GirişKvadrat tənliklər hansı ölkədə yaradılmışdır? Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi
Baş vermə tarixindən kvadrat tənliklər
Cəbr tənliklərdən istifadə etməklə müxtəlif məsələlərin həlli ilə əlaqədar yaranmışdır. Tipik olaraq, problemlər bir və ya bir neçə naməlumun tapılmasını tələb edir, eyni zamanda istənilən və verilmiş kəmiyyətlər üzrə yerinə yetirilən bəzi hərəkətlərin nəticələrini bilmək lazımdır. Bu cür məsələlər bir və ya bir neçə tənlik sisteminin həllinə, verilmiş kəmiyyətlər üzərində cəbri əməliyyatlardan istifadə edərək tələb olunanların tapılmasına gəlir. Cəbr öyrənilir ümumi xassələri kəmiyyətlər üzrə hərəkətlər.
Xətti və kvadrat tənliklərin həlli üçün bəzi cəbri üsullar 4000 il əvvəl Qədim Babildə məlum idi.
Qədim Babildə kvadrat tənliklər
Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hətta qədim dövrlərdə torpaq sahələrinin tapılması və hərbi xarakterli qazıntı işləri ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı kimi. Babillilər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə kvadrat tənlikləri həll edə bildilər. Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər var:
https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" eni="93" hündürlük="41 src=">
Babil mətnlərində təsbit edilən bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasir olanla üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılmış demək olar ki, bütün mixi yazılar, necə tapıldığına dair heç bir işarə olmadan, yalnız reseptlər şəklində qoyulmuş həll yolları ilə bağlı problemləri təmin edir. Baxmayaraq yüksək səviyyə Babildə cəbrin inkişafı, mixi yazılarda anlayış yoxdur mənfi rəqəm Və ümumi üsullar kvadrat tənliklərin həlli.
Diofantın Arifmetikası cəbrin sistemli təqdimatını ehtiva etmir, lakin o, izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklərin qurulması ilə həll edilən sistematik bir sıra problemləri ehtiva edir.
Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.
Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.
Məsələ 2. “Cəmi 20 və hasilinin 96 olduğunu bilə-bilə iki ədəd tapın”.
Diofant bunu belə əsaslandırır: məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, tələb olunan ədədlər bərabər deyil, çünki onlar bərabər olsaydı, onda onların hasilatı 96 deyil, 100-ə bərabər olardı. Beləliklə, onlardan biri ondan çox olacaq. onların cəminin yarısı, yəni 10 + x. Digəri daha azdır, yəni 10 - x. Aralarındakı fərq 2 dəfədir. Beləliklə, tənlik:
(10+x)(10-x) =96,
Beləliklə, x = 2. Tələb olunan ədədlərdən biri 12, digəri 8-dir. X = - 2 həlli Diofant üçün mövcud deyil, çünki Yunan riyaziyyatı yalnız bilirdi. müsbət ədədlər.
Tələb olunan ədədlərdən birini naməlum kimi seçməklə bu problemi həll etsəniz, tənliyin həllinə gələ bilərsiniz:
Aydındır ki, tələb olunan ədədlərin yarı fərqini naməlum kimi seçməklə, Diofant həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.
Hindistanda Kvadrat Tənliklər
Kvadrat tənliklərlə bağlı məsələlərə artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (7-ci əsr) təsvir etmişdir ümumi qayda vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli:
ax2 + bx = c, a>
(1) tənliyində əmsallar mənfi ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir.
Hindistanda çətin problemlərin həlli üçün ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları tutduğu kimi, öyrənmiş adam cəbri məsələləri təklif edib həll etməklə ictimai məclislərdə şöhrətini örtəcək”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.
Bu, 12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biridir. Bhaskarlar.
Bhaskara həlli onu göstərir ki, müəllif kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətli olduğunu bilirdi.
3-cü məsələyə uyğun gələn tənlik:
https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" eni="12" hündürlük="26 src=">x2 - 64x = - 768
və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə 322 əlavə edərək, əldə edirik:
x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,
(x - 32)2 = 256,
x1 = 16, x2 = 48.
Əl-Xarəzminin kvadrat tənlikləri
Əl-Xarəzminin cəbr traktatı xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatını verir. Müəllif 6 növ tənliyi sayaraq onları aşağıdakı kimi ifadə edir:
1) “Kvadratlar köklərə bərabərdir”, yəni ax2 = bx.
2) “Kvadratlar ədədlərə bərabərdir”, yəni ax2 = c.
3) “Köklər ədədə bərabərdir”, yəni balta = c.
4) “Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir”, yəni ax2 + c = bx.
5) “Kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir”, yəni ax2 + bx = c.
6) “Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir”, yəni bx + c == ax2.
Mənfi ədədlərin istifadəsindən qaçan Əl-Xarəzmi üçün bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxılan deyil, toplananlardır. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər açıq şəkildə nəzərə alınmır. Müəllif bu tənliklərin həlli üsullarını “əl-cəbr” və “əl-mükəbəl” üsullarından istifadə edərək müəyyən edir. Onun qərarı, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Bunun sırf ritorik olduğunu demirik, məsələn, qeyd etmək lazımdır ki, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən XVII əsrə qədər bütün riyaziyyatçılar kimi Əl-Xorəzmi də sıfır həllini nəzərə almır. yəqin ona görə ki, konkret olaraq praktik problemlər aa fərq etməz. Əl-Xarəzminin tam kvadrat tənliklərini qismən həll edərkən ədədi nümunələr həll qaydalarını, sonra isə onların həndəsi sübutlarını qoyur.
Bir misal verək.
Məsələ 4. “Kvadrat və 21 rəqəmi 10 kökə bərabərdir. Kökü tapın” (x2 + 21 = 10x tənliyinin kökü nəzərdə tutulur).
Həlli: köklərin sayını yarıya bölün, 5-i alırsınız, 5-i özünə vurursunuz, hasildən 21-i çıxarırsınız, qalanı 4. 4-dən kök götürün, 2-ni alırsınız. 5-dən 2-ni çıxarın, 3-ü alırsınız, bu axtardığınız kök olacaq. Və ya 5-ə 2-ni əlavə edin, bu da 7 verir, bu da bir kökdür.
Əl-Xorəzminin risaləsi kvadrat tənliklərin təsnifatını sistemli şəkildə ortaya qoyan və onların həlli üçün düsturlar verən bizə gəlib çatan ilk kitabdır.
Avropada kvadrat tənliklərXII- XVIIV.
Avropada Əl-Xarəzmi modeli əsasında kvadrat tənliklərin həlli formaları ilk dəfə 1202-ci ildə yazılmış “Abakus kitabı”nda verilmişdir. İtalyan riyaziyyatçısı Leonard Fibonaççi. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin həlli üçün bəzi yeni cəbr nümunələri işləyib hazırladı və Avropada ilk dəfə mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı.
Bu kitab cəbri biliklərin təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində yayılmasına töhfə verdi. Bu kitabdakı bir çox məsələlər 14-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərində istifadə edilmişdir. B, c işarələrinin və əmsallarının bütün mümkün birləşmələri üçün x2 + bх = с vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda Avropada 1544-cü ildə M. Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir.
Kvadrat tənliyi ümumi formada həll etmək üçün düsturun əldə edilməsi Vietdən mövcuddur, lakin Vieth yalnız müsbət kökləri tanıdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. Müsbət olanlarla yanaşı, mənfi köklər də nəzərə alınır. Yalnız 17-ci əsrdə. Girard, Dekart, Nyuton və digər alimlərin əsərləri sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir görünüş..
Praktiki məsələlərin həlli üçün cəbri üsulların mənşəyi elmlə bağlıdır qədim dünya. Riyaziyyat tarixindən məlum olduğu kimi, Misir, Şumer, Babil katib-hesabçılarının (e.ə. XX-VI əsrlər) həll etdikləri riyazi xarakterli məsələlərin əhəmiyyətli bir hissəsi hesablama xarakterli olmuşdur. Lakin o zaman da zaman-zaman kəmiyyətin arzuolunan qiymətinin müəyyən dolayı şərtlərlə dəqiqləşdirildiyi problemlər yaranırdı ki, bu da müasir nöqteyi-nəzərimizdən tənlik və ya tənliklər sisteminin tərkibini tələb edirdi. Belə məsələlərin həlli üçün əvvəlcə hesab üsullarından istifadə olunurdu. Sonradan cəbri anlayışların başlanğıcları formalaşmağa başladı. Məsələn, Babil kalkulyatorları nöqteyi-nəzərdən azaldıla bilən məsələləri həll edə bilirdi müasir təsnifat ikinci dərəcəli tənliklərə. Söz problemlərinin həlli üçün bir üsul yaradıldı, sonradan cəbri komponentin təcrid edilməsi və onun müstəqil öyrənilməsi üçün əsas oldu.
Bu tədqiqat başqa bir dövrdə, ilk olaraq ərəb riyaziyyatçıları (eramızın VI-X əsrləri) tərəfindən həyata keçirilmişdir, onlar tənliklərin standart formaya gətirilməsi üçün xarakterik hərəkətləri müəyyən etmişlər: oxşar şərtlərin gətirilməsi, terminlərin tənliyin bir hissəsindən digərinə köçürülməsi. işarənin dəyişməsi. Və sonra uzun axtarışlar nəticəsində müasir cəbrin dilini yaradan İntibah dövrünün Avropa riyaziyyatçıları tərəfindən hərflərdən istifadə, hesab əməliyyatları üçün simvolların tətbiqi, mötərizə və s. 16-cı əsrin sonunda. 17-ci əsrlər. cəbr riyaziyyatın spesifik bir hissəsi kimi öz mövzusu, metodu və tətbiq sahələri ilə artıq formalaşmışdı. Onun sonrakı inkişafı, bizim dövrümüzə qədər metodların təkmilləşdirilməsi, tətbiq dairəsinin genişləndirilməsi, anlayışların və onların riyaziyyatın digər sahələrinin anlayışları ilə əlaqələrinin aydınlaşdırılmasından ibarət idi.
Beləliklə, tənlik anlayışı ilə bağlı materialın əhəmiyyətini və genişliyini nəzərə alaraq, onun müasir riyaziyyat metodlarında öyrənilməsi onun yaranması və fəaliyyət göstərməsinin üç əsas sahəsi ilə əlaqələndirilir.
Hər hansı bir kvadrat tənliyi həll etmək üçün bilməlisiniz:
diskriminantın tapılması düsturu;
· kvadrat tənliyin köklərinin tapılması düsturu;
· bu tipli tənliklərin həlli üçün alqoritmlər.
· natamam kvadrat tənlikləri həll edir;
· tam kvadrat tənlikləri həll edir;
· verilmiş kvadrat tənlikləri həll edir;
· həll olunan tənliklərdəki xətaları tapmaq və onları düzəltmək;
· yoxlama aparın.
Hər bir tənliyin həlli iki əsas hissədən ibarətdir:
· bu tənliyin ən sadəinə çevrilməsi;
· məlum qaydalar, düsturlar və ya alqoritmlərdən istifadə edərək tənliklərin həlli.
Kvadrat tənliklərin həlli zamanı şagirdlərin fəaliyyət metodlarının ümumiləşdirilməsi tədricən baş verir. “Kvadrat tənliklər” mövzusunu öyrənərkən aşağıdakı mərhələləri ayırd etmək olar:
Mərhələ I – “Yarımçıq kvadrat tənliklərin həlli”.
Mərhələ II – “Tam kvadrat tənliklərin həlli”.
Mərhələ III – “Kiçidilmiş kvadrat tənliklərin həlli”.
Birinci mərhələdə natamam kvadrat tənliklər nəzərdən keçirilir. Əvvəlcə riyaziyyatçılar natamam kvadrat tənlikləri həll etməyi öyrəndiklərindən, bunun üçün, necə deyərlər, heç nə icad etməli deyildilər. Bunlar formanın tənlikləridir: ax2 = 0, ax2 + c = 0, burada c≠ 0, ax2 + bx = 0, burada b ≠ 0. Bu tənliklərdən bir neçəsini həll etməyi düşünün:
1. ax2 = 0 olarsa. Bu tip tənliklər alqoritmlə həll edilir:
1) x2 tapın;
2) x tapın.
Məsələn, 5x2 = 0. Tənliyin hər iki tərəfini 5-ə bölmək belə çıxır: x2 = 0, buradan x = 0.
2. ax2 + c = 0 olarsa, c≠ 0 Bu tip tənliklər alqoritmlə həll edilir:
1) şərtləri sağ tərəfə köçürün;
2) kvadratları c ədədinə bərabər olan bütün ədədləri tapın.
Məsələn, x2 - 5 = 0, Bu tənlik x2 = 5 tənliyinə ekvivalentdir. Buna görə də kvadratları 5 ədədinə bərabər olan bütün ədədləri tapmaq lazımdır..gif" width="16" height="19" ">..gif" width="16" height="19 src="> və başqa kökləri yoxdur.
3. ax2 + bx = 0 olarsa, b ≠ 0. Bu tip tənliklər alqoritmlə həll edilir:
1) ümumi faktoru mötərizədən çıxarın;
2) x1, x2 tapın.
Məsələn, x2 - 3x = 0. X2 - 3x = 0 tənliyini x (x - 3) = 0 şəklində yenidən yazaq. Bu tənliyin açıq şəkildə x1 = 0, x2 = 3 kökləri var. Onun başqa kökləri yoxdur, çünki əgər -də sıfırdan başqa hər hansı bir ədədi və x əvəzinə 3-ü əvəz etsəniz, x (x – 3) = 0 tənliyinin sol tərəfində sıfıra bərabər olmayan bir ədəd alırsınız.
Beləliklə, bu nümunələr natamam kvadrat tənliklərin necə həll edildiyini göstərir:
1) tənliyin ax2 = 0 forması varsa, onda onun bir kökü var x = 0;
2) tənlik ax2 + bx = 0 formasına malikdirsə, onda faktorlara ayırma üsulundan istifadə olunur: x (ax + b) = 0; bu, ya x = 0, ya da ax + b = 0 deməkdir..gif" width="16" height="41"> Bu halda -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, yəni - = m, burada m>0, x2 = m tənliyinin iki kökü var
https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (bu halda daha qısa = qeydinə icazə verilir.
Beləliklə, natamam kvadrat tənliyin iki kökü, bir kökü ola bilər və ya heç bir kök ola bilməz.
İkinci mərhələdə tam kvadrat tənliyin həllinə keçid həyata keçirilir. Bunlar ax2 + bx + c = 0 formalı tənliklərdir, burada a, b, c ədədləri verilmişdir və ≠ 0, x naməlumdur.
İstənilən tam kvadrat tənlik formaya çevrilə bilər 
, kvadrat tənliyin köklərinin sayını təyin etmək və bu kökləri tapmaq üçün. Tam kvadrat tənliklərin həlli üçün aşağıdakı hallara baxılır: D< 0, D = 0, D > 0.
1. Əgər D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
Məsələn, 2x2 + 4x + 7 = 0. Həlli: burada a = 2, b = 4, c = 7.
D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.
Çünki D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
2. Əgər D = 0 olarsa, onda ax2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyinin bir kökü vardır ki, bu da düsturla tapılır.
Məsələn, 4x – 20x + 25 = 0. Həlli: a = 4, b = - 20, c = 25.
D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.
D = 0 olduğundan bu tənliyin bir kökü var. Bu kök ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src="> formulundan istifadə etməklə tapılır.
ax2 + bx + c = 0 şəklində olan tənliyin həlli üçün alqoritm tərtib edilir.
1. D = b2 – 4ac düsturu ilə D diskriminantını hesablayın.
2. Əgər D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.
3. Əgər D = 0 olarsa, onda kvadrat tənliyin bir kökü var ki, bu da düsturla tapılır.
4..gif" eni="101" hündürlük="45">.
Bu alqoritm universaldır; o, həm natamam, həm də tam kvadrat tənliklərə şamil edilir. Lakin natamam kvadratik tənliklər adətən bu alqoritmdən istifadə edilərək həll edilmir.
Riyaziyyatçılar praktik, qənaətcil insanlardır, ona görə də onlar aşağıdakı düsturdan istifadə edirlər: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">.(4)
2..gif" width="96" height="49 src=">, D..gif" width="89" height="49"> işarəsi ilə eynidirsə, (3) tənliyinin iki kökü var;
2) həmin tənliyin üst-üstə düşən iki kökü varsa;
3) bu tənliyin kökləri yoxdursa.
Kvadrat tənliklərin tədqiqində mühüm məqam azaldılmış kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında əlaqənin mövcudluğunu bildirən Vyeta teoreminin nəzərdən keçirilməsidir.
Vyeta teoremi. Yuxarıdakı kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir.
Başqa sözlə, əgər x1 və x2 x2 + px + q = 0 tənliyinin kökləridirsə, onda
Bu düsturlar cəbri simvollar sistemini təqdim edən və elementar cəbrin əsaslarını inkişaf etdirən fransız riyaziyyatçısı F.Vyetanın () şərəfinə Vyeta düsturları adlanır. O, tənliklər nəzəriyyəsini əhəmiyyətli dərəcədə inkişaf etdirən rəqəmləri hərflərlə işarələyən ilklərdən biri idi.
Məsələn, verilmiş x2 - 7x +10 = 0 tənliyinin 2 və 5 kökləri var. Köklərin cəmi 7, hasil isə 10-dur. Görünür ki, köklərin cəmi alınan ikinci əmsala bərabərdir. əks işarə ilə və köklərin hasili sərbəst terminə bərabərdir.
Vyeta teoreminin əksi də doğrudur.
Vyeta teoreminə tərs teorem. Əgər (5) düsturları x1, x2, p, q ədədləri üçün etibarlıdırsa, x1 və x2 x2 + px + q = 0 tənliyinin kökləridir.
Vyeta teoremi və onun tərsi tez-tez müxtəlif məsələləri həll etmək üçün istifadə olunur.
Məsələn. Kökləri 1 və -3 ədədləri olan azaldılmış kvadrat tənliyi yazaq.
Vyeta düsturlarına görə
– p = x1 + x2 = - 2,
Buna görə də tələb olunan tənlik x2 + 2x – 3 = 0 formasına malikdir.
Vyeta teoreminin mənimsənilməsinin çətinliyi bir neçə halla bağlıdır. İlk növbədə, birbaşa və tərs teoremlər arasındakı fərqi nəzərə almaq lazımdır. Vietanın birbaşa teoremi kvadrat tənliyi və onun köklərini verir; tərsdə yalnız iki ədəd var və kvadrat tənlik teoremin sonunda görünür. Tələbələr tez-tez fikirlərini Vyetanın birbaşa və ya əks teoreminə yanlış istinad əsasında əsaslandırmaqda səhv edirlər.
Məsələn, seçim yolu ilə kvadrat tənliyin köklərini taparkən tələbələrin tez-tez etdiyi kimi birbaşa deyil, Vyetanın tərs teoreminə müraciət etməlisiniz. Vyeta teoremlərini sıfır diskriminant halına genişləndirmək üçün biz razılaşmalıyıq ki, bu halda kvadrat tənliyin iki bərabər kökü var. Bu razılaşmanın rahatlığı kvadrat üçhəcmli faktorinq zamanı özünü göstərir.
Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hətta qədim dövrlərdə torpaq sahələrinin tapılması və hərbi xarakterli qazıntı işləri ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı kimi. Kvadrat tənliklər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə həll edilə bilərdi. e. babillilər.
Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər var:
X 2 + X = *; X 2 - X = 14.5
Babil mətnlərində təsbit edilən bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasir olanla üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılmış demək olar ki, bütün mixi yazılar, necə tapıldığına dair heç bir işarə olmadan, yalnız reseptlər şəklində qoyulmuş həll yolları ilə bağlı problemləri təmin edir.
Babildə cəbrin yüksək inkişaf səviyyəsinə baxmayaraq mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.
Diofant kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi.
Diofantın Arifmetikası cəbrin sistemli təqdimatını ehtiva etmir, lakin o, izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklərin qurulması ilə həll edilən sistematik bir sıra problemləri ehtiva edir.
Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.
Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.
Problem 11.“İki ədədi tapın, çünki onların cəmi 20 və hasilinin 96-dır”
Diophantus belə əsaslandırır: məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, tələb olunan ədədlər bərabər deyil, çünki onlar bərabər olsaydı, onda onların hasilatı 96 deyil, 100-ə bərabər olardı. Beləliklə, onlardan biri ondan çox olacaq. onların məbləğinin yarısı, yəni. 10 + x, digəri azdır, yəni. 10-lar. Onların arasındakı fərq 2x.
Beləliklə, tənlik:
(10 + x)(10 - x) = 96
Buradan x = 2. Tələb olunan ədədlərdən biri bərabərdir 12 , digər 8 . Həll x = -2çünki Diofant yoxdur, çünki yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bilirdi.
Tələb olunan ədədlərdən birini naməlum kimi seçməklə bu məsələni həll etsək, onda tənliyin həllinə gələrik.
y(20 - y) = 96,
saat 2 - 20у + 96 = 0. (2)
Aydındır ki, tələb olunan ədədlərin yarı fərqini naməlum kimi seçməklə, Diofant həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin (1) həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.
Hindistanda Kvadrat Tənliklər
Kvadrat tənliklərlə bağlı məsələlərə artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (7-ci əsr) vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qaydanı qeyd etdi:
Oh 2 + bх = с, а > 0. (1)
(1) tənliyində əmsallar istisna olmaqla A, mənfi də ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir.
IN Qədim HindistanÇətin problemlərin həllində ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim də ictimai məclislərdə, cəbri məsələləri təklif edərək və həll edərək, başqasının izzətindən üstün olacaq”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.
Bu, 12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biridir. Bhaskarlar.
Problem 13.
"Bir sürüsü çılğın meymunlar və üzüm boyu on iki...
Səlahiyyətlilər yemək yeyərək əyləndilər. Atlamağa, asmağa başladılar...
Meydanda onlar var, səkkizinci hissə Neçə meymun var idi?
Təmizlikdə əylənirdim. Mənə deyin, bu paketdə?
Bhaskara həlli onu göstərir ki, o, kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətli olduğunu bilirdi (şək. 3).
13-cü məsələyə uyğun gələn tənlik:
(x/8) 2 + 12 = x
Bhaskara adı altında yazır:
X 2 - 64x = -768
və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə əlavə edir 32 2 , sonra əldə edin:
X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
X 1 = 16, x 2 = 48.
Diofant kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi. Beləliklə, tənlik yaranır: (10+x)(10 -x) =96 və ya: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bildiyi üçün Diofant üçün x = -2 həlli mövcud deyil. .
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Hindistanda kvadratik tənliklər. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}
Əl-Xorəzmidə kvadrat tənliklər. 1) “Kvadratlar bərabər köklərdir”, yəni ax2 + c = bx. 2) “Kvadratlar ədədlərə bərabərdir”, yəni ax2 = c. 3) “Köklər ədədə bərabərdir”, yəni balta = c. 4) “Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir”, yəni ax2 + c = bx. 5) “Kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir”, yəni ax2 + bx = c. 6) "Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir", yəni bx + c = ax2.
13-17-ci əsrlərdə Avropada kvadrat tənliklər. x2 +bx = c, b, c əmsallarının əlamətlərinin bütün mümkün birləşmələri üçün Avropada yalnız 1544-cü ildə M. Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir.
Vyeta teoremi haqqında. "Əgər B + D dəfə A - A 2 BD-yə bərabərdirsə, onda A B-yə və D-ə bərabərdir." Müasir cəbrin dilində yuxarıdakı Vieta düsturunun mənası belədir: əgər (a + b)x - x2 = ab, yəni x2 - (a + b)x + ab = 0, onda x1 = a, x2 = b.
Kvadrat tənliklərin həlli üsulları. 1. ÜSUL: Tənliyin sol tərəfinin faktorlaşdırılması. x2 + 10 x - 24 = 0 tənliyini həll edək. Sol tərəfi faktorlara ayıraq: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Buna görə də tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar: (x + 12)(x - 2) = 0 Məhsul sıfır olduğundan, onun amillərindən heç olmasa biri sıfırdır. Buna görə də x = 2-də tənliyin sol tərəfi sıfıra çevrilir, həmçinin x = - 12. Bu o deməkdir ki, 2 və - 12 rəqəmləri x2 + 10 x - 24 = 0 tənliyinin kökləridir.
2. METOD: Tam kvadrat çıxarma üsulu. Gəlin x2 + 6 x - 7 = 0 tənliyini həll edək. Sol tərəfdə tam kvadrat seçin. Bunun üçün x2 + 6 x ifadəsini aşağıdakı formada yazırıq: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Alınan ifadədə birinci hədd x ədədinin kvadratı, ikincisi isə qoşadır. x-in 3-ə hasili. Buna görə də tam kvadrat əldə etmək üçün 32-ni əlavə etməlisiniz, çünki x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. İndi biz x2 + 6 x - 7 = 0 tənliyinin sol tərəfini çevirərək, ona əlavə edib 32-ni çıxarırıq. Bizdə: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Beləliklə, bu tənliyi aşağıdakı kimi yazmaq olar: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Buna görə də x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 və ya x + 3 = -4, x2 = -7.
3. METOD: Düsturdan istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli. ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 tənliyinin hər iki tərəfini 4 a-ya vuraq və ardıcıl olaraq əldə edirik: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac,
4. METOD: Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliklərin həlli. Məlum olduğu kimi, azaldılmış kvadrat tənlik x2 + px + c = 0 formasına malikdir. (1) Onun kökləri a = 1 üçün x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - formasına malik olan Vyeta teoremini ödəyir. p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 və x 2 = 1, çünki q = 2 > 0 və p = - 3 0 və p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 və x 2 = 1, çünki q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 və x 2 = - 1, çünki q = - 9
5. METOD: “atma” üsulu ilə tənliklərin həlli. ax2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyini nəzərdən keçirək, burada a ≠ 0. Hər iki tərəfi a ilə vuraraq a 2 x2 + abx + ac = 0 tənliyini alırıq. ax = y olsun, buradan x = y/a; onda biz verilənə ekvivalent olan y2 + by + ac = 0 tənliyinə çatırıq. Vyeta teoremindən istifadə edərək onun y1 və y2 köklərini tapırıq. Nəhayət, x1 = y1/a və x1 = y2/a alırıq.
Misal. 2 x2 – 11 x + 15 = 0 tənliyini həll edək. Həlli. Sərbəst həddə 2 əmsalını “ataq”, nəticədə y2 – 11 y + 30 = 0 tənliyini alırıq. Vyeta teoreminə görə y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Cavab: 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.
6. METOD: Kvadrat tənliyin əmsallarının xassələri. A. Kvadrat tənliyi ax2 + bx + c = 0 verilsin, burada a ≠ 0. 1) a + b + c = 0 olarsa (yəni, əmsalların cəmi sıfırdır), onda x1 = 1, x2 = c/ A. Sübut. Tənliyin hər iki tərəfini a ≠ 0-a bölərək x 2 + b/a x + c/a = 0 azaldılmış kvadrat tənliyini alırıq. Vyeta teoreminə görə x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Şərtə görə, a – b + c = 0, buradan b = a + c. Beləliklə, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), yəni x1 = -1 və x2 = c/ a, olan nəyi sübut etmək lazım idi.
B. İkinci əmsal b = 2 k olarsa – cüt sayı, onda kök düsturu B. Verilmiş x2 + px + q= 0 tənliyi ilə üst-üstə düşür ümumi görünüş, burada a = 1, b = p və c = q. Buna görə də, azaldılmış kvadrat tənlik üçün kök düsturu belədir
7. ÜSUL: Kvadrat tənliyin qrafik həlli. Əgər x2 + px + q = 0 tənliyində ikinci və üçüncü həddi sağ tərəfə keçirsək, x2 = - px - q alırıq. y = x2 və y = - px - q asılılığının qrafiklərini quraq.
Nümunə 1) x2 - 3 x - 4 = 0 tənliyini qrafik həll edək (şək. 2). Həll. Tənliyi x2 = 3 x + 4 şəklində yazaq. y = x2 parabolunu və y = 3 x + 4 düz xəttini qurun. y = 3 x + 4 düz xəttini iki M nöqtəsindən istifadə etməklə qurmaq olar (0; 4) və N (3; 13) . Cavab: x1 = - 1; x2 = 4
8. ÜSUL: Kvadrat tənliklərin kompas və xətkeşdən istifadə etməklə həlli. kvadrat kompas və hökmdarın köklərinin tapılması (şək. 5). tənliklər Onda sekant teoremi ilə OB OD = OA OC olur, buradan OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 istifadə edərək
Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Dairənin radiusu mərkəzin ordinatından böyükdür (AS > SK və ya R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}
9. METOD: Nomoqramdan istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli. z 2 + pz + q = 0. Nomoqrammanın əyrixətti şkalası düsturlara əsasən qurulur (şək. 11): OS = p, ED = q, OE = a (hamısı sm ilə) fərz etsək, Üçbucaqların oxşarlığından SAN və CDF nisbətini əldə edirik
Nümunələr. 1) z 2 - 9 z + 8 = 0 tənliyi üçün nomoqramma z 1 = 8, 0 və z 2 = 1, 0 köklərini verir (şək. 12). 2) Nomoqramdan istifadə edərək 2 z 2 - 9 z + 2 = 0 tənliyini həll edirik. Bu tənliyin əmsallarını 2-yə bölün, z 2 - 4, 5 z + 1 = 0 tənliyini alırıq. Nomoqramma kökləri z 1 = 4 və z 2 = 0, 5. 3) z 2 - 25 z + 66 = 0 tənliyi üçün p və q əmsalları miqyasdan kənardadır, z = 5 t əvəzetməsini həyata keçiririk, alırıq tənliyi t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, biz onu nomoqramlardan istifadə edərək həll edirik və t 1 = 0.6 və t 2 = 4. 4, ondan z 1 = 5 t 1 = 3. 0 və z 2 = 5 t alırıq. 2 = 22. 0.
10. METOD: Kvadrat tənliklərin həlli üçün həndəsi üsul. Nümunələr. 1) x2 + 10 x = 39 tənliyini həll edək. Orijinalda bu məsələ aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: “Kvadrat və on kök 39-a bərabərdir” (şək. 15). Orijinal kvadratın tələb olunan x tərəfi üçün alırıq
y2 + 6 y - 16 = 0. Həll Şəkildə göstərilmişdir. 16, burada y2 + 6 y = 16 və ya y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Həlli. y2 + 6 y + 9 və 16 + 9 ifadələri həndəsi olaraq eyni kvadratı təmsil edir və ilkin y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 eyni tənlikdir. Buradan y + 3 = ± 5 və ya y1 = 2, y2 = - 8 olduğunu alırıq (şək. 16).
Qədim Babildə kvadrat tənliklər Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hətta qədim dövrlərdə də torpaq sahələrinin tapılması və qazıntı işləri ilə bağlı məsələlərin həlli zərurətindən irəli gəlirdi. hərbi təbiət, eləcə də astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı ilə. Babillilər bizim inancımızdan təxminən 2000 il əvvəl kvadrat tənlikləri həll edə bildilər. Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, onların mixi yazılarında natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər də var: Babil mətnlərində göstərilən bu tənliklərin həlli qaydası müasir tənliklə üst-üstə düşür. lakin babillilərin bu qaydalara necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılan mixi yazıların demək olar ki, hamısında yalnız reseptlər şəklində verilmiş həll yolları ilə bağlı problemlər var, onların necə tapıldığına dair heç bir işarə yoxdur. Babildə cəbrin yüksək inkişaf səviyyəsinə baxmayaraq mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.
Diophantus kvadrat tənlikləri necə qurdu və həll etdi "İki ədədi tapın, onların cəmi 20 və hasilləri 96-dır." bərabər olsaydılar, onda onların hasili 96 yox, 100 olardı. Beləliklə, onlardan biri onların cəminin yarısından çox olardı, yəni. 10+X, digəri azdır, yəni. 10-X. Aralarındakı fərq 2X-dir, X=2. Tələb olunan rəqəmlərdən biri 12, digəri 8-dir. X = -2 həlli Diofant üçün mövcud deyil, çünki yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bilirdi. TƏNLİK: və ya:
Hindistanda kvadrat tənliklər Kvadrat tənliklərə aid məsələlərə hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında da rast gəlinir. Digər hind alimi Brahmaqupta vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qaydanı qeyd etdi: ax ² +bx=c, a>0 XII əsrin məşhur hind riyaziyyatçısı Bhaskara'nın məsələlərindən biri Çılpaq meymunlar sürüsü. , doyunca yeyib əyləndilər. Onların səkkizinci hissəsi meydanda, təmizlikdə əylənirdim. Üzümdə isə on iki... Asılarkən tullanmağa başladılar... De görüm, bu sürüdə neçə meymun var idi? Problemə uyğun tənlik: Başkara formanın altına yazır: Sol tərəfi kvadrata tamamladı, 0 12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısı Bhaskara'nın problemlərindən biri Doyunca yeyən cəld meymun sürüsü əyləndi. Onların səkkizinci hissəsi meydanda, təmizlikdə əylənirdim. Üzümdə isə on iki... Asılarkən tullanmağa başladılar... De görüm, bu sürüdə neçə meymun var idi? Problemə uyğun tənlik: Başkara formanın altına yazır: Sol tərəfi kvadrata tamamladı,"> 
Qədim Asiyada kvadrat tənliklər Orta Asiya alimi əl-Xarəzmi bu tənliyi belə həll etmişdir: O yazırdı: “Qayda budur: köklərin sayını iki dəfə artırın, x = 2x 5, bu məsələdə beşi alırsınız, 5-i bu bərabərliyə vurun. ona iyirmi beş olacaq, 5 ·5=25 bunu otuz doqquza əlavə et, altmış dörd olacaq, 64 bundan kök al, səkkiz, 8 olacaq və bunun yarısından köklər, yəni beş, 8-5 qalacaq 3 bu, mənim axtardığım kvadratın kökü olacaq." Bəs ikinci kök haqqında? İkinci kök tapılmadı, çünki mənfi ədədlər məlum deyildi. x x = 39
XIII-XVII əsrlərdə Avropada kvadrat tənliklər. X2+inx+c=0 vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda Avropada yalnız 1544-cü ildə Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir. Kvadrat tənliyi ümumi formada həll etmək üçün düsturun əldə edilməsi Viète-də mövcuddur, lakin Viète yalnız müsbət kökləri tanıdı. Yalnız 17-ci əsrdə. Dekart, Nyuton və digər alimlərin əsərləri sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma alır.
Vyeta teoremi haqqında Kvadrat tənliyin əmsalları ilə onun kökləri arasında əlaqəni ifadə edən teorem ilk dəfə 1591-ci ildə Vyetanın şərəfinə adlandırılmışdır. aşağıdakı kimi: "Əgər B+D çarpı A-A BD-yə bərabərdirsə, onda A B B və D-ə bərabərdir." Vyetanı başa düşmək üçün yadda saxlamaq lazımdır ki, A hər hansı sait hərf kimi naməlum (bizim x) mənasını verir, B, D saitləri isə naməlum üçün əmsaldır. Müasir cəbrin dilində yuxarıdakı Vieta düsturunun mənası belədir: Əgər verilmiş x 2 +px+q=0 kvadrat tənliyinin həqiqi kökləri varsa, onda onların cəmi -p-ə, hasil isə q-a bərabərdir, yəni: x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (yuxarıdakı kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir. ).
Faktorlara ayırma üsulu ümumi kvadrat tənliyi formaya gətirir: A(x)·B(x)=0, burada A(x) və B(x) x-ə münasibətdə çoxhədlidir. Məqsəd: aradan qaldırılması ümumi çarpan mötərizədə kənarda; Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etmək; Qruplaşdırma üsulu. Metodlar: Nümunə:
Kvadrat tənliyin kökləri: D>0 olarsa, D olarsa 0, Əgər D"> 0, D"> 0 olarsa, D" başlıq="Kvadrat tənliyin kökləri: D>0 olarsa, D olarsa)"> title="Kvadrat tənliyin kökləri: D>0 olarsa, D olarsa"> !}
X 1 və x 2 tənliyin kökləridir. Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliklərin həlli X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 X 2 = – 10, yəni köklərin müxtəlif əlamətlər X 1 + X 2 = – 3, yəni modulu daha böyük olan kök mənfidir: X 1 = – 5, X 2 = 2 Məsələn:
0, Vyeta teoreminə tərs teoremlə kökləri alırıq: 5;6, sonra orijinal tənliyin köklərinə qayıdırıq: 2.5; 3. Cavab: 2,5; 3. Tənliyin həlli" title="Tənliyi həll edin: 2x 2 - 11x +15 = 0. 2 əmsalını 2 - 11y +30= 0 sərbəst üzvünə köçürək. D>0, uyğun olaraq teoremin Vyeta teoreminə əksi, kökləri alırıq: 5;6, sonra ilkin tənliyin köklərinə qayıdırıq: 2.5 3. Cavab: 2.5;" class="link_thumb"> 14 !} Tənliyi həll edin: 2x x +15 = 0. 2 əmsalını y y +30= 0 sərbəst termininə köçürək. D>0, Vyeta teoreminə tərs teoremə görə, kökləri alırıq: 5;6, onda biz orijinal tənliyin köklərinə qayıdın: 2, 5; 3. Cavab: 2,5; 3. “Atmaq” üsulu ilə tənliklərin həlli 0, Vyeta teoreminə tərs teoremlə kökləri alırıq: 5;6, sonra orijinal tənliyin köklərinə qayıdırıq: 2.5; 3. Cavab: 2,5; 3. “> 0 tənliyinin həlli, Vyeta teoreminə tərs teoremə görə kökləri alırıq: 5;6, sonra ilkin tənliyin köklərinə qayıdırıq: 2.5; 3. Cavab: 2.5; 3. Həlli "atma" metodundan istifadə edən tənliklərin." > 0, Vyeta teoreminə tərs teoremlə kökləri alırıq: 5;6, sonra orijinal tənliyin köklərinə qayıdırıq: 2.5; 3. Cavab: 2,5; 3. Tənliyin həlli" title="Tənliyi həll edin: 2x 2 - 11x +15 = 0. 2 əmsalını 2 - 11y +30= 0 sərbəst üzvünə köçürək. D>0, uyğun olaraq teoremin Vyeta teoreminə əksi, kökləri alırıq: 5;6, sonra ilkin tənliyin köklərinə qayıdırıq: 2.5 3. Cavab: 2.5;"> title="Tənliyi həll edin: 2x 2 - 11x +15 = 0. 2 əmsalını y 2 - 11y +30= 0 sərbəst termininə köçürək. D>0, Vyeta teoreminə əks olan teoremə görə, kökləri alarıq: 5 ;6, sonra ilkin tənliklərin köklərinə qayıdırıq: 2.5; 3. Cavab: 2,5; 3. Tənliyin həlli"> !}
Əgər kvadrat tənlikdə a+b+c=0, onda köklərdən biri 1-ə, Vyeta teoreminə görə ikincisi isə Vyeta teoreminə görə ikinciyə bərabərdirsə, kvadrat tənlikdə a+c=b bərabərdir. , onda köklərdən biri (-1), ikincisi isə Vyeta teoreminə bərabərdir Nümunə: 137x x – 157 = 0 kvadrat tənliyinin əmsallarının xassələri. a = 137, b = 20, c. = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Cavab: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Cavab: 1;
Kvadrat tənliyin həlli üçün qrafik üsul Düsturlardan istifadə etmədən kvadrat tənliyi qrafik şəkildə həll etmək olar. Bunun üçün tənliyi həll edək: X Y X 01 Y012 Cavab: Qrafiklərin kəsişmə nöqtələrinin absisləri tənliyin kökləri olacaq. Qrafiklər iki nöqtədə kəsişirsə, tənliyin iki kökü var. Qrafiklər bir nöqtədə kəsişirsə, tənliyin bir kökü var. Qrafiklər kəsişmirsə, tənliyin kökü yoxdur. 1)y=x2 2)y=x+1
Nomoqramdan istifadə edərək kvadrat tənliklərin həlli Bu, s. 83 “Dördrəqəmli riyazi cədvəllər”də yerləşdirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün köhnə və unudulmuş bir üsuldur. Cədvəl XXII. Tənliyin həlli üçün nomoqramma Bu nomoqram kvadrat tənliyi həll etmədən tənliyin köklərini onun əmsallarından təyin etməyə imkan verir. Tənlik üçün nomoqram kökləri verir
Kvadrat tənliklərin həllinin həndəsi üsulu Qədim dövrlərdə həndəsə cəbrdən daha çox inkişaf etdiyi vaxtlarda kvadrat tənliklər cəbri yox, həndəsi yolla həll edilirdi. Amma, məsələn, qədim yunanlar tənliyi necə həll etdilər: və ya İfadələr və həndəsi olaraq eyni kvadratı təmsil edirlər və orijinal tənlik eyni tənlikdir. Nəyi hardan alırıq, yoxsa
Nəticə Bu həll üsulları diqqətə layiqdir, çünki onların hamısı məktəb riyaziyyat dərsliklərində öz əksini tapmayıb; bu üsulların mənimsənilməsi tələbələrə vaxta qənaət etməyə və tənlikləri effektiv həll etməyə kömək edəcək; tez həll ehtiyacı qəbul imtahanları üçün test sistemindən istifadə ilə əlaqədardır;
Rusiya Federasiyasının Təhsil Nazirliyi
Bələdiyyə təhsil müəssisəsi
“22 nömrəli tam orta məktəb”
Kvadrat və daha yüksək dərəcəli tənliklər
Tamamlandı:
8 "B" sinif şagirdləri
Kuznetsov Evgeni və Rudi Aleksey
Nəzarətçi:
Zenina Alevtina Dmitrievna
riyaziyyat müəllimi
Giriş
1.1 Qədim Babildə tənliklər
1.2 Ərəb tənlikləri
1.3 Hindistanda tənliklər
Fəsil 2. Kvadrat tənliklərin nəzəriyyəsi və ali tərtibli tənliklər
2.1 Əsas anlayışlar
2.2 X-də cüt əmsal üçün düsturlar
2.3 Vyeta teoremi
2.4 Xüsusi təbiətli kvadrat tənliklər
2.5 Çoxhədlilər (tənliklər) üçün Vyeta teoremi daha yüksək dərəcələr
2.6 Kvadrata endirilə bilən tənliklər (bikvadrat)
2.7 Bikvadrat tənliklərin öyrənilməsi
2.8 Cordano düsturları
2.9 Üçüncü dərəcəli simmetrik tənliklər
2.10 Qarşılıqlı tənliklər
2.11 Horner sxemi
Nəticə
İstifadə olunmuş ədəbiyyatın siyahısı
Əlavə 1
Əlavə 2
Əlavə 3
Giriş
Məktəb cəbri kursunda tənliklər aparıcı yer tutur. Onların öyrənilməsinə başqa mövzulardan daha çox vaxt ayrılır. Həqiqətən, tənliklər yalnız əhəmiyyətli deyil nəzəri dəyər, həm də sırf praktik məqsədlərə xidmət edir. Həqiqi dünyanın məkan formaları və kəmiyyət əlaqələri ilə bağlı problemlərin çoxu həllinə gəlir. müxtəlif növlər tənliklər. Onların həlli yollarını mənimsəməklə biz elm və texnologiyanın müxtəlif suallarına cavab tapırıq (nəqliyyat, kənd təsərrüfatı, sənaye, rabitə və s.).
Bu essedə müxtəlif tənliklərin həlli üçün düsturlar və üsulları göstərmək istərdim. Bunun üçün məktəb proqramında öyrənilməyən tənliklər verilir. Bunlar əsasən müəyyən xarakterli tənliklər və daha yüksək dərəcəli tənliklərdir. Bu mövzunu genişləndirmək üçün bu düsturların sübutları verilmişdir.
Essemizin məqsədləri:
Tənliklərin həlli bacarıqlarını təkmilləşdirin
Tənlikləri həll etməyin yeni yollarını inkişaf etdirin
Bu tənlikləri həll etmək üçün bəzi yeni yollar və düsturlar öyrənin.
Tədqiqat obyekti elementar cəbrdir. Bu mövzunun seçilməsi ondan ibarətdir ki, tənliklər həm ibtidai təhsil proqramına, həm də orta məktəblərin, lisey və kolleclərin hər bir sonrakı sinfinə daxil edilir. Çox həndəsi məsələlər, fizika, kimya və biologiyadan məsələlər tənliklərdən istifadə etməklə həll edilir. Tənliklər iyirmi beş əsr əvvəl həll edilmişdir. Onlar bu gün də yaradılmışdır - hər ikisi də istifadə üçün təhsil prosesi, və universitetlərdə müsabiqə imtahanları, ən yüksək səviyyəli olimpiadalar üçün.
Fəsil 1. Kvadrat və daha yüksək tərtibli tənliklərin tarixi
1.1 Qədim Babildə tənliklər
Cəbr tənliklərdən istifadə etməklə müxtəlif məsələlərin həlli ilə əlaqədar yaranmışdır. Tipik olaraq, problemlər bir və ya bir neçə naməlumun tapılmasını tələb edir, eyni zamanda istənilən və verilmiş kəmiyyətlər üzrə yerinə yetirilən bəzi hərəkətlərin nəticələrini bilmək lazımdır. Bu cür məsələlər bir və ya bir neçə tənlik sisteminin həllinə, verilmiş kəmiyyətlər üzərində cəbri əməliyyatlardan istifadə edərək tələb olunanların tapılmasına gəlir. Cəbr kəmiyyətlər üzərində əməliyyatların ümumi xassələrini öyrənir.
Xətti və kvadrat tənliklərin həlli üçün bəzi cəbri üsullar 4000 il əvvəl Qədim Babildə məlum idi. Təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti, hətta qədim dövrlərdə də torpaq sahələrinin və hərbi xarakterli torpaq işlərinin sahələrinin tapılması ilə bağlı məsələlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı ilə. Daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, kvadrat tənliklər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə babillilər tərəfindən həll edilə bildi. Müasir cəbri qeydlərdən istifadə edərək deyə bilərik ki, onların mixi mətnlərində həm natamam, həm də tam kvadratik tənliklərə rast gəlinir.
Babil mətnlərində təsbit edilən bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasirləri ilə üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılmış demək olar ki, bütün mixi yazılar, necə tapıldığına dair heç bir işarə olmadan, yalnız reseptlər şəklində qoyulmuş həll yolları ilə bağlı problemləri təmin edir.
Babildə cəbrin yüksək inkişaf səviyyəsinə baxmayaraq mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliyin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.
1.2 Ərəb tənlikləri
Həm kvadrat, həm də daha yüksək dərəcəli tənliklərin həlli üçün bəzi üsullar ərəblər tərəfindən işlənib hazırlanmışdır. Belə ki, məşhur ərəb riyaziyyatçısı Əl-Xorəzmi “Əl-Cəbar” kitabında müxtəlif tənliklərin həllinin bir çox yollarını təsvir etmişdir. Onların özəlliyi onda idi ki, Əl-Xorəzmi tənliklərin köklərini (həlllərini) tapmaq üçün mürəkkəb radikallardan istifadə edirdi. Bu cür tənliklərin həlli zərurəti mirasın bölünməsi ilə bağlı suallarda lazım idi.
1.3 Hindistanda tənliklər
Kvadrat tənliklər Hindistanda da həll edilirdi. Kvadrat tənliklərlə bağlı məsələlərə artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattiam” astronomik traktatında rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmagupta (7-ci əsr) vahid konik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda irəli sürdü:
ah² + bx= c, burada a > 0
Bu tənlikdə adan başqa əmsallar mənfi ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə eynidir.
Qədim Hindistanda çətin məsələlərin həlli üçün ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim də ictimai məclislərdə, cəbri məsələləri təklif edərək və həll edərək, başqasının izzətindən üstün olacaq”. Problemlər çox vaxt poetik formada təqdim olunurdu.
Müxtəlif tənlikləri, istər kvadratik, istərsə də daha yüksək dərəcəli tənliklər uzaq əcdadlarımız tərəfindən həll edilmişdir. Bu tənliklər çox fərqli və uzaq ölkələrdə həll edilmişdir. Tənliklərə ehtiyac böyük idi. Tənliklər tikintidə, hərbi işlərdə və gündəlik vəziyyətlərdə istifadə olunurdu.
Fəsil 2. Kvadrat tənliklər və daha yüksək tərtibli tənliklər
2.1 Əsas anlayışlar
Kvadrat tənlik formanın tənliyidir
burada a, b, c əmsalları istənilən həqiqi ədədlərdir və a ≠ 0.
Kvadrat tənliyin aparıcı əmsalı 1 olarsa, o, azaldılmış adlanır.
Misal :
x 2 + 2x + 6 = 0.
Əgər aparıcı əmsalı 1-dən fərqli olarsa, kvadrat tənlik azaldılmamış adlanır.
Misal :
2x 2 + 8x + 3 = 0.
Tam kvadrat tənlik hər üç üzvün olduğu kvadrat tənlikdir, başqa sözlə, b və c əmsallarının sıfırdan fərqli olduğu tənlikdir.
Misal :
3x 2 + 4x + 2 = 0.
Natamam kvadrat tənlik ən azı bir b, c əmsalının sıfıra bərabər olduğu kvadrat tənlikdir.
Beləliklə, üç növ natamam kvadrat tənlik var:
1) ax² = 0 (iki üst-üstə düşən kökə malikdir x = 0).
2) ax² + bx = 0 (iki kök x 1 = 0 və x 2 = -)
Misal :
x 1 = 0, x 2 = -5.
Cavab verin: x 1 =0, x 2 = -5.
Əgər -<0 - уравнение не имеет корней.
Misal :
Cavab verin: Tənliyin kökü yoxdur.
Əgər –> 0 olarsa, x 1,2 = ± olar
Misal :
Cavab verin: x 1.2 =±
İstənilən kvadrat tənliyi diskriminantdan (b² - 4ac) istifadə etməklə həll etmək olar. Adətən b² - 4ac ifadəsi D hərfi ilə işarələnir və ax² + bx + c = 0 kvadrat tənliyinin diskriminantı (və ya ax² + bx + c kvadrat üçlünün diskriminantı) adlanır.
Misal :
x 2 +14x – 23 = 0
D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256
x 2 = 
Cavab verin: x 1 = 1, x 2 = - 15.
Diskriminantdan asılı olaraq tənliyin həlli ola bilər və ya olmaya da bilər.
1) Əgər D< 0, то не имеет решения.
2) Əgər D = 0 olarsa, onda tənliyin iki üst-üstə düşən həlli var x 1,2 =
3) Əgər D > 0 olarsa, onun düsturuna uyğun olaraq iki həlli tapılır:
x 1.2 = 
2.2 X-də cüt əmsal üçün düsturlar
Kvadrat tənliyin kökləri olduğuna öyrəşmişik
ax² + bx + c = 0 düsturla tapılır
x 1.2 =
Lakin riyaziyyatçılar hesablamalarını asanlaşdırmaq fürsətini heç vaxt əldən verməyəcəklər. Onlar tapdılar ki, bu düstur b əmsalı b = 2k olduqda, xüsusən də b cüt ədəd olduqda sadələşdirilə bilər.
Əslində, ax² + bx + c = 0 kvadrat tənliyinin b əmsalı b = 2k olsun. Düsturumuzda b əvəzinə 2k rəqəmini əvəz etsək, alırıq:
Beləliklə, ax² + 2kx + c = 0 kvadrat tənliyinin köklərini aşağıdakı düsturla hesablamaq olar:
x 1.2 = 
Misal :
5x 2 - 2x + 1 = 0
Bu düsturun üstünlüyü ondan ibarətdir ki, kvadratdan b ədədi deyil, onun yarısı çıxarılır, 4ac deyil, sadəcə olaraq ac və nəhayət, məxrəcdə 2a deyil, sadəcə olaraq a olur; .
Kvadrat tənlik azaldılsa, düsturumuz belə görünəcəkdir:
Misal :
x 2 – 4x + 3 = 0
Cavab verin: x 1 = 3, x 2 = 1.
2.3 Vyeta teoremi
Kvadrat tənliyin köklərinin çox maraqlı xassəsini fransız riyaziyyatçısı Fransua Vyet kəşf etmişdir. Bu xassə Vyeta teoremi adlanırdı:
Beləliklə, x 1 və x 2 ədədləri tənliyin kökləri olsun:
ax² + bx + c = 0
bərabərliyi yerinə yetirmək üçün zəruri və kifayətdir
x 1 + x 2 = -b/a və x 1 x 2 = c/a
Vyeta teoremi bizə işarələri mühakimə etməyə imkan verir mütləq dəyər kvadrat tənlik
x² + bx + c = 0
1. Əgər b>0, c>0 olarsa, onda hər iki kök mənfidir.
2. Əgər b<0, c>0, onda hər iki kök müsbətdir.
3. Əgər b>0 olarsa, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
4. Əgər b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.
2.4 Xüsusi təbiətli kvadrat tənliklər
1) ax² + bx + c = 0 tənliyində a + b + c = 0 olarsa, onda
x 1 = 1 və x 2 =.
Sübut :
ax² + bx + c = 0 tənliyində onun kökləri
x 1.2 = (1).
a + b + c = 0 bərabərliyindən b-ni təmsil edək
Bu ifadəni (1) düsturu ilə əvəz edək:
=
Tənliyin iki kökünü ayrıca nəzərdən keçirsək, əldə edirik:
1) x 1 = 
2) x 2 = 
Bu belədir: x 1 = 1 və x 2 =.
1. Misal :
2x² - 3x + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1.
a + b + c = 0, buna görə də
2. Misal :
418x² - 1254x + 836 = 0
Bu nümunəni diskriminantdan istifadə etməklə həll etmək çox çətindir, lakin yuxarıdakı düsturla onu asanlıqla həll etmək olar.
a = 418, b = -1254, c = 836.
x 1 = 1 x 2 = 2
2) ax² + bx + c = 0 tənliyində a - b + c = 0 olarsa, onda:
x 1 =-1 və x 2 =-.
Sübut :
ax² + bx + c = 0 tənliyini nəzərdən keçirək, bundan belə çıxır:
x 1.2 = (2).
a - b + c = 0 bərabərliyindən b-ni təmsil edək
b = a + c, (2) düsturu ilə əvəz edin:
=
İki ifadə alırıq:
1) x 1 = 
2) x 2 = 
Bu düstur əvvəlkinə bənzəyir, lakin həm də ona görə vacibdir ki... Bu cür nümunələr çox yayılmışdır.
1) Misal :
2x² + 3x + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.
a - b + c = 0, buna görə də
2)Misal :
Cavab verin: x 1 = -1; x 2 = -
3) Metod " köçürmələr ”
y² + ilə + ac = 0 və ax² + bx + c = 0 kvadrat tənliklərinin kökləri aşağıdakı əlaqələrlə əlaqələndirilir:
x 1 = və x 2 =
Sübut :
a) ax² + bx + c = 0 tənliyini nəzərdən keçirək
x 1.2 = = 
b) y² + ilə + ac = 0 tənliyini nəzərdən keçirək
y 1,2 =
Qeyd edək ki, hər iki həllin diskriminantları bərabərdir, gəlin bu iki tənliyin köklərini müqayisə edək; Onlar bir-birindən aparıcı amillə fərqlənirlər, birinci tənliyin kökləri ikincinin köklərindən a ilə azdır. Vyeta teoremindən və yuxarıdakı qaydadan istifadə edərək müxtəlif tənlikləri həll etmək çətin deyil.
Misal :
Bizdə ixtiyari kvadrat tənlik var
10x² - 11x + 3 = 0
Bu tənliyi verilmiş qaydaya uyğun çevirək
y² - 11y + 30 = 0
Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla həll oluna bilən azaldılmış kvadrat tənliyi əldə edirik.
y 1 və y 2 y² - 11y + 30 = 0 tənliyinin kökləri olsun.
y 1 y 2 = 30 y 1 = 6
y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5
Bu tənliklərin köklərinin bir-birindən a ilə fərqləndiyini bilərək, onda
x 1 = 6/10 = 0,6
x 2 = 5/10 = 0,5
Bəzi hallarda əvvəlcə verilmiş ax² + bx + c = 0 tənliyini deyil, verilmiş “köçürmə” a əmsalından alınan y² + ilə + ac = 0-a endirilmiş tənliyi həll etmək və sonra tapılanı bölmək rahatdır. orijinal tənliyi tapmaq üçün a ilə köklər.
2.5 Daha yüksək dərəcəli polinomlar (tənliklər) üçün Vieta düsturu
Kvadrat tənliklər üçün Viet tərəfindən alınan düsturlar daha yüksək dərəcəli çoxhədlilər üçün də doğrudur.
Çoxhədli olsun
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
n fərqli kökə malikdir x 1, x 2..., x n.
Bu halda, formanın faktorizasiyası var:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Gəlin bu bərabərliyin hər iki tərəfini 0 ≠ 0-a bölək və birinci hissədəki mötərizələri açaq. Bərabərliyi əldə edirik:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Ancaq iki çoxhədli eyni dərəcədə bərabərdir, o zaman və yalnız eyni güclərin əmsalları bərabərdir. Bundan belə çıxır ki, bərabərlik
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Məsələn, üçüncü dərəcəli çoxhədlilər üçün
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Şəxsiyyətlərimiz var
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Kvadrat tənliklərə gəlincə, bu düstur Vyeta düsturları adlanır. Bu düsturların sol tərəfləri bu tənliyin x 1, x 2 ..., x n köklərindən olan simmetrik çoxhədlərdir, sağ tərəfləri isə çoxhədlinin əmsalı ilə ifadə edilir.
2.6 Kvadrata endirilə bilən tənliklər (bikvadrat)
Dördüncü dərəcəli tənliklər kvadrat tənliklərə endirilir:
balta 4 + bx 2 + c = 0,
biquadratic adlanır və a ≠ 0.
Bu tənliyə x 2 = y qoymaq kifayətdir, ona görə də,
ay² + ilə + c = 0
alınan kvadrat tənliyin köklərini tapaq
y 1,2 =
Dərhal x 1, x 2, x 3, x 4 köklərini tapmaq üçün y-ni x ilə əvəz edin və alın.
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Dördüncü dərəcəli tənliyin x 1 varsa, onun da kökü x 2 = -x 1,
Əgər x 3 varsa, onda x 4 = - x 3. Belə bir tənliyin köklərinin cəmi sıfırdır.
Misal :
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Tənliyi bikvadrat tənliklərin kökləri üçün düsturla əvəz edək:
x 1,2,3,4 = 
,
x 1 = -x 2 və x 3 = -x 4 olduğunu bilərək, onda:
x 3.4 = 
Cavab verin: x 1.2 = ±2; x 1.2 =
2.7 Bikvadrat tənliklərin öyrənilməsi
Gəlin biquadratik tənliyi götürək
balta 4 + bx 2 + c = 0,
burada a, b, c həqiqi ədədlərdir və a > 0. Köməkçi naməlum y = x² təqdim etməklə biz bu tənliyin köklərini araşdırırıq və nəticələri cədvələ daxil edirik (bax: Əlavə №1).
2.8 Kardano düsturu
Müasir simvolizmdən istifadə etsək, Kardano düsturunun törəməsi belə görünə bilər:
x = 
Bu düstur ümumi üçüncü dərəcəli tənliyin köklərini müəyyən edir:
balta 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Bu formula çox çətin və mürəkkəbdir (bir neçə mürəkkəb radikal ehtiva edir). Həmişə tətbiq edilməyəcək, çünki... doldurmaq çox çətindir.
2.9 Üçüncü dərəcəli simmetrik tənliklər
Üçüncü dərəcəli simmetrik tənliklər formanın tənlikləridir
ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )
ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )
burada a və b ədədləri a¹0 ilə verilir.
tənliyin necə olduğunu göstərək ( 1 ).
ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).
Tapırıq ki, tənlik ( 1 ) tənliyinə ekvivalentdir
(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.
Bu o deməkdir ki, onun kökləri tənliyin kökləri olacaqdır
ax² +(b – a)x + a = 0
və x ədədi = -1
tənlik ( 2 )
ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).
1) Misal :
2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0
Aydındır ki, x 1 = 1 və
2x² + 5x + 2 = 0 tənliyinin x 2 və x 3 kökləri,
Gəlin onları diskriminant vasitəsilə tapaq:
x 1.2 = 
x 2 = -, x 3 = -2
2) Misal :
5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0
Aydındır ki, x 1 = -1, və
5x² + 26x + 5 = 0 tənliyinin x 2 və x 3 kökləri,
Gəlin onları diskriminant vasitəsilə tapaq:
x 1.2 = 
x 2 = -5, x 3 = -0,2.
2.10 Qarşılıqlı tənliklər
Qarşılıqlı tənlik – cəbri tənlik
a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,
burada a k = a n – k, burada k = 0, 1, 2 …n və a ≠ 0.
Qarşılıqlı tənliyin köklərinin tapılması məsələsi daha aşağı dərəcəli cəbri tənliyin həlli məsələsinə endirilir. Qarşılıqlı tənliklər termini L. Eyler tərəfindən təqdim edilmişdir.
Formanın dördüncü dərəcəli tənliyi:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).
Bu tənliyi formaya endirmək
a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, və y = x + m/x və y² - 2m = x² + m²/x²,
tənliyin kvadrata endirildiyi yerdən
ay² + ilə + (c-2am) = 0.
3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0
Onu x 2-yə bölmək ekvivalent tənliyi verir
3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, və ya
Harada və 
3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, haradandır
y 1 = y 2 = -2, buna görə də
Və haradan
Cavab: x 1,2 = x 3,4 =.
Qarşılıqlı tənliklərin xüsusi halı simmetrik tənliklərdir. Əvvəl üçüncü dərəcəli simmetrik tənliklərdən danışdıq, lakin dördüncü dərəcəli simmetrik tənliklər var.
Dördüncü dərəcəli simmetrik tənliklər.
1) Əgər m = 1 olarsa, bu, formaya malik birinci növ simmetrik tənlikdir.
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 və yeni əvəzetmə ilə həll olunur
2) Əgər m = -1 olarsa, bu, formasına malik olan ikinci növ simmetrik tənlikdir.
ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 və yeni əvəzetmə ilə həll olunur
2.11 Horner sxemi
Çoxhədliləri bölmək üçün “bucaqla bölmə” qaydasından və ya Horner sxemindən istifadə olunur . Bu məqsədlə çoxhədlilər azalan dərəcələrlə düzülür X və bölən D(x)-in baş həddi ilə vurulduqda P(x) dividendinin baş həddi alındığı şərtindən Q(x) bölməsinin baş həddi tapın. Bölmənin tapılmış müddəti, sonra bölücü ilə vurulur və dividenddən çıxarılır. Bölmənin baş həddi o şərtlə müəyyən edilir ki, bölənin baş üzvünə vurulduqda fərq çoxhədlinin baş həddi və s. Fərqin dərəcəsi bölən dərəcəsindən az olana qədər proses davam edir (bax: Əlavə No 2).
R = 0 tənlikləri vəziyyətində bu alqoritm Horner sxemi ilə əvəz olunur.
Misal :
x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0
Sərbəst terminin ±1 bölənlərini tapın; ± 2; ± 3; ± 6.
Tənliyin sol tərəfini f(x) ilə işarə edək. Aydındır ki, f(1) = 0, x1 = 1. f(x)-i x – 1-ə bölün. (3 nömrəli əlavəyə bax)
x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)
Sonuncu amili Q(x) ilə işarə edirik. Q(x) = 0 tənliyini həll edirik.
x 2.3 = 
Cavab verin : 1; -2; -3.
Bu fəsildə biz müxtəlif tənliklərin həlli üçün bəzi düsturlar vermişik. Qismən tənliklərin həlli üçün bu düsturların əksəriyyəti. Bu xassələr çox rahatdır, çünki tənlikləri bu tənlik üçün ayrıca düsturla həll etmək ümumi prinsipdən istifadə etməkdən daha asandır. Hər bir üsul üçün bir sübut və bir neçə nümunə təqdim etdik.
Nəticə
Birinci fəsildə kvadrat tənliklərin və yüksək tərtibli tənliklərin yaranma tarixi tədqiq edilmişdir. Müxtəlif tənliklər 25 əsrdən çox əvvəl həll edilmişdir. Belə tənliklərin həlli üçün bir çox üsullar Hindistanın Babil şəhərində yaradılmışdır. Tənliklərə ehtiyac olub və olacaq.
İkinci fəsildə kvadrat tənliklərin və daha yüksək dərəcəli tənliklərin həlli (kökləri tapmaq) üçün müxtəlif üsullar təqdim olunur. Əsasən, bunlar müəyyən xarakterli tənliklərin həlli üsullarıdır, yəni bəzi ümumi xassələri və ya növü ilə birləşdirilən hər bir tənlik qrupu üçün yalnız bu tənliklər qrupuna aid olan xüsusi qayda verilir. Bu üsul (hər tənlik üçün öz düsturunuzu seçmək) diskriminant vasitəsilə kök tapmaqdan çox asandır.
Bu mücərrəddə bütün məqsədlərə nail olunub və əsas vəzifələr yerinə yetirilib, yeni, əvvəllər məlum olmayan düsturlar sübuta yetirilib və öyrənilib. Biz onları mücərrədə daxil etməzdən əvvəl çoxlu nümunələr üzərində işlədik, buna görə də bəzi tənlikləri necə həll etmək barədə artıq təsəvvürümüz var. Hər bir həll gələcək tədqiqatlarda bizim üçün faydalı olacaqdır. Bu esse köhnə bilikləri təsnif etməyə və yenilərini öyrənməyə kömək etdi.
İstinadlar
1. Vilenkin N.Ya. “8-ci sinif üçün cəbr”, M., 1995.
2. Qalitski M.L. “Cəbrdən məsələlər toplusu”, M. 2002.
3. Daan-Dalmediko D. “Yollar və labirintlər”, M., 1986.
4. Zvaviç L.İ. “Cəbr 8-ci sinif”, M., 2002.
5. Kuşnir İ.A. “Tənliklər”, Kiyev 1996.
6. Savin Yu.P. “Gənc riyaziyyatçının ensiklopedik lüğəti”, M., 1985.
7. Mordkoviç A.G. “Cəbr 8-ci sinif”, M., 2003.
8. Xudobin A.İ. “Cəbrdən məsələlər toplusu”, M., 1973.
9. Sharygin I.F. “Cəbrdən fakultativ kurs”, M., 1989.
Əlavə 1
Bikvadrat tənliklərin öyrənilməsi
| C | b | Nəticələr | ||
| Ay² +by+c=0 köməkçi tənliyinin kökləri üzərində | Bu tənliyin kökləri haqqında a(x²)² +bx² +c=0 | |||
C< 0 |
b- istənilən həqiqi ədəd | y< 0 ; y > 01 2 |
x = ±Öy |
|
| C > 0 | b<0 | D > 0 | x = ±Öy |
|
| D=0 | y > 0 | x = ±Öy |
||
| D< 0 | Kökləri yoxdur | Kökləri yoxdur | ||
| b ≥ 0 | Kökləri yoxdur | |||
| Kökləri yoxdur | Kökləri yoxdur | |||
y > 0 ; y< 01 2 |
x = ±Öy |
|||
| C=0 | b > 0 | y = 0 | x = 0 | |
| b = 0 | y = 0 | x = 0 | ||
| b< 0 | y = 0 | x = 0 | ||
Əlavə 2
Küncdən istifadə edərək çoxhədli çoxhədliyə bölmək
| A 0 | a 1 | a 2 | ... | a n | c |
| + | |||||
| b 0 c | b 1 c | … | b n-1 c | ||
| B 0 | b 1 | b 2 | … | b n | = R (qalan) |
Əlavə 3
Horner sxemi
| Kök | |||||
| 1 | 4 | 1 | -6 | 1 | |
| x 1 = 1 | |||||
| sökülməsi | 5 | 6 | 0 | ||
| 1 | 1×1 +4 = 5 | 5×1 + 1 = 6 | 6×1 – 6 = 0 | ||
| kök | |||||
| x 1 = 1 |