Nyatakan sifat tangen. Bahan rujukan: kord, sekan, tangen, teorem

Secant, tangen - semua ini boleh didengar ratusan kali dalam pelajaran geometri. Tetapi tamat pengajian dari sekolah adalah di belakang kita, tahun berlalu, dan semua pengetahuan ini dilupakan. Apa yang perlu anda ingat?

Intipati

Istilah "tangen kepada bulatan" mungkin biasa kepada semua orang. Tetapi tidak mungkin semua orang dapat merumuskan definisinya dengan cepat. Sementara itu, tangen ialah garis lurus yang terletak dalam satah yang sama dengan bulatan yang bersilang hanya pada satu titik. Mungkin terdapat sejumlah besar daripada mereka, tetapi mereka semua ada sifat yang sama, yang akan dibincangkan di bawah. Seperti yang anda rasa, titik tangen ialah tempat di mana bulatan dan garis lurus bersilang. Dalam setiap kes tertentu hanya ada satu, tetapi jika terdapat lebih daripada mereka, maka ia akan menjadi secant.

Sejarah penemuan dan kajian

Konsep tangen muncul pada zaman dahulu. Pembinaan garis lurus ini, pertama kepada bulatan, dan kemudian kepada elips, parabola dan hiperbola menggunakan pembaris dan kompas, telah dijalankan pada peringkat awal pembangunan geometri. Sudah tentu, sejarah tidak mengekalkan nama penemu, tetapi jelas bahawa pada masa itu orang ramai sudah biasa dengan sifat-sifat tangen kepada bulatan.

Pada zaman moden, minat terhadap fenomena ini kembali membara - satu pusingan baru kajian konsep ini bermula dalam kombinasi dengan penemuan lengkung baru. Oleh itu, Galileo memperkenalkan konsep sikloid, dan Fermat dan Descartes membina tangen kepadanya. Bagi kalangan, nampaknya tiada lagi rahsia yang tinggal untuk orang-orang dahulu di kawasan ini.

Hartanah

Jejari yang dilukis ke titik persilangan adalah Ini

yang utama, tetapi bukan satu-satunya sifat yang dimiliki oleh tangen kepada bulatan. Satu lagi ciri penting termasuk dua garis lurus. Jadi, melalui satu titik yang terletak di luar bulatan, dua tangen boleh dilukis, dan segmennya akan sama. Terdapat satu lagi teorem mengenai topik ini, tetapi ia jarang diajar sebagai sebahagian daripada kursus sekolah standard, walaupun ia sangat mudah untuk menyelesaikan beberapa masalah. Bunyinya seperti berikut. Dari satu titik yang terletak di luar bulatan, tangen dan titik dilukis kepadanya. Segmen AB, AC dan AD terbentuk. A ialah persilangan garis, B ialah titik tangen, C dan D ialah persilangan. Dalam kes ini, kesamaan berikut akan sah: panjang tangen kepada bulatan, kuasa dua, akan sama dengan hasil darab segmen AC dan AD.

Terdapat akibat penting untuk perkara di atas. Untuk setiap titik pada bulatan anda boleh membina tangen, tetapi hanya satu. Buktinya agak mudah: secara teori menjatuhkan serenjang dari jejari ke atasnya, kita dapati bahawa segitiga yang terbentuk tidak boleh wujud. Dan ini bermakna bahawa tangen adalah satu-satunya.

Pembinaan

Antara masalah lain dalam geometri terdapat kategori khas, sebagai peraturan, tidak

digemari oleh murid dan murid. Untuk menyelesaikan masalah dalam kategori ini, anda hanya memerlukan kompas dan pembaris. Ini adalah tugas pembinaan. Terdapat juga untuk membina tangen.

Jadi, diberi bulatan dan titik yang terletak di luar sempadannya. Dan adalah perlu untuk menarik tangen melalui mereka. Bagaimana untuk melakukan ini? Pertama sekali, anda perlu melukis segmen antara pusat bulatan O dan titik tertentu. Kemudian, dengan menggunakan kompas, bahagikannya kepada dua. Untuk melakukan ini, anda perlu menetapkan jejari - lebih sedikit daripada separuh jarak antara pusat bulatan asal dan titik ini. Selepas ini, anda perlu membina dua lengkok bersilang. Selain itu, jejari kompas tidak perlu diubah, dan pusat setiap bahagian bulatan akan menjadi titik asal dan O, masing-masing. Persimpangan lengkok perlu disambungkan, yang akan membahagikan segmen kepada separuh. Tetapkan jejari pada kompas yang sama dengan jarak ini. Seterusnya, dengan pusat di titik persilangan, bina bulatan lain. Kedua-dua titik asal dan O akan terletak di atasnya. Dalam kes ini, akan terdapat dua lagi persimpangan dengan bulatan yang diberikan dalam masalah. Mereka akan menjadi titik hubungan untuk titik yang ditentukan pada mulanya.

Ia adalah pembinaan tangen kepada bulatan yang membawa kepada kelahiran

kalkulus pembezaan. Kerja pertama mengenai topik ini diterbitkan oleh ahli matematik Jerman terkenal Leibniz. Ia menyediakan kemungkinan untuk mencari maksima, minima dan tangen tanpa mengira kuantiti pecahan dan tidak rasional. Nah, kini ia digunakan untuk banyak pengiraan lain.

Selain itu, tangen kepada bulatan adalah berkaitan dengan makna geometri tangen. Dari sinilah namanya berasal. Diterjemah dari bahasa Latin tangens bermaksud "tangen". Oleh itu, konsep ini dikaitkan bukan sahaja dengan geometri dan kalkulus pembezaan, tetapi juga dengan trigonometri.

Dua bulatan

Tangen tidak selalu mempengaruhi hanya satu angka. Jika sebilangan besar garis lurus boleh ditarik ke satu bulatan, maka mengapa tidak sebaliknya? boleh. Tetapi tugas dalam kes ini menjadi sangat rumit, kerana tangen kepada dua bulatan mungkin tidak melalui mana-mana titik, dan kedudukan relatif semua angka ini boleh menjadi sangat

berbeza.

Jenis dan jenis

Apabila kita bercakap tentang dua bulatan dan satu atau lebih garis lurus, walaupun diketahui bahawa ini adalah tangen, ia tidak segera jelas bagaimana semua angka ini terletak dalam hubungan antara satu sama lain. Berdasarkan ini, beberapa jenis dibezakan. Oleh itu, bulatan mungkin mempunyai satu atau dua titik sepunya atau tidak mempunyainya sama sekali. Dalam kes pertama mereka akan bersilang, dan dalam kes kedua mereka akan menyentuh. Dan di sini dua jenis dibezakan. Jika satu bulatan, seolah-olah, tertanam dalam kedua, maka tangen dipanggil dalaman, jika tidak, maka luaran. Anda boleh memahami kedudukan relatif angka bukan sahaja berdasarkan lukisan, tetapi juga mempunyai maklumat tentang jumlah jejarinya dan jarak antara pusatnya. Jika kedua-dua kuantiti ini sama, maka bulatan bersentuhan. Jika yang pertama lebih besar, mereka bersilang, dan jika kurang, maka mereka tidak mempunyai titik yang sama.

Begitu juga dengan garis lurus. Untuk mana-mana dua bulatan yang tidak mempunyai titik sepunya, anda boleh

bina empat tangen. Dua daripadanya akan bersilang antara angka, mereka dipanggil dalaman. Beberapa yang lain adalah luaran.

Jika kita bercakap tentang bulatan yang mempunyai satu titik yang sama, maka masalahnya sangat dipermudahkan. Hakikatnya, tanpa mengira kedudukan relatif mereka, dalam kes ini mereka hanya akan mempunyai satu tangen. Dan ia akan melalui titik persimpangan mereka. Jadi pembinaan tidak akan sukar.

Jika rajah mempunyai dua titik persilangan, maka garis lurus boleh dibina untuknya, tangen kepada bulatan kedua-dua satu dan yang lain, tetapi hanya luaran. Penyelesaian kepada masalah ini adalah serupa dengan apa yang akan dibincangkan di bawah.

Penyelesaian masalah

Kedua-dua tangen dalaman dan luaran kepada dua bulatan tidak begitu mudah untuk dibina, walaupun masalah ini boleh diselesaikan. Hakikatnya ialah angka tambahan digunakan untuk ini, jadi anda perlu membuat kaedah ini sendiri

agak bermasalah. Jadi, dua bulatan yang berbeza jejari dan pusat O1 dan O2 diberikan. Bagi mereka, anda perlu membina dua pasang tangen.

Pertama sekali, anda perlu membina satu tambahan berhampiran pusat bulatan yang lebih besar. Dalam kes ini, perbezaan antara jejari dua angka awal harus diwujudkan pada kompas. Tangen kepada bulatan tambahan dibina dari pusat bulatan yang lebih kecil. Selepas ini, serenjang dilukis dari O1 dan O2 ke garisan ini sehingga ia bersilang dengan angka asal. Seperti berikut dari sifat asas tangen, titik yang diperlukan pada kedua-dua bulatan ditemui. Masalahnya diselesaikan, sekurang-kurangnya bahagian pertama.

Untuk membina tangen dalaman, anda perlu menyelesaikan secara praktikal

tugas yang serupa. Sekali lagi anda memerlukan angka tambahan, tetapi kali ini jejarinya sama dengan jumlah asal. Tangen dibina kepadanya dari pusat salah satu bulatan ini. Kursus penyelesaian selanjutnya boleh difahami dari contoh sebelumnya.

Tangen kepada bulatan atau dua atau lebih bukanlah tugas yang sukar. Sudah tentu, ahli matematik telah lama berhenti menyelesaikan masalah sedemikian secara manual dan bergantung pada pengiraan program khas. Tetapi anda tidak sepatutnya berfikir bahawa sekarang anda tidak perlu melakukannya sendiri, kerana untuk merumuskan tugas dengan betul untuk komputer anda perlu melakukan dan memahami banyak perkara. Malangnya, terdapat kebimbangan bahawa selepas peralihan terakhir kepada bentuk ujian kawalan pengetahuan, tugas pembinaan akan menyebabkan pelajar lebih banyak kesukaran.

Bagi mencari tangen sepunya untuk bilangan bulatan yang lebih besar, ini tidak selalu mungkin, walaupun mereka terletak dalam satah yang sama. Tetapi dalam beberapa kes anda boleh menemui garis lurus sedemikian.

Contoh dari kehidupan

Tangen sepunya kepada dua bulatan sering berlaku dalam amalan, walaupun ini tidak selalunya ketara. Penghantar, sistem blok, tali pinggang penghantaran takal, ketegangan benang masuk mesin jahit, dan walaupun hanya rantai basikal - semua ini adalah contoh dari kehidupan. Jadi jangan fikir begitu masalah geometri kekal hanya dalam teori: dalam kejuruteraan, fizik, pembinaan dan banyak bidang lain mereka dapati aplikasi praktikal.

Langsung ( MN), mempunyai hanya satu titik sepunya dengan bulatan ( A), dipanggil tangen kepada bulatan.

Titik biasa dipanggil dalam kes ini titik perhubungan.

Kemungkinan kewujudan tangen, dan, lebih-lebih lagi, dilukis melalui mana-mana titik bulatan, sebagai titik tangen, dibuktikan seperti berikut teorem.

Biarlah ia dikehendaki melaksanakan bulatan dengan pusat O tangen melalui titik A. Untuk melakukan ini dari sudut A, sebagai dari pusat, kami menerangkan arka jejari A.O., dan dari sudut O, sebagai pusat, kita bersilang lengkok ini pada titik B Dan DENGAN larutan kompas sama dengan diameter bulatan yang diberi.

Selepas berbelanja kemudian kord O.B. Dan OS, sambungkan titik itu A dengan titik D Dan E, di mana kord ini bersilang dengan bulatan tertentu. Langsung AD Dan A.E. - tangen kepada bulatan O. Sememangnya dari pembinaannya jelas bahawa segi tiga AOB Dan AOC sama kaki(AO = AB = AC) dengan asas O.B. Dan OS, sama dengan diameter bulatan O.

Kerana O.D. Dan O.E.- jejari, kemudian D - tengah O.B., A E- tengah OS, Bermaksud AD Dan A.E. - median, ditarik ke tapak segi tiga sama kaki, dan oleh itu berserenjang dengan tapak ini. Jika lurus D.A. Dan E.A. berserenjang dengan jejari O.D. Dan O.E., kemudian mereka - tangen.

Akibat.

Dua tangen yang dilukis dari satu titik ke bulatan adalah sama dan membentuk sudut yang sama dengan garis lurus yang menghubungkan titik ini ke pusat.

Jadi AD=AE dan ∠ OAD = ∠OAE kerana segi tiga tepat AOD Dan AOE, mempunyai persamaan hipotenus A.O. dan sama rata kaki O.D. Dan O.E.(sebagai jejari), adalah sama. Perhatikan bahawa di sini perkataan "tangen" sebenarnya bermaksud " segmen tangen” dari titik tertentu ke titik sentuhan.

Mari kita jalankan CO dan larutkan segitiga OAC dan OBC1) Dalam ΔОAC dan ΔOBC:ОC ialah biasa, ОA = OB, sebagai jejari, ОA ⊥ CA, OB ⊥ CB (kerana AC dan CB ialah tangen). Oleh itu, ΔОAC = ΔOBC mengikut kriteria pertama untuk kesamaan segi tiga. Dari mana AC = CO.2) Biarkan tiga tangen kepada bulatan dilukis melalui titik C: CA, CB, CM. Kemudian ia mengikuti bahawa CA = CB = CM, dari mana titik A, B, M terletak pada bulatan yang sama dengan pusat C. Ternyata kedua-dua bulatan itu mempunyai tiga titik yang sama. Percanggahan. Teorem Bulatan: Bulatan tidak boleh bersilang pada lebih daripada dua titik. Oleh itu, melalui titik tertentu adalah mustahil untuk menarik lebih daripada dua tangen kepada bulatan tertentu. Oleh itu CA dan CB adalah tangen kepada bulatan dan ia adalah sama.

Dari titik C kita lukis segmen CO. Kami mendapat dua segi tiga: ΔСОА dan ΔСОВВ ΔСОА dan ΔСОВ:СО - umum, OA = OB, sebagai jejari, OA ⊥ SA, OB ⊥ SV (kerana SA dan SV adalah tangen). Oleh itu, ΔSOA = ΔSOV mengikut kriteria pertama untuk kesamaan segi tiga. Di manakah SA = SV.

Tugasan serupa:

1. Dalam segitiga arbitrari, lukis garis tengah, memotong segi tiga yang lebih kecil daripadanya. Cari nisbah luas segi tiga yang lebih kecil kepada luas segi tiga yang diberi.

2. Sebuah bulatan diterangkan mengelilingi trapezium, yang pusatnya berada pada tapaknya yang lebih besar. Cari sudut trapezium jika tapaknya yang lebih kecil ialah separuh saiz tapaknya yang lebih besar.

3. Sudut antara pembahagi dua dan ketinggian yang dilukis daripada bucu sudut yang lebih besar bagi segi tiga ialah 12*. Cari sudut segitiga ini jika sudut terbesarnya ialah empat kali sudut terkecilnya.

4. O1 dan O2 ialah pusat dua bulatan yang menyentuh luaran. Garis lurus O1O2 memotong bulatan pertama (dengan pusat di titik O1) di titik A. Cari diameter bulatan kedua jika jejari bulatan pertama ialah 5 cm, dan tangen yang dilukis dari titik A ke bulatan kedua membentuk sudut 30* dengan garis lurus O1O2.

Segmen tangen kepada bulatan yang dilukis dari satu titik adalah sama dan sama sudut yang sama dengan garis lurus yang melalui titik ini dan pusat bulatan. BUKTI. A. 3. B. 4. 1. 2. S. O. Dengan teorem tentang sifat tangen, sudut 1 dan 2 ialah sudut tegak, oleh itu segitiga ABO dan ACO adalah bersudut tegak. Mereka adalah sama, kerana mempunyai OA hipotenus sepunya dan sama kaki OV dan OS. Oleh itu, AB = AC dan sudut 3 = sudut 4, itulah yang perlu dibuktikan.

Slaid 4 daripada pembentangan geometri "Bulatan"..

Saiz arkib dengan pembentangan ialah 316 KB.

Geometri darjah 8 ringkasan

pembentangan lain

"Sifat segiempat" - Trapezium. Dunno membetulkan deuce. Diagonal membahagikan sudut. Definisi segi empat. pepenjuru. Dikte. Segi empat sama ialah segi empat tepat yang sisinya adalah sama. Semua sudut adalah betul. Sudut bertentangan. Unsur-unsur selari. Pembina. Ketupat. Sifat segi empat. parti. Segi empat dan sifatnya. segi empat. Bantu Entah betulkan deuce. pepenjuru. Sisi bertentangan. "Vektor gred ke-8" - Objektif pelajaran. Namakan vektor yang sama dan bertentangan. Tentukan koordinat bagi vektor. Vektor yang sama. Vektor dalam pelajaran fizik. Sambung ayat. Cari dan namakan vektor yang sama dalam rajah ini. Koordinat vektor.. Kerja praktikal Nilai mutlak vektor. Magnitud mutlak vektor. Kerja bebas secara berpasangan. Fenomena alam diterangkan kuantiti fizik

. vektor. Koordinat vektor. “Produk skalar dalam koordinat” - Memanaskan badan Matematik. Penyelesaian segi tiga. Teorem Napoleon. Bahan baru

“Simetri paksi dalam geometri” - Satu rajah dipanggil simetri berkenaan dengan garis lurus a. Rajah dengan dua paksi simetri. Rajah yang mempunyai satu paksi simetri. Membina segitiga simetri kepada data berbanding dengan garis lurus C. Kandungan. Bina titik A" dan B". Definisi. Simetri dalam puisi. Simetri paksi. Lukis dua garis lurus a dan b dan tandakan dua titik A dan B. Bagaimana untuk mendapatkan rajah simetri dengan yang ini. Perkataan yang mempunyai paksi simetri.

Geometri “Simetri paksi dan pusat” - Huraikan rajah. Weil Herman. Simetri dalam dunia tumbuhan. Sains Simetri dalam dunia serangga. Sudut segi tiga. Simetri putaran. Perkadaran. Algoritma pembinaan. Simetri paksi dan pusat. Titik simetri tentang pusat. Simetri titik relatif kepada garis lurus. Ciri-ciri biasa. Apakah yang menarik minat anda terhadap gambar-gambar ini? Titik O. Tengah dan simetri paksi. Simetri rajah itu agak lurus.

""Teorem Thales" gred 8" - Segmen. Kemahiran menyelesaikan masalah. pepenjuru. Analisis. Tugasan pada lukisan yang telah siap. Bukti. Belajar. Garis selari. Thales dikenali sebagai geometer. Thales dari Miletus. Titik tengah sisi. Teorem Thales. Kata-kata Thales. Tugasan. Cari sudut trapezium itu. Buktikan.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permintaan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan pertanyaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.