edə bilərik: . Kəsrləri vurma qaydasını tətbiq edərək, əldə edirik . Nəticə kəsr reduksiya edilə bilməz (bax, azaldıla bilən və azalmayan fraksiyalar), lakin düzgün deyil (bax: düzgün və qeyri-düzgün fraksiyalar), buna görə də yekun cavabı almaq üçün bütün hissəni düzgün olmayan kəsrdən təcrid etmək qalır: .

Bütün həlli bir sətirdə yazaq: .

.

Qarışıq ədədləri vurma bacarıqlarını gücləndirmək üçün başqa bir nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Çoxalmanı edin.

Gülməli nömrələr və müvafiq olaraq 13/5 və 10/9 fraksiyalarına bərabərdir. Sonra . Bu mərhələdə kəsri azaltmağı xatırlamağın vaxtı gəldi: kəsrdəki bütün ədədləri onların parçalanmaları ilə əsas amillərə dəyişdirin və eyni amillərin azaldılmasını həyata keçirin.

Qarışıq ədədin və natural ədədin vurulması

Qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsrlə əvəz etdikdən sonra, qarışıq ədədi və natural ədədi vurmaq adi kəsrin və natural ədədin vurulmasına gətirib çıxarır.

Qarışıq ədədi və natural ədədi 45-i çarpın.

Qarışıq ədəd kəsrə bərabərdir, onda . Gəlin yaranan kəsrdəki ədədləri onların parçalanmaları ilə sadə amillərə əvəz edək, reduksiya aparaq və sonra tam hissəni seçək: .

.

Qarışıq ədədin və natural ədədin vurulması bəzən toplamaya nisbətən vurmanın paylayıcı xassəsindən istifadə etməklə rahat şəkildə həyata keçirilir. Bu halda qarışıq ədədlə natural ədədin hasili verilmiş natural ədədin tam hissəsinin, verilmiş natural ədədin kəsr hissəsinin hasillərinin cəminə bərabərdir, yəni. .

Məhsulu hesablayın.

Qarışıq ədədi tam və kəsr hissələrinin cəmi ilə əvəz edək, bundan sonra vurmanın paylayıcı xassəsini tətbiq edək: .

Qarışıq ədədlərin və kəsrlərin vurulmasıÇarpılan qarışıq ədədi düzgün olmayan kəsr kimi təqdim etməklə onu adi fraksiyaların çarpımına endirmək ən əlverişlidir.

Qarışıq ədədi ümumi kəsrə 4/15 çarpın.

Qarışıq ədədi kəsrlə əvəz edərək, alırıq .

Fraksiyaların vurulması

§ 140. Anlayışlar. 1) Kəsirin tam ədədə vurulması tam ədədlərin vurulması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir, yəni: ədədi (çoxluğu) tam ədədə (amillə) vurmaq hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini tərtib etmək deməkdir.

Beləliklə, 5-ə vurmaq cəmini tapmaq deməkdir:
2) Ədədin (çoxluğun) kəsrə (əmsal) vurulması vurmanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.

Beləliklə, biz indi verilmiş ədədin daha əvvəl nəzərdən keçirdiyimiz kəsrini tapmağı kəsrə vurma adlandıracağıq.

3) Ədədi (çoxluğu) qarışıq ədədə (əmsal) vurmaq, çarpanı əvvəlcə çarpanın tam ədədinə, sonra isə çarpanın kəsirinə vurmaq və bu iki vurmanın nəticələrini birlikdə toplamaq deməkdir.

Məsələn:

Bütün bu hallarda çarpmadan sonra alınan ədədə deyilir iş, yəni tam ədədləri vurarkən olduğu kimi.

Bu təriflərdən aydın olur ki, kəsr ədədlərinin vurulması həmişə mümkün olan və həmişə birmənalı olmayan hərəkətdir.

§ 141. Bu təriflərin məqsədəuyğunluğu. Vurmanın son iki tərifinin hesaba daxil edilməsinin məqsədəuyğunluğunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi götürək:

Tapşırıq. Vahid şəkildə hərəkət edən qatar saatda 40 km məsafə qət edir; bu qatarın müəyyən bir saatda neçə kilometr getəcəyini necə tapmaq olar?

Əgər tam arifmetikada (bərabər şərtlərin əlavə edilməsi) göstərilən vurmanın bir tərifi ilə qalsaq, problemimizin üç fərqli həlli olacaq, yəni:

Əgər verilən saatların sayı tam ədəddirsə (məsələn, 5 saat), onda məsələni həll etmək üçün 40 km-i bu saat sayına vurmaq lazımdır.

Verilmiş saat sayı kəsr kimi ifadə edilirsə (məsələn, bir saat), onda bu kəsrin qiymətini 40 km-dən tapmalı olacaqsınız.

Nəhayət, verilmiş saatların sayı (məsələn, saatlar) qarışdırılırsa, onda 40 km qarışıq nömrədə olan tam ədədə vurulmalı və nəticədə qarışıqda olan 40 km-in başqa bir hissəsi əlavə edilməlidir. nömrə.

Verdiyimiz təriflər bütün bu mümkün hallara bir ümumi cavab verməyə imkan verir:

nə olursa olsun, 40 km-ni verilən saat sayına vurmaq lazımdır.

Beləliklə, problem ümumi formada aşağıdakı kimi təqdim edilərsə:

Düzgün hərəkət edən qatar bir saatda v km qət edir. Qatar t saatda neçə km yol qət edəcək?

onda v və t ədədlərinin nə olmasından asılı olmayaraq, bir cavab verə bilərik: istənilən ədəd v · t düsturu ilə ifadə edilir.

Qeyd. Verilmiş ədədin bəzi hissəsinin tapılması, bizim tərifimizə görə, verilmiş ədədi bu kəsrə vurmaqla eyni şey deməkdir; buna görə də, məsələn, verilmiş ədədin 5%-ni (yəni beş yüzdə birini) tapmaq, verilmiş ədədi və ya ilə vurmaqla eyni şey deməkdir; verilmiş ədədin 125%-ni tapmaq bu ədədi ilə və ya vurmaqla eyni deməkdir və s.

§ 142. Ədədin nə vaxt artdığı və vurma nəticəsində azaldığı barədə qeyd.

Düzgün kəsrə vurmaq ədədi azaldır, nalayiq kəsrə vurmaq isə bu natamam kəsr birdən böyükdürsə, rəqəmi artırır, birə bərabərdirsə, dəyişməz qalır.
Şərh. Kəsir ədədləri, eləcə də tam ədədləri vurarkən, amillərdən hər hansı biri sıfıra bərabər olarsa, hasil sıfıra bərabər alınır, buna görə də .

§ 143. Vurma qaydalarının törəməsi.

1) Kəsirin tam ədədə vurulması. Bir kəsr 5-ə vurulsun. Bu, 5 dəfə artmış deməkdir. Kəsiri 5 dəfə artırmaq üçün onun payını artırmaq və ya məxrəcini 5 dəfə azaltmaq kifayətdir (§ 127).

Buna görə də:
Qayda 1. Kəsri tam ədədə vurmaq üçün payı bu tam ədədə vurmaq lazımdır, lakin məxrəci eyni şəkildə buraxmaq lazımdır; bunun əvəzinə siz də kəsrin məxrəcini verilmiş tam ədədə bölmək olar (mümkünsə) və payı eyni şəkildə qoya bilərsiniz.

Şərh. Kəsirin və onun məxrəcinin hasili onun payına bərabərdir.

Beləliklə:
Qayda 2. Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili paya çevirmək və bu kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.
Qayda 3. Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalı və birinci hasilini hasil, ikincisini isə məxrəcə çevirməlisən.

Şərh. Bu qayda kəsri tam ədədə və tam ədədi kəsrə vurmaq üçün də tətbiq oluna bilər, əgər tam ədədi məxrəci bir olan kəsr kimi nəzərə alsaq. Beləliklə:

Beləliklə, indi təsvir olunan üç qayda birində var və ümumiyyətlə aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:
4) Qarışıq ədədlərin vurulması.

4-cü qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək və sonra kəsrlərin vurulması qaydalarına uyğun olaraq çoxaltmaq lazımdır. Məsələn:
§ 144. Çoxalma zamanı azalma. Fraksiyaları vurarkən, mümkünsə, aşağıdakı nümunələrdən göründüyü kimi, ilkin azalma etmək lazımdır:

Belə bir azalma ona görə edilə bilər ki, kəsrin payı və məxrəci eyni sayda azaldılsa, onun dəyəri dəyişməyəcək.

§ 145. Dəyişən amillərlə məhsulun dəyişdirilməsi. Faktorlar dəyişdikdə, kəsr ədədlərinin hasili tam ədədlərin hasili ilə eyni şəkildə dəyişəcək (§ 53), yəni: hər hansı bir amili bir neçə dəfə artırsanız (və ya azaldırsınızsa), məhsul artacaq (və ya azalacaq) eyni miqdarda.

Beləliklə, əgər nümunədə:
bir neçə kəsri çoxaltmaq üçün onların paylarını bir-biri ilə, məxrəclərini isə bir-birinə vurub birinci hasilini hasilin, ikincisini isə məxrəc etmək lazımdır.

Şərh. Bu qayda ədədin bəzi amillərinin tam və ya qarışıq olduğu məhsullara da şamil edilə bilər, əgər tam ədədi məxrəci bir olan kəsr kimi qəbul etsək və qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirsək. Məsələn:
§ 147. Vurmanın əsas xassələri. Tam ədədlər üçün göstərdiyimiz vurmanın xüsusiyyətləri (§ 56, 57, 59) kəsr ədədlərinin vurulmasına da aiddir. Bu xüsusiyyətləri qeyd edək.

1) Faktorlar dəyişdirildikdə məhsul dəyişmir.

Məsələn:

Həqiqətən, əvvəlki bəndin qaydasına görə, birinci məhsul kəsrə, ikincisi isə kəsrə bərabərdir. Amma bu kəsrlər eynidir, çünki onların şərtləri yalnız tam ədədlərin sırasına görə fərqlənir, amillərin yerləri dəyişdirildikdə isə tam ədədlərin hasili dəyişmir.

2) Hər hansı bir qrup faktor onların məhsulu ilə əvəz olunarsa, məhsul dəyişməyəcək.

Məsələn:

Nəticələr eynidir.

Çoxalmanın bu xüsusiyyətindən aşağıdakı nəticəyə gəlmək olar:

ədədi məhsula vurmaq üçün bu ədədi birinci amillə, nəticədə çıxan ədədi ikinciyə və s.

Məsələn:
3) Vurmanın paylanma qanunu (toplamaya nisbətən). Cəmi ədədə vurmaq üçün hər bir termini ayrı-ayrılıqda həmin ədədə vurub nəticələri əlavə edə bilərsiniz.

Bu qanun bizim tərəfimizdən (§ 59) tam ədədlərə tətbiq edildiyi kimi izah edilmişdir. Kəsr ədədlər üçün heç bir dəyişiklik olmadan doğru olaraq qalır.

Gəlin göstərək ki, əslində bərabərlik

(a + b + c + .)m = am + bm + sm + .

(toplamaya nisbətən vurmanın paylanma qanunu) hərflər kəsr ədədləri təmsil etdikdə belə doğru qalır. Üç halı nəzərdən keçirək.

1) Əvvəlcə fərz edək ki, m faktoru tam ədəddir, məsələn, m = 3 (a, b, c – istənilən ədədlər). Tam ədədə vurmanın tərifinə görə yaza bilərik (sadəlik üçün üç şərtlə məhdudlaşdırırıq):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Toplamanın assosiativ qanununa əsaslanaraq, sağ tərəfdəki bütün mötərizələri buraxa bilərik; Toplamanın kommutativ qanununu və sonra yenidən assosiativ qanunu tətbiq etməklə, açıq şəkildə sağ tərəfi aşağıdakı kimi yenidən yaza bilərik:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Bu o deməkdir ki, bu halda bölgü qanunu təsdiqlənir.

Kəsirin natural ədədə bölünməsi

Bölmələr: Riyaziyyat

T dərs növü: ONZ (yeni biliklərin kəşfi - fəaliyyətə əsaslanan tədris metodu texnologiyasından istifadə etməklə).

1. Kəsirin natural ədədə bölünməsi üsullarını çıxarmaq;
2. Kəsiri natural ədədə bölmək bacarığını inkişaf etdirmək;
3. Fraksiyaların bölünməsini təkrarlayın və gücləndirin;
4. Kəsrləri azaltmaq, təhlil etmək və problemləri həll etmək bacarığını öyrədin.

Avadanlıq nümayişi materialı:

1. Biliklərin yenilənməsi üçün tapşırıqlar:

2. Sınaq (fərdi) tapşırığı.

1. Bölməni yerinə yetirin:

2. Bütün hesablamalar zəncirini yerinə yetirmədən bölməni yerinə yetirin: .

• Kəsiri natural ədədə bölərkən, məxrəci həmin ədədə vura bilərsiniz, lakin payı eyni olaraq buraxın.

• Əgər pay natural ədədə bölünürsə, onda kəsri bu ədədə bölərkən, payı ədədə bölmək və məxrəci eyni şəkildə qoymaq olar.

I. Motivasiya (öz müqəddəratını təyinetmə). təhsil fəaliyyəti.

1. Tədris fəaliyyəti baxımından tələbə üçün tələblərin yenilənməsini təşkil etmək (“məcburi”);
2. Tematik çərçivələr yaratmaq üçün tələbələrin fəaliyyətini təşkil etmək (“Mən bacarıram”);
3. Tələbədə təhsil fəaliyyətinə daxil olmaq üçün daxili ehtiyacın inkişafı üçün şərait yaradın (“Mən istəyirəm”).

Təşkilat təhsil prosesi I mərhələdə.

salam! Hamınızı riyaziyyat dərsində görməyə şadam. Ümid edirəm ki, qarşılıqlıdır.

Uşaqlar, keçən dərsdə hansı yeni bilikləri əldə etdiniz? (Kəsrləri bölün).

Doğru. Kəsrləri bölməyə nə kömək edir? (Qayda, xüsusiyyətlər).

Bu bilik bizə hara lazımdır? (Nümunələr, tənliklər, məsələlərdə).

Əla! Keçən dərsdəki tapşırıqları yaxşı yerinə yetirdiniz. Bu gün özünüz yeni biliklər kəşf etmək istəyirsiniz? (Bəli).

Sonra - gedək! Və dərsin şüarı “Qonşunun bunu etdiyini seyr edərək riyaziyyatı öyrənə bilməzsən!” ifadəsi olacaq.

II. Biliklərin yenilənməsi və sınaq fəaliyyətində fərdi çətinliklərin aradan qaldırılması.

1. Yeni biliklərin qurulması üçün kifayət qədər öyrənilmiş fəaliyyət üsullarının yenilənməsini təşkil edin. Bu üsulları şifahi (nitqdə) və simvolik (standart) qeyd edin və ümumiləşdirin;
2. Yeni biliklərin qurulması üçün kifayət qədər zehni əməliyyatların və idrak proseslərinin aktuallaşdırılmasını təşkil etmək;
3. Sınaq prosesinə və onun müstəqil həyata keçirilməsinə və əsaslandırılmasına həvəsləndirmək;
4. təqdim fərdi tapşırıq yeni təhsil məzmununu müəyyən etmək üçün sınaq hərəkəti etmək və onu təhlil etmək;
5. Təşkil et təhsil məqsədi və dərs mövzuları;
6. Sınaq hərəkətinin həyata keçirilməsini təşkil etmək və çətinliyi aradan qaldırmaq;
7. Alınan cavabların təhlilini təşkil edin və sınaq hərəkətini yerinə yetirməkdə və ya onu əsaslandırmaqda fərdi çətinlikləri qeyd edin.

II mərhələdə tədris prosesinin təşkili.

Ön tərəfdən, tabletlərdən (fərdi lövhələr) istifadə etməklə.

1. İfadələri müqayisə edin:

(Bu ifadələr bərabərdir)

Hansı maraqlı şeyləri müşahidə etdiniz? (Hər bir ifadədə dividentin payı və məxrəci, bölənin payı və məxrəci eyni sayda artmışdır. Beləliklə, ifadələrdəki dividendlər və bölənlər bir-birinə bərabər kəsrlərlə təmsil olunur).

İfadənin mənasını tapın və planşetinizə yazın. (2)

Bu rəqəmi kəsr kimi necə yaza bilərəm?

Bölmə əməliyyatını necə yerinə yetirdiniz? (Uşaqlar qaydanı tələffüz edir, müəllim hərf simvollarını lövhədə yerləşdirir)

2. Yalnız nəticələri hesablayın və qeyd edin:

3. Nəticələri əlavə edin və cavabı yazın. (2)

3-cü tapşırıqda alınan ədədin adı nədir? (təbii)

Sizcə kəsri natural ədədə bölmək olarmı? (Bəli, çalışacağıq)

Bunu cəhd edin.

4. Fərdi (sınaq) tapşırıq.

Bölməni yerinə yetirin: (yalnız a nümunəsi)

Bölmək üçün hansı qaydadan istifadə etdiniz? (Kəsrlərin kəsrlərə bölünməsi qaydasına uyğun olaraq)

İndi kəsri ondan böyük natural ədədə bölün sadə şəkildə, bütün hesablamalar zəncirini yerinə yetirmədən: (misal b). Bunun üçün sizə 3 saniyə vaxt verəcəm.

Tapşırığı 3 saniyəyə kim yerinə yetirə bilmədi?

Kim etdi? (Belə bir şey yoxdur)

Niyə? (Yolu bilmirik)

Nə aldınız? (Çətinlik)

Sizcə sinifdə nə edəcəyik? (Kəsrləri natural ədədlərə bölün)

Düzdür, dəftərlərinizi açın və dərsin mövzusunu yazın: “Kəsirin natural ədədə bölünməsi”.

Siz fraksiyaları necə bölməyi artıq bildiyiniz halda bu mövzu niyə yeni səslənir? (Lazımdır yeni yol)

Doğru. Bu gün biz kəsrin natural ədədə bölünməsini asanlaşdıran bir texnika quracağıq.

III. Problemin yerini və səbəbini müəyyən etmək.

1. Tamamlanmış əməliyyatların bərpasını təşkil edin və çətinliyin yarandığı yeri - addımı, əməliyyatı qeyd edin (şifahi və simvolik);
2. Tələbələrin hərəkətlərinin istifadə olunan metod (alqoritm) ilə əlaqəsini təşkil edin və xarici nitqdə çətinliyin səbəbini - bu tip ilkin problemi həll etmək üçün çatışmayan xüsusi bilik, bacarıq və ya bacarıqları müəyyənləşdirin.

III mərhələdə tədris prosesinin təşkili.

Hansı tapşırığı yerinə yetirməli idiniz? (Bütün hesablamalar zəncirindən keçmədən kəsri natural ədədə bölün)

Sizə nə çətinlik yaratdı? (Qərar verə bilmədim qısa müddət sürətli yol)

Dərsdə özümüzə hansı məqsəd qoyuruq? (Tap sürətli yol kəsri natural ədədə bölmək)

Sizə nə kömək edəcək? (Kəsrlərin bölünməsi üçün artıq məlum qayda)

IV. Problemdən çıxmaq üçün layihə qurmaq.

1. Layihənin məqsədinin aydınlaşdırılması;
2. Metod seçimi (aydınlaşdırma);
3. Vasitələrin təyini (alqoritm);
4. Məqsədə çatmaq üçün plan qurmaq.

IV mərhələdə tədris prosesinin təşkili.

Test tapşırığına qayıdaq. Dediniz ki, kəsrlərin bölünməsi qaydasına uyğun bölünürsünüz? (Bəli)

Bunun üçün natural ədədi kəsrlə əvəz edin? (Bəli)

Sizcə, hansı addımı (və ya addımları) atlamaq olar?

(Həll zənciri lövhədə açıqdır:

Təhlil edin və nəticə çıxarın. (Addım 1)

Cavab yoxdursa, o zaman sizi suallara yönləndiririk:

Təbii bölən hara getdi? (məxrəcdə)

Numerator dəyişdi? (Xeyr)

Bəs siz hansı addımı “buraxmaq” olar? (Addım 1)

• Kəsrin məxrəcini natural ədədə vurun.
• Numeratoru dəyişmirik.
• Yeni bir fraksiya alırıq.

V. Quraşdırılmış layihənin həyata keçirilməsi.

1. Çatışmayan biliklərin əldə edilməsinə yönəlmiş qurulmuş layihəni həyata keçirmək üçün kommunikativ qarşılıqlı əlaqəni təşkil etmək;
2. Qurulmuş hərəkət metodunun nitqdə və işarələrdə qeydini təşkil etmək (standartdan istifadə etməklə);
3. İlkin problemin həllini təşkil edin və çətinliyin necə aradan qaldırılacağını qeyd edin;
4. Aydınlaşdırmanı təşkil edin general yeni bilik.

V mərhələdə təhsil prosesinin təşkili.

İndi test işini tez bir zamanda yeni bir şəkildə idarə edin.

İndi tapşırığı tez yerinə yetirə bildiniz? (Bəli)

Bunu necə etdiyinizi izah edin? (Uşaqlar danışır)

Bu o deməkdir ki, biz yeni biliklər əldə etmişik: kəsri natural ədədə bölmə qaydası.

Əla! Cüt-cüt deyin.

Sonra bir şagird siniflə danışır. Qayda-alqoritmi şifahi şəkildə və lövhədə standart şəklində düzəldirik.

İndi hərf təyinatlarını daxil edin və qaydamızın düsturunu yazın.

Şagird qaydanı deyərək lövhəyə yazır: kəsri natural ədədə bölərkən məxrəci bu ədədə vura bilərsiniz, lakin payı olduğu kimi buraxın.

(Hər kəs düsturunu dəftərinə yazır).

İndi cavaba xüsusi diqqət yetirərək test tapşırığının həlli zəncirini yenidən təhlil edin. Nə etdin? (15 kəsrinin payı 3-ə bölündü (kiçildildi))

Bu rəqəm nədir? (təbii, bölən)

Beləliklə, kəsri natural ədədə başqa necə bölmək olar? (Yoxlayın: kəsrin payı bu natural ədədə bölünürsə, onda siz payı bu ədədə bölmək, nəticəni yeni kəsrin payına yazmaq və məxrəci eyni şəkildə qoymaq olar)

Bu üsulu düstur kimi yazın. (Şagird qaydanı tələffüz edərkən lövhəyə yazır. Hər kəs düsturunu dəftərinə yazır).

Birinci üsula qayıdaq. Əgər a:n? (Bəli ümumi üsul)

İkinci üsuldan istifadə etmək nə vaxt əlverişlidir? (Kəsirin payı qalıqsız natural ədədə bölündükdə)

VI. Xarici nitqdə tələffüzlə ilkin konsolidasiya.

1. Xarici nitqdə tələffüzlə bağlı standart problemləri həll edərkən uşaqların yeni fəaliyyət metodunu mənimsəməsini təşkil edin (cəbbədən, cüt və ya qruplarda).

VI mərhələdə tədris prosesinin təşkili.

Yeni bir şəkildə hesablayın:

• No 363 (a; d) - qaydanı tələffüz edərək lövhədə ifa olunur.
• № 363 (e; f) - nümunəyə uyğun olaraq yoxlanmaqla cütlərdə.

VII. Standarta uyğun olaraq özünü sınamaqla müstəqil iş.

1. Şagirdlərin yeni fəaliyyət tərzi üçün tapşırıqları müstəqil yerinə yetirməsini təşkil etmək;
2. Standartla müqayisə əsasında özünü sınağı təşkil etmək;
3. İcra nəticələrinə əsasən müstəqil iş yeni fəaliyyət tərzinin mənimsənilməsi haqqında düşüncələri təşkil edin.

VII mərhələdə tədris prosesinin təşkili.

Yeni bir şəkildə hesablayın:

Şagirdlər standartı yoxlayır və icranın düzgünlüyünü qeyd edirlər. Səhvlərin səbəbləri təhlil edilir və səhvlər düzəldilir.

Müəllim səhv edən şagirdlərdən soruşur ki, bunun səbəbi nədir?

Bu mərhələdə hər bir tələbənin öz işlərini müstəqil şəkildə yoxlaması vacibdir.

8-ci tapşırığı həll etməzdən əvvəl dərslikdən bir nümunə nəzərdən keçirin:

IX. Sinifdə öyrənmə fəaliyyətləri haqqında düşüncə.

1. Dərsdə öyrənilən yeni məzmunun qeydini təşkil etmək;
2. Şagirdlərə məlum olan tələblərin yerinə yetirilməsi baxımından tədris fəaliyyətinin əks etdirici təhlilini təşkil etmək;
3. Şagirdlərin dərsdə öz fəaliyyətlərinin qiymətləndirilməsini təşkil etmək;
4. Gələcək təhsil fəaliyyəti üçün bir istiqamət kimi dərsdə həll edilməmiş çətinliklərin qeydini təşkil etmək;
5. Ev tapşırığının müzakirəsini və qeydini təşkil edin.

IX mərhələdə tədris prosesinin təşkili.

Uşaqlar, bu gün hansı yeni bilikləri kəşf etdiniz? (Kəsirin natural ədədə bölünməsini sadə şəkildə öyrəndim)

Ümumi metodu formalaşdırın. (Deyirlər)

Hansı şəkildə və hansı hallarda istifadə edilə bilər? (Deyirlər)

Yeni metodun üstünlüyü nədir?

Dərs məqsədimizə çatdıqmı? (Bəli)

Məqsədinizə çatmaq üçün hansı biliklərdən istifadə etdiniz? (Deyirlər)

Hər şey sizin üçün uğurlu oldu?

Çətinliklər nə idi?

Bir neçə mümkün variantda adi fraksiyaların vurulmasını nəzərdən keçirəcəyik.

Adi kəsri kəsrə vurmaq

Bu, aşağıdakılardan istifadə etməli olduğunuz ən sadə haldır kəsrlərin vurulması qaydaları.

Kimə kəsri kəsrə vur, zəruri:

• birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına vurun və hasilini yeni kəsrin payına yazın;
• birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə vurur və hasilini yeni kəsrin məxrəcinə yazır;

Sayları və məxrəcləri vurmazdan əvvəl, kəsrlərin azaldıla biləcəyini yoxlayın. Hesablamalarda fraksiyaların azaldılması hesablamalarınızı çox asanlaşdıracaq.



Kəsirin natural ədədə vurulması

Kəsr etmək üçün natural ədədə çarpın Kəsrin payını bu rəqəmə vurmalı və kəsrin məxrəcini dəyişməz qoymalısınız.

Vurmanın nəticəsi düzgün olmayan kəsrdirsə, onu qarışıq bir ədədə çevirməyi, yəni bütün hissəni vurğulamağı unutmayın.



Qarışıq ədədlərin vurulması

Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli və sonra adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.



Kəsiri natural ədədə vurmağın başqa bir yolu

Bəzən hesablamalar apararkən ümumi kəsri ədədə vurmaq üçün başqa üsuldan istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsiri natural ədədə vurmaq üçün kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı eyni saxlamaq lazımdır.



Nümunədən göründüyü kimi, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölünürsə, qaydanın bu variantından istifadə etmək daha rahatdır.

Kəsrlərlə əməliyyatlar

Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Fraksiyaların əlavə edilməsinin iki növü var:

• Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi
• Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Əvvəlcə məxrəcləri oxşar olan kəsrlərin əlavə edilməsini öyrənək. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını toplamaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən buraxın:



Dörd hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 2. Kəsrləri əlavə edin və .

Yenə də sayları toplayır və məxrəci dəyişməz qoyuruq:



Cavabın düzgün olmayan kəsr olduğu ortaya çıxdı. Tapşırığın sonu gəldikdə, düzgün olmayan fraksiyalardan qurtulmaq adətdir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan xilas olmaq üçün onun bütün hissəsini seçmək lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə bütün hissəsi asanlıqla fərqlənir - iki ikiyə bölünür birə bərabərdir:



İki hissəyə bölünmüş pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:

Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .



Üç hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 4.İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:

Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz və daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 tam pizza və daha çox pizza alacaqsınız.

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsində mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

1. Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını toplamaq və məxrəci eyni qoymaq lazımdır;
2. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini vurğulamalısınız.

Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi

İndi fərqli məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənək. Kəsrləri toplayanda kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Ancaq onlar həmişə eyni deyil.

Məsələn, kəsrləri əlavə etmək olar, çünki onların məxrəcləri eynidir.

Ancaq kəsrləri dərhal əlavə etmək olmaz, çünki bu fraksiyaların məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün biz onlardan yalnız birinə baxacağıq, çünki digər üsullar yeni başlayanlar üçün mürəkkəb görünə bilər.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını (LCM) axtarırıq. Sonra LCM birinci əlavə əmsalı əldə etmək üçün birinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür. Onlar ikinci fraksiya ilə eyni şeyi edirlər - LCM ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil əldə edilir.

Sonra kəsrlərin sayları və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində müxtəlif məxrəcləri olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik.

Misal 1. və kəsrləri əlavə edək

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.

LCM (2 və 3) = 6

İndi isə kəsrlərə qayıdaq və . Əvvəlcə LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün və ilk əlavə əmsalı alın. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.

Nəticədə çıxan 2 rəqəmi ilk əlavə çarpandır. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün, kəsr üzərində kiçik bir əyri xətt çəkin və yuxarıda tapılan əlavə faktoru yazın:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.

Nəticədə alınan 3 rəqəmi ikinci əlavə çarpandır. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə ikinci fraksiya üzərində kiçik bir əyri xətt çəkirik və yuxarıda tapılan əlavə faktoru yazırıq:

İndi əlavə etmək üçün hər şey hazırdır. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:



Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik. Bu nümunəni sona qədər götürək:



Bu nümunəni tamamlayır. Əlavə etmək üçün çıxır.

Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:

Kəsrlərin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə endirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza parçaları ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).



Birinci rəsm kəsri (altıdan dörd ədəd), ikinci rəsm isə kəsri (altıdan üç ədəd) təmsil edir. Bu parçaları əlavə edərək əldə edirik (altıdan yeddi ədəd). Bu fraksiya düzgün deyil, ona görə də onun bütün hissəsini vurğuladıq. Nəticədə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) əldə etdik.

Qeyd edək ki, təsvir etdik bu misalçox təfərrüatlı. IN təhsil müəssisələri Bu qədər təfərrüatlı yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin tapılan əlavə amilləri say və məxrəclərinizə sürətlə vurmalısınız. Məktəbdə olsaydıq, bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:



Ancaq sikkənin başqa bir tərəfi də var. Riyaziyyatın öyrənilməsinin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparmasanız, bu cür suallar görünməyə başlayır. “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.

Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:

3. Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
4. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə əmsal alın;
5. Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
6. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
7. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;

Misal 2.İfadənin qiymətini tapın .

Yuxarıda təqdim etdiyimiz diaqramdan istifadə edək.

Addım 1. Kəsrlərin məxrəcləri üçün LCM-i tapın

Hər iki fraksiyanın məxrəcləri üçün LCM-i tapın. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 rəqəmləridir. Bu ədədlər üçün LCM-i tapmalısınız:

Addım 2. LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə əmsal alın

LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölsək, 6-nı alırıq. İlk əlavə əmsalı 6 aldıq. Birinci kəsrin yuxarısına yazırıq:

İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölsək, 4-ü alırıq. İkinci əlavə əmsal 4-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alarıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü alırıq. Üçüncü kəsrin yuxarısına yazırıq:

Addım 3. Kəsrin saylarını və məxrəclərini əlavə amillərlə çarpın

Numeratorları və məxrəcləri əlavə amillərlə çarpırıq:

Addım 4. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə edin

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəcləri olan kəsrlərə çevrilir. Yalnız bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:



Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və yeni sətrin əvvəlində bərabərlik işarəsi (=) qoymaq lazımdır. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.

Addım 5. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini vurğulayın

Cavabımız düzgün olmayan kəsr oldu. Onun bütöv bir hissəsini vurğulamalıyıq. Biz vurğulayırıq:



Cavab aldıq

Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin çıxılması

Kəsrlərin çıxarılmasının iki növü var:

8. Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin çıxılması
9. Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Birincisi, oxşar məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci fraksiyanın payından ikinci fraksiyanın payını çıxarmaq lazımdır, lakin məxrəci eyni şəkildə buraxmaq lazımdır.

Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu nümunəni həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni saxlamaq lazımdır. Gəlin bunu edək:

Dörd hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 2.İfadənin qiymətini tapın.

Yenə birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci eyni şəkildə buraxın:

Üç hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 3.İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:

Cavab düzgün olmayan kəsr idi. Nümunə tamamlanıbsa, düzgün olmayan fraksiyadan qurtulmaq adətdir. Cavabda düzgün olmayan kəsrdən xilas olaq. Bunun üçün onun bütün hissəsini seçək:

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcləri olan kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır;

Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini vurğulamalısınız.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Məsələn, kəsrdən kəsri çıxara bilərsiniz, çünki kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Ancaq kəsrdən kəsri çıxa bilməzsiniz, çünki bu kəsrlərin fərqli məxrəcləri var. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Ümumi məxrəc, müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri əlavə edərkən istifadə etdiyimiz eyni prinsipdən istifadə etməklə tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üstündə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin yuxarısına yazılan ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.

Misal 1.İfadənin mənasını tapın:

Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.

LCM (3 və 4) = 12

İndi isə fraksiyalara qayıdaq və

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunu etmək üçün LCM-ni birinci fraksiyanın məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Birinci kəsrin üzərinə dörd yazın:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə üç yazın:

İndi çıxma üçün hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər götürək:

Cavab aldıq

Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız

Bu həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olsaydıq, bu misalı daha qısa həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:

Kəsrin ümumi məxrəcə endirilməsi də bir şəkil istifadə edərək təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə endirərək və kəsrləri əldə etdik. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):

Birinci şəkildə kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.

Misal 2.İfadənin qiymətini tapın

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapaq.

Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunu etmək üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölün.

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, birinci əlavə əmsal 3-ü alırıq. Birinci kəsrin yuxarısına yazırıq:

İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. İkinci kəsrin yuxarısına yazırıq:

İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə amil 6-nı alırıq. Üçüncü kəsrin yuxarısına yazırıq:

İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəcləri olan kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.

Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:

Cavab adi bir kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Onu daha sadə və daha estetik etmək lazım gələcəkdi. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı qısalda bilərsiniz. Yada salaq ki, kəsri azaltmaq payın və məxrəcin ən böyük ortaq böləninə bölünməsidir.

Kəsri düzgün şəkildə azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini 20 və 30 ədədlərinin ən böyük ortaq böləninə (GCD) bölmək lazımdır.

GCD NOC ilə qarışdırılmamalıdır. Bir çox yeni başlayanların ən çox yayılmış səhvi. GCD ən böyük ümumi böləndir. Bir kəsiri azaltmaq üçün tapırıq.

Və LCM ən az ümumi çoxluqdur. Onu kəsrləri eyni (ortaq) məxrəcə gətirmək üçün tapırıq.

İndi biz 20 və 30 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini (GCD) tapacağıq.

Beləliklə, 20 və 30 nömrələri üçün GCD tapırıq:

GCD (20 və 30) = 10

İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini 10-a bölürük:

Gözəl cavab aldıq

Kəsirin ədədə vurulması

Kəsri ədədə vurmaq üçün kəsrin payını həmin ədədə vurmalı və məxrəci eyni olaraq qoymalısınız.

Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.

Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun

Səsyazma 1 dəfənin yarısı kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız

Vurma qanunlarından bilirik ki, vurma və amil dəyişdirilərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə də tam ədədi və kəsri vurma qaydası işləyir:

Bu qeydi birinin yarısını almaq kimi başa düşmək olar. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və biz onun yarısını alırıqsa, o zaman pizzamız olacaq:

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Kəsirin payını 4-ə vurun

İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 pizza götürsəniz, iki tam pizza alacaqsınız

Əgər çarpanı və çarpanı dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:

Fraksiyaların vurulması

Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini vurğulamalısınız.

Misal 1.İfadənin qiymətini tapın.

Cavab aldıq. Bu fraksiyanı azaltmaq məsləhətdir. Fraksiya 2 azaldıla bilər. Sonra son həll aşağıdakı formanı alacaq:

İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:

Və bu üç hissədən ikisini götürün:

Pizza hazırlayacağıq. Üç hissəyə bölündükdə pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:

Bu pizzanın bir parçası və götürdüyümüz iki parça eyni ölçülərə sahib olacaq:

Başqa sözlə, söhbət eyni ölçülü pizzadan gedir. Buna görə ifadənin dəyəri belədir

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün olmayan kəsr idi. Onun bütün hissəsini vurğulayaq:

Misal 3.İfadənin qiymətini tapın

Cavab adi kəsr oldu, amma qısalsa yaxşı olardı. Bu kəsri azaltmaq üçün onu pay və məxrəcin gcd-yə bölmək lazımdır. Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin gcd-sini tapaq:

(105 və 150) üçün GCD 15-dir

İndi cavabımızın payını və məxrəcini gcd-ə bölürük:

Tam ədədi kəsr kimi təmsil edir

İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bu, beşin mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "beş sayı birə bölünür" deməkdir və bu, bildiyimiz kimi, beşə bərabərdir:

Qarşılıqlı nömrələr

İndi çox tanış olacağıq maraqlı mövzu riyaziyyatda. Buna "əks rəqəmlər" deyilir.

Tərif. Nömrəyə tərsinə a ilə vurulan ədəddir a birini verir.

Gəlin bu tərifdə dəyişənin yerinə əvəz edək a 5 nömrəli və tərifi oxumağa çalışın:

Nömrəyə tərsinə 5 ilə vurulan ədəddir 5 birini verir.

5-ə vurulduqda bir verən ədədi tapmaq olarmı? Belə çıxır ki, mümkündür. Gəlin beşi kəsr kimi təsəvvür edək:

Sonra bu fraksiyanın özünə çoxalın, yalnız pay və məxrəci dəyişdirin. Başqa sözlə, bir kəsri yalnız tərsinə çarpın:

Bunun nəticəsində nə olacaq? Bu nümunəni həll etməyə davam etsək, birini alırıq:

Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin tərsi rəqəmdir, çünki 5-i vurduqda bir əldə edirsən.

Ədədin əksi istənilən digər tam ədəd üçün də tapıla bilər.

• 3-ün əksi kəsirdir
• 4-ün əksi kəsirdir

İstənilən digər kəsrin əksini də tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün sadəcə çevirin.

Adi kəsr ədədləri ilk növbədə məktəbliləri 5-ci sinifdə qarşılayır və onları həyatları boyu müşayiət edir, çünki gündəlik həyatda çox vaxt bir obyekti bütövlükdə deyil, ayrı-ayrı hissələrdə nəzərdən keçirmək və ya istifadə etmək lazımdır. Bu mövzunu öyrənməyə başlayın - paylaşımlar. Səhmlər bərabər hissələrdir, bu və ya digər obyektin bölündüyü. Bütün bunlardan sonra, məsələn, məhsulun uzunluğunu və ya qiymətini bütöv bir rəqəm kimi ifadə etmək həmişə mümkün deyil, bəzi ölçülərin hissələri və ya fraksiyaları nəzərə alınmalıdır; "Bölmək" - hissələrə bölmək felindən əmələ gələn və ərəb kökləri olan "kəsr" sözünün özü 8-ci əsrdə rus dilində yaranmışdır.

Kəsr ifadələri uzun müddət riyaziyyatın ən çətin sahəsi hesab edilmişdir. 17-ci əsrdə riyaziyyat üzrə ilk dərsliklər meydana çıxanda onlara “sınıq ədədlər” deyirdilər ki, bu da insanların başa düşməsi çox çətin idi.

Müasir görünüş hissələri dəqiq ayrılmış sadə kəsr qalıqları üfüqi xətt, ilk olaraq Fibonacci-yə töhfə verdi - Pizalı Leonardo. Onun əsərləri 1202-ci ilə aiddir. Amma bu məqalənin məqsədi oxucuya müxtəlif məxrəcli qarışıq fraksiyaların necə vurulduğunu sadə və aydın şəkildə izah etməkdir.

Fərqli məxrəclərlə kəsrlərin vurulması

Əvvəlcə müəyyən etməyə dəyər fraksiya növləri:

• düzgün;
• səhv;
• qarışıq.

Sonra, eyni məxrəcləri olan kəsr ədədlərinin necə vurulduğunu xatırlamaq lazımdır. Bu prosesin özünün qaydasını müstəqil şəkildə formalaşdırmaq çətin deyil: sadə kəsrlərin eyni məxrəclərlə vurulmasının nəticəsi kəsr ifadəsidir, onun payı sayların hasilinə, məxrəci isə bu kəsrlərin məxrəclərinin məhsuluna bərabərdir. . Yəni, əslində, yeni məxrəc ilkin mövcud olanlardan birinin kvadratıdır.

Çoxaldıqda müxtəlif məxrəcli sadə kəsrlər iki və ya daha çox amil üçün qayda dəyişmir:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Yeganə fərq ondadır ki, kəsr xəttinin altında çıxan ədəd müxtəlif ədədlərin məhsulu və təbii olaraq birinin kvadratı olacaqdır. ədədi ifadə adını çəkmək mümkün deyil.

Nümunələrdən istifadə edərək müxtəlif məxrəcləri olan fraksiyaların vurulmasını nəzərdən keçirməyə dəyər:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Nümunələr kəsr ifadələrini azaltmaq üçün üsullardan istifadə edir. Yalnız kəsr xəttinin üstündəki və ya altındakı bitişik faktorları olan pay nömrələrini azalda bilərsiniz;

Sadə kəsrlərlə yanaşı, qarışıq kəsrlər anlayışı da mövcuddur. Qarışıq ədəd tam və kəsr hissədən ibarətdir, yəni bu ədədlərin cəmidir:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Çoxalma necə işləyir?

Nəzərə almaq üçün bir neçə nümunə verilmişdir.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Nümunədə ədədin vurulması istifadə olunur adi kəsr hissəsi, bu hərəkətin qaydası belə yazıla bilər:

a* b/c = a*b /c.

Əslində, belə bir hasil eyni kəsr qalıqlarının cəmidir və şərtlərin sayı bu natural ədədi göstərir. Xüsusi hal:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Ədədi kəsr qalığına vurmağın başqa bir həlli var. Sadəcə məxrəci bu rəqəmə bölmək lazımdır:

d* e/f = e/f: d.

Məxrəc qalıqsız natural ədədə və ya necə deyərlər, tam ədədə bölündükdə bu texnikadan istifadə etmək faydalıdır.

Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirin və məhsulu əvvəllər təsvir edilmiş şəkildə əldə edin:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Bu misal qarışıq fraksiyanı düzgün olmayan kəsr kimi təqdim etmək üsulunu ehtiva edir, o, belə də göstərilə bilər. ümumi formula:

a bc = a*b+ c / c, burada yeni kəsrin məxrəci bütün hissəni məxrəcə vurub onu ilkin kəsr qalığının payı ilə əlavə etməklə əmələ gəlir və məxrəc eyni qalır.

Bu proses də əks istiqamətdə işləyir. Tam hissəni və kəsr qalığını ayırmaq üçün düzgün olmayan kəsrin payını “künc”dən istifadə edərək məxrəcə bölmək lazımdır.

Yanlış kəsrlərin vurulmasıümumi qəbul edilmiş şəkildə istehsal olunur. Tək kəsr xətti altında yazarkən, bu üsuldan istifadə edərək rəqəmləri azaltmaq və nəticənin hesablanmasını asanlaşdırmaq üçün kəsrləri lazımi qədər azaltmaq lazımdır.

İnternetdə proqramların müxtəlif variantlarında hətta mürəkkəb riyazi problemləri həll etmək üçün çoxlu köməkçilər var. Kifayət qədər sayda belə xidmətlər fraksiyaların vurulmasının hesablanmasında öz yardımını təklif edir müxtəlif nömrələr məxrəclərdə - fraksiyaların hesablanması üçün onlayn kalkulyatorlar. Onlar nəinki çoxalmağa, həm də adi kəsrlər və qarışıq ədədlərlə bütün digər sadə hesab əməliyyatlarını yerinə yetirə bilirlər. Bununla işləmək asandır, sayt səhifəsində müvafiq sahələri doldurun və işarəni seçin riyazi əməliyyat və "hesabla" düyməsini basın. Proqram avtomatik hesablayır.

Kəsrlərlə hesab əməliyyatları mövzusu orta və yuxarı sinif şagirdlərinin bütün təhsili üçün aktualdır. Orta məktəbdə artıq ən sadə növləri hesab etmirlər, lakin tam kəsr ifadələri, lakin əvvəllər əldə edilmiş transformasiya qaydaları və hesablamalar haqqında biliklər ilkin formada tətbiq edilir. Yaxşı mənimsənilmiş əsas biliklər ən mürəkkəb problemlərin uğurla həllinə tam inam verir.

Sonda Lev Nikolayeviç Tolstoyun sözlərini sitat gətirmək məntiqlidir: “İnsan kəsirdir. Sayını - məziyyətini - artırmaq insanın ixtiyarında deyil, lakin hər kəs məxrəcini - özü haqqındakı fikrini azalda bilər və bu azalma ilə onun kamilliyinə yaxınlaşır.