Ev / Qadın problemləri/ Kvadrat tənliklərin yaranma və inkişaf tarixi. Kvadrat tənliklərin tarixindən

Kvadrat tənliklərin yaranma və inkişaf tarixi. Kvadrat tənliklərin tarixindən

Müxtəlif sivilizasiyaların nümayəndələri: Qədim Misir, Qədim Babil, Qədim Yunanıstan, Qədim Hindistan, Qədim Çin, Orta əsr Şərqi, Avropa həll üsullarını mənimsəmişdir kvadrat tənliklər.

Qədim Misir riyaziyyatçıları ilk dəfə kvadrat tənliyi həll edə bildilər. Riyazi papiruslardan birində aşağıdakı problem var:

"Sahəsi 12 və uzunluqları eninə bərabərdirsə, düzbucaqlı kimi olan sahənin tərəflərini tapın." Papirusda deyilir ki, "tarlanın uzunluğu 4-dür".

Minilliklər keçdi və mənfi ədədlər cəbrə daxil oldu. x²= 16 tənliyini həll edərək iki ədəd alırıq: 4, –4.

Əlbəttə, Misir problemində biz X = 4 alacağıq, çünki sahənin uzunluğu yalnız müsbət kəmiyyət ola bilər.

Bizə çatan mənbələr göstərir ki, qədim elm adamlarının bəziləri var idi ümumi texnikalar naməlum kəmiyyətlərlə bağlı məsələlərin həlli. Babil mətnlərində təqdim olunan kvadrat tənliklərin həlli qaydası müasirlə eynidir, lakin babillilərin necə “bu yerə qədər gəlib çatdıqları” məlum deyil. Lakin tapılan demək olar ki, bütün papirus və mixi yazılarda yalnız həlli ilə bağlı problemlər verilir. Müəlliflər yalnız ara-sıra rəqəmsal hesablamalarına “Bax!”, “Bunu et!”, “Doğru olanı tapdın!” kimi cəfəng şərhlərlə təmin edirdilər.

Yunan riyaziyyatçısı Diofant kvadrat tənliklər tərtib edib həll edirdi. Onun “Arifmetika”sı cəbrin sistemli təqdimatını ehtiva etmir, lakin o, izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklərin qurulması ilə həll olunan sistematik bir sıra problemləri ehtiva edir.

Kvadrat tənliklərin tərtibi ilə bağlı problemlərə artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aria-bhatiam” astronomik traktatında rast gəlinir.

Başqa bir hind alimi Brahmagupta (7-ci əsr) təsvir etdi ümumi qayda ax² + bx = c şəklində olan kvadrat tənliklərin həlli.

Qədim Hindistanda çətin problemlərin həlli üçün ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları tutduğu kimi, öyrənmiş adam cəbri məsələləri təklif edib həll etməklə məşhur məclislərdə başqasının izzətini örtmək”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.

Bu, 12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biridir. Bhaskarlar:

Çılpaq meymun sürüsü

Doyunca yeyib əyləndim.

Onların səkkizinci hissəsi meydandakı təmizlikdə oynayırdı.

Və on iki üzüm üzərində... tullanmağa başladı, asıldı...

Neçə meymun var idi?

Mənə deyin, bu paketdə?

Bhaskara həlli göstərir ki, o, kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətli olduğunu bilirdi.

Bizə gəlib çatan ən qədim Çin riyazi mətnləri 1-ci əsrin sonlarına aiddir. e.ə II əsrdə. e.ə Riyaziyyat Doqquz Kitabda yazılmışdır. Daha sonra, VII əsrdə, uzun əsrlər boyu tədqiq edilən "On klassik traktat" toplusuna daxil edilmişdir. “Doqquz kitabda riyaziyyat” traktatı necə çıxarmağı izah edir kvadrat kök iki ədədin cəminin kvadratının düsturundan istifadə etməklə.

Metod "tian-yuan" (hərfi mənada "səmavi element") adlanırdı - çinlilər naməlum kəmiyyəti belə təyin etdilər.

Problemlərin həlli üçün geniş yayılmış ilk dərslik 9-cu əsrin Bağdad aliminin işi idi. Məhəmməd bin Musa əl-Xarəzmi. Zaman keçdikcə “əl-cəbr” sözü məşhur “cəbr” sözünə çevrildi və əl-Xorəzminin əsərinin özü tənliklərin həlli elminin inkişafında başlanğıc nöqtəsi oldu. Əl-Xarəzminin cəbr traktatı xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatını verir. Müəllif altı növ tənliyi hesablayır, onları ifadə edir aşağıdakı kimi:

-kvadratlar bərabər köklərə bərabərdir, yəni ah ² = bх;

-kvadratlar bərabər sayda, yəni ah ² = s;

-köklər ədədə bərabərdir, yəni ax = c;

-kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir, yəni ah ²+ c = bх;

-kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir, yəni ah ² + bх = с;

-köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir, yəni bx + c = ax ²;

Əl-Xarəzminin risaləsi kvadrat tənliklərin təsnifatını sistemli şəkildə ortaya qoyan və onların həlli üçün düsturlar verən bizə gəlib çatan ilk kitabdır.

Avropada əl-Xarəzmidən sonra modelləşdirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturlar ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən 1202-ci ildə yazılmış “Abacus” kitabında verilmişdir. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin həlli üçün bəzi yeni cəbri nümunələr hazırladı və Avropada ilk dəfə mənfi ədədləri təqdim etdi. Onun kitabı təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində cəbr biliklərinin yayılmasına töhfə verib. “Abakus kitabı”ndan bir çox problemlər 16-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərinə daxil edilmişdir. və qismən 18-ci əsrə aiddir.

Tək kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda x ² + bх = с, b və с əmsallarının əlamətlərinin bütün mümkün birləşmələri üçün Avropada yalnız 1544-cü ildə M. Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir.

Kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun çıxarılması ümumi görünüş Viet var, lakin o, yalnız müsbət kökləri də tanıdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. Müsbət və mənfi köklərə əlavə olaraq, onlar nəzərə alınır. Yalnız XVII əsrdə Cirard, Dekart, Nyuton və başqa alimlərin əsərləri sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir formasını almışdır.

Kovalçuk Kirill

“Əsrlər və ölkələr üzrə kvadrat tənliklər” layihəsi şagirdləri kəşfləri elmi-texniki tərəqqinin əsası olan riyaziyyatçı alimlərlə tanış edir, tarixi materialla tanışlığa əsaslanan bir fənn kimi riyaziyyata marağı inkişaf etdirir, şagirdlərin dünyagörüşünü genişləndirir, onların idrak fəaliyyətini stimullaşdırır və yaradıcılıq.

Yüklə:

Önizləmə:

Təqdimat önizləmələrindən istifadə etmək üçün özünüz üçün hesab yaradın ( hesab) Google və daxil olun: https://accounts.google.com

Slayd başlıqları:

Borisovka kəndi 17 saylı Bələdiyyə Təhsil Müəssisəsinin 8-ci sinif şagirdi Kirill Kovalçukun layihə işi Nəzarətçi G.V.Mulyukova

Əsrlər və ölkələr üzrə kvadrat tənliklər

Layihənin məqsədi: Tələbələri kəşfləri elmi-texniki tərəqqinin əsası olan riyaziyyatçı alimlərlə tanış etmək. Alimlərin əsərlərinin həndəsə və fizikanın inkişafı üçün əhəmiyyətini göstərin.???????????? Elmi kəşflərin həyatda tətbiqini əyani şəkildə nümayiş etdirin. Tarixi materialla tanışlığa əsaslanan bir fənn kimi riyaziyyata marağı inkişaf etdirmək. Şagirdlərin üfüqlərini genişləndirmək, onların idrak fəaliyyətini və yaradıcılığını stimullaşdırmaq

Təkcə birinci dərəcəli deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti qədim zamanlarda astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı ilə torpaq sahələrinin tapılması ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə yaranmışdır. Kvadrat tənliklər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə həll edilə bilərdi. e. babillilər. Babil mətnlərində göstərilən bu tənliklərin həlli qaydaları mahiyyətcə müasir olanlarla üst-üstə düşür, lakin bu mətnlərdə heç bir anlayış yoxdur. mənfi rəqəm Və ümumi üsullar kvadrat tənliklərin həlli.

. (e.ə. 365 - 300-cü illər) - qədim yunan riyaziyyatçısı, riyaziyyata dair bizə gəlib çatan ilk nəzəri traktatların müəllifi. Evklid və ya Evklid

Evklid başlanğıcları Nilin dənizlə qovuşduğu yerdə, Piramidaların qədim qaynar torpağında Yunan riyaziyyatçısı yaşayırdı - Bilikli, Müdrik Evklid. Həndəsə oxuyurdu, həndəsədən dərs deyirdi. O yazdı böyük iş. Bu kitabın adı "Başlanğıclar"dır.

Evklid eramızdan əvvəl III əsr Evklid kvadrat tənlikləri həndəsi üsulla həll etdi. Qədim yunan risaləsindəki problemlərdən biri budur: “Bir tərəfi naməlum ölçülü kvadrat formasında haşiyəsi olan şəhər var, hər tərəfin ortasında darvaza var. Şimal darvazasından 20bu (1bu=1,6m) aralıda sütun var. 14bu cənub darvazasından düz getsəniz, sonra qərbə dönün və başqa 1775bu ilə getsəniz, bir sütun görə bilərsiniz. Sual olunur: şəhər sərhədinin hansı tərəfi? »

Müəyyən etmək naməlum tərəf kvadrat, x ² +(k+l)x-2kd =0 kvadrat tənliyini alırıq. Bu halda tənlik x ² +34x-71000=0 kimi görünür, buradan x=250bu l x d k

Hindistanda kvadrat tənliklər Kvadrat tənliklərə aid məsələlərə hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında da rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda irəli sürdü: ax ² +bx=c , a>0 Qədim Hindistanda çətin məsələlərin həlli üçün ictimai yarışlar çox yayılmışdı. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim də ictimai məclislərdə, cəbri məsələləri təklif edərək və həll edərək, başqasının izzətindən üstün olacaq”.

12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısı Bhaskara'nın problemlərindən biri Doyunca yeyən şıltaq meymun sürüsü əyləndi. Onların səkkizinci hissəsi meydanda, təmizlikdə əylənirdim. Üzümdə isə on iki... Asılarkən tullanmağa başladılar... De görüm, bu sürüdə neçə meymun var idi?

Həll. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, onda D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Cavab: 16 və ya 48 meymun var idi, həll edək.

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur bir neçə dəfə “yenidən kəşf edilmişdir”. Bu düsturun bu günə qədər gəlib çatmış ilk törəmələrindən biri hind riyaziyyatçısı Brahmaquptaya məxsusdur. Orta Asiya alimi əl-Xarəzmi “Kitab əl-cərb vəl-mukabələ” traktatında tam kvadratı təcrid etməklə bu düsturu əldə etmişdir.

Əl-Xorəzmi bu tənliyi necə həll etdi? O yazırdı: “Qayda belədir: köklərin sayını iki dəfə artırın, x = 2x · 5 bu məsələdə beş alırsınız, 5-i buna bərabər vurun, iyirmi beş olur, 5 · 5 = 25, bunu otuza əlavə edin. -doqquz, 25 + 39 altmış dörd olur, 64 bundan kök götürür, səkkiz, 8 olacaq və bunun yarısından köklərin sayını çıxarırıq, yəni beş, 8-5 üç qalacaq - bu və 3 olacaq axtardığınız kvadratın kökü." Bəs ikinci kök haqqında? İkinci kök tapılmadı, çünki mənfi ədədlər məlum deyildi. x 2 +10 x = 39

Avropada kvadrat tənliklər 13-17 əsrlər. Avropada Əl-Xarəzmidən sonra modelləşdirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturlar ilk dəfə 1202-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən yazılmış “Abakus kitabı”nda verilmişdir. İstər İslam ölkələrindən, istərsə də Qədim Yunanıstandan riyaziyyatın təsirini əks etdirən bu həcmli əsər həm tamlığı, həm də təqdimatının aydınlığı ilə seçilir. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin bəzi yeni cəbri həllərini işləyib hazırladı və Avropada ilk dəfə mənfi ədədləri təqdim etdi. Onun kitabı təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində cəbr biliklərinin yayılmasına töhfə verib. XVI-XVII əsrlərdə Avropanın demək olar ki, bütün dərsliklərində “Abacus Kitabı”ndan bir çox məsələlərdən istifadə edilmişdir. və qismən 18.

Francois Viète - 16-cı əsrin ən böyük riyaziyyatçısı

F.Vyetadan əvvəl kvadrat tənliyin həlli çox uzun şifahi arqumentlər və təsvirlər, kifayət qədər çətin hərəkətlər şəklində öz qaydalarına uyğun həyata keçirilirdi. Onlar tənliyin özünü belə yaza bilmədilər; bu, kifayət qədər uzun və mürəkkəb şifahi təsvir tələb edirdi. O, “əmsal” ifadəsini işlətmişdir. O, tələb olunan kəmiyyətlərin saitlərlə, verilənlərin isə samitlərlə işarələnməsini təklif etdi. Vyeta simvolizmi sayəsində kvadrat tənliyi aşağıdakı formada yaza bilərik: ax 2 + bx + c =0. Teorem: Verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarəli götürülmüş ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir. Bu teoremin “Vyeta teoremi” adlandırılmasına baxmayaraq, ondan əvvəl məlum idi və o, onu yalnız müasir formasına çevirdi. Vietanı "cəbrin atası" adlandırırlar.

Bəşəriyyət cəhalətdən biliyə qədər uzun bir yol keçmiş, bu yolda davamlı olaraq natamam və natamam biliyi getdikcə daha dolğun və mükəmməl biliklərlə əvəz etmişdir. Son söz

Bizdə yaşayırıq XXI əsrin əvvəliəsr, qədimliyi özünə çəkir. Əcdadlarımızda biz ilk növbədə müasir nöqteyi-nəzərdən onların çatışmayan cəhətlərini görürük və adətən onlarla müqayisədə özümüzün nəyin çatışmadığını fərq etmirik.

Onları unutmayaq...

Diqqətiniz üçün təşəkkür edirik!

Kvadrat tənliklərin həllərinin inkişaf tarixi

Aristotel

D.I.Mendeleyev

Sahəsi düzbucaqlı kimi olan sahənin tərəflərini tapın 12 , A

Bu problemi nəzərdən keçirək.

X sahənin uzunluğu, sonra eni olsun,
- onun sahəsi.
Kvadrat tənlik yaradaq:
Papirus onun həlli qaydasını verir: “12-ni bölün.”
12: .
Beləliklə, .
Papirusda deyilir ki, "tarlanın uzunluğu 4-dür".

Qısaldılmış kvadrat tənlik
real rəqəmlər haradadır.

Babil problemlərindən birində düzbucaqlı sahənin uzunluğunu (onu işarə edək) və enini () təyin etmək lazım idi.

Düzbucaqlı bir sahənin uzunluğunu və iki enini əlavə edərək, 14 alırsınız və sahənin sahəsi 24-dür. Onun tərəflərini tapın.

Tənliklər sistemi yaradaq:

Buradan kvadrat tənlik alırıq.

Bunu həll etmək üçün ifadəyə müəyyən bir ədəd əlavə edirik,

tam kvadrat almaq üçün:

Beləliklə, .

Əsasən kvadrat tənlik

İki kökü var:

DİOFAN
Eramızdan əvvəl III əsrdə yaşadığı güman edilən qədim yunan riyaziyyatçısı. e. "Arifmetika"nın müəllifi - cəbri tənliklərin həllinə həsr olunmuş kitab.
İndiki vaxtda "Diofantin tənlikləri" adətən həlli tam ədədlər arasında tapılmalı olan tam əmsallı tənliklər deməkdir. Diofant həm də riyazi qeydi ilk inkişaf etdirənlərdən biri idi.

“İki ədədi tapın ki, onların cəmi 20 və hasilatı 96-dır.”

Rəqəmlərdən biri onların cəminin yarısından çox, yəni 10+, digəri isə daha az, yəni 10- olacaq.

Beləliklə ()()=96 tənliyi yaranır

Məşhurun problemlərindən birini təqdim edək

12-ci əsr Hindistan riyaziyyatçısı Bhaskara:

Çılpaq meymun sürüsü

Doyunca yeyib əyləndim.

Onların səkkizinci hissəsi kvadratdır

Təmizlikdə əylənirdim.

Üzüm tənəkləri boyunca on iki...

Atlamağa, asmağa başladılar...

Neçə meymun var idi?

Mənə deyin, bu paketdə?

Bhaskara həlli göstərir ki, o, kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətli olduğunu bilirdi.
Tənliyin uyğun həlli

Bhaskara şəklində yazır və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə 32 2 əlavə edirik və əldə edirik.

“ƏL-CƏBR” – BƏRPA – XVƏZMİ BƏRABƏR ŞƏRTLƏR ƏLAVƏ ETMƏK İLƏ TƏNLƏNİN İKİ HİSSƏSİNDƏN MƏNFİ ŞƏRTLƏRİ İSTİSAR ETMƏK ƏMƏLİYYƏTİNİ ƏLAQƏ İÇİNƏ ƏQSİNƏ DƏYİRDİ.

“ƏL-MUQƏBƏLƏH” – TƏQDİD – BENZİR HİSSƏLƏRİN BİR TƏNLİK HİSSƏLƏRİNDƏ AZALMASI.

"ƏL-CƏBR" QAYDASI

TƏNLİKİ HƏLL EDƏNDƏ

ƏGƏR BİRİNCİ HİSSƏDƏ,

NƏ OLDUĞUNUN FƏRQİ YOXDUR

NEQTİV ÜZVLƏ TANIS EDİN,

BİZ İKİ HİSSƏDƏ VAR

BƏRABƏR ÜZV VERƏCƏK,

YALNIZ BAŞQA BURA İLƏ,

VƏ BİZ MÜSÜBİ NƏTİCƏ TAPACAQ.

1) kvadratlar köklərə bərabərdir, yəni;

2) kvadratlar ədədlərə bərabərdir, yəni;

3) köklər ədədə bərabərdir, yəni;

4) kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir, yəni;

5) kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir, yəni;

6) köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir, yəni.

Tapşırıq . Kvadrat və 21 rəqəmi 10 kökə bərabərdir. Kökü tapın.

Həll. Köklərin sayını yarıya bölün - 5 alırsınız, 5-i özünə vurursunuz,

Məhsuldan 21-i çıxarın, 4-ü buraxın.

4-ün kökünü götürün və 2-ni alırsınız.

5-dən 2-ni çıxarın - 3-ü alırsınız, bu istədiyiniz kök olacaq. Yaxud 5-ə əlavə et, bu da 7 verir, bu da kökdür.

Fibonaççi italyan dilində anadan olub ticarət mərkəzi Piza şəhəri, ehtimal ki, 1170-ci illərdə. . 1192-ci ildə Şimali Afrikadakı Pisan ticarət koloniyasını təmsil etmək üçün təyin edildi. Atasının istəyi ilə Əlcəzairə köçdü və orada riyaziyyat təhsili aldı. 1200-cü ildə Leonardo Pizaya qayıtdı və ilk əsəri olan "Abacus kitabı"nı yazmağa başladı. [ . Riyaziyyat tarixçisi A.P.Yuşkeviçə görə “Abakus kitabı” metodların müxtəlifliyi və gücü, məsələlərin zənginliyi, təqdimat sübutları ilə 12-14-cü əsrlərdə Avropa hesab-cəbr ədəbiyyatından kəskin şəkildə yuxarı qalxır... Sonrakı riyaziyyatçılar ondan həm məsələlər, həm də üsullar geniş şəkildə çıxarırdılar. onları həll etmək üçün ».

Funksiyanın qrafikini çəkək

Qrafik paraboladır, budaqları yuxarıya doğru yönəldilmişdir

2) Parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatları

V.Soyer çıxış etdi :

“Cəbr tələbəsi üçün eyni məsələni üçdə həll etmək çox vaxt daha faydalıdır müxtəlif yollarlaüç və ya dörd fərqli problemi həll etməkdən daha çox. Müxtəlif üsullardan istifadə edərək bir problemi həll etməklə, hansının daha qısa və daha səmərəli olduğunu müqayisələr vasitəsilə öyrənə bilərsiniz. Təcrübə belə inkişaf etdirilir”.

“Şəhər fərqliliklərin birliyidir”

Aristotel

"Onluq işarəsi ilə ifadə olunan rəqəmi alman, rus, ərəb və yanki eyni dərəcədə oxuya bilər."

Kopyevskaya kənd orta məktəbi

Kvadrat tənliklərin həlli üçün 10 üsul

Rəhbər: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

riyaziyyat müəllimi

Kopevo kəndi, 2007

1. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi

1.1 Qədim Babildə kvadrat tənliklər

1.2 Diophantus kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi

1.3 Hindistanda kvadrat tənliklər

1.4 Əl-Xorəzmi tərəfindən kvadrat tənliklər

1.5 Avropada kvadrat tənliklər XIII - XVII əsrlər

1.6 Vyeta teoremi haqqında

2. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları

Nəticə

Ədəbiyyat

1. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi

1.1 Qədim Babildə kvadrat tənliklər

Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hətta qədim dövrlərdə torpaq sahələrinin tapılması və hərbi xarakterli qazıntı işləri ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı kimi. Kvadrat tənliklər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə həll edilə bilərdi. e. babillilər.

Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər var:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Babil mətnlərində təsbit edilən bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasir olanla üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılmış demək olar ki, bütün mixi yazılar, necə tapıldığına dair heç bir işarə olmadan, yalnız reseptlər şəklində qoyulmuş həll yolları ilə bağlı problemləri təmin edir.

Baxmayaraq yüksək səviyyə Babildə cəbrin inkişafı, mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.

1.2 Diophantus kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi.

Diofantın Arifmetikası cəbrin sistemli təqdimatını ehtiva etmir, lakin o, izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklərin qurulması ilə həll edilən sistematik bir sıra problemləri ehtiva edir.

Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.

Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.

Problem 11.“Cəmi 20 və hasilinin 96 olduğunu bilən iki ədəd tapın”

Diophantus belə əsaslandırır: məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, tələb olunan ədədlər bərabər deyil, çünki onlar bərabər olsaydı, onda onların hasilatı 96 deyil, 100-ə bərabər olardı. Beləliklə, onlardan biri ondan çox olacaq. onların məbləğinin yarısı, yəni. 10 + x, digəri azdır, yəni. 10-lar. Onların arasındakı fərq 2x .

Beləliklə, tənlik:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Buradan x = 2. Tələb olunan ədədlərdən biri bərabərdir 12 , digər 8 . Həll x = -2çünki Diofant yoxdur, çünki yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bilirdi.

Tələb olunan ədədlərdən birini naməlum kimi seçməklə bu məsələni həll etsək, onda tənliyin həllinə gələrik.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Aydındır ki, tələb olunan ədədlərin yarı fərqini naməlum kimi seçməklə, Diofant həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin (1) həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.

1.3 Hindistanda Kvadrat Tənliklər

Kvadrat tənliklərlə bağlı məsələlərə artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (7-ci əsr) vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qaydanı qeyd etdi:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

(1) tənliyində əmsallar istisna olmaqla A, mənfi də ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir.

Qədim Hindistanda çətin məsələlərin həlli üzrə ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim də ictimai məclislərdə, cəbri məsələləri təklif edərək və həll edərək, başqasının izzətindən üstün olacaq”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.

Bu, 12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biridir. Bhaskarlar.

Problem 13.

“Bir sürüsü çılpaq meymun və on iki üzüm boyu...

Səlahiyyətlilər yemək yeyərək əyləndilər. Atlamağa, asmağa başladılar...

Meydanda onlar var, səkkizinci hissə Neçə meymun var idi?

Təmizlikdə əylənirdim. Mənə deyin, bu paketdə?

Bhaskara həlli onu göstərir ki, o, kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətli olduğunu bilirdi (şək. 3).

13-cü məsələyə uyğun gələn tənlik:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara adı altında yazır:

x 2 - 64x = -768

və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə əlavə edir 32 2 , sonra əldə edin:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Əl - Xorəzmidə kvadrat tənliklər

Əl-Xorəzminin cəbri traktatında xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif 6 növ tənliyi sayaraq onları aşağıdakı kimi ifadə edir:

1) "Kvadratlar köklərə bərabərdir", yəni. balta 2 + c = b X.

2) “Kvadratlar ədədlərə bərabərdir”, yəni. balta 2 = c.

3) “Köklər ədədə bərabərdir”, yəni. ah = s.

4) “Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir”, yəni. balta 2 + c = b X.

5) “Kvadratlar və köklər ədədlərə bərabərdir”, yəni. ah 2+ bx = s.

6) “Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir”, yəni. bx + c = balta 2.

Mənfi ədədlərin istifadəsindən qaçan əl-Xorəzmi üçün bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxılan deyil, toplanır. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər açıq şəkildə nəzərə alınmır. Müəllif bu tənliklərin həlli üsullarını “əl-cəbr” və “əl-müqəbələ” üsullarından istifadə edərək müəyyən edir. Onun qərarları, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Bunun sırf ritorik olduğunu nəzərə almasaq, məsələn, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən qeyd etmək lazımdır.

XVII əsrə qədərki bütün riyaziyyatçılar kimi əl-Xorəzmi də sıfır həllini nəzərə almır, yəqin ki, konkret olaraq praktik problemlər fərq etməz. Tam kvadrat tənlikləri qismən həll edərkən əl-Xorəzmi ədədi nümunələr həllin qaydalarını, sonra isə həndəsi sübutları qoyur.

Problem 14.“Kvadrat və 21 rəqəmi 10 kökə bərabərdir. kökünü tap" (x 2 + 21 = 10x tənliyinin kökünü nəzərdə tutur).

Müəllifin həlli belə olur: köklərin sayını yarıya böl, 5-i al, 5-i özünə vur, hasildən 21-i çıxar, qalanı 4. 4-dən kök götür, 2-ni çıxar. , 3 alırsınız, bu istədiyiniz kök olacaq. Və ya 5-ə 2-ni əlavə edin, bu da 7 verir, bu da bir kökdür.

Əl-Xorəzminin risaləsi kvadrat tənliklərin təsnifatını sistemli şəkildə ortaya qoyan və onların həlli üçün düsturlar verən bizə çatan ilk kitabdır.

1.5 Avropada kvadrat tənliklər XIII - XVII bb

Avropada əl-Xorəzmi xətti üzrə kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturlar ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən 1202-ci ildə yazılmış “Abakus” kitabında verilmişdir. İstər İslam ölkələrindən, istərsə də qədim Yunanıstandan riyaziyyatın təsirini əks etdirən bu həcmli əsər tamlığı və təqdimatının aydınlığı ilə seçilir. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin həlli üçün bəzi yeni cəbr nümunələri işləyib hazırladı və Avropada ilk dəfə mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı. Onun kitabı təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində cəbr biliklərinin yayılmasına töhfə verib. “Abacus Kitabı”ndan bir çox problem 16-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərində istifadə edilmişdir. və qismən XVIII.

Vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda:

x 2 + bx = c,

əmsal işarələrinin bütün mümkün birləşmələri üçün b , ilə Avropada yalnız 1544-cü ildə M. Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir.

Kvadrat tənliyi ümumi formada həll etmək üçün düsturun əldə edilməsi Vietdən mövcuddur, lakin Vieth yalnız müsbət kökləri tanıdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. Müsbət olanlarla yanaşı, mənfi köklər də nəzərə alınır. Yalnız 17-ci əsrdə. Girard, Dekart, Nyuton və başqa alimlərin işi sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma alır.

1.6 Vyeta teoremi haqqında

Kvadrat tənliyin əmsalları ilə onun kökləri arasındakı əlaqəni ifadə edən teorem Vyeta adına verilmişdir ki, o, ilk dəfə 1591-ci ildə belə tərtib etmişdir: “Əgər B + D, ilə vurulur A - A 2 , bərabərdir BD, Bu A bərabərdir IN və bərabərdir D ».

Vyetanı anlamaq üçün bunu xatırlamalıyıq A, hər hansı bir sait hərfi kimi, naməlumu nəzərdə tuturdu (bizim X), saitlər IN, D- naməlum üçün əmsallar. Müasir cəbrin dilində yuxarıdakı Vieta düsturunun mənası: əgər varsa

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Tənliklərin kökləri və əmsalları arasında əlaqənin ifadə edilməsi ümumi düsturlar, simvollardan istifadə edərək yazılmış Viet tənliklərin həlli üsullarında vahidlik yaratdı. Bununla belə, Vyetin simvolizmi hələ də uzaqdır müasir görünüş. Mənfi ədədləri tanımırdı və buna görə də tənlikləri həll edərkən yalnız bütün köklərin müsbət olduğu halları nəzərə alırdı.

2. Kvadrat tənliklərin həlli üsulları

Kvadrat tənliklər cəbrin əzəmətli binasının dayandığı bünövrədir. Kvadrat tənliklərdən triqonometrik, eksponensial, loqarifmik, irrasional və transsendental tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində geniş istifadə olunur. Kvadrat tənliklərin həllini məktəbdən (8-ci sinif) bitirənə qədər hamımız bilirik.

Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər var:

X 2 + X = *; X 2 - X = 14.5

Babildə cəbrin yüksək inkişaf səviyyəsinə baxmayaraq mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.

Diophantus kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi.

Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.

Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.

Problem 11.“Cəmi 20 və hasilinin 96 olduğunu bilən iki ədəd tapın”

Beləliklə, tənlik:

(10 + x)(10 - x) = 96

Buradan x = 2. Tələb olunan ədədlərdən biri bərabərdir 12 , digər 8 . Həll x = -2çünki Diofant yoxdur, çünki yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bilirdi.

Tələb olunan ədədlərdən birini naməlum kimi seçməklə bu məsələni həll etsək, onda tənliyin həllinə gələrik.

y(20 - y) = 96,

saat 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Aydındır ki, tələb olunan ədədlərin yarı fərqini naməlum kimi seçməklə, Diofant həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin (1) həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.

Hindistanda Kvadrat Tənliklər

Oh 2 + bх = с, а > 0. (1)