Contoh mencari had jujukan nombor mengikut takrifan. Had jujukan – teorem dan sifat asas

Hari ini dalam kelas kita akan melihat penjujukan yang ketat Dan takrifan ketat bagi had sesuatu fungsi, dan juga belajar untuk menyelesaikan masalah berkaitan yang bersifat teori. Artikel ini ditujukan terutamanya untuk pelajar tahun pertama sains semula jadi dan kepakaran kejuruteraan yang mula mempelajari teori analisis matematik dan menghadapi kesukaran untuk memahami bahagian matematik yang lebih tinggi ini. Di samping itu, bahan ini agak mudah diakses oleh pelajar sekolah menengah.

Selama bertahun-tahun kewujudan laman web ini, saya telah menerima sedozen surat dengan lebih kurang kandungan berikut: "Saya tidak memahami analisis matematik dengan baik, apa yang perlu saya lakukan?", "Saya tidak faham matematik sama sekali, saya berfikir untuk berhenti belajar,” dsb. Dan memang matanlah yang sering menipiskan kumpulan pelajar selepas sesi pertama. Mengapa ini berlaku? Kerana subjek itu tidak dapat dibayangkan kompleks? Tidak sama sekali! Teori analisis matematik tidak begitu sukar kerana ia adalah pelik. Dan anda perlu menerima dan mencintai dia apa adanya =)

Mari kita mulakan dengan kes yang paling sukar. Perkara pertama dan paling penting ialah anda tidak perlu melepaskan pengajian anda. Fahami betul, anda sentiasa boleh berhenti;-) Sudah tentu, jika selepas satu atau dua tahun anda merasa muak dengan kepakaran yang anda pilih, maka ya, anda harus memikirkannya (dan jangan marah!) tentang perubahan aktiviti. Tetapi buat masa ini ia berbaloi untuk diteruskan. Dan sila lupakan frasa "Saya tidak faham apa-apa" - ia tidak berlaku bahawa anda tidak memahami apa-apa SAMA SEKALI.

Apa yang perlu dilakukan jika teori itu buruk? Ini, dengan cara ini, terpakai bukan sahaja untuk analisis matematik. Jika teori itu buruk, maka pertama sekali anda perlu SERIUS fokus pada latihan. Dalam kes ini, dua masalah diselesaikan sekaligus objektif strategik:

– Pertama, sebahagian besar pengetahuan teori muncul melalui amalan. Dan itulah sebabnya ramai orang memahami teori melalui ... - betul! Tidak, tidak, anda tidak memikirkan tentang itu =)

– Dan, kedua, kemahiran praktikal kemungkinan besar akan "menarik" anda melalui peperiksaan, walaupun... tetapi jangan terlalu teruja! Segala-galanya adalah nyata dan semuanya boleh "dibangkitkan" dalam masa yang agak singkat. Analisis matematik adalah bahagian kegemaran saya dalam matematik yang lebih tinggi, dan oleh itu saya tidak dapat membantu tetapi memberi anda bantuan:

Pada permulaan semester 1, had jujukan dan had fungsi biasanya dilindungi. Tidak faham apakah ini dan tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikannya? Mulakan dengan artikel Had fungsi, di mana konsep itu sendiri diperiksa "pada jari" dan contoh paling mudah dianalisis. Seterusnya, pelajari pelajaran lain mengenai topik tersebut, termasuk pelajaran tentang dalam urutan, di mana saya sebenarnya telah merumuskan definisi yang ketat.

Apakah simbol selain tanda ketaksamaan dan modulus yang anda tahu?

– kayu menegak panjang berbunyi seperti ini: “begitu”, “begitu”, “begitu” atau “begitu”, dalam kes kita, jelas sekali, kita bercakap tentang nombor - oleh itu "begitu";

– untuk semua “en” lebih besar daripada ;

– tanda modulus bermaksud jarak, iaitu entri ini memberitahu kita bahawa jarak antara nilai adalah kurang daripada epsilon.

Nah, adakah ia sukar membawa maut? =)

Selepas menguasai latihan, saya tidak sabar-sabar untuk melihat anda dalam perenggan seterusnya:

Dan sebenarnya, mari kita fikirkan sedikit - bagaimana untuk merumuskan definisi urutan yang ketat? ... Perkara pertama yang terlintas di fikiran di dunia pelajaran amali: "had jujukan ialah nombor yang hampir tidak terhingga oleh ahli jujukan."

Baiklah, mari kita tuliskannya susulan :

Ia tidak sukar untuk memahaminya susulan mendekati tak terhingga hampir dengan nombor –1, dan sebutan bernombor genap – kepada “satu”.

Atau mungkin terdapat dua had? Tetapi mengapa mana-mana urutan tidak boleh mempunyai sepuluh atau dua puluh daripadanya? Anda boleh pergi jauh dengan cara ini. Dalam hal ini, adalah logik untuk menganggapnya jika urutan mempunyai had, maka ia adalah unik.

Nota : urutan itu tidak mempunyai had, tetapi dua urutan boleh dibezakan daripadanya (lihat di atas), setiap satunya mempunyai hadnya sendiri.

Oleh itu, definisi di atas ternyata tidak dapat dipertahankan. Ya, ia berfungsi untuk kes seperti (yang saya tidak gunakan dengan betul dalam penjelasan ringkas tentang contoh praktikal), tetapi sekarang kita perlu mencari definisi yang ketat.

Percubaan kedua: “had jujukan ialah nombor yang SEMUA ahli jujukan menghampiri, kecuali mungkin mereka muktamad kuantiti." Ini lebih dekat dengan kebenaran, tetapi masih tidak tepat sepenuhnya. Jadi, sebagai contoh, urutan separuh daripada istilah tidak mendekati sifar sama sekali - ia sama dengannya =) Dengan cara ini, "lampu berkelip" biasanya mengambil dua nilai tetap.

Rumusannya tidak sukar untuk dijelaskan, tetapi kemudian timbul persoalan lain: bagaimana untuk menulis definisi dalam simbol matematik? Dunia saintifik Saya bergelut dengan masalah ini untuk masa yang lama sehingga saya menyelesaikan keadaan maestro terkenal, yang, pada dasarnya, memformalkan analisis matematik klasik dalam semua ketelitiannya. Cauchy mencadangkan pembedahan persekitaran , yang memajukan teori dengan ketara.

Pertimbangkan beberapa perkara dan perkara itu sewenang-wenangnya-persekitaran:

Nilai "epsilon" sentiasa positif, dan, lebih-lebih lagi, kita berhak memilihnya sendiri. Anggaplah di kawasan kejiranan ini terdapat ramai ahli (tidak semestinya semua) beberapa urutan. Bagaimana untuk menulis fakta bahawa, sebagai contoh, penggal kesepuluh adalah dalam kejiranan? Biarkan ia berada di sebelah kanannya. Kemudian jarak antara titik dan hendaklah kurang daripada "epsilon": . Walau bagaimanapun, jika "x persepuluh" terletak di sebelah kiri titik "a", maka perbezaannya akan menjadi negatif, dan oleh itu tanda mesti ditambah kepadanya modul: .

Definisi: nombor dipanggil had jujukan jika untuk mana-mana persekitarannya (dipilih sebelumnya) terdapat nombor asli SEPERTI itu SEMUA ahli urutan dengan nombor yang lebih tinggi akan berada di dalam kejiranan:

Atau ringkasnya: jika

Dalam erti kata lain, tidak kira betapa kecil nilai "epsilon" yang kita ambil, lambat laun "ekor tak terhingga" jujukan akan SEPENUHNYA berada di kawasan kejiranan ini.

Contohnya, "ekor tak terhingga" bagi jujukan SEPENUHNYA akan memasuki mana-mana kawasan kejiranan kecil yang sewenang-wenangnya. Jadi nilai ini ialah had jujukan mengikut takrifan. Biar saya ingatkan anda bahawa jujukan yang hadnya ialah sifar dipanggil sangat kecil.

Perlu diingatkan bahawa untuk urutan tidak mungkin lagi untuk mengatakan "ekor tidak berkesudahan" akan masuk"- ahli dengan nombor ganjil sebenarnya sama dengan sifar dan "jangan pergi ke mana-mana" =) Itulah sebabnya kata kerja "akan muncul" digunakan dalam definisi. Dan, sudah tentu, ahli urutan seperti ini juga "tidak pergi ke mana-mana." By the way, semak sama ada nombor itu adalah hadnya.

Sekarang kita akan menunjukkan bahawa urutan itu tidak mempunyai had. Pertimbangkan, sebagai contoh, kejiranan titik . Jelas sekali bahawa tiada nombor sedemikian yang selepas itu SEMUA istilah akan berakhir di kawasan kejiranan tertentu - istilah ganjil akan sentiasa "melompat keluar" kepada "tolak satu". Atas sebab yang sama, tiada had pada titik itu.

Mari kita satukan bahan dengan amalan:

Contoh 1

Buktikan bahawa had jujukan ialah sifar. Tentukan nombor selepas itu semua ahli jujukan dijamin berada di dalam mana-mana kawasan kejiranan kecil yang sewenang-wenangnya.

Nota : Untuk banyak jujukan, nombor asli yang diperlukan bergantung pada nilai - maka notasi .

Penyelesaian: pertimbangkan sewenang-wenangnya adakah ada nombor – supaya SEMUA ahli yang mempunyai nombor lebih tinggi akan berada di dalam kawasan kejiranan ini:

Untuk menunjukkan kewujudan nombor yang diperlukan, kami menyatakannya melalui .

Oleh kerana untuk sebarang nilai "en", tanda modulus boleh dialih keluar:

Kami menggunakan tindakan "sekolah" dengan ketidaksamaan yang saya ulangi dalam kelas Ketaksamaan linear Dan Domain Fungsi. Dalam kes ini, keadaan penting ialah "epsilon" dan "en" adalah positif:

Oleh kerana kita bercakap tentang nombor asli di sebelah kiri, dan bahagian kanan biasanya pecahan, ia perlu dibundarkan:

Nota : kadangkala unit ditambah di sebelah kanan untuk berada di bahagian yang selamat, tetapi sebenarnya ini adalah berlebihan. Secara relatifnya, jika kita melemahkan keputusan dengan membundarkan ke bawah, maka nombor yang paling sesuai (“tiga”) akan tetap memenuhi ketaksamaan asal.

Sekarang kita melihat ketidaksamaan dan ingat apa yang kita pertimbangkan pada mulanya sewenang-wenangnya-kejiranan, i.e. "epsilon" boleh sama dengan sesiapa sahaja nombor positif.

Kesimpulan: untuk mana-mana kejiranan kecil yang sewenang-wenangnya bagi sesuatu titik, nilai telah ditemui . Oleh itu, nombor ialah had bagi jujukan mengikut takrifan. Q.E.D.

By the way, dari hasil yang diperolehi corak semula jadi boleh dilihat dengan jelas: semakin kecil kejiranan, semakin besar bilangannya, selepas itu SEMUA ahli jujukan akan berada dalam kejiranan ini. Tetapi tidak kira betapa kecilnya "epsilon", akan sentiasa ada "ekor tak terhingga" di dalam, dan di luar - walaupun ia besar, walau bagaimanapun muktamad bilangan ahli.

Bagaimana tanggapan anda? =) Saya bersetuju bahawa ia agak pelik. Tetapi dengan tegas! Sila baca semula dan fikirkan semuanya sekali lagi.

Mari lihat contoh yang serupa dan kenali teknik teknikal lain:

Contoh 2

Penyelesaian: mengikut takrifan urutan adalah perlu untuk membuktikannya (sebut dengan lantang!!!).

Mari kita pertimbangkan sewenang-wenangnya-kejiranan titik dan semak, adakah ia wujud nombor asli - supaya untuk semua nombor yang lebih besar, ketidaksamaan berikut berlaku:

Untuk menunjukkan kewujudan , anda perlu menyatakan "en" melalui "epsilon". Kami memudahkan ungkapan di bawah tanda modulus:

Modul memusnahkan tanda tolak:

Penyebut adalah positif untuk mana-mana "en", oleh itu, kayu boleh dikeluarkan:

Kocok:

Sekarang kita perlu mengekstrak punca kuasa dua, tetapi tangkapannya ialah untuk beberapa "epsilon" sebelah kanan akan menjadi negatif. Untuk mengelakkan masalah ini mari kita kuatkan ketaksamaan mengikut modulus:

Mengapa ini boleh dilakukan? Jika, secara relatifnya, ternyata , maka syaratnya juga akan dipenuhi. Modul boleh cuma bertambah nombor yang dikehendaki, dan itu juga sesuai dengan kami! Secara kasarnya, jika yang keseratus itu sesuai, maka yang kedua ratus itu juga sesuai! Mengikut definisi, anda perlu menunjukkan hakikat kewujudan nombor itu(sekurang-kurangnya beberapa), selepas itu semua ahli urutan akan berada di -kejiranan. Ngomong-ngomong, inilah sebabnya kita tidak takut dengan pembundaran akhir bahagian kanan ke atas.

Mengeluarkan akar:

Dan bulatkan hasilnya:

Kesimpulan: sebab nilai "epsilon" dipilih sewenang-wenangnya, kemudian untuk mana-mana kejiranan kecil sewenang-wenangnya nilai itu ditemui , supaya untuk semua nombor yang lebih besar, ketidaksamaan berlaku . Oleh itu, mengikut takrifan. Q.E.D.

saya nasihatkan terutamanya memahami pengukuhan dan kelemahan ketidaksamaan adalah teknik analisis matematik yang tipikal dan sangat biasa. Satu-satunya perkara yang anda perlu pantau ialah ketepatan tindakan ini atau itu. Jadi, sebagai contoh, ketidaksamaan dalam apa jua keadaan tidak mungkin melonggarkan, tolak, katakan, satu:

Sekali lagi, bersyarat: jika nombor itu betul-betul sesuai, maka yang sebelumnya mungkin tidak muat lagi.

Contoh berikut untuk penyelesaian bebas:

Contoh 3

Dengan menggunakan definisi jujukan, buktikan bahawa

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Jika urutan besar tak terhingga, maka takrif had dirumuskan dengan cara yang sama: titik dipanggil had jujukan jika untuk sebarang, sebesar mana yang anda suka nombor terdapat nombor sedemikian sehingga untuk semua nombor yang lebih besar ketidaksamaan akan dipenuhi. Nombor dipanggil sekitar titik "tambah infiniti":

Dalam erti kata lain, apa sahaja nilai hebat Walau apa pun, "ekor tak terhingga" jujukan pasti akan pergi ke -kejiranan titik, meninggalkan hanya bilangan sebutan terhingga di sebelah kiri.

Contoh standard:

Dan notasi dipendekkan: , jika

Untuk kes itu, tulis sendiri definisinya. Versi yang betul adalah pada akhir pelajaran.

Sebaik sahaja anda memahami contoh praktikal dan mengetahui definisi had jujukan, anda boleh beralih kepada literatur tentang kalkulus dan/atau buku nota kuliah anda. Saya syorkan muat turun jilid 1 Bohan (lebih mudah - untuk pelajar surat-menyurat) dan Fichtenholtz (dengan lebih terperinci dan terperinci). Antara pengarang lain, saya mengesyorkan Piskunov, yang kursusnya ditujukan kepada universiti teknikal.

Cuba teliti teorem yang berkaitan dengan had jujukan, buktinya, akibatnya. Pada mulanya, teori itu mungkin kelihatan "mendung", tetapi ini adalah perkara biasa - anda hanya perlu membiasakannya. Dan ramai juga yang akan merasainya!

Takrifan ketat bagi had sesuatu fungsi

Mari kita mulakan dengan perkara yang sama - bagaimana untuk merumus konsep ini? Definisi lisan had fungsi dirumus dengan lebih mudah: "nombor ialah had fungsi jika dengan "x" cenderung kepada (kedua kiri dan kanan), nilai fungsi yang sepadan cenderung kepada » (lihat lukisan). Segala-galanya kelihatan seperti biasa, tetapi perkataan adalah perkataan, makna adalah makna, ikon adalah ikon, dan tidak ada tatatanda matematik yang ketat. Dan dalam perenggan kedua kita akan berkenalan dengan dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini.

Biarkan fungsi ditakrifkan pada selang tertentu, dengan kemungkinan pengecualian titik. DALAM sastera pendidikan adalah diterima umum bahawa fungsi itu ada Tidak ditakrifkan:

Pilihan ini menekankan intipati had sesuatu fungsi: "x" dekat tak terhingga approaches , dan nilai yang sepadan bagi fungsi tersebut ialah dekat tak terhingga Kepada . Dalam erti kata lain, konsep had tidak membayangkan "pendekatan tepat" kepada mata, tetapi iaitu penghampiran dekat tak terhingga, tidak kira sama ada fungsi itu ditakrifkan pada titik itu atau tidak.

Takrif pertama bagi had fungsi, tidak menghairankan, dirumus menggunakan dua jujukan. Pertama, konsep berkaitan, dan, kedua, had fungsi biasanya dikaji selepas had jujukan.

Pertimbangkan urutannya mata (bukan pada lukisan), kepunyaan selang dan berbeza daripada, yang menumpu Kepada . Kemudian nilai fungsi yang sepadan juga membentuk urutan berangka, yang anggotanya terletak pada paksi ordinat.

Had fungsi mengikut Heine untuk mana-mana urutan mata (kepunyaan dan berbeza daripada), yang menumpu ke titik , jujukan nilai fungsi yang sepadan menumpu kepada .

Eduard Heine ialah seorang ahli matematik Jerman. ...Dan tidak perlu berfikir seperti itu, hanya ada seorang gay di Eropah - Gay-Lussac =)

Takrifan kedua bagi had itu dicipta... ya, ya, anda betul. Tetapi pertama, mari kita fahami reka bentuknya. Pertimbangkan kejiranan sewenang-wenangnya kejiranan (“hitam”). Berdasarkan perenggan sebelum ini, entri itu bermaksud beberapa nilai fungsi terletak di dalam kejiranan "epsilon".

Sekarang kita dapati -kejiranan yang sepadan dengan -kejiranan yang diberikan (lukis garis putus-putus hitam secara mental dari kiri ke kanan dan kemudian dari atas ke bawah). Ambil perhatian bahawa nilai dipilih sepanjang bahagian yang lebih kecil, dalam kes ini - sepanjang bahagian kiri yang lebih pendek. Lebih-lebih lagi, "raspberi" -kejiranan titik boleh dikurangkan, kerana dalam definisi berikut hakikat kewujudan adalah penting kejiranan ini. Dan, begitu juga, tatatanda bermaksud bahawa beberapa nilai berada dalam kejiranan "delta".

Had fungsi Cauchy: nombor dipanggil had fungsi pada satu titik jika untuk mana-mana pra-pilihan kejiranan (sekecil yang anda suka), wujud-kejiranan titik, SEPERTI, bahawa: nilai AS SAHAJA (kepunyaan) termasuk dalam bidang ini: (anak panah merah)– SEGERA nilai fungsi yang sepadan dijamin untuk memasuki -kejiranan: (anak panah biru).

Saya mesti memberi amaran kepada anda bahawa demi kejelasan, saya membuat improvisasi sedikit, jadi jangan berlebihan =)

Catatan ringkas: , jika

Apakah intipati definisi? Secara kiasan, dengan mengurangkan kejiranan secara tidak terhingga, kami "mengiringi" nilai fungsi ke hadnya, meninggalkan mereka tiada alternatif untuk mendekati tempat lain. Agak luar biasa, tetapi sekali lagi ketat! Untuk memahami idea sepenuhnya, baca semula perkataan itu sekali lagi.

! Perhatian: jika anda hanya perlu merumus Definisi Heine atau hanya Definisi Cauchy tolong jangan lupa tentang ketara ulasan awal: "Pertimbangkan fungsi yang ditakrifkan pada selang tertentu, dengan kemungkinan pengecualian titik". Saya menyatakan ini sekali pada awal-awal lagi dan tidak mengulanginya setiap kali.

Menurut teorem analisis matematik yang sepadan, definisi Heine dan Cauchy adalah setara, tetapi pilihan kedua adalah yang paling terkenal. (sudah tentu!), yang juga dipanggil "had bahasa":

Contoh 4

Dengan menggunakan definisi had, buktikan bahawa

Penyelesaian: fungsi ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor kecuali titik. Menggunakan definisi, kami membuktikan kewujudan had pada titik tertentu.

Nota : nilai kejiranan "delta" bergantung pada "epsilon", oleh itu sebutannya

Mari kita pertimbangkan sewenang-wenangnya-persekitaran. Tugasnya ialah menggunakan nilai ini untuk menyemak sama ada adakah ia wujud-persekitaran, SEPERTI, yang daripada ketidaksamaan ketidaksamaan menyusul .

Dengan mengandaikan bahawa , kita mengubah ketidaksamaan terakhir:
(mengembangkan trinomial kuadratik)

Rumusan teorem utama dan sifat jujukan berangka yang mempunyai had diberikan. Mengandungi definisi jujukan dan hadnya. Operasi aritmetik dengan jujukan, sifat yang berkaitan dengan ketaksamaan, kriteria penumpuan, sifat jujukan tak terhingga dan jujukan besar tak terhingga dipertimbangkan.

Urutan

Urutan berangka ialah undang-undang (peraturan) yang mengikutnya setiap nombor asli diberikan nombor.
Nombor dipanggil penggal ke- atau unsur urutan.
Selanjutnya kita akan menganggap bahawa unsur-unsur urutan adalah nombor nyata.

terhad, jika terdapat nombor M sedemikian untuk semua n nyata.

Tepi atas jujukan dipanggil nombor terkecil yang mengehadkan jujukan dari atas. Iaitu, ini ialah nombor s yang, untuk semua n dan untuk sebarang , terdapat unsur urutan yang melebihi s′: .

Tepi bawah jujukan dipanggil nombor terbesar yang mengehadkan jujukan dari bawah. Iaitu, ini ialah nombor i yang mana, untuk semua n dan untuk sebarang , terdapat unsur urutan kurang daripada i′: .

Batas atas juga dipanggil sempadan atas tepat, dan sempadan bawah ialah had bawah yang tepat. Konsep supremum dan infimum adalah sah bukan sahaja untuk jujukan, tetapi juga untuk mana-mana set nombor nyata.

Menentukan Had Urutan

Nombor a dipanggil had jujukan, jika untuk sebarang nombor positif terdapat sedemikian nombor asli N , bergantung pada fakta bahawa untuk semua ketaksamaan semula jadi, ketidaksamaan berikut berlaku:
.
Had urutan dilambangkan seperti berikut:
.
Atau di .

Menggunakan simbol logik kewujudan dan kesejagatan, takrifan had boleh ditulis seperti berikut:
.

Selang terbuka (a - ε, a + ε) dipanggil ε - kejiranan titik a.

Urutan yang mempunyai had dipanggil turutan konvergen. Ia juga dikatakan bahawa urutan menumpu kepada a. Urutan yang tidak mempunyai had dipanggil.

mencapah Titik a bukan had urutan , jika terdapat sedemikian bahawa untuk sebarang nombor asli n terdapat m asli sedemikian> n
.
.
, Apa

Sifat had terhingga jujukan

Sifat asas

Titik a ialah had bagi jujukan jika dan hanya jika di luar mana-mana kejiranan titik ini ada bilangan unsur terhingga urutan atau set kosong.

Jika nombor a bukan had jujukan, maka terdapat kejiranan titik a yang di luarnya terdapat bilangan unsur jujukan yang tidak terhingga.

Hadkan teorem keunikan urutan nombor . Jika urutan mempunyai had, maka ia adalah unik.

Jika urutan mempunyai had terhingga, maka ia terhad.

Jika setiap elemen urutan sama dengan nombor yang sama C : maka jujukan ini mempunyai had yang sama dengan nombor C .

Jika urutan tambah, buang atau tukar elemen m pertama, maka ini tidak akan menjejaskan penumpuannya.

Bukti sifat asas diberikan pada halaman
Sifat asas had terhingga jujukan >>>.

Operasi aritmetik dengan had

Biarkan terdapat had terhingga bagi kedua-dua jujukan dan .
;
;
;
Dan biarkan C ialah pemalar, iaitu nombor tertentu. Kemudian
, Jika .

Dalam kes hasil bagi, diandaikan bahawa untuk semua n.

Jika, maka. diberikan pada halaman
Bukti sifat aritmetik

Sifat aritmetik had terhingga jujukan >>>.

Sifat yang berkaitan dengan ketidaksamaan

Jika unsur-unsur jujukan, bermula dari nombor tertentu, memenuhi ketaksamaan , maka had a jujukan ini juga memenuhi ketaksamaan .

Jika unsur-unsur jujukan, bermula dari nombor tertentu, tergolong dalam selang tertutup (segmen), maka had a juga tergolong dalam selang ini: .

Jika dan dan unsur-unsur jujukan, bermula daripada nombor tertentu, memenuhi ketaksamaan , maka .
Jika dan, bermula daripada beberapa nombor, , maka .
Khususnya, jika, bermula dari beberapa nombor, , maka
jika , maka ;

jika , maka .

Jika dan, maka. < b Biarlah. Jika a, maka terdapat nombor asli N supaya untuk semua n

>N diberikan pada halaman
ketidaksamaan berlaku.

Bukti harta yang berkaitan dengan ketidaksamaan

Sifat had jujukan yang dikaitkan dengan ketaksamaan >>>.

Jujukan yang sangat besar dan tidak terhingga Urutan tak terhingga Susulan
.

dipanggil jujukan infinitesimal, jika hadnya ialah sifar:

Jumlah dan perbezaan daripada bilangan terhingga jujukan infinitesimal ialah jujukan infinitesimal. kepada infinitesimal adalah urutan infinitesimal.

Hasil darab nombor terhingga jujukan infinitesimal ialah jujukan infinitesimal.

Agar jujukan mempunyai had a, adalah perlu dan memadai bahawa , di mana ialah jujukan sangat kecil.

Bukti sifat jujukan tak terhingga diberikan pada halaman
Jujukan tak terhingga - definisi dan sifat >>>.

Urutan besar yang tidak terhingga

Jujukan yang sangat besar dan tidak terhingga dipanggil urutan besar tak terhingga, jika bagi mana-mana nombor positif terdapat nombor asli N bergantung pada apa itu untuk semua nombor asli ketaksamaan berlaku
.
Dalam kes ini mereka menulis
.
Atau di .
Mereka mengatakan ia cenderung kepada infiniti.

Jika, bermula dari beberapa nombor N, maka
.
Jika kemudian
.

Jika jujukan itu besar tak terhingga, maka, bermula dari beberapa nombor N, satu jujukan ditakrifkan yang sangat kecil. Jika ialah jujukan tak terhingga dengan unsur bukan sifar, maka jujukan itu besar tak terhingga.

Jika jujukan itu besar tak terhingga dan jujukannya terhad, maka
.

Jika nilai mutlak unsur-unsur jujukan adalah dihadkan dari bawah oleh nombor positif (), dan adalah sangat kecil dengan unsur-unsur yang tidak sama dengan sifar, maka
.

Butiran lanjut takrif jujukan tak terhingga besar dengan contoh diberikan pada halaman
Takrif jujukan tak terhingga besar >>>.
Bukti sifat jujukan yang tidak terhingga besar diberikan pada halaman
Sifat jujukan tak terhingga besar >>> .

Kriteria penumpuan jujukan

Urutan monoton

Urutan dipanggil meningkat dengan tegas, jika untuk semua n ketidaksamaan berikut berlaku:
.
Sehubungan itu, untuk semakin berkurangan urutan ketidaksamaan berikut berlaku:
.
Untuk tidak berkurangan:
.
Untuk tidak meningkat:
.

Ia berikutan bahawa urutan yang meningkat dengan ketat juga tidak berkurangan. Urutan menurun dengan tegas juga tidak meningkat.

Urutan dipanggil membosankan, jika ia tidak berkurangan atau tidak meningkat.

Urutan monotonik dihadkan pada sekurang-kurangnya satu bahagian oleh nilai .

Urutan yang tidak berkurangan dihadkan di bawah: . Urutan yang tidak bertambah dibatasi dari atas: .

Oleh kerana sebarang jujukan tidak menurun (tidak bertambah) dibatasi dari bawah (dari atas), teorem Weierstrass boleh diungkap semula seperti berikut:

Agar jujukan monoton mempunyai had terhingga, adalah perlu dan memadai bahawa jujukan itu dihadkan: .

Urutan tanpa sempadan monotonic mempunyai had tak terhingga, sama dengan jujukan tidak menurun dan tidak bertambah.

Bukti teorem Weierstrass diberikan pada halaman
Teorem Weierstrass mengenai had jujukan monoton >>>.

Kriteria Cauchy untuk penumpuan jujukan

Keadaan cauchy. Urutan memenuhi syarat Cauchy jika bagi mana-mana terdapat nombor asli supaya untuk semua nombor asli n dan m memenuhi syarat ketaksamaan
.
Urutan yang memenuhi keadaan Cauchy juga dipanggil urutan asas.

Kriteria Cauchy untuk penumpuan jujukan. Agar urutan mempunyai had terhingga, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia memenuhi syarat Cauchy.

Bukti kriteria penumpuan Cauchy diberikan pada halaman
Kriteria cauchy untuk penumpuan jujukan >>>.

Susulan

Teorem Bolzano-Weierstrass. Daripada mana-mana jujukan terikat, seseorang boleh memilih jujukan menumpu. Dan daripada sebarang jujukan tidak terhad - jujukan besar tak terhingga menumpu kepada atau kepada .

Bukti teorem Bolzano-Weierstrass diberikan pada halaman
Teorem Bolzano–Weierstrass >>>.

Takrif, teorem dan sifat bagi jujukan dan had separa dibincangkan pada halaman
Susunan dan had separa jujukan >>>.

Sastera terpakai:
CM. Nikolsky. Kursus analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 2003.
V.A. Zorich. Analisis matematik. Bahagian 1. Moscow, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Asas analisis matematik. Bahagian 1. Moscow, 2005.

Bagi mereka yang ingin belajar cara mencari had, dalam artikel ini kita akan membincangkan perkara ini. Kami tidak akan mendalami teori; guru biasanya memberikannya di kuliah. Jadi "teori membosankan" harus dicatatkan dalam buku nota anda. Jika ini tidak berlaku, maka anda boleh membaca buku teks yang dipinjam dari perpustakaan. institusi pendidikan atau pada sumber Internet lain.

Jadi, konsep had adalah agak penting dalam mempelajari kursus matematik yang lebih tinggi, terutamanya apabila anda menemui kalkulus kamiran dan memahami kaitan antara had dan kamiran. Dalam bahan semasa kita akan pertimbangkan contoh mudah, serta cara untuk menyelesaikannya.

Contoh penyelesaian

Contoh 1

Kira a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \hingga \infty) \frac(1)(x) $

Penyelesaian

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \hingga \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Orang sering menghantar had ini kepada kami dengan permintaan untuk membantu menyelesaikannya. Kami memutuskan untuk menyerlahkannya sebagai contoh yang berasingan dan menjelaskan bahawa had ini hanya perlu diingat, sebagai peraturan. Jika anda tidak dapat menyelesaikan masalah anda, hantarkan kepada kami. Kami akan memberikan penyelesaian terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan pengiraan dan mendapatkan maklumat. Ini akan membantu anda mendapatkan gred anda daripada guru anda tepat pada masanya!

Jawab

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Perkara yang perlu dilakukan dengan ketidakpastian bentuk: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Contoh 3

Selesaikan $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Penyelesaian

Seperti biasa, kita mulakan dengan menggantikan nilai $ x $ ke dalam ungkapan di bawah tanda had. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Apa yang seterusnya sekarang? Apa yang harus berlaku pada akhirnya? Oleh kerana ini adalah ketidakpastian, ini bukan jawapan lagi dan kami meneruskan pengiraan. Oleh kerana kita mempunyai polinomial dalam pengangka, kita akan memfaktorkannya menggunakan formula yang biasa kepada semua orang dari sekolah $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Adakah anda ingat? Hebat! Sekarang teruskan dan gunakannya dengan lagu :) Kami mendapati bahawa pengangka $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Kami terus menyelesaikan dengan mengambil kira transformasi di atas: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Jawab

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Mari kita tolak had dalam dua contoh terakhir kepada infiniti dan pertimbangkan ketidakpastian: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Contoh 5

Kira $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Penyelesaian

$ \lim \limits_(x \kepada \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Apa yang perlu dilakukan? Apa yang patut saya buat? Jangan panik, kerana yang mustahil itu mungkin. Ia adalah perlu untuk mengeluarkan x dalam kedua-dua pengangka dan penyebut, dan kemudian mengurangkannya. Selepas ini, cuba kira had. Jom cuba... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \kepada \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Menggunakan definisi daripada Contoh 2 dan menggantikan infiniti untuk x, kita dapat: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Jawab

$$ \lim \limits_(x \kepada \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritma untuk mengira had

Jadi, mari kita ringkaskan contoh dan buat algoritma untuk menyelesaikan had:

1. Gantikan titik x ke dalam ungkapan berikutan tanda had. Jika nombor atau infiniti tertentu diperoleh, maka had itu diselesaikan sepenuhnya. Jika tidak, kita mempunyai ketidakpastian: "sifar dibahagi dengan sifar" atau "infiniti dibahagikan dengan infiniti" dan teruskan ke titik arahan seterusnya.
2. Untuk menghapuskan ketidakpastian "sifar dibahagikan dengan sifar," anda perlu memfaktorkan pengangka dan penyebut. Kurangkan yang serupa. Gantikan titik x ke dalam ungkapan di bawah tanda had.
3. Jika ketidakpastian ialah "infiniti dibahagikan dengan infiniti," maka kita mengambil kedua-dua pengangka dan penyebut x ke tahap yang paling tinggi. Kami memendekkan X. Kami menggantikan nilai x dari bawah had ke dalam ungkapan yang tinggal.

Dalam artikel ini anda mempelajari asas penyelesaian had, yang sering digunakan dalam kursus Kalkulus. Sudah tentu, ini bukan semua jenis masalah yang ditawarkan oleh pemeriksa, tetapi hanya had yang paling mudah. Kami akan bercakap tentang jenis tugasan lain dalam artikel akan datang, tetapi anda perlu mempelajari pelajaran ini terlebih dahulu untuk bergerak ke hadapan. Mari kita bincangkan apa yang perlu dilakukan jika terdapat akar, darjah, kaji fungsi setara yang sangat kecil, had yang indah, peraturan L'Hopital.

Jika anda tidak dapat mengetahui hadnya sendiri, jangan panik. Kami sentiasa gembira untuk membantu!

Nombor tetap A dipanggil had urutan(x n ), jika bagi sebarang nombor positif yang kecil sewenang-wenangnyaε > 0 terdapat nombor N yang mempunyai semua nilai x n, yang mana n>N, memenuhi ketaksamaan

|x n - a|< ε. (6.1)

Tuliskannya seperti berikut: atau x n → a.

Ketaksamaan (6.1) adalah bersamaan dengan ketaksamaan berganda

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

yang bermaksud bahawa mata x n, bermula dari beberapa nombor n>N, terletak di dalam selang (a-ε, a+ ε ), iaitu jatuh ke dalam mana-mana kecilε -kejiranan sesuatu titik A.

Urutan yang mempunyai had dipanggil konvergen, jika tidak - mencapah.

Konsep had fungsi ialah generalisasi konsep had jujukan, kerana had jujukan boleh dianggap sebagai had fungsi x n = f(n) hujah integer n.

Biarkan fungsi f(x) diberikan dan biarkan a - titik had domain takrifan fungsi ini D(f), i.e. titik sedemikian, mana-mana kejiranan yang mengandungi titik set D(f) selain daripada a. titik a mungkin atau mungkin tidak tergolong dalam set D(f).

Definisi 1.Nombor pemalar A dipanggil had fungsi f(x) di x→a, jika untuk sebarang jujukan (x n ) nilai hujah yang cenderung kepada A, jujukan yang sepadan (f(x n)) mempunyai had A yang sama.

Definisi ini dipanggil dengan mentakrifkan had fungsi mengikut Heine, atau" dalam bahasa urutan”.

Definisi 2. Nombor pemalar A dipanggil had fungsi f(x) di x→a, jika, dengan menyatakan sewenang-wenangnya kecil sewenang-wenangnya nombor positif ε , seseorang boleh mencari δ sedemikian>0 (bergantung pada ε), yang untuk semua orang x, baring dalamε-kejiranan nombor A, iaitu Untuk x, memuaskan ketidaksamaan
0 < x-a< ε , nilai fungsi f(x) akan terletak padaε-kejiranan nombor A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Definisi ini dipanggil dengan mentakrifkan had fungsi mengikut Cauchy, atau “dalam bahasa ε - δ “.

Takrif 1 dan 2 adalah setara. Jika fungsi f(x) sebagai x →a mempunyai had, sama dengan A, ini ditulis dalam bentuk

. (6.3)

Sekiranya urutan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa had untuk sebarang kaedah penghampiran x kepada had anda A, maka kita akan mengatakan bahawa fungsi f(x) mempunyai had tak terhingga, dan tulis dalam bentuk:

Pembolehubah (iaitu urutan atau fungsi) yang hadnya ialah sifar dipanggil kecil tak terhingga.

Pembolehubah yang hadnya sama dengan infiniti dipanggil besar tak terhingga.

Untuk mencari had dalam amalan, teorem berikut digunakan.

Teorem 1 . Jika setiap had wujud

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komen. Ungkapan seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, sebagai contoh, nisbah dua kuantiti tak terhingga kecil atau besar tak terhingga, dan mencari had jenis ini dipanggil "mendedahkan ketidakpastian."

Teorem 2. (6.7)

mereka. seseorang boleh pergi ke had berdasarkan kuasa dengan eksponen malar, khususnya, ;

(6.8)

(6.9)

Teorem 3.

(6.10)

(6.11)

di mana e » 2.7 - asas logaritma semula jadi. Formula (6.10) dan (6.11) dipanggil yang pertama had yang indah dan had kedua yang luar biasa.

Akibat formula (6.11) juga digunakan dalam amalan:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya had,

Jika x → a dan pada masa yang sama x > a, kemudian tulis x→a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka bukannya simbol 0+0 tulis +0. Begitu juga jika x→a dan pada masa yang sama x a-0. Nombor dan dipanggil sewajarnya had yang betul Dan had kiri fungsi f(x) pada titik A. Untuk terdapat had bagi fungsi f(x) sebagai x→a adalah perlu dan mencukupi supaya . Fungsi f(x) dipanggil berterusan pada titik x 0 jika had

. (6.15)

Keadaan (6.15) boleh ditulis semula sebagai:

,

iaitu, laluan ke had di bawah tanda fungsi adalah mungkin jika ia berterusan pada titik tertentu.

Jika kesaksamaan (6.15) dilanggar, maka kita katakan itu di x = xo fungsi f(x) mempunyai jurang Pertimbangkan fungsi y = 1/x. Domain takrifan fungsi ini ialah set R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 ialah titik had bagi set D(f), kerana dalam mana-mana kejiranannya, i.e. dalam mana-mana selang terbuka yang mengandungi titik 0, terdapat titik dari D(f), tetapi ia sendiri tidak tergolong dalam set ini. Nilai f(x o)= f(0) tidak ditakrifkan, jadi pada titik x o = 0 fungsi mempunyai ketakselanjaran.

Fungsi f(x) dipanggil berterusan di sebelah kanan pada titik x o jika had

,

Dan berterusan di sebelah kiri pada titik x o, jika had

.

Kesinambungan fungsi pada satu titik xo adalah bersamaan dengan kesinambungannya pada ketika ini ke kanan dan ke kiri.

Agar fungsi itu berterusan pada satu titik xo, sebagai contoh, di sebelah kanan, adalah perlu, pertama, bahawa terdapat had terhingga, dan kedua, bahawa had ini bersamaan dengan f(x o). Oleh itu, jika sekurang-kurangnya satu daripada dua syarat ini tidak dipenuhi, maka fungsi tersebut akan mengalami ketakselanjaran.

1. Jika had itu wujud dan tidak sama dengan f(x o), maka mereka berkata demikian fungsi f(x) pada titik x o mempunyai pecah jenis pertama, atau lompat.

2. Jika hadnya+∞ atau -∞ atau tidak wujud, maka mereka mengatakan bahawa dalam titik xo fungsi mempunyai ketakselanjaran jenis kedua.

Contohnya, fungsi y = cot x pada x→ +0 mempunyai had yang sama dengan +∞, yang bermaksud bahawa pada titik x=0 ia mempunyai ketakselanjaran jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bahagian integer daripada x) pada titik dengan keseluruhan abscissas mempunyai ketakselanjaran jenis pertama, atau lompatan.

Fungsi yang berterusan pada setiap titik dalam selang dipanggil berterusan V . Fungsi selanjar diwakili oleh lengkung pepejal.

Banyak masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan berterusan beberapa kuantiti membawa kepada had kedua yang luar biasa. Tugas sedemikian, sebagai contoh, termasuk: pertumbuhan deposit mengikut undang-undang faedah kompaun, pertumbuhan penduduk negara, pereputan bahan radioaktif, percambahan bakteria, dsb.

Mari kita pertimbangkan contoh Ya I. Perelman, memberikan tafsiran nombor e dalam masalah faedah kompaun. Nombor e ada hadnya . Dalam bank simpanan, wang faedah ditambah kepada modal tetap setiap tahun. Sekiranya penyertaan dibuat lebih kerap, maka modal berkembang lebih cepat, kerana jumlah yang lebih besar terlibat dalam pembentukan faedah. Mari kita ambil contoh teoretikal semata-mata, sangat mudah. Biarkan 100 penafi dimasukkan ke dalam bank. unit berdasarkan 100% setahun. Jika wang faedah ditambah kepada modal tetap hanya selepas setahun, maka dengan tempoh ini 100 den. unit akan bertukar menjadi 200 unit kewangan. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 penafian. unit, jika wang faedah ditambah kepada modal tetap setiap enam bulan. Selepas enam bulan, 100 den. unit akan meningkat kepada 100× 1.5 = 150, dan selepas enam bulan lagi - pada 150× 1.5 = 225 (den. unit). Jika penyertaan dilakukan setiap 1/3 tahun, maka selepas setahun 100 den. unit akan bertukar menjadi 100× (1 +1/3) 3" 237 (den. unit). Kami akan meningkatkan syarat untuk menambah wang faedah kepada 0.1 tahun, sehingga 0.01 tahun, sehingga 0.001 tahun, dsb. Kemudian daripada 100 den. unit selepas setahun ia akan menjadi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. unit),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. unit),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. unit).

Dengan pengurangan tanpa had dalam syarat menambah faedah, modal terkumpul tidak berkembang selama-lamanya, tetapi menghampiri had tertentu bersamaan dengan lebih kurang 271. Modal yang didepositkan pada 100% setahun tidak boleh meningkat lebih daripada 2.71 kali, walaupun faedah terakru telah ditambah kepada modal setiap saat kerana had

Contoh 3.1.Dengan menggunakan takrifan had bagi jujukan nombor, buktikan bahawa jujukan x n =(n-1)/n mempunyai had bersamaan dengan 1.

Penyelesaian.Kita perlu membuktikannya, tidak kira apa punε > 0, tidak kira apa yang kita ambil, kerana itu terdapat nombor asli N supaya untuk semua n N ketaksamaan kekal|x n -1|< ε.

Mari kita ambil mana-mana e > 0. Sejak ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N sudah cukup untuk menyelesaikan ketaksamaan 1/n< e. Oleh itu n>1/ e dan, oleh itu, N boleh diambil sebagai bahagian integer 1/ e , N = E(1/ e ). Dengan itu kami telah membuktikan bahawa had .

Contoh 3.2 . Cari had bagi jujukan yang diberikan oleh sebutan sepunya .

Penyelesaian.Mari gunakan had teorem hasil tambah dan cari had bagi setiap sebutan. Apabila n→ ∞ pengangka dan penyebut bagi setiap sebutan cenderung kepada infiniti, dan kita tidak boleh menggunakan teorem had hasil bagi secara langsung. Oleh itu, pertama kita mengubah x n, membahagikan pengangka dan penyebut sebutan pertama dengan n 2, dan yang kedua pada n. Kemudian, menggunakan had hasil bagi dan had jumlah teorem, kita dapati:

.

Contoh 3.3. . Cari .

Penyelesaian. .

Di sini kami menggunakan had teorem darjah: had darjah adalah sama dengan darjah had asas.

Contoh 3.4 . Cari ( ).

Penyelesaian.Adalah mustahil untuk menggunakan had teorem perbezaan, kerana kita mempunyai ketidakpastian bentuk ∞-∞ . Mari kita ubah formula istilah umum:

.

Contoh 3.5 . Fungsi f(x)=2 1/x diberikan. Buktikan bahawa tiada had.

Penyelesaian.Mari kita gunakan takrifan 1 had fungsi melalui jujukan. Mari kita ambil urutan ( x n ) menumpu kepada 0, i.e. Mari kita tunjukkan bahawa nilai f(x n)= berkelakuan berbeza untuk jujukan yang berbeza. Biarkan x n = 1/n. Jelas sekali, maka hadnya Marilah kita memilih sebagai x n jujukan dengan sebutan sepunya x n = -1/n, juga cenderung kepada sifar. Oleh itu tiada had.

Contoh 3.6 . Buktikan bahawa tiada had.

Penyelesaian.Biarkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... menjadi urutan yang
. Bagaimanakah urutan (f(x n)) = (sin x n) berkelakuan untuk x n yang berbeza → ∞

Jika x n = p n, maka sin x n = sin p n = 0 untuk semua n dan had Jika
x n =2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 untuk semua n dan oleh itu hadnya. Jadi ia tidak wujud.

Widget untuk mengira had dalam talian

Di tetingkap atas, bukannya sin(x)/x, masukkan fungsi yang hadnya anda ingin cari. Di tetingkap bawah, masukkan nombor yang x cenderung dan klik butang Calcular, dapatkan had yang dikehendaki. Dan jika dalam tetingkap hasil anda mengklik pada Tunjukkan langkah di sudut kanan atas, anda akan mendapat penyelesaian terperinci.

Peraturan untuk memasukkan fungsi: sqrt(x) - punca kuasa dua, cbrt(x) - punca kubus, exp(x) - eksponen, ln(x) - logaritma asli, sin(x) - sinus, cos(x) - kosinus, tan (x) - tangen, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Tanda: * pendaraban, / pembahagian, ^ eksponen, sebaliknya infiniti Infiniti. Contoh: fungsi dimasukkan sebagai sqrt(tan(x/2)).

Matematik adalah sains yang membina dunia. Kedua-dua saintis dan orang biasa - tiada siapa yang boleh melakukannya tanpanya. Pertama, kanak-kanak kecil diajar mengira, kemudian menambah, menolak, mendarab dan membahagi dengan sekolah menengah, simbol huruf mula dimainkan, dan di sekolah menengah mereka tidak dapat dielakkan lagi.

Tetapi hari ini kita akan bercakap tentang apa yang berasaskan semua matematik yang diketahui. Mengenai komuniti nombor yang dipanggil "had jujukan".

Apakah urutan dan di manakah hadnya?

Maksud perkataan "urutan" tidak sukar untuk ditafsirkan. Ini ialah susunan perkara di mana seseorang atau sesuatu terletak dalam susunan atau baris gilir tertentu. Sebagai contoh, giliran untuk tiket ke zoo adalah satu urutan. Dan hanya boleh ada satu! Jika, sebagai contoh, anda melihat baris gilir di kedai, ini adalah satu urutan. Dan jika seorang daripada barisan ini tiba-tiba keluar, maka ini adalah barisan yang berbeza, susunan yang berbeza.

Perkataan "had" juga mudah ditafsirkan - ia adalah pengakhiran sesuatu. Walau bagaimanapun, dalam matematik, had jujukan ialah nilai-nilai pada garis nombor yang cenderung kepada urutan nombor. Mengapa ia berusaha dan tidak berakhir? Ia mudah, garis nombor tidak mempunyai penghujung, dan kebanyakan jujukan, seperti sinar, hanya mempunyai permulaan dan kelihatan seperti ini:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Oleh itu takrifan urutan adalah fungsi hujah semula jadi. Dalam kata yang lebih mudah, ini adalah siri ahli set tertentu.

Bagaimanakah urutan nombor dibina?

Contoh ringkas bagi urutan nombor mungkin kelihatan seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…

Dalam kebanyakan kes, untuk tujuan praktikal, jujukan dibina daripada nombor, dan setiap ahli siri seterusnya, mari kita nyatakan dengan X, mempunyai namanya sendiri. Contohnya:

x 1 ialah ahli pertama bagi jujukan;

x 2 ialah sebutan kedua bagi jujukan;

x 3 ialah sebutan ketiga;

x n ialah sebutan ke-n.

Dalam kaedah praktikal, urutan diberikan oleh formula umum di mana terdapat pembolehubah tertentu. Contohnya:

X n =3n, maka siri nombor itu sendiri akan kelihatan seperti ini:

Perlu diingat bahawa semasa menulis urutan secara umum, anda boleh menggunakan mana-mana huruf Latin, bukan hanya X. Contohnya: y, z, k, dsb.

Janjang aritmetik sebagai sebahagian daripada jujukan

Sebelum mencari had jujukan, adalah dinasihatkan untuk mendalami konsep siri nombor sedemikian, yang semua orang hadapi semasa mereka di sekolah menengah. Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana perbezaan antara sebutan bersebelahan adalah malar.

Masalah: “Biar a 1 = 15, dan langkah janjang siri nombor d = 4. Bina 4 sebutan pertama siri ini"

Penyelesaian: a 1 = 15 (mengikut syarat) ialah sebutan pertama janjang (siri nombor).

dan 2 = 15+4=19 ialah sebutan kedua bagi janjang itu.

dan 3 =19+4=23 ialah sebutan ketiga.

dan 4 =23+4=27 ialah sebutan keempat.

Walau bagaimanapun, menggunakan kaedah ini sukar untuk mencapai nilai yang besar, contohnya sehingga 125. . Khusus untuk kes sebegini, formula yang sesuai untuk amalan diperolehi: a n =a 1 +d(n-1). Dalam kes ini, a 125 =15+4(125-1)=511.

Jenis urutan

Kebanyakan urutan tidak berkesudahan, ia patut diingati sepanjang hayat anda. Terdapat dua jenis siri nombor yang menarik. Yang pertama diberikan oleh formula a n =(-1) n. Ahli matematik sering memanggil jujukan ini sebagai flasher. kenapa? Mari kita semak siri nombornya.

1, 1, -1, 1, -1, 1, dsb. Dengan contoh seperti ini, menjadi jelas bahawa nombor dalam urutan boleh diulang dengan mudah.

Urutan faktorial. Mudah diteka - formula mentakrifkan jujukan mengandungi faktorial. Contohnya: a n = (n+1)!

Kemudian urutannya akan kelihatan seperti ini:

a 2 = 1x2x3 = 6;

dan 3 = 1x2x3x4 = 24, dsb.

Urutan yang ditakrifkan oleh janjang aritmetik dipanggil menurun secara tak terhingga jika ketaksamaan -1 dipenuhi untuk semua sebutannya

dan 3 = - 1/8, dsb.

Malah terdapat urutan yang terdiri daripada nombor yang sama. Jadi, n =6 terdiri daripada nombor enam tak terhingga.

Menentukan Had Urutan

Had jujukan telah lama wujud dalam matematik. Sudah tentu, mereka layak mendapat reka bentuk kompeten mereka sendiri. Jadi, masa untuk mempelajari definisi had jujukan. Mula-mula, mari kita lihat had untuk fungsi linear secara terperinci:

1. Semua had disingkatkan sebagai lim.
2. Notasi had terdiri daripada singkatan lim, sebarang pembolehubah yang cenderung kepada nombor tertentu, sifar atau infiniti, serta fungsi itu sendiri.

Adalah mudah untuk memahami bahawa takrifan had jujukan boleh dirumuskan seperti berikut: ini ialah nombor tertentu di mana semua ahli jujukan menghampiri secara tak terhingga. Contoh mudah: a x = 4x+1. Kemudian urutan itu sendiri akan kelihatan seperti ini.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Oleh itu, jujukan ini akan meningkat selama-lamanya, yang bermaksud hadnya adalah sama dengan infiniti sebagai x→∞, dan ia harus ditulis seperti ini:

Jika kita mengambil urutan yang sama, tetapi x cenderung kepada 1, kita dapat:

Dan siri nombor akan menjadi seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dsb. Setiap kali anda perlu menggantikan nombor lebih dekat kepada satu (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Daripada siri ini jelas bahawa had fungsi ialah lima.

Dari bahagian ini adalah wajar untuk mengingati apa had urutan berangka, definisi dan kaedah untuk menyelesaikan masalah mudah.

Penamaan am untuk had jujukan

Setelah meneliti had jujukan nombor, definisi dan contohnya, anda boleh meneruskan ke topik yang lebih kompleks. Sudah tentu semua had jujukan boleh dirumuskan dengan satu formula, yang biasanya dianalisis pada semester pertama.

Jadi, apakah maksud set huruf, modul dan tanda ketidaksamaan ini?

∀ ialah pengkuantiti universal, menggantikan frasa "untuk semua", "untuk segala-galanya", dsb.

∃ ialah pengkuantiti kewujudan, dalam kes ini ia bermakna terdapat beberapa nilai N kepunyaan set nombor asli.

Kayu menegak panjang mengikuti N bermakna set N yang diberikan adalah "begitu." Dalam amalan, ia boleh bermaksud "begitu", "begitu", dsb.

Untuk mengukuhkan bahan, baca formula dengan kuat.

Ketidakpastian dan kepastian had

Kaedah mencari had jujukan, yang telah dibincangkan di atas, walaupun mudah digunakan, tidak begitu rasional dalam amalan. Cuba cari had untuk fungsi ini:

Jika kita menggantikan nilai "x" yang berbeza (meningkat setiap kali: 10, 100, 1000, dsb.), maka kita mendapat ∞ dalam pengangka, tetapi juga ∞ dalam penyebut. Ini menghasilkan pecahan yang agak pelik:

Tetapi adakah ini benar-benar begitu? Mengira had jujukan nombor dalam kes ini nampaknya agak mudah. Ia mungkin untuk meninggalkan segala-galanya kerana jawapannya sudah sedia, dan ia diterima dalam keadaan yang munasabah, tetapi ada cara lain khusus untuk kes sedemikian.

Mula-mula, mari kita cari darjah tertinggi dalam pengangka pecahan - ini ialah 1, kerana x boleh diwakili sebagai x 1.

Sekarang mari kita cari darjah tertinggi dalam penyebut. Juga 1.

Mari bahagikan kedua-dua pengangka dan penyebut dengan pembolehubah ke darjah tertinggi. Dalam kes ini, bahagikan pecahan dengan x 1.

Seterusnya, kita akan mencari nilai yang cenderung kepada setiap istilah yang mengandungi pembolehubah. Dalam kes ini, pecahan dipertimbangkan. Sebagai x→∞, nilai setiap pecahan cenderung kepada sifar. Semasa menghantar kerja anda secara bertulis, anda harus membuat nota kaki berikut:

Ini menghasilkan ungkapan berikut:

Sudah tentu, pecahan yang mengandungi x tidak menjadi sifar! Tetapi nilai mereka sangat kecil sehingga benar-benar dibenarkan untuk tidak mengambil kira dalam pengiraan. Malah, x tidak akan sama dengan 0 dalam kes ini, kerana anda tidak boleh membahagi dengan sifar.

Apakah kejiranan?

Katakan profesor mempunyai urutan yang kompleks, yang diberikan, jelas, oleh formula yang sama kompleks. Profesor telah menemui jawapannya, tetapi adakah ia betul? Lagipun, semua orang melakukan kesilapan.

Auguste Cauchy pernah menghasilkan cara terbaik untuk membuktikan had jujukan. Kaedahnya dipanggil manipulasi kejiranan.

Katakan bahawa terdapat titik a tertentu, kejiranannya dalam kedua-dua arah pada garis nombor adalah sama dengan ε (“epsilon”). Oleh kerana pembolehubah terakhir ialah jarak, nilainya sentiasa positif.

Sekarang mari kita takrifkan beberapa jujukan x n dan anggap bahawa sebutan kesepuluh bagi jujukan (x 10) termasuk dalam kejiranan a. Bagaimanakah kita boleh menulis fakta ini dalam bahasa matematik?

Katakan x 10 berada di sebelah kanan titik a, kemudian jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Kini tiba masanya untuk menerangkan secara praktikal formula yang dibincangkan di atas. Adalah adil untuk memanggil nombor tertentu sebagai titik akhir jujukan jika bagi mana-mana hadnya ketaksamaan ε>0 berlaku, dan seluruh kejiranan mempunyai nombor aslinya sendiri N, supaya semua ahli jujukan dengan nombor yang lebih tinggi akan berada di dalam jujukan |x n - a|< ε.

Dengan pengetahuan sedemikian, adalah mudah untuk menyelesaikan had urutan dan membuktikan atau menafikan jawapan yang sedia dibuat.

Teorem

Teorem mengenai had jujukan adalah komponen penting dalam teori, tanpa amalan adalah mustahil. Terdapat hanya empat teorem utama, mengingat yang boleh memudahkan proses penyelesaian atau pembuktian:

1. Keunikan had sesuatu jujukan. Mana-mana jujukan hanya boleh mempunyai satu had atau tiada sama sekali. Contoh yang sama dengan baris gilir yang hanya boleh mempunyai satu hujung.
2. Jika satu siri nombor mempunyai had, maka urutan nombor ini adalah terhad.
3. Had jumlah (perbezaan, hasil) jujukan adalah sama dengan jumlah (perbezaan, hasil) hadnya.
4. Had hasil bahagi bagi dua jujukan adalah sama dengan hasil bahagi jika dan hanya jika penyebut tidak hilang.

Bukti urutan

Kadangkala anda perlu menyelesaikan masalah songsang, untuk membuktikan had tertentu bagi urutan berangka. Mari kita lihat contoh.

Buktikan bahawa had jujukan yang diberikan oleh formula ialah sifar.

Mengikut peraturan yang dibincangkan di atas, untuk sebarang jujukan ketaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Marilah kita menyatakan n melalui "epsilon" untuk menunjukkan kewujudan nombor tertentu dan membuktikan kehadiran had jujukan.

Pada ketika ini, adalah penting untuk diingat bahawa "epsilon" dan "en" ialah nombor positif dan tidak sama dengan sifar. Kini anda boleh meneruskan transformasi selanjutnya menggunakan pengetahuan tentang ketidaksamaan yang diperolehi sekolah menengah.

Bagaimanakah ternyata n > -3 + 1/ε. Oleh kerana perlu diingat bahawa kita bercakap tentang nombor asli, hasilnya boleh dibundarkan dengan meletakkannya dalam kurungan segi empat sama. Oleh itu, telah dibuktikan bahawa untuk sebarang nilai kejiranan "epsilon" bagi titik a = 0, suatu nilai didapati sedemikian rupa sehingga ketaksamaan awal dipenuhi. Dari sini kita boleh mengatakan dengan selamat bahawa nombor a ialah had bagi urutan tertentu. Q.E.D.

Kaedah mudah ini boleh digunakan untuk membuktikan had jujukan berangka, tidak kira betapa kompleksnya pada pandangan pertama. Perkara utama ialah jangan panik apabila anda melihat tugas itu.

Atau mungkin dia tiada di sana?

Kewujudan had konsistensi tidak perlu dalam amalan. Anda boleh dengan mudah menjumpai siri nombor yang benar-benar tiada penghujungnya. Contohnya, "lampu berkelip" yang sama x n = (-1) n. adalah jelas bahawa urutan yang terdiri daripada dua digit sahaja, diulang secara kitaran, tidak boleh mempunyai had.

Cerita yang sama berulang dengan urutan yang terdiri daripada satu nombor, pecahan, mempunyai ketidakpastian sebarang susunan semasa pengiraan (0/0, ∞/∞, ∞/0, dsb.). Walau bagaimanapun, perlu diingat bahawa pengiraan yang salah juga berlaku. Kadangkala menyemak semula penyelesaian anda sendiri akan membantu anda mencari had jujukan.

Urutan monotonic

Beberapa contoh jujukan dan kaedah untuk menyelesaikannya telah dibincangkan di atas, dan sekarang mari kita cuba ambil kes yang lebih khusus dan memanggilnya sebagai "jujukan monotonik."

Definisi: sebarang jujukan boleh dipanggil meningkat secara monoton jika ketaksamaan yang ketat x n berlaku untuknya< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Seiring dengan kedua-dua syarat ini, terdapat juga ketidaksamaan tidak ketat yang serupa. Sehubungan itu, x n ≤ x n +1 (jujukan tidak menurun) dan x n ≥ x n +1 (jujukan tidak bertambah).

Tetapi lebih mudah untuk memahami ini dengan contoh.

Urutan yang diberikan oleh formula x n = 2+n membentuk siri nombor berikut: 4, 5, 6, dsb. Ini ialah jujukan meningkat secara monoton.

Dan jika kita mengambil x n =1/n, kita mendapat siri: 1/3, ¼, 1/5, dsb. Ini ialah urutan menurun secara monoton.

Had jujukan menumpu dan terikat

Jujukan terikat ialah jujukan yang mempunyai had. Jujukan penumpu ialah satu siri nombor yang mempunyai had yang sangat kecil.

Oleh itu, had bagi jujukan bersempadan ialah sebarang nombor nyata atau kompleks. Ingat bahawa hanya ada satu had.

Had jujukan penumpuan ialah kuantiti tak terhingga (nyata atau kompleks). Jika anda melukis rajah jujukan, maka pada titik tertentu ia akan kelihatan bertumpu, cenderung bertukar menjadi nilai tertentu. Oleh itu namanya - jujukan konvergen.

Had jujukan monotonik

Mungkin ada atau mungkin tiada had untuk urutan sedemikian. Pertama, adalah berguna untuk memahami apabila ia wujud dari sini anda boleh mula apabila membuktikan ketiadaan had.

Antara jujukan monotonic, konvergen dan divergen dibezakan. Konvergen ialah jujukan yang dibentuk oleh set x dan mempunyai had nyata atau kompleks dalam set ini. Divergen ialah urutan yang tidak mempunyai had dalam setnya (bukan nyata mahupun kompleks).

Selain itu, jujukan itu menumpu jika, dalam perwakilan geometri, had atas dan bawahnya menumpu.

Had jujukan penumpuan boleh menjadi sifar dalam banyak kes, kerana mana-mana jujukan infinitesimal mempunyai had yang diketahui (sifar).

Apa-apa pun jujukan penumpu yang anda ambil, semuanya bersempadan, tetapi tidak semua jujukan bersempadan bertumpu.

Jumlah, beza, hasil darab dua jujukan menumpu juga merupakan jujukan menumpu. Walau bagaimanapun, hasil bagi juga boleh menumpu jika ia ditakrifkan!

Pelbagai tindakan dengan had

Had jujukan adalah sama ketara (dalam kebanyakan kes) seperti digit dan nombor: 1, 2, 15, 24, 362, dll. Ternyata beberapa operasi boleh dilakukan dengan had.

Pertama, seperti digit dan nombor, had sebarang jujukan boleh ditambah dan ditolak. Berdasarkan teorem ketiga mengenai had jujukan, kesamaan berikut berlaku: had jumlah jujukan adalah sama dengan jumlah hadnya.

Kedua, berdasarkan teorem keempat tentang had jujukan, kesamaan berikut adalah benar: had hasil darab nombor ke-n jujukan adalah sama dengan hasil darab hadnya. Perkara yang sama berlaku untuk pembahagian: had hasil bagi dua jujukan adalah sama dengan hasil bagi hadnya, dengan syarat hadnya bukan sifar. Lagipun, jika had jujukan adalah sama dengan sifar, maka pembahagian dengan sifar akan terhasil, yang mustahil.

Sifat kuantiti jujukan

Nampaknya had jujukan berangka telah dibincangkan secara terperinci, tetapi frasa seperti nombor "kecil tak terhingga" dan "besar tak terhingga" disebut lebih daripada sekali. Jelas sekali, jika terdapat jujukan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut adalah sangat kecil, dan jika jujukan yang sama, tetapi hadnya cenderung kepada sifar (x→0), maka pecahan itu menjadi nilai besar tak terhingga. Dan kuantiti sedemikian mempunyai ciri-ciri mereka sendiri. Sifat had jujukan yang mempunyai sebarang nilai kecil atau besar adalah seperti berikut:

1. Jumlah sebarang nombor bagi sebarang bilangan kuantiti kecil juga akan menjadi kuantiti yang kecil.
2. Jumlah sebarang bilangan kuantiti besar akan menjadi kuantiti besar tak terhingga.
3. Hasil darab kuantiti yang kecil secara sewenang-wenangnya adalah sangat kecil.
4. Hasil darab sebarang bilangan nombor besar adalah besar tak terhingga.
5. Jika jujukan asal cenderung kepada nombor yang tidak terhingga besar, maka songsangnya akan menjadi sangat kecil dan cenderung kepada sifar.

Sebenarnya, mengira had jujukan bukanlah tugas yang sukar jika anda mengetahui algoritma yang mudah. Tetapi had konsistensi adalah topik yang memerlukan perhatian dan ketabahan yang maksimum. Sudah tentu, cukup untuk memahami intipati penyelesaian kepada ungkapan tersebut. Bermula dari kecil, anda boleh mencapai ketinggian yang hebat dari semasa ke semasa.