Definizione di logaritmo, identità logaritmica di base. Cos'è un logaritmo? Risoluzione dei logaritmi

Il focus di questo articolo è logaritmo. Qui daremo una definizione di logaritmo, mostreremo la notazione accettata, forniremo esempi di logaritmi e parleremo di logaritmi naturali e decimali. Dopodiché, diamo un'occhiata al principale identità logaritmica.

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Definizione di logaritmo

Il concetto di logaritmo nasce quando si risolve un problema in un certo senso inverso, quando è necessario trovare un esponente in valore conosciuto grado e base conosciuta.

Ma basta prefazioni, è ora di rispondere alla domanda “cos’è un logaritmo”? Diamo la definizione corrispondente.

Definizione.

Logaritmo di b in base a, dove a>0, a≠1 e b>0 è l'esponente a cui devi elevare il numero a per ottenere come risultato b.

A questo punto, notiamo che la parola “logaritmo” dovrebbe immediatamente sollevare due domande successive: “quale numero” e “su quale base”. In altre parole, semplicemente non esiste il logaritmo, ma solo il logaritmo di un numero in qualche base.

Entriamo subito notazione logaritmica: il logaritmo di un numero b in base a è solitamente indicato come log a b. Il logaritmo di un numero b in base e e il logaritmo in base 10 hanno rispettivamente le loro designazioni speciali lnb e logb, cioè non scrivono log e b, ma lnb, e non log 10 b, ma lgb.

Ora possiamo dare: .
E i record non ha senso, poiché nel primo di essi sotto il segno del logaritmo c'è numero negativo, nel secondo c'è un numero negativo in base, e nel terzo c'è un numero negativo sotto il segno del logaritmo e un'unità in base.

Ora parliamo di regole per la lettura dei logaritmi. La notazione log a b viene letta come "il logaritmo di b in base a". Ad esempio, log 2 3 è il logaritmo di tre in base 2 ed è il logaritmo di due virgola due terzi in base 2 radice quadrata su cinque. Il logaritmo in base e si chiama logaritmo naturale, e la notazione lnb si legge "logaritmo naturale di b". Ad esempio, ln7 è il logaritmo naturale di sette e lo leggeremo come logaritmo naturale di pi greco. Anche il logaritmo in base 10 ha un nome speciale: logaritmo decimale e lgb viene letto come "logaritmo decimale di b". Ad esempio, lg1 è il logaritmo decimale di uno e lg2,75 è il logaritmo decimale di due virgola sette cinque centesimi.

Vale la pena soffermarsi separatamente sulle condizioni a>0, a≠1 eb>0, sotto le quali è data la definizione di logaritmo. Spieghiamo da dove provengono queste restrizioni. In questo ci aiuterà un'uguaglianza della forma chiamata , che segue direttamente dalla definizione di logaritmo data sopra.

Cominciamo con a≠1. Poiché uno a qualsiasi potenza è uguale a uno, l'uguaglianza può essere vera solo quando b=1, ma log 1 1 può essere qualsiasi numero reale. Per evitare questa ambiguità, si assume a≠1.

Giustifichiamo l'opportunità della condizione a>0. Con a=0, per definizione di logaritmo, avremmo l'uguaglianza, cosa possibile solo con b=0. Ma allora log 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. La condizione a≠0 ci permette di evitare questa ambiguità. E quando a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Infine, dalla disuguaglianza a>0 segue la condizione b>0, poiché , e il valore di una potenza con base a positiva è sempre positivo.

Per concludere questo punto diciamo che la definizione di logaritmo riportata permette di indicare immediatamente il valore del logaritmo quando il numero sotto il segno del logaritmo è una certa potenza della base. Infatti, la definizione di logaritmo ci permette di affermare che se b=a p, allora il logaritmo del numero b in base a è uguale a p. Cioè, il log di uguaglianza a a p = p è vero. Ad esempio, sappiamo che 2 3 =8, quindi log 2 8=3. Ne parleremo più approfonditamente nell'articolo.

Uno degli elementi dell'algebra di livello primitivo è il logaritmo. Il nome deriva da Lingua greca dalla parola “numero” o “potenza” e indica la potenza alla quale bisogna elevare il numero in base per trovare il numero finale.

Tipi di logaritmi

• log a b – logaritmo del numero b in base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logaritmo decimale (logaritmo in base 10, a = 10);
• ln b – logaritmo naturale (logaritmo in base e, a = e).

Come risolvere i logaritmi?

Il logaritmo di b in base a è un esponente che richiede che b sia elevato in base a. Il risultato ottenuto si pronuncia così: “logaritmo di b in base a”. La soluzione ai problemi logaritmici è che è necessario determinare la potenza data in numeri dai numeri specificati. Esistono alcune regole di base per determinare o risolvere il logaritmo, nonché per convertire la notazione stessa. Utilizzandoli, vengono risolte equazioni logaritmiche, trovate le derivate, risolti gli integrali e vengono eseguite molte altre operazioni. Fondamentalmente, la soluzione del logaritmo stesso è la sua notazione semplificata. Di seguito sono riportate le formule e le proprietà di base:

Per qualsiasi a; a > 0; a ≠ 1 e per qualsiasi x ; y > 0.

• a log a b = b – identità logaritmica di base
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• logaritmo a x p = p logaritmo a x
• log a k x = 1/k log a x , per k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula per spostarsi su una nuova base
• logaritmo a x = 1/logaritmo x a

Come risolvere i logaritmi: istruzioni passo passo per la risoluzione

• Per prima cosa, annota l'equazione richiesta.

Nota: se il logaritmo di base è 10, la voce viene abbreviata, risultando in un logaritmo decimale. Se ne vale la pena numero naturale e, poi lo scriviamo riducendolo al logaritmo naturale. Ciò significa che il risultato di tutti i logaritmi è la potenza alla quale viene elevato il numero base per ottenere il numero b.

Direttamente, la soluzione sta nel calcolare questo grado. Prima di risolvere un'espressione con un logaritmo, è necessario semplificarla secondo la regola, ovvero utilizzando le formule. Puoi trovare le identità principali tornando un po’ indietro nell’articolo.

Somma e sottrazione di logaritmi con due numeri diversi, ma con per gli stessi motivi, sostituire con un logaritmo con il prodotto o la divisione dei numeri b e c, rispettivamente. In questo caso, puoi applicare la formula per spostarti in un'altra base (vedi sopra).

Se utilizzi le espressioni per semplificare un logaritmo, ci sono alcune limitazioni da considerare. E cioè: la base del logaritmo è unica numero positivo, ma non uguale a uno. Il numero b, come a, deve essere maggiore di zero.

Ci sono casi in cui, semplificando un'espressione, non sarai in grado di calcolare numericamente il logaritmo. Succede che tale espressione non ha senso, perché molte potenze sono numeri irrazionali. In queste condizioni, lascia la potenza del numero come logaritmo.

Continuiamo a studiare i logaritmi. In questo articolo parleremo di calcolo dei logaritmi, questo processo viene chiamato logaritmo. Per prima cosa comprenderemo il calcolo dei logaritmi per definizione. Successivamente, diamo un'occhiata a come vengono trovati i valori dei logaritmi utilizzando le loro proprietà. Successivamente, ci concentreremo sul calcolo dei logaritmi attraverso i valori inizialmente specificati di altri logaritmi. Infine, impariamo come utilizzare le tabelle dei logaritmi. L'intera teoria è fornita con esempi con soluzioni dettagliate.

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Calcolo dei logaritmi per definizione

Nei casi più semplici è possibile eseguire l'operazione in modo abbastanza rapido e semplice trovare il logaritmo per definizione. Diamo uno sguardo più da vicino a come avviene questo processo.

La sua essenza è rappresentare il numero b nella forma a c, da cui, per definizione di logaritmo, il numero c è il valore del logaritmo. Cioè, per definizione, la seguente catena di uguaglianze corrisponde alla ricerca del logaritmo: log a b=log a a c =c.

Quindi, calcolare un logaritmo per definizione si riduce a trovare un numero c tale che a c = b, e il numero c stesso è il valore desiderato del logaritmo.

Tenendo conto delle informazioni dei paragrafi precedenti, quando il numero sotto il segno del logaritmo è dato da una certa potenza della base del logaritmo, puoi immediatamente indicare a cosa è uguale il logaritmo: è uguale all'esponente. Mostriamo le soluzioni agli esempi.

Esempio.

Trova log 2 2 −3 e calcola anche il logaritmo naturale del numero e 5,3.

Soluzione.

La definizione di logaritmo ci permette di dire subito che log 2 2 −3 =−3. Infatti, il numero sotto il segno del logaritmo è uguale a base 2 elevato a −3.

Allo stesso modo, troviamo il secondo logaritmo: lne 5.3 =5.3.

Risposta:

log 2 2 −3 =−3 e lne 5,3 =5,3.

Se il numero b sotto il segno del logaritmo non è specificato come potenza della base del logaritmo, allora devi guardare attentamente per vedere se è possibile trovare una rappresentazione del numero b nella forma a c . Spesso questa rappresentazione è abbastanza ovvia, soprattutto quando il numero sotto il segno del logaritmo è uguale alla base elevata a 1, o 2, o 3,...

Esempio.

Calcolare i logaritmi log 5 25 e .

Soluzione.

È facile vedere che 25=5 2, questo permette di calcolare il primo logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Passiamo al calcolo del secondo logaritmo. Il numero può essere rappresentato come una potenza di 7: (vedi se necessario). Quindi, .

Riscriviamo il terzo logaritmo nella forma seguente. Ora puoi vederlo , da cui concludiamo che . Pertanto, per la definizione di logaritmo .

In breve, la soluzione potrebbe essere scritta come segue: .

Risposta:

ceppo5 25=2 , E .

Quando sotto il segno del logaritmo c'è un numero naturale sufficientemente grande, non fa male espanderlo fattori primi. Spesso aiuta a rappresentare un numero come una potenza della base del logaritmo e quindi calcolare questo logaritmo per definizione.

Esempio.

Trova il valore del logaritmo.

Soluzione.

Alcune proprietà dei logaritmi consentono di specificare immediatamente il valore dei logaritmi. Queste proprietà includono la proprietà del logaritmo di un'unità e la proprietà del logaritmo di un numero, uguale alla base: log 1 1=log a a 0 =0 e log a a=log a a 1 =1 . Cioè, quando sotto il segno del logaritmo c'è un numero 1 o un numero a uguale alla base del logaritmo, allora in questi casi i logaritmi sono rispettivamente uguali a 0 e 1.

Esempio.

A cosa corrispondono i logaritmi e log10?

Soluzione.

Poiché , quindi dalla definizione di logaritmo segue .

Nel secondo esempio, il numero 10 sotto il segno del logaritmo coincide con la sua base, quindi il logaritmo decimale di dieci è uguale a uno, cioè lg10=lg10 1 =1.

Risposta:

E lg10=1 .

Si noti che il calcolo dei logaritmi per definizione (di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente) implica l'uso del log di uguaglianza a a p = p, che è una delle proprietà dei logaritmi.

In pratica, quando un numero sotto il segno del logaritmo e la base del logaritmo sono facilmente rappresentabili come potenza di un certo numero, è molto comodo utilizzare la formula , che corrisponde a una delle proprietà dei logaritmi. Consideriamo un esempio di ricerca del logaritmo, illustrando l'uso di questa formula.

Esempio.

Calcola il logaritmo.

Soluzione.

Risposta:

.

Nei calcoli vengono utilizzate anche le proprietà dei logaritmi non menzionate sopra, ma di questo ne parleremo nei paragrafi successivi.

Trovare i logaritmi attraverso altri logaritmi conosciuti

Le informazioni contenute in questo paragrafo continuano l'argomento sull'utilizzo delle proprietà dei logaritmi durante il loro calcolo. Ma qui la differenza principale è che le proprietà dei logaritmi vengono utilizzate per esprimere il logaritmo originale in termini di un altro logaritmo, il cui valore è noto. Facciamo un esempio per chiarimenti. Diciamo che sappiamo che log 2 3≈1.584963, quindi possiamo trovare, ad esempio, log 2 6 eseguendo una piccola trasformazione utilizzando le proprietà del logaritmo: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Nell'esempio sopra ci è bastato utilizzare la proprietà del logaritmo di un prodotto. Tuttavia, molto più spesso è necessario utilizzare un arsenale più ampio di proprietà dei logaritmi per calcolare il logaritmo originale attraverso quelli indicati.

Esempio.

Calcola il logaritmo di 27 in base 60 se sai che log 60 2=ae log 60 5=b.

Soluzione.

Quindi dobbiamo trovare log 60 27 . È facile vedere che 27 = 3 3 , e il logaritmo originale, per la proprietà del logaritmo della potenza, può essere riscritto come 3·log 60 3 .

Vediamo ora come esprimere log 60 3 in termini di logaritmi conosciuti. La proprietà del logaritmo di un numero uguale alla base ci permette di scrivere il log dell'uguaglianza 60 60=1. D'altra parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Così, 2 log 60 2+ log 60 3+ log 60 5=1. Quindi, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Infine calcoliamo il logaritmo originale: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Risposta:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separatamente vale la pena menzionare il significato della formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo della forma . Permette di passare dai logaritmi con base qualsiasi ai logaritmi con una base specifica, i cui valori sono noti o è possibile trovarli. Di solito, dal logaritmo originale, utilizzando la formula di transizione, si passa ai logaritmi in una delle basi 2, e o 10, poiché per queste basi esistono tabelle di logaritmi che permettono di calcolarne i valori con un certo grado di precisione. Nel prossimo paragrafo mostreremo come si fa.

Tabelle dei logaritmi e loro utilizzo

Per il calcolo approssimativo dei valori del logaritmo è possibile utilizzare tabelle dei logaritmi. La tabella dei logaritmi in base 2 più comunemente utilizzata è la tabella logaritmi naturali e una tabella di logaritmi decimali. Quando si lavora in sistema decimale Per il calcolo è conveniente utilizzare una tabella di logaritmi in base dieci. Con il suo aiuto impareremo a trovare i valori dei logaritmi.

La tabella presentata consente di trovare i valori dei logaritmi decimali dei numeri da 1.000 a 9.999 (con tre cifre decimali) con una precisione di un decimillesimo. Analizzeremo il principio per trovare il valore di un logaritmo utilizzando una tabella di logaritmi decimali esempio specifico- è più chiaro così. Troviamo log1.256.

Nella colonna di sinistra della tabella dei logaritmi decimali troviamo le prime due cifre del numero 1.256, cioè troviamo 1.2 (questo numero è cerchiato in blu per chiarezza). La terza cifra del numero 1.256 (cifra 5) si trova nella prima o nell'ultima riga a sinistra della doppia riga (questo numero è cerchiato in rosso). La quarta cifra del numero originale 1.256 (cifra 6) si trova nella prima o nell'ultima riga a destra della doppia linea (questo numero è cerchiato con una linea verde). Ora troviamo i numeri nelle celle della tabella dei logaritmi all'intersezione della riga contrassegnata e delle colonne contrassegnate (questi numeri sono evidenziati in arancione). La somma dei numeri contrassegnati dà il valore desiderato del logaritmo decimale accurato alla quarta cifra decimale, cioè log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

È possibile, utilizzando la tabella sopra, trovare i valori dei logaritmi decimali dei numeri che hanno più di tre cifre dopo la virgola, nonché di quelli che vanno oltre l'intervallo compreso tra 1 e 9,999? Sì, puoi. Mostriamo come si fa con un esempio.

Calcoliamo lg102.76332. Per prima cosa devi scrivere numero in forma standard: 102.76332=1.0276332·10 2. Dopodiché la mantissa dovrebbe essere arrotondata alla terza cifra decimale 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mentre il logaritmo decimale originale è approssimativamente uguale al logaritmo il numero risultante, ovvero prendiamo log102.76332≈lg1.028·10 2. Ora applichiamo le proprietà del logaritmo: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Infine, troviamo il valore del logaritmo lg1.028 dalla tabella dei logaritmi decimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Di conseguenza, l’intero processo di calcolo del logaritmo si presenta così: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

In conclusione, vale la pena notare che utilizzando una tabella di logaritmi decimali è possibile calcolare il valore approssimativo di qualsiasi logaritmo. Per fare ciò è sufficiente utilizzare la formula di transizione per passare ai logaritmi decimali, trovare i loro valori nella tabella ed eseguire i restanti calcoli.

Ad esempio, calcoliamo log 2 3 . Secondo la formula per la transizione a una nuova base del logaritmo, abbiamo . Dalla tabella dei logaritmi decimali troviamo log3≈0,4771 e log2≈0,3010. Così, .

Riferimenti.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo per i gradi 10 - 11 degli istituti di istruzione generale.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per chi entra nelle scuole tecniche).