Divisione dei numeri naturali per colonna, esempi, soluzioni. Divisione in colonna di un numero naturale per un numero naturale a una cifra, algoritmo di divisione in colonna

Sezioni: Matematica

Classe: 6

Obiettivi della lezione:
1. Formativo: ripetizione, generalizzazione e verifica delle conoscenze sull'argomento: “Divisibilità dei numeri naturali”; sviluppo delle competenze di base.
2. Sviluppo: sviluppare l'attenzione, la perseveranza, la perseveranza degli studenti, pensiero logico, discorso matematico.
3. Educativo: attraverso la lezione coltivare un atteggiamento attento verso l'altro, instillare la capacità di ascolto dei compagni, l'assistenza reciproca e l'indipendenza.
Obiettivi della lezione:
Sviluppare la capacità di applicare il concetto di divisori e multipli; sviluppare il pensiero e gli elementi dell'attività creativa; applicare criteri di divisibilità nelle situazioni più semplici; trovare numeri GCD e LCM, sviluppare l'osservazione e il pensiero logico.
Tipo di lezione– combinato.
Modulo della lezione– lezione con supporto informatico.
Attrezzatura:
1. Lavagna e gesso.
2. Computer e proiettore.
3. Versione cartacea di tutte le attività.

Avanzamento della lezione.

I numeri governano il mondo.
Pitagora.
1. Momento organizzativo.
2. Comunicare lo scopo della lezione.
3. Aggiorna conoscenza di base.
1. Cos'è un divisore numerico? UN?
2. Cos'è un multiplo di un numero? UN?
3. Esiste un multiplo massimo?
4. Formulare i segni di divisibilità?
5. Quali numeri sono chiamati primi e quali sono composti?
(Relazione degli studenti su Pitagora, Eratostene, Euclide)

Informazioni storiche:

Euclide - scienziato greco antico (365-300 a.C.). Si sa molto poco della vita di questo grande scienziato. Visse e lavorò ad Alessandria, la città fondata da Alessandro Magno. Molte leggende sono associate al nome di Euclide. Uno di loro dice che il re Tolomeo chiese a Euclide: "Esiste una via più breve per conoscere la geometria?", al che lo scienziato rispose: "Non esiste una strada maestra per la geometria!" Euclide studiò molto la teoria dei numeri: fu lui a dimostrarlo numeri primi infinitamente molti. L'algoritmo per trovare il MCD di due numeri è chiamato algoritmo euclideo. L'antico matematico greco Euclide, nel suo libro Gli Elementi, che fu il principale libro di testo di matematica per duemila anni, dimostrò che esistono infiniti numeri primi, cioè Dietro ogni numero primo c'è un numero primo pari.

Pitagora (VI secolo a.C.) e i suoi studenti studiarono la questione della divisibilità dei numeri. Numero pari alla somma Chiamavano tutti i suoi divisori (senza il numero stesso) un numero perfetto. Ad esempio, i numeri 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sono perfetti. I seguenti numeri perfetti sono 496, 8128, 33550336 I Pitagorici conoscevano solo i primi tre numeri perfetti. Il quarto 8128 divenne noto nel I secolo a.C. Il quinto numero, 33550336, fu ritrovato nel XV secolo. Nel 1983 si conoscevano già 27 numeri perfetti. Ma gli scienziati non sanno ancora se esiste un numero perfetto dispari o un numero perfetto più grande. L'interesse degli antichi matematici per i numeri primi è dovuto al fatto che qualsiasi numero naturale, maggiore di 1, è un numero primo o può essere composto come prodotto di numeri primi: 14 = 2∙7, 16 = 2∙2 ∙2∙2 La domanda sorge spontanea: esiste un ultimo numero primo (il più grande)?

Obiettivo: è stato concepito un numero primo. Anche il numero naturale successivo è primo. A proposito di quale i numeri vanno discorso?
Risposta: 2.3.
6. Quali numeri sono chiamati relativamente primi?
7. Spiega come trovare il MCD (LCD) di due numeri.
(Messaggio dello studente su come trovare il mcd di due numeri)
Un giorno i numeri 24 e 60 litigarono su come trovare un mcd. Il numero 24 afferma che devi prima trovare i numeri comuni tra tutti i divisori e poi sceglierli numero maggiore. E il numero 60 obiettò:
- Ebbene, di cosa stai parlando! Non mi piace questo metodo. Ho troppi divisori e nell'elencarli potrei perderne uno. E se risultasse essere il più grande? No, non mi piace questo metodo. E hanno deciso di rivolgersi al Master of Business Sciences per chiedere aiuto. E il maestro rispose loro:
- Sì, 24, il tuo metodo per trovare mcd dei numeri può essere utilizzato, ma non è sempre conveniente. Ma puoi trovare GCD in un modo diverso.
Devi scomporre 24 e 60 in fattori primi.

24	2
12	2
6	2
3	3
1

60	2
30	2
15	3
5	5
1

24 = 2³ ∙ 3
60 = 2² ∙ 3 ∙ 5
Devi prendere i divisori comuni dei numeri con un esponente più piccolo.
MCD (24;60) = 2² ∙ 3 = 12.

E per trovare il MCM di due numeri è necessario:

1. Fattore in fattori primi;
2. Scrivi tutti i fattori primi compresi nel primo e nel secondo numero con l'esponente più grande.

Significa:
24 = 2³ ∙ 3 60 = 2² ∙ 3 ∙ 5 NOC (24;60) = 2³∙ 3 ∙ 5 = 120.

Va notato che la combinatoria è un ramo indipendente della matematica superiore (e non parte di Terver) e su questa disciplina sono stati scritti pesanti libri di testo, il cui contenuto, a volte, non è più semplice dell'algebra astratta. Ci basterà però una piccola parte di conoscenze teoriche, e in questo articolo cercherò di farlo forma accessibile rivedere le basi dell'argomento con tipici problemi combinatori. E molti di voi mi aiuteranno ;-)

Cosa faremo? In senso stretto, la combinatoria è il calcolo di varie combinazioni che possono essere fatte da un determinato insieme discreto oggetti. Per oggetti si intende qualsiasi oggetto isolato o essere vivente: persone, animali, funghi, piante, insetti, ecc. Allo stesso tempo, alla combinatoria non interessa affatto che il set sia composto da un piatto di porridge di semolino, un saldatore e una rana di palude. È di fondamentale importanza che questi oggetti possano essere enumerati: ce ne sono tre (discretezza) e l'importante è che nessuno di loro sia identico.

Ci siamo occupati molto, ora delle combinazioni. I tipi più comuni di combinazioni sono le permutazioni di oggetti, la loro selezione da un insieme (combinazione) e la distribuzione (posizionamento). Vediamo come ciò accade in questo momento:

Permutazioni, combinazioni e posizionamenti senza ripetizione

Non aver paura dei termini oscuri, soprattutto perché alcuni di essi non sono proprio molto buoni. Iniziamo con la coda del titolo: cosa significa " nessuna ripetizione"? Ciò significa che in questa sezione considereremo gli insiemi costituiti da vari oggetti. Ad esempio, ... no, non offrirò il porridge con saldatore e rana, è meglio avere qualcosa di più gustoso =) Immagina che una mela, una pera e una banana si siano materializzate sul tavolo davanti a te ( se li avete la situazione può essere simulata nella realtà). Disponiamo i frutti da sinistra a destra nel seguente ordine:

mela/pera/banana

Domanda uno: In quanti modi possono essere riorganizzati?

Una combinazione è già stata scritta sopra e non ci sono problemi con il resto:

mela/banana/pera
pera/mela/banana
pera/banana/mela
banana/mela/pera
banana/pera/mela

Totale: 6 combinazioni o 6 permutazioni.

Ok, non è stato difficile elencare tutti i casi possibili, ma cosa succederebbe se gli oggetti fossero più? Con solo quattro frutti diversi, il numero di combinazioni aumenterà in modo significativo!

Si prega di aprire il materiale di riferimento (è conveniente stampare il manuale) e al punto n. 2, trova la formula per il numero di permutazioni.

Nessun problema: 3 oggetti possono essere riorganizzati in modi diversi.

Domanda due: In quanti modi puoi scegliere a) un frutto, b) due frutti, c) tre frutti, d) almeno un frutto?

Perché scegliere? Quindi al punto precedente abbiamo stuzzicato l'appetito: per mangiare! =)

a) Un frutto può essere scelto, ovviamente, in tre modi: prendi una mela, una pera o una banana. Il calcolo formale viene effettuato secondo formula per il numero di combinazioni:

La voce in questo caso va intesa così: “in quanti modi puoi scegliere 1 frutto su tre?”

b) Elenchiamo tutte le possibili combinazioni di due frutti:

mela e pera;
mela e banana;
pera e banana.

Il numero di combinazioni può essere facilmente verificato utilizzando la stessa formula:

La voce è intesa in modo simile: “in quanti modi puoi scegliere 2 frutti su tre?”

c) E infine, c'è solo un modo per scegliere tre frutti:

A proposito, la formula per il numero di combinazioni rimane significativa per un campione vuoto:
In questo modo non puoi scegliere un solo frutto, anzi, non prendere nulla e basta.

d) In quanti modi puoi prendere almeno uno frutta? La condizione “almeno uno” implica che siamo soddisfatti di 1 frutto (qualsiasi) o di 2 frutti qualsiasi o di tutti e 3 i frutti:
utilizzando questi metodi potrete scegliere almeno un frutto.

Lettori che hanno studiato attentamente la lezione introduttiva su teoria della probabilità, abbiamo già intuito qualcosa. Ma parleremo più avanti del significato del segno più.

Per rispondere prossima domanda Ho bisogno di due volontari... ...Beh, visto che nessuno vuole, allora ti chiamerò nel consiglio =)

Domanda tre: In quanti modi puoi distribuire un frutto ciascuno a Dasha e Natasha?

Per distribuire due frutti, devi prima selezionarli. Secondo il paragrafo “be” della domanda precedente, questo può essere fatto in diversi modi, li riscriverò:

mela e pera;
mela e banana;
pera e banana.

Ma ora ci saranno il doppio delle combinazioni. Consideriamo, ad esempio, la prima coppia di frutti:
Puoi trattare Dasha con una mela e Natasha con una pera;
o viceversa: Dasha riceverà una pera e Natasha riceverà una mela.

E tale permutazione è possibile per ogni coppia di frutti.

Considera lo stesso gruppo di studenti che è andato al ballo. In quanti modi si possono accoppiare un ragazzo e una ragazza?

In modi puoi selezionare 1 giovane;
modi in cui puoi scegliere 1 ragazza.

Quindi, un giovane E Puoi scegliere una ragazza: modi.

Quando viene selezionato 1 oggetto da ciascun set, vale il seguente principio per il conteggio delle combinazioni: “ ogni un oggetto di un insieme può formare una coppia con tutti oggetto di un altro insieme."

Cioè, Oleg può invitare una qualsiasi delle 13 ragazze a ballare, Evgeny può anche invitare una qualsiasi delle tredici e il resto dei giovani ha una scelta simile. Totale: coppie possibili.

Va notato che nell' in questo esempio la “storia” della formazione della coppia non ha importanza; se però prendiamo in considerazione l'iniziativa, il numero delle combinazioni dovrà essere raddoppiato, dato che ognuna delle 13 ragazze potrà invitare a ballare anche un qualunque ragazzo. Tutto dipende dalle condizioni di un particolare compito!

Un principio simile vale per combinazioni più complesse, ad esempio: in quanti modi si possono scegliere due giovani? E due ragazze per partecipare ad una scenetta KVN?

Unione E suggerisce chiaramente che le combinazioni devono essere moltiplicate:

Possibili gruppi di artisti.

In altre parole, ogni con cui può esibirsi una coppia di ragazzi (45 coppie uniche). Qualunque una coppia di ragazze (78 coppie uniche). E se consideriamo la distribuzione dei ruoli tra i partecipanti, le combinazioni saranno ancora di più. ...Lo vorrei davvero, ma mi asterrò comunque dal continuare per non instillare in te l'avversione per la vita studentesca =).

La regola per moltiplicare le combinazioni si applica anche a un numero maggiore di moltiplicatori:

Problema 8

Quanti sono i numeri di tre cifre divisibili per 5?

Soluzione: per chiarezza indichiamo questo numero con tre asterischi: ***

IN centinaia di posti Puoi scrivere qualsiasi numero (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9). Lo zero non è adatto, poiché in questo caso il numero cessa di essere a tre cifre.

Ma dentro posto delle decine(“al centro”) è possibile scegliere una qualsiasi delle 10 cifre: .

Secondo la condizione, il numero deve essere divisibile per 5. Un numero è divisibile per 5 se termina con 5 o 0. Pertanto, ci accontentiamo di 2 cifre nella cifra meno significativa.

In totale c'è: numeri di tre cifre divisibili per 5.

In questo caso, l'opera è decifrata come segue: “9 modi in cui puoi scegliere un numero centinaia di posti E 10 modi per scegliere un numero in posto delle decine E 2 modi di entrare cifra delle unità»

O ancora più semplice: “ ogni da 9 cifre a centinaia di posti combina con ciascuno di 10 cifre posto delle decine e con ciascuno da due cifre a cifra delle unità».

Risposta: 180

E ora...

Sì, mi ero quasi dimenticato del commento promesso sul problema n. 5, in cui a Bor, Dima e Volodya può essere distribuita una carta ciascuno in modi diversi. La moltiplicazione qui ha lo stesso significato: modi per rimuovere 3 carte dal mazzo E in ciascuno campione riorganizzarli in modi.

E ora un problema da risolvere da solo... ora mi inventerò qualcosa di più interessante... lascia che si tratti della stessa versione russa del blackjack:

Problema 9

Quante combinazioni vincenti di 2 carte ci sono quando si gioca a "punto"?

Per chi non lo sapesse: la combinazione vincente è 10 + ASSO (11 punti) = 21 punti e, consideriamo la combinazione vincente di due assi.

(l'ordine delle carte in qualsiasi coppia non ha importanza)

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione.

A proposito, non considerare l'esempio primitivo. Il Blackjack è quasi l'unico gioco per il quale esiste un algoritmo basato sulla matematica che ti consente di battere il casinò. Chi è interessato può facilmente trovare numerose informazioni sulla strategia e sulle tattiche ottimali. È vero, questi maestri finiscono abbastanza rapidamente nella lista nera di tutti gli stabilimenti =)

È tempo di consolidare il materiale coperto con un paio di compiti solidi:

Problema 10

Vasya ha 4 gatti a casa.

a) in quanti modi si possono far sedere i gatti negli angoli della stanza?
b) in quanti modi si possono lasciare andare i gatti a fare una passeggiata?
c) in quanti modi Vasya può prendere in braccio due gatti (uno alla sua sinistra, l'altro alla sua destra)?

Decidiamo: in primo luogo, dovresti prestare nuovamente attenzione al fatto che si tratta del problema diverso oggetti (anche se i gatti sono gemelli identici). Questa è una condizione molto importante!

a) Silenzio dei gatti. Soggetto a questa esecuzione tutti i gatti contemporaneamente
+ la loro posizione è importante, quindi ci sono delle permutazioni qui:
In questo modo potrete posizionare i gatti negli angoli della stanza.

Ripeto che nella permutazione contano solo il numero di oggetti diversi e le loro posizioni relative. A seconda dell'umore di Vasya, può far sedere gli animali in semicerchio sul divano, in fila sul davanzale della finestra, ecc. – in tutti i casi ci saranno 24 permutazioni. Per comodità, chi è interessato può immaginare che i gatti siano multicolori (ad esempio bianco, nero, rosso e soriano) ed elencare tutte le possibili combinazioni.

b) In quanti modi si possono lasciare andare i gatti a fare una passeggiata?

Si presuppone che i gatti escano a passeggiare solo attraverso la porta e la domanda implica indifferenza riguardo al numero di animali: 1, 2, 3 o tutti e 4 i gatti possono uscire a passeggiare.

Contiamo tutte le combinazioni possibili:

In questi modi puoi lasciare che un gatto (uno qualsiasi dei quattro) vada a fare una passeggiata;
modi in cui puoi lasciare andare due gatti a fare una passeggiata (elenca tu stesso le opzioni);
in modi in cui puoi lasciare andare tre gatti a fare una passeggiata (uno dei quattro siede a casa);
In questo modo puoi liberare tutti i gatti.

Probabilmente hai intuito che i valori risultanti dovrebbero essere riassunti:
modi in cui puoi lasciare andare i gatti a fare passeggiate.

Per gli appassionati, offro una versione complicata del problema: quando qualsiasi gatto di qualsiasi campione può uscire casualmente, sia attraverso la porta che attraverso la finestra al decimo piano. Ci sarà un notevole aumento delle combinazioni!

c) In quanti modi Vasya può prendere in braccio due gatti?

La situazione prevede non solo la scelta di 2 animali, ma anche il loro posizionamento in ciascuna mano:
In queste modalità potrai prelevare 2 gatti.

Seconda soluzione: puoi scegliere due gatti usando i metodi E modi per piantare ogni una coppia a portata di mano:

Risposta: a) 24, b) 15, c) 12

Bene, per schiarirti la coscienza, qualcosa di più specifico sulla moltiplicazione delle combinazioni... Lascia che Vasya abbia altri 5 gatti =) In quanti modi puoi lasciare andare 2 gatti a fare una passeggiata? E 1 gatto?

Cioè, con ogni un paio di gatti possono essere rilasciati ogni gatto.

Un'altra fisarmonica a bottoni per una soluzione indipendente:

Problema 11

Tre passeggeri sono saliti sull'ascensore di un edificio di 12 piani. Tutti, indipendentemente dagli altri, possono uscire da qualsiasi piano (a partire dal 2°) con uguale probabilità. In quanti modi:

1) i passeggeri possono scendere allo stesso piano (l'ordine di uscita non ha importanza);
2) su un piano possono scendere due persone e sull'altro un terzo;
3) le persone possono uscire su piani diversi;
4) i passeggeri possono uscire dall'ascensore?

E qui spesso me lo chiedono ancora, chiarisco: se sullo stesso piano escono 2 o 3 persone, allora non conta l'ordine di uscita. PENSA, usa formule e regole per aggiungere/moltiplicare combinazioni. In caso di difficoltà, è utile che i passeggeri diano nomi e ipotizzano in quali combinazioni potranno uscire dall'ascensore. Non c'è bisogno di arrabbiarsi se qualcosa non funziona, ad esempio, il punto n. 2 è piuttosto insidioso, tuttavia, uno dei lettori ha trovato una soluzione semplice ed esprimo ancora una volta la mia gratitudine per le tue lettere!

Soluzione completa con commenti dettagliati alla fine della lezione.

L'ultimo paragrafo è dedicato alle combinazioni che si verificano anche abbastanza spesso - secondo la mia valutazione soggettiva, in circa il 20-30% dei problemi combinatori:

Permutazioni, combinazioni e posizionamenti con ripetizioni

Le tipologie di combinazioni elencate sono descritte al paragrafo n. 5 materiale di riferimento Formule base della combinatoria, tuttavia, alcuni di essi potrebbero non risultare molto chiari in prima lettura. In questo caso, è consigliabile prima familiarizzare con esempi pratici e solo successivamente comprendere la formulazione generale. Andiamo:

Permutazioni con ripetizioni

Nelle permutazioni con ripetizioni, come nelle permutazioni “ordinarie”, tutti i tanti oggetti contemporaneamente, ma c'è una cosa: in questo insieme uno o più elementi (oggetti) si ripetono. Soddisfa il prossimo standard:

Problema 12

Quante diverse combinazioni di lettere si possono ottenere riordinando le carte con le seguenti lettere: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Soluzione: nel caso in cui tutte le lettere fossero diverse, allora si dovrebbe applicare una formula banale, tuttavia è del tutto chiaro che per il set di carte proposto alcune manipolazioni funzioneranno “a vuoto”, ad esempio, se si scambiano due carte qualsiasi con le lettere “K” " in qualsiasi parola, ottieni la stessa parola. Inoltre, fisicamente le carte possono essere molto diverse: una può essere rotonda con stampata la lettera “K”, l'altra può essere quadrata con sopra disegnata la lettera “K”. Ma secondo il significato del compito, anche tali carte sono considerati uguali, poiché la condizione richiede informazioni sulle combinazioni di lettere.

Tutto è estremamente semplice: solo 11 carte, inclusa la lettera:

K – ripetuto 3 volte;
O – ripetuto 3 volte;
L – ripetuto 2 volte;
b – ripetuto 1 volta;
H – ripetuto 1 volta;
E - ripetuto 1 volta.

Verifica: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, che è ciò che doveva essere verificato.

Secondo la formula numero di permutazioni con ripetizioni:
si possono ottenere diverse combinazioni di lettere. Più di mezzo milione!

Per calcolare rapidamente un valore fattoriale di grandi dimensioni, è conveniente utilizzare la funzione standard di Excel: inseriscilo in qualsiasi cella =FATTO(11) e premere Entra.

In pratica, è abbastanza accettabile non scrivere formula generale e, inoltre, omettere i fattoriali unitari:

Ma sono necessari commenti preliminari sulle lettere ripetute!

Risposta: 554400

Un altro tipico esempio di permutazioni con ripetizioni si presenta nel problema dell'arrangiamento pezzi degli scacchi, che può essere trovato in magazzino soluzioni già pronte nel pdf corrispondente. E per una soluzione indipendente, ho pensato a un compito meno stereotipato:

Problema 13

Alexey fa sport, 4 giorni a settimana - atletica, 2 giorni – esercizi di forza e riposa per 1 giorno. In quanti modi può creare un programma settimanale per se stesso?

La formula non funziona in questo caso perché tiene conto degli scambi casuali (ad esempio, scambiando gli esercizi di forza di mercoledì con gli esercizi di forza di giovedì). E ancora - in effetti lo stesso 2 allenamento per la forza possono essere molto diversi tra loro, ma nel contesto del compito (dal punto di vista della pianificazione) sono considerati gli stessi elementi.

Soluzione su due righe e risposta alla fine della lezione.

Combinazioni con ripetizioni

Caratteristica Questo tipo di combinazione consiste nel fatto che il campione viene estratto da più gruppi, ciascuno dei quali è costituito da oggetti identici.

Tutti hanno lavorato duro oggi, quindi è tempo di rinfrescarti:

Problema 14

La mensa studentesca vende salsicce in pasta, cheesecake e ciambelle. In quanti modi puoi comprare cinque torte?

Soluzione: prestare immediatamente attenzione al criterio tipico delle combinazioni con ripetizioni: a seconda della condizione, non è un insieme di oggetti in quanto tali ad essere offerto per la scelta, ma vari tipi oggetti; si presume che siano in vendita almeno cinque hot dog, 5 cheesecake e 5 ciambelle. Le torte di ciascun gruppo sono ovviamente diverse, perché le ciambelle assolutamente identiche possono essere simulate solo su un computer =) Tuttavia caratteristiche fisiche le torte non sono significative ai sensi del problema e gli hot dog/cheesecake/donuts sono considerati gli stessi nei rispettivi gruppi.

Cosa potrebbe esserci nel campione? Prima di tutto, va notato che nel campione ci saranno sicuramente torte identiche (poiché stiamo scegliendo 5 pezzi e ci sono 3 tipi tra cui scegliere). Ci sono opzioni per tutti i gusti: 5 hot dog, 5 cheesecake, 5 ciambelle, 3 hot dog + 2 cheesecake, 1 hot dog + 2 cheesecake + 2 ciambelle, ecc.

Come per le combinazioni "normali", l'ordine di selezione e il posizionamento delle torte nella selezione non hanno importanza: hai appena scelto 5 pezzi e il gioco è fatto.

Usiamo la formula numero di combinazioni con ripetizioni:
Puoi acquistare 5 torte usando questo metodo.

Buon appetito!

Risposta: 21

Quale conclusione si può trarre da molti problemi combinatori?

A volte la cosa più difficile è capire la condizione.

Un esempio simile per una soluzione indipendente:

Problema 15

Ce n'è abbastanza nel portafoglio gran numero Monete da 1, 2, 5 e 10 rubli. In quanti modi si possono togliere tre monete da un portafoglio?

Per scopi di autocontrollo, rispondi a un paio domande semplici:

1) Le monete del campione possono essere tutte diverse?
2) Nomina la combinazione di monete “più economica” e più “costosa”.

Soluzione e risposte alla fine della lezione.

Dal mio esperienza personale, posso dire che le combinazioni con ripetizioni sono gli ospiti più rari nella pratica, cosa che non si può dire del seguente tipo di combinazioni:

Posizionamenti con ripetizioni

Da un insieme costituito da elementi, vengono selezionati gli elementi e l'ordine degli elementi in ciascuna selezione è importante. E andrebbe tutto bene, ma uno scherzo piuttosto inaspettato è che possiamo selezionare qualsiasi oggetto del set originale tutte le volte che vogliamo. In senso figurato, “la moltitudine non diminuirà”.

Quando succede questo? Un tipico esempio è una serratura a combinazione con più dischi, ma a causa degli sviluppi tecnologici è più rilevante considerare il suo discendente digitale:

Problema 16

Quanti codici PIN a quattro cifre esistono?

Soluzione: infatti per risolvere il problema è sufficiente la conoscenza delle regole della combinatoria: in modi è possibile selezionare la prima cifra del codice PIN E modi: la seconda cifra del codice PIN E in tanti modi - terzo E lo stesso numero: il quarto. Pertanto, secondo la regola della moltiplicazione delle combinazioni, un codice PIN a quattro cifre può essere composto in: modi.

E ora usando la formula. A seconda delle condizioni ci viene offerta una serie di numeri, da cui i numeri vengono selezionati e ordinati in un certo ordine, mentre i numeri del campione possono essere ripetuti (ovvero qualsiasi cifra del set originale può essere utilizzata un numero arbitrario di volte). Secondo la formula per il numero di posizionamenti con ripetizioni:

Risposta: 10000

Cosa mi viene in mente... ...se il bancomat “mangia” la carta dopo il terzo tentativo fallito di inserire il codice PIN, allora le possibilità di ritirarla a caso sono molto scarse.

E chi ha detto che la combinatoria non ha alcun significato pratico? Un compito conoscitivo per tutti i lettori del sito:

Problema 17

Secondo norma statale, la targa di un'auto è composta da 3 numeri e 3 lettere. In questo caso, un numero con tre zeri non è accettabile e le lettere vengono selezionate dall'insieme A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (vengono utilizzate solo le lettere cirilliche la cui grafia coincide con le lettere latine).

Quante targhe diverse si possono creare per una regione?

Non molti, comunque. Nelle grandi regioni tale quantità non è sufficiente, e quindi per loro esistono diversi codici con la scritta RUS.

La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione. Non dimenticare di usare le regole della combinatoria ;-) ...Volevo mostrare ciò che era esclusivo, ma si è scoperto che non lo era =) Ho guardato Wikipedia - lì ci sono i calcoli, anche se senza commenti. Anche se per scopi educativi, probabilmente, poche persone l'hanno risolto.

La nostra entusiasmante lezione è giunta al termine e, infine, voglio dire che non hai perso tempo invano, perché le formule combinatorie trovano un altro aspetto vitale applicazione pratica: si trovano in vari compiti a seconda teoria della probabilità,
e dentro problemi che coinvolgono la determinazione classica della probabilità– soprattutto spesso =)

Grazie a tutti per partecipazione attiva e a presto!

Soluzioni e risposte:

Compito 2: Soluzione: trova il numero di tutte le possibili permutazioni di 4 carte:

Quando una carta con zero viene posizionata al 1° posto, il numero diventa di tre cifre, quindi queste combinazioni dovrebbero essere escluse. Lascia che lo zero sia al primo posto, quindi le restanti 3 cifre nelle cifre inferiori possono essere riorganizzate in diversi modi.

Nota : Perché Dato che ci sono solo poche carte, è facile elencare tutte le opzioni qui:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Pertanto, dall'insieme proposto possiamo ricavare:
24 – 6 = 18 numeri di quattro cifre
Risposta : 18

ZY Non ho mai pensato , cosa avrebbero offerto questi problemi agli alunni della prima elementare, uno dei quali ha notato che la carta “9” potrebbe essere usata come “6” e quindi il numero di combinazioni doveva essere raddoppiato. Ma la condizione è ancora affermata figura specifica ed è meglio astenersi dal raddoppiare.

Compito 4: Soluzione: in modi puoi scegliere 3 carte su 36.
Risposta : 7140

Compito 6: Soluzione: modi.
Un'altra soluzione : modi per selezionare due persone da un gruppo e modi per distribuire le posizioni in ciascun campione. Pertanto, è possibile scegliere il capo e il suo vice modi. Terza soluzione , ha trovato un altro lettore del sito. Attraverso un prodotto combinatorio:

(11 modi in cui un passeggero può uscire e per tutti da queste opzioni ci sono 10 modi in cui un altro passeggero può uscire e per ciascuno possibile combinazione delle loro uscite - il terzo passeggero può uscire in 9 modi)

4) Metodo uno: riassumiamo le combinazioni dei primi tre punti:
modo in cui i passeggeri possono uscire dall'ascensore.

Metodo due : nel caso generale è più razionale, inoltre, permette di fare a meno dei risultati dei paragrafi precedenti. Il ragionamento è il seguente: in che modo il 1° passeggero può uscire dall'ascensore E modi in cui il 2° passeggero può scendere E
2) Il set “più economico” contiene 3 monete da rubli, mentre il set più “costoso” contiene 3 monete da dieci rubli.

Problema 17: Soluzione: utilizzando questi metodi è possibile creare una combinazione digitale di un numero di vettura, mentre è opportuno escludere uno di essi (000): .
utilizzando questi metodi è possibile creare una combinazione di lettere del numero di targa.
Secondo la regola della moltiplicazione delle combinazioni, il totale può essere fatto:
targhe
(ogni la combinazione digitale è combinata con ciascuno combinazione di lettere).
Risposta : 1726272

SOMMARIO DELLA LEZIONE
NELLA MATEMATICA
3a elementare

Plohotnyuk Victoria Nikolaevna,

insegnante classi primarie

MBOU "Scuola secondaria n. 6" Usinsk

Repubblica dei Komi

ARGOMENTO: Divisione ripetuta (tecnica per calcolare il quoziente)

COMPITI:

continuare il lavoro sulle tecniche di divisione basate sull'operare con oggetti specifici;

consolidare i nomi dei numeri durante la divisione e la moltiplicazione;

sviluppare capacità di conteggio mentale;

continuare a lavorare sulle capacità di interazione

PROGRESSO DELLA LEZIONE:

La lezione inizia.

Sarà utile per i ragazzi.

Cercherò di capire tutto

Deciderò correttamente.

IO. E ora non abbiamo solo una lezione, ma una lezione cosmica. Faremo un viaggio verso le stelle. Durante il volo ripeteremo la divisione, ricorderemo come vengono chiamati i numeri durante la moltiplicazione, l'addizione e la sottrazione.

E affinché il volo abbia successo, devi ascoltare attentamente, pensare e contare correttamente.

Ma prima devi ottenere il permesso di decollare.

Quindi: diamo solo la risposta.

Differenza tra i numeri 60 e 8 (52)

1 termine 32, 2 termini 8 – somma (40)

96 diminuzione di 90 (6)

Somma dei numeri 16 e 12 (28)

37 aumento di 1 (38)

Il numero 27 contiene 3 des e 7 unità? (2d7f)

Il numero 38 nella serie numerica è compreso tra i numeri 37 e 40? (37.39)

7 dic. Sono 70? SÌ

5 dic. Sono le 15? NO.

Come si chiamano i numeri +/at –?

Abbiamo fatto un buon lavoro, ma ditemi, quali azioni abbiamo ripetuto?

(+ e -)

Prendete posto e verificate la vostra disponibilità per il volo.Leggiamo.

Stiamo volando su altri pianeti

Vi informiamo a riguardo.

II. Mentre il nostro razzo guadagna velocità, apri i diari di bordo e annota la data del volo.

Noi ci siamo già e siamo volati a 1 stella “Sbrigati”. Qui ci aspettano compiti allettanti:

5 ,10,11,15,20

40,30, 19 ,20,80 quale numero è quello dispari?

22,23, 42 ,25,26

40,42,44,46…

35,40,45,50... quale numero viene dopo?

10,20,30,40…

E questo lavoro deve essere svolto in modo rapido e accurato. Il compito è: risolvere e verificare.

38+27 52-29 63-44 51+29 91-55

Come possiamo controllare +, -?

I ragazzi ce l'hanno messa tutta, mi è piaciuto, non ci fermiamo qui, continuiamo il volo.Fizminutka

Ci siamo alzati insieme una volta, 2,3

Adesso siamo eroi

Ci metteremo i palmi delle mani sugli occhi.

Allargiamo le nostre gambe forti.

Girato a destra

Guardiamoci attorno maestosamente,

E anche tu devi andare a sinistra.

Guarda da sotto i palmi delle mani.

E a destra e ancora

Sopra la spalla destra.

III. Non ci siamo nemmeno accorti di come siamo volati sulla stella "Divide-ka". Ricordiamo quali numeri vengono chiamati durante la divisione?

Come si chiama il numero che stiamo dividendo? (dividendo)

Come si chiama il numero per cui stiamo dividendo? (divisore)

Come si chiama il risultato della divisione? (privato)

Scriviamo nel diario di bordo: Dividendo 10, divisore 2. Cosa devi trovare? (privato)

E cercheremo il quoziente usando un disegno.

Chi disegnerà?

O O O O O O O O O O

(razzo →)

Quanti cerchi stiamo raggruppando (2 ciascuno)

sc. 2 volte contenute in 10? (5 volte)

Allora, a quanto equivale il quoziente? (5)

Adesso guardiamoci intorno, guardiamo a sinistra, a destra, in alto. Cosa c'è che non va nel nostro razzo?

Secondo me ha perso il controllo e ha urgentemente bisogno di fare calcoli. Chi ci aiuterà? (posiziona le carte sul tabellone)

12:3 8:2 6:3

Ed ecco l'espressione stessa:

12:2

Ripetiamo.

Come si chiamano i numeri quando vengono divisi?

Cosa risulta dalla divisione?

(Esercizio da seduti)

Ci siamo allungati, abbiamo alzato le spalle destra e sinistra.

IV. Abbiamo volato sulla stella "Zapasayka". Dobbiamo controllare le nostre scorte:

Per il volo abbiamo preso 5 bottiglie di limonata da 1 litro ciascuna. Quanti litri di limonata hai bevuto? (10 l)

Abbiamo preso anche 3 scatole di biscotti da 2 kg l'una. Quanti chilogrammi di biscotti hai preso?

Pensavamo di portare sul volo 20 cinghiali grandi e 10 piccoli. Quando hanno scoperto di cosa si trattava, hanno buttato via tutto. Quanti maiali sono stati buttati via?

Dividiamoci in equipaggi. Guarda di che colore è la stella sulla tua scrivania?

Arancia

Prendete posto. Prima del lavoro, indovina di cosa si tratta?

Il nonno siede con indosso 100 pellicce

Chi lo spoglia piange

Sì, è una cipolla. Sai cosa sono le cipolle? Antica Rus'è stato considerato il miglior rimedio dalla malattia? E dentro Antica Grecia- una pianta sacra. E in Germania, gli eroi erano decorati con fiori di cipolla. Lo portiamo su un volo?

Cos'è questo?Il bambino è cresciuto senza pannolini,

È diventato vecchio

100 pannolini sopra.

Ovviamente è cavolo. Viene utilizzato fin dall'antichità come rimedio contro l'insonnia e il mal di testa. Il suo succo veniva utilizzato per lubrificare le ferite.

Portiamo con noi anche il cavolo?

Ora passiamo agli affari.

Il tempo è passato.

Sono stati piantati 15 bulbi 3 di fila. Quante righe hai ottenuto?

Sono state piantate 15 teste di cavolo equamente su 3 file. Quante teste di cavolo ci sono in ogni fila?

2) Dare una soluzione.

Cosa hai notato?

(esiste una soluzione, ma ne stiamo cercando diverse)

Abbiamo deciso, abbiamo deciso

Siamo molto stanchi,

Stiamo per annegare

Battiamo le mani

Una volta, sediamoci

Alziamoci velocemente

Sorridiamo

Sediamoci in silenzio.

Cos'è questo? Oggetti non identificati si stanno avvicinando a noi; per evitare una collisione, dobbiamo urgentemente scoprire i loro parametri.

∆  O

Quali oggetti hai visto?

Con quali criteri raggrupperemo?

per colore

per dimensione

secondo la forma

Nominali.

Cos'altro è questo? Alcune facce strane.

Da quale geom. sono costituiti da cifre?

Quale è extra?

Molto bene.

Abbiamo evitato la collisione e il nostro viaggio sta giungendo al termine. E per tornare sano e salvo, devi risolvere il cruciverba.

1) Cosa ottieni quando aggiungi? (somma)

2) Come si chiama il numero risultante dalla divisione? (privato)

3) È dritto e affilato? (angolo)

4) Il numero che viene diviso? (dividendo)

5) Il numero per cui dividere? (divisore)

Valutazione molto negativa? (unità)

7) Come possiamo controllare “+” (sottrazione)

Il nostro volo è giunto al termine. Seguiamo il puntatore. Che parola hai ricevuto? Ben fatto.

Sì, certo che siamo fantastici.

Cosa hanno ripetuto oggi?

Cosa ti è piaciuto?

Cosa hai trovato difficile?

Che voto dovremmo darci?

E per continuare con successo a lavorare sulla divisione nella prossima lezione e scrivere bene lavoro indipendente Devo mettere al sicuro il materiale a casa.

Scriviamo il compito:

tabella p.54 N. 3.

La lezione è finita.

In questa lezione rivedrai tutto ciò che sai sulle operazioni aritmetiche. Conosci già quattro operazioni aritmetiche: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione. Anche in questa lezione vedremo tutte le regole ad esse associate e come verificare i calcoli. Imparerai le proprietà dell'addizione e della moltiplicazione e considererai casi speciali di varie operazioni aritmetiche.

L'aggiunta è indicata dal segno "+". Un'espressione in cui i numeri sono collegati da un segno "+" è chiamata somma. Ogni numero ha un nome: il primo termine, il secondo termine. Se eseguiamo l'azione di addizione, otteniamo il valore della somma.

Ad esempio, nell'espressione:

Questo è il primo termine, questo è il secondo termine.

Ciò significa che il valore della somma è .

Ricordiamo casi speciali di addizione con il numero 0:

Se uno dei due termini è uguale a zero, allora la somma è uguale all'altro termine.

Trova il valore della somma:

Soluzione

Se uno dei due termini è uguale a zero, allora la somma è uguale all'altro termine, quindi otteniamo:

1.

2.

Risposta: 1.237; 2.541.

Ripetiamo due proprietà dell'addizione.

Proprietà commutativa dell'addizione: La riorganizzazione dei termini non cambia la somma.

Per esempio:

Proprietà combinatoria dell'addizione: due termini adiacenti possono essere sostituiti dalla loro somma.

Per esempio:

Utilizzando queste due proprietà, i termini possono essere riorganizzati e raggruppati in qualsiasi modo.

Calcola in modo conveniente:

Soluzione

Consideriamo i termini di questa espressione. Determiniamo se ce ne sono che, sommati insieme, daranno come risultato un numero tondo.

Usiamo la proprietà commutativa dell'addizione: riorganizziamo il secondo e il terzo termine.

Usiamo il raggruppamento del primo e del secondo termine, del terzo e del quarto termine.

Risposta: 130.

La sottrazione è indicata da un segno “-”. I numeri collegati da un segno meno formano una differenza.

Ogni numero ha un nome. Il numero da cui viene sottratto si chiama minuendo. Il numero che viene sottratto si chiama sottraendo.

Se eseguiamo l'azione di sottrazione, otteniamo il valore della differenza.

Se uno dei due fattori uguale a uno, allora il valore del prodotto è uguale a un altro fattore.

Se uno dei fattori è zero, il valore del prodotto è zero.

Se sottrai zero da un numero, ottieni il numero da cui hai sottratto.

Se minuendo e sottraendo sono uguali la differenza è zero.

Calcola in modo conveniente:

Soluzione

Nella prima espressione, dal numero viene sottratto lo zero. Di conseguenza, ottieni il numero da cui hai sottratto.

1.

Nella seconda espressione, il minuendo e il sottraendo sono rispettivamente uguali, la differenza è zero.

2.

Risposta: 1. 1864; 2.0.

È noto che addizione e sottrazione sono operazioni reciprocamente inverse.

Controlla i calcoli:

1.

2.

Soluzione

Controlliamo se l'addizione è stata eseguita correttamente. È noto che se si sottrae il valore di uno dei termini dal valore della somma si ottiene un altro termine. Sottrai il primo termine dalla somma:

Confrontiamo il risultato ottenuto con il secondo termine. I numeri sono gli stessi. Ciò significa che i calcoli sono stati eseguiti correttamente.

Era anche possibile sottrarre il secondo termine dal valore della somma.

Confrontiamo il risultato ottenuto con il primo termine. I numeri sono uguali, il che significa che i calcoli sono stati eseguiti correttamente.

Controlliamo se la sottrazione è stata eseguita correttamente. È noto che se al valore della differenza aggiungi il sottraendo, ottieni il minuendo. Aggiungiamo il sottraendo al valore della differenza:

Il risultato ottenuto e il minuendo coincidono, cioè la sottrazione è stata eseguita correttamente.

C'è un altro modo per verificare. Se sottrai il valore della differenza dal minuendo, ottieni il sottraendo. Controlliamo la sottrazione nel secondo modo.

Il risultato ottenuto coincide con quello sottratto, il che significa che il valore della differenza è stato trovato correttamente.

Risposta: 1. vero; 2. vero.

Per indicare l'azione della moltiplicazione si utilizzano due simboli: “”, “”. I numeri uniti da un segno di moltiplicazione formano un prodotto.

Ogni numero ha un nome: il primo fattore, il secondo fattore.

Per esempio:

In questo caso, questo è il primo moltiplicatore e questo è il secondo moltiplicatore.

È anche noto che la moltiplicazione sostituisce la somma di termini identici.

Il primo fattore mostra quale termine viene ripetuto. Il secondo fattore mostra quante volte questo termine viene ripetuto.

Se eseguiamo l'azione di moltiplicazione, otteniamo il valore del prodotto.

Trova il significato delle espressioni:

Soluzione

Diamo un'occhiata al primo pezzo. Il primo fattore è uguale a uno, il che significa che il prodotto è uguale all'altro fattore.

Diamo un'occhiata al secondo pezzo. Il secondo fattore è zero, il che significa che il valore del prodotto è zero.

Risposta: 1.365; 2.0.

Proprietà commutativa della moltiplicazione.

La riorganizzazione dei fattori non cambia il prodotto.

Proprietà combinatoria della moltiplicazione.

Due fattori adiacenti possono essere sostituiti dal loro prodotto.

Utilizzando queste due proprietà, i fattori possono essere riorganizzati e raggruppati in numerosi modi.

Proprietà distributiva della moltiplicazione.

Quando moltiplichi una somma per un numero, puoi moltiplicare ciascun termine separatamente per esso e sommare i risultati risultanti.

Calcola in modo conveniente:

Soluzione

Diamo uno sguardo più da vicino ai moltiplicatori. Determiniamo se ce ne sono che, moltiplicati, producono un numero tondo.

Usiamo una permutazione di fattori e poi raggruppiamoli.

Risposta: 2100.

Per indicare l'azione di divisione vengono utilizzati i seguenti simboli:

I numeri uniti da un segno di divisione formano un quoziente. Il primo numero nel record, quello che viene diviso, è chiamato dividendo. Il secondo numero nella notazione, quello per cui viene diviso, è chiamato divisore.

Se eseguiamo l'operazione di divisione, otteniamo il valore del quoziente.

Moltiplicazione e divisione sono operazioni reciproche.

Controlla i calcoli:

2.

Soluzione

È noto che se si divide il valore del prodotto per uno dei fattori si ottiene il secondo fattore.

Per verificare la correttezza della moltiplicazione, dividere il prodotto per il primo fattore.

Il risultato ottenuto coincide con il secondo fattore, il che significa che la moltiplicazione è stata eseguita correttamente.

Puoi anche dividere il valore del prodotto per il secondo fattore.

Il valore del quoziente risultante coincide con il valore del primo fattore. Ciò significa che la moltiplicazione è stata eseguita correttamente.

Controlliamo la correttezza della divisione mediante moltiplicazione. Se moltiplichi il valore di un quoziente per un divisore, ottieni il dividendo.

Moltiplichiamo il valore del quoziente per il divisore.

Confrontiamo il risultato con il divisore. I numeri corrispondono, il che significa che la divisione è stata eseguita correttamente.

Il risultato della divisione può essere controllato in un altro modo.

Se dividi il dividendo per il quoziente, ottieni un divisore.

Il risultato è lo stesso del divisore. Ciò significa che la divisione è stata eseguita correttamente.

Risposta: 1. vero; 2. vero.

Se lo zero viene diviso per qualsiasi altro numero, il risultato è zero.

Non puoi dividere per zero.

Se dividi un numero per 1, ottieni il numero che è stato diviso.

Se il dividendo e il divisore sono uguali il quoziente è uguale a uno.

In questa lezione abbiamo ricordato quanto segue operazioni aritmetiche: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione. Abbiamo anche ribadito le varie proprietà di queste azioni e i casi particolari ad esse associati.

Riferimenti

1. Volkova. S.I. Matematica. Lavoro di prova 4a elementare al libro di testo Moro M.I., Volkova S.I. 2011. - M.: Educazione, 2011.
2. Moro M.I. Matematica. 4a elementare. In 2 parti. Parte 1. - M.: Educazione, 2011.
3. Moro M.I. Matematica. 4a elementare. In 2 parti. Parte 2. - M.: Educazione, 2011.
4. Rudnitskaya V.N. Prove di matematica. 4a elementare. Al libro di testo Moro M.I. 2011. - M.: Esame, 2011.

1. Mat-zadachi.ru ().
2. Videouroki.net ().
3. Festival.1settembre.ru ().

Compiti a casa

1. Libro di testo: Volkova. S.I. Matematica. Test di lavoro di 4a elementare per il libro di testo Moro M.I., Volkova S.I. 2011. - M.: Educazione, 2011.
2. Lavoro di prova n. 1 Opzione 1 p.
3. Libro di testo: Rudnitskaya V.N. Test di matematica. 4a elementare. Al libro di testo Moro M.I. 2011. - M.: Esame, 2011.
4. Ex. 11 pagina 9.

Compilato dall'insegnante del dipartimento di matematica superiore Ishchanov T.R.

Lezione n. 1. Elementi di combinatoria

Teoria.
Regola di moltiplicazione: se da un certo insieme finito il primo oggetto (elemento) può essere selezionato in modi, e il secondo oggetto (elemento) - in modi, allora entrambi gli oggetti ( e ) nell'ordine specificato possono essere selezionati in modi.
Regola di addizione: se alcuni oggetti possono essere selezionati in modi e un oggetto può essere selezionato in modi e il primo e il secondo metodo non si intersecano, allora qualsiasi oggetto ( o ) può essere selezionato in modi.

Materiale pratico.
1.(6.1.44. L) Quanti numeri diversi di tre cifre possono essere composti dai numeri 0, 1, 2, 3, 4 se:
a) i numeri non possono essere ripetuti;
b) i numeri possono essere ripetuti;
c) i numeri devono essere pari (i numeri possono essere ripetuti);
d) il numero deve essere divisibile per 5 (i numeri non possono essere ripetuti)
(Risposta: a) 48 b) 100 c) 60 d) 12)

2. (6.1.2.) Quanti numeri contenenti almeno tre cifre diverse si possono ricavare dai numeri 3, 4, 5, 6, 7? (Risposta: 300.)

3. (6.1.39) Quanti numeri di quattro cifre possono essere composti in modo che due cifre adiacenti siano diverse? (Risposta: 6561)

Teoria. Sia dato un insieme composto da n elementi diversi.
Una disposizione di n elementi per k elementi (0?k?n) è qualsiasi sottoinsieme ordinato di un dato insieme contenente k elementi. Due disposizioni sono diverse se differiscono tra loro o nella composizione degli elementi o nell'ordine in cui compaiono.
Il numero di posizionamenti di n elementi per k è indicato da un simbolo e si calcola con la formula:

dove n!=1·2·3·…·n e 1!=1.0!=1.

Materiale pratico.
4. (6.1.9 L.) Componi diverse disposizioni di due elementi ciascuno dagli elementi dell'insieme A=(3,4,5) e conta il loro numero. (Risposta: 6)

5. (6.1.3 L) In quanti modi si possono distribuire tre premi tra 16 concorrenti? (Risposta: 3360)

6. (6.1.11. L) Quanti numeri di cinque cifre ci sono, le cui cifre sono tutte diverse? Nota: tieni presente che numeri come 02345, 09782, ecc. Non li contiamo come cinque cifre. (Risposta: 27.216)

7. (6.1.12.L.) In quanti modi si può comporre una bandiera a strisce tricolori (tre strisce orizzontali) se c'è materia 5 vari colori? (Risposta: 60.)

Teoria. Una combinazione di n elementi di k elementi ciascuno (0?k?n) è qualsiasi sottoinsieme di un dato insieme che contiene k elementi.
Due combinazioni qualsiasi differiscono l'una dall'altra solo nella composizione degli elementi. Il numero di combinazioni di n elementi per k è indicato da un simbolo e si calcola con la formula:

Materiale pratico.
8.(6.1.20.) Componi varie combinazioni di due elementi dagli elementi dell'insieme A=(3,4,5) e conta il loro numero. (Risposta: 3.)

9. (25.01.) Un gruppo di turisti composto da 12 ragazzi e 7 ragazze sceglie a sorte 5 persone per preparare la cena. Quanti modi ci sono per entrare in questo “cinque”:
a) solo ragazze; b) 3 ragazzi e 2 ragazze;
c) 1 ragazzo e 4 ragazze; d) 5 giovani; e) turisti dello stesso sesso.
(Risposta: a) 21; b) 4620; c) 420; d) 792; e) 813.)

Teoria. Una permutazione di n elementi è una disposizione di n elementi per n elementi. Pertanto, indicare l'una o l'altra permutazione di un dato insieme di n elementi significa scegliere un certo ordine di questi elementi. Pertanto, due permutazioni qualsiasi differiscono l'una dall'altra solo nell'ordine degli elementi.
Il numero di permutazioni di n elementi è indicato da un simbolo e si calcola con la formula:

Materiale pratico.

10.(6.1.14.L) Crea varie permutazioni dagli elementi dell'insieme A=(5;8;9). (Risposta: 6)

11.(6.1.15.L) In quanti modi si può disporre su uno scaffale un libro di dieci volumi delle opere di D. London, disponendoli:
a) in qualsiasi ordine;
b) in modo che i volumi 1, 5, 9 siano affiancati (in qualsiasi ordine);
c) in modo che i volumi 1, 2, 3 siano affiancati (in qualsiasi ordine).
(Risposta: a) 10! b) 8!?3! V) )

12. (1.6.16.L.) Ci sono 7 sedie nella stanza. In quanti modi possono essere ospitati 7 ospiti? 3 ospiti? (Risposta: 5040; 210)

Schema di selezione con restituzione.
Teoria. Se viene restituita una selezione ordinata di k elementi da n elementi, le selezioni risultanti rappresentano allocazioni con ripetizioni. Il numero di tutti i posizionamenti con ripetizioni di n elementi per k è indicato dal simbolo e calcolato dalla formula:

Se, quando si selezionano k elementi da n, gli elementi vengono restituiti senza un successivo ordinamento (quindi, gli stessi elementi possono essere rimossi più volte, cioè ripetuti), i campioni risultanti sono combinazioni con ripetizioni. Il numero di tutte le combinazioni con ripetizioni di n elementi in k è indicato da un simbolo e calcolato dalla formula:

Materiale pratico.

13.(6.1.29.) Dagli elementi (numeri) 2, 4, 5, costituire tutti gli arrangiamenti e le combinazioni con ripetizioni di due elementi. (Risposta: 9; 6)

14. (6.1.31.L.) Cinque persone sono entrate nell'ascensore al primo piano di un edificio di nove piani. In quanti modi i passeggeri possono uscire dall'ascensore ai piani desiderati? (Risposta: )

15. (6.1.59.L.) Ci sono 7 tipi di torte in pasticceria. In quanti modi puoi acquistare da esso: a) 3 torte dello stesso tipo; b) 5 torte? (Risposta: a) 7; b) 462)

Teoria. Sia k in un insieme di n elementi vari tipi elementi, mentre il primo tipo di elementi viene ripetuto una volta, il 2o - una volta, . . . , k-esima volta e . Quindi le permutazioni di elementi di un dato insieme sono permutazioni con ripetizioni.
Il numero di permutazioni con ripetizioni (a volte parla del numero di partizioni di un insieme) di n elementi è indicato con un simbolo e calcolato con la formula:

Materiale pratico.
16.(6.1.32.) Quante “parole” diverse (una “parola” significa qualsiasi combinazione di lettere) possono essere composte riorganizzando le lettere nella parola AGA? MISSISSIPPI?
Soluzione.
In generale, da tre lettere puoi creare varie "parole" di tre lettere. Nella parola AGA, la lettera A viene ripetuta e la riorganizzazione di lettere identiche non cambia la “parola”. Pertanto, il numero di permutazioni con ripetizioni è inferiore al numero di permutazioni senza ripetizioni di un numero di volte pari a quello delle lettere ripetute che possono essere riorganizzate. In questa parola si ripetono due lettere (1a e 3a); quindi, si possono fare tante diverse permutazioni di “parole” di tre lettere dalle lettere della parola AGA: . La risposta però si può ottenere più semplicemente: . Utilizzando la stessa formula, troveremo il numero di “parole” di undici lettere riorganizzando le lettere nella parola MISSISSIPPI. Ecco (4 lettere S), (4 lettere I), , quindi

17.(6.1.38.L.) Quante diverse permutazioni di lettere ci sono nella parola TRACTATE? E nella “parola” AAUUUUUUU? (Risposta: 420;210)