Regole del logaritmo. Definizione di logaritmo, identità logaritmica di base

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Consegue dalla sua definizione. E quindi il logaritmo del numero B basato su UNè definito come l'esponente a cui deve essere elevato un numero UN per ottenere il numero B(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

Da questa formulazione consegue che il calcolo x=log a b, equivale a risolvere l'equazione ax=b. Per esempio, log28 = 3 Perché 8 = 2 3 . La formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=un c, quindi il logaritmo del numero B basato su UNè uguale Con. È anche chiaro che il tema dei logaritmi è strettamente correlato al tema delle potenze di un numero.

Con i logaritmi, come con qualsiasi numero, puoi farlo operazioni di addizione, sottrazione e trasformarlo in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui si applicano le loro regole speciali, che vengono chiamate principali proprietà.

Somma e sottrazione di logaritmi.

Prendiamo due logaritmi con per gli stessi motivi: registra un x E registra un anno. Successivamente è possibile eseguire operazioni di addizione e sottrazione:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registrare un(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = registra un x 1 + registra un x 2 + registra un x 3 + ... + log a x k.

Da Teorema del quoziente logaritmico si può ottenere un'altra proprietà del logaritmo. È risaputo che log UN 1= 0, quindi

tronco d'albero UN 1 /B= registro UN 1 - registro un b= -log un b.

Ciò significa che esiste un'uguaglianza:

logaritmo a 1 / b = - logaritmo a b.

Logaritmi di due numeri reciproci per lo stesso motivo differiranno tra loro unicamente per il segno. COSÌ:

Ceppo 3 9= - ceppo 3 1 / 9 ; log5 1/125 = -log5 125.

Logaritmo numero positivo b in base a (a>0, a non è uguale a 1) è un numero c tale che a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Nota che il logaritmo di un numero non positivo non è definito. Inoltre, la base del logaritmo deve essere un numero positivo che non sia uguale a 1. Ad esempio, se eleviamo al quadrato -2, otteniamo il numero 4, ma questo non significa che il logaritmo in base -2 di 4 è uguale a 2.

Identità logaritmica di base

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

È importante che l'ambito di definizione dei lati destro e sinistro di questa formula sia diverso. Il lato sinistro è definito solo per b>0, a>0 e a ≠ 1. Il lato destro è definito per qualsiasi b e non dipende affatto da a. Pertanto, l’applicazione dell’“identità” logaritmica di base quando si risolvono equazioni e disequazioni può portare a un cambiamento nella OD.

Due ovvie conseguenze della definizione di logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Infatti, quando eleviamo il numero a alla prima potenza, otteniamo lo stesso numero e quando lo eleviamo alla prima potenza grado zero- uno.

Logaritmo del prodotto e logaritmo del quoziente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Vorrei mettere in guardia gli scolari dall'uso sconsiderato di queste formule quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche. Quando li si utilizza "da sinistra a destra", l'ODZ si restringe e quando si passa dalla somma o differenza dei logaritmi al logaritmo del prodotto o del quoziente, l'ODZ si espande.

Infatti, l'espressione log a (f (x) g (x)) è definita in due casi: quando entrambe le funzioni sono strettamente positive o quando f (x) e g (x) sono entrambe minori di zero.

Trasformando questa espressione nella somma log a f (x) + log a g (x), siamo costretti a limitarci solo al caso in cui f(x)>0 e g(x)>0. Si verifica un restringimento del range dei valori accettabili, e questo è categoricamente inaccettabile, poiché può portare ad una perdita di soluzioni. Un problema simile esiste per la formula (6).

Il grado può essere estratto dal segno del logaritmo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

E ancora una volta vorrei invitare alla cautela. Considera il seguente esempio:

Logaritmo a (f (x) 2 = 2 logaritmo a f (x)

Il lato sinistro dell'uguaglianza è ovviamente definito per tutti i valori di f(x) tranne zero. Il lato destro è solo per f(x)>0! Togliendo il grado dal logaritmo, restringiamo nuovamente l'ODZ. La procedura inversa porta ad un ampliamento dell'intervallo di valori accettabili. Tutte queste osservazioni si applicano non solo alla potenza 2, ma anche a qualsiasi potenza pari.

Formula per trasferirsi in una nuova fondazione

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Quel raro caso in cui l'ODZ non cambia durante la trasformazione. Se hai scelto saggiamente la base c (positiva e diversa da 1), la formula per passare a una nuova base è completamente sicura.

Se scegliamo il numero b come nuova base c, otteniamo un importante caso speciale della formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Alcuni semplici esempi con i logaritmi

Esempio 1. Calcola: log2 + log50.
Soluzione. log2 + log50 = log100 = 2. Abbiamo utilizzato la formula della somma dei logaritmi (5) e la definizione del logaritmo decimale.

Esempio 2. Calcolare: lg125/lg5.
Soluzione. log125/log5 = log 5 125 = 3. Abbiamo usato la formula per spostarci in una nuova base (8).

Tabella delle formule relative ai logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Oggi parleremo di formule logaritmiche e daremo indicativo esempi di soluzioni.

Essi stessi implicano schemi di soluzione secondo le proprietà di base dei logaritmi. Prima di applicare le formule logaritmiche per risolvere, ricordiamoci di tutte le proprietà:

Ora, sulla base di queste formule (proprietà), mostreremo esempi di risoluzione dei logaritmi.

Esempi di risoluzione di logaritmi basati su formule.

Logaritmo un numero positivo b in base a (indicato con log a b) è un esponente al quale a deve essere elevato per ottenere b, con b > 0, a > 0 e 1.

Secondo la definizione, log a b = x, che equivale a a x = b, quindi log a a x = x.

Logaritmi, esempi:

log 2 8 = 3, perché 23 = 8

log 7 49 = 2, perché 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, perché 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimale- questo è un logaritmo ordinario, la cui base è 10. È indicato come lg.

log 10 100 = 2, perché 10 2 = 100

Logaritmo naturale- anche il solito logaritmo logaritmico, ma in base e (e = 2,71828... - numero irrazionale). Indicato come ln.

È consigliabile memorizzare le formule o le proprietà dei logaritmi, perché ne avremo bisogno in seguito per risolvere logaritmi, equazioni logaritmiche e disequazioni. Esaminiamo nuovamente ciascuna formula con esempi.

• Nozioni di base identità logaritmica
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmo del prodotto pari alla somma logaritmi
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietà della potenza di un numero logaritmico e base del logaritmo

  Esponente del numero logaritmico log a b m = mlog a b

  Esponente di base registro dei logaritmi a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  se m = n, otteniamo log a n b n = log a b

  logaritmo 4 9 = logaritmo 2 2 3 2 = logaritmo 2 3

• Transizione ad una nuova fondazione
  log a b = log c b/log c a,

  se c = b, otteniamo log b b = 1

  quindi log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Come puoi vedere, le formule per i logaritmi non sono così complicate come sembrano. Ora, dopo aver esaminato esempi di risoluzione dei logaritmi, possiamo passare alle equazioni logaritmiche. Considereremo esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche in modo più dettagliato nell'articolo: "". Da non perdere!

Se hai ancora domande sulla soluzione, scrivile nei commenti all'articolo.

Nota: abbiamo deciso di scegliere una classe diversa di istruzione e di studiare all'estero come opzione.

(dal greco λόγος - "parola", "relazione" e ἀριθμός - "numero") numeri B basato su UN(log α B) è chiamato tale numero C, E B= un c, cioè registra il log α B=C E b=aC sono equivalenti. Il logaritmo ha senso se a > 0, a ≠ 1, b > 0.

In altre parole logaritmo numeri B basato su UN formulato come esponente al quale deve essere elevato un numero UN per ottenere il numero B(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

Da questa formulazione segue che il calcolo x= log α B, equivale a risolvere l'equazione a x =b.

Per esempio:

log 2 8 = 3 perché 8 = 2 3 .

Sottolineiamo che la formulazione specificata del logaritmo consente di determinarlo immediatamente valore del logaritmo, quando il numero sotto il segno del logaritmo agisce come una certa potenza della base. In effetti, la formulazione del logaritmo permette di giustificare questo se b=un c, quindi il logaritmo del numero B basato su UNè uguale Con. È anche chiaro che l'argomento dei logaritmi è strettamente correlato all'argomento potenze di un numero.

Viene chiamato il calcolo del logaritmo logaritmo. Il logaritmo è operazione matematica prendendo il logaritmo. Quando si prendono i logaritmi, i prodotti dei fattori vengono trasformati in somme di termini.

Potenziamentoè l'operazione matematica inversa del logaritmo. Durante il potenziamento, una data base viene elevata al grado di espressione su cui viene eseguito il potenziamento. In questo caso, le somme dei termini si trasformano in un prodotto di fattori.

Molto spesso vengono utilizzati logaritmi reali con base 2 (binari), e Numero di Eulero e ≈ 2.718 ( logaritmo naturale) e 10 (decimale).

In questa fase è opportuno riflettere campioni logaritmici ceppo7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

E le voci lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 non hanno senso, poiché nella prima viene posto un numero negativo sotto il segno del logaritmo, nella seconda - numero negativo nella base e nel terzo: sia un numero negativo sotto il segno del logaritmo che un'unità nella base.

Condizioni per determinare il logaritmo.

Vale la pena considerare separatamente le condizioni a > 0, a ≠ 1, b > 0. sotto le quali otteniamo definizione di logaritmo. Consideriamo perché sono state adottate queste restrizioni. Un'uguaglianza della forma x = log α ci aiuterà in questo B, chiamata identità logaritmica di base, che segue direttamente dalla definizione di logaritmo data sopra.

Prendiamo la condizione a≠1. Poiché uno a qualsiasi potenza è uguale a uno, allora l'uguaglianza x=log α B può esistere solo quando b=1, ma log 1 1 sarà un numero reale qualsiasi. Per eliminare questa ambiguità, prendiamo a≠1.

Dimostriamo la necessità della condizione a>0. A a=0 secondo la formulazione del logaritmo può esistere solo quando b=0. E di conseguenza allora ceppo 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. Questa ambiguità può essere eliminata dalla condizione a≠0. E quando UN<0 dovremmo rifiutare l’analisi dei valori razionali e irrazionali del logaritmo, poiché un grado con esponente razionale e irrazionale è definito solo per basi non negative. È per questo motivo che viene posta la condizione a>0.

E l'ultima condizione b>0 segue dalla disuguaglianza a>0, poiché x=log α B e il valore del grado con base positiva UN sempre positivo.

Caratteristiche dei logaritmi.

Logaritmi caratterizzato da distintivo caratteristiche, che ha portato al loro uso diffuso per facilitare notevolmente calcoli scrupolosi. Quando ci si sposta “nel mondo dei logaritmi”, la moltiplicazione si trasforma in un'addizione molto più semplice, la divisione si trasforma in sottrazione e l'elevamento a potenza e l'estrazione della radice si trasformano, rispettivamente, in moltiplicazione e divisione per l'esponente.

Formulazione dei logaritmi e tabella dei loro valori (per funzioni trigonometriche) fu pubblicato per la prima volta nel 1614 dal matematico scozzese John Napier. Le tavole logaritmiche, ampliate e dettagliate da altri scienziati, furono ampiamente utilizzate nei calcoli scientifici e ingegneristici e rimasero rilevanti fino all'uso di calcolatrici elettroniche e computer.