Y x4 3 x derivata. Calcolatore in linea

L'operazione per trovare la derivata si chiama differenziazione.

Come risultato della risoluzione dei problemi di ricerca delle derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come limite del rapporto tra l'incremento e l'incremento dell'argomento, è apparsa una tabella delle derivate e regole di differenziazione definite con precisione . I primi a lavorare nel campo della ricerca dei derivati ​​furono Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Pertanto, ai nostri giorni, per trovare la derivata di qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il limite sopra menzionato del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma è sufficiente utilizzare la tabella di Derivati ​​e regole di differenziazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.

Per trovare la derivata, hai bisogno di un'espressione sotto il segno primo scomporre le funzioni semplici in componenti e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Successivamente, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono fornite dopo i primi due esempi.

Esempio 1. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate di funzioni, cioè

Dalla tabella delle derivate scopriamo che la derivata di "x" è uguale a uno e la derivata del seno è uguale a coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 2. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Differenziamo come derivata di una somma in cui il secondo termine ha un fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:

Se sorgono ancora domande sulla provenienza di qualcosa, di solito vengono chiarite dopo aver familiarizzato con la tabella dei derivati ​​e le regole di differenziazione più semplici. Stiamo passando a loro proprio ora.

Tavola delle derivate di funzioni semplici

1. Derivato di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) presente nell'espressione della funzione. Sempre uguale a zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso
2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "X". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare a lungo
3. Derivato di grado. Quando risolvi i problemi, devi convertire le radici non quadrate in potenze.
4. Derivata di una variabile alla potenza -1
5. Derivato radice quadrata
6. Derivato del seno
7. Derivato del coseno
8. Derivato della tangente
9. Derivato della cotangente
10. Derivato dell'arcoseno
11. Derivato dell'arcocoseno
12. Derivato dell'arcotangente
13. Derivato dell'arco cotangente
14. Derivato del logaritmo naturale
15. Derivato di una funzione logaritmica
16. Derivata dell'esponente
17. Derivato di una funzione esponenziale

Regole di differenziazione

1. Derivato di una somma o differenza
2. Derivato del prodotto
2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante
3. Derivata del quoziente
4. Derivato di una funzione complessa

Regola 1.Se le funzioni

sono differenziabili in un certo punto, allora le funzioni sono differenziabili nello stesso punto

E

quelli. la derivata di una somma algebrica di funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di tali funzioni.

Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono di un termine costante, allora le loro derivate sono uguali, cioè.

Regola 2.Se le funzioni

sono differenziabili in un certo punto, allora il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto

E

quelli. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.

Corollario 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:

Corollario 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascun fattore e di tutti gli altri.

Ad esempio, per tre moltiplicatori:

Regola 3.Se le funzioni

differenziabile ad un certo punto E , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabileu/v e

quelli. la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato di il vecchio numeratore.

Dove cercare cose su altre pagine

Quando si trova la derivata di un prodotto e un quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare diverse regole di differenziazione contemporaneamente, quindi ci sono più esempi su queste derivate nell'articolo"Derivata del prodotto e quoziente di funzioni".

Commento. Non dovresti confondere una costante (cioè un numero) con il termine di una somma e con un fattore costante! Nel caso di un termine la sua derivata è uguale a zero, nel caso di un fattore costante viene tolta dal segno delle derivate. Questo errore tipico, che si verifica nella fase iniziale dello studio delle derivate, ma poiché lo studente medio risolve diversi esempi in una o due parti, non commette più questo errore.

E se, quando si differenzia un prodotto o un quoziente, si dispone di un termine tu"v, in cui tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (questo caso è discusso nell'esempio 10).

Un altro errore comune è risolvere meccanicamente la derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perché derivata di una funzione complessaè dedicato un articolo separato. Ma prima impareremo a trovare le derivate funzioni semplici.

Lungo il percorso, non puoi fare a meno di trasformare le espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire il manuale in nuove finestre. Azioni con poteri e radici E Operazioni con le frazioni .

Se stai cercando soluzioni alle derivate di frazioni con potenze e radici, ovvero quando appare la funzione , poi segui la lezione “Derivata di somme di frazioni con potenze e radici”.

Se hai un compito come , poi seguirai la lezione “Derivate di semplici funzioni trigonometriche”.

Esempi passo passo: come trovare la derivata

Esempio 3. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Definiamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta un prodotto, e i suoi fattori sono somme, nella seconda delle quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola della differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni per la derivata dell'altra:

Successivamente applichiamo la regola della differenziazione della somma: la derivata di una somma algebrica di funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso in ogni somma il secondo termine ha il segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "X" diventa uno e meno 5 diventa zero. Nella seconda espressione, "x" viene moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori di derivati:

Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 4. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare il quoziente: la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Otteniamo:

Abbiamo già trovato la derivata dei fattori del numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che nell'esempio attuale è il secondo fattore del numeratore, si prende con il segno meno:

Se cerchi soluzioni a problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove è presente una pila continua di radici e potenze, come, ad esempio, , allora benvenuto in classe "Derivata di somme di frazioni con potenze e radici" .

Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seni, coseni, tangenti e altri funzioni trigonometriche, cioè quando appare la funzione , allora una lezione per te "Derivate di semplici funzioni trigonometriche" .

Esempio 5. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, la cui derivata ci è familiare nella tabella delle derivate. Utilizzando la regola per differenziare il prodotto e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Esempio 6. Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione vediamo un quoziente il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Utilizzando la regola della differenziazione dei quozienti, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulato della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Per eliminare una frazione dal numeratore, moltiplica numeratore e denominatore per .

Applicazione

Risolvere il derivato sul sito per consolidare il materiale coperto da studenti e scolari. Calcolare la derivata di una funzione in pochi secondi non sembra difficile se utilizzi il nostro servizio di problem solving online. Portare un'analisi dettagliata ad uno studio approfondito su lezione pratica ogni terzo studente sarà in grado di farlo. Spesso il dipartimento del dipartimento competente per la promozione della matematica in istituzioni educative Paesi. In questo caso, come non menzionare la soluzione della derivata online per uno spazio chiuso? sequenze numeriche. Molti individui ricchi possono esprimere il loro sconcerto. Ma nel frattempo i matematici non stanno fermi e lavorano molto. Il calcolatore della derivata accetterà modifiche nei parametri di input in base a caratteristiche lineari dovute principalmente al massimo delle posizioni discendenti dei cubi. Il risultato è inevitabile come la superficie. Come dati iniziali, il derivato online elimina la necessità di adottare misure non necessarie. Fatta eccezione per i lavori domestici immaginari. Oltre al fatto che è necessario risolvere i derivati ​​online e aspetto importante studiando matematica, gli studenti spesso non ricordano i problemi del passato. Lo studente, essendo una creatura pigra, lo capisce. Ma gli studenti sono persone divertenti! O farlo secondo le regole o derivare la funzione piano inclinato può impartire accelerazione a un punto materiale. Dirigiamo il vettore del raggio spaziale verso il basso da qualche parte. Nella risposta richiesta, trovare la derivata sembra essere una direzione teorica astratta a causa dell'instabilità del sistema matematico. Pensiamo a una relazione numerica come a una sequenza di opzioni inutilizzate. Il canale di comunicazione è stato riempito con una quinta linea lungo un vettore decrescente dal punto di biforcazione chiusa del cubo. Sul piano degli spazi curvi, risolvere la derivata online ci porta a una conclusione che ha fatto riflettere le più grandi menti del pianeta nel secolo scorso. Nel corso degli eventi nel campo della matematica, sono stati portati alla discussione pubblica cinque fattori di fondamentale importanza che contribuiscono a migliorare la posizione della selezione delle variabili. Quindi la legge sui punti prevede che la derivata online non venga calcolata in dettaglio in ogni caso, l'unica eccezione è un momento lealmente progressivo. La previsione ci ha portato a una nuova fase di sviluppo. Abbiamo bisogno di risultati. Nella linea della pendenza matematica che è passata sotto la superficie, il calcolatore della derivata modale si trova nella zona di intersezione dei prodotti sul gruppo di piegatura. Resta da analizzare la differenziazione della funzione nel suo punto indipendente vicino all'intorno epsilon. Tutti possono verificarlo nella pratica. Di conseguenza, ci sarà qualcosa da decidere nella fase successiva della programmazione. Lo studente ha bisogno del derivato online come sempre, indipendentemente dalla ricerca immaginaria praticata. Si scopre che la soluzione della derivata in linea moltiplicata per una costante non cambia la direzione generale del movimento del punto materiale, ma caratterizza l'aumento della velocità lungo una linea retta. In questo senso sarà utile utilizzare il nostro calcolatore di derivate e calcolare tutti i valori della funzione sull'intero insieme della sua definizione. Non è necessario studiare le onde di forza del campo gravitazionale. In nessun caso la risoluzione delle derivate online mostrerà l'inclinazione del raggio uscente, ma solo in rari casi, quando ciò è realmente necessario, gli studenti universitari possono immaginarlo. Indaghiamo sul principale. Il valore del rotore più piccolo è prevedibile. Applicare al risultato delle linee guardando a destra che descrivono la palla, ma calcolatore in linea derivati, questa è la base per figure di forza speciale e dipendenza non lineare. Il rapporto del progetto di matematica è pronto. Caratteristiche personali: la differenza tra i numeri più piccoli e la derivata di una funzione lungo l'asse delle ordinate porterà all'altezza la concavità della funzione stessa. C'è una direzione - c'è una conclusione. È più facile mettere in pratica la teoria. Gli studenti hanno una proposta riguardante i tempi di inizio dello studio. Hai bisogno della risposta di un insegnante. Anche in questo caso, come nella posizione precedente, il sistema matematico non è regolato sulla base di un'azione che aiuti a trovare la derivata. Come la versione semilineare inferiore, la derivata in linea indicherà in dettaglio l'identificazione della soluzione secondo la posizione precedente legge condizionale degenerata. L'idea di calcolare le formule è stata appena avanzata. La differenziazione lineare di una funzione distoglie la verità della soluzione dalla semplice esposizione di variazioni positive irrilevanti. L'importanza dei segni di confronto sarà considerata come una continua interruzione della funzione lungo l'asse. Questa è l'importanza della conclusione più consapevole, secondo lo studente, in cui la derivata online è qualcosa di diverso da un fedele esempio di analisi matematica. Il raggio di un cerchio curvo nello spazio euclideo, al contrario, dava al calcolatore delle derivate una rappresentazione naturale dello scambio di problemi decisivi con la stabilità. Il metodo migliore trovato. È stato più semplice spostare l'attività a un livello superiore. Lasciamo che l'applicabilità della proporzione della differenza indipendente porti alla soluzione delle derivate online. La soluzione ruota attorno all'asse delle ascisse, descrivendo la figura di un cerchio. C'è una via d'uscita, e si basa sulla ricerca teoricamente supportata da studenti universitari, da cui tutti studiano, e anche in quei momenti esiste un derivato della funzione. Abbiamo trovato una strada per progredire e gli studenti lo hanno confermato. Possiamo permetterci di trovare la derivata senza andare oltre l'approccio innaturale alla trasformazione del sistema matematico. Il segno di proporzionalità sinistro cresce con sequenza geometrica come rappresentazione matematica di un calcolatore di derivati ​​online a causa della circostanza sconosciuta di fattori lineari sull'asse y infinito. I matematici di tutto il mondo hanno dimostrato l’eccezionalità del processo produttivo. Secondo la descrizione della teoria, all'interno di un cerchio c'è un quadrato più piccolo. Ancora una volta, il derivato online esprimerà in dettaglio la nostra ipotesi su ciò che potrebbe influenzare in primo luogo l'opinione teoricamente raffinata. C'erano opinioni di natura diversa rispetto al rapporto analizzato che abbiamo fornito. Un'attenzione particolare forse non spetta agli studenti delle nostre facoltà, ma non ai matematici intelligenti e tecnologicamente avanzati, per i quali la differenziazione di una funzione è solo una scusa. Il significato meccanico della derivata è molto semplice. La forza di sollevamento è calcolata come derivata in linea per spazi stabili nel tempo ascendenti e discendenti. Il calcolatore ovviamente derivato è un processo rigoroso per descrivere il problema della degenerazione di una trasformazione artificiale come corpo amorfo. La derivata prima indica una variazione nel moto di un punto materiale. Lo spazio tridimensionale è ovviamente osservato nel contesto di tecnologie appositamente addestrate per la risoluzione delle derivate online, infatti, questo è in ogni colloquio sul tema di una disciplina matematica; La derivata seconda caratterizza la variazione della velocità di un punto materiale e determina l'accelerazione. L'approccio meridiano basato sull'uso della trasformazione affine porta a nuovo livello derivata di una funzione in un punto dal dominio di definizione di questa funzione. Un calcolatore di derivati ​​online non può esistere senza numeri e notazioni simboliche in alcuni casi per il momento giusto di esecuzione, oltre alla disposizione trasformabile delle cose nell'attività. Sorprendentemente c'è una seconda accelerazione del punto materiale; questa caratterizza il cambiamento di accelerazione. Tra poco inizieremo a studiare la risoluzione della derivata online, ma non appena verrà raggiunta una certa pietra miliare nella conoscenza, il nostro studente metterà in pausa questo processo. Il miglior rimedio stabilire contatti è una comunicazione dal vivo su un argomento matematico. Ci sono principi che non possono essere violati in nessuna circostanza, non importa quanto sia difficile il compito da svolgere. È utile trovare il derivato online in tempo e senza errori. Ciò porterà a una nuova posizione dell’espressione matematica. Il sistema è stabile. Il significato fisico del derivato non è così popolare come quello meccanico. È improbabile che qualcuno ricordi come la derivata in linea rappresentasse in dettaglio sul piano il contorno delle linee della funzione nella normale dal triangolo adiacente all'asse delle ascisse. L’uomo merita un ruolo di primo piano nella ricerca del secolo scorso. Differenziamo la funzione nei punti sia del dominio di definizione che all'infinito in tre stadi elementari. Avrà forma scritta solo nel campo della ricerca, ma potrà prendere il posto del vettore principale in matematica e teoria dei numeri, non appena ciò che accade collegherà il calcolatore di derivate online al problema. Se ci fosse una ragione, ci sarebbe una ragione per creare un’equazione. È molto importante tenere a mente tutti i parametri di input. Il meglio non è sempre accettato a testa alta; dietro questo si nasconde un numero colossale delle migliori menti lavoratrici che sapevano come si calcola la derivata online nello spazio. Da allora la convessità è stata considerata una proprietà di una funzione continua. Tuttavia, è meglio impostare prima il compito di risolvere i derivati ​​online nel più breve tempo possibile. Così la soluzione sarà completa. A parte gli standard non soddisfatti, ciò non è considerato sufficiente. Inizialmente, quasi tutti gli studenti propongono di proporre un metodo semplice su come la derivata di una funzione provoca un controverso algoritmo di aumento. Nella direzione del raggio ascendente. Questo ha senso come situazione generale. In precedenza, l'inizio del completamento di uno specifico operazione matematica, ma oggi sarà il contrario. Forse risolvendo la derivata online si riproporrà la questione e adotteremo un parere comune per preservarla durante la discussione nell'incontro dei docenti. Ci auguriamo che vi sia comprensione da parte di tutti i partecipanti all'incontro. Il significato logico sta nella descrizione del calcolatore derivato nella risonanza dei numeri sulla sequenza di presentazione del pensiero del problema, a cui hanno risposto nel secolo scorso i grandi scienziati del mondo. Ti aiuterà a estrarre una variabile complessa da un'espressione trasformata e a trovare la derivata online per eseguire un'azione massiccia dello stesso tipo. La verità è molte volte migliore delle supposizioni. Valore più basso di tendenza. Il risultato non tarderà ad arrivare quando si utilizza un servizio unico per la determinazione precisa, per il quale esiste in dettaglio l'essenza del derivato online. Indirettamente, ma al punto, come ha detto un saggio, è stato creato un calcolatore di derivati ​​online su richiesta di molti studenti di diverse città dell'Unione. Se c’è una differenza, allora perché decidere due volte? Il vettore dato giace dalla stessa parte della normale. A metà del secolo scorso la differenziazione delle funzioni non era affatto percepita come lo è oggi. Grazie agli sviluppi in corso, è apparsa la matematica online. Con il passare del tempo, gli studenti dimenticano di attribuire il giusto merito alle materie di matematica. Risolvere la derivata online metterà alla prova la nostra tesi giustamente basata sull'applicazione della teoria supportata dalla conoscenza pratica. Andrà oltre il valore esistente del fattore di presentazione e scriveremo la formula in forma esplicita per la funzione. Succede che devi trovare subito un derivato online senza usare la calcolatrice, tuttavia puoi sempre ricorrere al trucco di uno studente e utilizzare comunque un servizio come un sito web. Pertanto, lo studente risparmierà molto tempo nel copiare esempi da un taccuino approssimativo in una forma pulita. Se non ci sono contraddizioni, utilizza il servizio soluzione passo dopo passo esempi così complessi.

Se segui la definizione, la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione Δ sì all'argomento incremento Δ X:

Tutto sembra essere chiaro. Ma prova a usare questa formula per calcolare, ad esempio, la derivata della funzione F(X) = X 2 + (2X+3) · e X peccato X. Se fai tutto per definizione, dopo un paio di pagine di calcoli ti addormenterai semplicemente. Pertanto, ci sono modi più semplici ed efficaci.

Per cominciare, notiamo che dall'intera varietà di funzioni possiamo distinguere le cosiddette funzioni elementari. Si tratta di espressioni relativamente semplici, le cui derivate sono state a lungo calcolate e tabulate. Tali funzioni sono abbastanza facili da ricordare, insieme ai loro derivati.

Derivate di funzioni elementari

Le funzioni elementari sono tutte quelle elencate di seguito. Le derivate di queste funzioni devono essere conosciute a memoria. Inoltre, non è affatto difficile memorizzarli, ecco perché sono elementari.

Quindi, derivate di funzioni elementari:

Nome	Funzione	Derivato
Costante	F(X) = C, C ∈ R	0 (sì, zero!)
Potenza con esponente razionale	F(X) = X N	N · X N − 1
Seno	F(X) = peccato X	cos X
Coseno	F(X) = cos X	− peccato X(meno seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/peccato 2 X
Logaritmo naturale	F(X) = logaritmo X	1/X
Logaritmo arbitrario	F(X) = logaritmo UN X	1/(X ln UN)
Funzione esponenziale	F(X) = e X	e X(non è cambiato nulla)

Se una funzione elementare viene moltiplicata per una costante arbitraria, si calcola facilmente anche la derivata della nuova funzione:

(C · F)’ = C · F ’.

In generale, le costanti possono essere tolte dal segno della derivata. Per esempio:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Ovviamente le funzioni elementari possono essere sommate tra loro, moltiplicate, divise e molto altro ancora. Appariranno così nuove funzionalità, non più particolarmente elementari, ma anche differenziate secondo determinate regole. Queste regole sono discusse di seguito.

Derivata della somma e della differenza

Si diano le funzioni F(X) E G(X), i cui derivati ​​ci sono noti. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Per esempio, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

A rigor di termini, in algebra non esiste il concetto di “sottrazione”. Esiste il concetto di “elemento negativo”. Quindi la differenza F − G può essere riscritto come una somma F+ (-1) G, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.

F(X) = X 2 + peccato x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funzione F(X) è la somma di due funzioni elementari, quindi:

F ’(X) = (X 2 + peccato X)’ = (X 2)’ + (peccato X)’ = 2X+ cosx;

Ragioniamo allo stesso modo per la funzione G(X). Solo che ci sono già tre termini (dal punto di vista dell'algebra):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Risposta:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivato del prodotto

La matematica è una scienza logica, quindi molte persone credono che se la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate, allora la derivata del prodotto sciopero">uguale al prodotto delle derivate. Ma vaffanculo! La derivata di un prodotto si calcola utilizzando una formula completamente diversa. Vale a dire:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

La formula è semplice, ma spesso viene dimenticata. E non solo gli scolari, ma anche gli studenti. Il risultato sono problemi risolti in modo errato.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = X 3cosx; G(X) = (X 2 + 7X−7) · e X .

Funzione F(X) è il prodotto di due funzioni elementari, quindi tutto è semplice:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−peccato X) = X 2 (3cos X − X peccato X)

Funzione G(X) il primo fattore è un po' più complicato, ma schema generale questo non cambia. Ovviamente, il primo fattore della funzione G(X) è un polinomio e la sua derivata è la derivata della somma. Abbiamo:

G ’(X) = ((X 2 + 7X−7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X−7) ( e X)’ = (2X+7) · e X + (X 2 + 7X−7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+9) · e X .

Risposta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X peccato X);
G ’(X) = X(X+9) · e X .

Si noti che nell'ultimo passaggio la derivata viene fattorizzata. Formalmente non è necessario farlo, ma la maggior parte dei derivati ​​non vengono calcolati da soli, ma per esaminare la funzione. Ciò significa che inoltre la derivata sarà equiparata a zero, i suoi segni verranno determinati e così via. In tal caso, è meglio fattorizzare l'espressione.

Se ci sono due funzioni F(X) E G(X), E G(X) ≠ 0 sull'insieme che ci interessa, possiamo definire una nuova funzione H(X) = F(X)/G(X). Per tale funzione puoi anche trovare la derivata:

Non debole, vero? Da dove viene il meno? Perché G 2? E così! Questa è una delle formule più complesse: non puoi capirla senza una bottiglia. Pertanto, è meglio studiarlo esempi specifici.

Compito. Trova le derivate delle funzioni:

Il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione contengono funzioni elementari, quindi tutto ciò di cui abbiamo bisogno è la formula per la derivata del quoziente:

Secondo la tradizione, fattorizziamo il numeratore: questo semplificherà notevolmente la risposta:

Una funzione complessa non è necessariamente una formula lunga mezzo chilometro. Ad esempio, è sufficiente prendere la funzione F(X) = peccato X e sostituire la variabile X, diciamo, su X 2 + ln X. Funzionerà F(X) = peccato ( X 2 + ln X) - questa è una funzione complessa. Ha anche un derivato, ma non sarà possibile trovarlo utilizzando le regole discusse sopra.

Cosa dovrei fare? In questi casi, la sostituzione di una variabile e di una formula per la derivata di una funzione complessa aiuta:

F ’(X) = F ’(T) · T', Se Xè sostituito da T(X).

Di norma, la situazione con la comprensione di questa formula è ancora più triste che con la derivata del quoziente. Pertanto, è meglio anche spiegarlo con esempi specifici, con descrizione dettagliata ogni passo.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = peccato ( X 2 + ln X)

Tieni presente che se nella funzione F(X) invece dell'espressione 2 X+ 3 sarà facile X, allora otteniamo una funzione elementare F(X) = e X. Pertanto, effettuiamo una sostituzione: sia 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Cerchiamo la derivata di una funzione complessa utilizzando la formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

E ora - attenzione! Eseguiamo la sostituzione inversa: T = 2X+ 3. Otteniamo:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Ora diamo un'occhiata alla funzione G(X). Ovviamente è da sostituire X 2 + ln X = T. Abbiamo:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (peccato T)’ · T' = cos T · T ’

Sostituzione inversa: T = X 2 + ln X. Poi:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Questo è tutto! Come si può vedere dall'ultima espressione, l'intero problema è stato ridotto al calcolo della somma delle derivate.

Risposta:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Molto spesso nelle mie lezioni, invece del termine “derivato”, utilizzo la parola “primo”. Ad esempio, un numero primo dall'importo pari alla somma colpi. E' più chiaro? Bene, va bene.

Pertanto, il calcolo della derivata si riduce all'eliminazione di questi stessi tratti secondo le regole discusse sopra. Come ultimo esempio, torniamo alla potenza derivativa con esponente razionale:

(X N)’ = N · X N − 1

Poche persone lo sanno nel ruolo N potrebbe anche essere un numero frazionario. Ad esempio, la radice è X 0,5. E se sotto la radice ci fosse qualcosa di speciale? Ancora una volta, il risultato sarà una funzione complessa: a loro piace dare tali costruzioni test ed esami.

Compito. Trova la derivata della funzione:

Innanzitutto, riscriviamo la radice come potenza con esponente razionale:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Adesso facciamo una sostituzione: let X 2 + 8X − 7 = T. Troviamo la derivata utilizzando la formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Facciamo la sostituzione inversa: T = X 2 + 8X− 7. Abbiamo:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X−7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2 X+8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Infine, torniamo alle radici:

I calcoli derivativi si trovano spesso in Compiti dell'Esame di Stato Unificato. Questa pagina contiene un elenco di formule per trovare le derivate.

Regole di differenziazione

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivata di una funzione complessa. Se y=F(u) e u=u(x), allora la funzione y=f(x)=F(u(x)) è detta funzione complessa di x. Uguale a y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivata di una funzione implicita. La funzione y=f(x) è detta funzione implicita definita dalla relazione F(x,y)=0 se F(x,f(x))≡0.
6. Derivata della funzione inversa. Se g(f(x))=x, allora la funzione g(x) è chiamata funzione inversa della funzione y=f(x).
7. Derivata di una funzione definita parametricamente. Siano xey specificati come funzioni della variabile t: x=x(t), y=y(t). Dicono che y=y(x) è una funzione definita parametricamente sull'intervallo x∈ (a;b), se su questo intervallo l'equazione x=x(t) può essere espressa come t=t(x) e la funzione y=y(t(x))=y(x).
8. Derivata di una funzione esponenziale potenza. Si trova portando i logaritmi alla base del logaritmo naturale.

Ti consigliamo di salvare il collegamento, poiché questa tabella potrebbe essere necessaria più volte.
Data: 05/10/2015

Come trovare la derivata?

Regole di differenziazione.

Per trovare la derivata di qualsiasi funzione, devi padroneggiare solo tre concetti:

2. Regole di differenziazione.

3. Derivato di una funzione complessa.

Esattamente in quest'ordine. Questo è un suggerimento.)

Certo, sarebbe carino avere un'idea sui derivati ​​in generale). Cos'è una derivata e come lavorare con la tabella delle derivate è spiegato chiaramente nella lezione precedente. Qui ci occuperemo delle regole di differenziazione.

La differenziazione è l'operazione di trovare la derivata. Non c’è niente di più nascosto dietro questo termine. Quelli. espressioni "trova la derivata di una funzione" E "differenziare una funzione"- è la stessa cosa.

Espressione "regole di differenziazione" si riferisce alla ricerca della derivata dalle operazioni aritmetiche. Questa comprensione aiuta molto a evitare confusione nella tua testa.

Concentriamoci e ricordiamo tutte, tutte, tutte le operazioni aritmetiche. Sono quattro). Addizione (somma), sottrazione (differenza), moltiplicazione (prodotto) e divisione (quoziente). Eccole, le regole di differenziazione:

La targa mostra cinque regole su quattro operazioni aritmetiche. Non mi sono imbrogliato.) È solo che la regola 4 è una conseguenza elementare della regola 3. Ma è così popolare che ha senso scriverla (e ricordarla!) come una formula indipendente.

Sotto le designazioni U E V alcune funzioni (assolutamente qualsiasi!) sono implicite U(x) E V(x).

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Primo: quelli più semplici.

Trova la derivata della funzione y=sinx - x 2

Qui abbiamo differenza due funzioni elementari. Applichiamo la regola 2. Assumeremo che sinx sia una funzione U e x 2 è la funzione V. Abbiamo tutto il diritto di scrivere:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Così va meglio, vero?) Tutto ciò che resta da fare è trovare le derivate del seno e del quadrato di x. C'è una tabella dei derivati ​​per questo. Cerchiamo semplicemente le funzioni di cui abbiamo bisogno nella tabella ( sinx E x2), guarda quali derivati ​​hanno e scrivi la risposta:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Questo è tutto. La regola 1 della differenziazione della somma funziona esattamente allo stesso modo.

Cosa succede se abbiamo più termini? Nessun problema.) Suddividiamo la funzione in termini e cerchiamo la derivata di ciascun termine indipendentemente dagli altri. Per esempio:

Trova la derivata della funzione y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Scriviamo con coraggio:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Alla fine della lezione darò suggerimenti per semplificare la vita durante la differenziazione.)

Consigli pratici:

1. Prima della differenziazione, vedere se è possibile semplificare la funzione originale.

2. Negli esempi complicati descriviamo la soluzione in dettaglio, con tutte le parentesi e i trattini.

3. Quando differenziamo frazioni con un numero costante al denominatore, trasformiamo la divisione in moltiplicazione e utilizziamo la regola 4.