Formule di moltiplicazione abbreviate per il cubo. Calcolatrice online. Semplificazione di un polinomio

Uno dei primi argomenti studiati in un corso di algebra sono le formule di moltiplicazione abbreviate. Nel grado 7, vengono utilizzati nelle situazioni più semplici, in cui è necessario riconoscere una delle formule in un'espressione e fattorizzare un polinomio o, al contrario, elevare rapidamente al quadrato o al cubo una somma o una differenza. In futuro, la FSU verrà utilizzata per risolvere rapidamente disuguaglianze ed equazioni e persino per calcolarne alcune espressioni numeriche senza calcolatrice.

Che aspetto ha un elenco di formule?

Esistono 7 formule base che ti consentono di moltiplicare rapidamente i polinomi tra parentesi.

A volte questo elenco include anche un'espansione per il quarto grado, che deriva dalle identità presentate e ha la forma:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Tutte le uguaglianze hanno una coppia (somma - differenza), tranne la differenza dei quadrati. La formula per la somma dei quadrati non è fornita.

Le restanti uguaglianze sono facili da ricordare:

Va ricordato che le FSU funzionano in ogni caso e per qualsiasi valore UN E B: possono essere numeri arbitrari o espressioni intere.

In una situazione in cui all'improvviso non riesci a ricordare quale segno si trova davanti a un particolare termine nella formula, puoi aprire le parentesi e ottenere lo stesso risultato che otterresti dopo aver utilizzato la formula. Ad esempio, se si è verificato un problema durante l'applicazione della differenza del cubo FSU, è necessario annotare l'espressione originale e eseguire la moltiplicazione uno per uno:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Di conseguenza, dopo aver inserito tutti i termini simili, è stato ottenuto lo stesso polinomio della tabella. Le stesse manipolazioni possono essere eseguite con tutte le altre FSU.

Applicazione della FSU per risolvere equazioni

Ad esempio, devi risolvere un'equazione contenente polinomio di grado 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Il curriculum scolastico non copre le tecniche universali per risolvere le equazioni cubiche e tali compiti vengono spesso risolti di più metodi semplici(ad esempio, mediante fattorizzazione). Se notiamo che il lato sinistro dell'identità assomiglia al cubo di una somma, allora l'equazione può essere scritta in una forma più semplice:

(x + 1)³ = 0.

La radice di tale equazione viene calcolata oralmente: x = -1.

Le disuguaglianze si risolvono in modo simile. Ad esempio, puoi risolvere la disuguaglianza x³ – 6x² + 9x > 0.

Prima di tutto, devi fattorizzare l'espressione. Per prima cosa devi parentesi X. Successivamente, nota che l'espressione tra parentesi può essere convertita nel quadrato della differenza.

Quindi è necessario trovare i punti in cui l'espressione assume valori zero e contrassegnarli sulla linea numerica. In un caso particolare, questi saranno 0 e 3. Quindi, utilizzando il metodo degli intervalli, determina in quali intervalli x corrisponderà alla condizione di disuguaglianza.

Le FSU possono essere utili durante l'esecuzione alcuni calcoli senza l'ausilio della calcolatrice:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Inoltre, fattorizzando le espressioni, puoi facilmente ridurre le frazioni e semplificare varie espressioni algebriche.

Esempi di problemi per i gradi 7-8

In conclusione, analizzeremo e risolveremo due compiti sull'uso delle formule di moltiplicazione abbreviate in algebra.

Attività 1. Semplifica l'espressione:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Soluzione. La condizione del compito richiede di semplificare l'espressione, ad es. aprire le parentesi, eseguire le operazioni di moltiplicazione ed esponenziazione e anche riportare tutti i termini simili. Dividiamo condizionalmente l'espressione in tre parti (in base al numero di termini) e apriamo le parentesi una per una, utilizzando ove possibile la FSU.

• (m + 3)² = m² + 6 m + 9(somma quadrata);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(differenza dei quadrati);
• Nell'ultimo termine devi moltiplicare: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Sostituiamo i risultati ottenuti nell'espressione originale:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Tenendo conto dei segni, apriremo le parentesi e presenteremo termini simili:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Problema 2. Risolvi un'equazione contenente l'incognita k alla quinta potenza:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Soluzione. In questo caso è necessario utilizzare la FSU e il metodo del raggruppamento. È necessario spostare gli ultimi e penultimi termini sul lato destro dell'identità.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Il fattore comune si ricava dai lati destro e sinistro (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Tutto viene trasferito a sinistra dell'equazione in modo che 0 rimanga a destra:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Anche in questo caso è necessario eliminare il fattore comune:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Dal primo fattore ottenuto possiamo derivare k. Secondo la breve formula di moltiplicazione, il secondo fattore sarà identicamente uguale a (k+2)²:

k(k² - 1)(k + 2)² = 0.

Usando la formula della differenza dei quadrati:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Poiché un prodotto è uguale a 0 se almeno uno dei suoi fattori è zero, trovare tutte le radici dell'equazione non è difficile:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Sulla base di esempi visivi, puoi capire come ricordare le formule, le loro differenze e anche risolverne diverse problemi pratici utilizzando la FSU. I compiti sono semplici e non dovrebbero esserci difficoltà nel completarli.

Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

La somma dei monomi si chiama polinomio. I termini di un polinomio si chiamano termini del polinomio. I monomi sono anche classificati come polinomi, considerando che un monomio è un polinomio costituito da un membro.

Ad esempio, un polinomio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
può essere semplificato.

Rappresentiamo tutti i termini sotto forma di monomi della forma standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Presentiamo termini simili nel polinomio risultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Il risultato è un polinomio, i cui termini sono tutti monomi della forma standard e tra questi non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.

Per grado del polinomio di una forma standard assumono i più alti poteri dei suoi membri. Pertanto il binomio \(12a^2b - 7b\) ha il terzo grado, mentre il trinomio \(2b^2 -7b + 6\) ha il secondo.

Tipicamente, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente di esponenti. Per esempio:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

La somma di più polinomi può essere trasformata (semplificata) in un polinomio di forma standard.

A volte i termini di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ciascun gruppo tra parentesi. Poiché il bracketing è la trasformazione inversa delle parentesi aperte, è facile da formulare regole per l'apertura delle parentesi:

Se prima delle parentesi si mette il segno “+”, i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con gli stessi segni.

Se prima delle parentesi si mette il segno "-", i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con segni opposti.

Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio

Usando la proprietà distributiva della moltiplicazione, puoi trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e un polinomio in un polinomio. Per esempio:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e di ciascuno dei termini del polinomio.

Questo risultato è solitamente formulato di regola.

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, devi moltiplicare il monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Abbiamo già utilizzato più volte questa regola per moltiplicare per una somma.

Prodotto di polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi

In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e di ciascun termine dell'altro.

Di solito viene utilizzata la seguente regola.

Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ciascun termine di un polinomio per ciascun termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.

Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma dei quadrati, differenze e differenza di quadrati

Devi avere a che fare con alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), cioè il quadrato della somma, il quadrato di la differenza e la differenza dei quadrati. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano incompleti, ad esempio \((a + b)^2 \) non è, ovviamente, solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di a e b . Tuttavia, il quadrato della somma di a e b non si trova molto spesso; di regola, invece delle lettere a e b, contiene varie espressioni, a volte piuttosto complesse.

Le espressioni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) possono essere facilmente convertite (semplificate) in polinomi della forma standard, infatti, hai già riscontrato un compito del genere moltiplicando i polinomi; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

È utile ricordare le identità risultanti e applicarle senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - quadrato della somma pari alla somma quadrati e raddoppiare il prodotto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - il quadrato della differenza è uguale alla somma dei quadrati senza il doppio prodotto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza e della somma.

Queste tre identità consentono di sostituire le parti di sinistra con quelle di destra nelle trasformazioni e viceversa: le parti di destra con quelle di sinistra. La cosa più difficile è vedere le espressioni corrispondenti e capire come in esse vengono sostituite le variabili a e b. Diamo un'occhiata a diversi esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.

Parole chiave:

quadrato della somma, quadrato della differenza, cubo della somma, cubo della differenza, differenza dei quadrati, somma dei cubi, differenza dei cubi

Quadrato della somma due quantità è uguale al quadrato della prima più il doppio del prodotto della prima e della seconda più il quadrato della seconda quantità. (a+b)2 =a2+2ab+b2

• Differenza quadrata due quantità è uguale al quadrato della prima meno il doppio del prodotto della prima e della seconda più il quadrato della seconda. (a-b)2 =a2 -2ab+b2
• Il prodotto della somma di due quantità e la loro differenza è uguale a differenza dei loro quadrati. (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
• Aimporto dic due quantità è uguale al cubo della prima quantità più il triplo del prodotto del quadrato della prima e della seconda più il triplo prodotto della prima per il quadrato della seconda più il cubo della seconda.

  (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3

• Adifferenza di dicembre due quantità è uguale al cubo della prima meno il triplo del prodotto del quadrato della prima e della seconda più il triplo del prodotto della prima e del quadrato della seconda meno il cubo della seconda.

  (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

• Il prodotto della somma di due quantità e il quadrato parziale della differenza è uguale a la somma dei loro cubi. (a+b)(a2 -ab+b2)=a3 +b3
• Il prodotto della differenza di due quantità per il quadrato parziale della somma è uguale a differenze dei loro cubi.

  (a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3

Molto spesso, è possibile riportare un polinomio alla forma standard utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate. Tutti possono essere dimostrati aprendo direttamente le parentesi e riportando termini simili.

Devi conoscere a memoria le formule di moltiplicazione abbreviate: Esempio. Dimostriamo la formula = (UN + B)(UN 2 – a3+b3 + B 2).

ab (UN + B)(UN 2 – a3+b3 + B 2) = UN 3 – UN 2 B + Abbiamo: + ab 2 2 – a3+b3 2 – B 3

ba

(UN + B)(UN 2 – a3+b3 + B 2) = Portando termini simili, lo vediamo a3 + b3

, che dimostra la formula desiderata. (UN - B)(UN 2 + a3+b3 + B 2) = Allo stesso modo, è dimostrato

a3 – b3

Non basta conoscere a memoria le formule di moltiplicazione abbreviate.

Dobbiamo anche imparare a vedere questa formula in una specifica espressione algebrica.

Per esempio:

49m 2 – 42mn + 9m 2 = (7m – 3n) 2 Oppure un altro esempio, più complicato: Qui ( 3×2

È anche utile sapere come elevare un binomio a una potenza maggiore di 3. Una formula che consente di scrivere l'espansione di una somma algebrica di due termini di grado arbitrario fu proposta per la prima volta da Newton nel 1664-1665 e fu chiamato binomio di Newton. I coefficienti della formula sono detti coefficienti binomiali. Se n è un intero positivo, allora i coefficienti svaniscono per ogni k > n, quindi l'espansione contiene solo un numero finito di termini. In tutti gli altri casi, l'espansione è una serie infinita (binomiale).

(Le condizioni per la convergenza di una serie binomiale furono stabilite per la prima volta all'inizio del XIX secolo da N. Abel.) Casi speciali come(a+b)2 =a2+2ab+b2 E(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +

b3 erano conosciuti molto prima di Newton. Se n è un numero intero positivo, allora il coefficiente binomiale per an-k b k

nella formula binomiale c'è il numero di combinazioni da n a k, indicate con C k n. Per piccoli valori di n, i coefficienti possono essere ricavati dal triangolo di Pascal: in cui ciascuno dei numeri, ad eccezione dell'unità, è uguale alla somma di due numeri adiacenti situati sulla riga superiore. Per un dato n, la corrispondente (ennesima) riga del triangolo di Pascal fornisce, in ordine, i coefficienti del binomio ennesima espansione

gradi, cosa facile da verificare per n = 2 en = 3.

Mantenere la tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e archiviamo le tue informazioni. Si prega di rivedere le nostre pratiche sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono ai dati che possono essere utilizzati per identificare o contattare una persona specifica.

Ti potrebbe essere chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che potremmo raccogliere e di come potremmo utilizzare tali informazioni.

• Quali informazioni personali raccogliamo: Quando invii una richiesta sul sito, potremmo raccogliere varie informazioni, tra cui nome, numero di telefono, indirizzo e-mail

ecc.

• Come utilizziamo le tue informazioni personali: Le informazioni personali che raccogliamo ci consentono di contattarti e informarti in merito offerte uniche
• Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviare avvisi e comunicazioni importanti.
• Potremmo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e varie ricerche al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornirti consigli sui nostri servizi.
• Se partecipi a un'estrazione a premi, a un concorso o a una promozione simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione di informazioni a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da te a terzi.

Eccezioni:

• Se necessario, in conformità con la legge, procedura giudiziaria, in procedimenti legali e/o sulla base di inchieste o richieste pubbliche da parte di agenzie governative sul territorio della Federazione Russa - divulgare le tue informazioni personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per scopi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di importanza pubblica.
• In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo alla terza parte successore applicabile.

Protezione delle informazioni personali

Prendiamo precauzioni, comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche, per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso non autorizzato, divulgazione, alterazione e distruzione.

Rispettare la tua privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano sicure, comunichiamo gli standard di privacy e sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.

Nella lezione precedente abbiamo trattato la fattorizzazione. Abbiamo imparato due metodi: togliere moltiplicatore comune oltre parentesi e raggruppamenti. In questa lezione, il seguente potente metodo: formule di moltiplicazione abbreviate. In breve: FSU.

Le formule di moltiplicazione abbreviate (somma e differenza del quadrato, somma e differenza del cubo, differenza dei quadrati, somma e differenza dei cubi) sono estremamente necessarie in tutti i rami della matematica. Sono utilizzati per semplificare espressioni, risolvere equazioni, moltiplicare polinomi, ridurre frazioni, risolvere integrali, ecc. ecc. Insomma, ci sono tutte le ragioni per affrontarli. Comprendi da dove provengono, perché sono necessari, come ricordarli e come applicarli.

abbiamo capito?)

Da dove vengono le formule di moltiplicazione abbreviate?

Le uguaglianze 6 e 7 non sono scritte in un modo molto familiare. È un po' il contrario. Questo è apposta.) Qualsiasi uguaglianza funziona sia da sinistra a destra che da destra a sinistra. Questa voce chiarisce da dove provengono le FSU.

Sono presi dalla moltiplicazione.) Ad esempio:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Questo è tutto, nessun trucco scientifico. Moltiplichiamo semplicemente le parentesi e diamo quelle simili. Ecco come risulta tutte le formule di moltiplicazione abbreviate. Abbreviato la moltiplicazione è perché nelle formule stesse non c'è moltiplicazione di parentesi e riduzione di quelle simili. Abbreviato.) Il risultato viene fornito immediatamente.

La FSU deve essere conosciuta a memoria. Senza i primi tre, non puoi sognare una C; senza il resto, non puoi sognare una B o una A.)

Perché abbiamo bisogno di formule di moltiplicazione abbreviate?

Ci sono due ragioni per imparare, o addirittura memorizzare, queste formule. Il primo è che una risposta già pronta riduce automaticamente il numero di errori. Ma questo non è il massimo motivo principale. Ma il secondo...

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.