Kebergantungan tangen pada kosinus. Identiti trigonometri asas, rumusan dan terbitannya

Identiti trigonometri- ini adalah kesamaan yang mewujudkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen satu sudut, yang membolehkan anda mencari mana-mana fungsi ini, dengan syarat mana-mana yang lain diketahui.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Identiti ini mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus satu sudut dan kuasa dua kosinus satu sudut adalah sama dengan satu, yang dalam praktiknya memungkinkan untuk mengira sinus satu sudut apabila kosinusnya diketahui dan sebaliknya. .

Apabila menukar ungkapan trigonometri, identiti ini sangat kerap digunakan, yang membolehkan anda menggantikan jumlah kuasa dua kosinus dan sinus satu sudut dengan satu dan juga melakukan operasi penggantian dalam susunan terbalik.

Mencari tangen dan kotangen menggunakan sinus dan kosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Identiti ini terbentuk daripada definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Lagipun, jika anda melihatnya, maka secara definisi ordinat y ialah sinus, dan absis x ialah kosinus. Kemudian tangen akan sama dengan nisbah \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), dan nisbah \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- akan menjadi kotangen.

Mari kita tambahkan bahawa hanya untuk sudut \alfa yang mana fungsi trigonometri yang disertakan di dalamnya masuk akal, identiti akan dipegang, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Contohnya: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) adalah sah untuk sudut \alfa yang berbeza daripada \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- untuk sudut \alfa selain daripada \pi z, z ialah integer.

Hubungan antara tangen dan kotangen

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Identiti ini hanya sah untuk sudut \alfa yang berbeza daripada \frac(\pi)(2) z. Jika tidak, sama ada kotangen atau tangen tidak akan ditentukan.

Berdasarkan perkara di atas, kami memperolehnya tg \alfa = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Ia berikutan itu tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Oleh itu, tangen dan kotangen bagi sudut yang sama di mana ia masuk akal adalah nombor songsang bersama.

Hubungan antara tangen dan kosinus, kotangen dan sinus

tg^(2) \alfa + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- hasil tambah kuasa dua tangen sudut \alfa dan 1 adalah sama dengan kuasa dua songsang bagi kosinus sudut ini. Identiti ini sah untuk semua \alpha selain \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- hasil tambah 1 dan kuasa dua kotangen sudut \alfa adalah sama dengan kuasa dua songsang sinus sudut yang diberi. Identiti ini sah untuk mana-mana \alpha yang berbeza daripada \pi z.

Contoh penyelesaian kepada masalah menggunakan identiti trigonometri

Contoh 1

Cari \sin \alpha dan tg \alpha jika \cos \alpha=-\frac12 Dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Tunjukkan penyelesaian

Penyelesaian

Fungsi \sin \alpha dan \cos \alpha dikaitkan dengan formula \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Menggantikan ke dalam formula ini \cos \alpha = -\frac12, kita dapat:

\sin^(2)\alfa + \kiri (-\frac12 \kanan)^2 = 1

Persamaan ini mempunyai 2 penyelesaian:

\sin \alfa = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Dengan syarat \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada suku kedua sinus adalah positif, jadi \sin \alfa = \frac(\sqrt 3)(2).

Untuk mencari tan \alpha, kami menggunakan formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Contoh 2

Cari \cos \alpha dan ctg \alpha jika dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Tunjukkan penyelesaian

Penyelesaian

Menggantikan ke dalam formula \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 nombor yang diberi \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kita dapat \kiri (\frac(\sqrt3)(2)\kanan)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Persamaan ini mempunyai dua penyelesaian \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Dengan syarat \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada suku kedua kosinus adalah negatif, jadi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Untuk mencari ctg \alpha , kami menggunakan formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Kami tahu nilai yang sepadan.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Data rujukan untuk tangen (tg x) dan kotangen (ctg x). Definisi geometri, sifat, graf, formula. Jadual tangen dan kotangen, terbitan, kamiran, pengembangan siri. Ungkapan melalui pembolehubah kompleks. Sambungan dengan fungsi hiperbolik.

Definisi geometri

|BD|
- panjang lengkok bulatan dengan pusat di titik A.

α ialah sudut yang dinyatakan dalam radian. Tangen () tan α

ialah fungsi trigonometri bergantung pada sudut α antara hipotenus dan kaki segi tiga tegak, sama dengan nisbah panjang kaki bertentangan |BC| kepada panjang kaki bersebelahan |AB| .) ialah fungsi trigonometri bergantung pada sudut α antara hipotenus dan kaki segi tiga tegak, sama dengan nisbah panjang kaki bersebelahan |AB|

kepada panjang kaki bertentangan |BC| .

Tangen di mana n

- keseluruhan.
.
;
;
.

Dalam kesusasteraan Barat, tangen dilambangkan seperti berikut:

Graf fungsi tangen, y = tan x

Tangen di mana n

Kotangen
.
Dalam kesusasteraan Barat, kotangen ditandakan seperti berikut:
;
;
.

Notasi berikut juga diterima:

Graf fungsi kotangen, y = ctg x

Sifat tangen dan kotangen

Berkala Fungsi y = tg x dan y = ctg x

adalah berkala dengan kala π.

pariti

Fungsi tangen dan kotangen adalah ganjil.

Bidang definisi dan nilai, meningkat, menurun Fungsi tangen dan kotangen adalah berterusan dalam domain takrifnya (lihat. bukti kesinambungan di mana). Sifat utama tangen dan kotangen dibentangkan dalam jadual (

Titik pintasan dengan paksi ordinat, x =

Formula

; ;
; ;
;

Ungkapan menggunakan sinus dan kosinus

Formula untuk tangen dan kotangen daripada jumlah dan perbezaan

Formula selebihnya mudah diperolehi, contohnya

Hasil tangen

Formula untuk jumlah dan perbezaan tangen

Jadual ini membentangkan nilai tangen dan kotangen untuk nilai tertentu hujah.

Ungkapan menggunakan nombor kompleks

;
;

Ungkapan melalui fungsi hiperbolik

; .

.
Derivatif
.
Terbitan urutan ke-n berkenaan dengan pembolehubah x fungsi: ; Menerbitkan formula untuk tangen > > >

untuk kotangen > > >

Kamiran

Pengembangan siri Untuk mendapatkan pengembangan tangen dalam kuasa x, anda perlu mengambil beberapa sebutan pengembangan dalam siri kuasa untuk fungsi Dan dosa x Dan kerana x bahagikan polinomial ini dengan satu sama lain

, .

Ini menghasilkan formula berikut.
Pada . di . di mana
;
;
Bn
- Nombor Bernoulli. Mereka ditentukan sama ada daripada hubungan berulang:

mana .

Atau mengikut formula Laplace: Fungsi songsang Fungsi songsang tangen dan kotangen ialah

arctangent dan arccotangent

, masing-masing. di mana n

Artangen, arctg

, masing-masing. di mana n

, Di mana
Arckotangen, arcctg
Sastera terpakai:

Salah satu bidang matematik yang paling sukar dihadapi oleh pelajar ialah trigonometri. Ia tidak menghairankan: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada memori matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk memperoleh rantai logik yang kompleks.

Asal-usul trigonometri

Membiasakan diri dengan sains ini harus bermula dengan definisi sinus, kosinus dan tangen sudut, tetapi pertama-tama anda perlu memahami apa yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.

Dari segi sejarah, objek utama kajian dalam cabang sains matematik ini ialah segi tiga tepat. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan seseorang menentukan nilai semua parameter rajah yang dipersoalkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Pada masa lalu, orang melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi dan juga dalam seni.

Peringkat permulaan

Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan antara sudut dan sisi secara eksklusif menggunakan contoh segi tiga tepat. Kemudian formula khas ditemui yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam kehidupan seharian cabang matematik ini.

Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga tepat, selepas itu pelajar menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fizik dan menyelesaikan persamaan trigonometri abstrak, yang bermula di sekolah menengah.

Trigonometri sfera

Kemudian, apabila sains mencapai tahap perkembangan seterusnya, formula dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan yang berbeza digunakan, dan jumlah sudut dalam segi tiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui kewujudannya sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan "berbentuk lengkok" dalam ruang tiga dimensi.

Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Sila ambil perhatian - ia telah mengambil bentuk arka. Geometri sfera berurusan dengan bentuk sedemikian, yang digunakan dalam geodesi, astronomi dan bidang teori dan gunaan lain.

Segitiga kanan

Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah sinus, kosinus, tangen, pengiraan apa yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.

Langkah pertama ialah memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Ia adalah yang paling lama. Kita ingat bahawa mengikut teorem Pythagoras, nilai berangkanya adalah sama dengan punca jumlah kuasa dua dua sisi yang lain.

Contohnya, jika kedua-dua sisi masing-masing ialah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi yang tinggal, yang membentuk sudut tegak, dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat segi empat tepat adalah sama dengan 180 darjah.

Definisi

Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang asas geometri, seseorang boleh beralih kepada definisi sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.

Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki bertentangan (iaitu, sisi bertentangan dengan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus.

Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih besar daripada satu! kenapa? Kerana hipotenus secara lalai adalah yang paling panjang Tidak kira berapa panjang kaki itu, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika dalam jawapan anda kepada masalah anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih daripada 1, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas tidak betul.

Akhir sekali, tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Membahagi sinus dengan kosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, kemudian bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat hubungan yang sama seperti dalam definisi tangen.

Cotangent, dengan itu, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi yang bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan satu dengan tangen.

Jadi, kita telah melihat definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kita boleh beralih kepada formula.

Formula paling mudah

Dalam trigonometri anda tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Tetapi inilah yang diperlukan apabila menyelesaikan masalah.

Formula pertama yang anda perlu tahu apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi ia menjimatkan masa jika anda perlu mengetahui saiz sudut dan bukannya sisi.

Ramai pelajar tidak dapat mengingati formula kedua, yang juga sangat popular apabila menyelesaikan masalah sekolah: jumlah satu dan kuasa dua tangen sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut. Lihat lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah menjadikan formula trigonometri tidak dapat dikenali sepenuhnya. Ingat: mengetahui apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan transformasi dan beberapa formula asas, anda boleh pada bila-bila masa memperoleh formula yang lebih kompleks yang diperlukan pada helaian kertas.

Formula untuk sudut berganda dan penambahan hujah

Dua lagi formula yang perlu anda pelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka dibentangkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil darab berpasangan sinus dan kosinus ditambah.

Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan argumen sudut berganda. Mereka sepenuhnya diperolehi daripada yang sebelumnya - sebagai latihan cuba dapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut dua kali boleh disusun semula untuk mengurangkan kuasa sinus, kosinus, alfa tangen.

Teorem

Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan oleh itu luas rajah, dan saiz setiap sisi, dsb.

Teorem sinus menyatakan bahawa dengan membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan sudut bertentangan, kita dapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan sama dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu, bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.

Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada jumlah segi empat sama kedua-dua belah, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut bersebelahan - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.

Kesilapan yang tidak berhati-hati

Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk membuat kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita lihat yang paling popular.

Pertama, anda tidak seharusnya menukar pecahan kepada perpuluhan sehingga anda mendapat keputusan akhir - anda boleh meninggalkan jawapan sebagai pecahan sepunya, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam syarat. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat masalah akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa anda untuk perkara yang tidak perlu operasi matematik. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti punca tiga atau punca dua, kerana ia ditemui dalam masalah pada setiap langkah. Perkara yang sama berlaku untuk membundarkan nombor "hodoh".

Selanjutnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Jika anda tersilap terlupa untuk menolak dua kali hasil darab sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi anda juga akan menunjukkan kekurangan pemahaman sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan yang tidak berhati-hati.

Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus 30 darjah adalah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mengelirukan mereka, akibatnya anda pasti akan mendapat hasil yang salah.

Permohonan

Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula belajar trigonometri kerana mereka tidak memahami maksud praktikalnya. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep yang memungkinkan untuk mengira jarak ke bintang yang jauh, meramalkan kejatuhan meteorit, atau menghantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban pada permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, dari muzik ke perubatan.

Kesimpulannya

Jadi anda sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.

Keseluruhan trigonometri datang kepada fakta bahawa menggunakan parameter segitiga yang diketahui anda perlu mengira yang tidak diketahui. Terdapat enam parameter secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan saiz tiga sudut. Satu-satunya perbezaan dalam tugas ialah data input yang berbeza diberikan.

Bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang yang diketahui kaki atau hipotenus, anda kini tahu. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama Masalah trigonometri menjadi mencari punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematik sekolah biasa akan membantu anda.

Dalam artikel ini kita akan melihat secara menyeluruh. Identiti trigonometri asas ialah kesamaan yang mewujudkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut, dan membolehkan seseorang mencari mana-mana fungsi trigonometri ini melalui sudut lain yang diketahui.

Marilah kita segera menyenaraikan identiti trigonometri utama yang akan kita analisis dalam artikel ini. Mari tuliskannya dalam jadual, dan di bawah kami akan memberikan output formula ini dan memberikan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Hubungan antara sinus dan kosinus satu sudut

Kadang-kadang mereka tidak bercakap tentang identiti trigonometri utama yang disenaraikan dalam jadual di atas, tetapi tentang satu tunggal identiti asas trigonometri baik hati . Penjelasan untuk fakta ini agak mudah: kesamaan diperoleh daripada identiti trigonometri utama selepas membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan dan, masing-masing, dan kesamaan. Dan ikut daripada takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Kami akan membincangkan perkara ini dengan lebih terperinci dalam perenggan berikut.

Iaitu, kesamaan yang menjadi kepentingan khusus, yang diberi nama identiti trigonometri utama.

Sebelum membuktikan identiti trigonometri utama, kami memberikan rumusannya: jumlah kuasa dua sinus dan kosinus satu sudut adalah sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.

Identiti asas trigonometri sangat kerap digunakan apabila menukarkan ungkapan trigonometri. Ia membenarkan jumlah kuasa dua sinus dan kosinus satu sudut digantikan dengan satu. Tidak kurang kerap, identiti trigonometri asas digunakan dalam susunan terbalik: unit digantikan dengan jumlah kuasa dua sinus dan kosinus mana-mana sudut.

Tangen dan kotangen melalui sinus dan kosinus

Identiti yang menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus satu sudut pandangan dan ikut serta-merta daripada takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Sesungguhnya, mengikut takrifan, sinus ialah ordinat bagi y, kosinus ialah absis bagi x, tangen ialah nisbah ordinat kepada absis, iaitu, , dan kotangen ialah nisbah absis kepada ordinat, iaitu, .

Terima kasih kepada kejelasan identiti dan Tangen dan kotangen sering ditakrifkan bukan melalui nisbah absis dan ordinat, tetapi melalui nisbah sinus dan kosinus. Jadi tangen suatu sudut ialah nisbah sinus kepada kosinus sudut ini, dan kotangen ialah nisbah kosinus kepada sinus.

Sebagai kesimpulan perenggan ini, perlu diingatkan bahawa identiti dan berlaku untuk semua sudut di mana unsur-unsur termasuk di dalamnya fungsi trigonometri masuk akal. Jadi formula itu sah untuk sebarang , selain daripada (jika tidak, penyebut akan mempunyai sifar, dan kami tidak mentakrifkan pembahagian dengan sifar), dan formula - untuk semua , berbeza daripada , di mana z ialah sebarang .

Hubungan antara tangen dan kotangen

Identiti trigonometri yang lebih jelas daripada dua sebelumnya ialah identiti yang menghubungkan tangen dan kotangen satu sudut bentuk . Adalah jelas bahawa ia memegang untuk sebarang sudut selain daripada , jika tidak sama ada tangen atau kotangen tidak ditakrifkan.

Bukti formula sangat mudah. Mengikut definisi dan dari mana . Buktinya boleh dilakukan dengan cara yang sedikit berbeza. Sejak , Itu .

Jadi, tangen dan kotangen bagi sudut yang sama di mana ia masuk akal ialah .