Equazioni quadratiche senza c. Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Con questo programma di matematica puoi risolvere l'equazione quadratica.

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo di soluzione in due modi:
- utilizzando un discriminante
- utilizzando il teorema di Vieta (se possibile).

Inoltre, la risposta viene visualizzata come esatta e non approssimativa.
Ad esempio, per l'equazione \(81x^2-16x-1=0\) la risposta viene visualizzata nel seguente formato:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ e non così: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Questo programma può essere utile per gli studenti delle scuole superiori nelle scuole secondarie in preparazione test ed esami, per testare le conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato, per consentire ai genitori di controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente farlo il più velocemente possibile? compiti a casa

in matematica o algebra? In questo caso potete anche utilizzare i nostri programmi con soluzioni dettagliate. In questo modo potrai condurre il tuo allenamento e/o il tuo allenamento. fratelli minori

o sorelle, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo dei problemi da risolvere.

Se non hai familiarità con le regole per inserire un polinomio quadratico, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per inserire un polinomio quadratico
Qualsiasi lettera latina può fungere da variabile.

Ad esempio: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ecc.
I numeri possono essere inseriti come numeri interi o frazionari.

Inoltre, i numeri frazionari possono essere inseriti non solo sotto forma di decimale, ma anche sotto forma di frazione ordinaria.
Regole per l'immissione delle frazioni decimali.
Nelle frazioni decimali la parte frazionaria può essere separata dalla parte intera tramite un punto o una virgola. Ad esempio, puoi inserire decimali

in questo modo: 2,5x - 3,5x^2
Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.

Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo. Quando entri frazione numerica /
Il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: Parte intera &
separato dalla frazione da una e commerciale:
Ingresso: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Risultato: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Quando si inserisce un'espressione. In questo caso, quando si risolve un'equazione quadratica, l'espressione introdotta viene prima semplificata.
Ad esempio: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

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Una piccola teoria.

Equazione quadratica e sue radici. Equazioni quadratiche incomplete

Ciascuna delle equazioni
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
sembra
\(ax^2+bx+c=0, \)
dove x è una variabile, a, b e c sono numeri.
Nella prima equazione a = -1, b = 6 e c = 1,4, nella seconda a = 8, b = -7 e c = 0, nella terza a = 1, b = 0 e c = 4/9. Tali equazioni sono chiamate equazioni quadratiche.

Definizione.
Equazione quadraticaè chiamata un'equazione della forma ax 2 +bx+c=0, dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e \(a \neq 0 \).

I numeri a, b e c sono i coefficienti dell'equazione quadratica. Il numero a è chiamato primo coefficiente, il numero b è il secondo coefficiente e il numero c è il termine libero.

In ciascuna delle equazioni della forma ax 2 +bx+c=0, dove \(a\neq 0\), la potenza più grande della variabile x è un quadrato. Da qui il nome: equazione quadratica.

Si noti che un'equazione quadratica è anche chiamata equazione di secondo grado, poiché il suo lato sinistro è un polinomio di secondo grado.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente di x 2 è uguale a 1 data equazione quadratica. Ad esempio, le equazioni quadratiche fornite sono le equazioni
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Se in un'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0 almeno uno dei coefficienti bo c è uguale a zero, allora tale equazione si chiama Equazione quadratica incompleta. Pertanto, le equazioni -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sono equazioni quadratiche incomplete. Nel primo b=0, nel secondo c=0, nel terzo b=0 e c=0.

Esistono tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:
1) ax 2 +c=0, dove \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, dove \(b \neq 0 \);
3) asse 2 =0.

Consideriamo la risoluzione di equazioni di ciascuno di questi tipi.

Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +c=0 per \(c \neq 0 \), sposta il suo termine libero sul lato destro e dividi entrambi i lati dell'equazione per a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Poiché \(c \neq 0 \), allora \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Se \(-\frac(c)(a)>0\), allora l'equazione ha due radici.

Se \(-\frac(c)(a) Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0 con \(b \neq 0 \) fattorizzarne il lato sinistro e ottenere l'equazione
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Ciò significa che un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0 per \(b \neq 0 \) ha sempre due radici.

Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 = 0 è equivalente all'equazione x 2 = 0 e quindi ha un'unica radice 0.

Formula per le radici di un'equazione quadratica

Consideriamo ora come risolvere equazioni quadratiche in cui sia i coefficienti delle incognite che il termine libero sono diversi da zero.

Risolviamo l'equazione quadratica in visione generale e come risultato otteniamo la formula per le radici. Questa formula può quindi essere utilizzata per risolvere qualsiasi equazione quadratica.

Risolviamo l'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0

Dividendo entrambi i membri per a, otteniamo l'equazione quadratica ridotta equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Trasformiamo questa equazione selezionando il quadrato del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

L'espressione radicale si chiama discriminante di un'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” in latino - discriminatore). È designato con la lettera D, cioè
\(D = b^2-4ac\)

Ora, utilizzando la notazione discriminante, riscriviamo la formula per le radici dell'equazione quadratica:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), dove \(D= b^2-4ac \)

È ovvio che:
1) Se D>0, allora l'equazione quadratica ha due radici.
2) Se D=0, allora l'equazione quadratica ha una radice \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Pertanto, a seconda del valore del discriminante, un'equazione quadratica può avere due radici (per D > 0), una radice (per D = 0) o nessuna radice (per D Quando si risolve un'equazione quadratica utilizzando questo formula, è consigliabile farlo come segue:
1) calcolare il discriminante e confrontarlo con zero;
2) se il discriminante è positivo o uguale a zero, allora usa la formula della radice; se il discriminante è negativo, allora scrivi che non ci sono radici.

Il teorema di Vieta

L'equazione quadratica data ax 2 -7x+10=0 ha radici 2 e 5. La somma delle radici è 7 e il prodotto è 10. Vediamo che la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente preso con l'opposto segno e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Qualsiasi equazione quadratica ridotta che abbia radici ha questa proprietà.

La somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero.

Quelli. Il teorema di Vieta afferma che le radici x 1 e x 2 dell'equazione quadratica ridotta x 2 +px+q=0 hanno la proprietà:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Descrizione bibliografica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metodi di soluzione equazioni quadratiche// Giovane scienziato. 2016. N. 6.1. Pag. 17-20..02.2019).



Il nostro progetto riguarda i modi per risolvere le equazioni quadratiche. Obiettivo del progetto: imparare a risolvere equazioni quadratiche in modi non inclusi nel curriculum scolastico. Compito: trovare tutto modi possibili risolvere equazioni quadratiche, imparare a usarle tu stesso e presentare questi metodi ai tuoi compagni di classe.

Cosa sono le “equazioni quadratiche”?

Equazione quadratica- equazione della forma ascia2 + bx + c = 0, Dove UN, B, C- alcuni numeri ( un ≠ 0), X- sconosciuto.

I numeri a, b, c sono chiamati coefficienti dell'equazione quadratica.

• a è detto primo coefficiente;
• b è chiamato il secondo coefficiente;
• c - membro gratuito.

Chi fu il primo a “inventare” le equazioni quadratiche?

Alcune tecniche algebriche per risolvere equazioni lineari e quadratiche erano conosciute 4000 anni fa nell'antica Babilonia. La scoperta di antiche tavolette di argilla babilonesi, risalenti a un periodo compreso tra il 1800 e il 1600 a.C., fornisce la prima prova dello studio delle equazioni quadratiche. Le stesse tavolette contengono metodi per risolvere alcuni tipi di equazioni quadratiche.

La necessità di risolvere equazioni non solo di primo, ma anche di secondo grado, anche in tempi antichi, era causata dalla necessità di risolvere problemi legati al reperimento di aree di terreni e con lavori di sterro di natura militare, nonché di con lo sviluppo dell’astronomia e della matematica stessa.

La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi rinvenuti finora forniscono solo problemi con soluzioni presentate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione sul modo in cui sono stati ritrovati. Nonostante alto livello sviluppo dell'algebra in Babilonia, i testi cuneiformi mancano del concetto numero negativo E metodi generali Risoluzione di equazioni quadratiche.

Matematici babilonesi del IV secolo a.C. circa. utilizzato il metodo del complemento quadrato per risolvere equazioni con radici positive. Intorno al 300 a.C Euclide elaborò un metodo di soluzione geometrica più generale. Il primo matematico che trovò soluzioni alle equazioni con radici negative sotto forma di formula algebrica fu uno scienziato indiano Brahmagupta(India, VII secolo d.C.).

Brahmagupta delineato regola generale soluzioni di equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica:

ax2 + bx = c, a>0

I coefficienti di questa equazione possono anche essere negativi. La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra.

I concorsi pubblici per risolvere problemi difficili erano comuni in India. Uno dei vecchi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così uomo colto oscurerà la sua gloria nelle assemblee pubbliche proponendo e risolvendo problemi algebrici”. I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.

In un trattato di algebrica Al-Khwarizmi viene fornita una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore conta 6 tipi di equazioni, esprimendoli come segue:

1) “I quadrati sono uguali alle radici”, cioè ax2 = bx.

2) “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè ax2 = c.

3) “Le radici sono uguali al numero”, cioè ax2 = c.

4) “I quadrati e i numeri sono uguali alle radici”, cioè ax2 + c = bx.

5) “I quadrati e le radici sono uguali al numero”, cioè ax2 + bx = c.

6) “Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati”, cioè bx + c == ax2.

Per Al-Khwarizmi, che evitò l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi e non sottrattivi. In questo caso ovviamente le equazioni che non hanno soluzioni positive non vengono prese in considerazione. L'autore espone metodi per risolvere queste equazioni utilizzando le tecniche di al-jabr e al-mukabal. La sua decisione, ovviamente, non coincide del tutto con la nostra. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo, Al-Khorezmi, come tutti i matematici fino al XVII secolo, non tiene conto della soluzione zero, probabilmente perché in particolare problemi pratici non importa. Quando si risolvono equazioni quadratiche complete di Al-Khwarizmi su parziale esempi numerici espone le regole risolutive e poi le relative dimostrazioni geometriche.

Le forme per risolvere le equazioni quadratiche seguendo il modello di Al-Khwarizmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'Abaco", scritto nel 1202. Matematico italiano Leonardo Fibonacci. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici di risoluzione dei problemi ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi.

Questo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi di questo libro furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei dei secoli XIV-XVII. La regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica x2 + bх = с per tutte le possibili combinazioni di segni e coefficienti b, c fu formulata in Europa nel 1544. M. Stiefel.

La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile presso Viète, ma Viète riconosceva solo radici positive. Matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli tra i primi nel XVI secolo. Oltre a quelle positive, vengono prese in considerazione anche le radici negative. Solo nel XVII secolo. grazie agli sforzi Girard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assume una forma moderna.

Diamo un'occhiata a diversi modi per risolvere le equazioni quadratiche.

Metodi standard per risolvere equazioni quadratiche dal curriculum scolastico:

1. Fattorizzazione del lato sinistro dell'equazione.
2. Metodo per selezionare un quadrato completo.
3. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando la formula.
4. Soluzione grafica di un'equazione quadratica.
5. Risoluzione di equazioni utilizzando il teorema di Vieta.

Soffermiamoci più in dettaglio sulla soluzione delle equazioni quadratiche ridotte e non ridotte utilizzando il teorema di Vieta.

Ricordiamo che per risolvere le equazioni quadratiche di cui sopra è sufficiente trovare due numeri il cui prodotto sia uguale al termine libero e la cui somma sia uguale al secondo coefficiente con segno opposto.

Esempio.X 2 -5x+6=0

Devi trovare i numeri il cui prodotto è 6 e la cui somma è 5. Questi numeri saranno 3 e 2.

Risposta: x 1 =2,x 2 =3.

Ma puoi usare questo metodo anche per equazioni con il primo coefficiente diverso da uno.

Esempio.3x 2 +2x-5=0

Prendi il primo coefficiente e moltiplicalo per il termine libero: x 2 +2x-15=0

Le radici di questa equazione saranno numeri il cui prodotto è uguale a - 15 e la cui somma è uguale a - 2. Questi numeri sono 5 e 3. Per trovare le radici dell'equazione originale, dividi le radici risultanti per il primo coefficiente.

Risposta: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Risoluzione di equazioni utilizzando il metodo del "lancio".

Considera l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0, dove a≠0.

Moltiplicando entrambi i membri per a, otteniamo l'equazione a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Sia ax = y, da cui x = y/a; quindi arriviamo all'equazione y 2 + by + ac = 0, equivalente a quella data. Troviamo le sue radici per 1 e 2 usando il teorema di Vieta.

Alla fine otteniamo x 1 = y 1 /a e x 2 = y 2 /a.

Con questo metodo il coefficiente a viene moltiplicato per il termine libero, come se gli fosse “lanciato”, motivo per cui è chiamato metodo del “lancio”. Questo metodo viene utilizzato quando puoi trovare facilmente le radici dell'equazione utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

Esempio.2x 2 -11x + 15 = 0.

"Lanciamo" il coefficiente 2 al termine libero e facciamo una sostituzione e otteniamo l'equazione y 2 - 11y + 30 = 0.

Secondo il teorema inverso di Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Risposta: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Proprietà dei coefficienti di un'equazione quadratica.

Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Se a+ b + c = 0 (cioè la somma dei coefficienti dell'equazione è zero), allora x 1 = 1.

2. Se a - b + c = 0, oppure b = a + c, allora x 1 = - 1.

Esempio.345x 2 -137x-208 = 0.

Poiché a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), allora x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Risposta: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Esempio.132x 2 +247x+115 = 0

Perché a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), quindi x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Risposta: x 1 = -1; X 2 =- 115/132

Ci sono altre proprietà dei coefficienti di un'equazione quadratica. ma il loro utilizzo è più complesso.

8. Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un nomogramma.

Fig 1. Nomogramma

Questo è un metodo vecchio e attualmente dimenticato per risolvere le equazioni quadratiche, collocato a p. 83 della raccolta: Bradis V.M. Tabelle matematiche a quattro cifre. - M., Educazione, 1990.

Tavola XXII. Nomogramma per risolvere l'equazione z2 + pz + q = 0. Questo nomogramma consente, senza risolvere un'equazione quadratica, di determinare le radici dell'equazione dai suoi coefficienti.

La scala curvilinea del nomogramma è costruita secondo le formule (Fig. 1):

Credere OS = p, ED = q, OE = a(tutto in cm), dalla Fig. 1 somiglianze dei triangoli SAN E CDF otteniamo la proporzione

che, dopo sostituzioni e semplificazioni, fornisce l'equazione z2 + pz + q = 0, e la lettera z significa il segno di qualsiasi punto su una scala curva.

Riso. 2 Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un nomogramma

Esempi.

1) Per l'equazione z 2 -9z+8 = 0 il nomogramma dà le radici z 1 = 8,0 e z 2 = 1,0

Risposta:8.0; 1.0.

2) Utilizzando un nomogramma, risolviamo l'equazione

2z 2 -9z+2 = 0.

Dividendo i coefficienti di questa equazione per 2, otteniamo l'equazione z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Il nomogramma dà le radici z 1 = 4 e z 2 = 0,5.

Risposta: 4; 0,5.

9. Metodo geometrico per la risoluzione di equazioni quadratiche.

Esempio.X 2 +10x = 39.

Nell'originale, questo problema è formulato come segue: "La radice quadrata e dieci radici sono uguali a 39".

Consideriamo un quadrato di lato x, sui suoi lati sono costruiti rettangoli in modo che l'altro lato di ciascuno di essi sia 2,5, quindi l'area di ciascuno sia 2,5x. La figura risultante viene quindi integrata in un nuovo quadrato ABCD, costruendo quattro quadrati uguali negli angoli, il lato di ciascuno di essi è 2,5 e l'area è 6,25

Riso. 3 Metodo grafico per risolvere l'equazione x 2 + 10x = 39

L'area S del quadrato ABCD può essere rappresentata come la somma delle aree di: il quadrato originale x 2, quattro rettangoli (4∙2.5x = 10x) e quattro quadrati aggiuntivi (6.25∙4 = 25), cioè S = x 2 + 10x = 25. Sostituendo x 2 + 10x con il numero 39, otteniamo che S = 39 + 25 = 64, il che significa che il lato del quadrato è ABCD, cioè segmento AB = 8. Per il lato richiesto x del quadrato originale otteniamo

10. Risoluzione di equazioni utilizzando il teorema di Bezout.

Il teorema di Bezout. Il resto della divisione del polinomio P(x) per il binomio x - α è uguale a P(α) (cioè il valore di P(x) in x = α).

Se il numero α è la radice del polinomio P(x), allora questo polinomio è divisibile per x -α senza resto.

Esempio.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Dividi P(x) per (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; Risposta: x1 =2,x2 =3.

Conclusione: La capacità di risolvere rapidamente e razionalmente equazioni quadratiche è semplicemente necessaria per risolvere equazioni più complesse, ad esempio equazioni razionali frazionarie, equazioni gradi più alti, equazioni biquadratiche e nelle equazioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche delle scuole superiori. Dopo aver studiato tutti i modi trovati per risolvere le equazioni quadratiche, possiamo consigliare i nostri compagni di classe, tranne metodi standard, soluzione mediante metodo di trasferimento (6) e soluzione di equazioni utilizzando le proprietà dei coefficienti (7), poiché sono più accessibili alla comprensione.

Letteratura:

1. Bradis V.M. Tabelle matematiche a quattro cifre. - M., Educazione, 1990.
2. Algebra 8a elementare: libro di testo per l'8a elementare. istruzione generale istituzioni Makarychev Yu., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15a edizione, rivista. - M.: Educazione, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Storia della matematica a scuola. Manuale per gli insegnanti. /Ed. V.N. Più giovane. - M.: Educazione, 1964.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Scuola secondaria dell'istituto scolastico di bilancio comunale n. 11

Il testo dell'opera è pubblicato senza immagini e formule.
Versione completa il lavoro è disponibile nella scheda "File di lavoro" in formato PDF

Storia delle equazioni quadratiche

Babilonia

La necessità di risolvere equazioni non solo di primo grado, ma anche di secondo, fu causata nell'antichità dalla necessità di risolvere problemi legati alla ricerca delle aree dei terreni, con lo sviluppo dell'astronomia e della matematica stessa. Le equazioni quadratiche potrebbero essere risolte intorno al 2000 a.C. e. Babilonesi. Le regole per risolvere queste equazioni stabilite nei testi babilonesi sono essenzialmente le stesse di quelli moderni, ma in questi testi mancano il concetto di numero negativo e metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

Antica Grecia

È stata eseguita anche la risoluzione di equazioni quadratiche Antica Grecia scienziati come Diofanto, Euclide e Airone. Diofanto Diofanto di Alessandria è un antico matematico greco vissuto presumibilmente nel III secolo d.C. L'opera principale di Diofanto è "Aritmetica" in 13 libri. Euclide. Euclide è un matematico greco antico, autore del primo trattato teorico di matematica giunto fino a noi, Erone. Airone - Matematico e ingegnere greco arrivato per la prima volta in Grecia nel I secolo d.C. fornisce un modo puramente algebrico per risolvere un'equazione quadratica

India

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), delineò la regola generale per risolvere le equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Nell'equazione (1) i coefficienti possono essere negativi. La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra. I concorsi pubblici per risolvere problemi difficili erano comuni in India. Uno degli antichi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così un uomo colto eclisserà la sua gloria nelle assemblee pubbliche proponendo e risolvendo problemi algebrici”. I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.

Questo è uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskars.

“Uno stormo di scimmie vivaci

E dodici lungo le vigne, dopo aver mangiato a sazietà, si sono divertiti

Cominciarono a saltare, impiccandosi

La parte otto è quadrata

Quante scimmie c'erano?

Mi stavo divertendo nella radura

Dimmi, in questo pacchetto?

La soluzione di Bhaskara indica che l'autore sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori. Bhaskar scrive l'equazione corrispondente al problema come x2 - 64x = - 768 e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, somma 322 ad entrambi i lati, ottenendo quindi: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Equazioni quadratiche nell'Europa del XVII secolo

Le formule per risolvere equazioni quadratiche sulla falsariga di Al-Khorezmi in Europa furono esposte per la prima volta nel Libro dell'Abaco, scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questa voluminosa opera, che riflette l'influenza della matematica, sia dei paesi dell'Islam che dell'antica Grecia, si distingue per la sua completezza e chiarezza di presentazione. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici di risoluzione dei problemi ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi del Libro dell'Abaco furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei dei secoli XVI-XVII. e in parte XVIII. La derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in forma generale è disponibile da Vieth, ma Vieth riconosceva solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Oltre a quelle positive, vengono prese in considerazione anche le radici negative. Solo nel XVII secolo. Grazie al lavoro di Girard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assume una forma moderna.

Definizione di equazione quadratica

Un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove a, b, c sono numeri, è detta quadratica.

Coefficienti di equazioni quadratiche

I numeri a, b, c sono i coefficienti dell'equazione quadratica. a è il primo coefficiente (prima di x²), a ≠ 0; b è il secondo coefficiente (prima di x c è il termine libero (senza x);

Quale di queste equazioni non è quadratica??

1.4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7.4x²+1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x²-16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipi di equazioni quadratiche

Nome	Forma generale dell'equazione	Caratteristica (quali sono i coefficienti)	Esempi di equazioni
	ax2 + bx + c = 0	a, b, c - numeri diversi da 0	1/3x2 + 5x - 1 = 0
Incompleto
			x2 - 1/5x = 0
Dato	x2 + bx + c = 0		x2 - 3x + 5 = 0

Ridotto è un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è uguale a uno. Tale equazione può essere ottenuta dividendo l'intera espressione per il coefficiente principale UN:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Un'equazione quadratica si dice completa se tutti i suoi coefficienti sono diversi da zero.

Si dice incompleta un'equazione quadratica in cui almeno uno dei coefficienti, eccetto quello principale (il secondo coefficiente o il termine libero), è uguale a zero.

Metodi per risolvere equazioni quadratiche

Metodo I Formula generale per il calcolo delle radici

Trovare le radici di un'equazione quadratica ascia 2 + b + c = 0 In generale, dovresti utilizzare l'algoritmo seguente:

Calcolare il valore del discriminante di un'equazione quadratica: questa ne è l'espressione D= B 2 - 4ac

Derivazione della formula:

Nota:È ovvio che la formula per una radice di molteplicità 2 è un caso speciale della formula generale, ottenuta sostituendo in essa l'uguaglianza D=0 e la conclusione sull'assenza di radici reali in D0, e (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Il metodo presentato è universale, ma non è l'unico. La risoluzione di una singola equazione può essere affrontata in vari modi, con preferenze che solitamente dipendono dal risolutore. Inoltre, spesso per questo scopo alcuni metodi risultano essere molto più eleganti, semplici e meno laboriosi di quello standard.

II metodo. Radici di un'equazione quadratica con coefficiente pari B III metodo. Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Metodo IV. Utilizzo di rapporti parziali di coefficienti

Esistono casi speciali di equazioni quadratiche in cui i coefficienti sono in relazione tra loro, il che li rende molto più facili da risolvere.

Radici di un'equazione quadratica in cui la somma del coefficiente principale e del termine libero è uguale al secondo coefficiente

Se in un'equazione quadratica ascia 2 + bx + c = 0 la somma del primo coefficiente e del termine libero è uguale al secondo coefficiente: a+b=c, quindi le sue radici sono -1 e il numero opposto al rapporto tra il termine libero e il coefficiente principale ( -c/a).

Quindi, prima di risolvere qualsiasi equazione quadratica, dovresti verificare la possibilità di applicarvi questo teorema: confronta la somma del coefficiente principale e del termine libero con il secondo coefficiente.

Radici di un'equazione quadratica la cui somma di tutti i coefficienti è zero

Se in un'equazione quadratica la somma di tutti i suoi coefficienti è zero, allora le radici di tale equazione sono 1 e il rapporto tra il termine libero e il coefficiente principale ( c/a).

Quindi, prima di risolvere un'equazione usando metodi standard, dovresti verificare l'applicabilità di questo teorema ad essa: somma tutti i coefficienti di una determinata equazione e vedi se questa somma non è uguale a zero.

Metodo V. Fattorizzazione di un trinomio quadratico in fattori lineari

Se il trinomio è della forma (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) può in qualche modo essere rappresentato come un prodotto di fattori lineari (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), quindi possiamo trovare le radici dell'equazione ascia 2 + bx + c = 0- dopotutto saranno -m/k e n/l (stile display (kx+m)(lx+n)=0Freccia lungasinistradestra kx+m=0tazza lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, e avendo risolto le equazioni lineari indicate, otteniamo quanto sopra. Si noti che non sempre il trinomio quadratico si scompone in fattori lineari a coefficienti reali: ciò è possibile se l'equazione corrispondente ha radici reali.

Consideriamo alcuni casi particolari

Utilizzando la formula della somma quadrata (differenza).

Se il trinomio quadratico ha la forma (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , quindi applicandovi la formula precedente, possiamo scomporlo in fattori lineari e , quindi, trova le radici:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Isolando il quadrato intero della somma (differenza)

La formula di cui sopra viene utilizzata anche utilizzando un metodo chiamato “selezione del quadrato intero della somma (differenza)”. In relazione all'equazione quadratica sopra con la notazione precedentemente introdotta, ciò significa quanto segue:

Nota: se hai notato questa formula coincide con quello proposto nella sezione “Radici dell'equazione quadratica ridotta”, che a sua volta si può ottenere dalla formula generale (1) sostituendo l'uguaglianza a=1. Questo fatto non è solo un caso: utilizzando il metodo descritto, seppur con qualche ragionamento aggiuntivo, è possibile dedurre formula generale, e dimostrare anche le proprietà del discriminante.

Metodo VI. Utilizzando il teorema di Vieta diretta e inversa

Il teorema diretto di Vieta (vedi sotto nella sezione con lo stesso nome) e il suo teorema inverso consentono di risolvere oralmente le equazioni quadratiche di cui sopra, senza ricorrere a calcoli piuttosto complicati utilizzando la formula (1).

Secondo il teorema inverso, ogni coppia di numeri (numero) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, essendo una soluzione al sistema di equazioni riportato di seguito, sono le radici dell'equazione

Nel caso generale, cioè per un'equazione quadratica non ridotta ax 2 + bx + c = 0

x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a

Un teorema diretto ti aiuterà a trovare i numeri che soddisfano queste equazioni oralmente. Con il suo aiuto, puoi determinare i segni delle radici senza conoscere le radici stesse. Per fare ciò, dovresti seguire la regola:

1) se il termine libero è negativo, allora le radici hanno segni diversi e la più grande in valore assoluto delle radici ha segno opposto al segno del secondo coefficiente dell'equazione;

2) se il termine libero è positivo, allora entrambe le radici hanno lo stesso segno, e questo è il segno opposto al segno del secondo coefficiente.

Metodo VII. Metodo di trasferimento

Il cosiddetto metodo di “trasferimento” consente di ridurre la soluzione di equazioni non ridotte e irriducibili alla forma di equazioni ridotte con coefficienti interi dividendole per il coefficiente principale alla soluzione di equazioni ridotte con coefficienti interi. È il seguente:

Successivamente, l'equazione viene risolta oralmente nel modo descritto sopra, quindi si torna alla variabile originale e si trovano le radici delle equazioni (displaystyle y_(1)=ax_(1)) sì 1 =ascia 1 E sì 2 =ascia 2 .(stile display y_(2)=ax_(2))

Significato geometrico

Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. Le soluzioni (radici) di un'equazione quadratica sono le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l'asse delle ascisse. Se la parabola descritta funzione quadratica, non interseca l'asse x, l'equazione non ha radici reali. Se una parabola interseca l'asse x in un punto (al vertice della parabola), l'equazione ha una radice reale (si dice anche che l'equazione abbia due radici coincidenti). Se la parabola interseca l'asse x in due punti, l'equazione ha due radici reali (vedi immagine a destra.)

Se coefficiente (stile di visualizzazione a) UN positivo, i rami della parabola sono diretti verso l'alto e viceversa. Se il coefficiente (stile di visualizzazione b) bpositivo (se positivo (displaystyle a) UN, se negativo, viceversa), allora il vertice della parabola giace nel semipiano sinistro e viceversa.

Applicazione delle equazioni quadratiche nella vita

L'equazione quadratica è ampiamente utilizzata. Viene utilizzato in molti calcoli, strutture, sport e anche intorno a noi.

Consideriamo e forniamo alcuni esempi di applicazione dell'equazione quadratica.

Sport. Salti alti: durante la rincorsa del saltatore, vengono utilizzati i calcoli relativi alla parabola per ottenere il tiro più preciso sulla barra di decollo e volare in alto.

Inoltre, sono necessari calcoli simili nel lancio. La portata di volo di un oggetto dipende dall'equazione quadratica.

Astronomia. La traiettoria dei pianeti può essere trovata utilizzando un'equazione quadratica.

Volo in aereo. Il decollo dell'aereo è la componente principale del volo. Qui prendiamo il calcolo per la bassa resistenza e l'accelerazione del decollo.

Le equazioni quadratiche vengono utilizzate anche in varie discipline economiche, nei programmi per l'elaborazione di grafica audio, video, vettoriale e raster.

Conclusione

Come risultato del lavoro svolto, si è scoperto che le equazioni quadratiche attiravano gli scienziati nei tempi antichi, le avevano già incontrate durante la risoluzione di alcuni problemi e avevano cercato di risolverli; Considerando vari modi risolvendo equazioni quadratiche, sono giunto alla conclusione che non tutte sono semplici. Secondo me il massimo il modo migliore risolvere equazioni quadratiche è risolvere tramite formule. Le formule sono facili da ricordare, questo metodo è universale. L'ipotesi che le equazioni siano ampiamente utilizzate nella vita e nella matematica è stata confermata. Dopo aver studiato l'argomento, ho imparato molto fatti interessanti sulle equazioni quadratiche, il loro uso, applicazione, tipi, soluzioni. E sarò felice di continuare a studiarli. Spero che questo mi aiuterà a fare bene gli esami.

Elenco della letteratura usata

Materiali del sito:

Wikipedia

Apri lezione.rf

Manuale di matematica elementare Vygodsky M. Ya.

Continuiamo a studiare l'argomento " risolvere equazioni" Abbiamo già conosciuto le equazioni lineari e stiamo passando alla conoscenza equazioni quadratiche.

Per prima cosa vedremo cos'è un'equazione quadratica, come è scritta in forma generale e forniremo le relative definizioni. Successivamente, utilizzeremo degli esempi per esaminare in dettaglio come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete. Passiamo alla soluzione equazioni complete, otterremo la formula della radice, conosceremo il discriminante di un'equazione quadratica e considereremo le soluzioni di esempi tipici. Infine, tracciamo le connessioni tra radici e coefficienti.

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Cos'è un'equazione quadratica? I loro tipi

Per prima cosa devi capire chiaramente cos'è un'equazione quadratica. Pertanto, è logico iniziare una conversazione sulle equazioni quadratiche con la definizione di equazione quadratica e le relative definizioni. Successivamente, puoi considerare i principali tipi di equazioni quadratiche: equazioni ridotte e non ridotte, nonché equazioni complete e incomplete.

Definizione ed esempi di equazioni quadratiche

Definizione.

Equazione quadraticaè un'equazione della forma ax2+bx+c=0, dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e a è diverso da zero.

Diciamo subito che le equazioni quadratiche sono spesso chiamate equazioni di secondo grado. Ciò è dovuto al fatto che l'equazione quadratica è equazione algebrica secondo grado.

La definizione riportata ci consente di fornire esempi di equazioni quadratiche. Quindi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, ecc. Queste sono equazioni quadratiche.

Definizione.

Numeri si chiamano a, b e c coefficienti dell'equazione quadratica a·x 2 +b·x+c=0, e il coefficiente a è detto il primo, o il più alto, o il coefficiente di x 2, b è il secondo coefficiente, o il coefficiente di x, e c è il termine libero .

Ad esempio, prendiamo un'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x −3=0, qui il coefficiente principale è 5, il secondo coefficiente è uguale a −2 e il termine libero è uguale a −3. Si noti che quando i coefficienti b e/o c sono negativi, come nell'esempio appena fornito, allora forma breve scrivendo un'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x−3=0 e non 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Vale la pena notare che quando i coefficienti a e/o b sono uguali a 1 o −1, di solito non sono esplicitamente presenti nell'equazione quadratica, il che è dovuto alle peculiarità della scrittura di tale . Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 −y+3=0 il coefficiente principale è uno e il coefficiente di y è uguale a −1.

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

A seconda del valore del coefficiente principale, si distinguono equazioni quadratiche ridotte e non ridotte. Diamo le definizioni corrispondenti.

Definizione.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 data equazione quadratica. Altrimenti l'equazione quadratica lo è intatto.

Secondo questa definizione, equazioni quadratiche x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, ecc. – dato che in ciascuno di essi il primo coefficiente è pari a uno. A5 x 2 −x−1=0, ecc. - equazioni quadratiche non ridotte, i cui coefficienti direttivi sono diversi da 1.

Da qualsiasi equazione quadratica non ridotta, dividendo entrambi i membri per il coefficiente principale, puoi passare a quella ridotta. Questa azione è una trasformazione equivalente, cioè l'equazione quadratica ridotta ottenuta in questo modo ha le stesse radici dell'equazione quadratica non ridotta originale, o, come questa, non ha radici.

Consideriamo un esempio di come viene eseguita la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio.

Dall'equazione 3 x 2 +12 x−7=0, vai alla corrispondente equazione quadratica ridotta.

Soluzione.

Dobbiamo solo dividere entrambi i membri dell'equazione originale per il coefficiente principale 3, è diverso da zero, quindi possiamo eseguire questa azione. Abbiamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, che è lo stesso, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, e quindi (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, da dove . È così che abbiamo ottenuto l'equazione quadratica ridotta, che è equivalente a quella originale.

Risposta:

Equazioni quadratiche complete e incomplete

La definizione di un'equazione quadratica contiene la condizione a≠0. Questa condizione è necessaria affinché l'equazione a x 2 + b x + c = 0 sia quadratica, poiché quando a = 0 diventa effettivamente un'equazione lineare della forma b x + c = 0.

Per quanto riguarda i coefficienti b e c, essi possono essere pari a zero, sia singolarmente che insieme. In questi casi, l'equazione quadratica è detta incompleta.

Definizione.

Si chiama l'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0 incompleto, se almeno uno dei coefficienti b, c è uguale a zero.

A sua volta

Definizione.

Equazione quadratica completaè un'equazione in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero.

Tali nomi non sono stati dati per caso. Ciò risulterà chiaro dalle discussioni seguenti.

Se il coefficiente b è zero, allora l'equazione quadratica assume la forma a·x 2 +0·x+c=0, ed è equivalente all'equazione a·x 2 +c=0. Se c=0, cioè l'equazione quadratica ha la forma a·x 2 +b·x+0=0, allora può essere riscritta come a·x 2 +b·x=0. E con b=0 e c=0 otteniamo l'equazione quadratica a·x 2 =0. Le equazioni risultanti differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi. Da qui il loro nome: equazioni quadratiche incomplete.

Quindi le equazioni x 2 +x+1=0 e −2 x 2 −5 x+0.2=0 sono esempi di equazioni quadratiche complete e x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Dalle informazioni del paragrafo precedente ne consegue che esiste tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• a·x 2 =0, ad esso corrispondono i coefficienti b=0 ec=0;
• ax2 +c=0 quando b=0 ;
• e a·x 2 +b·x=0 quando c=0.

Esaminiamo in ordine come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete di ciascuno di questi tipi.

a x 2 = 0

Cominciamo risolvendo equazioni quadratiche incomplete in cui i coefficienti bec sono uguali a zero, cioè con equazioni della forma a x 2 =0. L'equazione a·x 2 =0 è equivalente all'equazione x 2 =0, che si ottiene dall'originale dividendo entrambe le parti per un numero a diverso da zero. Ovviamente la radice dell'equazione x 2 =0 è zero, poiché 0 2 =0. Questa equazione non ha altre radici, il che si spiega con il fatto che per ogni numero p diverso da zero vale la disuguaglianza p 2 >0, il che significa che per p≠0 l'uguaglianza p 2 =0 non è mai raggiunta.

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a·x 2 =0 ha una sola radice x=0.

Ad esempio, diamo la soluzione dell'equazione quadratica incompleta −4 x 2 =0. È equivalente all'equazione x 2 =0, la sua unica radice è x=0, quindi l'equazione originale ha un'unica radice zero.

Una breve soluzione in questo caso può essere scritta come segue:
−4x2 =0 ,
x2 =0,
x=0.

ax2+c=0

Vediamo ora come si risolvono le equazioni quadratiche incomplete in cui il coefficiente b è zero e c≠0, cioè equazioni della forma a x 2 +c=0. Sappiamo che spostare un termine da un lato all'altro dell'equazione con il segno opposto, così come dividere entrambi i lati dell'equazione per un numero diverso da zero, dà un'equazione equivalente. Possiamo quindi effettuare le seguenti trasformazioni equivalenti dell'equazione quadratica incompleta a x 2 + c=0:

• sposta c a destra, ottenendo l'equazione a x 2 =−c,
• e dividiamo entrambi i membri per a, otteniamo .

L'equazione risultante ci consente di trarre conclusioni sulle sue radici. A seconda dei valori di a e c, il valore dell'espressione può essere negativo (ad esempio, se a=1 e c=2, allora ) o positivo (ad esempio, se a=−2 e c=6, allora ), non è uguale a zero , poiché per la condizione c≠0. Consideriamo i casi separatamente.

Se , allora l'equazione non ha radici. Questa affermazione deriva dal fatto che il quadrato di qualsiasi numero è un numero non negativo. Ne consegue che quando , allora per qualsiasi numero p l'uguaglianza non può essere vera.

Se , allora la situazione con le radici dell'equazione è diversa. In questo caso, se ricordiamo , la radice dell'equazione diventa immediatamente ovvia, è il numero, poiché . È facile intuire che il numero è anche la radice dell’equazione, infatti, . Questa equazione non ha altre radici, il che può essere dimostrato, ad esempio, per contraddizione. Facciamolo.

Indichiamo le radici dell'equazione appena annunciata con x 1 e −x 1 . Supponiamo che l'equazione abbia una radice in più x 2, diversa dalle radici x 1 e −x 1 indicate. È noto che sostituendo le sue radici in un'equazione invece di x si trasforma l'equazione in un'uguaglianza numerica corretta. Per x 1 e −x 1 abbiamo , e per x 2 abbiamo . Le proprietà delle uguaglianze numeriche ci consentono di eseguire la sottrazione termine per termine delle uguaglianze numeriche corrette, quindi sottraendo le parti corrispondenti delle uguaglianze si ottiene x 1 2 −x 2 2 =0. Le proprietà delle operazioni con i numeri ci permettono di riscrivere l'uguaglianza risultante come (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Sappiamo che il prodotto di due numeri è uguale a zero se e solo se almeno uno di essi è uguale a zero. Pertanto, dall’uguaglianza risultante segue che x 1 −x 2 =0 e/o x 1 +x 2 =0, che è la stessa cosa, x 2 =x 1 e/o x 2 =−x 1. Siamo quindi arrivati ​​ad una contraddizione, poiché all’inizio abbiamo detto che la radice dell’equazione x 2 è diversa da x 1 e −x 1. Ciò dimostra che l'equazione non ha radici diverse da e .

Riassumiamo le informazioni in questo paragrafo. L'equazione quadratica incompleta a x 2 + c=0 è equivalente all'equazione that

• non ha radici se,
• ha due radici e, se .

Consideriamo esempi di risoluzione di equazioni quadratiche incomplete della forma a·x 2 +c=0.

Cominciamo con l'equazione quadratica 9 x 2 +7=0. Dopo aver spostato il termine libero sul lato destro dell'equazione, assumerà la forma 9 x 2 =−7. Dividendo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9, arriviamo a . Poiché il lato destro ha un numero negativo, questa equazione non ha radici, quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 +7 = 0 non ha radici.

Risolviamo un'altra equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0. Spostiamo i nove a destra: −x 2 = −9. Ora dividiamo entrambi i membri per −1 e otteniamo x 2 =9. Sul lato destro c'è numero positivo, da cui concludiamo che o . Poi scriviamo la risposta finale: l'equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0 ha due radici x=3 o x=−3.

ax2+bx=0

Resta da capire la soluzione ultimo tipo equazioni quadratiche incomplete per c=0. Equazioni quadratiche incomplete della forma a x 2 + b x = 0 ti permettono di risolvere metodo di fattorizzazione. Ovviamente possiamo, situato sul lato sinistro dell'equazione, per cui è sufficiente togliere il fattore comune x tra parentesi. Ciò ci consente di passare dall'equazione quadratica incompleta originale a un'equazione equivalente della forma x·(a·x+b)=0. E questa equazione è equivalente a un insieme di due equazioni x=0 e a·x+b=0, l'ultima delle quali è lineare e ha radice x=−b/a.

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a·x 2 +b·x=0 ha due radici x=0 e x=−b/a.

Per consolidare il materiale, analizzeremo la soluzione con un esempio specifico.

Esempio.

Risolvi l'equazione.

Soluzione.

Togliendo x dalle parentesi si ottiene l'equazione . È equivalente a due equazioni x=0 e . Risolvere ciò che abbiamo ottenuto equazione lineare: , e dividendo il numero misto per una frazione ordinaria, troviamo . Pertanto, le radici dell'equazione originale sono x=0 e .

Dopo aver acquisito la pratica necessaria, le soluzioni a tali equazioni possono essere scritte brevemente:

Risposta:

x=0, .

Discriminante, formula per le radici di un'equazione quadratica

Per risolvere le equazioni quadratiche, esiste una formula radice. Scriviamolo formula per le radici di un'equazione quadratica: , Dove D=b 2 −4 a c- cosiddetto discriminante di un'equazione quadratica. La voce essenzialmente significa che .

È utile sapere come è stata derivata la formula della radice e come viene utilizzata per trovare le radici delle equazioni quadratiche. Scopriamolo.

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Dobbiamo risolvere l'equazione quadratica a·x 2 +b·x+c=0. Eseguiamo alcune trasformazioni equivalenti:

• Possiamo dividere entrambi i lati di questa equazione per un numero diverso da zero a, ottenendo la seguente equazione quadratica.
• Ora seleziona un quadrato completo sul lato sinistro: . Successivamente l'equazione assumerà la forma .
• A questo punto è possibile trasferire gli ultimi due termini a destra con il segno opposto, abbiamo .
• E trasformiamo anche l’espressione a destra: .

Di conseguenza, arriviamo a un'equazione equivalente all'equazione quadratica originale a·x 2 +b·x+c=0.

Abbiamo già risolto equazioni simili nella forma nei paragrafi precedenti, quando le abbiamo esaminate. Ciò ci consente di trarre le seguenti conclusioni riguardo alle radici dell’equazione:

• se , allora l'equazione non ha soluzioni reali;
• se , allora l'equazione ha la forma , quindi, , da cui è visibile la sua unica radice;
• se , allora o , che è uguale a o , cioè l'equazione ha due radici.

Pertanto, la presenza o l'assenza di radici dell'equazione, e quindi dell'equazione quadratica originale, dipende dal segno dell'espressione a destra. A sua volta il segno di questa espressione è determinato dal segno del numeratore, poiché il denominatore 4·a 2 è sempre positivo, cioè dal segno dell'espressione b 2 −4·a·c. Questa espressione è stata chiamata b 2 −4 a c discriminante di un'equazione quadratica e designato dalla lettera D. Da qui l'essenza del discriminante è chiara: in base al suo valore e segno, concludono se l'equazione quadratica ha radici reali e, in tal caso, qual è il loro numero: uno o due.

Torniamo all'equazione e riscriviamola utilizzando la notazione discriminante: . E traiamo le conclusioni:

• se d<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• se D=0, allora questa equazione ha una radice unica;
• infine, se D>0, allora l'equazione ha due radici o, che possono essere riscritte nella forma o, e dopo aver espanso e ridotto le frazioni a denominatore comune riceviamo.

Quindi abbiamo derivato le formule per le radici dell'equazione quadratica, hanno la forma , dove il discriminante D è calcolato con la formula D=b 2 −4·a·c.

Con il loro aiuto, con un discriminante positivo, puoi calcolare entrambe le radici reali di un'equazione quadratica. Quando il discriminante è uguale a zero, entrambe le formule danno lo stesso valore della radice, corrispondente l'unica soluzione equazione quadratica. E con un discriminante negativo, quando proviamo a utilizzare la formula per le radici di un'equazione quadratica, ci troviamo di fronte all'estrazione della radice quadrata di un numero negativo, il che ci porta oltre l'ambito del curriculum scolastico. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non ha radici reali, ma ha una coppia coniugato complesso radici, che possono essere trovate utilizzando le stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando formule di radice

In pratica, quando risolvi equazioni quadratiche, puoi immediatamente utilizzare la formula radice per calcolarne i valori. Ma questo è più legato alla ricerca di radici complesse.

Tuttavia, in un corso di algebra scolastica di solito non si parla di radici complesse, ma di radici reali di un'equazione quadratica. In questo caso è consigliabile, prima di utilizzare le formule per le radici di un'equazione quadratica, trovare prima il discriminante, assicurarsi che sia non negativo (altrimenti si può concludere che l'equazione non ha radici reali), e solo dopo calcolare i valori delle radici.

Il ragionamento di cui sopra ci permette di scrivere algoritmo per risolvere un'equazione quadratica. Per risolvere l'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0, è necessario:

• utilizzando la formula discriminante D=b 2 −4·a·c, calcolarne il valore;
• concludere che un'equazione quadratica non ha radici reali se il discriminante è negativo;
• calcolare l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula se D=0;
• trova due radici reali di un'equazione quadratica utilizzando la formula della radice se il discriminante è positivo.

Qui notiamo solo che se il discriminante è uguale a zero, potete anche usare la formula che darà lo stesso valore di .

Puoi passare agli esempi di utilizzo dell'algoritmo per risolvere equazioni quadratiche.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Consideriamo le soluzioni di tre equazioni quadratiche con discriminante positivo, negativo e zero. Dopo aver affrontato la loro soluzione, per analogia sarà possibile risolvere qualsiasi altra equazione quadratica. Cominciamo.

Esempio.

Trova le radici dell'equazione x 2 +2·x−6=0.

Soluzione.

In questo caso, abbiamo i seguenti coefficienti dell'equazione quadratica: a=1, b=2 e c=−6. Secondo l'algoritmo, devi prima calcolare il discriminante; per fare ciò, sostituiamo i valori a, b e c indicati nella formula discriminante che abbiamo D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Poiché 28>0, cioè il discriminante è maggiore di zero, l'equazione quadratica ha due radici reali. Troviamoli usando la formula della radice, otteniamo, qui puoi semplificare le espressioni risultanti facendo spostando il moltiplicatore oltre il segno della radice seguita dalla riduzione della frazione:

Risposta:

Passiamo al prossimo esempio tipico.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluzione.

Iniziamo trovando il discriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Pertanto, questa equazione quadratica ha un'unica radice, che troviamo come , cioè

Risposta:

x=3,5.

Resta da considerare la risoluzione di equazioni quadratiche con discriminante negativo.

Esempio.

Risolvi l'equazione 5·y 2 +6·y+2=0.

Soluzione.

Ecco i coefficienti dell'equazione quadratica: a=5, b=6 e c=2. Sostituiamo questi valori nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Il discriminante è negativo, quindi questa equazione quadratica non ha radici reali.

Se è necessario indicare radici complesse, applichiamo la nota formula per le radici di un'equazione quadratica ed eseguiamo operazioni con numeri complessi:

Risposta:

non esistono radici vere e proprie, le radici complesse sono: .

Notiamo ancora una volta che se il discriminante di un'equazione quadratica è negativo, a scuola di solito scrivono immediatamente una risposta in cui indicano che non ci sono radici reali e non si trovano radici complesse.

Formula di radice per coefficienti secondi pari

La formula per le radici di un'equazione quadratica, dove D=b 2 −4·a·c consente di ottenere una formula di forma più compatta, consentendo di risolvere equazioni quadratiche con un coefficiente pari per x (o semplicemente con a coefficiente della forma 2·n, ad esempio, o 14· ln5=2·7·ln5 ). Tiriamola fuori.

Diciamo che dobbiamo risolvere un'equazione quadratica della forma a x 2 +2 n x+c=0. Troviamo le sue radici utilizzando la formula che conosciamo. Per fare ciò calcoliamo il discriminante D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), e quindi usiamo la formula radice:

Denotiamo l'espressione n 2 −a c come D 1 (a volte è indicato D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica in esame con il secondo coefficiente 2 n assumerà la forma , dove D 1 =n 2 −a·c.

È facile vedere che D=4·D 1, ovvero D 1 =D/4. In altre parole, D 1 è la quarta parte del discriminante. È chiaro che il segno di D 1 è lo stesso del segno di D . Cioè, il segno D 1 è anche un indicatore della presenza o dell'assenza di radici di un'equazione quadratica.

Quindi, per risolvere un'equazione quadratica con un secondo coefficiente 2·n, è necessario

• Calcola D 1 =n 2 −a·c ;
• Se D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Se D 1 =0, calcola l'unica radice dell'equazione utilizzando la formula;
• Se D 1 >0, trova due radici reali utilizzando la formula.

Consideriamo di risolvere l'esempio utilizzando la formula radice ottenuta in questo paragrafo.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica 5 x 2 −6 x −32=0 .

Soluzione.

Il secondo coefficiente di questa equazione può essere rappresentato come 2·(−3) . Cioè, puoi riscrivere l'equazione quadratica originale nella forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, qui a=5, n=−3 e c=−32, e calcolare la quarta parte dell'equazione discriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Poiché il suo valore è positivo, l'equazione ha due radici reali. Troviamoli utilizzando la formula radice appropriata:

Si noti che era possibile utilizzare la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso sarebbe stato necessario un lavoro computazionale maggiore.

Risposta:

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte, prima di iniziare a calcolare le radici di un'equazione quadratica utilizzando le formule, non fa male porre la domanda: "È possibile semplificare la forma di questa equazione?" Concordo sul fatto che in termini di calcoli sarà più facile risolvere l'equazione quadratica 11 x 2 −4 x−6=0 che 1100 x 2 −400 x−600=0.

In genere, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica si ottiene moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un certo numero. Ad esempio, nel paragrafo precedente è stato possibile semplificare l’equazione 1100 x 2 −400 x −600=0 dividendo entrambi i membri per 100.

Una trasformazione simile viene eseguita con equazioni quadratiche, i cui coefficienti non sono . In questo caso, di solito dividiamo entrambi i membri dell'equazione per valori assoluti i suoi coefficienti. Ad esempio, prendiamo l'equazione quadratica 12 x 2 −42 x+48=0. valori assoluti dei suoi coefficienti: MCD(12, 42, 48)= MCD(MCD(12, 42), 48)= MCD(6, 48)=6. Dividendo entrambi i lati dell'equazione quadratica originale per 6, arriviamo all'equazione quadratica equivalente 2 x 2 −7 x+8=0.

E la moltiplicazione di entrambi i lati di un'equazione quadratica viene solitamente eseguita per eliminare i coefficienti frazionari. In questo caso, la moltiplicazione viene eseguita per i denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se entrambi i lati dell'equazione quadratica vengono moltiplicati per LCM(6, 3, 1)=6, assumerà la forma più semplice x 2 +4·x−18=0.

In conclusione di questo punto, notiamo che quasi sempre eliminano il meno al coefficiente più alto di un'equazione quadratica cambiando i segni di tutti i termini, il che corrisponde a moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per −1. Ad esempio, solitamente si passa dall'equazione quadratica −2 x 2 −3 x+7=0 alla soluzione 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relazione tra radici e coefficienti di un'equazione quadratica

La formula per le radici di un'equazione quadratica esprime le radici dell'equazione attraverso i suoi coefficienti. In base alla formula della radice si possono ottenere altre relazioni tra radici e coefficienti.

Le formule più conosciute e applicabili del teorema di Vieta sono della forma e . In particolare, per la data equazione quadratica, la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente con segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, dalla forma dell'equazione quadratica 3 x 2 −7 x + 22 = 0 possiamo immediatamente dire che la somma delle sue radici è uguale a 7/3 e il prodotto delle radici è uguale a 22/3.

Utilizzando le formule già scritte, puoi ottenere una serie di altre connessioni tra le radici e i coefficienti dell'equazione quadratica. Ad esempio, puoi esprimere la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica attraverso i suoi coefficienti: .

Riferimenti.

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• Mordkovich A.G. Algebra. 8° grado. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich. - 11a edizione, cancellata. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

IN società moderna la capacità di eseguire operazioni con equazioni contenenti una variabile quadrata può essere utile in molte aree di attività ed è ampiamente utilizzata nella pratica negli sviluppi scientifici e tecnici. La prova di ciò può essere trovata nella progettazione di navi marittime e fluviali, aerei e razzi. Utilizzando tali calcoli, vengono determinate le traiettorie di movimento di un'ampia varietà di corpi, compresi gli oggetti spaziali. Gli esempi con la soluzione di equazioni quadratiche vengono utilizzati non solo nelle previsioni economiche, nella progettazione e costruzione di edifici, ma anche nelle circostanze quotidiane più ordinarie. Potrebbero essere necessari durante le escursioni, in occasione di eventi sportivi, nei negozi per fare acquisti e in altre situazioni molto comuni.

Suddividiamo l'espressione nei suoi fattori che la compongono

Il grado di un'equazione è determinato dal valore massimo del grado della variabile contenuta nell'espressione. Se è uguale a 2, tale equazione è chiamata quadratica.

Se parliamo nel linguaggio delle formule, le espressioni indicate, non importa come appaiono, possono sempre essere riportate nella forma quando il lato sinistro dell'espressione è composto da tre termini. Tra questi: ax 2 (cioè una variabile al quadrato con il suo coefficiente), bx (un'incognita senza quadrato con il suo coefficiente) e c (una componente libera, cioè numero regolare). Tutto questo sul lato destro è uguale a 0. Nel caso in cui tale polinomio manchi di uno dei suoi termini costitutivi, ad eccezione dell'asse 2, si parla di equazione quadratica incompleta. Per prima cosa dovrebbero essere considerati esempi con la soluzione di tali problemi, i valori delle variabili in cui sono facili da trovare.

Se l'espressione appare in modo tale che l'espressione a destra contenga due termini, più precisamente ax 2 e bx, il modo più semplice per trovare x è posizionare la variabile fuori parentesi. Ora la nostra equazione sarà simile a questa: x(ax+b). Successivamente diventa ovvio che x=0, oppure il problema si riduce a trovare una variabile dalla seguente espressione: ax+b=0. Ciò è dettato da una delle proprietà della moltiplicazione. La regola afferma che il prodotto di due fattori dà come risultato 0 solo se uno dei due è zero.

Esempio

x=0 oppure 8x - 3 = 0

Di conseguenza, otteniamo due radici dell'equazione: 0 e 0,375.

Equazioni di questo tipo possono descrivere il movimento dei corpi sotto l'influenza della gravità, che hanno iniziato a muoversi da un certo punto, preso come origine delle coordinate. Qui prende la notazione matematica il seguente modulo: y = v 0 t + gt 2 /2. Sostituendo i valori necessari, equiparando il lato destro a 0 e trovando le possibili incognite, si può scoprire il tempo che passa dal momento in cui il corpo si alza al momento in cui cade, oltre a tante altre quantità. Ma di questo parleremo più tardi.

Fattorizzazione di un'espressione

La regola sopra descritta permette di risolvere in più questi problemi casi difficili. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di equazioni quadratiche di questo tipo.

X2 - 33x + 200 = 0

Questo trinomio quadratico è completo. Innanzitutto, trasformiamo l'espressione e la fattorizziamo. Ce ne sono due: (x-8) e (x-25) = 0. Di conseguenza, abbiamo due radici 8 e 25.

Esempi con la risoluzione di equazioni quadratiche di grado 9 consentono a questo metodo di trovare una variabile nelle espressioni non solo del secondo, ma anche del terzo e del quarto ordine.

Ad esempio: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Quando si fattorizza il lato destro in fattori con una variabile, ce ne sono tre, cioè (x+1), (x-3) e (x+ 3).

Di conseguenza, diventa ovvio che questa equazione ha tre radici: -3; -1; 3.

Radice quadrata

Un altro caso equazione incompleta il secondo ordine è un'espressione rappresentata nella lingua delle lettere in modo tale che il lato destro sia costruito dalle componenti ax 2 e c. Qui, per ottenere il valore della variabile, viene trasferito il termine libero lato destro, e successivamente da entrambi i lati dell'uguaglianza estraiamo radice quadrata. Va notato che in questo caso di solito ci sono due radici dell'equazione. Le uniche eccezioni possono essere le uguaglianze che non contengono affatto un termine con, dove la variabile è uguale a zero, così come le varianti di espressioni quando il lato destro risulta essere negativo. In quest'ultimo caso non esiste alcuna soluzione poiché le azioni di cui sopra non possono essere eseguite con root. Dovrebbero essere considerati esempi di soluzioni di equazioni quadratiche di questo tipo.

In questo caso, le radici dell'equazione saranno i numeri -4 e 4.

Calcolo della superficie terrestre

La necessità di questo tipo di calcoli è apparsa nei tempi antichi, perché lo sviluppo della matematica in quei tempi lontani era in gran parte determinato dalla necessità di determinare con la massima precisione le aree e i perimetri dei terreni.

Dovremmo anche considerare esempi di risoluzione di equazioni quadratiche basate su problemi di questo tipo.

Quindi, diciamo che c'è un appezzamento di terreno rettangolare, la cui lunghezza è 16 metri maggiore della larghezza. Dovresti trovare la lunghezza, la larghezza e il perimetro del sito se sai che la sua area è 612 m 2.

Per iniziare, creiamo prima l'equazione necessaria. Indichiamo con x la larghezza dell'area, quindi la sua lunghezza sarà (x+16). Da quanto scritto segue che l'area è determinata dall'espressione x(x+16), che, secondo le condizioni del nostro problema, è 612. Ciò significa che x(x+16) = 612.

Risolvere equazioni quadratiche complete, e questa espressione è esattamente quella, non può essere fatta allo stesso modo. Perché? Sebbene il lato sinistro contenga ancora due fattori, il loro prodotto non è affatto uguale a 0, quindi qui vengono utilizzati metodi diversi.

Discriminante

Prima di tutto, quindi, facciamo le dovute trasformazioni aspetto di questa espressione sarà simile a questa: x 2 + 16x - 612 = 0. Ciò significa che abbiamo ricevuto un'espressione in una forma corrispondente allo standard precedentemente specificato, dove a=1, b=16, c=-612.

Questo potrebbe essere un esempio di risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un discriminante. Qui calcoli necessari sono prodotti secondo lo schema: D = b 2 - 4ac. Questa quantità ausiliaria non solo consente di trovare le quantità richieste in un'equazione del secondo ordine, ma determina la quantità possibili opzioni. Se D>0 ce ne sono due; per D=0 c'è una radice. Nel caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

A proposito delle radici e della loro formula

Nel nostro caso il discriminante è pari a: 256 - 4(-612) = 2704. Ciò suggerisce che il nostro problema ha una risposta. Se conosci k, la soluzione delle equazioni quadratiche deve essere continuata utilizzando la formula seguente. Ti permette di calcolare le radici.

Ciò significa che nel caso presentato: x 1 =18, x 2 =-34. La seconda opzione di questo dilemma non può essere una soluzione, perché le dimensioni del terreno non possono essere misurate in quantità negative, il che significa che x (cioè la larghezza del terreno) è 18 m. Da qui calcoliamo la lunghezza: 18 +16=34, e il perimetro 2(34+ 18)=104(m2).

Esempi e compiti

Continuiamo il nostro studio delle equazioni quadratiche. Di seguito verranno forniti esempi e soluzioni dettagliate di molti di essi.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Spostiamo tutto a sinistra dell'uguaglianza, facciamo una trasformazione, cioè otteniamo il tipo di equazione che di solito viene chiamata standard e la equiparamo a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Aggiungendo quelli simili, determiniamo il discriminante: D = 49 - 48 = 1. Ciò significa che la nostra equazione avrà due radici. Calcoliamoli secondo la formula sopra, il che significa che il primo sarà uguale a 4/3 e il secondo a 1.

2) Ora risolviamo misteri di tipo diverso.

Scopriamo se ci sono radici qui x 2 - 4x + 5 = 1? Per ottenere una risposta esauriente riduciamo il polinomio alla corrispondente forma usuale e calcoliamo il discriminante. Nell'esempio sopra non è necessario risolvere l'equazione quadratica, perché questa non è affatto l'essenza del problema. In questo caso D = 16 - 20 = -4, il che significa che in realtà non ci sono radici.

Il teorema di Vieta

È conveniente risolvere le equazioni quadratiche utilizzando le formule precedenti e il discriminante, quando la radice quadrata viene ricavata dal valore di quest'ultimo. Ma questo non sempre accade. Tuttavia, in questo caso esistono molti modi per ottenere i valori delle variabili. Esempio: risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta. Prende il nome da qualcuno che visse nella Francia del XVI secolo e fece una brillante carriera grazie al suo talento matematico e ai suoi contatti a corte. Il suo ritratto può essere visto nell'articolo.

Lo schema notato dal famoso francese era il seguente. Dimostrò che la somma numerica delle radici dell'equazione dà -p=b/a, e il loro prodotto corrisponde a q=c/a.

Ora diamo un'occhiata ai compiti specifici.

3x2 + 21x - 54 = 0

Per semplicità trasformiamo l'espressione:

x2 + 7x - 18 = 0

Usiamo il teorema di Vieta, questo ci darà quanto segue: la somma delle radici è -7 e il loro prodotto è -18. Da qui otteniamo che le radici dell'equazione sono i numeri -9 e 2. Dopo aver verificato, ci assicureremo che questi valori variabili si adattino effettivamente all'espressione.

Grafico ed equazione della parabola

I concetti di funzione quadratica ed equazioni quadratiche sono strettamente correlati. Esempi di ciò sono già stati forniti in precedenza. Ora diamo un'occhiata ad alcuni enigmi matematici un po' più in dettaglio. Qualsiasi equazione del tipo descritto può essere rappresentata visivamente. Tale relazione, rappresentata come grafico, è chiamata parabola. I suoi vari tipi sono presentati nella figura seguente.

Ogni parabola ha un vertice, cioè un punto da cui escono i suoi rami. Se a>0 vanno alti all'infinito, e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Le rappresentazioni visive delle funzioni aiutano a risolvere qualsiasi equazione, comprese quelle quadratiche. Questo metodo è chiamato grafico. E il valore della variabile x è la coordinata dell'ascissa nei punti in cui la linea del grafico si interseca con 0x. Le coordinate del vertice si possono trovare utilizzando la formula appena data x 0 = -b/2a. E sostituendo il valore risultante nell'equazione originale della funzione, puoi scoprire y 0, cioè la seconda coordinata del vertice della parabola, che appartiene all'asse delle ordinate.

L'intersezione dei rami di una parabola con l'asse delle ascisse

Esistono molti esempi di risoluzione di equazioni quadratiche, ma esistono anche modelli generali. Diamo un'occhiata a loro. È chiaro che l'intersezione del grafico con l'asse 0x per a>0 è possibile solo se y 0 assume valori negativi. E per a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altrimenti D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dal grafico della parabola puoi anche determinare le radici. È vero anche il contrario. Cioè, se non è facile ottenere una rappresentazione visiva di una funzione quadratica, puoi equiparare il lato destro dell'espressione a 0 e risolvere l'equazione risultante. E conoscendo i punti di intersezione con l'asse 0x, è più semplice costruire un grafico.

Dalla storia

Usando equazioni contenenti una variabile quadrata, ai vecchi tempi non solo facevano calcoli matematici e determinavano le aree delle figure geometriche. Gli antichi avevano bisogno di tali calcoli per grandi scoperte nel campo della fisica e dell'astronomia, nonché per fare previsioni astrologiche.

Come suggeriscono gli scienziati moderni, gli abitanti di Babilonia furono tra i primi a risolvere equazioni quadratiche. Ciò è accaduto quattro secoli prima della nostra era. Naturalmente, i loro calcoli erano radicalmente diversi da quelli attualmente accettati e si rivelarono molto più primitivi. Ad esempio, i matematici mesopotamici non avevano idea dell’esistenza dei numeri negativi. Inoltre non avevano familiarità con altre sottigliezze che ogni scolaro moderno conosce.

Forse anche prima degli scienziati di Babilonia, il saggio indiano Baudhayama iniziò a risolvere le equazioni quadratiche. Ciò accadde circa otto secoli prima dell'era di Cristo. È vero, le equazioni del secondo ordine, i metodi per risolverli da lui forniti, erano i più semplici. Oltre a lui, anche i matematici cinesi in passato si interessavano a questioni simili. In Europa, le equazioni quadratiche iniziarono a essere risolte solo all'inizio del XIII secolo, ma in seguito furono utilizzate nelle loro opere da grandi scienziati come Newton, Cartesio e molti altri.