Log 1-dən baza 2. Loqarifmlərin xassələri və onların həlli nümunələri

(yunan dilindən λόγος - "söz", "münasibət" və ἀριθμός - "rəqəm") rəqəmlər bəsasında a(log α b) belə bir ədəd adlanır c, Və b= a c, yəni qeydlər log α b=c Və b=ac ekvivalentdirlər. Əgər a > 0, a ≠ 1, b > 0 olarsa, loqarifm məntiqlidir.

Başqa sözlə loqarifm nömrələr bəsasında Aədədin yüksəldilməli olduğu göstərici kimi formalaşdırılır a nömrəni almaq üçün b(loqarifm yalnız müsbət ədədlər üçün mövcuddur).

Bu düsturdan belə çıxır ki, hesablama x= log α b, a x =b tənliyinin həllinə bərabərdir.

Məsələn:

log 2 8 = 3, çünki 8 = 2 3 .

Qeyd edək ki, loqarifmin göstərilən formulası dərhal müəyyən etməyə imkan verir loqarifm dəyəri, loqarifm işarəsi altındakı ədəd əsasın müəyyən gücü kimi çıxış etdikdə. Həqiqətən, loqarifmin tərtibi bunu əsaslandırmağa imkan verir b=a c, sonra ədədin loqarifmi bəsasında a bərabərdir ilə. Loqarifmlər mövzusunun mövzu ilə sıx bağlı olması da aydındır ədədin səlahiyyətləri.

Loqarifmin hesablanması adlanır loqarifm. Loqarifmdir riyazi əməliyyat loqarifmi götürür. Loqarifmlər götürərkən amillərin hasilləri terminlərin cəminə çevrilir.

Potensiasiya loqarifmin tərs riyazi əməliyyatıdır. Potensiasiya zamanı verilmiş baza potensiasiyanın həyata keçirildiyi ifadə dərəcəsinə qaldırılır. Bu zaman terminlərin cəmi amillərin məhsuluna çevrilir.

Çox vaxt real loqarifmlərdən 2 (ikilik), Eyler nömrəsi e ≈ 2.718 (təbii loqarifm) və 10 (onluq) əsasları ilə istifadə olunur.

Bu mərhələdə bunu nəzərə almaq məsləhətdir loqarifm nümunələri log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Və lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 girişlərinin mənası yoxdur, çünki onlardan birincisində mənfi ədəd loqarifm işarəsi altında yerləşdirilir, ikincisində - mənfi rəqəm bazada, üçüncüdə isə - həm loqarifm işarəsi altında mənfi ədəd, həm də bazada vahid.

Loqarifmin təyin edilməsi şərtləri.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 şərtlərini ayrıca nəzərdən keçirməyə dəyər. loqarifmin tərifi. Gəlin bu məhdudiyyətlərin nə üçün alındığını düşünək. Bu işdə bizə x = log α formasının bərabərliyi kömək edəcək b, yuxarıda verilmiş loqarifmin tərifindən birbaşa irəli gələn əsas loqarifmik eynilik adlanır.

Şərti götürək a≠1. Hər hansı bir gücə bərabər olduğu üçün x=log α bərabərliyi b yalnız o zaman mövcud ola bilər b=1, lakin log 1 1 istənilən real rəqəm olacaq. Bu qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmaq üçün alırıq a≠1.

Şərtin zəruriliyini sübut edək a>0. At a=0 loqarifmin tərtibinə görə yalnız zaman mövcud ola bilər b=0. Və buna uyğun olaraq log 0 0 sıfırdan qeyri-sıfır hər hansı bir real ədəd ola bilər, çünki sıfırın sıfırdan hər hansı bir qüvvəsi sıfırdır. Bu qeyri-müəyyənlik şərtlə aradan qaldırıla bilər a≠0. Və nə vaxt a<0 loqarifmin rasional və irrasional qiymətlərinin təhlilindən imtina etməli olardıq, çünki rasional və irrasional eksponentli dərəcə yalnız mənfi olmayan əsaslar üçün müəyyən edilir. Məhz bu səbəbdən şərt qoyulub a>0.

Və son şərt b>0 bərabərsizlikdən irəli gəlir a>0, çünki x=log α b, və müsbət baza ilə dərəcənin dəyəri a həmişə pozitiv.

Loqarifmlərin xüsusiyyətləri.

Loqarifmlər fərqliliyi ilə xarakterizə olunur xüsusiyyətləri, bu, əziyyətli hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırmaq üçün onların geniş istifadəsinə səbəb oldu. “Loqarifmlər dünyasına” keçərkən vurma daha asan toplamaya çevrilir, bölmə çıxmaya, eksponentasiya və kök çıxarma isə müvafiq olaraq eksponentlə vurma və bölməyə çevrilir.

Loqarifmlərin tərtibi və onların qiymət cədvəli (üçün triqonometrik funksiyalar) ilk dəfə 1614-cü ildə Şotlandiya riyaziyyatçısı Con Napier tərəfindən nəşr edilmişdir. Digər alimlər tərəfindən böyüdülmüş və təfərrüatlı şəkildə tərtib edilmiş loqarifmik cədvəllər elmi və mühəndis hesablamalarında geniş şəkildə istifadə edilmiş, elektron hesablama maşınları və kompüterlərdən istifadə olunana qədər öz aktuallığını saxlamışdır.

Bu məqalənin diqqət mərkəzindədir loqarifm. Burada loqarifmin tərifini verəcəyik, qəbul edilmiş qeydi göstərəcəyik, loqarifmə nümunələr verəcəyik, natural və onluq loqarifmlərdən danışacağıq. Bundan sonra biz əsas loqarifmik eyniliyi nəzərdən keçirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Loqarifmin tərifi

Loqarifm anlayışı problemi müəyyən tərs mənada həll edərkən, bir eksponent tapmaq lazım olduqda yaranır. məlum dəyər dərəcə və məlum əsas.

Ancaq kifayət qədər ön söz, "loqarifm nədir" sualına cavab verməyin vaxtı gəldi? Müvafiq tərifi verək.

Tərif.

a əsasına b-nin loqarifmi, burada a>0, a≠1 və b>0 nəticədə b almaq üçün a ədədini yüksəltməli olduğunuz göstəricidir.

Bu mərhələdə qeyd edirik ki, danışılan “loqarifm” sözü dərhal iki əlavə sual doğurmalıdır: “hansı rəqəm” və “hansı əsasda”. Başqa sözlə, sadəcə olaraq loqarifm yoxdur, ancaq ədədin hansısa bazaya loqarifmi var.

Dərhal daxil olaq loqarifm qeydi: b ədədinin a əsası üçün loqarifmi adətən log a b kimi işarələnir. b ədədinin e bazasına loqarifmi və 10 bazasına loqarifmi müvafiq olaraq lnb və logb öz xüsusi təyinatlarına malikdir, yəni log e b deyil, lnb və log 10 b deyil, lgb yazırlar.

İndi verə bilərik: .
Və qeydlər mənası yoxdur, çünki birincisində loqarifm işarəsi altında mənfi ədəd, ikincisində əsasda mənfi ədəd, üçüncüsündə isə loqarifm işarəsi altında mənfi ədəd və vahiddə vahid var. əsas.

İndi bu barədə danışaq loqarifmləri oxumaq qaydaları. Log a b "a əsasına b-nin loqarifmi" kimi oxunur. Məsələn, log 2 3 üçün 2-nin loqarifmidir və iki nöqtənin üçdə ikisinin əsas 2-nin loqarifmidir kvadrat kök beşdən. e bazasına loqarifm deyilir təbii loqarifm, və lnb qeydi "b-nin təbii loqarifmini" oxuyur. Məsələn, ln7 yeddinin natural loqarifmidir və biz onu pi-nin natural loqarifmi kimi oxuyacağıq. Əsas 10 loqarifminin də xüsusi adı var - onluq loqarifm , və lgb "b-nin ondalıq loqarifmi" kimi oxunur. Məsələn, lg1 birin onluq loqarifmidir, lg2.75 isə iki nöqtə yeddi beş yüzdə birinin onluq loqarifmidir.

Loqarifmin tərifinin verildiyi a>0, a≠1 və b>0 şərtləri üzərində ayrıca dayanmağa dəyər. Bu məhdudiyyətlərin haradan gəldiyini izah edək. Yuxarıda verilmiş loqarifmin tərifindən birbaşa irəli gələn formanın bərabərliyi bunu etməyə kömək edəcəkdir.

a≠1 ilə başlayaq. Hər hansı bir güc birə bərabər olduğundan bərabərlik yalnız b=1 olduqda doğru ola bilər, lakin log 1 1 istənilən həqiqi ədəd ola bilər. Bu qeyri-müəyyənliyin qarşısını almaq üçün a≠1 qəbul edilir.

a>0 şərtinin məqsədəuyğunluğunu əsaslandıraq. a=0 ilə, loqarifmin tərifinə görə, biz yalnız b=0 ilə mümkün olan bərabərliyə malik olardıq. Lakin sonra log 0 0 istənilən sıfırdan fərqli real ədəd ola bilər, çünki sıfırdan sıfırdan hər hansı bir güc sıfırdır. a≠0 şərti bu qeyri-müəyyənlikdən qaçmağa imkan verir. Və nə vaxt a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nəhayət, a>0 bərabərsizliyindən b>0 şərti yaranır, çünki , və müsbət əsası a olan gücün qiyməti həmişə müsbətdir.

Bu bəndi yekunlaşdırmaq üçün deyək ki, loqarifmin göstərilən tərifi loqarifmin işarəsi altındakı ədəd bazanın müəyyən gücü olduqda dərhal loqarifmin dəyərini göstərməyə imkan verir. Həqiqətən də, loqarifmin tərifi onu bildirməyə imkan verir ki, əgər b=a p olarsa, b ədədinin a əsası üçün loqarifmi p-yə bərabərdir. Yəni log a a p =p bərabərliyi doğrudur. Məsələn, biz bilirik ki, 2 3 =8, sonra log 2 8=3. Bu barədə məqalədə daha ətraflı danışacağıq.

İbtidai səviyyəli cəbrin elementlərindən biri loqarifmdir. Adı gəlir yunan dili“nömrə” və ya “güc” sözündəndir və son ədədi tapmaq üçün əsasdakı rəqəmin nə dərəcədə qaldırılmalı olduğunu bildirir.

Loqarifmlərin növləri

• log a b – a əsasına b ədədinin loqarifmi (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – onluq loqarifm (10 bazasına loqarifm, a = 10);
• ln b – natural loqarifm (e əsasına loqarifm, a = e).

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

b-nin a əsasının loqarifmi, b-nin a əsasına qaldırılmasını tələb edən göstəricidir. Alınan nəticə belə tələffüz edilir: “b-nin a əsasına loqarifmi”. Loqarifmik məsələlərin həlli ondan ibarətdir ki, göstərilən ədədlərdən ədədlərlə verilmiş gücü təyin etmək lazımdır. Loqarifmanı təyin etmək və ya həll etmək, həmçinin qeydin özünü çevirmək üçün bəzi əsas qaydalar var. Onlardan istifadə etməklə loqarifmik tənliklər həll edilir, törəmələr tapılır, inteqrallar həll edilir və bir çox başqa əməliyyatlar həyata keçirilir. Əsasən, loqarifmin özünün həlli onun sadələşdirilmiş qeydidir. Aşağıda əsas düsturlar və xüsusiyyətlər verilmişdir:

Hər hansı bir a üçün; a > 0; a ≠ 1 və istənilən x üçün; y > 0.

• a log a b = b – əsas loqarifmik eynilik
• log a 1 = 0
• loqa a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 üçün
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – yeni bazaya keçmək üçün düstur
• log a x = 1/log x a

Loqarifmləri necə həll etmək olar - həll etmək üçün addım-addım təlimat

• Əvvəlcə tələb olunan tənliyi yazın.

Diqqət yetirin: əgər əsas loqarifm 10-dursa, onda giriş qısaldılır, nəticədə onluq loqarifm yaranır. Əgər dəyərsə natural ədəd e, sonra onu təbii loqarifmə endirərək yazırıq. Bu o deməkdir ki, bütün loqarifmlərin nəticəsi b ədədini almaq üçün əsas ədədin qaldırıldığı gücdür.

Birbaşa həll yolu bu dərəcənin hesablanmasındadır. İfadəni loqarifmlə həll etməzdən əvvəl onu qaydaya əsasən, yəni düsturlardan istifadə etməklə sadələşdirmək lazımdır. Məqalədə bir az geriyə qayıtmaqla əsas şəxsiyyətləri tapa bilərsiniz.

İki fərqli rəqəmlə loqarifmlərin toplanması və çıxılması, lakin ilə eyni əsaslarla, müvafiq olaraq b və c ədədlərinin hasili və ya bölgüsü ilə bir loqarifmlə əvəz edin. Bu halda, başqa bir bazaya keçmək üçün formula tətbiq edə bilərsiniz (yuxarıya baxın).

Əgər loqarifmanı sadələşdirmək üçün ifadələrdən istifadə edirsinizsə, nəzərə alınmalı bəzi məhdudiyyətlər var. Və budur: a loqarifmin əsası yalnızdır müsbət rəqəm, amma yox birinə bərabərdir. b sayı, a kimi, sıfırdan böyük olmalıdır.

Elə hallar var ki, ifadəni sadələşdirməklə loqarifmanı ədədi olaraq hesablaya bilməyəcəksiniz. Belə bir ifadənin mənası yoxdur, çünki bir çox güclər irrasional ədədlərdir. Bu şərtlə ədədin gücünü loqarifm olaraq buraxın.

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda sorğu göndərdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik e-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda qanunvericiliyə uyğun olaraq məhkəmə proseduru, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya sorğular əsasında dövlət orqanları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Cəmiyyət inkişaf etdikcə, istehsal mürəkkəbləşdikcə riyaziyyat da inkişaf etdi. Sadədən mürəkkəbə doğru hərəkət. Toplama və çıxma üsulundan istifadə edən adi mühasibat uçotundan onların təkrar təkrarlanması ilə biz vurma və bölmə anlayışına gəldik. Təkrar vurma əməliyyatının azaldılması eksponentasiya anlayışına çevrildi. Ədədlərin bazadan asılılığının və eksponentasiya sayının ilk cədvəlləri hələ 8-ci əsrdə hind riyaziyyatçısı Varasena tərəfindən tərtib edilmişdir. Onlardan loqarifmlərin yaranma vaxtını saymaq olar.

Tarixi eskiz

XVI əsrdə Avropanın dirçəlişi mexanikanın inkişafına da təkan verdi. T böyük hesablama tələb edirdiçoxrəqəmli ədədlərin vurulması və bölünməsi ilə bağlıdır. Qədim cədvəllər göstərilmişdir əla xidmət. Əvəz etməyə icazə verdilər mürəkkəb əməliyyatlar daha sadə olanlara - toplama və çıxma. Bir çox riyaziyyatçının ideyasını reallaşdırdığı 1544-cü ildə nəşr olunan riyaziyyatçı Michael Stiefelin işi irəliyə doğru böyük bir addım idi. Bu, yalnız formada dərəcələr üçün deyil, cədvəllərdən istifadə etməyə imkan verdi sadə ədədlər, həm də ixtiyari rasional olanlar üçün.

1614-cü ildə şotlandiyalı Con Napier bu fikirləri inkişaf etdirərək ilk dəfə yeni “ədədin loqarifmi” terminini təqdim etdi. Sinusların və kosinusların, eləcə də tangenslərin loqarifmlərinin hesablanması üçün yeni kompleks cədvəllər tərtib edilmişdir. Bu, astronomların işini xeyli azaldıb.

Üç əsr ərzində elm adamları tərəfindən uğurla istifadə edilən yeni cədvəllər görünməyə başladı. Cəbrdə yeni əməliyyat öz hazır formasını alana qədər xeyli vaxt keçdi. Loqarifmin tərifi verilmiş və onun xassələri öyrənilmişdir.

Yalnız 20-ci əsrdə kalkulyator və kompüterin yaranması ilə bəşəriyyət 13-cü əsrlər boyu uğurla işləyən qədim cədvəllərdən imtina etdi.

Bu gün biz b-nin loqarifmini a-nın b-yə əsaslanması üçün a-nın qüvvəsi olan x ədədi adlandırırıq. Bu düstur kimi yazılır: x = log a(b).

Məsələn, log 3(9) 2-yə bərabər olacaq. Tərifə əməl etsəniz, bu aydındır. 3-ü 2-nin qüvvəsinə qaldırsaq, 9-u alırıq.

Beləliklə, tərtib edilmiş tərif yalnız bir məhdudiyyət qoyur: a və b rəqəmləri real olmalıdır.

Loqarifmlərin növləri

Klassik tərif həqiqi loqarifm adlanır və əslində a x = b tənliyinin həllidir. Variant a = 1 sərhəddir və maraq doğurmur. Diqqət: İstənilən gücə 1, 1-ə bərabərdir.

Loqarifmin həqiqi dəyəri yalnız baza və arqument 0-dan böyük olduqda müəyyən edilir və baza 1-ə bərabər olmamalıdır.

Riyaziyyat sahəsində xüsusi yer bazasının ölçüsündən asılı olaraq adlandırılacaq loqarifmləri oynayın:

Qaydalar və məhdudiyyətlər

Loqarifmlərin əsas xüsusiyyəti qaydadır: hasilin loqarifmi loqarifmik cəminə bərabərdir. log abp = log a(b) + log a(p).

Bu ifadənin bir variantı olaraq belə olacaq: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), bölmə funksiyası funksiyaların fərqinə bərabərdir.

Əvvəlki iki qaydadan bunu asanlıqla görmək olar: log a(b p) = p * log a(b).

Digər xüsusiyyətlərə aşağıdakılar daxildir:

Şərh. Ümumi bir səhv etməyin - cəmin loqarifmi deyil məbləğinə bərabərdir loqarifmlər.

Bir çox əsrlər boyu loqarifmin tapılması əməliyyatı olduqca vaxt aparan bir iş idi. Riyaziyyatçılar çoxhədli genişlənmənin loqarifmik nəzəriyyəsinin məşhur düsturundan istifadə etdilər:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), burada n hesablamanın düzgünlüyünü təyin edən 1-dən böyük natural ədəddir.

Başqa əsaslı loqarifmlər bir bazadan digərinə keçid haqqında teoremdən və hasilin loqarifminin xassəsindən istifadə etməklə hesablanmışdır.

Çünki bu üsul çox əmək tələb edir və qərar verərkən praktik problemlər həyata keçirmək çətin idi, biz bütün işləri əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirən əvvəlcədən tərtib edilmiş loqarifm cədvəllərindən istifadə etdik.

Bəzi hallarda, daha az dəqiqlik verən, lakin axtarışı əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirən xüsusi hazırlanmış loqarifm qrafiklərindən istifadə edilmişdir. istədiyiniz dəyər. Bir neçə nöqtə üzərində qurulmuş y = log a(x) funksiyasının əyrisi istənilən başqa nöqtədə funksiyanın qiymətini tapmaq üçün adi hökmdardan istifadə etməyə imkan verir. Mühəndislər uzun müddət Bu məqsədlər üçün sözdə qrafik kağızdan istifadə edilmişdir.

17-ci əsrdə ilk köməkçi analoq hesablama şərtləri meydana çıxdı ki, bu da 19-cu əsr bitmiş görünüş əldə etdi. Ən uğurlu cihaz slayd qaydası adlanırdı. Cihazın sadəliyinə baxmayaraq, onun görünüşü bütün mühəndislik hesablamalarının prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirdi və bunu qiymətləndirmək çətindir. Hazırda bu cihazla az adam tanışdır.

Kalkulyatorların və kompüterlərin yaranması hər hansı digər cihazların istifadəsini mənasız etdi.

Tənliklər və bərabərsizliklər

Loqarifmlərdən istifadə edərək müxtəlif tənlikləri və bərabərsizlikləri həll etmək üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur:

• Bir bazadan digərinə keçid: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Əvvəlki seçimin nəticəsi olaraq: log a(b) = 1 / log b(a).

Bərabərsizlikləri həll etmək üçün bilmək faydalıdır:

• Loqarifmin qiyməti yalnız əsas və arqument birdən böyük və ya kiçik olduqda müsbət olacaq; ən azı bir şərt pozularsa, loqarifm dəyəri mənfi olacaq.
• Əgər bərabərsizliyin sağ və sol tərəflərinə loqarifm funksiyası tətbiq edilirsə və loqarifmin əsası birdən böyükdürsə, onda bərabərsizliyin işarəsi saxlanılır; əks halda dəyişir.

Nümunə problemləri

Loqarifmlərdən və onların xassələrindən istifadənin bir neçə variantını nəzərdən keçirək. Tənliklərin həlli ilə bağlı nümunələr:

Loqarifmin gücə yerləşdirilməsi variantını nəzərdən keçirin:

• Məsələ 3. 25^log 5(3) hesablayın. Həlli: problemin şərtlərində giriş aşağıdakı (5^2)^log5(3) və ya 5^(2 * log 5(3)) ilə oxşardır. Fərqli şəkildə yazaq: 5^log 5(3*2) və ya funksiya arqumenti kimi ədədin kvadratı funksiyanın özünün kvadratı kimi yazıla bilər (5^log 5(3))^2. Loqarifmlərin xassələrindən istifadə edərək bu ifadə 3^2-ə bərabərdir. Cavab: hesablama nəticəsində 9 alırıq.

Praktik Tətbiq

Sırf riyazi alət olmaqla, uzaq görünür real həyat loqarifmin birdən əldə etdiyi böyük dəyər real dünya obyektlərini təsvir etmək. İstifadə olunmayan bir elm tapmaq çətindir. Bu, təkcə təbii deyil, həm də humanitar bilik sahələrinə tamamilə aiddir.

Loqarifmik asılılıqlar

Burada ədədi asılılıqların bəzi nümunələri verilmişdir:

Mexanika və fizika

Tarixən mexanika və fizika həmişə istifadə edərək inkişaf etmişdir riyazi üsullar tədqiqat və eyni zamanda riyaziyyatın, o cümlədən loqarifmin inkişafı üçün stimul rolunu oynadı. Fizikanın əksər qanunlarının nəzəriyyəsi riyaziyyatın dilində yazılıb. Loqarifmdən istifadə edərək fiziki qanunları təsvir etmək üçün yalnız iki nümunə verək.

Raketin sürəti kimi mürəkkəb kəmiyyətin hesablanması problemi kosmosun tədqiqi nəzəriyyəsinin əsasını qoyan Tsiolkovski düsturundan istifadə etməklə həll edilə bilər:

V = I * ln (M1/M2), burada

• V təyyarənin son sürətidir.
• mən – xüsusi impuls mühərrik.
• M 1 - raketin ilkin kütləsi.
• M 2 - son kütlə.

Başqa mühüm nümunə - bu, termodinamikada tarazlıq vəziyyətini qiymətləndirməyə xidmət edən başqa bir böyük alim Maks Plankın düsturunda istifadə olunur.

S = k * ln (Ω), burada

• S – termodinamik xassə.
• k – Boltsman sabiti.
• Ω müxtəlif dövlətlərin statistik çəkisidir.

kimya

Daha az aydın olanı kimyada loqarifmlərin nisbətini ehtiva edən düsturların istifadəsidir. Sadəcə iki misal verək:

• Nernst tənliyi, maddələrin aktivliyinə və tarazlıq sabitinə münasibətdə mühitin redoks potensialının şərti.
• Avtoliz indeksi və məhlulun turşuluğu kimi sabitlərin hesablanması da bizim funksiyamız olmadan həyata keçirilə bilməz.

Psixologiya və biologiya

Və psixologiyanın bununla nə əlaqəsi olduğu heç də aydın deyil. Belə çıxır ki, hissin gücü bu funksiya ilə stimulun intensivliyi dəyərinin aşağı intensivlik dəyərinə tərs nisbəti kimi yaxşı təsvir olunur.

Yuxarıdakı misallardan sonra biologiyada loqarifmlər mövzusunun geniş istifadə olunması artıq təəccüblü deyil. Haqqında bioloji formalar, loqarifmik spirallara uyğun olaraq bütün cildləri yazmaq olar.

Digər sahələr

Görünür, dünyanın mövcudluğu bu funksiya ilə əlaqəsiz mümkün deyil və o, bütün qanunları idarə edir. Xüsusilə təbiət qanunları həndəsi irəliləyişlə əlaqəli olduqda. MatProfi saytına müraciət etməyə dəyər və aşağıdakı fəaliyyət sahələrində belə nümunələr çoxdur:

Siyahı sonsuz ola bilər. Bu funksiyanın əsas prinsiplərini mənimsədikdən sonra sonsuz müdriklik dünyasına qərq ola bilərsiniz.