GirişLoqarifm qaydaları. Loqarifmin tərifi, əsas loqarifmik eynilik
Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.
Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi
Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.
İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.
Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.
Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:
- Saytda sorğu göndərdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik e-poçt və s.
Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:
- Topladığımız şəxsi məlumatlar sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
- Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
- Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
- Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.
Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması
Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.
İstisnalar:
- Zəruri hallarda qanunvericiliyə uyğun olaraq məhkəmə proseduru, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya sorğular əsasında dövlət orqanları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
- Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.
Şəxsi məlumatların qorunması
Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.
Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək
Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.
Onun tərifindən irəli gəlir. Və beləliklə ədədin loqarifmi bəsasında Aədədin qaldırılmalı olduğu eksponent kimi müəyyən edilir a nömrəni almaq üçün b(loqarifm yalnız müsbət ədədlər üçün mövcuddur).
Bu formuladan belə çıxır ki, hesablama x=log a b, tənliyin həllinə bərabərdir a x = b. Məsələn, log 2 8 = 3çünki 8 = 2 3 . Loqarifmin tərtibi bunu əsaslandırmağa imkan verir ki, əgər b=a c, sonra ədədin loqarifmi bəsasında a bərabərdir ilə. Loqarifm mövzusunun ədədin səlahiyyətləri mövzusu ilə sıx əlaqəli olduğu da aydındır.
Loqarifmlərlə, hər hansı bir rəqəmdə olduğu kimi, edə bilərsiniz toplama, çıxma əməliyyatları və hər cür şəkildə dəyişdirin. Lakin loqarifmlərin tamamilə adi ədədlər olmadığı üçün burada öz xüsusi qaydaları tətbiq olunur ki, bunlar da adlanır. əsas xassələri.
Loqarifmlərin toplanması və çıxılması.
ilə iki loqarifmi götürək eyni əsaslarla: bir x qeyd edin Və log a y. Sonra toplama və çıxma əməliyyatlarını yerinə yetirmək olar:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = bir x qeyd edin 1 + bir x qeyd edin 2 + bir x qeyd edin 3 + ... + log a x k.
From loqarifm bölgü teoremi loqarifmin daha bir xassəsini əldə etmək olar. Qeyd etmək hamıya məlumdur a 1= 0, buna görə də
log a 1 /b=log a 1 - log a b= - qeyd a b.
Bu o deməkdir ki, bərabərlik var:
log a 1 / b = - log a b.
İki əks ədədin loqarifmləri eyni səbəbdən bir-birindən yalnız işarə ilə fərqlənəcək. Beləliklə:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Loqarifm müsbət rəqəm b əsas a (a>0, a 1-ə bərabər deyil) c ədədi belədir ki, a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Qeyd edək ki, qeyri-müsbət ədədin loqarifmi qeyri-müəyyəndir. Bundan əlavə, loqarifmin əsası 1-ə bərabər olmayan müsbət ədəd olmalıdır. Məsələn, -2-nin kvadratı olsaq, 4 rəqəmini alırıq, lakin bu, loqarifmin 4-ün əsasına -2 olması demək deyil. 2-yə bərabərdir.
Əsas loqarifmik eynilik
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Bu formulun sağ və sol tərəflərinin tərif dairəsinin fərqli olması vacibdir. Sol tərəf yalnız b>0, a>0 və a ≠ 1 üçün müəyyən edilir. Sağ tərəf hər hansı b üçün müəyyən edilir və ümumiyyətlə a-dan asılı deyil. Beləliklə, tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edərkən əsas loqarifmik "şəxsiyyətin" tətbiqi OD-nin dəyişməsinə səbəb ola bilər.
Loqarifmin tərifinin iki aşkar nəticəsi
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Həqiqətən, a rəqəmini birinci dərəcəyə qaldırdıqda, eyni rəqəmi alırıq və onu birinci dərəcəyə qaldıranda sıfır dərəcə- bir.
Məhsulun loqarifmi və hissənin loqarifmi
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Məktəbliləri loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı bu düsturlardan düşünmədən istifadə etməmələri barədə xəbərdarlıq etmək istərdim. Onları "soldan sağa" istifadə edərkən ODZ daralır və loqarifmlərin cəmi və ya fərqindən məhsulun və ya hissənin loqarifminə keçdikdə ODZ genişlənir.
Həqiqətən də log a (f (x) g (x)) ifadəsi iki halda müəyyən edilir: hər iki funksiya ciddi müsbət olduqda və ya f (x) və g (x) hər ikisi sıfırdan kiçik olduqda.
Bu ifadəni log a f (x) + log a g (x) cəminə çevirərək, özümüzü yalnız f(x)>0 və g(x)>0 olduğu halla məhdudlaşdırmağa məcbur oluruq. Məqbul dəyərlər diapazonunun daralması var və bu, qəti şəkildə qəbuledilməzdir, çünki bu, həllərin itirilməsinə səbəb ola bilər. Düstur (6) üçün də oxşar problem mövcuddur.
Dərəcə loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Və bir daha diqqətli olmağa çağırmaq istərdim. Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Bərabərliyin sol tərəfi açıq şəkildə f(x)-in sıfırdan başqa bütün qiymətləri üçün müəyyən edilmişdir. Sağ tərəf yalnız f(x)>0 üçündür! Dərəcəni loqarifmdən çıxararaq, ODZ-ni yenidən daraldırıq. Əks prosedur məqbul dəyərlər diapazonunun genişlənməsinə gətirib çıxarır. Bütün bu qeydlər təkcə 2-ci gücə deyil, həm də istənilən bərabər gücə aiddir.
Yeni bir təmələ keçmək üçün formula
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Transformasiya zamanı ODZ-nin dəyişmədiyi nadir haldır. Əgər siz c bazasını ağıllı seçmisinizsə (müsbət və 1-ə bərabər deyil), yeni bazaya keçmək üçün formula tamamilə təhlükəsizdir.
Yeni c əsası kimi b ədədini seçsək, (8) düsturunun mühüm xüsusi halını alırıq:
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Loqarifmlərlə bəzi sadə nümunələr
Misal 1. Hesablayın: log2 + log50.
Həll. log2 + log50 = log100 = 2. Loqarifmlərin cəmindən (5) düsturundan və onluq loqarifmin tərifindən istifadə etdik.
Misal 2. Hesablayın: lg125/lg5.
Həll. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bazaya keçmək üçün düsturdan istifadə etdik (8).
Loqarifmlərə aid düsturlar cədvəli
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Bu gün haqqında danışacağıq loqarifmik düsturlar və göstərici verəcəyik həll nümunələri.
Onlar özləri loqarifmlərin əsas xassələrinə görə həll nümunələrini nəzərdə tuturlar. Həll etmək üçün loqarifmik düsturları tətbiq etməzdən əvvəl sizə bütün xüsusiyyətləri xatırladaq:
İndi bu düsturlara (xüsusiyyətlərə) əsaslanaraq göstərəcəyik loqarifmlərin həlli nümunələri.
Düsturlar əsasında loqarifmlərin həlli nümunələri.
Loqarifm a bazası üçün müsbət b ədədi (log a b ilə işarələnir) b > 0, a > 0 və 1 ilə b almaq üçün a qaldırılmalı olan göstəricidir.
Tərifə görə, log a b = x, a x = b ilə bərabərdir, ona görə də log a a x = x.
Loqarifmlər, misallar:
log 2 8 = 3, çünki 2 3 = 8
log 7 49 = 2, çünki 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, çünki 5 -1 = 1/5
Ondalıq loqarifm- bu, adi loqarifmdir, əsası 10. lg kimi işarələnir.
log 10 100 = 2, çünki 10 2 = 100
Təbii loqarifm- həm də adi loqarifm loqarifmi, lakin e əsası ilə (e = 2,71828... - irrasional ədəd). ln kimi qeyd olunur.
Loqarifmlərin düsturlarını və ya xassələrini əzbərləmək məqsədəuyğundur, çünki onlara sonradan loqarifmlər, loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər həll edilərkən ehtiyacımız olacaq. Gəlin hər bir düstur üzərində nümunələrlə yenidən işləyək.
- Əsaslar loqarifmik eynilik
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Məhsulun loqarifmi məbləğinə bərabərdir loqarifmlər
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Loqarifmik ədədin gücü və loqarifmin əsasının xassələri
log a b m = mloq a b loqarifmik ədədinin göstəricisi
Baza eksponenti loqarifm jurnalı a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
m = n olarsa, log a n b n = log a b alırıq
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Yeni bir təmələ keçid
log a b = log c b/log c a,c = b olarsa, log b b = 1 alırıq
sonra log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Gördüyünüz kimi, loqarifmlər üçün düsturlar göründüyü qədər mürəkkəb deyil. İndi loqarifmlərin həlli nümunələrinə baxaraq, loqarifmik tənliklərə keçə bilərik. Məqalədə loqarifmik tənliklərin həlli nümunələrinə daha ətraflı baxacağıq: "". Bunu qaçırmayın!
Həll yolu ilə bağlı hələ də suallarınız varsa, onları məqalənin şərhlərində yazın.
Qeyd: seçim olaraq fərqli bir təhsil sinfi almaq və xaricdə təhsil almaq qərarına gəldik.
(yunan dilindən λόγος - "söz", "münasibət" və ἀριθμός - "rəqəm") rəqəmlər bəsasında a(log α b) belə bir ədəd adlanır c, Və b= a c, yəni qeydlər log α b=c Və b=ac ekvivalentdirlər. a > 0, a ≠ 1, b > 0 olarsa, loqarifm məna kəsb edir.
Başqa sözlə loqarifm nömrələr bəsasında Aədədin yüksəldilməli olduğu göstərici kimi formalaşdırılır a nömrəni almaq üçün b(loqarifm yalnız müsbət ədədlər üçün mövcuddur).
Bu düsturdan belə çıxır ki, hesablama x= log α b, a x =b tənliyinin həllinə bərabərdir.
Məsələn:
log 2 8 = 3, çünki 8 = 2 3 .
Qeyd edək ki, loqarifmin göstərilən formulası dərhal müəyyən etməyə imkan verir loqarifm dəyəri, loqarifm işarəsi altındakı ədəd əsasın müəyyən gücü kimi çıxış etdikdə. Həqiqətən, loqarifmin tərtibi bunu əsaslandırmağa imkan verir b=a c, sonra ədədin loqarifmi bəsasında a bərabərdir ilə. Loqarifmlər mövzusunun mövzu ilə sıx bağlı olması da aydındır ədədin səlahiyyətləri.
Loqarifmin hesablanması adlanır loqarifm. Loqarifmdir riyazi əməliyyat loqarifmi götürür. Loqarifmlər götürərkən amillərin hasilləri terminlərin cəminə çevrilir.
Potensiasiya loqarifmə əks olan riyazi əməliyyatdır. Potensiasiya zamanı verilmiş baza potensiasiyanın həyata keçirildiyi ifadə dərəcəsinə qaldırılır. Bu zaman terminlərin cəmi amillərin məhsuluna çevrilir.
Əsasları 2 (ikili) olan həqiqi loqarifmlər olduqca tez-tez istifadə olunur, e Eyler nömrəsi e ≈ 2.718 ( təbii loqarifm) və 10 (onluq).
Bu mərhələdə bunu nəzərə almaq məsləhətdir loqarifm nümunələri log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
Və lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 girişlərinin mənası yoxdur, çünki onlardan birincisində mənfi ədəd loqarifm işarəsi altında yerləşdirilir, ikincisində - mənfi rəqəm bazada, üçüncüdə isə - həm loqarifm işarəsi altında mənfi bir ədəd, həm də bazadakı vahid.
Loqarifmin təyin edilməsi şərtləri.
a > 0, a ≠ 1, b > 0 şərtlərini ayrıca nəzərdən keçirməyə dəyər. loqarifmin tərifi. Gəlin bu məhdudiyyətlərin nə üçün alındığını düşünək. Bu işdə bizə x = log α formasının bərabərliyi kömək edəcək b, yuxarıda verilmiş loqarifmin tərifindən birbaşa irəli gələn əsas loqarifmik eynilik adlanır.
Şərti götürək a≠1. Hər hansı bir gücə bir bərabər olduğundan, x=log α bərabərliyi b yalnız o zaman mövcud ola bilər b=1, lakin log 1 1 istənilən real rəqəm olacaq. Bu qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün alırıq a≠1.
Şərtin zəruriliyini sübut edək a>0. At a=0 loqarifmin tərtibinə görə yalnız zaman mövcud ola bilər b=0. Və buna uyğun olaraq log 0 0 sıfırdan qeyri-sıfır hər hansı bir real ədəd ola bilər, çünki sıfırın sıfırdan hər hansı bir qüvvəsi sıfırdır. Bu qeyri-müəyyənlik şərtlə aradan qaldırıla bilər a≠0. Və nə vaxt a<0 loqarifmin rasional və irrasional qiymətlərinin təhlilindən imtina etməli olardıq, çünki rasional və irrasional eksponentli dərəcə yalnız mənfi olmayan əsaslar üçün müəyyən edilir. Məhz bu səbəbdən şərt qoyulub a>0.
Və son şərt b>0 bərabərsizlikdən irəli gəlir a>0, çünki x=log α b, və müsbət baza ilə dərəcənin dəyəri a həmişə pozitiv.
Loqarifmlərin xüsusiyyətləri.
Loqarifmlər fərqliliyi ilə xarakterizə olunur xüsusiyyətləri, bu, əziyyətli hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırmaq üçün onların geniş istifadəsinə səbəb oldu. “Loqarifmlər dünyasına” keçərkən vurma daha asan toplamaya çevrilir, bölmə çıxmaya, eksponentasiya və kök çıxarma isə müvafiq olaraq eksponentlə vurma və bölməyə çevrilir.
Loqarifmlərin tərtibi və onların qiymət cədvəli (üçün triqonometrik funksiyalar) ilk dəfə 1614-cü ildə Şotlandiya riyaziyyatçısı Con Napier tərəfindən nəşr edilmişdir. Digər alimlər tərəfindən böyüdülmüş və təfərrüatlı şəkildə tərtib edilmiş loqarifmik cədvəllər elmi və mühəndis hesablamalarında geniş şəkildə istifadə edilmiş, elektron hesablama maşınları və kompüterlərdən istifadə olunana qədər öz aktuallığını saxlamışdır.