Rumah / Umur/ Jumlah 10 nombor pertama suatu janjang aritmetik. Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Jumlah 10 nombor pertama suatu janjang aritmetik. Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Sebelum kita mula membuat keputusan masalah janjang aritmetik, mari kita lihat apa itu urutan nombor, kerana janjang aritmetik ialah kes khas bagi jujukan nombor.

Urutan nombor ialah set nombor, setiap elemen mempunyai sendiri nombor siri . Unsur-unsur set ini dipanggil ahli jujukan. Nombor siri unsur jujukan ditunjukkan oleh indeks:

Elemen pertama urutan;

Unsur kelima jujukan;

- unsur "n" bagi jujukan, i.e. elemen "berdiri dalam barisan" pada nombor n.

Terdapat hubungan antara nilai unsur jujukan dan nombor jujukannya. Oleh itu, kita boleh menganggap jujukan sebagai fungsi yang hujahnya ialah nombor ordinal bagi unsur jujukan. Dalam erti kata lain, kita boleh mengatakan bahawa urutan adalah fungsi hujah semula jadi:

Urutan boleh ditetapkan dalam tiga cara:

1 . Urutan boleh ditentukan menggunakan jadual. Dalam kes ini, kami hanya menetapkan nilai setiap ahli jujukan.

Sebagai contoh, Seseorang memutuskan untuk mengambil pengurusan masa peribadi, dan untuk memulakan, hitung berapa banyak masa yang dia habiskan di VKontakte sepanjang minggu. Dengan merekodkan masa dalam jadual, dia akan menerima urutan yang terdiri daripada tujuh elemen:

Baris pertama jadual menunjukkan bilangan hari dalam seminggu, yang kedua - masa dalam minit. Kami melihat bahawa, iaitu, pada hari Isnin Seseorang menghabiskan 125 minit di VKontakte, iaitu, pada hari Khamis - 248 minit, dan, iaitu, pada hari Jumaat hanya 15.

2 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula sebutan ke-n.

Dalam kes ini, pergantungan nilai unsur jujukan pada nombornya dinyatakan secara langsung dalam bentuk formula.

Contohnya, jika , maka

Untuk mencari nilai unsur jujukan dengan nombor tertentu, kami menggantikan nombor unsur ke dalam formula sebutan ke-n.

Kita melakukan perkara yang sama jika kita perlu mencari nilai fungsi jika nilai hujah diketahui. Kami menggantikan nilai hujah ke dalam persamaan fungsi:

Jika, sebagai contoh, , Itu

Biar saya perhatikan sekali lagi bahawa dalam urutan, tidak seperti fungsi berangka arbitrari, hujah hanya boleh menjadi nombor asli.

3 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula yang menyatakan pergantungan nilai jujukan nombor ahli n pada nilai ahli sebelumnya.

Dalam kes ini, tidak cukup untuk kita hanya mengetahui nombor ahli jujukan untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan ahli pertama atau beberapa ahli pertama jujukan. ,

Sebagai contoh, pertimbangkan urutan Kita boleh mencari nilai ahli jujukan satu persatu

, bermula dari yang ketiga: Iaitu, setiap kali, untuk mencari nilai sebutan ke-n bagi jujukan, kita kembali kepada dua sebelumnya. Kaedah untuk menentukan urutan ini dipanggil berulang , daripada perkataan Latin berulang

- kembali.

Sekarang kita boleh menentukan janjang aritmetik. Janjang aritmetik ialah kes khas yang mudah bagi jujukan nombor. Janjang aritmetik

ialah urutan berangka, setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor dipanggil perbezaan janjang aritmetik

. Perbezaan janjang aritmetik boleh positif, negatif, atau sama dengan sifar.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Jika title="d>0.

semakin meningkat

Sebagai contoh, 2; 5; 8; 11;... Jika , maka setiap sebutan janjang aritmetik adalah kurang daripada yang sebelumnya, dan janjangnya adalah.

semakin berkurangan

Sebagai contoh, 2; -1; -4; -7;... Jika , maka semua sebutan janjang adalah sama dengan nombor yang sama, dan janjangnya ialah.

pegun

Contohnya, 2;2;2;2;...

Sifat utama janjang aritmetik:

Jom tengok gambar.

Kita nampak itu

, dan pada masa yang sama

Menambah dua kesamaan ini, kita dapat:

Mari bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 2:

Jadi, setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik bagi dua yang berjiran:

Kita nampak itu

Lebih-lebih lagi, sejak

, Itu

, dan oleh itu">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Setiap sebutan janjang aritmetik, bermula dengan tajuk="k>l

Formula penggal ke.

Kami melihat bahawa sebutan janjang aritmetik memenuhi hubungan berikut:

dan akhirnya Kami dapat

rumus sebutan ke-n. PENTING!

Mana-mana ahli janjang aritmetik boleh dinyatakan melalui dan. Mengetahui sebutan pertama dan perbezaan janjang aritmetik, anda boleh menemui mana-mana istilahnya.

Hasil tambah n sebutan bagi suatu janjang aritmetik.

Pertimbangkan janjang aritmetik dengan n sebutan. Biarkan jumlah n sebutan janjang ini sama dengan .

Mari kita susun istilah janjang dahulu dalam tertib nombor menaik, dan kemudian dalam tertib menurun:

Mari tambah secara berpasangan:

Jumlah dalam setiap kurungan ialah , bilangan pasangan ialah n.

Kami mendapat:

Jadi, jumlah n sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati menggunakan rumus:

Mari kita pertimbangkan menyelesaikan masalah janjang aritmetik.

1 . Urutan diberikan oleh formula sebutan ke-n: . Buktikan bahawa jujukan ini ialah janjang aritmetik.

Mari kita buktikan bahawa perbezaan antara dua sebutan yang bersebelahan bagi jujukan adalah sama dengan nombor yang sama.

Kami mendapati bahawa perbezaan antara dua ahli urutan yang bersebelahan tidak bergantung pada nombor mereka dan adalah pemalar. Oleh itu, mengikut definisi, jujukan ini ialah janjang aritmetik.

2 . Diberi janjang aritmetik -31; -27;...

a) Cari 31 sebutan janjang itu.

b) Tentukan sama ada nombor 41 termasuk dalam janjang ini.

A) Kami melihat bahawa;

Mari kita tulis formula untuk penggal ke-n untuk perkembangan kita.

Secara amnya

Dalam kes kita , Itulah sebabnya

Masalah tentang janjang aritmetik telah pun wujud pada zaman dahulu. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Oleh itu, dalam salah satu papirus Mesir Purba, yang mempunyai kandungan matematik, - papirus Rhind (abad ke-19 SM) - mengandungi tugas berikut: membahagikan sepuluh sukat roti kepada sepuluh orang, dengan syarat bahawa perbezaan antara setiap satu daripada mereka adalah satu perlapan daripada sukatan.”

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Oleh itu, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambah buku keempat belas kepada Elemen Euclid), merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik yang mempunyai bilangan sebutan genap, jumlah sebutan separuh ke-2 adalah lebih besar daripada jumlah sebutan yang pertama pada kuasa dua 1/2 nombor ahli."

Urutan itu dilambangkan dengan an. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya ditetapkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... baca: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apakah janjang aritmetik? Dengan itu kita maksudkan yang diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan sedemikian dianggap meningkat.

Janjang aritmetik dipanggil terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Pada sangat kuantiti yang banyak ahli sudah menjadi kemajuan yang tidak berkesudahan.

Sebarang janjang aritmetik ditakrifkan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan yang bertentangan adalah benar: jika urutan diberikan oleh formula yang sama, maka ia adalah janjang aritmetik yang mempunyai sifat:

Setiap sebutan janjang ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan sebutan berikutnya.
Berbalik: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan ini ialah janjang aritmetik. Kesaksamaan ini juga merupakan tanda kemajuan, itulah sebabnya ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana sebutan jujukan, bermula dengan ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al, jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati menggunakan formula berikut:

Contohnya: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) adalah sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan kita menentukan penggal ke- suatu janjang aritmetik melalui mana-mana sebutan kthnya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah sebutan janjang aritmetik (bermaksud n sebutan pertama janjang terhingga) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung kepada keadaan masalah dan data awal.

Siri semula jadi sebarang nombor, seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling mudah janjang aritmetik.

Sebagai tambahan kepada janjang aritmetik, terdapat juga janjang geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.

Tahap kemasukan

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh membezakan yang mana satu pertama, yang mana kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan nombor
Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama.
Nombor dengan nombor dipanggil sebutan ke-jujukan.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Katakan kita mempunyai urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Contohnya:

dll.
Urutan nombor ini dipanggil janjang aritmetik.
Istilah "kemajuan" telah diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius pada abad ke-6 dan difahami dalam erti kata yang lebih luas sebagai urutan berangka yang tidak terhingga. Nama "aritmetik" dipindahkan dari teori perkadaran berterusan, yang dikaji oleh orang Yunani kuno.

Ini ialah urutan nombor, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan ditetapkan.

Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:

a)
b)
c)
d)

faham? Mari bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
bukan janjang aritmetik - a, d.

Mari kembali ke janjang yang diberikan () dan cuba cari nilai sebutan ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.

1. Kaedah

Kita boleh menambah nombor janjang kepada nilai sebelumnya sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:

Jadi, sebutan ke janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.

2. Kaedah

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai sebutan ke-kemajuan itu? Penjumlahan akan mengambil masa lebih daripada satu jam, dan bukan fakta bahawa kita tidak akan membuat kesilapan semasa menambah nombor.
Sudah tentu, ahli matematik telah menghasilkan satu cara yang tidak perlu menambah perbezaan janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya. Perhatikan gambar yang dilukis dengan lebih dekat... Pasti anda sudah perasan corak tertentu iaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat apakah nilai sebutan ke bagi janjang aritmetik ini terdiri daripada:

Dengan kata lain:

Cuba cari sendiri nilai ahli janjang aritmetik tertentu dengan cara ini.

Adakah anda mengira? Bandingkan nota anda dengan jawapan:

Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang betul-betul sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami menambah secara berurutan istilah janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya.
Mari cuba "menyahperibadi" formula ini- mari kita bawa dia ke pandangan umum dan kita dapat:

Persamaan janjang aritmetik.

Janjang aritmetik boleh meningkat atau menurun.

Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Contohnya:

Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Contohnya:

Formula terbitan digunakan dalam pengiraan sebutan dalam kedua-dua sebutan meningkat dan menurun bagi janjang aritmetik.
Mari kita semak ini dalam amalan.
Kami diberi janjang aritmetik yang terdiri daripada nombor berikut: Mari kita semak apakah nombor ke janjang aritmetik ini jika kita menggunakan formula kita untuk mengiranya:

Sejak itu:

Oleh itu, kami yakin bahawa formula beroperasi dalam kedua-dua janjang aritmetik menurun dan meningkat.
Cuba cari sendiri sebutan ke dan ke bagi janjang aritmetik ini.

Mari bandingkan hasilnya:

Sifat janjang aritmetik

Mari kita rumitkan masalah - kita akan memperoleh sifat janjang aritmetik.
Katakan kita diberi syarat berikut:
- janjang aritmetik, cari nilai.
Mudah, anda katakan dan mula mengira mengikut formula yang anda sudah tahu:

Mari, ah, kemudian:

benar sekali. Ternyata kita mula-mula mencari, kemudian menambahnya pada nombor pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai kecil, maka tidak ada yang rumit mengenainya, tetapi bagaimana jika kita diberi nombor dalam keadaan? Setuju, terdapat kemungkinan membuat kesilapan dalam pengiraan.
Sekarang fikirkan sama ada mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan sebarang formula? Sudah tentu ya, dan itulah yang akan kami cuba kemukakan sekarang.

Mari kita nyatakan istilah yang diperlukan bagi janjang aritmetik sebagai, formula untuk mencarinya diketahui oleh kita - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:

istilah janjang sebelumnya ialah:
istilah janjang seterusnya ialah:

Mari kita rumuskan istilah janjang sebelumnya dan seterusnya:

Ternyata jumlah terma janjang sebelumnya dan seterusnya ialah nilai berganda bagi istilah janjang yang terletak di antara mereka. Dalam erti kata lain, untuk mencari nilai istilah janjang dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, anda perlu menambahnya dan membahagikannya dengan.

Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari selamatkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, ia sama sekali tidak sukar.

Syabas! Anda tahu hampir segala-galanya tentang kemajuan! Tinggal untuk mengetahui hanya satu formula, yang, menurut legenda, mudah disimpulkan sendiri oleh salah seorang ahli matematik terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematik" - Carl Gauss...

Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, seorang guru, sibuk memeriksa kerja pelajar di kelas lain, bertanya masalah berikut di dalam kelas: "Kira jumlah semua nombor asli daripada kepada (mengikut sumber lain sehingga) termasuk.” Bayangkan guru terkejut apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) seminit kemudian memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil, selepas pengiraan yang panjang, menerima keputusan yang salah...

Carl Gauss muda melihat corak tertentu yang anda juga boleh perasan dengan mudah.
Katakan kita mempunyai janjang aritmetik yang terdiri daripada sebutan -th: Kita perlu mencari jumlah sebutan janjang aritmetik ini. Sudah tentu, kita boleh menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas itu memerlukan mencari jumlah istilahnya, seperti yang dicari oleh Gauss?

Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Lihat lebih dekat pada nombor yang diserlahkan dan cuba lakukan pelbagai operasi matematik dengan mereka.

Sudahkah anda mencubanya? Apa yang awak perasan? Betul! Jumlah mereka adalah sama

Sekarang beritahu saya, berapakah jumlah pasangan sebegitu yang terdapat dalam janjang yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua sebutan janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan yang serupa adalah sama, kita memperoleh bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Dalam beberapa masalah kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan perkembangannya. Cuba gantikan formula sebutan ke dalam formula jumlah.
Apa yang awak dapat?

Syabas! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor yang bermula dari ke--sama dengan dan jumlah nombor-nombor bermula dari ke-.

Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss mendapati bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu yang anda putuskan?

Malah, formula untuk jumlah sebutan janjang aritmetik telah dibuktikan oleh saintis Yunani purba Diophantus pada abad ke-3, dan sepanjang masa ini, orang cerdik menggunakan sepenuhnya sifat janjang aritmetik.
Sebagai contoh, bayangkan Mesir Purba dan projek pembinaan terbesar pada masa itu - pembinaan piramid... Gambar menunjukkan sebelahnya.

Di manakah perkembangan di sini, anda katakan? Lihat dengan teliti dan cari corak dalam bilangan blok pasir dalam setiap baris dinding piramid.

Mengapa bukan janjang aritmetik? Kira berapa banyak blok yang diperlukan untuk membina satu dinding jika bata blok diletakkan di pangkalan. Saya harap anda tidak akan mengira semasa menggerakkan jari anda pada monitor, anda masih ingat formula terakhir dan semua yang kami katakan tentang janjang aritmetik?

Dalam kes ini, perkembangan kelihatan seperti ini: .
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik.
Mari kita gantikan data kita ke dalam formula terakhir (kira bilangan blok dalam 2 cara).

Kaedah 1.

Kaedah 2.

Dan kini anda boleh mengira pada monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan bilangan blok yang ada dalam piramid kami. faham? Syabas, anda telah menguasai jumlah sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.
Sudah tentu, anda tidak boleh membina piramid dari blok di pangkalan, tetapi dari? Cuba kira berapa banyak bata pasir yang diperlukan untuk membina dinding dengan keadaan ini.
Adakah anda berjaya?
Jawapan yang betul ialah blok:

Latihan

Tugasan:

Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan melakukan squats dalam seminggu jika dia melakukan squats pada sesi latihan pertama?
Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
Apabila menyimpan log, pembalak menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak?

Jawapan:

Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
(minggu = hari).
Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu melakukan squat sekali sehari.
Nombor ganjil pertama, nombor terakhir.
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan nombor ganjil dalam ialah separuh, bagaimanapun, mari kita semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari sebutan ke satu janjang aritmetik:
Nombor memang mengandungi nombor ganjil.
Mari kita gantikan data yang ada ke dalam formula:
Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama.
Mari kita ingat masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, maka secara keseluruhan terdapat sekumpulan lapisan, iaitu.
Mari kita gantikan data ke dalam formula:
Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.

Mari kita ringkaskan

- urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia boleh meningkat atau menurun.
Mencari formula Sebutan ke-1 suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di manakah bilangan nombor dalam kemajuan.
Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:

, di manakah bilangan nilai.

PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH

Urutan nombor

Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:

Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka. Tetapi kita sentiasa boleh mengatakan yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor.

Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan nombor unik. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.

Nombor dengan nombor dipanggil ahli urutan ke-.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Ia adalah sangat mudah jika sebutan ke-jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula

menetapkan urutan:

Dan formulanya adalah urutan berikut:

Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya ialah). Atau (, perbezaan).

Formula penggal ke-

Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah ke, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang menggunakan formula ini, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:

Nah, adakah ia jelas sekarang apakah formulanya?

Dalam setiap baris yang kita tambah, didarab dengan beberapa nombor. yang mana satu? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:

Jauh lebih mudah sekarang, bukan? Kami menyemak:

Tentukan sendiri:

Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.

Penyelesaian:

Sebutan pertama adalah sama. Apakah perbezaannya? Inilah yang:

(Inilah sebabnya ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan sebutan berturut-turut janjang).

Jadi, formulanya:

Maka sebutan keseratus adalah sama dengan:

Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?

Menurut legenda, ahli matematik hebat Carl Gauss, sebagai budak lelaki berusia 9 tahun, mengira jumlah ini dalam beberapa minit. Dia perasan bahawa jumlah nombor pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua terakhir adalah sama, jumlah ketiga dan ke-3 dari hujung adalah sama, dan seterusnya. Berapakah jumlah pasangan sedemikian? Betul, tepat separuh daripada bilangan semua nombor, iaitu. Jadi,

Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Contoh:
Cari jumlah semua nombor dua digit, gandaan.

Penyelesaian:

Nombor yang pertama ialah ini. Setiap nombor berikutnya diperoleh dengan menambah nombor sebelumnya. Oleh itu, nombor yang kita minati membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama dan perbezaannya.

Formula istilah ke-1 untuk janjang ini:

Berapakah bilangan yang terdapat dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?

Sangat mudah: .

Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:

Jawapan: .

Sekarang tentukan sendiri:

Setiap hari atlet berlari lebih meter daripada hari sebelumnya. Berapakah jumlah kilometer yang dia akan larian dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
Seorang penunggang basikal menempuh lebih banyak kilometer setiap hari berbanding hari sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu menempuh perjalanan sejauh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
Harga peti sejuk di kedai menurun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Jawapan:

Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
.
Jawapan:
Di sini ia diberikan: , mesti dijumpai.
Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam masalah sebelumnya:
.
Gantikan nilai:
Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya adalah.
Mari kita mengira laluan yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula istilah ke-:
(km).
Jawapan:
Diberi: . Cari: .
Ia tidak boleh menjadi lebih mudah:
(gosok).
Jawapan:

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Ini ialah urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.

Janjang aritmetik boleh meningkat () dan menurun ().

Contohnya:

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

ditulis oleh formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Ia membolehkan anda mencari istilah janjang dengan mudah jika istilah jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:

Di manakah bilangan nilai.

apa perkara utama formula?

Formula ini membolehkan anda mencari mana-mana DENGAN NOMBORNYA" n" .

Sudah tentu, anda juga perlu mengetahui istilah pertama a 1 dan perbezaan perkembangan d, nah, tanpa parameter ini anda tidak boleh menulis perkembangan tertentu.

Menghafal (atau mengunyah) formula ini tidak mencukupi. Anda perlu memahami intipatinya dan menggunakan formula dalam pelbagai masalah. Dan juga tidak lupa pada saat yang tepat, ya...) Bagaimana jangan lupa- Saya tidak tahu. Tetapi bagaimana untuk mengingati Jika perlu, saya pasti akan menasihati anda. Bagi mereka yang menyelesaikan pelajaran hingga tamat.)

Jadi, mari kita lihat formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Apakah formula secara umum? By the way, sila lihat jika anda belum membacanya. Semuanya mudah di sana. Ia kekal untuk mengetahui apa itu penggal ke-

Kemajuan secara umum boleh ditulis sebagai satu siri nombor:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- menandakan sebutan pertama suatu janjang aritmetik, a 3- ahli ketiga, a 4- yang keempat, dan seterusnya. Jika kita berminat dengan penggal kelima, katakan kita sedang bekerjasama a 5, jika seratus dua puluh - s a 120.

Bagaimanakah kita boleh mentakrifkannya secara umum? mana-mana sebutan janjang aritmetik, dengan mana-mana nombor? Sangat mudah! seperti ini:

a n

Ini dia sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Huruf n menyembunyikan semua nombor ahli sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apakah rekod sedemikian memberi kita? Cuba fikirkan, bukannya nombor mereka menulis surat...

Notasi ini memberi kita alat yang berkuasa untuk bekerja dengan janjang aritmetik. Menggunakan tatatanda a n, kita boleh cari dengan cepat mana-mana ahli mana-mana janjang aritmetik. Dan selesaikan banyak masalah perkembangan lain. Anda akan lihat sendiri lebih jauh.

Dalam formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- sebutan pertama janjang aritmetik;

n- nombor ahli.

Formula menghubungkan parameter utama sebarang perkembangan: a n ; a 1; d Dan n. Semua masalah perkembangan berkisar pada parameter ini.

Formula istilah ke-n juga boleh digunakan untuk menulis janjang tertentu. Sebagai contoh, masalah mungkin mengatakan bahawa perkembangan ditentukan oleh syarat:

a n = 5 + (n-1) 2.

Masalah sedemikian boleh membawa kepada jalan buntu... Tidak ada siri mahupun perbezaan... Tetapi, membandingkan keadaan dengan formula, mudah untuk menyedari bahawa dalam perkembangan ini a 1 =5, dan d=2.

Dan ia boleh menjadi lebih teruk lagi!) Jika kita mengambil keadaan yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, Ya, buka kurungan dan bawa yang serupa? Kami mendapat formula baharu:

a n = 3 + 2n.

ini Bukan umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah perangkap mengintai. Sesetengah orang berpendapat bahawa penggal pertama adalah tiga. Walaupun pada hakikatnya penggal pertama adalah lima... Lebih rendah sedikit kita akan bekerja dengan formula yang diubah suai.

Dalam masalah kemajuan terdapat notasi lain - a n+1. Ini ialah, seperti yang anda duga, sebutan "n tambah pertama" bagi janjang itu. Maksudnya mudah dan tidak berbahaya.) Ini adalah ahli janjang yang bilangannya lebih besar daripada nombor n demi satu. Sebagai contoh, jika dalam beberapa masalah kita ambil a n penggal kelima kemudian a n+1 akan menjadi ahli keenam. Dan seumpamanya.

Selalunya sebutan a n+1 terdapat dalam formula berulang. Jangan takut dengan ini perkataan yang dahsyat!) Ini hanyalah satu cara untuk menyatakan ahli janjang aritmetik melalui yang sebelumnya. Katakan kita diberi janjang aritmetik dalam bentuk ini, menggunakan formula berulang:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - melalui yang keempat, dan seterusnya. Bagaimanakah kita boleh mengira dengan segera, katakan, penggal kedua puluh? a 20? Tetapi tidak mungkin!) Sehingga kita mengetahui penggal ke-19, kita tidak boleh mengira penggal ke-20. Ini ialah perbezaan asas antara formula berulang dan formula sebutan ke-n. Berulang berfungsi hanya melalui sebelumnya istilah, dan formula sebutan ke-n adalah melalui pertama dan membenarkan serta merta cari mana-mana ahli dengan nombornya. Tanpa mengira keseluruhan siri nombor mengikut susunan.

Dalam janjang aritmetik, mudah untuk menukar formula berulang kepada formula biasa. Kira sepasang sebutan berturut-turut, hitung bezanya d, cari, jika perlu, istilah pertama a 1, tulis formula dalam bentuk biasa, dan gunakannya. Di Akademi Sains Negeri, tugas sebegini sering dihadapi.

Penggunaan formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung formula. Pada akhir pelajaran sebelumnya terdapat masalah:

Satu janjang aritmetik (a n) diberikan. Cari 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Masalah ini boleh diselesaikan tanpa sebarang formula, hanya berdasarkan makna janjang aritmetik. Tambah dan tambah... Satu atau dua jam.)

Dan mengikut formula, penyelesaian akan mengambil masa kurang dari satu minit. Anda boleh masanya.) Mari kita buat keputusan.

Syarat menyediakan semua data untuk menggunakan formula: a 1 =3, d=1/6. Ia kekal untuk memikirkan apa yang sama n. Tiada soalan! Kita perlu mencari a 121. Jadi kami menulis:

Sila ambil perhatian! Daripada indeks n nombor tertentu muncul: 121. Yang agak logik.) Kami berminat dengan ahli janjang aritmetik nombor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita n. Inilah maksudnya n= 121 kita akan menggantikan lebih jauh ke dalam formula, dalam kurungan. Kami menggantikan semua nombor ke dalam formula dan mengira:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Itu sahaja. Sama cepatnya seseorang boleh mencari sebutan lima ratus sepuluh, dan seribu tiga, mana-mana satu. Kami meletakkan sebaliknya n nombor yang dikehendaki dalam indeks huruf " a" dan dalam kurungan, dan kami mengira.

Biar saya ingatkan perkara ini: formula ini membolehkan anda mencari mana-mana istilah janjang aritmetik DENGAN NOMBORNYA" n" .

Jom selesaikan masalah dengan cara yang lebih licik. Mari kita temui masalah berikut:

Cari sebutan pertama janjang aritmetik (a n), jika a 17 =-2; d=-0.5.

Jika anda mempunyai sebarang kesulitan, saya akan memberitahu anda langkah pertama. Tuliskan rumus bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik! Ya, ya. Tulis dengan tangan anda, betul-betul dalam buku nota anda:

a n = a 1 + (n-1)d

Dan sekarang, melihat huruf formula, kami memahami data apa yang kami ada dan apa yang hilang? Tersedia d=-0.5, ada ahli ketujuh belas... Adakah itu? Jika anda fikir itu sahaja, maka anda tidak akan menyelesaikan masalah, ya...

Kami masih mempunyai nombor n! Dalam keadaan a 17 =-2 tersembunyi dua parameter. Ini adalah kedua-dua nilai sebutan ketujuh belas (-2) dan nombornya (17). Itu. n=17."Sepele" ini sering tergelincir melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "sepele", bukan kepala!) masalah itu tidak dapat diselesaikan. Walaupun... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita boleh dengan bodohnya menggantikan data kita ke dalam formula:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

Oh ya, a 17 kita tahu ianya -2. Okay, mari kita gantikan:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

Itu pada dasarnya semua. Ia kekal untuk menyatakan sebutan pertama janjang aritmetik daripada formula dan mengiranya. Jawapannya ialah: a 1 = 6.

Teknik ini - menulis formula dan hanya menggantikan data yang diketahui - sangat membantu dalam tugasan mudah. Sudah tentu, anda mesti boleh menyatakan pembolehubah daripada formula, tetapi apa yang perlu dilakukan!? Tanpa kemahiran ini, matematik mungkin tidak dipelajari sama sekali...

Satu lagi teka-teki popular:

Cari beza janjang aritmetik (a n), jika a 1 =2; a 15 =12.

Apa yang sedang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami sedang menulis formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Mari kita pertimbangkan apa yang kita tahu: a 1 =2; a 15 =12; dan (saya akan menyerlahkan terutamanya!) n=15. Jangan ragu untuk menggantikan ini ke dalam formula:

12=2 + (15-1)d

Kami melakukan aritmetik.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ini adalah jawapan yang betul.

Jadi, tugasan untuk a n, a 1 Dan d memutuskan. Apa yang tinggal ialah belajar cara mencari nombor:

Nombor 99 ialah ahli janjang aritmetik (a n), di mana a 1 =12; d=3. Cari nombor ahli ini.

Kami menggantikan kuantiti yang kami ketahui ke dalam formula sebutan ke-n:

a n = 12 + (n-1) 3

Pada pandangan pertama, terdapat dua kuantiti yang tidak diketahui di sini: a n dan n. Tetapi a n- ini ialah beberapa ahli janjang dengan nombor n...Dan kami tahu ahli kemajuan ini! Ia 99. Kami tidak tahu nombornya. n, Jadi nombor ini adalah apa yang anda perlu cari. Kami menggantikan istilah janjang 99 ke dalam formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami menyatakan dari formula n, kami fikir. Kami mendapat jawapannya: n=30.

Dan kini masalah mengenai topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan sama ada nombor 117 adalah ahli janjang aritmetik (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita tulis semula formula. Apa, tiada parameter? Hm... Kenapa kita diberi mata?) Adakah kita melihat penggal pertama perkembangan? Kita nampak. Ini ialah -3.6. Anda boleh menulis dengan selamat: a 1 = -3.6. Perbezaan d boleh anda tentukan dari satu siri? Mudah jika anda tahu perbezaan janjang aritmetik:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Jadi, kami melakukan perkara yang paling mudah. Ia kekal untuk berurusan dengan nombor yang tidak diketahui n dan nombor yang tidak dapat difahami 117. Dalam masalah sebelum ini, sekurang-kurangnya diketahui bahawa ia adalah istilah janjang yang diberikan. Tetapi di sini kita tidak tahu... Apa yang perlu dilakukan!? Nah, bagaimana untuk menjadi, bagaimana untuk menjadi... Hidupkan kebolehan kreatif anda!)

Kami andaikan bahawa 117 adalah, selepas semua, ahli kemajuan kita. Dengan nombor yang tidak dikenali n. Dan, sama seperti dalam masalah sebelum ini, mari kita cuba mencari nombor ini. Itu. kami menulis formula (ya, ya!)) dan menggantikan nombor kami:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Sekali lagi kami nyatakan dari formulan, kita mengira dan mendapat:

Aduh! Nombor itu ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan nombor pecahan dalam janjang tidak berlaku. Apakah kesimpulan yang boleh kita buat? Ya! Nombor 117 bukan ahli kemajuan kami. Ia berada di antara penggal seratus dan pertama dan seratus kedua. Jika nombor itu ternyata semula jadi, i.e. ialah integer positif, maka nombor itu akan menjadi ahli janjang dengan nombor yang ditemui. Dan dalam kes kami, jawapan kepada masalah itu ialah: Tidak.

Tugas berdasarkan versi sebenar GIA:

Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan:

a n = -4 + 6.8n

Cari sebutan pertama dan sebutan kesepuluh bagi janjang itu.

Di sini perkembangan ditetapkan dengan cara yang luar biasa. Beberapa jenis formula... Ia berlaku.) Walau bagaimanapun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik! Dia juga membenarkan cari mana-mana ahli janjang itu mengikut nombornya.

Kami sedang mencari ahli pertama. Orang yang berfikir. bahawa sebutan pertama tolak empat adalah tersilap maut!) Kerana formula dalam masalah diubahsuai. Sebutan pertama janjang aritmetik di dalamnya tersembunyi. Tidak mengapa, kami akan mencarinya sekarang.)

Sama seperti dalam masalah sebelum ini, kami menggantikan n=1 ke dalam formula ini:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

Di sini! Penggal pertama ialah 2.8, bukan -4!

Kami mencari sebutan kesepuluh dengan cara yang sama:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

Itu sahaja.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Katakan, dalam situasi pertempuran yang sukar di Peperiksaan Negeri atau Peperiksaan Negeri Bersepadu, anda telah terlupa formula berguna untuk penggal ke-n suatu janjang aritmetik. Saya ingat sesuatu, tetapi entah bagaimana tidak pasti... Atau n di sana, atau n+1, atau n-1... Macam mana nak jadi!?

Tenang! Formula ini mudah diperolehi. Tidak terlalu ketat, tetapi untuk keyakinan dan keputusan yang betul sudah pasti cukup!) Untuk membuat kesimpulan, cukup untuk mengingati makna asas janjang aritmetik dan mempunyai beberapa minit masa. Anda hanya perlu melukis gambar. Untuk kejelasan.

Lukis garis nombor dan tandakan yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dsb. ahli. Dan kita perhatikan perbezaannya d antara ahli. seperti ini:

Kami melihat gambar dan berfikir: apakah istilah kedua sama? Kedua satu d:

a 2 =a 1 + 1 d

Apakah penggal ketiga? Ketiga penggal bersamaan penggal pertama tambah dua d.

a 3 =a 1 + 2 d

Adakah anda faham? Bukan tanpa alasan saya menyerlahkan beberapa perkataan dalam huruf tebal. Okay, satu langkah lagi).

Apakah penggal keempat? Keempat penggal bersamaan penggal pertama tambah tiga d.

a 4 =a 1 + 3 d

Sudah tiba masanya untuk menyedari bahawa bilangan jurang, i.e. d, Sentiasa kurang satu daripada bilangan ahli yang anda cari n. Iaitu, kepada nombor n, bilangan ruang kehendak n-1. Oleh itu, formulanya ialah (tanpa variasi!):

a n = a 1 + (n-1)d

Secara umumnya, gambar visual sangat membantu dalam menyelesaikan banyak masalah dalam matematik. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sukar untuk melukis gambar, maka... hanya formula!) Di samping itu, formula istilah ke-n membolehkan anda menyambungkan keseluruhan senjata matematik yang berkuasa kepada penyelesaian - persamaan, ketidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak boleh memasukkan gambar ke dalam persamaan...

Tugas untuk penyelesaian bebas.

Untuk memanaskan badan:

1. Dalam janjang aritmetik (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Cari 3 .

Petunjuk: mengikut gambar, masalah boleh diselesaikan dalam 20 saat... Mengikut formula, ternyata lebih sukar. Tetapi untuk menguasai formula, ia lebih berguna.) Dalam Bahagian 555, masalah ini diselesaikan menggunakan kedua-dua gambar dan formula. Rasai perbezaannya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam janjang aritmetik (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. Cari sebuah 3 .

Apa, anda tidak mahu melukis gambar?) Sudah tentu! Lebih baik mengikut formula, ya...

3. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari sebutan seratus dua puluh lima janjang ini.

Dalam tugasan ini, perkembangan ditentukan secara berulang. Tetapi mengira kepada penggal seratus dua puluh lima... Tidak semua orang mampu mencapai kejayaan seperti itu.) Tetapi formula penggal ke-n adalah dalam kuasa semua orang!

4. Diberi janjang aritmetik (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Cari nombor sebutan positif terkecil bagi janjang itu.

5. Mengikut syarat tugasan 4, cari hasil tambah sebutan positif dan negatif terbesar terkecil bagi janjang itu.

6. Hasil darab sebutan kelima dan kedua belas bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat adalah sama dengan -2.5, dan hasil tambah sebutan ketiga dan kesebelas adalah sama dengan sifar. Cari 14 .

Bukan tugas yang paling mudah, ya...) Kaedah "hujung jari" tidak akan berfungsi di sini. Anda perlu menulis formula dan menyelesaikan persamaan.

Jawapan (bercelaru):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Adakah ia berkesan? Ia bagus!)

Tidak semuanya berjaya? berlaku. By the way, terdapat satu perkara halus dalam tugasan terakhir. Penjagaan akan diperlukan semasa membaca masalah. Dan logik.

Penyelesaian kepada semua masalah ini dibincangkan secara terperinci dalam Bahagian 555. Dan unsur fantasi untuk keempat, dan titik halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk menyelesaikan sebarang masalah yang melibatkan formula istilah ke-n - semuanya diterangkan. Saya mengesyorkannya.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Tahap kemasukan

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Urutan nombor
Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Dalam kes kami:

Katakan kita mempunyai urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Contohnya:

Ini ialah urutan nombor, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan ditetapkan.

Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:

a)
b)
c)
d)

faham? Mari bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
bukan janjang aritmetik - a, d.

Mari kembali ke janjang yang diberikan () dan cuba cari nilai sebutan ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.

1. Kaedah

Kita boleh menambah nombor janjang kepada nilai sebelumnya sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:

Jadi, sebutan ke janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.

2. Kaedah

Sebagai contoh, mari kita lihat apakah nilai sebutan ke bagi janjang aritmetik ini terdiri daripada:

Dengan kata lain:

Cuba cari sendiri nilai ahli janjang aritmetik tertentu dengan cara ini.

Adakah anda mengira? Bandingkan nota anda dengan jawapan:

Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang betul-betul sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami menambah secara berurutan istilah janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini - mari letakkannya dalam bentuk umum dan dapatkan:

Persamaan janjang aritmetik.

Janjang aritmetik boleh meningkat atau menurun.

Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Contohnya:

Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Contohnya:

Sejak itu:

Oleh itu, kami yakin bahawa formula beroperasi dalam kedua-dua janjang aritmetik menurun dan meningkat.
Cuba cari sendiri sebutan ke dan ke bagi janjang aritmetik ini.

Mari bandingkan hasilnya:

Sifat janjang aritmetik

Mari, ah, kemudian:

Mari kita nyatakan istilah yang diperlukan bagi janjang aritmetik sebagai, formula untuk mencarinya diketahui oleh kita - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:

istilah janjang sebelumnya ialah:
istilah janjang seterusnya ialah:

Mari kita rumuskan istilah janjang sebelumnya dan seterusnya:

Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari selamatkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, ia sama sekali tidak sukar.

Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, seorang guru, sibuk memeriksa kerja pelajar di kelas lain, memberikan tugasan berikut di dalam kelas: "Kira jumlah semua nombor asli dari hingga (mengikut sumber lain hingga) termasuk." Bayangkan guru terkejut apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) seminit kemudian memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil, selepas pengiraan yang panjang, menerima keputusan yang salah...

Dalam beberapa masalah kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan perkembangannya. Cuba gantikan formula sebutan ke dalam formula jumlah.
Apa yang awak dapat?

Syabas! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor yang bermula dari ke--sama dengan dan jumlah nombor-nombor bermula dari ke-.

Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss mendapati bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu yang anda putuskan?

Kaedah 1.

Kaedah 2.

Latihan

Tugasan:

Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan melakukan squats dalam seminggu jika dia melakukan squats pada sesi latihan pertama?
Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
Apabila menyimpan log, pembalak menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak?

Jawapan:

Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
(minggu = hari).
Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu melakukan squat sekali sehari.
Nombor ganjil pertama, nombor terakhir.
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan nombor ganjil dalam ialah separuh, bagaimanapun, mari kita semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari sebutan ke satu janjang aritmetik:
Nombor memang mengandungi nombor ganjil.
Mari kita gantikan data yang ada ke dalam formula:
Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama.
Mari kita ingat masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, maka secara keseluruhan terdapat sekumpulan lapisan, iaitu.
Mari kita gantikan data ke dalam formula:
Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.

Mari kita ringkaskan

- urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia boleh meningkat atau menurun.
Mencari formula Sebutan ke-1 suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di manakah bilangan nombor dalam kemajuan.
Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:

, di manakah bilangan nilai.

PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH

Urutan nombor

Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:

Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satunya boleh diberikan nombor unik.

Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan nombor unik. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.

Nombor dengan nombor dipanggil ahli urutan ke-.

Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .

Ia adalah sangat mudah jika sebutan ke-jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula

menetapkan urutan:

Dan formulanya adalah urutan berikut:

Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya ialah). Atau (, perbezaan).

Formula penggal ke-

Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah ke, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:

Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang menggunakan formula ini, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:

Nah, adakah ia jelas sekarang apakah formulanya?

Dalam setiap baris yang kita tambah, didarab dengan beberapa nombor. yang mana satu? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:

Jauh lebih mudah sekarang, bukan? Kami menyemak:

Tentukan sendiri:

Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.

Penyelesaian:

Sebutan pertama adalah sama. Apakah perbezaannya? Inilah yang:

(Inilah sebabnya ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan sebutan berturut-turut janjang).

Jadi, formulanya:

Maka sebutan keseratus adalah sama dengan:

Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?

Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:

Contoh:
Cari hasil tambah semua gandaan dua digit.

Penyelesaian:

Formula istilah ke-1 untuk janjang ini:

Berapakah bilangan yang terdapat dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?

Sangat mudah: .

Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:

Jawapan: .

Sekarang tentukan sendiri:

Setiap hari atlet berlari lebih meter daripada hari sebelumnya. Berapakah jumlah kilometer yang dia akan larian dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
Seorang penunggang basikal menempuh lebih banyak kilometer setiap hari berbanding hari sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu menempuh perjalanan sejauh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
Harga peti sejuk di kedai menurun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Jawapan:

Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
.
Jawapan:
Di sini ia diberikan: , mesti dijumpai.
Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam masalah sebelumnya:
.
Gantikan nilai:
Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya adalah.
Mari kita mengira laluan yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula istilah ke-:
(km).
Jawapan:
Diberi: . Cari: .
Ia tidak boleh menjadi lebih mudah:
(gosok).
Jawapan:

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Ini ialah urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.

Janjang aritmetik boleh meningkat () dan menurun ().

Contohnya:

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

ditulis oleh formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Ia membolehkan anda mencari istilah janjang dengan mudah jika istilah jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:

Di manakah bilangan nilai.

Jumlah 10 nombor pertama suatu janjang aritmetik. Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Sifat janjang aritmetik

Latihan

Mari kita ringkaskan

PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH

Urutan nombor

Formula penggal ke-

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Penggunaan formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Jika anda suka laman web ini...

Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Sifat janjang aritmetik

Latihan

Mari kita ringkaskan

PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH

Urutan nombor

Formula penggal ke-

PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Harta ahli sesuatu janjang aritmetik

Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik

Pemulihan kata laluan