Ev / Ovulyasiya/ Loqarifmlər: nümunələr və həllər. EXCEL-də natural loqarifmin hesablanması üçün LN və LOG funksiyaları

Loqarifmlər: nümunələr və həllər. EXCEL-də natural loqarifmin hesablanması üçün LN və LOG funksiyaları

Müsbət b ədədinin a (a>0, a 1-ə bərabər deyil) əsası üçün loqarifmi elə c ədədidir ki, a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)

Qeyd edək ki, qeyri-müsbət ədədin loqarifmi qeyri-müəyyəndir. Bundan əlavə, loqarifmin əsası olmalıdır müsbət rəqəm, 1-ə bərabər deyil. Məsələn, -2-nin kvadratı olsaq, 4 rəqəmini alırıq, lakin bu, 4-ün -2 əsasının loqarifmasının 2-yə bərabər olması demək deyil.

Əsas loqarifmik eynilik

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bu formulun sağ və sol tərəflərinin tərif dairəsinin fərqli olması vacibdir. Sol tərəf yalnız b>0, a>0 və a ≠ 1 üçün müəyyən edilir. Sağ tərəf hər hansı b üçün müəyyən edilir və ümumiyyətlə a-dan asılı deyil. Beləliklə, tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edərkən əsas loqarifmik "şəxsiyyətin" tətbiqi OD-nin dəyişməsinə səbəb ola bilər.

Loqarifmin tərifinin iki aşkar nəticəsi

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Həqiqətən, a rəqəmini birinci dərəcəyə qaldırdıqda, eyni rəqəmi alırıq və onu birinci dərəcəyə qaldıranda sıfır dərəcə- bir.

Məhsulun loqarifmi və hissənin loqarifmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Mən məktəbliləri loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı bu düsturlardan düşünmədən istifadə etməmələri barədə xəbərdarlıq etmək istərdim. Onları "soldan sağa" istifadə edərkən ODZ daralır və loqarifmlərin cəmi və ya fərqindən məhsulun və ya hissənin loqarifminə keçdikdə ODZ genişlənir.

Həqiqətən də log a (f (x) g (x)) ifadəsi iki halda müəyyən edilir: hər iki funksiya ciddi müsbət olduqda və ya f(x) və g(x) hər ikisi sıfırdan kiçik olduqda.

Bu ifadəni log a f (x) + log a g (x) cəminə çevirərək, özümüzü yalnız f(x)>0 və g(x)>0 olduğu halla məhdudlaşdırmağa məcbur oluruq. Məqbul dəyərlər diapazonunun daralması var və bu, qəti şəkildə qəbuledilməzdir, çünki bu, həllərin itirilməsinə səbəb ola bilər. Düstur (6) üçün də oxşar problem mövcuddur.

Dərəcə loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Və yenə də dəqiqliyə çağırmaq istərdim. Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Bərabərliyin sol tərəfi açıq şəkildə f(x)-in sıfırdan başqa bütün qiymətləri üçün müəyyən edilmişdir. Sağ tərəf yalnız f(x)>0 üçündür! Dərəcəni loqarifmdən çıxararaq, ODZ-ni yenidən daraldırıq. Əks prosedur məqbul dəyərlər diapazonunun genişlənməsinə gətirib çıxarır. Bütün bu qeydlər təkcə 2-ci gücə deyil, həm də istənilən bərabər gücə aiddir.

Yeni bir təmələ keçmək üçün formula

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Transformasiya zamanı ODZ-nin dəyişmədiyi nadir haldır. Əgər siz c bazasını ağıllı seçmisinizsə (müsbət və 1-ə bərabər deyil), yeni bazaya keçmək üçün formula tamamilə təhlükəsizdir.

Yeni c əsası kimi b ədədini seçsək, (8) düsturunun mühüm xüsusi halını alırıq:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Loqarifmlərlə bəzi sadə nümunələr

Misal 1. Hesablayın: log2 + log50.
Həll. log2 + log50 = log100 = 2. Loqarifmlərin cəmindən (5) düsturundan və onluq loqarifmin tərifindən istifadə etdik.

Misal 2. Hesablayın: lg125/lg5.
Həll. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bazaya keçmək üçün düsturdan istifadə etdik (8).

Loqarifmlərə aid düsturlar cədvəli

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Təbii loqarifm

Natural loqarifm funksiyasının qrafiki. Funksiya artdıqca yavaş-yavaş müsbət sonsuzluğa yaxınlaşır x və zaman mənfi sonsuzluğa tez yaxınlaşır x hər hansı güc funksiyası ilə müqayisədə 0-a ("yavaş" və "sürətli") meyl edir x).

Təbii loqarifm bazanın loqarifmidir , Harada e- təqribən 2,718281 828-ə bərabər olan irrasional sabit. Təbii loqarifm adətən ln( kimi yazılır. x), log e (x) və ya bəzən sadəcə daxil olun( x), əsasdırsa e nəzərdə tutulur.

Ədədin natural loqarifmi x(kimi yazılıb ln(x)) ədədin qaldırılmalı olduğu göstəricidir e almaq x. Məsələn, ln(7,389...) 2-yə bərabərdir, çünki e 2 =7,389... . Ədədin özünün natural loqarifmi e (ln(e)) 1-ə bərabərdir, çünki e 1 = e, və təbii loqarifm 1-dir ( ln(1)) 0-a bərabərdir, çünki e 0 = 1.

Təbii loqarifm istənilən müsbət həqiqi ədəd üçün müəyyən edilə bilər aəyri altındakı sahə kimi y = 1/x 1-dən a. Təbii loqarifmadan istifadə edən bir çox digər düsturlara uyğun gələn bu tərifin sadəliyi “təbii” adının yaranmasına səbəb olmuşdur. Bu tərif aşağıda müzakirə ediləcəyi kimi kompleks ədədlərə də şamil edilə bilər.

Əgər natural loqarifmanı həqiqi dəyişənin real funksiyası hesab etsək, o zaman onun tərs funksiyasıdır. eksponensial funksiya, şəxsiyyətlərə gətirib çıxarır:

Bütün loqarifmlər kimi, təbii loqarifm də vurmanı toplama ilə əlaqələndirir:

Beləliklə, loqarifmik funksiya əlavə ilə bağlı həqiqi ədədlər qrupuna vurulan müsbət həqiqi ədədlər qrupunun izomorfizmidir və funksiya kimi təqdim edilə bilər:

Loqarifm 1-dən başqa hər hansı müsbət baza üçün müəyyən edilə bilər, sadəcə olaraq deyil e, lakin digər əsaslar üçün loqarifmlər natural loqarifmdən yalnız sabit əmsala görə fərqlənir və adətən natural loqarifm baxımından müəyyən edilir. Loqarifmlər naməlumları eksponent kimi cəlb edən tənlikləri həll etmək üçün faydalıdır. Məsələn, loqarifmlərdən məlum yarımparçalanma dövrü üçün çürümə sabitini tapmaq və ya radioaktivlik məsələlərinin həllində parçalanma vaxtını tapmaq üçün istifadə olunur. Onlar oynayırlar mühüm rol riyaziyyatın bir çox sahələrində və tətbiqi elmlər, mürəkkəb faiz tapmaq da daxil olmaqla bir çox problemləri həll etmək üçün maliyyədə istifadə olunur.

Hekayə

Təbii loqarifmin ilk qeydini Nikolas Merkator öz əsərində etmişdir Loqarifmotexnika, 1668-ci ildə nəşr olundu, baxmayaraq ki, riyaziyyat müəllimi Con Spidell hələ 1619-cu ildə təbii loqarifmlər cədvəlini tərtib etdi. Hiperbolanın altındakı sahəyə uyğun gəldiyi üçün əvvəllər hiperbolik loqarifm adlanırdı. Bəzən Napier loqarifmi adlanır, baxmayaraq ki, bu terminin ilkin mənası bir qədər fərqli idi.

Təyinat konvensiyaları

Təbii loqarifm adətən “ln() ilə işarələnir. x)", 10 bazaya loqarifm - "lg() vasitəsilə x)" və digər səbəblər adətən "log" simvolu ilə açıq şəkildə göstərilir.

Diskret riyaziyyat, kibernetika və informatika üzrə bir çox əsərlərdə müəlliflər “log( x)" loqarifmləri üçün 2-ci bazaya uyğundur, lakin bu konvensiya ümumiyyətlə qəbul edilmir və ya istifadə edilən qeydlər siyahısında, ya da (belə siyahı olmadıqda) ilk dəfə istifadə edildiyi zaman qeyd və ya şərhlə aydınlaşdırma tələb edir.

Loqarifmlərin arqumenti ətrafında mötərizələr (əgər bu, düsturun səhv oxunmasına gətirib çıxarmazsa) adətən buraxılır və loqarifmi gücə qaldırarkən eksponent birbaşa loqarifmin işarəsinə təyin edilir: ln 2 ln 3 4. x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-Amerika sistemi

Riyaziyyatçılar, statistiklər və bəzi mühəndislər adətən təbii loqarifmanı və ya “log( x)" və ya "ln( x)", və əsas 10 loqarifmini işarələmək üçün - "log 10 ( x)».

Bəzi mühəndislər, bioloqlar və digər mütəxəssislər həmişə “ln( x)" (və ya bəzən "log e ( x)") təbii loqarifmi və "log() qeydini nəzərdə tutduqda x)" onlar log 10 deməkdir ( x).

log e"təbii" loqarifmdir, çünki avtomatik olaraq baş verir və riyaziyyatda çox tez-tez görünür. Məsələn, loqarifmik funksiyanın törəməsi məsələsini nəzərdən keçirək:

Baza varsa b bərabərdir e, onda törəmə sadəcə 1/ x, və nə vaxt x= 1 bu törəmə 1-ə bərabərdir. Baza olmasının başqa bir səbəbi e Loqarifmlə bağlı ən təbii cəhət ondan ibarətdir ki, o, sadə inteqral və ya Teylor seriyası baxımından olduqca sadə şəkildə müəyyən edilə bilər, digər loqarifmlər haqqında isə bunu söyləmək mümkün deyil.

Təbiiliyin əlavə əsaslandırılması nota ilə əlaqəli deyil. Məsələn, təbii loqarifmləri olan bir neçə sadə sıra var. Pietro Mengoli və Nicholas Mercator onları çağırdı logarithmus naturalis Nyuton və Leybnits diferensial və inteqral hesabları inkişaf etdirənə qədər bir neçə onilliklər keçdi.

Tərif

Formal olaraq ln( a) qrafiki 1/ əyrisi altındakı sahə kimi müəyyən edilə bilər. x 1-dən a, yəni inteqral olaraq:

Bu, həqiqətən loqarifmdir, çünki təmin edir əsas mülkiyyət loqarifm:

Bunu icazə verməklə göstərmək olar aşağıdakı kimi:

Rəqəmsal dəyər

Ədədin natural loqarifminin ədədi dəyərini hesablamaq üçün onun Taylor seriyasının genişləndirilməsini aşağıdakı formada istifadə edə bilərsiniz:

almaq üçün daha yaxşı sürət konvergensiya üçün aşağıdakı eynilikdən istifadə edə bilərik:

bir şərtlə ki y = (x−1)/(x+1) və x > 0.

ln üçün( x), Harada x> 1, dəyər daha yaxındır x sonra 1-ə daha sürətli sürət yaxınlaşma. Loqarifmlə əlaqəli şəxsiyyətlər məqsədə çatmaq üçün istifadə edilə bilər:

Bu üsullar hesablayıcıların meydana çıxmasından əvvəl də istifadə olunurdu, bunun üçün ədədi cədvəllər istifadə olunurdu və yuxarıda təsvir edilənlərə bənzər manipulyasiyalar aparılırdı.

Yüksək dəqiqlik

Çoxlu sayda dəqiq rəqəmlərlə təbii loqarifmin hesablanması üçün Teylor seriyası effektiv deyil, çünki onun yaxınlaşması yavaşdır. Alternativ sırası daha tez birləşən eksponensial funksiyaya çevrilmək üçün Nyuton metodundan istifadə etməkdir.

Çox yüksək hesablama dəqiqliyi üçün alternativ düsturdur:

Harada M 1 və 4/s arifmetik-həndəsi ortasını bildirir və

m belə seçilmişdir səh dəqiqlik göstəriciləri əldə edilir. (Əksər hallarda m üçün 8 qiyməti kifayətdir.) Əslində, bu üsuldan istifadə edilərsə, eksponensial funksiyanı səmərəli hesablamaq üçün Nyutonun natural loqarifminin tərsi tətbiq oluna bilər. (ln 2 və pi sabitləri məlum olan sürətlə yaxınlaşan seriyalardan hər hansı istifadə edərək istənilən dəqiqliyə qədər əvvəlcədən hesablana bilər.)

Hesablama mürəkkəbliyi

Natural loqarifmlərin hesablama mürəkkəbliyi (arifmetik-həndəsi ortadan istifadə etməklə) O( M(n)ln n). Budur n natural loqarifmin qiymətləndirilməli olduğu dəqiqlik rəqəmlərinin sayıdır və M(n) ikinin vurulmasının hesablama mürəkkəbliyidir n-rəqəmli nömrələr.

Davamlı fraksiyalar

Loqarifmanı təmsil etmək üçün sadə davamlı kəsrlər olmasa da, bir neçə ümumiləşdirilmiş kəsr istifadə edilə bilər, o cümlədən:

Kompleks loqarifmlər

Eksponensial funksiya formanın kompleks sayını verən funksiyaya qədər genişləndirilə bilər e x istənilən ixtiyari kompleks ədəd üçün x, bu halda kompleksi olan sonsuz sıra x. Bu eksponensial funksiya adi loqarifmlərin əksər xassələrinə malik olacaq mürəkkəb loqarifm yaratmaq üçün tərsinə çevrilə bilər. Bununla belə, iki çətinlik var: yoxdur x, bunun üçün e x= 0 və belə çıxır ki e 2πi = 1 = e 0 . Multiplikativlik xassəsi mürəkkəb eksponensial funksiya üçün etibarlı olduğu üçün e z = e z+2nπi bütün komplekslər üçün z və bütöv n.

Loqarifmi bütün kompleks müstəvidə müəyyən etmək mümkün deyil və buna görə də çoxqiymətlidir - istənilən mürəkkəb loqarifmi 2-yə istənilən tam ədədi əlavə etməklə "ekvivalent" loqarifmlə əvəz etmək olar. πi. Mürəkkəb loqarifm yalnız kompleks müstəvinin bir dilimində tək-qiymətli ola bilər. Məsələn, ln i = 1/2 πi və ya 5/2 πi və ya −3/2 πi və s., və baxmayaraq ki i 4 = 1.4 log i 2 kimi müəyyən edilə bilər πi, və ya 10 πi və ya −6 πi, və s.

Həmçinin baxın

John Napier - loqarifmlərin ixtiraçısı

Qeydlər

Fiziki kimya üçün riyaziyyat. - 3-cü. - Akademik Mətbuat, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, 9-cu səhifədən çıxarış
JJO"Connor və EF Robertson Nömrə e. MacTutor Riyaziyyat Tarixi arxivi (Sentyabr 2001). Arxivləşdirilib
Cajori Florian Riyaziyyat tarixi, 5-ci nəşr. - AMS Kitabevi, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
Fleşmen, Martin Polinomlardan istifadə edərək inteqralların qiymətləndirilməsi. 12 fevral 2012-ci il tarixində orijinaldan arxivləşdirilib.

tez-tez bir nömrə götürün e = 2,718281828 . Bu bazaya əsaslanan loqarifmlər adlanır təbii. Təbii loqarifmlərlə hesablamalar apararkən işarə ilə işləmək adi haldır ln, yox log; sayı isə 2,718281828 , əsasını müəyyən edənlər göstərilmir.

Başqa sözlə, formula belə görünəcək: təbii loqarifm nömrələr X- bu, rəqəmin qaldırılmalı olduğu bir göstəricidir e almaq x.

Belə ki, ln(7,389...)= 2, çünki e 2 =7,389... . Ədədin özünün natural loqarifmi e= 1 çünki e 1 =e, və birliyin natural loqarifmi sıfırdır, çünki e 0 = 1.

Nömrənin özü e monoton məhdud ardıcıllığın limitini müəyyən edir

hesablanır ki e = 2,7182818284... .

Çox vaxt bir nömrəni yaddaşda düzəltmək üçün tələb olunan nömrənin rəqəmləri bəzi görkəmli tarixlə əlaqələndirilir. Ədədin ilk doqquz rəqəmini yadda saxlamaq sürəti e ondalık nöqtədən sonra 1828-ci ilin Lev Tolstoyun doğum ili olduğunu görsəniz artacaq!

Bu gün təbii loqarifmlərin kifayət qədər tam cədvəlləri mövcuddur.

Təbii loqarifm qrafiki(funksiyalar y =ln x) eksponent qrafikin düz xəttin güzgü şəkli olmasının nəticəsidir y = x və formaya malikdir:

Təbii loqarifm hər müsbət həqiqi ədəd üçün tapıla bilər aəyri altındakı sahə kimi y = 1/x-dan 1 üçün a.

Təbii loqarifmin iştirak etdiyi bir çox digər düsturlara uyğun gələn bu formulun elementar təbiəti “təbii” adının yaranmasına səbəb olmuşdur.

Təhlil etsəniz təbii loqarifm, real dəyişənin real funksiyası kimi, o zaman fəaliyyət göstərir tərs funksiyaşəxsiyyətlərə endirən eksponensial funksiyaya:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Bütün loqarifmlərə bənzətməklə, natural loqarifm vurmanı toplamaya, bölməni çıxmaya çevirir:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Təkcə üçün deyil, birə bərabər olmayan hər bir müsbət baza üçün loqarifm tapıla bilər e, lakin digər əsaslar üçün loqarifmlər natural loqarifmdən yalnız sabit əmsala görə fərqlənir və adətən natural loqarifm baxımından müəyyən edilir.

Təhlil edərək təbii loqarifm qrafiki, dəyişənin müsbət qiymətləri üçün mövcud olduğunu görürük x. Tərif sahəsində monoton olaraq artır.

At x → 0 natural loqarifmin həddi mənfi sonsuzdur ( -∞ ).Saat x → +∞ natural loqarifmin həddi üstəgəl sonsuzdur ( + ∞ ). Ümumilikdə x Loqarifm olduqca yavaş artır. İstənilən güc funksiyası xa müsbət göstərici ilə a loqarifmdən daha sürətli artır. Təbii loqarifm monoton artan funksiyadır, ona görə də onun ekstremal nöqtəsi yoxdur.

İstifadəsi təbii loqarifmlər ali riyaziyyatdan keçərkən çox rasionaldır. Beləliklə, loqarifmdən istifadə naməlumların eksponent kimi göründüyü tənliklərin cavabını tapmaq üçün əlverişlidir. Hesablamalarda təbii loqarifmlərin istifadəsi çox sadələşdirməyə imkan verir çox sayda riyazi düsturlar. Baza loqarifmlər e əhəmiyyətli sayda fiziki məsələlərin həllində iştirak edir və təbii olaraq ayrı-ayrı kimyəvi, bioloji və digər proseslərin riyazi təsvirinə daxil edilir. Beləliklə, loqarifmlərdən məlum yarımparçalanma dövrü üçün parçalanma sabitini hesablamaq və ya radioaktivlik məsələlərinin həllində parçalanma vaxtını hesablamaq üçün istifadə olunur. Onlarda çıxış edirlər aparıcı rol riyaziyyatın və praktiki elmlərin bir çox sahələrində həll etmək üçün maliyyə sahəsində müraciət edirlər. çox sayda tapşırıqlar, o cümlədən mürəkkəb faizlərin hesablanması.

Təbii loqarifm bazanın loqarifmidir , Harada e (\displaystyle e)- təqribən 2,72-yə bərabər olan irrasional sabit. kimi qeyd olunur ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) və ya bəzən sadəcə log ⁡ x (\displaystyle \log x), əgər baza e (\displaystyle e) nəzərdə tutulur. Başqa sözlə, ədədin natural loqarifmi x- bu, rəqəmin qaldırılmalı olduğu bir göstəricidir e almaq x. Bu tərif kompleks ədədlərə qədər genişləndirilə bilər.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), çünki e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), çünki e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Təbii loqarifmi istənilən müsbət həqiqi ədəd üçün həndəsi olaraq da təyin etmək olar aəyri altındakı sahə kimi y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) arasında [ 1 ; a ] (\displaystyle). Bu loqarifmanı istifadə edən bir çox digər düsturlarla uyğun gələn bu tərifin sadəliyi “təbii” adının mənşəyini izah edir.

Əgər natural loqarifmanı real dəyişənin real funksiyası hesab etsək, o zaman eksponensial funksiyanın tərs funksiyası eyniliklərə gətirib çıxarır:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\dörd (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\dörd (a>0).)

Bütün loqarifmlər kimi, təbii loqarifm də vurmanı toplama ilə əlaqələndirir:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Bildiyiniz kimi, ifadələri dərəcələrlə vurarkən onların göstəriciləri həmişə toplanır (a b *a c = a b+c). Bu riyazi qanunu Arximed çıxarmışdır və sonralar 8-ci əsrdə riyaziyyatçı Virasen tam ədədlər cədvəlini yaratmışdır. Məhz onlar loqarifmlərin sonrakı kəşfinə xidmət etmişlər. Bu funksiyadan istifadə nümunələri demək olar ki, hər yerdə tapıla bilər, burada sadə toplama ilə çətin vurmanı sadələşdirmək lazımdır. Bu məqaləni oxumağa 10 dəqiqə vaxt ayırsanız, sizə loqarifmlərin nə olduğunu və onlarla necə işləməyi izah edəcəyik. Sadə və əlçatan dildə.

Riyaziyyatda tərif

Loqarifm aşağıdakı formanın ifadəsidir: log a b=c, yəni hər hansı qeyri-mənfi ədədin (yəni hər hansı müsbət) “b”-nin “a” bazasına loqarifmi “c” qüvvəsi hesab olunur. ” nəticədə “b” dəyərini əldə etmək üçün “a” bazası qaldırılmalıdır. Nümunələrdən istifadə edərək loqarifmanı təhlil edək, tutaq ki, log 2 ifadəsi var 8. Cavabı necə tapmaq olar? Çox sadədir, elə bir güc tapmaq lazımdır ki, 2-dən tələb olunan gücə 8-ə çatasınız. Beyninizdə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra 3 rəqəmini alırıq! Və bu doğrudur, çünki 2-nin 3-ün qüvvəsi 8 kimi cavab verir.

Loqarifmlərin növləri

Bir çox şagird və tələbələr üçün bu mövzu mürəkkəb və anlaşılmaz görünür, amma əslində loqarifmlər o qədər də qorxulu deyil, əsas odur ki, onların ümumi mənasını başa düşmək və xassələrini və bəzi qaydaları yadda saxlamaq lazımdır. Loqarifmik ifadələrin üç ayrı növü var:

Təbii loqarifm ln a, burada əsas Eyler ədədidir (e = 2.7).
Ondalık a, burada əsas 10-dur.
a>1 əsası üçün istənilən b ədədinin loqarifmi.

Onların hər birinə qərar verilir standart şəkildə loqarifmik teoremlərdən istifadə etməklə sadələşdirmə, reduksiya və sonradan bir loqarifmə endirmə daxildir. Loqarifmlərin düzgün dəyərlərini əldə etmək üçün onların xassələrini və həlli zamanı hərəkətlərin ardıcıllığını yadda saxlamalısınız.

Qaydalar və bəzi məhdudiyyətlər

Riyaziyyatda bir neçə qayda-məhdudiyyət var ki, onlar aksioma kimi qəbul edilir, yəni müzakirə mövzusu deyil və həqiqətdir. Məsələn, ədədləri sıfıra bölmək mümkün deyil, ondan cüt kök çıxarmaq da mümkün deyil mənfi ədədlər. Loqarifmlərin də öz qaydaları var, onlara əməl etməklə hətta uzun və tutumlu loqarifmik ifadələrlə işləməyi asanlıqla öyrənə bilərsiniz:

“a” bazası həmişə sıfırdan böyük, 1-ə bərabər olmamalıdır, əks halda ifadə öz mənasını itirəcək, çünki “1” və “0” istənilən dərəcədə həmişə onların qiymətlərinə bərabərdir;
a > 0 olarsa, a b >0 olarsa, belə çıxır ki, “c” də sıfırdan böyük olmalıdır.

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

Məsələn, 10 x = 100 tənliyinin cavabını tapmaq tapşırığı verilir. Bu çox asandır, 100 aldığımız on rəqəmini qaldıraraq güc seçmək lazımdır. Bu, təbii ki, 10 2 = 100.

İndi bu ifadəni loqarifmik formada təqdim edək. Biz log 10 100 = 2 alırıq. Loqarifmləri həll edərkən, verilmiş ədədi əldə etmək üçün loqarifmin əsasını daxil etmək lazım olan gücü tapmaq üçün bütün hərəkətlər praktiki olaraq birləşir.

Naməlum dərəcənin dəyərini dəqiq müəyyən etmək üçün dərəcələr cədvəli ilə işləməyi öyrənməlisiniz. Bu belə görünür:

Gördüyünüz kimi, bəzi eksponentləri intuitiv olaraq təxmin etmək olar, əgər texniki ağlınız və vurma cədvəli haqqında məlumatınız varsa. Bununla birlikdə, daha böyük dəyərlər üçün bir güc masasına ehtiyacınız olacaq. Ondan hətta mürəkkəb riyazi mövzular haqqında heç nə bilməyənlər də istifadə edə bilər. Sol sütunda rəqəmlər var (a bazası), nömrələrin yuxarı cərgəsi a rəqəminin qaldırıldığı c gücünün dəyəridir. Kəsişmədə xanalar cavab olan rəqəm dəyərlərini ehtiva edir (a c = b). Məsələn, 10 rəqəmi olan ilk xananı götürək və onun kvadratını götürək, iki xanamızın kəsişməsində göstərilən 100 qiymətini alırıq. Hər şey o qədər sadə və asandır ki, hətta ən həqiqi humanist də başa düşəcək!

Tənliklər və bərabərsizliklər

Belə çıxır ki, müəyyən şərtlərdə göstərici loqarifmdir. Buna görə də istənilən riyazi ədədi ifadələr loqarifmik bərabərlik kimi yazıla bilər. Məsələn, 3 4 =81, dördə bərabər olan 81-in 3 loqarifmi kimi yazıla bilər (log 3 81 = 4). üçün mənfi güclər qaydalar eynidir: 2 -5 = 1/32 onu loqarifm kimi yazırıq, log 2 (1/32) = -5 alırıq. Riyaziyyatın ən maraqlı bölmələrindən biri “loqarifmlər” mövzusudur. Aşağıda onların xassələrini öyrəndikdən dərhal sonra tənliklərin nümunələrinə və həllərinə baxacağıq. İndi bərabərsizliklərin necə göründüyünə və onları tənliklərdən necə fərqləndirəcəyinə baxaq.

Aşağıdakı ifadə verilir: log 2 (x-1) > 3 - loqarifmik bərabərsizlikdir, çünki naməlum “x” dəyəri loqarifmik işarənin altındadır. Həm də ifadədə iki kəmiyyət müqayisə edilir: iki əsas üçün istədiyiniz ədədin loqarifmi üç rəqəmindən böyükdür.

Loqarifmik tənliklərlə bərabərsizliklər arasındakı ən mühüm fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmalı tənliklər (məsələn, 2 x = √9 loqarifmi) bir və ya bir neçə konkret cavabı nəzərdə tutur. ədədi dəyərlər, bərabərsizliyi həll edərkən həm icazə verilən dəyərlər diapazonu, həm də bu funksiyanın kəsilmə nöqtələri müəyyən edilir. Nəticə etibarı ilə cavab tənliyin cavabında olduğu kimi fərdi ədədlərin sadə dəsti deyil, davamlı sıra və ya ədədlər toplusudur.

Loqarifmlər haqqında əsas teoremlər

Loqarifmin dəyərlərini tapmaq üçün ibtidai tapşırıqları həll edərkən, onun xüsusiyyətləri məlum olmaya bilər. Lakin loqarifmik tənliklərdən və ya bərabərsizliklərdən söhbət gedəndə, ilk növbədə, loqarifmin bütün əsas xassələrini aydın başa düşmək və praktikada tətbiq etmək lazımdır. Tənlik nümunələrinə daha sonra baxacağıq, gəlin əvvəlcə hər bir xassəni daha ətraflı nəzərdən keçirək;

Əsas şəxsiyyət belə görünür: a logaB =B. O, yalnız a 0-dan böyük, birə bərabər deyil və B sıfırdan böyük olduqda tətbiq edilir.
Məhsulun loqarifmini aşağıdakı düsturla təqdim etmək olar: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu halda ilkin şərt edir: d, s 1 və s 2 > 0; a≠1. Bu loqarifmik düstur üçün misallar və həll yolu ilə sübut verə bilərsiniz. log a s 1 = f 1 və log a s 2 = f 2, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2. Alırıq ki, s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (xassələr) dərəcə ) və sonra tərifinə görə: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, sübut edilməli olan şeydir.
Hissənin loqarifmi belə görünür: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Düstur şəklində olan teorem aşağıdakı formanı alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu düstur “loqarifm dərəcəsinin xassəsi” adlanır. O, adi dərəcələrin xassələrinə bənzəyir və təəccüblü deyil, çünki bütün riyaziyyat təbii postulatlara əsaslanır. Gəlin sübuta baxaq.

Log a b = t olsun, a t =b çıxır. Hər iki hissəni m qüvvəsinə qaldırsaq: a tn = b n ;

lakin a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t, sonra log a q b n = n/q log a b. Teorem sübut edilmişdir.

Problemlər və bərabərsizliklər nümunələri

Loqarifmlər üzrə ən çox yayılmış məsələlər tənlik və bərabərsizlik nümunələridir. Onlar demək olar ki, bütün problem kitablarında olur və eyni zamanda riyaziyyat imtahanlarının tələb olunan hissəsidir. Universitetə daxil olmaq və ya riyaziyyatdan qəbul imtahanlarından keçmək üçün bu cür tapşırıqları necə düzgün həll edəcəyinizi bilməlisiniz.

Təəssüf ki, loqarifmin naməlum qiymətinin həlli və təyini üçün vahid plan və ya sxem yoxdur, lakin hər bir riyazi bərabərsizliyə və ya loqarifmik tənliyə müəyyən qaydalar tətbiq oluna bilər. Hər şeydən əvvəl, ifadənin sadələşdirilə və ya səbəb ola biləcəyini öyrənməlisiniz ümumi görünüş. Uzun olanları sadələşdirin loqarifmik ifadələr xassələrindən düzgün istifadə etsəniz mümkündür. Gəlin onlarla tez tanış olaq.

Loqarifmik tənlikləri həll edərkən biz hansı növ loqarifmə malik olduğumuzu müəyyən etməliyik: nümunə ifadəsi təbii loqarifmi və ya onluqdan ibarət ola bilər.

Budur ln100, ln1026 nümunələri. Onların həlli əsas 10-un müvafiq olaraq 100 və 1026-ya bərabər olacağı gücü təyin etmələri lazım olduğuna qədər qaynar. Təbii loqarifmlərin həlli üçün müraciət etməlisiniz loqarifmik eyniliklər və ya onların xassələri. Müxtəlif tipli loqarifmik məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.

Loqarifm düsturlarından necə istifadə etməli: Nümunələr və həllər ilə

Beləliklə, loqarifmlər haqqında əsas teoremlərdən istifadə nümunələrinə baxaq.

Məhsulun loqarifminin xüsusiyyəti genişləndirilməsi lazım olan vəzifələrdə istifadə edilə bilər böyük dəyər b ədədlərini daha sadə amillərə çevirin. Məsələn, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cavab 9-dur.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüyünüz kimi, loqarifmin gücünün dördüncü xassəsindən istifadə edərək, mürəkkəb və həll olunmayan zahirən bir ifadəni həll edə bildik. Siz sadəcə bazanı faktorlara ayırmalı və sonra eksponent dəyərləri loqarifmin işarəsindən çıxarmalısınız.

Vahid Dövlət İmtahanından tapşırıqlar

Logarifmlərə tez-tez qəbul imtahanlarında, xüsusən də Vahid Dövlət İmtahanında (bütün məktəb məzunları üçün dövlət imtahanı) bir çox logarifmik problemə rast gəlinir. Tipik olaraq, bu tapşırıqlar təkcə A hissəsində (imtahanın ən asan test hissəsi) deyil, həm də C hissəsində (ən mürəkkəb və həcmli tapşırıqlar) mövcuddur. İmtahan “Təbii loqarifmlər” mövzusunda dəqiq və mükəmməl bilik tələb edir.

Problemlərin nümunələri və həlli rəsmi şəxslərdən götürülür Vahid Dövlət İmtahan variantları. Bu cür vəzifələrin necə həll edildiyinə baxaq.

Verilmiş log 2 (2x-1) = 4. Həlli:
ifadəni bir az sadələşdirərək yenidən yazaq log 2 (2x-1) = 2 2, loqarifmin tərifindən alırıq ki, 2x-1 = 2 4, buna görə də 2x = 17; x = 8.5.

Həll çətin və çaşdırıcı olmaması üçün bütün loqarifmləri eyni bazaya endirmək daha yaxşıdır.
Loqarifm işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət kimi göstərilir, buna görə də loqarifm işarəsi altında olan və əsası olan ifadənin göstəricisi çarpan kimi çıxarıldıqda, loqarifmin altında qalan ifadə müsbət olmalıdır.