Pintu masukFormula untuk n nombor pertama janjang aritmetik ialah formula. Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik
Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)
Urutan nombor
Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:
Urutan nombor
Sebagai contoh, untuk urutan kami:
Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama.
Nombor dengan nombor dipanggil sebutan ke-jujukan.
Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .
Dalam kes kami: 
Katakan kita ada urutan nombor, di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Contohnya: 
dll.
Urutan nombor ini dipanggil janjang aritmetik.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius pada abad ke-6 dan difahami dalam erti kata yang lebih luas sebagai urutan berangka yang tidak terhingga. Nama "aritmetik" dipindahkan dari teori perkadaran berterusan, yang dikaji oleh orang Yunani kuno.
Ini ialah urutan nombor, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan ditetapkan.
Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:
a)
b)
c)
d)
faham? Mari bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
bukan janjang aritmetik - a, d.
Mari kembali ke janjang yang diberikan () dan cuba cari nilai sebutan ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.
1. Kaedah
Kita boleh menambah nombor janjang kepada nilai sebelumnya sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:
Jadi, sebutan ke janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.
2. Kaedah
Bagaimana jika kita perlu mencari nilai sebutan ke-kemajuan itu? Penjumlahan akan mengambil masa lebih daripada satu jam, dan bukan fakta bahawa kita tidak akan membuat kesilapan semasa menambah nombor.
Sudah tentu, ahli matematik telah menghasilkan satu cara yang tidak perlu menambah perbezaan janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya. Perhatikan gambar yang dilukis dengan lebih dekat... Pasti anda sudah perasan corak tertentu iaitu:
Sebagai contoh, mari kita lihat apakah nilai sebutan ke-dalam janjang aritmetik ini terdiri daripada: 
Dengan kata lain:
Cuba cari sendiri nilai ahli janjang aritmetik tertentu dengan cara ini.
Adakah anda mengira? Bandingkan nota anda dengan jawapan:
Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami secara berurutan menambah istilah janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya.
Mari cuba "menyahperibadi" formula ini- mari kita bawa dia ke pandangan umum dan kita dapat:
|
Persamaan janjang aritmetik. |
Janjang aritmetik boleh meningkat atau menurun.
Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Contohnya:
Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Contohnya:
Formula terbitan digunakan dalam pengiraan sebutan dalam kedua-dua sebutan meningkat dan menurun bagi janjang aritmetik.
Mari kita semak ini dalam amalan.
Kami diberi janjang aritmetik yang terdiri daripada nombor berikut: Mari kita semak apakah nombor ke janjang aritmetik ini jika kita menggunakan formula kita untuk mengiranya:
Sejak itu:
Oleh itu, kami yakin bahawa formula beroperasi dalam kedua-dua janjang aritmetik yang menurun dan meningkat.
Cuba cari sendiri sebutan ke dan ke bagi janjang aritmetik ini.
Mari bandingkan hasilnya:
Sifat janjang aritmetik
Mari kita rumitkan masalah - kita akan memperoleh sifat janjang aritmetik.
Katakan kita diberi syarat berikut:
- janjang aritmetik, cari nilai.
Mudah, anda katakan dan mula mengira mengikut formula yang anda sudah tahu:
Mari, ah, kemudian:
benar sekali. Ternyata kita mula-mula mencari, kemudian menambahnya pada nombor pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai kecil, maka tidak ada yang rumit mengenainya, tetapi bagaimana jika kita diberi nombor dalam keadaan? Setuju, terdapat kemungkinan membuat kesilapan dalam pengiraan.
Sekarang fikirkan sama ada mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan sebarang formula? Sudah tentu ya, dan itulah yang akan kami cuba kemukakan sekarang.
Mari kita nyatakan istilah yang diperlukan bagi janjang aritmetik sebagai, formula untuk mencarinya diketahui oleh kita - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:
- istilah janjang sebelumnya ialah:
- istilah janjang seterusnya ialah:
Mari kita rumuskan istilah janjang sebelumnya dan seterusnya:
Ternyata jumlah terma janjang sebelumnya dan seterusnya ialah nilai berganda bagi istilah janjang yang terletak di antara mereka. Dalam erti kata lain, untuk mencari nilai istilah janjang dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, anda perlu menambahnya dan membahagikannya dengan.
Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari selamatkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, ia sama sekali tidak sukar.
Syabas! Anda tahu hampir segala-galanya tentang kemajuan! Tinggal untuk mengetahui hanya satu formula, yang, menurut legenda, mudah disimpulkan sendiri oleh salah seorang ahli matematik terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematik" - Karl Gauss...
Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, seorang guru, sibuk memeriksa kerja pelajar di kelas lain, bertanya masalah berikut di dalam kelas: "Kira jumlah semua nombor asli daripada kepada (mengikut sumber lain sehingga) termasuk.” Bayangkan guru terkejut apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) seminit kemudian memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil, selepas pengiraan yang panjang, menerima keputusan yang salah...
Carl Gauss muda melihat corak tertentu yang anda juga boleh perasan dengan mudah.
Katakan kita mempunyai janjang aritmetik yang terdiri daripada sebutan -th: Kita perlu mencari jumlah sebutan janjang aritmetik ini. Sudah tentu, kita boleh menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas itu memerlukan mencari jumlah istilahnya, seperti yang dicari oleh Gauss?
Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Lihat dengan teliti nombor yang diserlahkan dan cuba lakukan pelbagai operasi matematik dengannya. 
Sudahkah anda mencubanya? Apa yang awak perasan? Betul! Jumlah mereka adalah sama
Sekarang beritahu saya, berapakah jumlah pasangan sebegitu yang terdapat dalam janjang yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua sebutan janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan yang serupa adalah sama, kita memperoleh bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:
Dalam beberapa masalah kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan perkembangannya. Cuba gantikan formula sebutan ke dalam formula jumlah.
Apa yang awak dapat?
Syabas! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor yang bermula dari ke--sama dengan dan jumlah nombor-nombor bermula dari ke-.
Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss mendapati bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu yang anda putuskan?
Malah, formula untuk jumlah istilah janjang aritmetik telah dibuktikan oleh saintis Yunani purba Diophantus pada abad ke-3, dan sepanjang masa ini, orang cerdik menggunakan sepenuhnya sifat janjang aritmetik itu.
Sebagai contoh, bayangkan Mesir Purba dan projek pembinaan terbesar pada masa itu - pembinaan piramid... Gambar menunjukkan sebelahnya. 
Di manakah perkembangan di sini, anda katakan? Lihat dengan teliti dan cari corak dalam bilangan blok pasir dalam setiap baris dinding piramid. 
Mengapa tidak janjang aritmetik? Kira berapa banyak blok yang diperlukan untuk membina satu dinding jika bata blok diletakkan di pangkalan. Saya harap anda tidak akan mengira semasa menggerakkan jari anda merentasi monitor, anda masih ingat formula terakhir dan semua yang kami katakan tentang janjang aritmetik?
Dalam kes ini perkembangan kelihatan seperti seperti berikut: .
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan sebutan suatu janjang aritmetik.
Mari kita gantikan data kita ke dalam formula terakhir (kira bilangan blok dalam 2 cara).
Kaedah 1.
Kaedah 2.
Dan kini anda boleh mengira pada monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan bilangan blok yang ada dalam piramid kami. faham? Syabas, anda telah menguasai jumlah sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.
Sudah tentu, anda tidak boleh membina piramid dari blok di pangkalan, tetapi dari? Cuba kira berapa banyak bata pasir yang diperlukan untuk membina dinding dengan keadaan ini.
Adakah anda berjaya?
Jawapan yang betul ialah blok:
Latihan
Tugasan:
- Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan melakukan squats dalam seminggu jika dia melakukan squats pada sesi latihan pertama?
- Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
- Apabila menyimpan log, pembalak menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak?
Jawapan:
- Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
(minggu = hari).Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu melakukan squat sekali sehari.
- Nombor ganjil pertama, nombor terakhir.
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan nombor ganjil dalam ialah separuh, bagaimanapun, mari kita semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari sebutan ke satu janjang aritmetik:Nombor memang mengandungi nombor ganjil.
Mari kita gantikan data yang tersedia ke dalam formula:Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama.
- Mari kita ingat masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, maka secara keseluruhan terdapat sekumpulan lapisan, iaitu.
Mari kita gantikan data ke dalam formula:Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.
Mari kita ringkaskan
- - urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia boleh meningkat atau menurun.
- Mencari formula Sebutan ke-1 suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
- Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di manakah bilangan nombor dalam kemajuan.
- Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:
, di manakah bilangan nilai.
PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH
Urutan nombor
Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka. Tetapi kita sentiasa boleh mengatakan yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor.
Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satu daripadanya boleh diberikan nombor unik.
Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan nombor unik. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.
Nombor dengan nombor dipanggil ahli ke-jujukan.
Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .
Ia adalah sangat mudah jika sebutan ke-jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula
menetapkan urutan:
Dan formulanya ialah urutan berikut:
Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya ialah). Atau (, perbezaan).
formula penggal ke-n
Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah ke, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:
Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang menggunakan formula ini, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:
Nah, adakah ia jelas sekarang apakah formulanya?
Dalam setiap baris yang kita tambah, didarab dengan beberapa nombor. yang mana satu? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:
Jauh lebih mudah sekarang, bukan? Kami menyemak:
Tentukan sendiri:
Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.
Penyelesaian:
Sebutan pertama adalah sama. Apa bezanya? Inilah yang:
(Inilah sebabnya ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan sebutan berturut-turut janjang).
Jadi, formulanya:
Maka sebutan keseratus adalah sama dengan:
Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?
Menurut legenda, ahli matematik hebat Carl Gauss, sebagai budak lelaki berusia 9 tahun, mengira jumlah ini dalam beberapa minit. Dia perasan bahawa jumlah nombor pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua terakhir adalah sama, jumlah ketiga dan ke-3 dari hujung adalah sama, dan seterusnya. Berapakah jumlah pasangan sedemikian? Betul, tepat separuh daripada bilangan semua nombor, iaitu. Jadi,
Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:
Contoh:
Cari jumlah semua nombor dua digit, gandaan.
Penyelesaian:
Nombor yang pertama ialah ini. Setiap nombor berikutnya diperoleh dengan menambah nombor sebelumnya. Oleh itu, nombor yang kita minati membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama dan perbezaannya.
Formula istilah ke-1 untuk janjang ini:
Berapakah bilangan yang terdapat dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?
Sangat mudah: .
Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:
Jawapan: .
Sekarang tentukan sendiri:
- Setiap hari atlet berlari lebih meter daripada hari sebelumnya. Berapakah jumlah kilometer yang dia akan larian dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
- Seorang penunggang basikal menempuh lebih banyak kilometer setiap hari berbanding hari sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu menempuh perjalanan sejauh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
- Harga peti sejuk di kedai menurun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.
Jawapan:
- Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
.
Jawapan: - Di sini diberikan: , mesti dijumpai.
Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam masalah sebelumnya:
.
Gantikan nilai:Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya adalah.
Mari kita mengira laluan yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula istilah ke-:
(km).
Jawapan: - Diberi: . Cari: .
Ia tidak boleh menjadi lebih mudah:
(gosok).
Jawapan:
PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Ini ialah urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Janjang aritmetik boleh meningkat () dan menurun ().
Contohnya:
Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik
ditulis oleh formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.
Harta ahli sesuatu janjang aritmetik
Ia membolehkan anda mencari istilah janjang dengan mudah jika istilah jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.
Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik
Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:
Di manakah bilangan nilai.
Di manakah bilangan nilai.
Jumlah janjang aritmetik.
Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari asas kepada agak kukuh.
Pertama, mari kita fahami maksud dan formula jumlahnya. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah itu semudah moo. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua istilahnya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula datang untuk menyelamatkan.
Formula untuk jumlahnya adalah mudah:
Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan membersihkan banyak perkara.
S n - jumlah janjang aritmetik. Hasil penambahan semua orang ahli, dengan pertama Oleh terakhir. Ini penting. Mereka menambah tepat Semua ahli berturut-turut, tanpa ponteng atau ponteng. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan kelima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)
a 1 - pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.
a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir siri ini. Nama yang tidak begitu biasa, tetapi apabila digunakan pada jumlah itu, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.
n - nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan istilah tambahan.
Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Soalan rumit: ahli mana yang akan yang terakhir jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?)
Untuk menjawab dengan yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan... baca tugasan dengan teliti!)
Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah muktamad, tertentu langsung tidak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira sama ada perkembangan diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: satu siri nombor, atau formula untuk sebutan ke-n.
Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya... Tetapi tidak mengapa, dalam contoh di bawah kami mendedahkan rahsia ini.)
Contoh tugasan pada jumlah janjang aritmetik.
pertama sekali, maklumat yang berguna:
Kesukaran utama dalam tugasan yang melibatkan jumlah janjang aritmetik terletak pada penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.
Penulis tugas menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terbatas.) Perkara utama di sini ialah jangan takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup untuk menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.
1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertamanya.
Kerja bagus. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menggunakan formula, apakah yang perlu kita ketahui? Ahli pertama a 1, penggal lepas a n, ya nombor ahli terakhir n.
Di mana saya boleh mendapatkan nombor ahli terakhir? n? Ya, di sana, dengan syarat! Ia berkata: cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, nombor apa yang akan ada? terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n Kami akan menggantikan ke dalam formula a 10, dan sebaliknya n- sepuluh. Saya ulangi, bilangan ahli terakhir bertepatan dengan bilangan ahli.
Ia kekal untuk menentukan a 1 Dan a 10. Ini mudah dikira menggunakan formula untuk sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak mungkin.
a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
a 10=2·10 - 3.5 =16.5
S n = S 10.
Kami telah mengetahui maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Yang tinggal hanyalah menggantikannya dan mengira:
Itu sahaja. Jawapan: 75.
Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:
2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 =2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertamanya.
Kami segera menulis formula jumlah:
Formula ini membolehkan kita mencari nilai sebarang istilah dengan nombornya. Kami mencari penggantian mudah:
a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
Ia kekal untuk menggantikan semua elemen ke dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:
Jawapan: 423.
By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n Kami hanya menggantikan formula untuk sebutan ke-n dan dapatkan:
Mari kita bentangkan yang serupa dan dapatkan formula baharu bagi jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik:
 |
Seperti yang anda lihat, ia tidak diperlukan di sini penggal ke- a n. Dalam sesetengah masalah formula ini banyak membantu, ya... Anda boleh ingat formula ini. Atau anda boleh memaparkannya pada masa yang betul, seperti di sini. Lagipun, anda perlu sentiasa ingat formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n.)
Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):
3. Cari hasil tambah semua nombor dua digit positif yang merupakan gandaan tiga.
Wah! Baik ahli pertama anda, mahupun terakhir anda, mahupun kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?
Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan mengeluarkan semua unsur jumlah janjang aritmetik daripada keadaan. Kita tahu apa itu nombor dua digit. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit pertama? 10, mungkin.) A terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya...
Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika anda menambah 2 atau 4 pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi boleh dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik: d = 3. Ia akan berguna!)
Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:
Apakah nombor itu? n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut... Nombor sentiasa berturut-turut, tetapi ahli kami melompat melebihi tiga. Mereka tidak sepadan.
Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh menuliskan janjang, keseluruhan siri nombor, dan mengira bilangan ahli dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang berfikir. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika kita menggunakan formula untuk masalah kita, kita dapati bahawa 99 ialah sebutan ketiga puluh bagi janjang itu. Itu. n = 30.
Mari kita lihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:
Kami melihat dan bergembira.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan dari penyata masalah untuk mengira jumlahnya:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Yang tinggal hanyalah aritmetik asas. Kami menggantikan nombor ke dalam formula dan mengira:
Jawapan: 1665
Satu lagi jenis teka-teki popular:
4. Diberi janjang aritmetik:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Cari hasil tambah sebutan dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.
Kami melihat formula untuk jumlah dan... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlah dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.
Anda boleh, sudah tentu, menulis keseluruhan perkembangan dalam satu siri, dan menambah istilah dari 20 hingga 34. Tetapi... entah bagaimana ia bodoh dan mengambil masa yang lama, bukan?)
Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari bahagikan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan menjadi dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dari dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya dengan jumlah syarat bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Daripada ini kita dapat melihat bahawa mencari jumlah S 20-34 boleh dilakukan dengan penolakan mudah
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. formula jumlah standard agak terpakai kepada mereka. Jom mulakan?
Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada penyataan masalah:
d = 1.5.
a 1= -21,5.
Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengira mereka menggunakan formula untuk sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:
a 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
a 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
Tiada apa yang tinggal. Daripada jumlah 34 sebutan, tolak jumlah 19 sebutan:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
Jawapan: 262.5
Satu nota penting! Terdapat helah yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira sesuatu yang nampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil yang lengkap. "Tipuan dengan telinga anda" semacam ini sering menyelamatkan anda dalam masalah jahat.)
Dalam pelajaran ini, kita melihat masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)
Apabila menyelesaikan sebarang masalah yang melibatkan jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.
Formula untuk penggal ke-n:
Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari dan ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.
Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.
5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.
Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.
6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah 24 sebutan pertamanya.
Luar biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, masalah seperti itu sering dijumpai di Akademi Sains Negeri.
7. Vasya menyimpan wang untuk percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang kegemaran saya (diri saya) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Belanja 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih daripada yang sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?
Sukar?) Formula tambahan daripada masalah 2 akan membantu.
Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Kalkulator dalam talian.
Menyelesaikan janjang aritmetik.
Diberi: a n , d, n
Cari: a 1
Atur cara matematik ini mencari \(a_1\) janjang aritmetik berdasarkan nombor yang ditentukan pengguna \(a_n, d\) dan \(n\).
Nombor \(a_n\) dan \(d\) boleh ditentukan bukan sahaja sebagai integer, tetapi juga sebagai pecahan. Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan dalam bentuk pecahan perpuluhan (\(2.5\)) dan dalam bentuk pecahan sepunya(\(-5\frac(2)(7)\)).
Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses mencari penyelesaian.
Kalkulator dalam talian ini boleh berguna untuk pelajar sekolah menengah di sekolah menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah
dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci. Dengan cara ini anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan anda sendiri. adik-adik lelaki
atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.
Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan nombor, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.
Peraturan untuk memasukkan nombor
Nombor \(a_n\) dan \(d\) boleh ditentukan bukan sahaja sebagai integer, tetapi juga sebagai pecahan.
Nombor \(n\) hanya boleh menjadi integer positif.
Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Bahagian integer dan pecahan dalam pecahan perpuluhan boleh dipisahkan sama ada dengan noktah atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh memasukkan pecahan perpuluhan seperti 2.5 atau seperti 2.5
Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.
Penyebut tidak boleh negatif. Apabila masuk pecahan berangka /
Pengangka dipisahkan dari penyebut dengan tanda bahagi:
Input:
Keputusan: \(-\frac(2)(3)\) Seluruh bahagian &
Pengangka dipisahkan dari penyebut dengan tanda bahagi:
dipisahkan daripada pecahan dengan ampersand:
Cari 1
Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.
Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...
jika anda perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.
Permainan, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Urutan nombor
Dalam amalan harian, penomboran pelbagai objek sering digunakan untuk menunjukkan susunan di mana ia disusun. Sebagai contoh, rumah di setiap jalan bernombor. Di perpustakaan, langganan pembaca dinomborkan dan kemudian disusun mengikut susunan nombor yang ditetapkan dalam fail kad khas.
Di bank simpanan mengikut nombor akaun peribadi Pendeposit boleh mencari akaun ini dengan mudah dan melihat deposit yang ada padanya. Biarkan akaun No. 1 mengandungi deposit a1 rubel, akaun No. 2 mengandungi deposit a2 rubel, dll. Ternyata urutan nombor
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
di mana N ialah nombor semua akaun. Di sini, setiap nombor asli n dari 1 hingga N dikaitkan dengan nombor a n.
Juga belajar dalam matematik urutan nombor tak terhingga:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Nombor a 1 dipanggil sebutan pertama bagi urutan itu, nombor a 2 - sebutan kedua bagi urutan itu, nombor a 3 - sebutan ketiga bagi urutan itu dll.
Nombor a n dipanggil ahli ke- (nth) bagi jujukan, dan nombor asli n ialahnya nombor.
Contohnya, dalam jujukan petak nombor asli 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dan 1 = 1 ialah sebutan pertama bagi jujukan; dan n = n 2 ialah penggal ke- urutan; a n+1 = (n + 1) 2 ialah sebutan (n + 1)th (n tambah pertama) bagi jujukan. Selalunya urutan boleh ditentukan oleh formula sebutan ke-nnya. Sebagai contoh, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) mentakrifkan jujukan \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Janjang aritmetik
Panjang tahun adalah kira-kira 365 hari. Lagi nilai yang tepat adalah sama dengan \(365\frac(1)(4)\) hari, jadi setiap empat tahun ralat satu hari terkumpul.
Untuk mengambil kira ralat ini, satu hari ditambahkan pada setiap tahun keempat, dan tahun lanjutan dipanggil tahun lompat.
Sebagai contoh, pada alaf ketiga tahun lompat ialah tahun 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Dalam urutan ini, setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor 4 yang sama. Urutan sedemikian dipanggil janjang aritmetik.
Definisi.
Urutan nombor a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... dipanggil janjang aritmetik, jika untuk semua semula jadi n kesamarataan
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
di mana d ialah beberapa nombor.
Daripada formula ini ia mengikuti bahawa a n+1 - a n = d. Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.
Mengikut takrifan janjang aritmetik kita mempunyai:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
di mana
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), di mana \(n>1 \)
Oleh itu, setiap sebutan janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik bagi dua sebutan yang bersebelahan. Ini menerangkan nama janjang "aritmetik".
Ambil perhatian bahawa jika a 1 dan d diberikan, maka baki sebutan janjang aritmetik boleh dikira menggunakan formula berulang a n+1 = a n + d. Dengan cara ini, tidak sukar untuk mengira beberapa sebutan pertama janjang, bagaimanapun, sebagai contoh, 100 sudah memerlukan banyak pengiraan. Biasanya, formula istilah ke-n digunakan untuk ini. Mengikut takrifan janjang aritmetik
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
dll.
sama sekali,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kerana sebutan ke-n suatu janjang aritmetik diperoleh daripada sebutan pertama dengan menambah (n-1) kali nombor d.
Formula ini dipanggil formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.
Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik
Cari hasil tambah semua nombor asli dari 1 hingga 100.
Mari tulis jumlah ini dalam dua cara:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Mari tambah istilah kesamaan ini mengikut istilah:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Jumlah ini mempunyai 100 istilah
Oleh itu, 2S = 101 * 100, maka S = 101 * 50 = 5050.
Sekarang mari kita pertimbangkan janjang aritmetik sewenang-wenangnya
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Biarkan S n ialah hasil tambah n sebutan pertama janjang ini:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Kemudian hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik adalah sama dengan
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Oleh kerana \(a_n=a_1+(n-1)d\), kemudian menggantikan a n dalam formula ini kita mendapat formula lain untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Konsep urutan nombor membayangkan bahawa setiap nombor asli sepadan dengan beberapa nilai sebenar. Siri nombor sedemikian boleh sama ada sewenang-wenangnya atau mempunyai sifat tertentu - janjang. Dalam kes kedua, setiap elemen (ahli) seterusnya bagi jujukan boleh dikira menggunakan yang sebelumnya.
Janjang aritmetik - urutan nilai berangka, di mana ahli jirannya berbeza antara satu sama lain oleh nombor yang sama(semua elemen siri, bermula dari ke-2, mempunyai sifat yang serupa). Nombor ini - perbezaan antara sebutan sebelumnya dan seterusnya - adalah malar dan dipanggil perbezaan janjang.
Perbezaan kemajuan: definisi
Pertimbangkan jujukan yang terdiri daripada nilai j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j tergolong dalam set nombor asli N. Suatu aritmetik janjang, mengikut takrifnya, ialah urutan , di mana a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Nilai d ialah perbezaan yang dikehendaki bagi janjang ini.
d = a(j) – a(j-1).
Serlahkan:
- Kemajuan yang semakin meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Mengurangkan perkembangan, kemudian d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Perkembangan perbezaan dan unsur arbitrarinya
Jika 2 sebutan arbitrari bagi janjang itu diketahui (i-th, k-th), maka perbezaan untuk urutan tertentu boleh ditentukan berdasarkan hubungan:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, yang bermaksud d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Perbezaan janjang dan sebutan pertamanya
Ungkapan ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kes di mana bilangan unsur jujukan diketahui.
Perbezaan kemajuan dan jumlahnya
Jumlah bagi sesuatu janjang ialah hasil tambah sebutannya. Untuk mengira jumlah nilai unsur j pertamanya, gunakan formula yang sesuai:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi sejak a(j) = a(1) + d(j – 1), kemudian S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Tahap kemasukan
Janjang aritmetik. Teori terperinci dengan contoh (2019)
Urutan nombor
Jadi, mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka (dalam kes kami, ada mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita sentiasa boleh menyebut yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya sehingga yang terakhir, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor:
Urutan nombor
Sebagai contoh, untuk urutan kami:
Nombor yang diberikan adalah khusus untuk hanya satu nombor dalam urutan. Dalam erti kata lain, tiada tiga nombor saat dalam urutan itu. Nombor kedua (seperti nombor ke) sentiasa sama.
Nombor dengan nombor dipanggil sebutan ke-jujukan.
Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .
Dalam kes kami:
Katakan kita mempunyai urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Contohnya:
dll.
Urutan nombor ini dipanggil janjang aritmetik.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh pengarang Rom Boethius pada abad ke-6 dan difahami dalam erti kata yang lebih luas sebagai urutan berangka yang tidak terhingga. Nama "aritmetik" dipindahkan dari teori perkadaran berterusan, yang dikaji oleh orang Yunani kuno.
Ini ialah urutan nombor, setiap ahlinya adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor ini dipanggil perbezaan janjang aritmetik dan ditetapkan.
Cuba tentukan urutan nombor yang merupakan janjang aritmetik dan yang bukan:
a)
b)
c)
d)
faham? Mari bandingkan jawapan kami:
Adakah janjang aritmetik - b, c.
bukan janjang aritmetik - a, d.
Mari kembali ke janjang yang diberikan () dan cuba cari nilai sebutan ke-nya. wujud dua cara untuk mencarinya.
1. Kaedah
Kita boleh menambah nombor janjang kepada nilai sebelumnya sehingga kita mencapai sebutan ke-janjang itu. Ada baiknya kita tidak mempunyai banyak perkara untuk diringkaskan - hanya tiga nilai:
Jadi, sebutan ke janjang aritmetik yang diterangkan adalah sama dengan.
2. Kaedah
Bagaimana jika kita perlu mencari nilai sebutan ke-kemajuan itu? Penjumlahan akan mengambil masa lebih daripada satu jam, dan bukan fakta bahawa kita tidak akan membuat kesilapan semasa menambah nombor.
Sudah tentu, ahli matematik telah menghasilkan satu cara yang tidak perlu menambah perbezaan janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya. Perhatikan gambar yang dilukis dengan lebih dekat... Pasti anda sudah perasan corak tertentu iaitu:
Sebagai contoh, mari kita lihat apakah nilai sebutan ke-dalam janjang aritmetik ini terdiri daripada:
Dengan kata lain:
Cuba cari sendiri nilai ahli janjang aritmetik tertentu dengan cara ini.
Adakah anda mengira? Bandingkan nota anda dengan jawapan:
Sila ambil perhatian bahawa anda mendapat nombor yang sama seperti dalam kaedah sebelumnya, apabila kami secara berurutan menambah istilah janjang aritmetik kepada nilai sebelumnya.
Mari cuba "menyahpersonalisasi" formula ini - mari letakkannya dalam bentuk umum dan dapatkan:
|
Persamaan janjang aritmetik. |
Janjang aritmetik boleh meningkat atau menurun.
Bertambah- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya.
Contohnya:
Menurun- janjang di mana setiap nilai terma berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.
Contohnya:
Formula terbitan digunakan dalam pengiraan sebutan dalam kedua-dua sebutan meningkat dan menurun bagi janjang aritmetik.
Mari kita semak ini dalam amalan.
Kami diberi janjang aritmetik yang terdiri daripada nombor berikut: Mari kita semak apakah nombor ke janjang aritmetik ini jika kita menggunakan formula kita untuk mengiranya:
Sejak itu:
Oleh itu, kami yakin bahawa formula beroperasi dalam kedua-dua janjang aritmetik yang menurun dan meningkat.
Cuba cari sendiri sebutan ke dan ke bagi janjang aritmetik ini.
Mari bandingkan hasilnya:
Sifat janjang aritmetik
Mari kita rumitkan masalah - kita akan memperoleh sifat janjang aritmetik.
Katakan kita diberi syarat berikut:
- janjang aritmetik, cari nilai.
Mudah, anda katakan dan mula mengira mengikut formula yang anda sudah tahu:
Mari, ah, kemudian:
benar sekali. Ternyata kita mula-mula mencari, kemudian menambahnya pada nombor pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai kecil, maka tidak ada yang rumit mengenainya, tetapi bagaimana jika kita diberi nombor dalam keadaan? Setuju, terdapat kemungkinan membuat kesilapan dalam pengiraan.
Sekarang fikirkan sama ada mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan sebarang formula? Sudah tentu ya, dan itulah yang akan kami cuba kemukakan sekarang.
Mari kita nyatakan istilah yang diperlukan bagi janjang aritmetik sebagai, formula untuk mencarinya diketahui oleh kita - ini adalah formula yang sama yang kita perolehi pada mulanya:
, Kemudian:
- istilah janjang sebelumnya ialah:
- istilah janjang seterusnya ialah:
Mari kita rumuskan istilah janjang sebelumnya dan seterusnya:
Ternyata jumlah terma janjang sebelumnya dan seterusnya ialah nilai berganda bagi istilah janjang yang terletak di antara mereka. Dalam erti kata lain, untuk mencari nilai istilah janjang dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, anda perlu menambahnya dan membahagikannya dengan.
Betul, kami mendapat nombor yang sama. Mari selamatkan bahan. Kira nilai untuk kemajuan itu sendiri, ia sama sekali tidak sukar.
Syabas! Anda tahu hampir segala-galanya tentang kemajuan! Tinggal untuk mengetahui hanya satu formula, yang, menurut legenda, mudah disimpulkan sendiri oleh salah seorang ahli matematik terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematik" - Karl Gauss...
Apabila Carl Gauss berumur 9 tahun, seorang guru, sibuk memeriksa kerja pelajar di kelas lain, bertanya tugas berikut di dalam kelas: "Kira jumlah semua nombor asli dari hingga (mengikut sumber lain hingga) termasuk." Bayangkan guru terkejut apabila salah seorang pelajarnya (ialah Karl Gauss) seminit kemudian memberikan jawapan yang betul untuk tugas itu, manakala kebanyakan rakan sekelas daredevil, selepas pengiraan yang panjang, menerima keputusan yang salah...
Carl Gauss muda melihat corak tertentu yang anda juga boleh perasan dengan mudah.
Katakan kita mempunyai janjang aritmetik yang terdiri daripada sebutan -th: Kita perlu mencari jumlah sebutan janjang aritmetik ini. Sudah tentu, kita boleh menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas itu memerlukan mencari jumlah istilahnya, seperti yang dicari oleh Gauss?
Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Lihat dengan teliti nombor yang diserlahkan dan cuba lakukan pelbagai operasi matematik dengannya.
Sudahkah anda mencubanya? Apa yang awak perasan? Betul! Jumlah mereka adalah sama
Sekarang beritahu saya, berapakah jumlah pasangan sebegitu yang terdapat dalam janjang yang diberikan kepada kita? Sudah tentu, tepat separuh daripada semua nombor, iaitu.
Berdasarkan fakta bahawa jumlah dua sebutan janjang aritmetik adalah sama, dan pasangan yang serupa adalah sama, kita memperoleh bahawa jumlah keseluruhan adalah sama dengan:
.
Oleh itu, formula untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:
Dalam beberapa masalah kita tidak tahu istilah ke-, tetapi kita tahu perbezaan perkembangannya. Cuba gantikan formula sebutan ke dalam formula jumlah.
Apa yang awak dapat?
Syabas! Sekarang mari kita kembali kepada masalah yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri apakah jumlah nombor yang bermula dari ke--sama dengan dan jumlah nombor-nombor bermula dari ke-.
Berapa banyak yang anda dapat?
Gauss mendapati bahawa jumlah istilah adalah sama, dan jumlah istilah. Adakah itu yang anda putuskan?
Malah, formula untuk jumlah istilah janjang aritmetik telah dibuktikan oleh saintis Yunani purba Diophantus pada abad ke-3, dan sepanjang masa ini, orang cerdik menggunakan sepenuhnya sifat janjang aritmetik itu.
Sebagai contoh, bayangkan Mesir Purba dan projek pembinaan terbesar pada masa itu - pembinaan piramid... Gambar menunjukkan sebelahnya.
Di manakah perkembangan di sini, anda katakan? Lihat dengan teliti dan cari corak dalam bilangan blok pasir dalam setiap baris dinding piramid.
Mengapa tidak janjang aritmetik? Kira berapa banyak blok yang diperlukan untuk membina satu dinding jika bata blok diletakkan di pangkalan. Saya harap anda tidak akan mengira semasa menggerakkan jari anda merentasi monitor, anda masih ingat formula terakhir dan semua yang kami katakan tentang janjang aritmetik?
Dalam kes ini, perkembangan kelihatan seperti ini: .
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan sebutan suatu janjang aritmetik.
Mari kita gantikan data kita ke dalam formula terakhir (kira bilangan blok dalam 2 cara).
Kaedah 1.
Kaedah 2.
Dan kini anda boleh mengira pada monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan bilangan blok yang ada dalam piramid kami. faham? Syabas, anda telah menguasai jumlah sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.
Sudah tentu, anda tidak boleh membina piramid dari blok di pangkalan, tetapi dari? Cuba kira berapa banyak bata pasir yang diperlukan untuk membina dinding dengan keadaan ini.
Adakah anda berjaya?
Jawapan yang betul ialah blok:
Latihan
Tugasan:
- Masha semakin sihat untuk musim panas. Setiap hari dia menambah bilangan cangkung. Berapa kali Masha akan melakukan squats dalam seminggu jika dia melakukan squats pada sesi latihan pertama?
- Apakah hasil tambah semua nombor ganjil yang terkandung dalam.
- Apabila menyimpan log, pembalak menyusunnya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya. Berapa banyak kayu balak dalam satu batu, jika asas batu itu ialah kayu balak?
Jawapan:
- Mari kita tentukan parameter janjang aritmetik. Dalam kes ini
(minggu = hari).Jawapan: Dalam dua minggu, Masha perlu melakukan squat sekali sehari.
- Nombor ganjil pertama, nombor terakhir.
Perbezaan janjang aritmetik.
Bilangan nombor ganjil dalam ialah separuh, bagaimanapun, mari kita semak fakta ini menggunakan formula untuk mencari sebutan ke satu janjang aritmetik:Nombor memang mengandungi nombor ganjil.
Mari kita gantikan data yang tersedia ke dalam formula:Jawapan: Jumlah semua nombor ganjil yang terkandung dalam adalah sama.
- Mari kita ingat masalah tentang piramid. Untuk kes kami, a , kerana setiap lapisan atas dikurangkan dengan satu log, maka secara keseluruhan terdapat sekumpulan lapisan, iaitu.
Mari kita gantikan data ke dalam formula:Jawapan: Terdapat kayu balak di dalam batu.
Mari kita ringkaskan
- - urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama. Ia boleh meningkat atau menurun.
- Mencari formula Sebutan ke-1 suatu janjang aritmetik ditulis dengan formula - , di mana ialah bilangan nombor dalam janjang itu.
- Harta ahli sesuatu janjang aritmetik- - di manakah bilangan nombor dalam kemajuan.
- Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati dalam dua cara:
, di manakah bilangan nilai.
PERKEMBANGAN AITMETIK. PERINGKAT TENGAH
Urutan nombor
Mari duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:
Anda boleh menulis sebarang nombor, dan boleh ada seberapa banyak nombor yang anda suka. Tetapi kita sentiasa boleh mengatakan yang mana satu pertama, yang mana satu kedua, dan seterusnya, iaitu, kita boleh menomborkannya. Ini adalah contoh urutan nombor.
Urutan nombor ialah satu set nombor, setiap satu daripadanya boleh diberikan nombor unik.
Dalam erti kata lain, setiap nombor boleh dikaitkan dengan nombor asli tertentu, dan nombor unik. Dan kami tidak akan memberikan nombor ini kepada mana-mana nombor lain daripada set ini.
Nombor dengan nombor dipanggil ahli ke-jujukan.
Kami biasanya memanggil keseluruhan jujukan dengan beberapa huruf (contohnya,), dan setiap ahli jujukan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nombor ahli ini: .
Ia adalah sangat mudah jika sebutan ke-jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula
menetapkan urutan:
Dan formulanya ialah urutan berikut:
Sebagai contoh, janjang aritmetik ialah jujukan (istilah pertama di sini adalah sama, dan perbezaannya ialah). Atau (, perbezaan).
formula penggal ke-n
Kami memanggil formula berulang di mana, untuk mengetahui istilah ke, anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:
Untuk mencari, sebagai contoh, sebutan ke-janjang menggunakan formula ini, kita perlu mengira sembilan sebelumnya. Sebagai contoh, biarkan. Kemudian:
Nah, adakah ia jelas sekarang apakah formulanya?
Dalam setiap baris yang kita tambah, didarab dengan beberapa nombor. yang mana satu? Sangat mudah: ini ialah bilangan ahli semasa tolak:
Jauh lebih mudah sekarang, bukan? Kami menyemak:
Tentukan sendiri:
Dalam janjang aritmetik, cari formula bagi sebutan ke-n dan cari sebutan keseratus.
Penyelesaian:
Sebutan pertama adalah sama. Apa bezanya? Inilah yang:
(Inilah sebabnya ia dipanggil perbezaan kerana ia sama dengan perbezaan sebutan berturut-turut janjang).
Jadi, formulanya:
Maka sebutan keseratus adalah sama dengan:
Apakah hasil tambah semua nombor asli dari hingga?
Menurut legenda, ahli matematik hebat Carl Gauss, sebagai budak lelaki berusia 9 tahun, mengira jumlah ini dalam beberapa minit. Dia perasan bahawa jumlah nombor pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua terakhir adalah sama, jumlah ketiga dan ke-3 dari hujung adalah sama, dan seterusnya. Berapakah jumlah pasangan sedemikian? Betul, tepat separuh daripada bilangan semua nombor, iaitu. Jadi,
Formula umum untuk jumlah sebutan pertama mana-mana janjang aritmetik ialah:
Contoh:
Cari hasil tambah semua gandaan dua digit.
Penyelesaian:
Nombor yang pertama ialah ini. Setiap nombor berikutnya diperoleh dengan menambah nombor sebelumnya. Oleh itu, nombor yang kita minati membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama dan perbezaannya.
Formula istilah ke-1 untuk janjang ini:
Berapakah bilangan yang terdapat dalam janjang jika kesemuanya mestilah dua digit?
Sangat mudah: .
Penggal terakhir janjang adalah sama. Kemudian jumlahnya:
Jawapan: .
Sekarang tentukan sendiri:
- Setiap hari atlet berlari lebih meter daripada hari sebelumnya. Berapakah jumlah kilometer yang dia akan larian dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
- Seorang penunggang basikal menempuh lebih banyak kilometer setiap hari berbanding hari sebelumnya. Pada hari pertama dia mengembara km. Berapa hari dia perlu menempuh perjalanan sejauh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
- Harga peti sejuk di kedai menurun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa banyak harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, enam tahun kemudian ia dijual untuk rubel.
Jawapan:
- Perkara yang paling penting di sini ialah mengenali janjang aritmetik dan menentukan parameternya. Dalam kes ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah sebutan pertama janjang ini:
.
Jawapan: - Di sini diberikan: , mesti dijumpai.
Jelas sekali, anda perlu menggunakan formula jumlah yang sama seperti dalam masalah sebelumnya:
.
Gantikan nilai:Akarnya jelas tidak sesuai, jadi jawapannya adalah.
Mari kita mengira laluan yang dilalui pada hari terakhir menggunakan formula istilah ke-:
(km).
Jawapan: - Diberi: . Cari: .
Ia tidak boleh menjadi lebih mudah:
(gosok).
Jawapan:
PERKEMBANGAN AITMETIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Ini ialah urutan nombor di mana perbezaan antara nombor bersebelahan adalah sama dan sama.
Janjang aritmetik boleh meningkat () dan menurun ().
Contohnya:
Formula untuk mencari sebutan ke-n suatu janjang aritmetik
ditulis oleh formula, di mana bilangan nombor dalam janjang.
Harta ahli sesuatu janjang aritmetik
Ia membolehkan anda mencari istilah janjang dengan mudah jika istilah jirannya diketahui - di manakah bilangan nombor dalam janjang itu.
Jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik
Terdapat dua cara untuk mencari jumlah:
Di manakah bilangan nilai.
Di manakah bilangan nilai.