Bagaimana untuk membiak akar dengan penunjuk yang berbeza. Mendarab akar: peraturan asas

Ketersediaan punca kuasa dua dalam ungkapan merumitkan proses pembahagian, tetapi terdapat peraturan yang menjadikan kerja dengan pecahan lebih mudah.

Satu-satunya perkara yang perlu anda ingat sepanjang masa- ungkapan radikal dibahagikan kepada ungkapan radikal, dan faktor kepada faktor. Dalam proses membahagi punca kuasa dua, kita permudahkan pecahan. Juga, ingat bahawa akar boleh berada dalam penyebut.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaedah 1. Membahagi ungkapan radikal

Algoritma tindakan:

Tulis pecahan

Jika ungkapan itu tidak diwakili sebagai pecahan, adalah perlu untuk menulisnya sedemikian, kerana lebih mudah untuk mengikuti prinsip membahagi punca kuasa dua.

Contoh 1

144 ÷ 36, ungkapan ini hendaklah ditulis semula seperti berikut: 144 36

Gunakan satu tanda akar

Jika kedua-dua pengangka dan penyebut mengandungi punca kuasa dua, adalah perlu untuk menulis ungkapan radikalnya di bawah tanda punca yang sama untuk memudahkan proses penyelesaian.

Kami mengingatkan anda bahawa ungkapan radikal (atau nombor) ialah ungkapan di bawah tanda akar.

Contoh 2

144 36. Ungkapan ini hendaklah ditulis seperti berikut: 144 36

Ungkapan radikal yang berasingan

Hanya bahagikan satu ungkapan dengan yang lain, dan tulis hasilnya di bawah tanda akar.

Contoh 3

144 36 = 4, mari tulis ungkapan ini seperti ini: 144 36 = 4

Permudahkan ungkapan radikal (jika perlu)

Jika ungkapan radikal atau salah satu faktor ialah kuasa dua sempurna, mudahkan ungkapan itu.

Ingat bahawa kuasa dua sempurna ialah nombor yang merupakan kuasa dua bagi beberapa integer.

Contoh 4

4 ialah segi empat sama sempurna kerana 2 × 2 = 4. Daripada ini ia berikut:

4 = 2 × 2 = 2. Oleh itu 144 36 = 4 = 2.

Kaedah 2. Memfaktorkan ungkapan radikal

Algoritma tindakan:

Tulis pecahan

Tulis semula ungkapan sebagai pecahan (jika ia diwakili seperti itu). Ini menjadikan pembahagian ungkapan dengan punca kuasa dua lebih mudah, terutamanya apabila pemfaktoran.

Contoh 5

8 ÷ 36, tulis semula seperti ini 8 36

Faktorkan setiap ungkapan radikal

Faktorkan nombor di bawah punca seperti mana-mana integer lain, hanya tulis faktor di bawah tanda punca.

Contoh 6

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Sederhanakan pengangka dan penyebut pecahan

Untuk melakukan ini, keluarkan faktor yang mewakili kuasa dua sempurna dari bawah tanda akar. Oleh itu, faktor ungkapan radikal akan menjadi faktor sebelum tanda akar.

Contoh 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, ia berikut: 8 36 = 2 2 6

Rasionalkan penyebut (buang akar)

Dalam matematik, terdapat peraturan mengikut mana meninggalkan akar dalam penyebut adalah tanda bentuk buruk, i.e. ia adalah dilarang. Jika terdapat punca kuasa dua dalam penyebut, maka hapuskannya.

Darabkan pengangka dan penyebut dengan punca kuasa dua yang anda mahu alih keluar.

Contoh 8

Dalam ungkapan 6 2 3, anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan 3 untuk menyingkirkannya dalam penyebut:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Permudahkan ungkapan yang terhasil (jika perlu)

Jika pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang boleh dan harus dikurangkan. Permudahkan ungkapan seperti mana-mana pecahan.

Contoh 9

2 6 dipermudahkan kepada 1 3 ; maka 2 2 6 dipermudahkan menjadi 1 2 3 = 2 3

Kaedah 3: Membahagi punca kuasa dua dengan faktor

Algoritma tindakan:

Permudahkan faktor

Ingat bahawa faktor ialah nombor yang mendahului tanda akar. Untuk memudahkan faktor, anda perlu membahagikan atau mengurangkannya. Jangan sentuh ungkapan radikal!

Contoh 10

4 32 6 16 . Pertama, kita kurangkan 4 6: bahagikan kedua-dua pengangka dan penyebut dengan 2: 4 6 = 2 3.

Permudahkan punca kuasa dua

Jika pengangka boleh dibahagikan sama rata dengan penyebut, maka bahagikan. Jika tidak, maka mudahkan ungkapan radikal seperti yang lain.

Contoh 11

32 boleh dibahagi dengan 16, jadi: 32 16 = 2

Darabkan faktor dipermudahkan dengan punca dipermudahkan

Ingat peraturan: jangan tinggalkan akar dalam penyebut. Oleh itu, kita hanya mendarabkan pengangka dan penyebut dengan punca ini.

Contoh 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Rasionalkan penyebut (buang akar dalam penyebut)

Contoh 13

4 3 2 7 . Anda harus mendarabkan pengangka dan penyebut dengan 7 untuk menghilangkan punca dalam penyebut.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Kaedah 4: Pembahagian mengikut binomial dengan punca kuasa dua

Algoritma tindakan:

Tentukan sama ada binomial berada dalam penyebut

Ingat bahawa binomial ialah ungkapan yang merangkumi 2 monomial. Kaedah ini hanya berfungsi dalam kes di mana penyebut mempunyai binomial dengan punca kuasa dua.

Contoh 14

1 5 + 2 - terdapat binomial dalam penyebut, kerana terdapat dua monomial.

Cari ungkapan konjugat bagi binomial

Ingat bahawa binomial konjugat ialah binomial dengan monomial yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan. Untuk memudahkan ungkapan dan menyingkirkan punca dalam penyebut, anda harus mendarab binomial konjugat.

Contoh 15

5 + 2 dan 5 - 2 ialah binomial konjugat.

Darabkan pengangka dan penyebut dengan binomial yang merupakan konjugat binomial dalam penyebut

Pilihan ini akan membantu menyingkirkan punca dalam penyebut, kerana hasil darab binomial konjugat adalah sama dengan perbezaan kuasa dua bagi setiap sebutan binomial: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Contoh 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Daripada ini ia berikut: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.

Nasihat:

1. Jika anda menggunakan punca kuasa dua nombor bercampur, tukarkannya kepada pecahan tak wajar.
2. Perbezaan antara penambahan dan penolakan daripada pembahagian ialah ungkapan radikal dalam kes pembahagian tidak disyorkan untuk dipermudahkan (dengan mengorbankan petak lengkap).
3. Jangan sekali-kali (!) meninggalkan punca dalam penyebut.
4. Tiada perpuluhan atau bercampur sebelum akar - perlu menukarnya kepada pecahan sepunya, dan kemudian permudahkan.
5. Adakah penyebut adalah jumlah atau perbezaan dua monomial? Darab binomial sedemikian dengan binomial konjugatnya dan hapuskan punca dalam penyebutnya.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Formula ijazah digunakan dalam proses mengurangkan dan memudahkan ungkapan kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

Nombor c ialah n-kuasa ke- bagi suatu nombor a bila:

Operasi dengan ijazah.

1. Kuasa darab c asas yang sama penunjuk mereka menambah:

a m·a n = a m + n .

2. Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponennya ditolak:

3. Darjah hasil darab 2 atau lebih faktor adalah sama dengan darab darjah faktor ini:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Darjah pecahan adalah sama dengan nisbah darjah dividen dan pembahagi:

(a/b) n = a n /b n .

5. Meningkatkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan:

(a m) n = a m n .

Setiap formula di atas adalah benar dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Contohnya. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:

2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah dividen dan pembahagi punca:

3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, sudah cukup untuk menaikkan nombor radikal kepada kuasa ini:

4. Jika anda meningkatkan darjah akar masuk n sekali dan pada masa yang sama membina ke dalam n kuasa ke adalah nombor radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika anda mengurangkan darjah akar dalam n ekstrak akar pada masa yang sama n-kekuasaan nombor radikal, maka nilai punca tidak akan berubah:

Ijazah dengan eksponen negatif. Kuasa nombor tertentu dengan eksponen bukan positif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan kuasa nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlak penunjuk tidak positif:

Formula a m:a n =a m - n boleh digunakan bukan sahaja untuk m> n, tetapi juga dengan m< n.

Contohnya. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kepada formula a m:a n =a m - n menjadi adil apabila m=n, kehadiran darjah sifar diperlukan.

Ijazah dengan indeks sifar. Kuasa sebarang nombor yang tidak sama dengan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu.

Contohnya. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata A ke tahap m/n, anda perlu mengekstrak akarnya n darjah ke- m-kuasa ke- nombor ini A.

1. Punca kuasa produk bukan nombor negatif adalah sama dengan hasil darab akar yang sama darjah daripada faktor: di mana (peraturan untuk mengekstrak akar daripada produk).

2. Jika , maka y (peraturan untuk mengekstrak punca pecahan).

3. Jika kemudian (peraturan untuk mengekstrak akar daripada akar).

4. Jika kemudian peraturan untuk menaikkan akar kepada kuasa).

5. Jika kemudian di mana, iaitu, eksponen punca dan eksponen ungkapan radikal boleh didarab dengan nombor yang sama.

6. Jika kemudian 0, iaitu, sepadan dengan ungkapan radikal positif yang lebih besar dan nilai yang lebih tinggi akar

7. Semua formula di atas selalunya digunakan dalam susunan terbalik (iaitu dari kanan ke kiri). Sebagai contoh,

(peraturan pendaraban akar);

(peraturan pembahagian akar);

8. Peraturan untuk mengeluarkan pengganda dari bawah tanda akar. Pada

9. Masalah songsang ialah memperkenalkan pengganda di bawah tanda akar. Sebagai contoh,

10. Penghapusan ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan.

Mari lihat beberapa kes biasa.

Sebagai contoh,

11. Penggunaan identiti pendaraban yang disingkatkan pada operasi dengan punca aritmetik:

12. Faktor di hadapan akar dipanggil pekalinya. Sebagai contoh, Di sini 3 ialah pekali.

13. Akar (radikal) dipanggil serupa jika mereka mempunyai indeks akar yang sama dan ungkapan radikal yang sama, dan hanya berbeza dalam pekali. Untuk menilai sama ada akar (radikal) ini serupa atau tidak, anda perlu mengurangkannya kepada bentuk yang paling mudah.

Sebagai contoh, dan serupa, sejak

SENAMAN DENGAN PENYELESAIAN

1. Permudahkan ungkapan:

Penyelesaian. 1) Tidak ada gunanya mendarab ungkapan radikal, kerana setiap faktor mewakili kuasa dua integer. Mari kita gunakan peraturan untuk mengekstrak akar produk:

Pada masa hadapan, kami akan melakukan tindakan sedemikian secara lisan.

2) Mari kita cuba, jika boleh, untuk mewakili ungkapan radikal sebagai hasil darab faktor, setiap satunya ialah kubus integer, dan gunakan peraturan tentang punca hasil darab:

2. Cari nilai ungkapan:

Penyelesaian. 1) Mengikut peraturan untuk mengekstrak punca pecahan, kita mempunyai:

3) Ubah ungkapan radikal dan ekstrak akar:

3. Permudahkan apabila

Penyelesaian. Apabila mengekstrak akar daripada akar, penunjuk akar didarabkan, tetapi ungkapan radikal kekal tidak berubah

Sekiranya terdapat pekali di hadapan akar yang terletak di bawah akar, maka sebelum melakukan operasi mengekstrak akar, masukkan pekali ini di bawah tanda radikal di hadapan yang ia muncul.

Berdasarkan peraturan di atas, mari kita ekstrak dua akar terakhir:

4. Naikkan kepada kuasa:

Penyelesaian. Apabila menaikkan punca kepada kuasa, eksponen punca kekal tidak berubah, dan eksponen bagi ungkapan radikal didarab dengan eksponen.

(memandangkan ia ditakrifkan, maka );

Jika diberi akar mempunyai pekali, maka pekali ini dinaikkan kepada kuasa secara berasingan dan hasilnya ditulis sebagai pekali punca.

Di sini kami menggunakan peraturan bahawa penunjuk akar dan penunjuk ungkapan radikal boleh didarab dengan nombor yang sama (kami didarab dengan, iaitu, dibahagikan dengan 2).

Sebagai contoh, atau

4) Ungkapan dalam kurungan, yang mewakili hasil tambah dua radikal yang berbeza, dikidu dan dipermudahkan:

Oleh kerana kami mempunyai:

5. Hilangkan ketidakrasionalan dalam penyebut:

Penyelesaian. Untuk menghapuskan (memusnahkan) ketidakrasionalan dalam penyebut pecahan, anda perlu mencari ungkapan yang paling mudah, yang dalam produk dengan penyebut memberikan ungkapan rasional, dan darabkan pengangka dan penyebut pecahan ini dengan faktor yang ditemui.

Sebagai contoh, jika penyebut pecahan mengandungi binomial, maka pengangka dan penyebut pecahan itu mesti didarab dengan ungkapan konjugasi kepada penyebut, iaitu jumlah mesti didarab dengan perbezaan yang sepadan dan sebaliknya.

Dalam lebih kes yang sukar Mereka memusnahkan tidak rasional tidak serta-merta, tetapi dalam beberapa peringkat.

1) Ungkapan mesti mengandungi

Mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan kita peroleh:

2) Mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan kuadrat separa hasil tambah, kita dapat:

3) Mari kita bawa pecahan kepada penyebut biasa:

Memutuskan contoh ini, kita mesti ingat bahawa setiap pecahan mempunyai makna, iaitu, penyebut bagi setiap pecahan adalah bukan sifar. selain itu,

Apabila menukar ungkapan yang mengandungi radikal, kesilapan sering dilakukan. Ia disebabkan oleh ketidakupayaan untuk menggunakan konsep (takrif) dengan betul bagi punca aritmetik dan nilai mutlak.

Kaedah pendaraban akar

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat “tidak sangat. »
Dan bagi mereka yang "sangat. ")

Dalam pelajaran sebelumnya kita telah mengetahui apa itu punca kuasa dua. Sudah tiba masanya untuk mengetahui mana yang wujud formula untuk akar apa yang sifat akar, dan apa yang boleh dilakukan dengan semua ini.

Formula akar, sifat akar dan peraturan untuk bekerja dengan akar- ini pada asasnya adalah perkara yang sama. Terdapat beberapa formula yang menghairankan untuk punca kuasa dua. Yang pastinya membuatkan saya gembira! Atau sebaliknya, anda boleh menulis banyak formula yang berbeza, tetapi untuk kerja praktikal dan yakin dengan akar, hanya tiga yang mencukupi. Segala-galanya mengalir dari ketiga-tiga ini. Walaupun ramai yang keliru dalam tiga formula akar, ya.

Mari kita mulakan dengan yang paling mudah. Inilah dia:

Izinkan saya mengingatkan anda (dari pelajaran sebelumnya): a dan b ialah nombor bukan negatif! Jika tidak, formula itu tidak masuk akal.

ini sifat akar , seperti yang anda lihat, adalah mudah, pendek dan tidak berbahaya. Tetapi terdapat banyak perkara hebat yang boleh anda lakukan dengan formula akar ini! Jom tengok contoh semua perkara yang berguna ini.

Perkara pertama yang berguna. Formula ini membolehkan kita membiak akar.

Bagaimana untuk membiak akar?

Ya, sangat mudah. Terus kepada formula. Contohnya:

Nampaknya mereka melipatgandakannya, jadi apa? Adakah terdapat banyak kegembiraan?! Saya setuju, sedikit. Bagaimana anda suka ini contoh?

Akar tidak betul-betul diekstrak daripada faktor. Dan hasilnya sangat baik! Itu lebih baik, bukan? Untuk berjaga-jaga, izinkan saya memberitahu anda bahawa mungkin terdapat seberapa banyak pengganda yang anda suka. Formula untuk mendarab akar masih berfungsi. Contohnya:

Jadi, dengan pendaraban semuanya jelas, mengapa ini perlu? sifat akar- juga boleh difahami.

Perkara kedua yang berguna. Memasukkan nombor di bawah tanda akar.

Bagaimana untuk memasukkan nombor di bawah akar?

Mari kita anggap kita mempunyai ungkapan ini:

Adakah mungkin untuk menyembunyikan deuce di dalam akar? dengan mudah! Jika anda membuat akar daripada dua, formula untuk mendarab akar akan berfungsi. Bagaimana anda boleh membuat akar daripada dua? Ya, tiada soalan juga! Dua ialah punca kuasa dua bagi empat!

Dengan cara ini, akar boleh dibuat daripada mana-mana nombor bukan negatif! Ini akan menjadi punca kuasa dua kuasa dua nombor ini. 3 ialah punca 9. 8 ialah punca 64. 11 ialah punca 121. Nah, dan seterusnya.

Sudah tentu, tidak perlu diterangkan secara terperinci. Nah, sebagai permulaan. Adalah cukup untuk menyedari bahawa sebarang nombor bukan negatif yang didarab dengan punca boleh ditambah di bawah punca. Tetapi jangan lupa! - di bawah akar nombor ini akan menjadi segi empat sama diri sendiri. Tindakan ini - memasukkan nombor di bawah punca - juga boleh dipanggil mendarab nombor dengan punca. DALAM pandangan umum boleh ditulis:

Prosedurnya mudah, seperti yang anda lihat. Mengapa ia diperlukan?

Seperti mana-mana transformasi, prosedur ini mengembangkan keupayaan kami. Peluang untuk menukar ekspresi yang kejam dan tidak selesa kepada yang lembut dan gebu). Ini yang mudah untuk anda contoh:

Seperti yang anda lihat, sifat akar, yang membolehkan anda memasukkan pengganda di bawah tanda akar, agak sesuai untuk memudahkan.

Di samping itu, menambah faktor pada akar memudahkan untuk membandingkan nilai akar yang berbeza. Tanpa sebarang pengiraan atau kalkulator! Perkara ketiga yang berguna.

Bagaimana untuk membandingkan akar?

Kemahiran ini sangat penting dalam tugas yang serius, apabila mendedahkan modul dan perkara menarik yang lain.

Bandingkan ungkapan ini. Mana satu lebih besar? Tanpa kalkulator! Masing-masing dengan kalkulator. eh-eh. Pendek kata, semua orang boleh melakukannya!)

Anda tidak boleh mengatakannya dengan segera. Bagaimana jika anda memasukkan nombor di bawah tanda akar?

Mari kita ingat (bagaimana jika anda tidak tahu?): jika nombor di bawah tanda akar lebih besar, maka akar itu sendiri lebih besar! Oleh itu jawapan yang betul serta-merta, tanpa sebarang pengiraan dan pengiraan yang rumit:

Hebat kan? Tetapi bukan itu sahaja! Ingat bahawa semua formula berfungsi dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Setakat ini kami telah menggunakan formula untuk mendarabkan akar dari kiri ke kanan. Mari jalankan sifat akar ini secara terbalik, dari kanan ke kiri. seperti ini:

Dan apa bezanya? Adakah ini memberi apa-apa? Sudah tentu! Sekarang anda akan lihat sendiri.

Katakan kita perlu mengekstrak (tanpa kalkulator!) punca kuasa dua nombor 6561. Sesetengah orang pada peringkat ini akan jatuh dalam perjuangan yang tidak sama rata dengan tugas itu. Tetapi kami gigih, kami tidak berputus asa! Perkara keempat yang berguna.

Bagaimana untuk mengekstrak akar daripada jumlah yang besar?

Mari kita ingat semula formula untuk mengekstrak akar daripada produk. Yang saya tulis di atas. Tetapi di mana kerja kita!? Kami mempunyai nombor besar 6561 dan itu sahaja. Ya, kerja tiada di sini. Tetapi jika kita memerlukannya, kita akan melakukannya jom buat! Mari kita faktorkan nombor ini. Kita ada hak.

Mula-mula, mari kita fikirkan apakah sebenarnya nombor ini boleh dibahagi? Apa, anda tidak tahu!? Adakah anda sudah lupa tanda-tanda perpecahan!? sia-sia. Pergi ke Bahagian Khas 555, topik "Pecahan", ia ada di sana. Nombor ini boleh dibahagi dengan 3 dan 9. Kerana jumlah nombor (6+5+6+1=18) dibahagikan dengan nombor ini. Ini adalah salah satu tanda perpecahan. Kami tidak perlu membahagikan dengan tiga (kini anda akan faham mengapa), tetapi kami akan membahagikan dengan 9. Sekurang-kurangnya di sudut. Kami mendapat 729. Jadi kami telah menemui dua faktor! Yang pertama ialah sembilan (kami memilihnya sendiri), dan yang kedua ialah 729 (begitulah rupanya). Anda sudah boleh menulis:

Adakah anda mendapat idea itu? Kami akan melakukan perkara yang sama dengan nombor 729. Ia juga boleh dibahagikan dengan 3 dan 9. Kami tidak membahagi dengan 3 lagi, kami membahagi dengan 9. Kami mendapat 81. Dan kami tahu nombor ini! Kami menulis:

Semuanya ternyata mudah dan elegan! Akarnya terpaksa dicabut sekeping demi sekeping, tetapi oh baiklah. Anda boleh melakukan ini dengan sesiapa sahaja bilangan yang besar. Gandakan mereka dan teruskan!

By the way, kenapa anda tidak perlu bahagi dengan 3 Adakah anda meneka? Ya, kerana akar tiga tidak boleh diekstrak dengan tepat! Adalah masuk akal untuk memasukkannya ke dalam faktor sedemikian sehingga akar boleh diekstrak dengan baik daripada sekurang-kurangnya satu. Ini adalah 4, 9, 16 baik, dan seterusnya. Bahagikan nombor besar anda dengan nombor ini satu demi satu, dan anda akan bertuah!

Tetapi tidak semestinya. Anda mungkin tidak bernasib baik. Katakan nombor 432, apabila difaktorkan dan menggunakan formula akar untuk produk, akan memberikan hasil berikut:

oh baiklah. Apa pun, kami mudahkan ungkapan. Dalam matematik, adalah kebiasaan untuk meninggalkan nombor terkecil yang mungkin di bawah akar. Dalam proses menyelesaikan semuanya bergantung pada contoh (mungkin semuanya boleh dipendekkan tanpa penyederhanaan), tetapi dalam jawapan anda perlu memberikan hasil yang tidak dapat dipermudahkan lagi.

By the way, adakah anda tahu apa yang kami lakukan dengan akar 432?

Kami mengeluarkan faktor dari bawah tanda akar ! Inilah yang dipanggil operasi ini. Jika tidak, anda akan mendapat tugas - " keluarkan faktor dari bawah tanda akar"Tetapi lelaki tidak tahu.) Ini satu lagi permohonan untuk anda sifat akar. Perkara yang berguna kelima.

Bagaimana untuk mengeluarkan pengganda dari bawah akar?

dengan mudah. Faktorkan ungkapan radikal dan ekstrak akar yang diekstrak. Mari lihat:

Tiada yang ghaib. Adalah penting untuk memilih pengganda yang betul. Di sini kami telah mengembangkan 72 sebagai 36·2. Dan semuanya menjadi baik. Atau mereka boleh mengembangkannya secara berbeza: 72 = 6·12. Dan apa!? Akar tidak boleh diekstrak daripada 6 atau 12. Apa yang perlu dilakukan?!

Tidak mengapa. Sama ada cari pilihan penguraian lain, atau teruskan mengurai semuanya sehingga ia berhenti! seperti ini:

Seperti yang anda lihat, semuanya berjaya. Ini, dengan cara ini, bukan cara terpantas, tetapi cara yang paling boleh dipercayai. Bahagikan nombor kepada faktor terkecil, dan kemudian kumpulkan yang sama ke dalam longgokan. Kaedah ini juga berjaya digunakan apabila mendarabkan akar yang menyusahkan. Sebagai contoh, anda perlu mengira:

Darabkan segala-galanya - anda mendapat nombor gila! Dan kemudian bagaimana untuk mengekstrak akar daripadanya?! Memfaktorkannya semula? Tidak, kami tidak memerlukan kerja tambahan. Kami segera memasukkannya ke dalam faktor dan mengumpulkan yang sama dalam kumpulan:

Itu sahaja. Sudah tentu, ia tidak perlu untuk mengembangkannya sepenuhnya. Semuanya ditentukan oleh kemampuan peribadi anda. Kami membawa contoh ke titik di mana semuanya jelas kepada anda Maknanya kita sudah boleh mengira. Perkara utama adalah tidak membuat kesilapan. Bukan manusia untuk matematik, tetapi matematik untuk manusia!)

Jom amalkan ilmu? Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah:

IJAZAH DENGAN INDIKATOR RASIONAL,

FUNGSI KUASA IV

§ 82. Pendaraban dan pembahagian akar

1. Membiak akar. Dalam § 79 peraturan untuk mendarabkan akar dengan serupa penunjuk:

Untuk membiak akar dengan penunjuk yang berbeza, mereka mesti dikurangkan terlebih dahulu kepada penunjuk keseluruhan, dan kemudian darab sebagai punca dengan eksponen yang sama.

Biarkan, sebagai contoh, anda perlu membiak n √ a pada m √ b . Menggunakan Teorem 3 dari §80, kita boleh menulis:

Contohnya, √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3

Sebagai penunjuk umum untuk akar n √ a pada m √ b Adalah paling mudah untuk memilih nombor gandaan sepunya terkecil n Dan m . Sebagai contoh, jika anda perlu mendarab 4 √ 2 dengan 6 √ 32, maka adalah mudah untuk memilih nombor 12, yang merupakan gandaan sepunya terkecil nombor 4 dan 6, sebagai penunjuk sepunya bagi akar-akar ini.

Teorem 3 § 80 memberikan: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.

4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2

2. Pembahagian akar. Dalam § 79, peraturan untuk membahagikan akar dengan eksponen yang sama diperoleh:

Untuk memisahkan akar dengan penunjuk yang berbeza, mereka mesti dibawa ke penunjuk biasa, dan kemudian dibahagikan sebagai akar dengan penunjuk yang sama.

oldskola1.narod.ru

Mendarab akar: peraturan asas

Salam, kucing! Kali terakhir kita membincangkan secara terperinci apakah akar (jika anda tidak ingat, saya cadangkan membacanya). Imbasan utama dari pelajaran itu: hanya ada satu definisi universal akar, iaitu perkara yang perlu anda ketahui. Selebihnya mengarut dan membuang masa.

Hari ini kita pergi lebih jauh. Kami akan belajar untuk mendarab akar, kami akan mengkaji beberapa masalah yang berkaitan dengan pendaraban (jika masalah ini tidak diselesaikan, ia boleh membawa maut dalam peperiksaan) dan kami akan berlatih dengan betul. Jadi, sediakan stok popcorn, buat diri anda selesa - dan mari mulakan.

Anda juga belum menghisapnya, bukan?

Pelajaran itu ternyata agak panjang, jadi saya membahagikannya kepada dua bahagian:

Mula-mula kita akan melihat peraturan pendaraban. Cap nampaknya membayangkan: ini adalah apabila terdapat dua akar, di antara mereka terdapat tanda "darab" - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.

Kemudian mari kita lihat situasi yang bertentangan: terdapat satu punca besar, tetapi kami telah diilhamkan untuk mewakilinya sebagai hasil daripada dua punca yang lebih mudah. Mengapa ini perlu, adalah soalan yang berasingan. Kami hanya akan menganalisis algoritma.

Bagi mereka yang tidak sabar untuk melompat terus ke bahagian kedua, anda dialu-alukan. Mari kita mulakan dengan yang lain mengikut urutan.

Peraturan Asas Pendaraban

Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah - punca kuasa dua klasik. Yang sama yang ditetapkan $\sqrt$ dan $\sqrt $. Semuanya jelas kepada mereka:

Peraturan pendaraban. Untuk mendarab satu punca kuasa dua dengan yang lain, anda hanya darabkan ungkapan radikalnya, dan tulis hasilnya di bawah radikal biasa:

Tiada sekatan tambahan dikenakan pada nombor di sebelah kanan atau kiri: jika faktor punca wujud, maka produk itu juga wujud.

Contoh. Mari lihat empat contoh dengan nombor sekaligus:

Seperti yang anda lihat, maksud utama peraturan ini adalah untuk memudahkan ungkapan tidak rasional. Dan jika dalam contoh pertama kita sendiri akan mengekstrak akar 25 dan 4 tanpa sebarang peraturan baru, maka keadaan menjadi sukar: $\sqrt $ dan $\sqrt $ tidak dipertimbangkan sendiri, tetapi hasil darab mereka menjadi kuasa dua sempurna, jadi puncanya adalah sama dengan nombor rasional.

Saya ingin menyerlahkan baris terakhir. Di sana, kedua-dua ungkapan radikal adalah pecahan. Terima kasih kepada produk, banyak faktor dibatalkan, dan keseluruhan ungkapan bertukar menjadi nombor yang mencukupi.

Sudah tentu, perkara tidak akan sentiasa begitu indah. Kadang-kadang terdapat omong kosong yang lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang perlu dilakukan dengannya dan bagaimana untuk mengubahnya selepas pendaraban. Sedikit lagi, apabila anda mula belajar persamaan tidak rasional dan ketidaksamaan, secara amnya akan terdapat pelbagai pembolehubah dan fungsi. Dan selalunya, penulis masalah bergantung pada fakta bahawa anda akan menemui beberapa istilah atau faktor yang membatalkan, selepas itu masalah itu akan dipermudahkan berkali-kali.

Di samping itu, sama sekali tidak perlu membiak tepat dua akar. Anda boleh mendarab tiga, empat, atau bahkan sepuluh sekaligus! Ini tidak akan mengubah peraturan. Lihatlah:

Dan sekali lagi nota kecil pada contoh kedua. Seperti yang anda lihat, dalam faktor ketiga di bawah akar terdapat pecahan perpuluhan - dalam proses pengiraan kami menggantikannya dengan yang biasa, selepas itu semuanya mudah dikurangkan. Jadi: Saya sangat mengesyorkan untuk menyingkirkan pecahan perpuluhan dalam mana-mana ungkapan yang tidak rasional(iaitu mengandungi sekurang-kurangnya satu simbol radikal). Ini akan menjimatkan banyak masa dan saraf anda pada masa hadapan.

Tetapi ini adalah penyimpangan lirik. Sekarang mari kita pertimbangkan kes yang lebih umum - apabila eksponen akar mengandungi nombor arbitrari $n$, dan bukan hanya dua "klasik".

Kes penunjuk sewenang-wenangnya

Jadi, kami telah menyusun punca kuasa dua. Apa yang perlu dilakukan dengan kubik? Atau pun dengan akar darjah sewenang-wenangnya $n$? Ya, semuanya sama. Peraturannya tetap sama:

Untuk mendarab dua punca darjah $n$, sudah cukup untuk mendarabkan ungkapan radikalnya, dan kemudian menulis hasilnya di bawah satu radikal.

Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali jumlah pengiraan mungkin lebih besar. Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh. Kira produk:

Dan sekali lagi, perhatian kepada ungkapan kedua. Kami mendarabkan punca kubus, menyingkirkan pecahan perpuluhan dan berakhir dengan hasil darab nombor 625 dan 25 dalam penyebut Ini agak bilangan yang besar- Secara peribadi, saya tidak boleh mengira langsung apa yang sama dengannya.

Oleh itu, kami hanya mengasingkan kubus tepat dalam pengangka dan penyebut, dan kemudian menggunakan salah satu sifat utama (atau, jika anda lebih suka, definisi) akar $n$th:

“Maksiat” sedemikian boleh menjimatkan banyak masa anda pada peperiksaan atau kerja ujian, jadi ingat:

Jangan tergesa-gesa untuk mendarab nombor menggunakan ungkapan radikal. Mula-mula, semak: bagaimana jika tahap sebenar mana-mana ungkapan "disulitkan" di sana?

Walaupun kenyataan ini jelas, saya harus mengakui bahawa kebanyakan pelajar yang tidak bersedia tidak melihat darjah yang tepat pada julat kosong. Sebaliknya, mereka mendarabkan segala-galanya secara langsung, dan kemudian tertanya-tanya: mengapa mereka mendapat nombor yang kejam :)

Namun, semua ini hanyalah cakap-cakap bayi berbanding apa yang akan kita kaji sekarang.

Mendarab punca dengan eksponen yang berbeza

Okay, sekarang kita boleh darabkan punca dengan penunjuk yang sama. Bagaimana jika penunjuk berbeza? Katakan, bagaimana untuk mendarab $\sqrt $ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $\sqrt $? Adakah mungkin untuk melakukan ini?

Ya sudah tentu boleh. Semuanya dilakukan mengikut formula ini:

Walau bagaimanapun, formula ini hanya berfungsi jika ungkapan radikal adalah bukan negatif. Ini adalah nota yang sangat penting yang akan kami kembalikan sedikit kemudian.

Buat masa ini, mari kita lihat beberapa contoh:

Seperti yang anda lihat, tiada yang rumit. Sekarang mari kita fikirkan dari mana datangnya keperluan bukan negatif, dan apa yang akan berlaku jika kita melanggarnya.

Mendarabkan akar adalah mudah

Mengapakah ungkapan radikal mesti bukan negatif?

Sudah tentu anda boleh menjadi seperti guru sekolah dan dengan pandangan yang bijak, petikan buku teks:

Keperluan bukan negatif dikaitkan dengan takrif akar genap dan darjah ganjil yang berbeza (sehubungan itu, domain takrifan mereka juga berbeza).

Nah, adakah ia menjadi lebih jelas? Secara peribadi, apabila saya membaca karut ini dalam gred 8, saya memahami sesuatu seperti berikut: "Keperluan bukan negatif dikaitkan dengan *#&^@(*#@^#)

%" - ringkasnya, saya tidak faham apa-apa masa itu. :)

Jadi sekarang saya akan menerangkan semuanya dengan cara biasa.

Mula-mula, mari kita ketahui dari mana datangnya formula pendaraban di atas. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan anda satu perkara harta yang penting akar:

Dalam erti kata lain, kita boleh dengan mudah menaikkan ungkapan radikal kepada mana-mana kuasa semula jadi $k$ - dalam kes ini, eksponen punca perlu didarab dengan kuasa yang sama. Oleh itu, kita boleh dengan mudah mengurangkan sebarang punca kepada eksponen biasa, dan kemudian mendarabkannya. Di sinilah formula pendaraban berasal:

Tetapi ada satu masalah yang mengehadkan penggunaan semua formula ini. Pertimbangkan nombor ini:

Mengikut formula yang baru diberikan, kita boleh menambah apa-apa ijazah. Mari cuba tambah $k=2$:

Kami mengeluarkan tolak dengan tepat kerana segi empat sama membakar tolak (seperti mana-mana darjah genap yang lain). Sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: "kurangkan" kedua-duanya dalam eksponen dan kuasa. Lagipun, sebarang kesamaan boleh dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri:

Tetapi kemudian ia ternyata menjadi semacam omong kosong:

Ini tidak boleh berlaku kerana $\sqrt \lt 0$ dan $\sqrt \gt 0$. Ini bermakna untuk kuasa genap dan nombor negatif formula kami tidak lagi berfungsi. Selepas itu kita mempunyai dua pilihan:

1. Untuk memukul dinding dan menyatakan bahawa matematik adalah sains yang bodoh, di mana "terdapat beberapa peraturan, tetapi ini tidak tepat";
2. Memperkenalkan sekatan tambahan di mana formula akan berfungsi 100%.

Dalam pilihan pertama, kita perlu sentiasa menangkap kes "tidak berfungsi" - ia sukar, memakan masa dan secara amnya ugh. Oleh itu, ahli matematik memilih pilihan kedua.

Tetapi jangan risau! Dalam amalan, had ini tidak menjejaskan pengiraan dalam apa cara sekalipun, kerana semua masalah yang diterangkan hanya membimbangkan akar darjah ganjil, dan tolak boleh diambil daripadanya.

Oleh itu, mari kita rumuskan satu lagi peraturan, yang biasanya digunakan untuk semua tindakan dengan akar:

Sebelum mendarab punca, pastikan ungkapan radikal bukan negatif.

Contoh. Dalam nombor $\sqrt$ anda boleh mengeluarkan tolak dari bawah tanda akar - maka semuanya akan menjadi normal:

Adakah anda merasakan perbezaannya? Jika anda meninggalkan tolak di bawah akar, maka apabila ungkapan radikal kuasa dua, ia akan hilang, dan omong kosong akan bermula. Dan jika anda mula-mula mengeluarkan tolak, maka anda boleh segi empat sama/mengalih sehingga muka anda menjadi biru - nombor itu akan kekal negatif :).

Oleh itu, cara yang paling betul dan paling boleh dipercayai untuk mendarabkan akar adalah seperti berikut:

3. Buang semua negatif dari radikal. Tolak hanya wujud dalam akar kepelbagaian ganjil - ia boleh diletakkan di hadapan akar dan, jika perlu, dikurangkan (contohnya, jika terdapat dua tolak ini).
4. Lakukan pendaraban mengikut peraturan yang dibincangkan di atas dalam pelajaran hari ini. Jika penunjuk akar adalah sama, kita hanya mendarabkan ungkapan radikal. Dan jika mereka berbeza, kami menggunakan formula jahat \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
5. 3.Nikmati keputusan dan gred yang baik. :)

Nah? Adakah kita akan berlatih?

Contoh 1: Permudahkan ungkapan:

Ini adalah pilihan paling mudah: akarnya sama dan ganjil, satu-satunya masalah ialah faktor kedua adalah negatif. Kami mengambil tolak ini daripada gambar, selepas itu semuanya mudah dikira.

Contoh 2: Permudahkan ungkapan:

Di sini, ramai yang akan keliru dengan fakta bahawa output ternyata menjadi nombor tidak rasional. Ya, ia berlaku: kami tidak dapat menyingkirkan akar sepenuhnya, tetapi sekurang-kurangnya kami memudahkan ungkapan itu dengan ketara.

Contoh 3: Permudahkan ungkapan:

Saya ingin menarik perhatian anda kepada tugasan ini. Terdapat dua perkara di sini:

6. Akar bukan nombor atau kuasa tertentu, tetapi pembolehubah $a$. Pada pandangan pertama, ini agak luar biasa, tetapi pada hakikatnya, apabila menyelesaikan masalah matematik, anda paling kerap perlu berurusan dengan pembolehubah.
7. Pada akhirnya, kami berjaya "mengurangkan" penunjuk radikal dan tahap dalam ekspresi radikal. Ini berlaku agak kerap. Dan ini bermakna bahawa adalah mungkin untuk memudahkan pengiraan dengan ketara jika anda tidak menggunakan formula asas.

Sebagai contoh, anda boleh melakukan ini:

Malah, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika anda tidak menerangkan secara terperinci semua langkah perantaraan, maka pada akhirnya jumlah pengiraan akan berkurangan dengan ketara.

Sebenarnya, kami telah pun menghadapi tugas yang sama di atas apabila kami menyelesaikan contoh $\sqrt \cdot \sqrt $. Kini ia boleh ditulis dengan lebih mudah:

8. Pelucutan lesen memandu kerana mabuk pada tahun 2018. Memandu dalam keadaan mabuk alkohol- salah satu pelanggaran peraturan yang paling serius lalu lintas. Undang-undang 23 Julai 2013 No. 196-FZ […]

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan pertanyaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.