Loqarifmin tərifi, əsas loqarifmik eynilik. Loqarifm nədir? Loqarifmlərin həlli

Bu məqalənin diqqət mərkəzindədir loqarifm. Burada loqarifmin tərifini verəcəyik, qəbul edilmiş qeydi göstərəcəyik, loqarifmə nümunələr verəcəyik, natural və onluq loqarifmlərdən danışacağıq. Bundan sonra əsas olana baxaq loqarifmik eynilik.

Səhifə naviqasiyası.

Loqarifmin tərifi

Loqarifm anlayışı problemi müəyyən tərs mənada həll edərkən, bir eksponent tapmaq lazım olduqda yaranır. məlum dəyər dərəcə və məlum əsas.

Ancaq kifayət qədər ön söz, "loqarifm nədir" sualına cavab verməyin vaxtı gəldi? Müvafiq tərifi verək.

Tərif.

a əsasına b-nin loqarifmi, burada a>0, a≠1 və b>0 nəticədə b almaq üçün a ədədini yüksəltməli olduğunuz göstəricidir.

Bu mərhələdə qeyd edirik ki, danışılan “loqarifm” sözü dərhal iki əlavə sual doğurmalıdır: “hansı rəqəm” və “hansı əsasda”. Başqa sözlə, sadəcə olaraq loqarifm yoxdur, ancaq ədədin hansısa bazaya loqarifmi var.

Dərhal daxil olaq loqarifm qeydi: b ədədinin a əsası üçün loqarifmi adətən log a b kimi işarələnir. b ədədinin e bazasına loqarifmi və 10 bazasına loqarifmi müvafiq olaraq lnb və logb öz xüsusi təyinatlarına malikdir, yəni log e b deyil, lnb və log 10 b deyil, lgb yazırlar.

İndi verə bilərik: .
Və qeydlər mənası yoxdur, çünki onlardan birincisində loqarifmin işarəsi var mənfi rəqəm, ikincidə əsasda mənfi ədəd, üçüncüdə isə loqarifm işarəsi altında mənfi ədəd və bazada vahid var.

İndi haqqında danışaq loqarifmləri oxumaq qaydaları. Log a b "a əsasına b-nin loqarifmi" kimi oxunur. Məsələn, log 2 3 üçün 2-nin loqarifmidir və iki nöqtənin üçdə ikisinin əsas 2-nin loqarifmidir kvadrat kök beşdən. e bazasına loqarifm deyilir təbii loqarifm, və lnb qeydi "b-nin təbii loqarifmini" oxuyur. Məsələn, ln7 yeddinin natural loqarifmidir və biz onu pi-nin natural loqarifmi kimi oxuyacağıq. Əsas 10 loqarifminin də xüsusi adı var - onluq loqarifm, və lgb "b-nin ondalıq loqarifmi" kimi oxunur. Məsələn, lg1 birin onluq loqarifmidir, lg2.75 isə iki nöqtə yeddi beş yüzdə birinin onluq loqarifmidir.

Loqarifmin tərifinin verildiyi a>0, a≠1 və b>0 şərtləri üzərində ayrıca dayanmağa dəyər. Bu məhdudiyyətlərin haradan gəldiyini izah edək. Yuxarıda verilmiş loqarifmin tərifindən birbaşa irəli gələn formanın bərabərliyi bunu etməyə kömək edəcəkdir.

a≠1 ilə başlayaq. Hər hansı bir güc birə bərabər olduğundan bərabərlik yalnız b=1 olduqda doğru ola bilər, lakin log 1 1 istənilən həqiqi ədəd ola bilər. Bu qeyri-müəyyənliyin qarşısını almaq üçün a≠1 qəbul edilir.

a>0 şərtinin məqsədəuyğunluğunu əsaslandıraq. a=0 ilə, loqarifmin tərifi ilə biz bərabərliyə malik olardıq, bu yalnız b=0 ilə mümkündür. Lakin sonra log 0 0 istənilən sıfırdan fərqli real ədəd ola bilər, çünki sıfırdan sıfırdan hər hansı bir güc sıfırdır. a≠0 şərti bu qeyri-müəyyənlikdən qaçmağa imkan verir. Və nə vaxt a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nəhayət, a>0 bərabərsizliyindən b>0 şərti yaranır, çünki , və müsbət əsası a olan gücün qiyməti həmişə müsbətdir.

Bu bəndi yekunlaşdırmaq üçün deyək ki, loqarifmin göstərilən tərifi loqarifmin işarəsi altındakı ədəd bazanın müəyyən gücü olduqda dərhal loqarifmin dəyərini göstərməyə imkan verir. Həqiqətən də, loqarifmin tərifi onu bildirməyə imkan verir ki, əgər b=a p olarsa, b ədədinin a əsası üçün loqarifmi p-yə bərabərdir. Yəni log a a p =p bərabərliyi doğrudur. Məsələn, biz bilirik ki, 2 3 =8, sonra log 2 8=3. Bu barədə məqalədə daha ətraflı danışacağıq.

İbtidai səviyyəli cəbrin elementlərindən biri loqarifmdir. Adı gəlir yunan dili“nömrə” və ya “qüvvət” sözündəndir və son ədədi tapmaq üçün əsasdakı rəqəmin qaldırılmalı olduğu güc deməkdir.

Loqarifmlərin növləri

• log a b – a əsasına b ədədinin loqarifmi (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – onluq loqarifm (10 bazasına loqarifm, a = 10);
• ln b – natural loqarifm (e əsasına loqarifm, a = e).

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

b-nin a əsasının loqarifmi, b-nin a əsasına qaldırılmasını tələb edən göstəricidir. Alınan nəticə belə tələffüz edilir: “b-nin a əsasına loqarifmi”. Loqarifmik məsələlərin həlli ondan ibarətdir ki, göstərilən ədədlərdən ədədlərlə verilmiş gücü təyin etmək lazımdır. Loqarifmanı təyin etmək və ya həll etmək, həmçinin qeydin özünü çevirmək üçün bəzi əsas qaydalar var. Onlardan istifadə etməklə loqarifmik tənliklər həll edilir, törəmələr tapılır, inteqrallar həll edilir və bir çox başqa əməliyyatlar yerinə yetirilir. Əsasən, loqarifmin özünün həlli onun sadələşdirilmiş qeydidir. Aşağıda əsas düsturlar və xüsusiyyətlər verilmişdir:

Hər hansı bir a üçün; a > 0; a ≠ 1 və istənilən x üçün; y > 0.

• a log a b = b – əsas loqarifmik eynilik
• log a 1 = 0
• loqa a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 üçün
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – yeni bazaya keçmək üçün düstur
• log a x = 1/log x a

Loqarifmləri necə həll etmək olar - həll etmək üçün addım-addım təlimat

• Əvvəlcə tələb olunan tənliyi yazın.

Diqqət yetirin: əgər əsas loqarifm 10-dursa, onda giriş qısaldılır, nəticədə onluq loqarifm yaranır. Əgər dəyərsə natural ədəd e, sonra onu təbii loqarifmə endirərək yazırıq. Bu o deməkdir ki, bütün loqarifmlərin nəticəsi b ədədini almaq üçün əsas ədədin qaldırıldığı gücdür.

Birbaşa həll yolu bu dərəcənin hesablanmasındadır. İfadəni loqarifmlə həll etməzdən əvvəl onu qaydaya əsasən, yəni düsturlardan istifadə etməklə sadələşdirmək lazımdır. Məqalədə bir az geriyə qayıtmaqla əsas şəxsiyyətləri tapa bilərsiniz.

İki fərqli rəqəmlə loqarifmlərin toplanması və çıxılması, lakin ilə eyni əsaslarla, müvafiq olaraq b və c ədədlərinin hasili və ya bölgüsü ilə bir loqarifmlə əvəz edin. Bu halda, başqa bir bazaya keçmək üçün formula tətbiq edə bilərsiniz (yuxarıya baxın).

Əgər loqarifmanı sadələşdirmək üçün ifadələrdən istifadə edirsinizsə, nəzərə alınmalı bəzi məhdudiyyətlər var. Və budur: loqarifmin əsası a yalnızdır müsbət rəqəm, lakin birinə bərabər deyil. b sayı, a kimi, sıfırdan böyük olmalıdır.

Elə hallar var ki, ifadəni sadələşdirməklə siz loqarifmanı ədədi olaraq hesablaya bilməyəcəksiniz. Belə bir ifadənin mənası yoxdur, çünki bir çox güclər irrasional ədədlərdir. Bu şərtlə ədədin gücünü loqarifm olaraq buraxın.

Loqarifmləri öyrənməyə davam edirik. Bu yazıda biz danışacağıq loqarifmlərin hesablanması, bu proses adlanır loqarifm. Əvvəlcə loqarifmlərin tərifinə görə hesablanmasını başa düşəcəyik. Sonra, xassələrindən istifadə edərək loqarifmlərin qiymətlərinin necə tapıldığına baxaq. Bundan sonra, digər loqarifmlərin ilkin müəyyən edilmiş qiymətləri vasitəsilə loqarifmləri hesablamağa diqqət yetirəcəyik. Nəhayət, loqarifm cədvəllərindən necə istifadə edəcəyimizi öyrənək. Bütün nəzəriyyə ətraflı həlləri olan nümunələrlə təmin edilmişdir.

Səhifə naviqasiyası.

Loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması

Ən sadə hallarda kifayət qədər tez və asanlıqla yerinə yetirmək mümkündür loqarifmin tərifinə görə tapılması. Bu prosesin necə baş verdiyinə daha yaxından nəzər salaq.

Onun mahiyyəti b ədədini a c şəklində təmsil etməkdir ki, ondan loqarifmin tərifinə görə c ədədi loqarifmin qiymətidir. Yəni tərifinə görə aşağıdakı bərabərlik zənciri loqarifmin tapılmasına uyğundur: log a b=log a a c =c.

Beləliklə, loqarifmin tərifinə görə hesablanması, c ədədinin tapılmasına gəlir ki, a c = b olsun və c ədədinin özü loqarifmin istənilən qiymətidir.

Əvvəlki bəndlərdəki məlumatları nəzərə alaraq, loqarifm işarəsi altındakı ədəd loqarifm bazasının müəyyən gücü ilə verildikdə, dərhal loqarifmin nəyə bərabər olduğunu göstərə bilərsiniz - bu eksponentə bərabərdir. Nümunələrə həll yollarını göstərək.

Misal.

log 2 2 −3 tapın, həmçinin e 5,3 ədədinin natural loqarifmini hesablayın.

Həll.

Loqarifmin tərifi dərhal log 2 2 −3 =−3 olduğunu söyləməyə imkan verir. Həqiqətən, loqarifm işarəsi altındakı ədəd −3 gücünə 2 bazasına bərabərdir.

Eynilə, ikinci loqarifmi tapırıq: lne 5.3 =5.3.

Cavab:

log 2 2 −3 =−3 və lne 5,3 =5,3.

Əgər loqarifm işarəsinin altındakı b rəqəmi loqarifmin əsasının gücü kimi göstərilməyibsə, onda siz b rəqəminin a c şəklində təsvirini tapmağın mümkün olub-olmadığını diqqətlə araşdırmaq lazımdır. Tez-tez bu təmsil olduqca açıqdır, xüsusən loqarifm işarəsi altındakı rəqəm 1, və ya 2 və ya 3, ... gücünə əsasa bərabər olduqda.

Misal.

log 5 25 və loqarifmlərini hesablayın.

Həll.

25=5 2 olduğunu görmək asandır, bu, birinci loqarifmi hesablamağa imkan verir: log 5 25=log 5 5 2 =2.

İkinci loqarifmin hesablanmasına keçək. Rəqəm 7-nin gücü ilə təmsil oluna bilər: (lazım olduqda baxın). Beləliklə, .

Üçüncü loqarifmanı aşağıdakı formada yenidən yazaq. İndi bunu görə bilərsiniz , bundan belə nəticəyə gəlirik . Buna görə də, loqarifmin tərifi ilə .

Qısaca həlli belə yazmaq olar: .

Cavab:

log 5 25=2 , Və .

Loqarifm işarəsi altında kifayət qədər böyük bir natural ədəd olduqda, onu genişləndirmək zərər vermir əsas amillər. Çox vaxt belə bir ədədi loqarifmin əsasının bəzi gücü kimi təqdim etməyə kömək edir və buna görə də bu loqarifmanı təriflə hesablayın.

Misal.

Loqarifmin qiymətini tapın.

Həll.

Loqarifmlərin bəzi xassələri dərhal loqarifmaların qiymətini təyin etməyə imkan verir. Bu xassələrə vahidin loqarifminin xassələri və ədədin loqarifminin xassələri, bazaya bərabərdir: log 1 1=log a a 0 =0 və log a a=log a a 1 =1 . Yəni loqarifm işarəsinin altında 1 ədədi və ya loqarifmin əsasına bərabər a rəqəmi olduqda, bu hallarda loqarifmlər müvafiq olaraq 0 və 1-ə bərabər olur.

Misal.

Loqarifmlər və log10 nəyə bərabərdir?

Həll.

-dən bəri loqarifmin tərifindən belə çıxır .

İkinci misalda loqarifm işarəsinin altındakı 10 rəqəmi onun bazası ilə üst-üstə düşür, ona görə də onluq loqarifmi birə bərabərdir, yəni lg10=lg10 1 =1.

Cavab:

VƏ lg10=1 .

Qeyd edək ki, loqarifmlərin tərif üzrə hesablanması (bunu əvvəlki bənddə müzakirə etdik) loqarifmlərin xassələrindən biri olan log a a p =p bərabərliyinin istifadəsini nəzərdə tutur.

Təcrübədə loqarifm işarəsi altında olan ədəd və loqarifmin əsası asanlıqla müəyyən ədədin gücü kimi təqdim edildikdə, düsturdan istifadə etmək çox rahatdır. , loqarifmlərin xassələrindən birinə uyğundur. Bu düsturun istifadəsini təsvir edən loqarifmin tapılması nümunəsini nəzərdən keçirək.

Misal.

Loqarifmi hesablayın.

Həll.

Cavab:

.

Hesablamalarda yuxarıda qeyd olunmayan loqarifmlərin xassələrindən də istifadə olunur, lakin bu barədə növbəti paraqraflarda danışacağıq.

Digər məlum loqarifmlər vasitəsilə loqarifmlərin tapılması

Bu paraqrafdakı məlumatlar loqarifmlərin xassələrinin hesablanması zamanı istifadə mövzusunu davam etdirir. Amma burada əsas fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmlərin xassələri orijinal loqarifmanı dəyəri məlum olan başqa bir loqarifmlə ifadə etmək üçün istifadə olunur. Aydınlıq üçün bir misal verək. Tutaq ki, log 2 3≈1.584963 olduğunu bilirik, onda loqarifmin xassələrindən istifadə edərək kiçik bir transformasiya edərək, məsələn, log 2 6-nı tapa bilərik: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yuxarıdakı misalda məhsulun loqarifminin xassəsindən istifadə etmək kifayət idi. Bununla birlikdə, orijinal loqarifmanı verilmiş olanlar vasitəsilə hesablamaq üçün daha çox loqarifmlərin xüsusiyyətlərinin daha geniş arsenalından istifadə etmək lazımdır.

Misal.

log 60 2=a və log 60 5=b olduğunu bilirsinizsə, 27-nin 60-a loqarifmini hesablayın.

Həll.

Beləliklə, log 60 27 tapmalıyıq. Asanlıqla görmək olar ki, 27 = 3 3 və orijinal loqarifm, gücün loqarifm xüsusiyyətinə görə, 3·log 60 3 kimi yenidən yazıla bilər.

İndi gəlin log 60 3-ün məlum loqarifmlərlə necə ifadə olunacağına baxaq. Əsasına bərabər olan ədədin loqarifminin xassəsi 60 60=1 bərabərliyini yazmağa imkan verir. Digər tərəfdən, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Beləliklə, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Beləliklə, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Nəhayət, orijinal loqarifmi hesablayırıq: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Cavab:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Formanın loqarifminin yeni bazasına keçid üçün düsturun mənasını ayrıca qeyd etmək lazımdır. . İstənilən əsaslı loqarifmlərdən qiymətləri məlum olan və ya onları tapmaq mümkün olan konkret əsaslı loqarifmlərə keçməyə imkan verir. Adətən, orijinal loqarifmdan, keçid düsturundan istifadə edərək, 2, e və ya 10 əsaslarından birində loqarifmlərə keçirlər, çünki bu əsaslar üçün onların dəyərlərini müəyyən dərəcədə hesablamağa imkan verən loqarifm cədvəlləri var. dəqiqlik. Növbəti paraqrafda bunun necə edildiyini göstərəcəyik.

Loqarifm cədvəlləri və onların istifadəsi

Loqarifm dəyərlərinin təxmini hesablanması üçün istifadə edilə bilər loqarifm cədvəlləri. Ən çox istifadə edilən baza 2 loqarifm cədvəli cədvəldir təbii loqarifmlər və onluq loqarifmlər cədvəli. İşləyərkən onluq sistemi Hesablama üçün on bazaya əsaslanan loqarifmlər cədvəlindən istifadə etmək rahatdır. Onun köməyi ilə loqarifmlərin dəyərlərini tapmağı öyrənəcəyik.

Təqdim olunan cədvəl 1000-dən 9999-a (üç onluq yerlə) on mində bir dəqiqliklə ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmağa imkan verir. Onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək loqarifmin dəyərini tapmaq prinsipini təhlil edəcəyik konkret misal- bu şəkildə daha aydın olur. log1.256 tapaq.

Onluq loqarifmlər cədvəlinin sol sütununda biz 1.256 rəqəminin ilk iki rəqəmini tapırıq, yəni 1.2-ni tapırıq (aydınlıq üçün bu rəqəm mavi rənglə əhatə olunub). 1.256 (rəqəm 5) rəqəminin üçüncü rəqəmi qoşa sətrin solunda birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu nömrə qırmızı rənglə dövrələnmişdir). İlkin 1.256 rəqəminin dördüncü rəqəmi (6 rəqəmi) qoşa xəttin sağındakı birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu nömrə yaşıl xətt ilə dövrələnmişdir). İndi loqarifm cədvəlinin xanalarında qeyd olunan cərgə və işarələnmiş sütunların kəsişməsində (bu nömrələr narıncı rənglə vurğulanır) rəqəmləri tapırıq. İşarələnmiş ədədlərin cəmi dördüncü ondalığa qədər dəqiq onluq loqarifmin istənilən qiymətini verir, yəni, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Yuxarıdakı cədvəldən istifadə edərək, ondalık nöqtədən sonra üçdən çox rəqəmi olan, habelə 1-dən 9.999-a qədər olan diapazondan kənara çıxan ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmaq mümkündürmü? Bəli, edə bilərsiniz. Bunun necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

lg102.76332-ni hesablayaq. Əvvəlcə yazmaq lazımdır standart formada nömrə: 102,76332=1,0276332·10 2. Bundan sonra, mantissa üçüncü onluq yerə yuvarlaqlaşdırılmalıdır, bizdə var 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, orijinal onluq loqarifmi təqribən olduğu halda loqarifmə bərabərdir alınan ədədi, yəni log102.76332≈lg1.028·10 2 alırıq. İndi loqarifmin xüsusiyyətlərini tətbiq edirik: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nəhayət, lg1.028 onluq loqarifmlər cədvəlindən lg1.028-in qiymətini tapırıq lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Nəticədə, loqarifmin hesablanmasının bütün prosesi belə görünür: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Sonda qeyd etmək lazımdır ki, onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək istənilən loqarifmin təxmini dəyərini hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün, ondalık loqarifmlərə keçmək, cədvəldə onların dəyərlərini tapmaq və qalan hesablamaları yerinə yetirmək üçün keçid düsturundan istifadə etmək kifayətdir.

Məsələn, log 2 3 hesablayaq. Loqarifmin yeni bazasına keçid düsturuna görə bizdə . Onluq loqarifmlər cədvəlindən log3≈0,4771 və log2≈0,3010 tapırıq. Beləliklə, .

İstinadlar.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları cəbr və təhlilin başlanğıcları: Ümumi təhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
• Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik).